中学自主招生考试数学试卷(含答案)
2015年温州中学自主招生素质测试数学试题
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置． 1．关于反比例函数4
y x
=
的图象，下列说法正确的是（ ▲ ） A ．必经过点（1，1） B ．两个分支分布在第二、四象限
C ．两个分支关于x 轴成轴对称
D ．两个分支关于原点成中心对称
2． 已知2
1
x y =??
=?是二元一次方程组71ax by ax by +=??-=?的解，则a b -的值为（ ▲ ）
A ．1-
B ．1
C ．2
D ．3
3． 已知平面上的n 个点，任三个点都能构成直角三角形，则n 的
最大值为（ ▲ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
4．如图1，AC 、BC 为半径为1的⊙O 的弦，D 为BC 上动点，
M 、N 分别为AD 、BD 的中点，则ACB ∠sin 的值可表示为
（ ▲ ）
A ．DN
B ．DM
C ．MN
D ．CD
5．已知甲盒中有若干个白球，乙盒中有若干个白球和黑球，白球和
黑球的数量均多于3个．从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中．放入i 个球后，从甲盒中取1个球是白球的概率记为()1,2i p i =，则（ ▲ ） A ．12p p >，B ．12p p =， C ．12p p <， D ．以上均有可能
6．已知5个实数12345,,,,a a a a a 满足123450a a a a a ≤≤≤≤≤，且对任意的正整数
(),15i j i j ≤≤≤，均存在k ()1,2,3,4,5k =，使得k a =j i a a -．
① 10a =； ② 524a a =；③422
3a a a =；④ 当15i j ≤≤≤时，i j a a +的可能值共有9个．
则上述论断正确的有（ ▲ ）个． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
7．二元方程2
2
3
3
y x y x =+的正整数解的组数为（ ▲ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8．如图2，点F E D ,,分别是ABC ?三边上点，且满足
4CD DB =，4AE EC =，4BF FA =，AD 、BE 、CF
两两分别交于1A 、1B 、1C ，若ABC ?的面积为1，则
111C B A ?的面积为（ ▲ ）
图1
B
图2
A ．
17 B ．316 C ．7
3 D ．16
31 二、填空题：本大题共7小题，每小题6分，共42分．请将答案填在答题卷的相应位置． 9
．设2015-a
，2015+的小数部分为b ，则()()12a b -+的值 为 ▲ ．
10．若实数b a ,满足12
2
=+b a ，则},max{b a b a ++的最大值为 ▲ ．（其中},max{b a 表示b a ,中的较大者）
11．6名儿童分坐两排，每排3人要求面对面而坐，但其中两个儿童不可相邻 ，也不可面对面，有 ▲ 种排法．
12．如图3，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，M 为棱11C D 的中点，点P 为平面
11A BCD 上的动点，则1MP B P +的最小值为 ▲ ．
13．若正实数c b a ,,满足
c b a c b a ++=
++2015111，则abc
a c c
b b a )
)()((+++的值为 ▲ ． 14．如图4是一个残缺的乘法竖式，在每个方框中填入一个不是2的数字，可使其成为正确
的算式，那么所得的乘积是 ▲ ．
15． 对于任意的102x ≤≤，有1ax b +≤，则对于任意的1
02
x ≤≤，bx a +的最大值 为 ▲ ．
×
2
2
图4
图3
1A
2015年温州中学自主招生素质测试数学试题
答题卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
二、填空题：本大题共7小题，每小题6分，共42分．
9．；10．；11．；
12．；13．；14．；
15．；
三、解答题：（本大题共5小题，16题8分，17、18、19、20题各15分，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．在函数y=x的取值范围．
17． 如图5，,,,M A B C 为抛物线2
y ax =上不同的四点，()2,1M -，线段MC MB MA ,,与
y 轴的交点分别为,,E F G ，且1EF FG ==，
（1）若F 的坐标为()0,t ，求点B 的坐标（用t 表示）； （2）若AMB ?的面积是BMC ?面积的2
1
，求直线MB 的解析式．.
图5
18．如图6，在ABC ?中，BAC ∠的平分线交BC 于点M ，点D 、E 分别为ABC ?的内切圆在边AB 、AC 上的切点，点1I 、2I 分别为ABM ?与ACM ?的内心．
求证：2
212221I I EI DI =+．
19．试求出所有的正整数k ，使得对一切奇数10n >，数165n n
+均可被k 整除．
图6
20．如图7，在ABC ?中，AD 为边BC 上的高，AB DE ⊥于点E ，AC DF ⊥于点F ，
EF 与AD 交于G 点，BEG ?与CFG ?的外心分别为1O 和2O ，求证：BC O O //21．
O 2
O 1
D
B
C
图7
温州中学2014年自主招生综合素质测试笔试
数学试题答题卷
二、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案
D
A
B
C
A
C
A
C
二、填空题：本大题共7小题，每小题6分，共42分．
9． 2- ； 10． 5 ； 11． 384 ；
12．
3
2
； 13． 2014 ； 14． 30096 ；
15． 4
三、解答题：（本大题共5小题，16题8分，17、18、19、20题各15分，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．在函数246y x x =
--中，求自变量x 的取值范围
解：[][]2,06,8-U
17． 如图，,,,M A B C 为抛物线2
y ax =上不同的四点，()2,1M -，线段MC MB MA ,,与y
轴的交点分别为,,E F G ，且1EF FG ==，
（1）若F 的坐标为()0,t ，求点B 的坐标（用t 表示）； （2）若AMB ?的面积是BMC ?面积的2
1
，求直线MB 的解析式.
解：（1）∵()0,F t ，∴可设直线MB 的解析式为y kx t =+， 由点()2,1M -在抛物线2
y ax =上得14a =
，∴214
y x = 由点()2,1M -在直线MB 上得12k t =-+ 将y kx t =+代入2
14
y x =
整理得：2440x kx t --=
∴4M B x x t ?=-即24B x t -?=-，∴2B x t =，从而得2
B y t =
故所求点B 的坐标为()
22,t t
（2）（解法一）∵()0,F t ，∴()0,1E t -， ()0,1G t + 由（1）同理可得点()
22(1),(1)A t t --，()
22(1),(1)C t t ++
2AMB S t t ?=+，232CMB S t t ?=++
∵AMB ?的面积是BMC ?面积的
2
1
， ∴2
2
322()t t t t ++=+，解得2t =或1t =-（舍去）∴12
k = ∴所求直线MB 的解析式为1
22
y x =
+， （解法二）过点A 作y 轴的平行线分别交,MB MC 于,L H ， 由EF FG =得HL AL =，∴AMB HMB S S ??=， 又∵2CMB AMB S S ??=∴HBC HMB S S ??= ∴点H 为MC 的中点，22A H M C x x x x ==+ 即4(1)22(1)t t -=-++解得2t =从而12
k = ∴所求直线MB 的解析式为1
22
y x =
+ 18．如图，在ABC ?中，BAC ∠的平分线交BC 于点M ，点D 、E 分别为ABC ?的内切圆在边AB 、AC 上的切点，点1I 、2I 分别为与ABM ?与ACM ?的内心．求证：
2
212221I I EI DI =+．
E
D
I 2
I 1
B
C
A
解：设ABC ?的内切圆在边BC 上的切点为F ，21,I I 在边BC 上的射影分别为Q P ,． 连接P I 1，Q I 2，M I 1，M I 2，F I 1，F I 2． 由内心性质知
AC BA BC BP BF PF -+=
-=2所以QF PM =
易知M I M I 21⊥，从而I 1?所以
Q
I FQ
Q I PM MQ P I PF P I 2211===从而易得F I F I 21⊥，又D I F I 11=所以2
22
12
21EI DI I I +=．
19．试求出所有的正整数k ，使得对一切奇数10n >，数165n n
+均可被k 整除 解：()()()
11111116516516165521161655n n n n n n n n ------+=+-?++=?-?++L L 故有21165n n +，故1,3,7,21k =均满足条件；
下证，对于其他的正整数k 均不满足条件。若1,3,7,21k ≠，但是有165n n k +， 则1111165k +，1313165k +，故有(
)()2
1111
13
1316165
16
5k +-+，即112315k ?。
显然，k 不能整除5，故只有231k 。2311173=?? 考虑11k =，()165250mod11n
n
n
+≡?≡。
故只有1,3,7,21k =。
20．如图，在ABC ?中，AD 为边BC 上的高，AB DE ⊥于点E ，AC DF ⊥于点F ，EF 与AD 交于G 点，BEG ?与CFG ?的外心分别为1O 和2O ，求证：BC O O //21．
证明：延长AD 交ABC ?的外接圆于H ，连接CH BH , 易知 F D E A ,,,四点共圆
所以 AHB ACD ADF AEF ∠=∠=∠=∠
故 B H G E ,,,四点共圆 同理，C H G F ,,,四点共圆 所以 GH 为圆21,O O 的公共弦 故GH O O ⊥21 又BC GH ⊥ 所以BC O O //21.