2019年甘肃省天水市中考数学试卷

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数学试卷 第1页（共32页） 数学试卷 第2页（共32页）

绝密★启用前

甘肃省天水市2019年中考试卷

数 学

一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有

一项是符合题目要求的)

1.已知||1a =,b 是2的相反数,则a b +的值为 ( )

A .3-

B .1-

C .1-或3-

D .1或3-

2.自然界中的数学不胜枚举,如蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料,其厚度为0.000 073米,将0.000 073用科学记数法表示为

( )

A .67310-?

B .40.7310-?

C .47.310-?

D .57.310-? 3.如图所示,圆锥的主视图是

( )

A

B

C

D

4.一把直尺和一块三角板ABC (含30?、60?角)如图所示摆放,直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D 和点E ,另一边与三角板的两直角边分别交于点F 和点A ,且

50CED ∠=?,那么BFA ∠的大小为

( )

A .145?

B .140?

C .135?

D .130?

5.下列运算正确的是

( )

A .222()ab a b =

B .224a a a +=

C .235()a a =

D .236a a a = 6.已知

1

2

a b +=

,则代数式223a b +-的值是

( )

A.2

B .2-

C .4-

D .132

-

7.如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图,现随机向正方形内掷一枚小针,则针尖落在黑色区域内的概率为

( )

A .

14

B .

12

C .

π8

D .π4

8.如图,等边OAB △的边长为2,则点B 的坐标为

( )

A .(1,1)

B .(1,3)

C .(3,1)

D .(3,3)

9.如图,四边形ABCD 是菱形,O 经过点A 、C 、D ,与BC 相交于点E ,连接AC 、AE .若

80D ∠=?,则EAC ∠的度数为 ( )

A .20?

B .25?

C .30?

D .35?

10.已知点P 为某个封闭图形边界上一定点,动点M 从点P 出发,沿其边界顺时针匀速运动一周,设点M 的运动时间为x ,线段PM 的长度为y ,表示y 与x 的函数图象大致如图所示,则该封闭图形可能是

毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________

-------------在

--------------------此--------------------卷--------------------

上--------------------

答--------------------

题--------------------

无--------------------

效---

-------------

数学试卷 第3页（共32页） 数学试卷 第4页（共32页）

( )

A

B C

D

二、填空题(本大题共8小题,每小题4分,共32分.只要求填写最后结果) 11.

函数y =,自变量x 的取值范围是 .

12.分式方程

12

01x x

-=-的解是 . 13.一组数据2.2,3.3,4.4,11.1,a .其中整数a 是这组数据中的中位数,则这组数据的平均数是 . 14.中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益,沿线某地区居民2016年人均年收入20 000元,到2018年人均年收入达到39 200元.则该地区居民年人均收入平均增长率为 .(用百分数表示)

15.二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,若42M a b =+,N a b =-.则M 、N 的大小关系为M N .(填“＞”、“=”或“＜”)

16.如图,在平面直角坐标系中,已知D 经过原点O ,与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点,

点B

坐标为,OC 与D 交于点C ,30OCA ∠=?,则圆中阴影部分的面积

为 .

17.如图,在矩形ABCD 中,3AB =,5AD =,点E 在DC 上,将矩形ABCD 沿AE 折叠,点D 恰好落在BC 边上的点F 处,那么sin EFC ∠的值为 .

18.观察下列图中所示的一系列图形,它们是按一定规律排列的,依照此规律,第2019个

图形中共有 个〇.

第1个

第2个

第3个

第4个

三、解答题(本大题共3小题,共28分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19.(本小题满分10分)

(1)

计算：30(2)2sin30(201|9π)4-+?+-+

(2)先化简,再求值：222

1

()121x x x x x x -÷+-++,其中x 的值从不等式组1215x x -??-?

≤＜的整数解中选取.

20.(本小题满分8分)

天水市某中学为了解学校艺术社团活动的开展情况,在全校范围内随机抽取了部分学生,在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动”项目中,围绕你最喜欢哪一项活动(每人只限一项)进行了问卷调查,并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图. 请你根据统计图解答下列问题：

(1)在这次调查中,一共抽查了 名学生. (2)请你补全条形统计图.

(3)扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角为 度.

(4)请根据样本数据,估计该校1 200名学生中喜欢“舞蹈”项目的共多少名学生？

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数学试卷 第5页（共32页） 数学试卷 第6页（共32页）

21.(本小题满分10分)

如图,一次函数y kx b =+与反比例函数4

y x

=的图象交于(,4)A m 、(2,)B n 两点,与坐标轴分别交于M 、N 两点. (1)求一次函数的解析式；

(2)根据图象直接写出40kx b x

+-＞中x 的取值范围； (3)求AOB △的面积.

四、解答题(本大题共50分.解答时写出必要的演算步骤及推理过程) 22.(本小题满分7分)

某地的一座人行天桥如图所示,天桥高为6米,坡面BC 的坡度为1:1,文化墙PM 在天桥底部正前方8米处(PB 的长),为了方便行人推车过天桥,有关部门决定降低坡度,

使新坡面的坡度为.(

1.414=

1.732=) (1)若新坡面坡角为α,求坡角α度数；

(2)有关部门规定,文化墙距天桥底部小于3米时应拆除,天桥改造后,该文化墙PM

是否需要拆除？请说明理由.

23.(本小题满分10分)

天水某景区商店销售一种纪念品,这种商品的成本价10元/件,已知销售价不低于成

本价,且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元/件,市场调查发现,该商品每天的销售量y (件)与销售价x (元/件)之间的函数关系如图所示. (1)求y 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围；

(2)求每天的销售利润W (元)与销售价x (元/件)之间的函数关系式,并求出每件销售价为多少元时,每天的销售利润最大？最大利润是多少？

24.(本小题满分10分

)

-------------在

--------------------此

--------------------

卷

--------------------

上

--------------------

答

--------------------

题

--------------------

无--------------------

效---

-------------

毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________

数学试卷 第7页（共32页） 数学试卷 第8页（共32页）

如图,AB 、AC 分别是O 的直径和弦,OD AC ⊥于点D .过点A 作O 的切线与OD 的延长线交于点P ,PC 、AB 的延长线交于点F . (1)求证：PC 是O 的切线；

(2)若60ABC ∠=?,10AB =,求线段CF 的长.

25.(本小题满分10分)

如图1,对角线互相垂直的四边形叫做垂直四边形吗.

(1)概念理解：如图2,在四边形ABCD 中,AB AD =,CB CD =,问四边形ABCD 是垂直四边形吗？请说明理由；

(2)性质探究：如图1,四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ,AC BD ⊥. 试证明：2222AB CD AD BC +=+；

(3)解决问题：如图3,分别以Rt ACB △的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE ,连结CE 、BG 、GE .已知4AC =,5AB =,求GE 的长.

图1

图2

图3

26.(本小题满分13分)

如图,已知抛物线2y ax bx c =++经过点(3,0)A -、(9,0)B 和(0,4)C ,CD 垂直于y 轴,交抛物线于点D ,DE 垂直于x 轴,垂足为E ,直线l 是该抛物线的对称轴,点F 是抛物线的顶点.

(1)求出该二次函数的表达式及点D 的坐标；

(2)若Rt AOC △沿x 轴向右平移,使其直角边OC 与对称轴l 重合,再沿对称轴l 向上平移到点C 与点F 重合,得到11Rt AO F △,求此时11Rt AO F △与矩形OCDE 重叠部分图形的面积；

(3)若Rt AOC △沿x 轴向右平移t 个单位长度(06t ＜≤)得到222Rt A O C △,

222Rt A O C △与Rt OED △重叠部分图形的面积记为S ,求S 与t 之间的函数表达式,并

写出自变量t 的取值范围.

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数学试卷 第9页（共32页） 数学试卷 第10页（共32页）

甘肃省天水市2019年中考试卷

数学答案解析

一、选择题 1.【答案】C

【解析】解：∵||1a =,b 是2的相反数, ∴1a =或1a =-,2b =-, 当1a =时,121a b +=-=-； 当1a =-时,123a b +=--=-； 综上,a b +的值为1-或3-, 故选：C .

【考点】有理数的加法. 2.【答案】D

【解析】解：0.000 073用科学记数法表示为57.310-?,故选：D . 【考点】科学记数法表示较小的数. 3.【答案】A

【解析】解：圆锥的主视图是等腰三角形,如图所示：

故选：A . 【考点】三视图. 4.【答案】B

【解析】解：9050140FDE C CED ∠=∠+∠=?+?=?, ∵DE AF ∥,

∴140BFA FDE ∠=∠=?.

故选：B .

【考点】平行线的性质. 5.【答案】A

【解析】解：A .选项,积的乘方：222()ab a b =,正确；B .选项,合并同类项：2222a a a +=,

错误；C 选项,幂的乘方：236()a a =,错误；D 选项,同底数幂相乘：235a a a =,错误.故选：A .

【考点】合并同类项,同底数幂的乘法,幂的乘方,积的乘方. 6.【答案】B

【解析】解：∵2232()3a b a b +-=+-, ∴将1

2

a b +=代入得：12322?-=-

故选：B .

【考点】代数式求值的整体代入. 7.【答案】C

【解析】解：设正方形ABCD 的边长为2a ,

针尖落在黑色区域内的概率2

21

ππ248a a ??==.

故选：C .

【考点】几何概率. 8.【答案】B

【解析】解：过点B 作BH AO ⊥于H 点,∵OAB △是等边三角形,

∴1OH =

,

BH =

数学试卷 第11页（共32页） 数学试卷 第12页（共32页）

∴点B

的坐标为. 故选：B .

【考点】等边三角形的性质. 9.【答案】C

【解析】解：∵四边形ABCD 是菱形,80D ∠=?,

∴11

(180)5022

ACB DCB D ∠=∠=?-∠=?,

∵四边形AECD 是圆内接四边形, ∴80AEB D ∠=∠=?,

∴30EAC AEB ACE ∠=∠-∠=?, 故选：C .

【考点】菱形的性质,三角形的内角和,圆内接四边形的性质. 10.【答案】D

【解析】解：y 与x 的函数图象分三个部分,而B 选项和C 选项中的封闭图形都有4条

线段,其图象要分四个部分,所以B 、C 选项不正确；

A 选项中的封闭图形为圆,开始y 随x 的增大而增大,然后y 随x 的减小而减小,所以A 选

项不正确；

D 选项为三角形,M 点在三边上运动对应三段图象,且M 点在P 点的对边上运动时,PM

的长有最小值. 故选：D .

【考点】动点问题的函数图象. 二、填空题 11.【答案】2x ≥

【解析】解：依题意,得20x -≥, 解得：2x ≥, 故答案为：2x ≥.

【考点】函数自变量的取值范围,二次根式的被开方数是非负数. 12.【答案】2x =

【解析】解：原式通分得：2(1)

0(1)

x x x x --=-

去分母得：2(1)0x x --= 去括号解得,2x =

经检验,2x =为原分式方程的解 故答案为2x =. 【考点】解分式方程. 13.【答案】5

【解析】解：∵整数a 是这组数据中的中位数, ∴4a =,

∴这组数据的平均数1

(2.2 3.3 4.4411.1)55

=++++=. 故答案为5.

【考点】中位数,算术平方根. 14.【答案】40%

【解析】解：设该地区居民年人均收入平均增长率为x ,

220000(1)39200x +=,

解得,10.4x =,2 2.4x =-(舍去),

∴该地区居民年人均收入平均增长率为40%, 故答案为：40%.

【考点】一元二次方程的应用. 15.【答案】＜

【解析】解：当1x =-时,0y a b c =-+＞, 当2x =时,420y a b c =++＜,

42()M N a b a b -=+--

42()0a b c a b c =++--+＜,

即M N ＜, 故答案为：＜.

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数学试卷 第13页（共32页） 数学试卷 第14页（共32页）

【考点】二次函数. 16.

【答案】2π-【解析】解：连接AB , ∵90AOB ∠=?, ∴AB 是直径,

根据同弧对的圆周角相等得30OBA C ∠=∠=?,

∵OB =

∴tan tan302OA OB ABO OB =∠=?==,sin304AB AO =÷?=,即圆的半径为

2,

∴2π2122π22

ABO

S S S ?=-=-??-△阴影半圆

故答案为：2π-

【考点】扇形面积的计算. 17.【答案】

4

5

【解析】解：∵四边形ABCD 为矩形, ∴5AD BC ==,3AB CD ==,

∵矩形ABCD 沿直线AE 折叠,顶点D 恰好落在BC 边上的F 处, ∴5AF AD ==,EF DE =, 在Rt ABF △中,

∵4BF =

,

∴541CF BC BF =-=-=, 设CE x =,则3DE EF x ==-

在Rt ECF △中,∵222CE FC EF +=, ∴2212(3)x x +=-,解得43

x =

, ∴533

EF x =-=

, ∴4

sin 5CE EFC EF ∠==.

故答案为：4

5

.

【考点】折叠的性质,矩形的性质,勾股定理. 18.【答案】6 058 【解析】解：由图可得,

第1个图象中〇的个数为：1314+?=, 第2个图象中〇的个数为：1327+?=, 第3个图象中〇的个数为：13310+?=, 第4个图象中〇的个数为：13413+?=, ……

∴第2 019个图形中共有：132019160576058+?=+=个〇,

故答案为：6 058. 【考点】图形的变化类. 三、解答题

19.【答案】解：(1)

原式1

842142

=-+-?

++

84114=-+-++

=；

(2)原式21

(1)1

x x x x x x x --+=++-

1

11x

x x x +=-

+-

1x x =-,

数学试卷 第15页（共32页） 数学试卷 第16页（共32页）

解不等式组1

215x x -??-?

≤＜得13x -≤＜,

则不等式组的整数解为1-、0、1、2, ∵1x ≠±,0x ≠, ∴2x =, 则原式2

212

=

=--. 【解析】解：(1)

原式1

842142

=-+-?

++

84114=-+-++

=

(2)原式21

(1)1x x x x x x x --+=++-

1

11x x x x +=-

+- 1x x =-, 解不等式组1

215x x -??-?

≤＜得13x -≤＜,

则不等式组的整数解为1-、0、1、2, ∵1x ≠±,0x ≠, ∴2x =, 则原式2

212

=

=--. 【考点】分式的化简求值. 20.【答案】解：(1)816%50÷=, 所以在这次调查中,一共抽查了50名学生； (2)喜欢戏曲的人数为5081012164----=(人), 条形统计图为：

(3)扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角的度数为16

360115.250

??=?； 故答案为115.2； (4)12

120028850

?

=, 所以估计该校1 200名学生中喜欢“舞蹈”项目的共288名学生. 【解析】解：(1)816%50÷=,

所以在这次调查中,一共抽查了50名学生； (2)喜欢戏曲的人数为5081012164----=(人), 条形统计图为：

(3)扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角的度数为16

360115.250

??=?； 故答案为115.2； (4)12

120028850

?

=, 所以估计该校1 200名学生中喜欢“舞蹈”项目的共288名学生. 【考点】条形统计图.

21.【答案】解：(1)∵点A 在反比例函数4y x

=

上,

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数学试卷 第17页（共32页） 数学试卷 第18页（共32页）

∴

4

4m

=,解得1m =, ∴点A 的坐标为(1,4), 又∵点B 也在反比例函数4y x

=

上, ∴4

2

n =,解得2n =, ∴点B 的坐标为(2,2),

又∵点A 、B 在y kx b =+的图象上,

∴420k b k b +=??+=?,解得2

6k b =-??=?

,

∴一次函数的解析式为26y x =-+.

(2)根据图象得：4

0kx b x

+-＞时,x 的取值范围为0x ＜或12x ＜＜； (3)∵直线26y x =-+与x 轴的交点为N , ∴点N 的坐标为(3,0),

11

3432322

AOB AON BON S S S =-=??-??=△△△.

【解析】解：(1)∵点A 在反比例函数4

y x

=上,

∴4

4m

=,解得1m =, ∴点A 的坐标为(1,4), 又∵点B 也在反比例函数4y x

=

上, ∴4

2

n =,解得2n =, ∴点B 的坐标为(2,2),

又∵点A 、B 在y kx b =+的图象上,

∴420k b k b +=??+=?,解得26k b =-??=?

,

∴一次函数的解析式为26y x =-+.

(2)根据图象得：40kx b x

+-＞时,x 的取值范围为0x ＜或12x ＜＜； (3)∵直线26y x =-+与x 轴的交点为N , ∴点N 的坐标为(3,0),

11

3432322

AOB AON BON S S S =-=??-??=△△△.

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题,待定系数法. 22.【答案】解：(1)∵新坡面坡角为α,

新坡面的坡度为,

∴tan α=

=, ∴30α=?；

(2)该文化墙PM 不需要拆除,

理由：作CD AB ⊥于点D ,则6CD =米,

∵新坡面的坡度为,

∴6tan CD CAD AD AD ∠===

解得

,AD =,

∵坡面BC 的坡度为1:1,6CD =米, ∴6BD =米,

∴6)AB AD BD =-=米,

又∵8PB =米,

∴86)14146 1.732 3.63PA PB AB =-=-=-≈-?≈米＞米, ∴该文化墙PM 不需要拆除.

【解析】解：(1)∵新坡面坡角为α,

新坡面的坡度为,

∴tan α=

=,

数学试卷 第19页（共32页） 数学试卷 第20页（共32页）

∴30α=?；

(2)该文化墙PM 不需要拆除,

理由：作CD AB ⊥于点D ,则6CD =米,

∵新坡面的坡度为,

∴6tan CD CAD AD AD ∠===

解得

,AD =,

∵坡面BC 的坡度为1:1,6CD =米, ∴6BD =米,

∴6)AB AD BD =-=米, 又∵8PB =米,

∴86)14146 1.732 3.63PA PB AB =-=-=--?≈米＞米, ∴该文化墙PM 不需要拆除.

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角.

23.【答案】解：(1)设y 与x 的函数解析式为y kx b =+,

将(10,30)、(16,24)代入,得：1030

1624k b k b +=??+=?

,

解得：1

40k b =-??=?

,

所以y 与x 的函数解析式为40(1016)y x x =-+≤≤； (2)根据题意知,(10)W x y =-

(10)(40)x x =--+ 250400x x =-+-

2

(25)225x =--+,

∵10a =-＜,

∴当25x ＜时,W 随x 的增大而增大, ∵1016x ≤≤,

∴当16x =时,W 取得最大值,最大值为144.

答：每件销售价为16元时,每天的销售利润最大,最大利润是144元. 【解析】解：(1)设y 与x 的函数解析式为y kx b =+,

将(10,30)、(16,24)代入,得：1030

1624k b k b +=??+=?

,

解得：1

40k b =-??=?

,

所以y 与x 的函数解析式为40(1016)y x x =-+≤≤； (2)根据题意知,(10)W x y =-

(10)(40)x x =--+ 250400x x =-+-

2(25)225x =--+,

∵10a =-＜,

∴当25x ＜时,W 随x 的增大而增大, ∵1016x ≤≤,

∴当16x =时,W 取得最大值,最大值为144.

答：每件销售价为16元时,每天的销售利润最大,最大利润是144元. 【考点】二次函数的应用. 24.【答案】(1)证明：连接OC ,

∵OD AC ⊥,OD 经过圆心O , ∴AD CD =, ∴PA PC =,

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数学试卷 第21页（共32页） 数学试卷 第22页（共32页）

在OAP △和OCP △中,

∵OA OC PA PC OP OP =??

=??=?

, ∴(SSS)OAP OCP △≌△, ∴OCP OAP ∠=∠ ∵P A 是O 的切线, ∴90OAP ∠=?. ∴90OCP ∠=?, 即OC PC ⊥ ∴PC 是O 的切线.

(2)解：∵OB OC =,60OBC ∠=?, ∴OBC △是等边三角形, ∴60COB ∠=?, ∵10AB =, ∴5OC =,

由(1)知90OCF ∠=?,

∴tan CF OC COB =∠=. 【解析】(1)证明：连接OC ,

∵OD AC ⊥,OD 经过圆心O ,

∴AD CD =, ∴PA PC =,

在OAP △和OCP △中,

∵OA OC PA PC OP OP =??

=??=?

, ∴(SSS)OAP OCP △≌△, ∴OCP OAP ∠=∠ ∵P A 是O 的切线, ∴90OAP ∠=?. ∴90OCP ∠=?, 即OC PC ⊥ ∴PC 是O 的切线.

(2)解：∵OB OC =,60OBC ∠=?, ∴OBC △是等边三角形, ∴60COB ∠=?, ∵10AB =, ∴5OC =,

由(1)知90OCF ∠=?,

∴tan CF OC COB =∠=

【考点】切线的性质定理以及判定定理,直角三角形三角函数的应用. 25.【答案】(1)解：四边形ABCD 是垂直四边形. 证明：∵AB AD =,

∴点A 在线段BD 的垂直平分线上,

∵CB CD =,

∴点C 在线段BD 的垂直平分线上,

数学试卷 第23页（共32页） 数学试卷 第24页（共32页）

∴直线AC 是线段BD 的垂直平分线,

∴AC BD ⊥,即四边形ABCD 是垂直四边形； (2)证明：∵AC BD ⊥,

∴90AED AEB BEC CED ∠=∠=∠=∠=?,

由勾股定理得,222222AD BC AE DE BE CE +=+++,

222222AB CD AE BE CE DE +=+++,

∴2222AD BC AB CD +=+； 故答案为：2222AD BC AB CD +=+. (3)解：连接CG 、BE ,

图3

∵90CAG BAE ∠=∠=?,

∴CAG BAC BAE BAC ∠+∠=∠+∠,即GAB CAE ∠=∠,

在GAB △和CAE △中,AG AC GAB CAB AB AE =??

∠=∠??=?

,

∴(SAS)GAB CAE △≌△,

∴ABG AEC ∠=∠,又90AEC AME ∠+∠=?, ∴90ABG AME ∠+∠=?,即CE BG ⊥, ∴四边形CGEB 是垂直四边形, 由(2)得,2222CG BE CB GE +=+, ∵4AC =,5AB =,

∴3BC =

,CG =

,BE =

∴222273GE CG BE CB =+-=,

∴GE =

【解析】(1)解：四边形ABCD 是垂直四边形. 证明：∵AB AD =,

∴点A 在线段BD 的垂直平分线上, ∵CB CD =,

∴点C 在线段BD 的垂直平分线上, ∴直线AC 是线段BD 的垂直平分线,

∴AC BD ⊥,即四边形ABCD 是垂直四边形； (2)证明：∵AC BD ⊥,

∴90AED AEB BEC CED ∠=∠=∠=∠=?,

由勾股定理得,222222AD BC AE DE BE CE +=+++,

222222AB CD AE BE CE DE +=+++,

∴2222AD BC AB CD +=+；

故答案为：2222AD BC AB CD +=+. (3)解：连接CG 、BE ,

图3

∵90CAG BAE ∠=∠=?,

∴CAG BAC BAE BAC ∠+∠=∠+∠,即GAB CAE ∠=∠,

在GAB △和CAE △中,AG AC GAB CAB AB AE =??

∠=∠??=?

,

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数学试卷 第25页（共32页） 数学试卷 第26页（共32页）

∴(SAS)GAB CAE △≌△,

∴ABG AEC ∠=∠,又90AEC AME ∠+∠=?, ∴90ABG AME ∠+∠=?,即CE BG ⊥, ∴四边形CGEB 是垂直四边形, 由(2)得,2222CG BE CB GE +=+, ∵4AC =,5AB =,

∴3BC =

,CG =

,BE = ∴222273GE CG BE CB =+-=,

∴GE =

【考点】正方形的性质,全等三角形的判定和性质,垂直的定义,勾股定理的应用. 26.【答案】解：(1)∵抛抛线2y ax bx c =++经过点(3,0)A -、(9,0)B 和(0,4)C , ∴抛物线的解析式为(3)(9)y a x x =+-, ∵点(0,4)C 在抛物线上, ∴427a =-,

∴4

27

a =-,

∴抛物线的解析式为：2448

(3)(9)427279

y x x x x =-+-=-++, ∵CD 垂直于y 轴,(0,4)C , 令248

44279

x x -

++=, 解得,0x =或6x =, ∴点D 的坐标为(6,4)；

(2)如图1所示,设A 1F 交CD 于点G ,O 1F 交CD 于点H ,

图1

∵点F 是抛物线248

4279

y x x =-

++的顶点, ∴16

(3,)3F , ∴164

433

FH =-=,

∵11GH AO ∥, ∴11FGH FAO △∽△, ∴

111

GH FH A O FO =, ∴4

3

34

GH =, 解得,1GH =,

∵11Rt AO F △与矩形OCDE 重叠部分的图形是梯形A 1O 1HG , ∴11A O F FGH S S S =-△△重叠部分

11111

22AO O F GH FH =

- 114341223=??-?? 163=； (3)①当03t ＜≤时,如图2所示,设

O 2C 2交OD 于点M ,

数学试卷 第27页（共32页） 数学试卷 第28页（共32页）

图2

∵22C O DE ∥, ∴2OO M OED △∽△,

∴22O M OO DE OE =,

∴246

O M t =,

∴22

3

O M t =,

∴22221121

2233

OO M S S OO O M t t t ==?=?=△；

②当36t ＜≤时,如图3所示,设A 2C 2交OD 于点M ,O 2C 2交OD 于点N ,

图3

将点(6,4)D 代入y kx =, 得,2

3k =, ∴23

OD

y x =, 将点(3,0)t -,(,4)t 代入y kx b =+,

得,(3)04k t b kt b -+=??+=?

,

解得,4

3

k =

,443b t =-+,

∴直线A 2C 2的解析式为：44

433

y x t =-+, 联立23OD y x =

与44

433y x t =-+, 得,244

4333

x x t =-+,

解得,62x t =-+,

∴两直线交点M 坐标为4

(62,4)3

t t -+-+, 故点M 到O 2C 2的距离为6t -, ∵2C N OC ∥, ∴2DC N DCO △∽△,

∴

22DC C N

CD OC =

, ∴2664

C N t -=

, ∴22

(6)3

C N t =-,

∴222222A O C MN A O NM S S S S ==-△△C 四边形

211

(6)22OA OC C N t =-- 11

34(6)(6)22t t =??-?-- 21

463

t t =-+-；

∴S 与t 的函数关系式为：2

21(03)3

146(36)3

t t S t t t ???=??-+-??≤≤＜≤.

【解析】解：(1)∵抛抛线2y ax bx c =++经过点(3,0)A -、(9,0)B 和(0,4)C , ∴抛物线的解析式为(3)(9)y a x x =+-, ∵点(0,4)C 在抛物线上, ∴427a

=

-, ∴4

27

a =-

,

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数学试卷 第29页（共32页） 数学试卷 第30页（共32页）

∴抛物线的解析式为：2448

(3)(9)427279

y x x x x =-+-=-++, ∵CD 垂直于y 轴,(0,4)C , 令248

44279

x x -

++=, 解得,0x =或6x =, ∴点D 的坐标为(6,4)；

(2)如图1所示,设A 1F 交CD 于点G ,O 1F 交CD 于点H ,

图1

∵点F 是抛物线248

4279

y x x =-

++的顶点, ∴16

(3,)3F , ∴164

433

FH =-=,

∵11GH AO ∥, ∴11FGH FAO △∽△, ∴

111

GH FH

A O FO =, ∴43

34

GH =, 解得,1GH =,

∵11Rt AO F △与矩形OCDE 重叠部分的图形是梯形A 1O 1HG , ∴11A O F FGH S S S =-△△重叠部分

11111

22AO O F GH FH =

- 114341223=??-?? 163=； (3)①当03t ＜≤时,如图2所示,设O 2C 2交OD 于点M ,

图2

∵22C O DE ∥, ∴2OO M OED △∽△,

∴

22

O M OO DE OE =

, ∴246

O M t =,

∴22

3

O M t =,

∴22221121

2233

OO M S S OO O M t t t ==?=?=△；

②当36t ＜≤时,如图3所示,设A 2C 2交OD 于点M ,O

2

C 2交O

D 于点N ,

数学试卷 第31页（共32页） 数学试卷 第32页（共32页）

图3

将点(6,4)D 代入y kx =, 得,23k =, ∴23

OD

y x =, 将点(3,0)t -,(,4)t 代入y kx b =+,

得,(3)0

4k t b kt b -+=??+=?

,

解得,4

3

k =

,443b t =-+,

∴直线A 2C 2的解析式为：44

433

y x t =-+, 联立23OD y x =

与44

433y x t =-+, 得,244

4333

x x t =-+,

解得,62x t =-+,

∴两直线交点M 坐标为4

(62,4)3

t t -+-+, 故点M 到O 2C 2的距离为6t -, ∵2C N OC ∥, ∴2DC N DCO △∽△,

∴

22DC C N

CD OC =

, ∴2664

C N t -=

, ∴22

(6)3

C N t =-,

∴222222A O C MN A O NM S S S S ==-△△C 四边形

211

(6)22OA OC C N t =-- 11

34(6)(6)22t t =??-?-- 21

463

t t =-+-；

∴S 与t 的函数关系式为：2

21(03)3

146(36)3

t t S t t t ???=??-+-??≤≤＜≤.

【考点】待定系数法求解析式,相似三角形的判定与性质,三角形的面积.