5、、计算二重积分??+D
dxdy y x )23(，其中Ｄ是由X 轴、Y 轴及直线2=+y x 所围
成的区域
解：??+D
dxdy y x )23( ?
?-+=x dy y x dx 20
2
)23(
?++-=2
2)422(dx x x
＝
3
20
解法二：原式?
?-+=y dx y x dy 20
2
)23(
?+--=2
02)622
1
(dy y y 3
20
=
6、、计算二重积分??
D
dxdy x
x
sin ，其中Ｄ是由直线x y =和曲线2x y =所围成的闭区域． 解：??
D
dxdy x x
sin ??=x x dy x
x dx 2sin 10
dx x x x
x
)(sin 210-=?
dx x x x )sin (sin 10
-=?
1sin 1-=
7、计算二重积分2D
x ydxdy ??，其中Ｄ是由X 轴、Y 轴及直线2x y +=所围成的区
域
解：??D
ydxdy x 2 ?
?-=x ydy x dx 20
22
?+-=20234
)44(21dx x x x ＝
15
8
解法二：原式?
?-=y ydx x dy 20
22
?-+-=2
432)6128(31dy y y y y 15
8
=
8、计算二重积分2
y D
e dxdy ??，其中Ｄ是由直线,1,0y x y x ===所围成的闭区域
解： 本题只能先对x 积分再对y 积分
??D
y dxdy e 2
??=y
y
dx e dy 0
102
dy ye y 2
10
?
=
)(2
12
102y d e y ?=
)1(2
1
-=e 五、应用题
１．求由曲线3x y =及直线0,2==y x 所围成的图形的面积以及由该图形绕y 轴
旋转一周所产生的旋转体的体积（要求作出草图）. 阴影部分面积?=2
03dx x S
2
414x =
= 4
旋转体的体积?-=8
0231
2])(2[dy y V y π
08
)5
34(35y y -=π
π5
64
=
2、求由曲线2y x =和2x y =所围成的图形的面积以及由该图形绕Ｙ轴旋转 一周所产生的旋转体的体积（要求作出草图）.
解：阴影部分面积?-=1
02)(dx x x S
01
)3
132(323
x x -=
= 3
1
旋转体的体积?-=1
222])()[(dy y y V y π
01)5
1
21(52y y -=π
π10
3
=
大学高等数学第四章 不定积分答案
第四章 不定积分 习 题 4-1 1.求下列不定积分： （1）解：C x x x x x x x x x +-=-= -??- 25 232 122d )5(d )51( （2）解：?+x x x d )32(2 C x x x ++ ?+ =3 ln 29 6 ln 6 22 ln 24 （3）略. (4) 解：? ??-+ -= +-x x x x x x x d )1(csc d 1 1d )cot 1 1( 2 2 2 2 =C x x x +--cot arcsin (5) 解：?x x x d 2103 C x x x x x x += ==??80 ln 80 d 80 d 810 (6) 解：x x d 2 sin 2 ?=C x x x x ++= -= ?sin 2 12 1d )cos 1(2 1 (7)? +x x x x d sin cos 2cos C x x x x x x x x x x +--=-= +-= ?? cos sin d )sin (cos d sin cos sin cos 2 2 (8) 解：? x x x x d sin cos 2cos 2 2 ?? - = -= x x x x x x x x d )cos 1sin 1( d sin cos sin cos 2 2 2 2 2 2 C x x +--=tan cot (9) 解： ???-=-x x x x x x x x x d tan sec d sec d )tan (sec sec 2 =C x x +-sec tan (10) 解：},,1max{)(x x f =设?? ? ??>≤≤--<-=1,11,11,)(x x x x x x f 则. 上连续在),()(+∞-∞x f ， )(x F 则必存在原函数，???? ???>+≤≤-+-<+-=1,2 1 11, 1,21)(32212 x C x x C x x C x x F 须处处连续，有又)(x F )2 1(lim )(lim 12 1 21 C x C x x x +- =+-+-→-→ ，,2 1112C C +- =+-即
1-定积分与微积分基本定理(理)含答案版
定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝?? ?0 1(x 2－x )d x B ．S ＝?? ?0 1 (x －x 2)d x C ．S ＝?? ?0 1 (y 2－y )d y D ．S ＝??? 1 (y － y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图 形的面积S ＝?? ?0 1 (x －x 2)d x . 2．如图，阴影部分面积等于( ) A ．2 3 B ．2－3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为
S ＝??? -3 1 (3－x 2 －2x )d x ＝(3x －1 3x 3－x 2)|1 －3＝32 3. 4－x 2d x ＝( ) A ．4π B ．2π C ．π [答案] C [解析] 令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积， ∴S ＝1 4×π×22＝π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( ) A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面 B ．在t 1时刻，甲车在乙车后面 C ．在t 0时刻，两车的位置相同 D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t 0，t 1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积
微积分第4章习题解答(上)
第四章 习题参考解答 习题4-1 1、下列各方程中,哪些是微分方程,哪些不是微分方程?若是微分方程，请指出其阶数 （1）是一阶微分方程； （2）不是微分方程； （3）是一阶微分方程； （4）是二阶微分方程； （5）是一阶微分方程； （6）是一阶微分方程。 2、在下列各题所给的函数中，检验其中哪个函数是方程的解?是通解还是特解? （1）（B ）是特解 （C ）是通解； （2）(A)是特解 （B ）是通解； （3）（A ）是通解（B ）是特解 3、求下列各微分方程在指定条件下的特解 （1）解：x x x y xe dx xe e dx ==-?? (1)x y e x C ∴=-+ 将(0)1y =代入上式，得2C = 故满足初始条件的特解为：2)1(+-=x e y x （2）解：C x x dx y +==? ln 将(1)1y =代入上式，得1C = 故满足初始条件的特解为：1ln +=x y 4、写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程 （1）解：设曲线为)(x y y = 由条件得2x y =' （2） 解：设曲线为)(x y y =，则曲线上点),(y x P 处的法线斜率为y k '- =1 由条件知PQ 中点的横坐标为0，所以Q 点的坐标为)0,(x -，从而有 01 ()y x x y -=-' --
即：20yy x '+= 注：DQ PD k = 习题4-2 1、求下列微分方程的通解 （1）sec (1)0x ydx x dy ++= 解：原方程变形为：cos 1x ydy dx x =- + 积分：11 cos 1 x ydy dx x +-=-+?? 得：sin ln 1y x x C =-+++ 所求的通解为：C y x x =++-sin 1ln （2） 10x y dy dx += 解：原方程变形为： 1010 x y dy dx = 积分：1010x y dy dx =? ? 得：1111010ln10ln10 y x C -=+ 所求的通解为：1010x y C --= （3）ln y y y '= 解：原方程变形为： ln dy dx y y = 积分：1ln dy dx y y =? ? 得：ln ln y x C =+，2ln x y C e = 所求的通解为：x Ce y e = 注：21,2C C e C e C ==； （4）tan cot ydx xdy = 解：原方程变形为：cot tan ydy xdx =
定积分及微积分基本定理练习题及答案
1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A ．a2，c ＝??02sinxdx ＝－ cosx|02＝1－cos2∈(1,2)， ∴c高中数学之定积分与微积分基本定理含答案
专题06 定积分与微积分基本定理 1．由曲线,直线轴所围成的图形的面积为（） A．B．4C．D．6 【答案】A 【解析】 联立方程得到两曲线的交点（4，2）， 因此曲线y，直线y＝x﹣2及y轴所围成的图形的面积为： S． 故选:A． 2．设f（x）=|x﹣1|，则=（） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【解析】 画出函数的图像如下图所示，根据定积分的几何意义可知，定积分等于阴影部分的面积，故定积分为 ，故选A.
3．曲线与直线围成的封闭图形的面积是（） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】 令，则，所以曲线围成的封闭图形面积为 ，故选D 4．为函数图象上一点，当直线与函数的图象围成区域的面积等于时，的值为 A．B．C．1D． 【答案】C 【解析】 直线与函数的图象围成区域的面积S dx ＝
∴ 故选：C 5．由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为( ) A．B．1C．D． 【答案】B 【解析】 题目所求封闭图形的面积为定积分，故选B. 6．如图，矩形中曲线的方程分别是，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( ) A．B．C．D． 【答案】A 【解析】 依题意的阴影部分的面积，根据用几何概型概率计算公式有所求概率为，故选A. 7．（） A．B．-1C．D． 【答案】C 【解析】 解：
． 故选：C． 8．，则T的值为 A．B．C．D．1 【答案】A 【解析】 由题意得表示单位圆面积的四分之一，且圆的面积为π， ∴， ∴． 故选A． 9．下列计算错误 ．．的是（） A．B． C．D． 【答案】C 【解析】 在A中，， 在B中，根据定积分的几何意义，， 在C中，， 根据定积分的运算法则与几何意义，易知，故选C.
微积分第五章第六章习题答案
习题5.1 1.（1） sin x x ；3sin x （2）无穷多 ；常数（3）所有原函数（4）平行 2. 23x ；6x 3.（1）3223 x C --+（2）323sin 3x x e x C +-+（3）3132221(1565(2))15x x x x C -++-+ （4 2103)x x C -++ （5）4cos 3ln x x C -++（6）3 23 x x ex C +-+ （7） sin 22 x x C -+（8 ）5cos x x C --+ 4. 3113y x =+ 5. 32()0.0000020.0034100C x x x x =-++；(500)1600;(400)(200)552C C C =-= 习题5.2 1.（1）1a （2）17（3）110（4）12-（5）112（6）12（7）2-（8）15（9）-（10）12 - 2. （1）515t e C + （2）41(32)8x C --+（3）1ln 122x C --+（4）231(23)2 x C --+ （5 ）C -（6）ln ln ln x C +（7）111tan 11x C +（8）212 x e C --+ （9）ln cos ln sin x x C -++（10 ）ln C -+（11）3sec sec 3 x x C -++ （12 ）C （13）43ln 14x C --+（14）2sec 2 x C + （15 12arcsin 23x C + （16）229ln(9)22 x x C -++ （17 C （18）ln 2ln 133 x x C -+-+ （19）2()sin(2())4t t C ?ω?ωω++++ （20）3cos ()3t C ?ωω +-+ （21）cos 1cos5210x x C -+ （22）13sin sin 232x x C ++（23）11sin 2sin12424 x x C -+ 习题5.3 1.（1）arcsin ,,u x dv dx v x === （2）,sin ,cos u x dv xdx v x ===-
高等数学(同济大学版)第四章练习(含答案)
第四章 不定积分 一、学习要求 1、理解原函数与不定积分的概念及性质。 2、掌握不定积分的第一类换元法、第二类换元法及分部积分法。 二、练习 1．在下列等式中，正确的结果是( C ). A. '()()f x dx f x =? B.()()df x f x =? C. ()()d f x dx f x dx =? D.[()]()d f x dx f x =? 2.若ln x 是函数()f x 的一个原函数，则()f x 的另一个原函数是（ A ）； A. ln ax B.1ln ax a C.ln x a + D.21(ln )2 x 3.设()f x 的一个原函数是2x e -，则()f x ＝（ B ）； A. 2x e - B. 22x e -- C. 24x e -- D. 24x e - 4．'' ()xf x dx =? （ C ）. A.'()xf x C + B. '()()f x f x C -+ C. '()()xf x f x C -+ D. '()()xf x f x C ++. 5 ．将 化为有理函数的积分，应作变换x =（ D ）. A. 3t B. 4 t C. 7 t D. 12 t 6.dx = 1/7 ()73d x -， 2cos 2dx x = 1/2 ()tan 2d x ，2 19dx x =+1/3 ()arctan3d x ； 7. 已知(31)x f x e '-=，则()f x =1 3 3x e c ++. 8.设()f x 是可导函数，则'()d f x x ?为()f x C +. 9.过点(1,2)且切线斜率为34x 的曲线方程为41y x =+ 10.已知()cos xf x dx x C =+?，则()f x =sin x x - 11.求下列不定积分 解: (1) 22 32tan 1tan tan tan 1sin 3 x dx xd x x c x ==+-?? (2) 22arctan 11 x x x x x x x dx e dx de e c e e e e -===++++??? 5 34 2 (3)t a n s e c t a n s e c s e c x x d x x x d x ? =??? 22 2(s e c 1)s e c s e c x x d x =-?? ()642sec 2sec sec sec x x x d x =-+?753121 sec sec sec 753 x x x c = -++
微积分二课后题答案,复旦大学出版社第五章
第五章 习题5-1 1.求下列不定积分： (1) 2 5)x -d x ; (2) 2 x ; (3) 3e x x ?d x ； (4) 2cos 2 x ?d x ； (5) 23523x x x ?-??d x ； (6) 22cos 2d cos sin x x x x ?. 解 5 15173 2 2222 22210 (1) 5)(5)573d d d d x x x x x x x x x x C -=-=-=-+??? 2. 解答下列各题： (1) 一平面曲线经过点(1，0)，且曲线上任一点(x ,y )处的切线斜率为2x -2,求该曲线方程； (2) 设sin x 为f (x )的一个原函数，求 ()f x '?d x ； (3) 已知f (x )的导数是sin x ，求f (x )的一个原函数； (4) 某商品的需求量Q 是价格P 的函数，该商品的最大需求量为1000(即P=0时，Q =1000),已知需求量的变化率(边际需求)为Q ′(P )=-10001( )3 P ln3,求需求量与价格的函数关系. 解 (1)设所求曲线方程为y =f (x ),由题设有f′(x )=2x -2, 又曲线过点(1,0),故f (1)=0代入上式有1-2+C =0得C =1,所以,所求曲线方程为 2()21f x x x =-+. (2)由题意有(sin )()x f x '=,即()cos f x x =, 故 ()sin f x x '=-, 所以 ()sin sin cos d d d f x x x x x x x C '=-=-=+???. (3)由题意有()sin f x x '=,则1()sin cos d f x x x x C ==-+? 于是 1 2 ()(cos )sin d d f x x x C x x C x C =-+=-++??. 其中12,C C 为任意常数,取120C C ==,得()f x 的一个原函数为sin x -. 注意 此题答案不唯一.如若取121,0C C ==得()f x 的一个原函数为sin x x --. (4)由1()1000( )ln 33 P Q P '=-得 将P =0时,Q =1000代入上式得C =0
微积分刘迎东编第四章习题4.6答案
微积分刘迎东编第四章习题4.6答案
4.6 有理函数的积分 习题4.6 求下列不定积分： （1）3 3 x dx x +? 解： ()()()33223227939272727ln 33239327327ln 3.32 x t t dxx t t t dt t t C x t x x x x C ??+=-+-=-+-+ ?+?? ++=-++-++?? （2）223310 x dx x x ++-? 解：()2222231310ln 310.310310 x dx d x x x x C x x x x +=+-=+-++-+-?? （3）2125x dx x x +-+? 解： ()()()()22222222511122412252252251211ln 25arctan .22 d x x d x x x dx dx x x x x x x x x x x C -+-+-+==+-+-+-+-+-=-+++???? （4）() 21dx x x +? 解：()()()()22 222222211111ln .2212111d x dx x d x C x x x x x x x ??==-=+ ?++++????? （5）331 dx x +? 解：
( )( )322222223121213ln 1111211131ln 1212121ln 1ln 1.2x x dx dx x dx x x x x x x d x x x dx x x x x x x C ---??=+=+- ?++-+-+?? -+=+-+-+??-+ ?? ???=+--+++????? （6）()() 221 11x dx x x ++-? 解：()()()222211111122ln 1.1121111x dx dx x C x x x x x x ?? ?+=+-=-++ ?-+++-+ ??? ?? （7）()()() 123xdx x x x +++? 解： ()()()13222123123132ln 2ln 1ln 3.22 xdx dx x x x x x x x x x C ??-- ?=++ ?++++++ ??? =+-+-++?? （8）5438x x dx x x +--? 解： ()()542233232 8811184332118ln 4ln 13ln 1.32x x x x dx x x dx x x x x x x x x dx x x x x x x x x x C ??+-+-=+++ ? ?-+-?? ??=+++-- ?+-?? =+++-+--+??? （9）()() 221dx x x x ++?
定积分及微积分基本定理练习题及答案
定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·山东日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A ．a2，c ＝??0 2sinxdx ＝－cosx|02 ＝1－cos2∈(1,2)， ∴c高等数学 第四章不定积分课后习题详解
第4章不定积分 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！
★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C --==-+? ★(2) dx ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22 x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 22 3311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：422 32233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
微积分总复习题与答案
第五章 一元函数积分学 例1：求不定积分sin3xdx ? 解：被积函数sin3x 是一个复合函数，它是由()sin f u u =和()3u x x ?==复合而成，因此，为了利用第一换元积分公式，我们将sin3x 变形为'1 sin 3sin 3(3)3x x x = ，故有 ' 111 sin 3sin 3(3)sin 3(3)3(cos )333 xdx x x dx xd x x u u C ===-+??? 1 3cos33 u x x C =-+ 例2：求不定积分 (0)a > 解：为了消去根式，利用三解恒等式2 2 sin cos 1t t +=，可令sin ()2 2 x a t t π π =- << ，则 cos a t ==，cos dx a dt =，因此，由第二换元积分法，所以积分 化为 2221cos 2cos cos cos 2 t a t a tdt a tdt a dt +=?==??? 2222cos 2(2)sin 22424a a a a dt td t t t C =+=++?? 2 (sin cos )2 a t t t C =++ 由于sin ()2 2 x a t t π π =- << ，所以sin x t a = ，arcsin(/)t x a =，利用直角三角形直接写 出cos t a == 邻边斜边，于是21arcsin(/)22a x a C =+ 例3：求不定积分sin x xdx ? 分析：如果被积函数()sin f x x x =中没有x 或sinx ，那么这个积分很容易计算出来，所以可以考虑用分部积分求此不定积分，如果令u=x ，那么利用分部积分公式就可以消去x （因为' 1u =） 解令,sin u x dv xdx ==，则du dx =，cos v x =-. 于是sin (cos )(cos )cos sin x xdx udv uv vdu x x x dx x x x C ==-=---=-++???? 。熟悉分部积分公式以后，没有必要明确的引入符号,u v ，而可以像下面那样先凑微分，然后直接用分部积分公式计算： sin cos (cos cos )cos sin x xdx xd x x x xdx x x x C =-=--=-++???
高等数学第四章不定积分课后习题详解
高等数学第四章不定 积分课后习题详解 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1)
思路: 被积函数52 x -=，由积分表中的公式（2）可解。 解：5 322 23x dx x C --==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 3332223()2 4dx x x dx x dx x dx x x C ---=-=-=-+???? ★(3)22x x dx +?（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：22 32122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++???（） ★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：3153 222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +?
思路:注意到22222 1111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积 分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34134（-+-）2 思路:分项积分。 解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（-+-）2 223134ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++?? ★★ (9) 思路 = 11172488x x ++==，直接积分。 解 ：715888.15x dx x C ==+? ★★(10)221(1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解：222222111111()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)211 x x e dx e --?
定积分与微积分含答案
定积分与微积分基本定理 基础热身 1．已知f (x )为偶函数，且 ??0 6f(x)d x ＝8，则? ?6－6f(x)d x ＝( ) A ．0 B ．4 C ．8 D ．16 2． 设f(x)＝??? x 2，x ∈[0，1]， 1 x ，x ∈1，e ] (其中e 为自然对数的底数)，则??0 e f(x)d x 的值为( ) B ．2 C ．1 3．若a ＝??0 2x 2d x ，b ＝??0 2x 3d x ，c ＝??0 2sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关 系是( ) A ．aA ．0 B ．1 C ．0或1 D ．以上均不对 9．如果10 N 的力能使弹簧压缩10 cm ，为在弹性限度内将弹簧拉长6 cm ，则力所做的功为( ) A ． J B ． J C ． J D ． J 10．设函数y ＝f(x)的定义域为R ＋，若对于给定的正数K ，定义函 数f K (x )＝????? K ，fx ≤K ，fx ，fx >K ， 则当函数f (x )＝1x ，K ＝1时，定积分??214f K (x)d x 的值为________． (x －x 2)d x ＝________. 12． ∫π 20(sin x ＋a cos x)d x ＝2，则实数a ＝________. 13．由抛物线y 2 ＝2x 与直线x ＝12及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为________． 14．(10分)已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的图象如图K 15－2所示，直线y ＝0在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围 成的区域(阴影)面积为27 4，求f(x)的解析式． 图K 15－2 15．(13分)如图K 15－3所示，已知曲线C 1：y ＝x 2与曲线C 2：y ＝－x 2＋2ax(a>1)交于点O 、A ，直线x ＝t (00)，
微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第九章习题详解
第9章 习题9-1 1． 判定下列级数的收敛性： (1) 11 5n n a ∞ =?∑（a ＞0）； (2) ∑∞ =-+1 )1(n n n ; (3) ∑∞ =+1 31 n n ; (4) ∑∞ =-+12)1(2n n n ; (5) ∑∞ =+11ln n n n ; (6) ∑∞ =-12)1(n n ; (7) ∑∞ =+1 1 n n n ; (8) 0(1)21n n n n ∞ =-?+∑． 解：（1）该级数为等比级数，公比为1a ,且0a >,故当1 ||1a <,即1a >时，级数收敛，当1 | |1a ≥即01a <≤时，级数发散. （2 ） (1n S n =++ ++ 1= lim n n S →∞ =∞ ∴ 1 n ∞ =∑发散. （3）113 n n ∞ =+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前3项得到的级数，而调和级数11 n n ∞ =∑发散，故原 级数 11 3 n n ∞ =+∑发散. （4） 1112(1)1(1)22 2n n n n n n n ∞ ∞-==?? +--=+ ???∑∑ 而1112 n n ∞ -=∑,1(1)2m n n ∞ =-∑是公比分别为1 2的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质
知111(1)2 2n n n n ∞ -=??-+ ???∑收敛，即原级数收敛. （5） ln ln ln(1)1 n n n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+ ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+ 故lim n n S →∞ =-∞,所以级数 1 ln 1 n n n ∞ =+∑发散. （6） 2210,2n n S S +==- ∴ lim n n S →∞ 不存在，从而级数 1 (1) 2n n ∞ =-∑发散. （7） 1 lim lim 10n n n n U n →∞ →∞+==≠ ∴ 级数 1 1 n n n ∞ =+∑发散. （8） (1)(1)1 , lim 21212 n n n n n n U n n →∞--==++ ∴ lim 0n x U →∞≠，故级数1 (1)21n n n n ∞ =-+∑发散. 2． 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和： (1) ∑∞ =??? ??+13121n n n ； (2) ※ ∑∞ =++1)2)(1(1n n n n ; (3) ∑∞ =?1 2sin n n n π ; (4) 0πcos 2n n ∞ =∑． 解：（1）1111, 23n n n n ∞ ∞==∑∑都收敛，且其和分别为1和12，则1112 3n n n ∞ =?? + ???∑收敛，且 其和为1+ 12=3 2 . （2） 11121(1)(2)212n n n n n n ?? =-+ ?++++??
微积分定积分练习题(有答案)
1利用定积分的几何意义计算」''1 - x2dx. 2. 计算定积分"2(x+ 1)dx. J i 3. 定积分"bf(x)dx的大小() ?a A .与f(x)和积分区间［a, b］有关，与E的取法无关 B.与f(x)有关，与区间［a，b］以及&的取法无关 C .与f(x)以及8的取法有关，与区间［a, b］无关 D .与f(x)、区间［a，b］和8的取法都有关 4. 在求由x= a，x= b(a8. 10 利用定积分的几何意义求 —9 — x — 3 2dx. (1)| 2(x 2+ 2x + 1)dx ; 广n (2) 1 (sinx — cosx)dx ； (3)| J* 2 / 、 1 x — X 2 +_ 1 丿。 1 < X 丿 (4) 0-?cosx + e x )dx. ⑹p (2x + 1)dx ; ⑺ 丿0 1 2x + 一 dx x 广1 ⑺f; x (8) 1x 3dx ; ■ 0 (9) 1e x dx. 11 求 y = — x 2与 y = x — 2围成图形的面积S. 15 A.— 4 17 B.— 4 1 C.—|n 2 2 D . 2ln2 已知"2 f(x)dx = 3，贝U 2 [f(x) + 6]d 1 1 12 .由直线x =2，x =2，曲线y =严x 轴所围图形的面积为 13.已知 f 1— 1(x 3 + ax + 3a — b)dx= 2a + 6 且 f(t) = f (x 3 + ax + 3a — b)dx 为偶函数， 求下列定积分: dx ; 2 1 x 2dx
微积分(经管类)第五章答案
微积分（经管类）第五章答案 5.1 定积分的概念与性质 一、1、∑=→?n i i i x f 1 )(lim ξλ； 2、被积函数,积分区间,积分变量； 3、介于曲线)(x f y =,x 轴,直线b x a x ==,之间各部分面积的代数和； 4、? b a dx ； 5、 ?? +b c c a dx x f dx x f )()(； 6、b a a b M dx x f a b m b a <-≤≤-? ,)()()(； 7、 ? b a dx x f )( ?-=a b dx x f )(； 8、)(ξf 与a b -为邻边的矩形面积；二、略. 三、 ? -231 cos xdx . 四、略。 五、(1)+； (2)-； (3)+. 六、(1)<; (2)<. 七、略。 5.2. 微积分基本定理 一、1、0； 2、)()(a f x f -； 3、 )1ln(23 +x x ； 4、 6 5 ； 5、(1)ππ,； (2)0,0； 6、(1)0； (2)0。 7、;6 1 45 8、 6 π ； 9、1. 二、1、 1 sin cos -x x ；2、)sin cos()cos (sin 2 x x x π?-； 3、2-.
三、 1、852； 2、3 π； 3、14+π ； 4、4. 四、1、0； 2、10 1 . 五、略。 六、 3 35π , 0. 七、???? ???>≤≤-<=π πφx x x x x ,10,)cos 1(210,0)(. 5.3. 定积分的换元积分法与分部积分法 一、1、0； 2、34-π； 3、2π； 4、32 3 π； 5、0. 6、e 21- ； 7、)1(412+e ； 8、2 3 ln 21)9341(+-π. 二、1、 41； 2、3 322-； 3、1-2ln 2； 4、34； 5、22； 6、 8 π；7、417；8、2ln 21 ； 9、1-e . 10、211cos 1sin +-e e ； 11、)11(2e -； 12、21 2ln -； 13、 2ln 3 3 -π； 14、22+π；15、3ln 24-；16、2+)2ln 3(ln 21-。 三、 )1ln(1 -+e . 六、2. 八、8. 5.5 反常积分 一、1、1,1≤>p p ；2、1,1≥k k ； 4、发散， 1； 5、过点x 平行于y 轴的直 线左边,曲线)(x f y =和x 轴所围图形的面积 . 二、1、 1 2 -p p ； 2、π； 3、!n ； 4、发散；
高等数学 第四章不定积分课后习题详解
第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题41 1、求下列不定积分: 知识点:直接积分法得练习——求不定积分得基本方法。 思路分析:利用不定积分得运算性质与基本积分公式,直接求出不定积分！★(1) 思路: 被积函数 ,由积分表中得公式(2)可解。 解: ★(2)
思路:根据不定积分得线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - -=-=-=-+???? ★(3) 思路:根据不定积分得线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解: ★(4) 思路:根据不定积分得线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解: ★★(5) 思路:观察到后,根据不定积分得线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解:4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6) 思路:注意到,根据不定积分得线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解: 注:容易瞧出(5)(6)两题得解题思路就是一致得。一般地,如果被积函数为一个有理得假分式,通常先将其分解 为一个整式加上或减去一个真分式得形式,再分项积分。 ★(7) 思路:分项积分。 解:3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-? ????34134（- +-）2 ★(8) 思路:分项积分。 解: 2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x -=-=-+++? ? ★★(9) 思路:？瞧到,直接积分。
第五章习题与答案高等数学
第五章 定积分 一、填空题 1. [)_____)2(1)(0)(30 2 =+=∞+?f x dt t f x f x ，则上连续，且， 在设 [) 02. ()0()(1cos ) , ()_____2 x f x f t dt x x f π +∞=+=?在，上连续，且则 3. 4 1 =dx ? -4. 31d =x x +?0 1 1 5. =-? 6. 1?= 7. []_____)()(=-? -a a dx x f a a x f 上连续的奇函数，则，为设 8. []______)()(=-? -a a dx x f a a x f 上连续的偶函数，则，为设 9. ? =-210 2 _______1x xdx 10. ? =+-1 0 ______11dx x x
11. ________a -=? 12. _______cos 0 2=? π xdx 13. ________sin 1 2 2=-? dx x π π 14. []_________) (1) (31)(3 1 2=+''?dx x f x f x f 上连续，则， 在设 15. __________11 2 =-? x dx 16. _________2cos 40 5=?dx x π 17. ? =20 4_________sin π xdx 18. ___________321 =?? dx x x
二、选择题 []{}[]1 11110 1 1.1()lim ()()lim ()()lim ()() ()lim ()(max 12)n n n n i i n i i i i i n i n i i i i i i i b a i b a i A f b a B f b a n n n n C f x x x D f x x i n x x λξξξλξ→∞→∞==-→∞ =-→=---?? ??--?????? ?? ?∈?=?=∈∑∑∑∑L 定积分所表示的和式极限是（ ） ． ．． ，． ，，，， [][]2.()()() ()() ()f x a b f x a b A B C D 函数在闭区间，上连续是在，上可积的（） ．必要条件 ．充分条件 ．充分必要条件．既非充分也非必要条件 [][]3.()()()()d ()()d ()()()()()d ()2 b b a a b a a b y f x x a x b a b x S A f x x B f x x f b f a b a C f x x D ===<=+-???由，上连续曲线，直线，和轴围成图形面积（ ） ． ． ． ． 2 1110 4.()()d 0 ()3()3()3()3x x x f x f x x e x A e B e C e D e ---≥?==?=+=+-? 设连续，，且，则 ． ．．
