向心力典型例题
向心力典型例题（附答案详解）
一、选择题【共12道小题】
1、如图所示，半径为r的圆筒，绕竖直中心轴OO′转动，小物块a靠在圆筒的壁上，它与圆筒的动摩擦因数为μ，现要使a不下滑，则圆筒转动的角速度ω至少为（）A. B. C. D.
解析：要使a不下滑，则a受筒的最大静摩擦力作用，此力与重力平衡，筒壁给a的支持力提供向心力，则N=mrω2，而fm=mg=μN，所以mg=μmrω2，故 . 所以A、B、C均错误，D正确.
4、在光滑水平面上相距20 cm的两点钉上A、B两个钉子，一根长1 m的细绳一端系小球，另一端拴在A钉上，如图所示.已知小球质量为0.4 kg，小球开始以2 m／s的速度做水平匀速圆周运动，若绳所能承受的最大拉力为4 N，则从开始运动到绳拉断历时为（）
A.2.4π s
B.1.4π s
C.1.2π s
D.0.9π s
解析：当绳子拉力为4 N时，由F=可得r=0.4 m.小球每转半个周期，其半径就减小0.2 m，由分析知，小球分别以半径为1 m，0.8 m和0.6 m各转过半个圆周后绳子就被拉断了，所以时间为t==1.2π s. 答案：C
6、甲、乙两名溜冰运动员，M甲=80 kg,M乙=40 kg，面对面拉着弹簧秤做圆周运动的溜冰表演，如图所示，两个相距0.9 m，弹簧秤的示数为9.2 N，下列判断正确的是（）
A.两人的线速度相同，约为40 m/s
B.两人的角速度相同，为6 rad/s
C.两人的运动半径相同，都是0.45 m
D.两人的运动半径不同，甲为0.3 m,乙为0.6 m
解析：甲、乙两人绕共同的圆心做圆周运动，他们间的拉力互为向心力，他们的角速度相同，半径之和为两人的距离.
设甲、乙两人所需向心力为F 向，角速度为ω，半径分别为r 甲、r 乙.则
F 向=M 甲ω2r 甲=M 乙ω2r 乙=9.2 N ① r 甲+r 乙=0.9 m ②
由①②两式可解得只有D 正确 答案：D
7、如图所示，在匀速转动的圆筒壁上有一物体随圆筒一起转动而未滑动.若圆筒和物体以更大的角速度做匀速转动，下列说确的是（ ）
A.物体所受弹力增大，摩擦力也增大
B.物体所受弹力增大，摩擦力减小
C.物体所受弹力减小，摩擦力也减小
D.物体所受弹力增大，摩擦力不变 析：物体在竖直方向上受重力G 与摩擦力F ，是一对平衡力，在向心力方向上受弹力F N .根据向心力公式，可知F N =mω2r ，当ω增大时，F N 增大，选D.
8、用细绳拴住一球，在水平面上做匀速圆周运动，下列说法中正确的是（ ）
A.当转速不变时，绳短易断
B.当角速度不变时，绳短易断
C.当线速度不变时，绳长易断
D.当周期不变时，绳长易断
析：由公式a=ω2R=知，当角速度（转速）不变时绳长易断，故A 、B 错误.周期不变时,绳长易断，故D 正确.由,当线速度不变时绳短易断,C 错
9、如图,质量为m的木块从半径为R的半球形的碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使得木块的速率不变
A.因为速率不变，所以木块加速度为零C.木块下滑过程中的摩擦力大小不变
B.木块下滑的过程中所受的合外力越来越大
D.木块下滑过程中的加速度大小不变,方向时刻指向球心
解析：木块做匀速圆周运动，所受合外力大小恒定，方向时刻指向圆心，故选项A、B不正确.在木块滑动过程中，小球对碗壁的压力不同，故摩擦力大小改变,C错. 答案：D
10、如图所示，在光滑的以角速度ω旋转的细杆上穿有质量分别为m和M 的两球，两球用轻细线连接.若M＞m，则（）
A.当两球离轴距离相等时，两球相对杆不动
B.当两球离轴距离之比等于质量之比时，两球相对杆都不动
C.若转速为ω时，两球相对杆都不动，那么转速为2ω时两球也不动
D.若两球相对杆滑动，一定向同一方向，不会相向滑动
解析：由牛顿第三定律可知M、m间的作用力相等，即F M=F m，F M=Mω2r M，F m=mω2rm，所以若M、m不动，则r M∶r m=m∶M，所以A、B不对，C对（不动的条件与ω无关）.若相向滑动，无力提供向心力，D对. 答案：CD 11、一物体以4m/s的线速度做匀速圆周运动，转动周期为2s，则物体在运动过程的任一时刻，速度变化率的大小为（）
A.2m/s2
B.4m/s2
C.0
D.4π m/s2
ω=2π/T=2π/2=πv=ω*r所以r=4/πa=v∧2/r=16/(4/π)=4π
12、在水平路面上安全转弯的汽车，向心力是（）
A.重力和支持力的合力
B.重力、支持力和牵引力的合力
C 汽车与路面间的静摩擦力 D.汽车与路面间的滑动摩擦力
二、非选择题【共3道小题】
1、如图所示，半径为R的半球形碗，有一个具有一定质量的物体A，A与碗壁间的动摩擦因数为μ，当碗绕竖直轴OO′匀速转动时，物体A刚好能紧贴在碗口附近随碗一起匀速转动而不发生相对滑动，求碗转动的角速度.
分析：物体A随碗一起转动而不发生相对滑动，物体做匀速圆周运动的角速度ω就等于碗转动的角速度ω.物体A做匀速圆周运动所需的向心力方向指向球心O，故此向心力不是重力而是由碗壁对物体的弹力提供，此时物体所受的摩擦力与重力平衡.
解析：物体A做匀速圆周运动，向心力：F n=mω2R
而摩擦力与重力平衡，则有μF n=mg 即F n=mg/μ
由以上两式可得：mω2R= mg/μ即碗匀速转动的角速度为：ω=.
2、汽车沿半径为R的水平圆跑道行驶，路面作用于车的摩擦力的最大值是车重的1/10，要使汽车不致冲出圆跑道，车速最大不能超过多少?
解析：跑道对汽车的摩擦力提供向心力，1/10mg=mv2/r，所以要使汽车不致冲出圆跑道，车速最大值为v=. 答案：车速最大不能超过
3、一质量m=2 kg 的小球从光滑斜面上高h=3.5 m 处由静止滑下，斜面的底端连着一个半径R=1 m 的光滑圆环（如图所示），则小球滑至圆环顶点时对环的压力为_____________，小球至少应从多高处静止滑下才能通过圆环最高点，hmin=_________(g=10 m/s2).
解析：①设小球滑至圆环顶点时速度为v 1,则
mgh=mg·2R+ 1/2mv 12 F n +mg= mv 12/R 得:F n =40 N
②小球刚好通过最高点时速度为v 2,则mg= mv 22/R 又mgh′=mg2R+1/2 mv 22/R 得h′=2.5R 答案：40 N;2.5R
匀速圆周运动典型问题剖析
1. 基本概念、公式的理解和运用
[例2] 在绕竖直轴匀速转动的圆环上有A 、B 两点，如图1所示，过A 、B 的半径与竖直轴的夹角分别为30°和60°，则A 、B 两点的线速度之比为 ；向心加速度之比为 。
解析：A 、B 两点做圆周运动的半径分别为
R R r A 2130sin =?= R R r B 2360sin =?= 它们的角速度相同，所以线速度之比333
1====B A B A B A r r r r v v ωω 加速度之比3
322==B B A A B A r r a a ωω 2. 传动带传动问题
[例3] 如图2所示，a 、b 两轮靠皮带传动，A 、B 分别为两轮边缘上的点，C 与A 同在a 轮上，已知B A r r 2=，B r OC =，在传动时，皮带不打滑。求：
（1）=B C ωω: ；（2）=B C v v : ；（3）=B C a a : 。 解析：A 、C 两点在同一皮带轮上，它们的角速度相等，即C A ωω=，由于皮带不打滑，所以A 、B 两点的线速度大小相等，即B A v v =。
（1）根据r v
=ω知21===A B B A B C r r ωωωω （2）根据ωr v =知2
1====A B A C A C B C r r r r v v v v （3）根据ωv a =知4
12121=?==B B C C B C v v a a ωω 点评：共轴转动的物体上各点的角速度相同，不打滑的皮带传动的两轮边缘上各点线速度大小相等，这样通过“角速度”或“线速度”将比较“遥远”的两个质点的运动学特点联系在一起。
（二）动力学特征及应用
物体做匀速圆周运动时，由合力提供圆周运动的向心力 且有222)2(T
mr mr r v m ma F F πω=====向向合 方向始终指向圆心
1. 基本概念及规律的应用
[例4] 如图3所示，质量相等的小球A 、B 分别固定在轻杆的中点和端点，当杆在光滑水平面上绕O 点匀速转动时求杆OA 和AB 段对球A 的拉力之比。
解析：隔离A 、B 球进行受力分析，如图3所示。因A 、B 两球角速度
相同，设为ω，选用公式r m F 2ω=向，并取指向圆心方向为正方向，则
对A 球：OA L m F F 221ω=- ①
对B 球：OB L m F 22ω= ②
① 两式联立解得2321=F F 点评：向心力向F 是指做匀速圆周运动物体受到的合力，而不一定是某一
个力，要对物体进行正确的受力分析。
[例5] 如图4所示，一个壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相同的小球A 和B 紧贴着壁分别在图中所示的水平面作匀速圆周运动，则下列说确的是（ ）
A. 球A 的线速度必定大于球B 的线速度
B. 球A 的角速度必定小于球B 的角速度
C. 球A 的运动周期必定小于球B 的运动周期
D. 球A 对筒壁的压力必定大于球B 对筒壁的压力
解析：对小球A 、B 受力分析，两球的向心力都来源于重力mg 和支持力N F 的合力，其合成如图4所示，故两球的向心力αcot mg F F B A ==
比较线速度时，选用r
v m F 2=分析得r 大，v 一定大，A 答案正确。 比较角速度时，选用r m F 2ω=分析得r 大，ω一定小，B 答案正确。
比较周期时，选用r T
m F 2)2(
π=分析得r 大，T 一定大，C 答案不正确。 小球A 和B 受到的支持力N F 都等于αsin mg ，D 答案不正确。
点评：①“向心力始终指向圆心”可以帮助我们合理处理物体的受力；② 根据问题讨论需要，解题时要合理选择向心力公式。
2. 轨迹圆（圆心、半径）的确定
[例6] 甲、乙两名滑冰运动员，kg M 80=甲，kg M 40=乙，面对面拉着弹簧秤
做匀速圆周运动的滑冰表演，如图5所示，两人相距0.9m ，弹簧秤的示数为
9.2N ，下列判断中正确的是（ ）
A. 两人的线速度相同，约为40m/s
B. 两人的角速度相同，为6rad/s
C. 两人的运动半径相同，都是0.45m
D. 两人的运动半径不同，甲为0.3m ，乙为0.6m
解析：甲、乙两人做圆周运动的角速度相同，向心力大小都是弹簧的弹力，则有乙乙甲甲r M r M 22ωω=即乙乙甲甲r M r M =且m r r 9.0=+乙甲，kg M 80=甲，
kg M 40=乙解得m r 3.0=甲，m r 6.0=乙 由于甲甲r M F 2ω= 所以
)/(62.03
.0802.9s rad r M F
=?==甲甲ω 而r v ω=，r 不同，v 不同。所以答案选D 。 点评：有些匀速圆周运动的轨迹圆是比较“隐蔽”的，一旦理解错误，就会给解题带来麻烦，如本题中两人做匀速圆周运动的半径并不是两人的间距，例2中A 、B 做圆周运动的圆心并不是圆环的中心O 等。
3. 联系实际问题
[例7] 司机开着汽车在一宽阔的马路上匀速行驶突然发现前方有一堵墙，他是刹车好还是转弯好？（设转弯时汽车做匀速圆周运动，最大静摩擦力与滑
动摩擦力相等。）
解析：设汽车质量为m ，车轮与地面的动摩擦因数为μ，刹车时车速为0v ，此时车离墙距离为0s ，为方便起见，设车是沿墙底线的中垂线运动。若司机
采用刹车，车向前滑行的距离设为s ，则==g
v s μ220常数，若司机采取急转弯法，则R
v m mg 20=μ（R 是最小转弯半径），s g v R 220==μ。 讨论：（1）若R s >0，则急刹车或急转弯均可以；
（2）若s s R >>0，则急刹车会平安无事，汽车能否急转弯与墙的长度和位置有关，如图6所示，质点P 表示汽车，AB 表示墙，若墙长度R l 2<，如图6，)cos (2θR R l -=，则墙在AB 和CD 之间任一位置上，汽车转弯同样平安无事；
（3）若s s <0，则不能急刹车，但由（2）知若墙长和位置符合一定条件，汽车照样可以转弯。
点评：利用基本知识解决实际问题的关键是看能否将实际问题转化为合理的物理模型。
三. 匀速圆周运动的实例变形
课文中的圆周运动只有汽车过桥和火车转弯两个实例，而从这两个实例可以变化出很多模型。试分析如下：
（一）汽车过桥
原型：汽车过凸桥
如图1所示，汽车受到重力G 和支持力F N ，合力提供汽车过桥所需的向心力。
假设汽车过桥的速度为v ，质量为m ，桥的半径为r ，r
mv F G N 2=-。 分析：当支持力为零时，只有重力提供汽车所需的向心力，即r
mv G 20=，gr v =0 1. 当汽车的速度0v v >，汽车所受的重力G 小于过桥所需的向心力，汽车
过桥时就会离开桥面飞起来。
2. 当汽车的速度0v v =，汽车所受的重力G 恰好等于过桥需要的向心力，汽车恰好通过桥面的最高点。),(020gr v r
mv G == 3. 当汽车的速度0v v <，汽车所受的重力G 大于所需的向心力，此时需要的向心力要由重力和支持力的合力共同来提供。)(2
r
mv F G N =- 因此，汽车过凸桥的最大速度为gr 。
模型一：绳拉小球在竖直平面过最高点的运动。
如图2所示，小球所受的重力和绳的拉力的合力提供小球所需的向心力，即r
v m F mg T 2=+。 分析：当绳的拉力为零时，只有重力提供小球所需的向心力，即r
mv G 20=，gr v =0
1. 当小球的速度0v v >，物体所受的重力G 已不足以提供物体所需的向心
力。不足的部分将由小球所受的绳的拉力来提供，只要不超过绳的承受力，已知物体的速度，就可求出对应的拉力。)(2r
v m F mg T =+
2. 当小球的速度0v v =，物体所受的重力G 刚好提供物体所需的向心力。
),(020gr v r
mv G == 3. 当小球的速度0v v <，物体所受的重力G 大于所需的向心力，此时小球
将上不到最高点。 因此，绳拉小球在竖直平面过最高点时的最小速度为gr v =0。
实例：翻转过山车
如图3所示：由于过山车在轨道最高点所受的力为重力和轨道的支持力，故分析方法与模型一类似。请同学们自己分析一下。
模型二：一轻杆固定一小球在竖直平面过最高点的运动。
如图4所示，物体所受的重力和杆对球的弹力的合力提供物体所需的向心力，即r
v m F mg T 2=- 分析：当杆对球的弹力为零时，只有重力提供小球所需的向心力，即r
mv G 20=，gr v =0 1. 当小球的速度0v v >，物体所受的重力G 已不足以提供物体所需的向心
力。不足的部分将由小球所受的杆的拉力来提供。（此时杆对小球的弹力为向
下的拉力，参考图3）。已知物体的速度，就可求出对应的拉力。)(2
r
v m F mg T =+ 2. 当小球的速度0v v =，物体所受的重力G 刚好提供物体所需的向心力。
),(020gr v r
mv G == 3. 当小球的速度0v v <，物体所受的重力G 大于所需的向心力，多余的部
分将由杆对小球的支持力来抵消。（此时杆对小球的弹力为向上的支持力）。
)(2
r
v m F mg T =- 4. 当小球的速度0=v ，物体所受的重力G 等于杆对小球的支持力。)(T F mg =因此，一轻杆固定一小球在竖直平面过最高点的最小速度为0。
（二）火车转弯
原型：火车转弯
如图5所示，火车在平直的轨道上转弯，将挤压外轨，由外轨给火车的弹力
提供火车转弯所需的向心力，这样久而久之，将损坏外轨。
故火车转弯处使外轨略高于轨，火车驶过转弯处时，铁轨对火车的支持力F N 的方向不再是竖直的，而是斜向弯道的侧，它与重力的合力指向圆心，提供火车转弯所需的向心力（如图6所示）。这就减轻了轮缘与外轨的挤压。
分析：当火车的速度为0v 时，火车所需的向心力全部由重力和支持力的合力来提供，即r
v m mg 20tan =θ，θtan 0gr v =。 1. 若火车的速度0v v >，将挤压外轨；
2. 若火车的速度0v v <，将挤压轨。
模型一：圆锥摆
小球所需的向心力由重力和绳的拉力的合力来提供（如图7所示）
模型二：小球在漏斗中的转动
小球所需的向心力由重力和漏斗的支持力的合力来提供（如图8所示）
四. 匀速圆周运动的多解问题
匀速圆周运动的多解问题常涉及两个物体的两种不同的运动，其中一个
做匀速圆周运动，另一个做其他形式的运动。由于这两种运动是同时进行的，因此，依据等时性建立等式来解待求量是解答此类问题的基本思路。特别需要提醒同学们注意的是，因匀速圆周运动具有周期性，使得前一个周期中发生的事件在后一个周期中同样可能发生，这就要求我们在表达做匀速圆周运动物体的运动时间时，必须把各种可能都考虑进去，以下几例运算结果中的自然数“n ”正是这一考虑的数学化。
[例1] 如图1所示，直径为d 的圆筒绕中心轴做匀速圆周运动，枪口发射的子弹速度为v ，并沿直径匀速穿过圆筒。若子弹穿出后在圆筒上只留下一个弹孔，则圆筒运动的角速度为多少？
解析：子弹穿过圆筒后做匀速直线运动，当它再次到达圆筒壁时，若原来的弹孔也恰好运动到此处。则圆筒上只留下一个弹孔，在子弹运动位移为d 的时间，圆筒转过的角度为ππ+n 2，其中 3,2,1,0=n ，即ωππ+=
n v d 2。(时
间相等) 解得角速度的值v d n ππω+=2， 3,2,1,0=n [例2] 质点P 以O 为圆心做半径为R 的匀速圆周运动，如图2所示，周期为T 。当P 经过图中D 点时，有一质量为m 的另一质点Q 受到力F 的作用从静止开始做匀加速直线运动。为使P 、Q 两质点在某时刻的速度相同，则F 的大小应满足什么条件？
解析：速度相同包括大小相等和方向相同，由质点P 的旋转情况可知，只有当P 运动到圆周上的C 点时P 、Q 速度方向才相同，即质点P 转过)4
3
(+n
周)3,2,1,0( =n 经历的时间)3,2,1,0()4
3
( =+=n T n t ①
质点P 的速率T R v π2= ② 在同样的时间，质点Q 做匀加速直线运动，速度应达到v ，由牛顿第二定律及速度公式得t m
F v = ③ 联立以上三式，解得)3,2,1,0()34(82 =+=
n T n mR F π [例3] 如图3所示，在同一竖直平面，A 物体从a 点开始做匀速圆周运动，同时B 物体从圆心O 处自由落下，要使两物体在b 点相遇，求A 的角速度。
解析：A 、B 两物体在b 点相遇，则要求A 从a 匀速转到b 和B 从O 自由下落到b 用的时间相等。
A 从a 匀速转到b 的时间T n t )43
(1+=)3,2,1,0(2)43( =+=n n ω
π B 从O 自由下落到b 点的时间g
R t 22=由21t t =，解得[例4] 如图4，半径为R 的水平圆盘正以中心O 为转轴匀速转动，从圆板中心O 的正上方h 高处水平抛出一球，此时半径OB 恰与球的初速度方向一致。要使球正好落在B 点，则小球的初速度及圆盘的角速分别为多少？
解析：要使球正好落在B 点，则要求小球在做平抛运动的时间，圆盘恰好转了n 圈（ 3,2,1=n ）。 对小球22
1gt h = ① t v R 0= ②
对圆盘)3,2,1(2 ==n t n ωπ ③
联立以上三式，解得)3,2,1(2 ==n h g n πω h
g R v 20= 【模拟试题】
一. 选择题（在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项正确，有的小题有多个选项正确）
1. 下列说确的是（ ）
A. 做匀速圆周运动的物体的加速度恒定
B. 做匀速圆周运动的物体所受合外力为零
C. 做匀速圆周运动的物体的速度大小是不变的
D. 做匀速圆周运动的物体处于平衡状态
2. 如图1所示，把一个长为20cm ，系数为360N/m 的弹簧一端固定，作为圆心，弹簧的另一端连接一个质量为0.50kg 的小球，当小球以min /360
r π的转
速在光滑水平面上做匀速圆周运动时，弹簧的伸长应为（ ）
A. 5.2cm
B. 5.3cm
C. 5.0cm
D. 5.4cm
ω=2n=2**360//60=12r/s F=m*ω2*R= m*ω2*(l+x) F=kx
kx= m*ω2*(l+x) 360x=0.5*12*12(0.2+x) x=0.05m=5cm
3. 一圆盘可以绕其竖直轴在图2所示水平面转动，圆盘半径为R 。甲、乙物体质量分别是M 和m （M>m ），它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为正压力的μ倍，两物体用一根长为)(R L L <的轻绳连在一起。若将甲物体放在转轴位置上，甲、乙之间连线刚好沿半径方向被拉直，要使两物体与圆盘间不发
生相对滑动，则转盘旋转角速度的最大值不得超过（两物体均看作质点） A. mL g
m M )(-μ B. ML g
m M )(-μ C. ML g
m M )(+μ D. mL g
m M )(+μ
4. 如图3所示，一个球绕中心线O O '以ω角速度转动，则（ ）
A. A 、B 两点的角速度相等
B. A 、B 两点的线速度相等
C. 若?=30θ，则2:3:=B A v v
D. 以上答案都不对
5. 一圆盘可绕圆盘中心O 且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放置一小木块A ，它随圆盘一起运动（做匀速圆周运动），如图4所示，则关于木块A 的受力，下列说确的是（ ）
A. 木块A 受重力、支持力和向心力
B. 木块A 受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相反
C. 木块A 受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向指向圆心
D. 木块A 受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相同
6. 如图5所示，质量为m 的小球在竖直平面的光滑圆轨道上做圆周运动。圆半径为R ，小球经过圆环最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时
A. 小球对圆环的压力大小等于mg
B. 小球受到的向心力等于重力mg
C. 小球的线速度大小等于gR
D. 小球的向心加速度大小等于g
二. 填空题
7. 一辆质量为4t 的汽车驶过半径为50m 的凸形桥面时，始终保持5m/s 的速率。汽车所受的阻力为车对桥面压力的0.05倍。通过桥的最高点时汽车牵
引力是 N 。（g=10m/s 2）
三. 解答题（解答应写出必要的文字说明、方程式和演算步骤）
9. 如图7所示，在水平转台上放有A 、B 两个小物块，它们距离轴心O 分别为m r A 2.0=，m r B 3.0=，它们与台面间相互作用的静摩擦力的最大值为其重力的0.4倍，取2/10s m g =。
（1）当转台转动时，要使两物块都不发生相对于台面的滑动，求转台转动的角速度的围；
（2）要使两物块都对台面发生滑动，求转台转动角度速度应满足的条件。
【试题答案】
1. C
2. C
3. D
4. AC
5. C
6. BCD
7. 3109.1?
8. cm r 141= cm r 72= N F F T T 282
1== 9.（1）s rad /3
1020≤≤ω （2）s rad /52>ω