稳态导热问题
第二章部分答案-稳态导热
2-46. 一厚度为7cm 的大平壁，一侧绝热，另一侧暴露于温度为30℃的流体中，其内热源热量为5103?W/m 3。已知该平壁材料的导热系数为18K)W/(m ?，平壁与流体间的对流表面传热系数为450)K W/(m 2?，试确定该平壁中的最高温度位置及其温度值？
解：
(1) 该题为具有内热源的一维平壁稳态导热问题，导热微分方程式为：
022=Φ+λ dx
t d 边界条件为：0=x ，0=dx
dt ； δ=x ，∞+Φ==t t t w λ
2 （根据热平衡求得：δΦ=-∞ )(t t h w ) 解方程，并代入边界条件得温度场为：
∞+Φ+-Φ=
t h x t δδλ )(222
(2) 该平壁中最高温度在0=x 处(即
0=dx
dt )：
117.5 30450)107()103()107(182103225252=+???+????=+Φ+Φ=--∞t h t δδλ ℃ 2-47 核反应堆的辐射防护壁因受γ射线的照射而发热，这相当于防护壁内有
ax e -Φ=Φ0 的内热源，其中0Φ 是X=0的表面上的发热率，a 为已知常数。已知
x=0处t=t1,x=δ处t=2t ,试导出该防护壁中温度分布的表达式及最高温度的所在位置。导热系数λ为常数。
解：由题意导热微分方程
0022=Φ+-ax e dx t d λ
又x=0处t=t1,x=δ处t=2t
积分并结合边界条件可得
λδλλλδ2012020210a t x a e a t t a e t a ax Φ++Φ-Φ+--Φ=-- 令0=dx dt 可得：当()??????-+Φ--=-δδλδa e t t a a x a 1ln 1021时，t 最大。
2-48 核反应堆中一个压力容器的器壁可以按厚为δ的大平壁处理。内表面（x=0处）绝热，外表面维持在恒定温度2t 。γ射线对该容器的加热条件作用可以用一个当量热源Φ 来表示，且ax e -Φ=Φ0 ，a 为常数，x 是从加热表面起算的距离。在稳态条件下，试：
导出器壁中温度分布的表达式。
确定x=0处的温度。
确定x=δ处的热流密度。
解： 022=Φ+λ dx t d （1）
边界条件 r=0,0=dx dt (2)
00,t t r r == (3)
三式联立得
()()20201t x a e e a t ax a +-Φ+-Φ=--δλδλδ x=0时；()202011t a e a t a +Φ+-Φ=-λδλδ
当x=δ时，2t t =
所以
()110-Φ-=-=-ax e a dx dt q λ 2-49 一半径为1r 的长导线具有均匀内热源Φ ，导热系数为1λ。导线外包有一层
绝缘材料，其外半径为2r ,导热系数为2λ。绝缘材料与周围环境间的表面传热系数为h ，环境温度为∞t 。过程是稳态的，试：
列出导线与绝缘层中温度分布的微分方程及边界条件。
求解导线与绝缘材料中温度分布。
提示：在导线与绝缘材料的界面上，热流密度及温度都是连续的。 解：导线中温度场的控制方程为：0111=???? ??Φ+λ dr dt r dr d r ； 环形绝缘层中温度场的控制方程为：012=??? ??dr dt r dr d r 。
边界条件：对为有限；时，，110t r t =
dr dt dr dt t t r r 2211
211,λλ-=-==时，。 对dr dt dr dt t t r r t 22112112,,λλ-=-==时，；
()12222t t h dr dt r r -=-=λ时，。 第一式的通解为：；21121ln c r c r r t ++Φ=λ
第二式的通解为：'+'=212
ln c r c t 。常数''2121c c c c 、、、由边界条件确定。 据r=0时，011=c t 为有限的条件，得
。其余三个条件得表达式为： ???? ??'-=???? ??Φ--'+'=+Φ-=112111*********ln 4r c r c r c c r r r λλλλ ；，；
??????-??? ??'+'=???? ??'-=f t c r c h r c r r 2212122ln λ，，由此三式解得：
???? ??+Φ+='Φ-='
22222122211ln 22r hr r t c r c f λλλ ，，
。 所以f t r r r hr r r r t +???? ??Φ+Φ+Φ+Φ-=122212*********ln 2244λλλ ；
r r r hr r t t f ln 2ln 22212222212λλλΦ-???? ??+Φ+= 。
一维非稳态导热的数值计算
一维非稳态导热的数值计算 一、实验名称 一维非稳态导热的数值计算 二、实验内容 一块无限大平板（如图3所示），其一半厚度为L=0.1m ，初始温度T 0=1000℃，突然将其插入温度T ∞=20℃的流体介质中。平板的导热系数λ=34.89W/m ℃，密度ρ=7800 kg/m 3，比热c=0.712310 J/kg ℃，平板与介质的对流换热系数为h=233W/m 2.℃，求平板内各点的温度分布。 三、实验编程 #include
for(k=0; k<=1000; k++) {for(i=1; i<=L-1; i++) for(j=1; j<=L-1; j++) {T[i][j] = T[i][j] + (a/4)*(T[i+1][j] + T[i][j+1] + T[i-1][j] + T[i][j-1] - 4*T[i][j]); } } printf(" a = %lf\n", a); printf("T[x][y] = ...\n"); for(i=0; i<=L; i++) for(j=0; j<=L; j++) {printf("%.1lf\t", T[i][j]); if(j == L) putchar(10); } return 0; } 四、运行结果
非稳态(准稳态)法测材料导热性能实验
非稳态（准稳态）法测材料的导热性能实验 一、实验目的 1、本实验属于创新型实验，要求学生自己选择不同原料、按照不同配比进行加工出新型实验材料，并对该材料的热物性（密度、导热系数、比热容、导温系数）进行实验测量。 2．快速测量绝热材料（不良导体）的导热系数和比热，掌握其测试原理和方法。 3、掌握使用热电偶测量温差的方法。 二、实验测试原理 本实验是根据第二类边界条件，无限大平板的导热问题来设计的。设平板厚度为2δ，初始温度为t 0，平板两面受恒定的热流密度q c 均匀加热（如下图所示）。 根据导热微分方程式、初始条件和第二类边界条件，对于任一瞬间沿平板厚度方向的温度分布t(x ，τ)可由下面方程组解 得； 方程组的解为： 式中：τ——时间；λ——平板的导热系数； α——平板的导温系数；t 0——初始温 度； —傅立叶准则； δβμn n = ，n=1，2， 3…； q c ——沿X 方向从端面向平板加热的恒定热流密度。 随着时间τ的延长，F 0数变大，式（1）中级数和项愈小。当F 0＞0.5时，级 数和项变得很小，可以忽略，式（1）变成 （2） 由此可见，当F 0＞0.5后，平板各处温度和时间成线性关系，温度随时间变 化的速率是常数，并且到处相同。这种状态即为准稳态。 在准稳态时，平板中心面X=0处的温度为： 平板加热面X=δ处为： 此两面的温差为： （3） 已知q c 和δ，再测出△t ，就可以由式（3）求出导热系数： （4） 实际上，无限大平板是无法实现的，实验总是用有限尺寸的试件，一般可认 为，试件的横向尺寸为厚度的6倍以上时，两侧散热对试件中心的温度影响可以) 1()]exp()cos(2)1(63[),(2211220o n n n n n c F x x q t x t μδμμδδδδατλτ--+--=-+∞=∑)612(),(222-+=-δδατλδτx q t x t c o q q t t t a q t t c c c o ?=??=-=?+=-21),0(),()3 1(),(2δλλδττδδτλδτδ2δ ατ=F
非稳态导热习题
第三章 非稳态导热习题 例3.1一腾空置于室内地板上的平板电热器，加在其上的电功率以对流换热和辐射换热的方式全部损失于室内。电热器表面和周围空气的平均对流换热系数为h ，且为常数，室内的空气温度和四壁、天花板及地板的温度相同，均为t f 。电热器假定为均质的固体，密度为ρ，比热为c ，体积为V , 表面积为A ，表面假定为黑体，因其导热系数足够大，内部温度均布。通电时其温度为t 0。试写出该电热器断电后温度随时间变化的数学描述。 [解] 根据题意，电热器内部温度均布，因此可用集中参数分析法处理。 电热器以辐射换热方式散失的热量为： 44r f ()A T T σΦ=- （1） 以对流换热方式的热量为： c f ()hA T T Φ=- （2） 电热器断电后无内热源，根据能量守恒定律，散失的热量应等于电热器能量的减少。若只考虑电热器的热力学能 r c d d T cV ρτ -Φ-Φ= （3） 因此，相应的微分方程式为： 44f f d ()()d T A T T hA T T cV σρτ -+-=- （4） 初始条件为： τ=0， t =t 0 （5） 上述两式即为该电热器断电后温度随时间变化的数学描述。 例 3.2 电路中所用的保险丝因其导热系数很大而直径很小可视为温度均布的细长圆柱体，电流的热效应可视为均匀的内热源。如果仅考虑由于对流换热的散热量，保险丝表面和温度为t f 的周围空气之间的平均对流换热系数为h ，且为常数。试求该保险丝通电后温度随时间的变化规律。 [解] 根据题意，保险丝内部温度均布，因此可用集中参数分析法处理。 保险丝表面以对流换热方式散失的热量为： c f ()hA T T Φ=- （1） 保险丝的内热源为： Q 0=IR 2 （2） 式中：I ——保险丝通过的电流，（A ）； R ——保险丝的电阻，Ω。 根据能量守恒，散失的热量与内热源所转变成的热量的和应等于保险丝能量的变化。若只考虑保险丝的热力学能 c 0d d T Q cV ρτ -Φ+= （3）
第三章非稳态导热分析解法
第三章非稳态导热分析解法 本章主要要求： １、重点内容： ① 非稳态导热的基本概念及特点； ② 集总参数法的基本原理及应用； ③ 一维及二维非稳态导热问题。 2 、掌握内容： ① 确定瞬时温度场的方法； ② 确定在一时间间隔内物体所传导热量的计算方法。 3 、了解内容：无限大物体非稳态导热的基本特点。 许多工程问题需要确定：物体内部温度场随时间的变化，或确定其内部温度达某一极限值所需的时间。如：机器启动、变动工况时，急剧的温度变化会使部件因热应力而破坏。因此，应确定其内部的瞬时温度场。钢制工件的热处理是一个典型的非稳态导热过程，掌握工件中温度变化的速率是控制工件热处理质量的重要因素；金属在加热炉内加热时，要确定它在炉内停留的时间，以保证达到规定的中心温度。 §3—1 非稳态导热的基本概念 一、非稳态导热 1 、定义：物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。 2 、分类：根据物体内温度随时间而变化的特征不同分： 1 2 ）物体的温度随时间而作周期性变化 如图 3-1 所示，设一平壁，初值温度 t 0 ，令其左侧的表面温 度突然升高到 并保持不变，而右侧仍与温度为 的空气接触，试分 析物体的温度场的变化过程。 首先，物体与高温表面靠近部分的温度很快上升，而其余部分仍 保持原来的 t 0 。 如图中曲线 HBD ，随时间的推移，由于物体导热温度变化波及范 围扩大，到某一时间后，右侧表面温度也逐渐升高，如图中曲线 HCD 、 HE 、 HF 。 最后，当时间达到一定值后，温度分布保持恒定，如图中曲线 HG （若 λ=const ，则 HG 是直线）。 由此可见，上述非稳态导热过程中，存在着右侧面参与换热与不参 与换热的两个不同阶段。 （ 1 ）第一阶段（右侧面不参与换热） 温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，即：在此阶段物体温度分布受 t 分布的影响较大，此阶段称非正规状况阶段。 （ 2 ）第二阶段，（右侧面参与换热） 当右侧面参与换热以后，物体中的温度分布不受 to 影响，主要取决于边界条件及物性，此时，非稳态导热过程进入到正规状况阶段。正规状况阶段的温度变化规律是本章讨论的重点。 2 ）二类非稳态导热的区别：前者存在着有区别的两个不同阶段，而后者不存在。 3 、特点； 非稳态导热过程中，在与热流量方向相垂直的不同截面上热流量不相等，这是非稳态导热区别于稳态导热的一个特点。
传热学传热学--第三章 第三节 一维非稳态导热问题
传热学--第三章第三节一维非稳态导热问题 §3 — 3 一维非稳态导热的分析解 本节介绍第三类边界条件下：无限大平板、无限长圆柱、球的分析解及应用。如何理解无限大物体，如：当一块平板的长度、宽度>> 厚度时，平板的长度和宽度的边缘向四周的散热对平板内的温度分布影响很少，以至于可以把平板内各点的温度看作仅是厚度的函数时，该平板就是一块“无限大”平板。若平板的长度、宽度、厚度相差较小，但平板四周绝热良好，则热量交换仅发生在平板两侧面，从传热的角度分析，可简化成一维导热问题。 一、无限大平板的分析解 已知：厚度的无限大平板，初温t0，初始瞬间将其放于温度为的流体中，而且> t0，流体与板面间的表面传热系数为一常数。 试确定在非稳态过程中板内的温度分布。 解：如图3-5 所示，平板两面对称受热，所以其内温度分布以其中心截面为对称面。对 于x 0 的半块平板，其导热微分方程：(0 （边界条件） （边界条件） 对偏微分方程分离变量求解得： （3-10 ） 其中离散值是下列超越方程的根，称为特征值。 其中Bi 是以特征长度为的毕渥数。 由此可见：平板中的无量纲过余温度与三个无量纲数有关：以平板厚度一半为特 征长度的傅立叶数、毕渥数及即：（3-12) 二、非稳态导热的正规状况阶段 1 、平板中任一点的过余温度与平板中心的过余温度的关系 前述得到的分析解是一个无穷级数，计算工作量大，但对比计算表明，当Fo>0.2 时，采用该级数的第一项与采用完整的级数计算平板中心温度的误差小于1% ，因此，当Fo>0.2 时，采用以下简化结果：（3-13 ） 其中特征值之值与Bi 有关。 由上式（3-13 ）可知：Fo>0.2 以后平板中任一点的过余温度(x ，τ) 与平板中心的过余温度(0 ，τ)=（τ ）之比为：（3-14 ） 此式反映了非稳态导热过程中一种很重要的物理现象：即当Fo>0.2 以后，虽然(x ，τ) 与（τ ）各自均与τ 有关，但其比值则与τ 无关，而仅取决于几何位置（x/ ）及边界条件（Bi ）。也就是说，初始条件的影响已经消失，无论初始条件分布如何，只要 第三章 非稳态导热分析解法 1、 重点内容：① 非稳态导热的基本概念及特点； ② 集总参数法的基本原理及应用； ③一维及二维非稳态导热问题。 2、掌握内容：① 确定瞬时温度场的方法； ② 确定在一时间间隔内物体所传导热量的计算方法。 3、了解内容：无限大物体非稳态导热的基本特点。 许多工程问题需要确定：物体内部温度场随时间的变化，或确定其内部温度达某一极限值所需的时间。如：机器启动、变动工况时，急剧的温度变化会使部件因热应力而破坏。因此，应确定其内部的瞬时温度场。钢制工件的热处理是一个典型的非稳态导热过程，掌握工件中温度变化的速率是控制工件热处理质量的重要因素；金属在加热炉内加热时，要确定它在炉内停留的时间，以保证达到规定的中心温度。 §3—1 非稳态导热的基本概念 一、非稳态导热 1、定义：物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。 2、分类：根据物体内温度随时间而变化的特征不同分： 1）物体的温度随时间的推移逐渐趋于恒定值，即：const t =↑τ 2）物体的温度随时间而作周期性变化 1）物体的温度随时间而趋于恒定值 如图3-1所示，设一平壁，初值温度t 0，令其左侧的 表面温度突然升高到1t 并保持不变，而右侧仍与温度为 0t 的空气接触，试分析物体的温度场的变化过程。 首先，物体与高温表面靠近部分的温度很快上升， 而其余部分仍保持原来的t 0 。 如图中曲线HBD ，随时间的推移，由于物体导热温 度变化波及范围扩大，到某一时间后，右侧表面温度也 逐渐升高，如图中曲线HCD 、HE 、HF 。 最后，当时间达到一定值后，温度分布保持恒定， 如图中曲线HG （若λ=const ，则HG 是直线）。 由此可见，上述非稳态导热过程中，存在着右侧面 参与换热与不参与换热的两个不同阶段。 （1）第一阶段（右侧面不参与换热） 温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，即：在此阶段物体温度分布受t 分布的影响较大，此阶段称非正规状况阶段。 （2）第二阶段，（右侧面参与换热） 当右侧面参与换热以后，物体中的温度分布不受to 影响，主要取决于边界条件及物性，此时，非稳态导热过程进入到正规状况阶段。正规状况阶段的温度变化规律是本章讨论的重点。 非稳态（准稳态）法测材料的导热性能实验 一、实验目的 1、本实验属于创新型实验，要求学生自己选择不同原料、按照不同配比进行加工出新型实验材料，并对该材料的热物性（密度、导热系数、比热容、导温系数）进行实验测量。 2．快速测量绝热材料（不良导体）的导热系数和比热，掌握其测试原理和方法。 3、掌握使用热电偶测量温差的方法。 二、实验测试原理 本实验是根据第二类边界条件，无限大平板的导热问题来设计的。设平板厚度为2δ，初始温度为t 0，平板两面受恒定的热流密度q c 均匀加热（如下图所示）。 根据导热微分方程式、初始条件和第二类边界条件，对于任一瞬间沿平板厚度方向的温度分布t(x ，τ)可由下面方程组解得； 方程组的解为： 式中：τ——时间；λ——平板的导热系数； α——平板的导温系数；t 0——初始温度； —傅立叶准则； δβμn n = ，n=1，2，3…； q c ——沿X 方向从端面向平板加热的恒定热流密度。 随着时间τ的延长，F 0数变大，式（1）中级数和项愈小。当F 0＞0.5时，级数和项变得很小，可以忽略，式（1）变成 （2） 0) ,0(0),()0,() ,(),(0 22=??=+??=??=??x t q x t t x t x x t a x t c τλτδττ τ) 1()]exp(cos(2)1(63[),(2 211220o n n n n n c F x x q t x t μδμμδδδδατλτ--+-- =-+∞ = ∑)612(),(222-+=-δ δατλδτx q t x t c o 2δατ=F 由此可见，当F 0＞0.5后，平板各处温度和时间成线性关系，温度随时间变化的速率是常数，并且到处相同。这种状态即为准稳态。 在准稳态时，平板中心面X=0处的温度为： 平板加热面X=δ处为： 此两面的温差为： （3） 已知q c 和δ，再测出△t ，就可以由式（3）求出导热系数： （4） 实际上，无限大平板是无法实现的，实验总是用有限尺寸的试件，一般可认为，试件的横向尺寸为厚度的6倍以上时，两侧散热对试件中心的温度影响可以忽略不计。试件两端面中心处的温差就等于无限大平板时两端正的温差。 根据热平衡原理，在准稳态时，有： 式中：F ——试件的横截面积；c ——试件的比热；ρ——试件密度； — —准稳态时温升速率。 则比热为： （5） 实验时，dt/d τ以试件中心处为准。 按定义，材料的导温系数可表示为 m 2/s 综上所述，应用恒热流准稳态平板法测试材料热物性时，在一个实验上可同时测出材料的三个重要热物性---导热系数、比热容和导温系数。 三、实验装置简介 实验设备包括破碎机、搅拌机、烘干机、电子天平、SEI-3型准稳态法热物性测定仪、计算机和实验控制软件。SEI-3型准稳态法热物性测定仪、计算机和实验控制软件如图1所示。 τ d dt )6 1 (),0(2-= -δτλδτa q t t c o τδρd dt F c F q c ? ???=τ δρd dt q c c /??= t q q t t t a q t t c c c o ??=??=-=?+=-221),0(),()3 1 (),(2δλλ δττδδτλδτδc c c t t t q c a )(2)(2τδδτδδλρλ??=?== 传热学C 程序源 二维稳态导热的数值计算 2.1物理问题 一矩形区域，其边长L=W=1，假设区域内无内热源，导热系数为常数，三个边温度为T1=0，一个边温度为T2=1，求该矩形区域内的温度分布。 2.2 数学描述 对上述问题的微分方程及其边界条件为：2222T T 0x y ??+=?? x=0，T=T 1=0 x=1，T=T 1=0 y=0，T=T 1=0 y=1，T=T 2=1 该问题的解析解：112121(1)sin n n n sh y T T n L x n T T n L sh W L ππππ∞=??? ?---????=? ?-????? ??? ∑ 2.3数值离散 2.3.1区域离散 区域离散x 方向总节点数为N ，y 方向总节点数为M ，区域内任一节点用I,j 表示。 2.3.2方程的离散 对于图中所有的内部节点方程可写为：2222,,0i j i j t t x y ??????+= ? ??????? 用I,j 节点的二阶中心差分代替上式中的二阶导数，得： +1,,-1,,+1,,-1222+2+0i j i j i j i j i j i j T T T T T T x y --+= 上式整理成迭代形式：()()22 ,1,-1,,1,-12222+2() 2()i j i j i j i j i j y x T T T T T x y x y ++=++++ (i=2,3……,N-1)，(j=2,3……,M-1) 补充四个边界上的第一类边界条件得：1,1j T T = (j=1,2,3……,M) ,1N j T T = (j=1,2,3……,M) ,1i j T T = (i=1,2,3……,N) 非稳态（准稳态）法测材料的导热性能 一、实验目的 测量绝热材料（不良导体）的导热系数和比热、掌握其测试原理和方法。 二、实验原理 本实验是根据第二类边界条件，无限大平板的导热问题来设计的。设平板厚度为2δ，初始温度为t 0，平板两面受恒定的热流密度qc 均匀加热（见图1）。求任何瞬间沿平板厚度方向的温度分布t(x ，τ)。导热微分方程式、初始条件和第二类边界条件如下： 2 2) ,(),(x x t a x t ??=??τττ 0=τ时, 0t t = x=0处， 0=??x t δ±=x 处， c q x t =??-λ 方程的解为： )]exp()cos(2)1(63[),(02211 220F x x a q t x t n n n n c μδμμδδδδτλτ--+--=-+∞ =∑ （1） 式中：τ—时间(s)； λ—平板的导热系数(w/m ?℃)； a —平板的导热系数(m 2 /s)； n μ—πn n=1，2，3，……； F 0— δ τ 2a 傅立叶准则； t 0—初始温度(℃)； c q —沿x 方向从端面向平板加热的恒定热流密度(w/m 2 )； 随着时间τ的延长，F 0数变大，式（1）中级数和项愈小。 当F 0>0.5时，级数和项变得很小，可以忽略，式（1）变成： 由此可见，当F 0>0.5后，平板各处温度和时间成线性关系，温度随时间变化的速率是常数，并且到处相同。这种状态称为准稳态。 在准态时，平板中心面x=0处的温度为： 021(0,)()6 c q a t t δττλδ-= - 平板加热面x=δ处为： )3 1 (),(20+= -δτλδτδa q t t c （3） 此两面的温差为： 如已知q c 和δ，再测出Δt ，就可以由式（3）求出导热系数： 实际上，无限大平板是无法实现的，实验总是用有限尺寸的试件。一般可认为，试件的横向尺寸为厚度的6倍以上时，两侧散热试件中心的温度影响可以忽略不计。试件两端面中心处的温度差就等于无限大平板两端面的温度差。 根据势平衡原理，在准态时，有下列关系： τ ρδ d dt CF F q c = 式中：F 为试件的横截面(m 2)； C 为试件的比热(J/kg ?℃)； ρ为试件的密度(kg/m 3)，1200 kg/m 3； τ d dt 为准稳态时的温升速率(℃/s)； 由上式可得比热： τ ρδd dt q c c = 一维非稳态热传导热源反问题研究 摘要 本文是关于热传导的正反问题的研究，即利用偏微分方程中典型热传导方程 t时刻温度分布与热源位置。 求解含有内热源的金属细杆 本文从解偏微分方程出发，由已知条件最终得出温度分布函数及热源位置函数并建立了两个数学模型。 模型一：利用偏微分方程及初始温度分布函数建立了一段时间后的温度分布与热源强度、位置之间的数学模型，最终解出一段时间后长杆上的温度分布。 模型二：通过一类抛物型偏微分方程模型，解决已知初始温度分布函数、一段时候后的温度分布函数及热源强度的确定热源位置和中间任意时刻的温度分布函数。 u x t,即t时刻的温度根据模型一建立偏微分方程组，用分离变量法求解(,) 分布函数，并通过Matlab中的PDE(偏微分方程)工具箱求解偏微分方程组，且使解可视化。 u x T,结合抛物型方程，运用根据模型二依然建立偏微分方程组，通过测得(,) 离散正则法，确定热源位置，并通过论证说明问题的唯一性和确定性，给出反问题的数值解法。最后再简单介绍差分法解决热传导在非稳态导热问题中的应用。 最后是结论部分，主要总结本文的结果并提出一些尚待进一步研究的问题，以及研究该反问题的应用前景。 相同t不同x的温度变化曲线相同x不同t的温度变化曲线 一维非稳态热传导热源反问题研究 一、问题的提出 在金属细秆的传热过程中，温度差是导致其发生必要条件，有无热源决定传导效率的高低。从一维非稳态传导问题的数学模型和初始条件出发，经过对有内热源问题的进一步分析，在初始温度分布已知的情况下，对分布函数的处理显得很关键。对热源反问题的处理中，我们的问题是如何寻找某种合理的附件条件，通过已知方程来解决方程右端的热源的具体位置并使其具有唯一性。本文利用微分方程并建立了满足温度分布的数学物理模型，从理论上导出了温度分布函数和热源位置的求解，并借助计算机软件画出了温度分布图。 二、问题的分析 对于热传导问题，为了使函数解决起来更容易，对于细秆的初始温度分布() g x我们可以设它在区间[0,L]连续，那么() g x可以展成正弦或余弦级数，对于有内热源的处理，由于细秆边界条件是齐次的，我们采用叠加原理把一根金属细秆的导热问题分解为有热源的具有其次边界条件的稳态导热问题和一个非稳态 其次问题，则原问题的解为 (,)1(,)2() u x t u x t u x =+。 对于源反问题的解决有如下3个问题: 1、反问题的唯一性:附加条件给得是否合理，也就是说，这个附加条件是否可以唯一确定热源的具体位置。 2、反问题的稳定性:反演所得到的热源的具体位置，该热源是否是连续地依赖于测量数据() h t? 3、反问题的数值解法:如何用可行的数值方法反演该热源的具体位置。用离散正则法将温度分布离散化，由已知初始温度分布再利用计算机软件得出热源位置 三、模型假设 1、金属细杆边界与外界无热量交换，即与外界绝缘 第三章非稳态导热分析解法 本章主要要求： １、重点内容：①非稳态导热的基本概念及特点； ②集总参数法的基本原理及使用； ③一维及二维非稳态导热问题。 2 、掌握内容：①确定瞬时温度场的方法； ②确定在一时间间隔内物体所传导热量的计算方法。 3 、了解内容：无限大物体非稳态导热的基本特点。 许多工程问题需要确定：物体内部温度场随时间的变化，或确定其内部温度达某一极限值所需的时间。如：机器启动、变动工况时，急剧的温度变化会使部件因热应力而破坏。因此，应确定其内部的瞬时温度场。钢制工件的热处理是一个典型的非稳态导热过程，掌握工件中温度变化的速率是控制工件热处理质量的重要因素；金属在加热炉内加热时，要确定它在炉内停留的时间，以保证达到规定的中心温度。 §3—1 非稳态导热的基本概念 一、非稳态导热 1 、定义：物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。 2 、分类：根据物体内温度随时间而变化的特征不同分： 1 ）物体的温度随时间的推移逐渐趋于恒定值，即： 2 ）物体的温度随时间而作周期性变化 如图 3-1 所示，设一平壁，初值温度 t 0 ，令其左侧的表面温 度突然升高到 并保持不变，而右侧仍和温度为 的空气接触，试分 析物体的温度场的变化过程。 首先，物体和高温表面靠近部分的温度很快上升，而其余部分仍 保持原来的 t 0 。 如图中曲线 HBD ，随时间的推移，由于物体导热温度变化波及范 围扩大，到某一时间后，右侧表面温度也逐渐升高，如图中曲线 HCD 、 HE 、 HF 。 最后，当时间达到一定值后，温度分布保持恒定，如图中曲线 HG （若λ=const ，则 HG 是直线）。 由此可见，上述非稳态导热过程中，存在着右侧面参和换热和不参 和换热的两个不同阶段。 （ 1 ）第一阶段（右侧面不参和换热） 温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，即：在此阶段物体温度分布受 t 分布的影响较大，此阶段称非正规状况阶段。 （ 2 ）第二阶段，（右侧面参和换热） 当右侧面参和换热以后，物体中的温度分布不受 to 影响，主要取决于边界条件及物性，此时，非稳态导热过程进入到正规状况阶段。正规状况阶段的温度变化规律是本章讨论的重点。 2 ）二类非稳态导热的区别：前者存在着有区别的两个不同阶段，而后者不存在。 3 、特点； 非稳态导热过程中，在和热流量方向相垂直的不同截面上热流量不相等，这是非稳态导热区别于稳态导热的一个特点。 原因：由于在热量传递的路径上，物体各处温度的变化要积聚或消耗能量，所以，在热流量传递的方向上。 二、非稳态导热的数学模型 1 、数学模型 非稳态导热问题的求解规定的 { 初始条件，边界条件 } 下，求解导热微分方程。 2 、讨论物体处于恒温介质中的第三类边界条件问题 在第三类边界条件下，确定非稳态导热物体中的温度变化特征和边界条件参数的关系。 已知：平板厚 2 、初温 to 、表面传热系数 h 、平板导热系数，将 其突然置于温度为的流体中冷却。 试分析在以下三种情况：<<1/h 、>>1/h 、=1/h 时，平板中温度场 的变化。 1 ） 1/h<< 因为 1/h 可忽略，当平板突然被冷却时，其表面温度就被冷却到，随着时 非稳态导热实验报告 课程名称：传热学基础实验名称：非稳态导热实验指导教师：钱扬顺 实验目的：1 了解材料加热及冷却过程中表面与中心温度的变化； 2 加深不同传热系数冷却介质对冷却温度场的影响; 3 掌握实验原理、实验装置结构，学会使用实验仪器设备； 4 掌握对实验结果数据进行处理和误差分析的方法。 实验仪器:有1温度自动控制系统的SX2-8-10电阻炉 2 ZJ16A多点温度测试仪 3 直径2mm的K型热电偶 4 45刚试样直径50mmx100mm 中心钻孔r=1. 5 深30mm 实验原理：材料在加热和冷却过程的温度场分布不仅取决于材料的性能（密度、导温系数、比热容）.而且与材料和周围环境的热交换密切相关。本实验通过对试样在炉中德加热及在不同介质中的冷却，采用一组热电偶的热端固定于试样的表面的不同位置，利用多点温度记录仪测量和记录任意时刻试样各点的温度-时间曲线，根据温度时间曲线，可以计算该位置的冷却速度，观测和分析不同冷却介质对试样冷却结果的影响，并计对算结果进行比较。实验步骤： 1 将热电偶分别安装在式样的表面和中心的钻孔中，兵、并将热电偶和温度记录仪联接好； 2 关上炉门，并将温度控制仪的温度读数调整到-200-C ，并将炉子加热开关打开，同时打开温度记录仪的开关，将记录仪调整到记录状态； 3 炉温升到-200-C 并保温5分钟让炉温均匀、恒定，在开启温度记录仪的开关； 4 当温度加热到200C将试样拿出并在空气中冷却20分钟；关闭记录仪开关； 5 分别将记录的数据填到下表中每分钟一次） 6 绘出加热和冷却曲线; 7 对试样按着无量纲准则进行加热冷却计算，确定在4分钟是中心和表面温度。并且和试样 实验数据自己填，曲线自己画，自己分析。 思考题：1 试样冷却过程中有相变时的冷却曲线特点？ 2 试样在空气或者水剑的热换系数的选择及注意事项？ 3 当试样温度较高时，试样在水中的冷却特点/ “非稳态导热”例题 例题1：一温度为20℃的圆钢，长度为0.3m ，直径为60mm ，在一温度为1250℃的加热炉 内被加热。已知圆钢的导热系数为35 W/(m ?K)，密度为7800kg/m 3，比热容为0.460kJ/(kg ?K)， 加热炉长为6m ，圆钢在其中匀速通过，其表面和炉内烟气间的表面传热系数为100 W/(m 2?K)。现欲将该圆钢加热到850℃，试求该圆钢在加热炉内的通过速度。 解 特征尺寸A V /为 m 0136.0)1060(14.34 13.0)1060(14.33.0)1060(14.3414124133322=???+???????=?+=---d dL L d A V πππ 则毕渥数v Bi 为 05.02 11.01.0039.0350136.0100)/(v =?=<=?==M A V h Bi λ 因此可以采用集总参数法求解。 θθρτ0ln hA cV = 即 s 548.14 1250 850125020ln 100)10460.0(78003=--??=τ 则该圆钢在加热炉内的通过速度为 m /s 0109.014 .5486===τL v 例题2：两块厚度均为30mm 的无限大平板，初始温度为20℃，分别用铜和钢制成。平板 两侧表面的温度突然上升至60℃，计算使两板中心温度均达到56℃时两板所需时间之比。 已知铜和钢的热扩散率分别为610103-?m 2/s 和6 109.12-?m 2/s 。 (125.0==铜 钢钢铜a a ττ) 例题3：无内热源、常物性的二维导热物体在某一瞬时的温度分布为x y t cos 22=。试说明 该导热物体在x =0，y =1处的温度是随时间增加而逐渐升高，还是逐渐降低？ 例题4：一初始温度为20℃的钢板，厚度为10cm ，密度为为7800kg/m 3，比热容为460.5 J/(kg ?K)，导热系数为53.5W/(m ?K)，放置到温度为1200℃的加热炉中加热，钢板与烟气间 的表面传热系数为407 W/(m 2?K)。试求单面加热30min 时该钢板的中心温度以及两面加热 到相同的中心温度需要的时间。 解：(1) 考虑单面加热时，特征尺寸为1m .0cm 10==δ，则毕渥数Bi 为 1.076.05 .531.0407>=?==λδ h Bi 因此不能采用集总参数法求解，可采用图解分析法。钢板中心处无量纲尺寸η为 5.01.01052 =?==-δηx 30min 时的傅里叶数Fo 为 68.21.0)6030()]5.4607800/(5.53[)/(2 22=???= ==δρλδτc a Fo 而毕渥数的倒数1-Bi 为 31.176.011==-Bi 查诺模图可得 93.0 ,21.0m 0m ==θθθθ 则钢板中心的无量纲过余温度0/θθ为 195.093.021.0m 0m f 0f 0=?==--=θθθθθθt t t t 因此钢板中心温度t 为 970)120020(195.01200)(f 00 f =-?+=-+=t t t t θθ℃ (2) 考虑两面加热时，特征尺寸为0.05m cm 2/102/==δ，则毕渥数Bi 为 1.038.05 .5305.0407>=?==λδ h Bi 因此仍不能采用集总参数法求解，可应用图解分析法。此时钢板中心的无量纲过余温度为 计算传热学程序报告 题目：一维非稳态导热问题的数值解 ： 学号： 学院：能源与动力工程学院 专业：工程热物理 日期：2014年5月25日 一维非稳态导热问题数值解 求解下列热传导问题： ? ?? ????=====≤≤=??- ??1,10),(,1),0(0)0,()0(01T 22ααL t L T t T x T L x t T x 1.方程离散化 对方程进行控制体积分得到： dxdt t T dxdt x T t t t e w t t t e w ? ?? ??+?+??=??α 1 2 2 ? ? -=??-???+?+e w t t t w e t t t dx T T dt x T x T )(1])()( [α 非稳态项：选取T 随x 阶梯式变化，有 x T T dx T T t p t t p e w t t t ?-=-?+?+? )()( 扩散项：选取一阶导数随时间做显示变化，有 t x T x T dt x T x T t w t e w e t t t ???-??=??-??? ?+])()[(])()[( 进一步取T 随x 呈分段线性变化，有 e P E e x T T x T )()( δ-=?? ， w W P w x T T x T )()(δ-=?? 整理可以得到总的离散方程为： 2 21x T T T t T T t W t P t E t P t t E ?+-=?-?+α 2.计算空间和时间步长 取空间步长为： h=L/N 网格Fourier 数为： 2 2 0x t x t F ??= ??= α（小于0.5时稳定） 实验二 非稳态(准稳态)法测材料的导热性能实验 一﹑实验目的 1、测量绝热材料的导热系数和比热，掌握其测试原理和方法； 2、掌握使用热电偶测量温差的方法。 二﹑实验装置 实验装置见下图 三﹑实验原理 本实验是根据第二类边界条件, 无限大平板的导热问题来设计的设平板厚度为δ, 初始温度0t , 平板两面受恒定的热流密度c q 均匀加热求任何瞬间沿平板厚度方向的温度分布(,) t x τ导热微分方程式﹑初始条件和第二类边界条件如下： 2 2) ,(),(x x t a x t ??=??τττ 0=τ时, 0t t = 0x =处, 0=??x t δ±=x 处, c q x t =??-λ 方程的解为: 22 03(,)[6c q a x t x t τδτλδδ--=- 12021 2(1)cos()exp()]n n n n x F δμμμδ∞ +=+--∑ (1) 式中: τ—时间(s ); λ—平板的导热系数(0W m C ?); a —对流换热系数(2m ); n μ—πn （n=1,2,3,.....）; 0F —2δ τ a （傅立叶准则）; 0t —初始温度(); c q —沿x 方向从端面向平板加热的恒定热流密度(2W m )。 随着时间τ的延长, 0F 数变大,式(1)中级数和项愈小 当0F >0.5时, 级数和项变得很小, 可以忽略, 式(1)变成: )6 1 2(),(220-+=-δδλδx at q t t x t c (2) 由此可见, 当0F >0.5后, 平板各处温度和时间成线性关系, 温度随时间变化的速率是 常数, 并且到处相同 这种状态称为准稳态。 在准稳态时, 平板中心面0x =处的温度为：)6 1 (),0(0-= -δτλδτa q t t c 平板加热面x δ=处为： )3 1 (),(20+= -δτλδτδa q t t c (3) 此两面的温差为： 1(,)(0,)2c q t t t δ δττλ ?=-=? 如已知c q 和δ, 再测出t ?, 就可以由式(3)求出导热系数： t q c ?= 2δ λ (4) 实际上，无限大平板是无法实现的，实验总是用有限尺寸的试件。一般可认为，试件的横向尺寸为厚度的6倍以上时，两侧散热试件中心的温度影响可以忽略不计。试件两端面中心处的温度差就等于无限大平板两端面的温度差。 根据势平衡原理，在准稳态时，有下列关系： τ ρδ d dt CF F q c = 式中：F —试件的横截面(2 m )； C —为试件的比热(o J kg C ?)； ρ—试件的密度(3kg m )； τ d dt —准稳态时的温升速率(o C )； 由上式可得比热： c q C dt d ρδτ = （τd dt 以试件中心处为准） 四﹑实验步骤 1﹑检查仪器并接通电源； 2、按下[功能/确认]键后,显示屏会出现(选择菜单),按[加/选择]键,选择项目后按[功能/确认]键确认； 3、待试件温度稳定后(约10分钟),每分钟记录一组数据； 4、第一次实验结束, 断开电源, 取下试件, 用电扇将加热器吹凉, 待其和室温平衡后才能继续做下一次实验试件不能连续做实验, 必须使其冷却至与室温平衡后, 才能再做下一次实验； 5、实验全部结束后, 必须切断电源, 一切恢复原状 五﹑数据处理 记录下列数据并将其它实验数据填入表1中 试件截面尺寸F ： 0.00126 (2 m ) 试件厚度δ： 0.009 (m ) 试件材料密度ρ：1200 (3kg m ) 加热温度 测试温度 .:x 2 x = 处， q c .x 方程的解为: 图1第二类边界条件无限大平板 导热的物理模型 t(x, ) -t 査2 c 2 q c r a …3x &5 66 od :.(-护 1 n d 2 x —^cosC l n-)exp^j 2F 0)] J n : (1) 式中：T —时间（S ）； 入一平板的导热系数（w/m ? °C ）； 2 a —平板的导热系数（m /s ） J n — n 二 n=1 ，2，3， F0- 孑傅立叶准则; 。 一初始温度（C ）； 非稳态（准稳态）法测材料的导热性能 、实验目的 测量绝热材料（不良导体）的导热系数和比热、掌握其测试原理和方法。 、实验原理 本实验是根据第二类边界条件，无限大平板的导热问题来设计的。设平板厚度 为23,初始温度为 t 0，平板两面受恒定的热流密度qc 均匀加热（见图1） o 求任 何瞬间沿平板厚度方向的温度分布t （x ，■）。导热微分方程式、初始条件和第二类 边界条件如下： A 2 d(x, ) : t(x,) a CT x=0 处, q c —沿x 方向从端面向平板加热的恒定热流密度（w/m ）； 随着时间T 的延长，F 0数变大，式（1 ）中级数和项愈小。 当F °>0.5时，级数和项变得很小，可以忽略，式（1）变成: 并且到处相同。这种状态称为准稳态。 =亚（苓1） (3) q c F 由上式可得比热: 在准态时，平板中心面x=0处的温度为： qg az 1 t(0, ) -t o 、 6 平板加热面x= S 处为： 此两面的温差为: .：t =t (-, J -t (o,)= 1q “ 2 扎 如已知q c 和再测出△ t ,就可以由式（3）求出导热系数: (4) 实际上，无限大平板是无法实现的，实验总是用有限尺寸的试件。一般可认为, 试件的横向尺寸为厚度的6倍以上时，两侧散热试件中心的温度影响可以忽略不 计。试件两端面中心处的温度差就等于无限大平板两端面的温度差。 根据势平衡原理，在准态时，有下列关系： dt d 式中：F 为试件的横截面（m 2）; C 为试件的比热（J/kg ? C ）； P 为试件的密 度（kg/m 3 ），1200 kg/m 3 ； 鱼为准稳态时的温升速率「C /s ）; d q c c = P6色 d 实验时， dt 以试件中心处为准。 d 实验装置（图2） 按上述理论及物理模型设计的实验装置如图2所示，说明如下: 2t 第三章 非稳态导热习题 例一腾空置于室内地板上的平板电热器，加在其上的电功率以对流换热和辐射换热的方式全部损失于室内。电热器表面和周围空气的平均对流换热系数为h ，且为常数，室内的空气温度和四壁、天花板及地板的温度相同，均为t f 。电热器假定为均质的固体，密度为ρ，比热为c ，体积为V , 表面积为A ，表面假定为黑体，因其导热系数足够大，内部温度均布。通电时其温度为t 0。试写出该电热器断电后温度随时间变化的数学描述。 [解] 根据题意，电热器内部温度均布，因此可用集中参数分析法处理。 电热器以辐射换热方式散失的热量为： 44r f ()A T T σΦ=- （1） 以对流换热方式的热量为： c f ()hA T T Φ=- （2） 电热器断电后无内热源，根据能量守恒定律，散失的热量应等于电热器能量的减少。若只考虑电热器的热力学能 r c d d T cV ρτ -Φ-Φ= （3） 因此，相应的微分方程式为： 44f f d ()()d T A T T hA T T cV σρτ -+-=- （4） 初始条件为： τ=0， t =t 0 （5） 上述两式即为该电热器断电后温度随时间变化的数学描述。 例 电路中所用的保险丝因其导热系数很大而直径很小可视为温度均布的细长圆柱体，电流的热效应可视为均匀的内热源。如果仅考虑由于对流换热的散热量，保险丝表面和温度为t f 的周围空气之间的平均对流换热系数为h ，且为常数。试求该保险丝通电后温度随时间的变化规律。 [解] 根据题意，保险丝内部温度均布，因此可用集中参数分析法处理。 保险丝表面以对流换热方式散失的热量为： c f ()hA T T Φ=- （1） 保险丝的内热源为： Q 0=IR 2 （2） 式中：I ——保险丝通过的电流，（A ）； R ——保险丝的电阻，Ω。 根据能量守恒，散失的热量与内热源所转变成的热量的和应等于保险丝能量的变化。若只考虑保险丝的热力学能 c 0d d T Q cV ρτ -Φ+= （3） 二维稳态导热的数值计算 2.1物理问题 一矩形区域，其边长L=W=1，假设区域内无内热源，导热系数为常数，三个边温度为T1=0，一个边温度为T2=1，求该矩形区域内的温度分布。 2.2 数学描述 对上述问题的微分方程及其边界条件为：2222T T 0x y ??+=?? x=0，T=T 1=0 x=1，T=T 1=0 y=0，T=T 1=0 y=1，T=T 2=1 该问题的解析解：112121(1)sin n n n sh y T T n L x n T T n L sh W L ππππ∞=??? ?---??? ?=? ?-????? ??? ∑ 2.3数值离散 2.3.1区域离散 区域离散x 方向总节点数为N ，y 方向总节点数为M ，区域内任一节点用I,j 表示。 2.3.2方程的离散 对于图中所有的内部节点方程可写为：2222,,0i j i j t t x y ??????+= ? ??????? 用I,j 节点的二阶中心差分代替上式中的二阶导数，得： +1,,-1,,+1,,-1222+2+0i j i j i j i j i j i j T T T T T T x y --+= 上式整理成迭代形式：()()22 ,1,-1,,1,-12222+2() 2()i j i j i j i j i j y x T T T T T x y x y ++=++++ (i=2,3……,N-1)，(j=2,3……,M-1) 补充四个边界上的第一类边界条件得：1,1j T T = (j=1,2,3……,M) ,1N j T T = (j=1,2,3……,M) ,1i j T T = (i=1,2,3……,N)传热学 第3章-非稳态导热分析解法
非稳态(准稳态)法测材料的导热性能实验
一维非稳态导热的数值计算
非稳态法测材料的导热性能 实验报告
一维非稳态热传导热源反问题研究
第三章非稳态导热分析解法
非稳态导热实验报告
非稳态导热例题
一维非稳态导热问题的数值解
非稳态法测材料导热性能的实验
非稳态法测材料的导热性能实验报告
非稳态导热习题
传热学上机C程序源答案之二维非稳态导热的数值计算