第8章量子力学基础
一、选择题
1.请问以下函数,哪几个为算符的本征函数?它的本征值是什么?
A.e x
B.x2
C.sinx
D.3cosx
【答案】
根据算符的定义判断:
A项,=e x,是本征函数,本征值为1;
B项,=2,不是本征函数;
C项,=-sinx,是本征函数,本征值为-1;
D项,=-3cosx,是本征函数,本征值为-1。
二、问答题
1.对于立方箱中粒子,请问在的能量范围内有多少个态?有多少个能级?其简并度各为多少?
【答案】
对于立方箱中粒子,其能级为
根据题意n x2+n y2+n z2≤12
又因为量子数只能取大于零的正整数,所以有以下几种能级及态和简并度:
n x2+n y2+n z2 3 6 9 11 12
n x n y n z111 211 121 112 122 212 221 113 131 311 222 简并度 1 3 3 3 1
三、推导及证明题
1.试证明:对于一维势箱中的粒子,具有不同本征值的波函数相互正交。
证:设两不同本征值对应的本征函数为:
所以两波函数正交。
2.已知归一化的氢原子基态的波函数为:
试由量子力学能量表达式推求基态能量。
证:氢原子的哈密顿为
ψ为球对称,所以
由于
s1
ψ微分后得:
代入哈密顿表达式并对
s1
ψ,后进行积分,注意得:上式左乘
s1
,其中,波尔半径。