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子群的乘积是子群的充要条件

问题的引入：在《近世代数》第二章的第3节（子群）中，我们知道了一些子群的定义和性质。特别是定理5的给出，使我们有了这样的思考：多个子群在满足哪些条件下，它们的乘积是否还是子群？对于这个问题，我们将在下面对它进行探讨。

群的定义为：设Ｇ是一个非空集合，○是它的一个代数运算，如果满足以下条件：

1. 结合律成立，即对G中任意元素a，b，c都有

（a○b）○ c=a ○（b○c）；

2. 对G中有元素e，叫做G的做单位元，它对G中的每个元素a都有

e○a=a；

3．对G中每个元素a，在G中都有元素a－１，叫做a的左逆元，使

a－１○a=e；

则称G对代数运算○做成一个群.

子群的概念是群论中一个基本概念，群论的全部内容都在不同程度上和子群有联系，特别，有事要根据子群的各种特征来对群进行分类，即根据子群来研究群，这也是研究群的重要方法之一。在代数学中子群的定义为：设G是一个群，H是群G的一个非空子集。如果H本身对Ｇ的乘法也作成一个群，则称Ｈ为群Ｇ的一个子群。

课题正文

一、群的概论

群论有着悠久的历史，现在已经发展成为一门范围广泛和内容十分丰富的数学分支，在近世代数和整个数学中占有重要的地位。

在19世纪，数学中一个长达三世纪之久而未能解决的难题，即五次和五次以上代数方程的根式解问题，被挪威青年数学家阿贝尔和法国青年数学家伽罗瓦所彻底解决。从而推动了数学的发展，其重要意义是不言而喻的。但更重要的是，他们在解决这一问题时引入了一种新概念和新思想，即置换群的理论，它对今后数学的发展，特别是代数学的发展起着巨大的关键性作用。因此可以说，阿贝尔和伽罗瓦是群伦和近世代数的创始人。

在阿贝尔和伽罗瓦之后，人们逐渐发现，对于这一理论中大多数的本质问题来说，用以构成群的特殊材料——置换——并不重要，重要的是只是在于对任意集合里所规定的带属性质的研究，即对代数系统的研究。这样一个现在看起来很平凡的发现，实际上是一个很大的突破，它的重要意义在于把置换群的研究推进到了更一般的抽象群的研究上去。这样便把群的研究建立在公式化的基础上，使它的理论变得更加严谨和清晰，从而为这一理论的进一步蓬勃发展开辟了广阔的前景。

二、群的性质

设H是群G的一个非空子集，若H对于G的乘法构成群，则称H为G的子群，记作H≤G.

注：对于任意一个群G，都有两个子群：{ e }与G。这两个子群称为G的平凡子群。别的子群，如果存在的话，叫做群G的非平凡子群或真子群。

性质1一个群如果只包含有限个元素，则称为有限群；否则称为无限群。

定理1 群G的元素a的左逆元a 也是a的一个右逆元，既有

a－１a=a a－１=e.

定理2群G的左单位元e也是G的一个右单位元，即对群G中任意元素a均有ea=ae=a.

定理3 群G的单位元及每个元素的逆元都是惟一的。

推论1在群中消去律成立，即

ab=ac ﹦﹥b=c,

ba=ca ﹦﹥b=c.

三、子群的判定和子群的判定方法

1、是群的子群的充要条件为H1H2=H2H

设和是群H2}。?的两个子群,H1H2={h1*h2|h1属于H1,H2

证是群的子群的充要条件为H1H2=H2H1

设H1H2=H2H1，只需证对任意a,b属于有a*b-1属于。由定义知，存在a1,b1属于和a2,b2属于使a=a1a2,b=b1b2。那么，b^(-1)=b2-1*b1-1，由于和都是子群，所以b1^(-1)属于，b2-1属于。这样

的话，a*b-1=a1*a2*b2-1*b1-1。由于a2和b2-1都属于H2，所以a2*b2-1也属于H2，记为c。又因为H1H2=H2H1，必存在e,f分别属于H2,H1，使a1*c=e*f，这样的话a*b-1=a1*a2*b2-1*b1-1=a1*c*b1-1=e*f*b1-1又因为f和b1-1都属于H1，所以f*b1-1属于H1，e属于H2，所以a*b-1=e*f*b1-1属于H2H1。又因为H1H2=H2H1，所以a*b-1属于H1H2，所以是群的子群。设是群的子群。设p=a*b为一个H2H1集合中的元素，a属于H2，b属于H1。这样的话，a-1和b-1也分别属于H2和H1，于是p-1=b-1*a-1属于H1H2。又因为是群的子群，所以p=(p-1) -1也属于H1H2，于是H1H2包含H2H1。另一个方向的包含关系可以将上述推理反向而得到。结论就是H1H2=H2H1证毕。

例题2设G4＝{p＝| pi∈{0，1}}，⊕是G4上的二元运算，

证明<{<0，0，0，0>，<1，1，1，1>}，⊕>是群的子群。证明首先对于任意的X＝，Y＝，Z＝∈G4

因为xiyi∈{0，1}

所以X⊕Y∈G4

因为(xiyi) zi＝xi (yi zi)

所以(X⊕Y)⊕Z＝X⊕(Y⊕Z)

<0，0，0，0>是幺元。

X⊕X＝<0，0，0，0>，即任一X，以它自身为逆元。

所以，< G4，⊕>是一个群。

其次，由于{<0，0，0，0>，<1，1，1，1>}G4，且⊕在{<0，0，0，0>，<1，1，1，1>}上是封团的，由定理5-4.7可知<{<0，0，0，0>，<1，1，1，1>}，⊕>是的子群。

定理5、设是群，S是G的非空子集，如果对于S中的任一元素a和b有a△1 b∈S，则是的子群。

证明首先证明，G中的幺元e也是S中的幺元。

任取S中的元素a，a∈SG，所以e＝a△∈S且a△e＝e△a＝a，即e 也是S中的幺元。

其次证明，S中的每一元素都有逆元。

对任一a∈S，因为e∈S，所以，e△∈S即∈S。

最后证明，△在S上是封闭的。

对任意的a，b∈G，由上可知∈S

所以a△b＝a△∈S

至于，运算△在S上的可结合性是保持的。因此，是的子群。

例题3设和都是群的子群，试证明

证明设任意的a，b∈H∩K，因为和都是子群，所以∈H∩K，由于*在H和K中的封闭性，所以a*∈H∩K，由定理5即得是的子群。

四、子群与子群的乘积子群的条件

定理设H，K是G的两个子群，则

HK≦G óHK=KH.

证1) 设HK ≦G，有推论2知

(HK) =HK.

但由于H =H,K =K. (HK) = KH =KH,从而

HK=KH.

2) 设HK=KH,则有

（HK）(HK) =HK. KH =HKKH=HKH=HHK=HK.

从而由推论3知，HK≦G。

本定理中的条件HK=KH是两个集合的相等，并不是说H中的任何元素与K中任何元素相乘是可以交换。

所以HK=KH,

则HKLKH=HKHKL=HKKHL=HKHL=HHKL=HKL,

所以(HK)=KH, 因为HK是G的子群，

又因为HK=KH,(KH)L=L(KH).

我们把HK看成一个整体，假设HK是G的子群，则(HK)与L的乘积是子群的充分必要条件是(HK)L=L(HK)

例1 取定一个整数n，令nZ={nz|z∈Z}，那么nZ是整数加群Z 的一个子群，显然，这暑加群的子群的乘积仍然是子群。

证由定理5知，设H，K是群G的两个子群，则HK≤G HK=KH。很显然，群G的子群nZ对自身的乘法仍然是子群，即

（nZ）（nZ）=（nZ）（nZ）≤Z.

当另取两个整数m1,m2,（其中m1属于奇数，m2属于偶数），则

m1Z≤Z，m2Z≤Z，

所以（m1Z）（m2Z）=（m2Z）（m1Z）≤Z.

同理也可以推出对任意整数m1，m2，都有，

（m1Z）（m2Z）=（m2Z）（m1Z）≤Z.

即整数加群的子群的乘积是子群。（证毕）

i.设A，B，C是群G的子群，且任意两个子群的乘积（按字母顺序组成，如：AB=BA,AC=CA,BC=CB）还是子群,则

ABC≤G?ABC=CBA

证： a. 设ABC≤G,则由推论1知：1)

ABC =ABC

由于1-A =A, 1-B=B,1-C=C,所以ABC=CBA

b. 设1)

ABC =ABC,又知ⅱ成立，

所以（ABC）1)

ABC =ABC·1-C1-B1-A =ABC·CBA

因为 ABC·CBA=ABCBA=ABCA=ABAC=ABC

所以由推论1知，ABC≤G.

显然，在证明三个子群的乘积还是一个子群的过程中，我们用到了ⅱ.（设H , K是群 G的子群，则HK≤G的充分必要条件是HK=KH）和推论1.

即:三个子群A,B,C的乘积在满足条件：（1）ABC=CBA,（2）在A,B,C 三个子群中任意两个子群（按字母顺序组成）的乘积还是一个子群，则ABC是一个子群.为了进一步说明问题，我们讨论四个子群的乘积的情况.

ⅳ.设A,B,C,D是群G的子群，且任意三个子群的乘积（按字母顺序组成，如：ABC=CBA,ABD=DBA,BCD=DCB……）还是子群，则ABCD≤G?ABCD=DCBA

证：a. 设ABCD≤G，则由推论1可知：1)

ABCD =（ABCD）.

由于1-A =A, 1-B=B,1-C=C, 1-D =D，所以

ABCD= 1-D1-C1-B1-A=DCBA.

)

b.设1)

ABCD =（ABCD），又知任意三个子群的乘积还是子群

成立，所以（ABCD）1)

ABCD =ABCD·1-D1-C1-B1-A =ABCD·DCBA.因为ABCD·DCBA =ABCDCBA=ABCD.所以由推论1知，ABCD≤G.

即:四个子群A,B,C,D的乘积在满足条件：（1）ABCD=DCBA,（2）在A,B,C,D四个子群中任意三个子群（按字母顺序组成）的乘积还是一个子群，则ABCD是一个子群.接下来继续讨论五个子群的乘积的情况.

ⅴ.设A,B,C,D,E是群G的五个子群，且任意四个子群的乘积（按字母顺序组成，如：ABCD=DCBA,ABCE=ECBA,BCDE=EDCB……）还是子群，则ABCDE≤G?EDCBA

证：a.设ABCDE≤G，则由推论1可知1)

ABCDE=（ABCDE）.

由于1-A =A, 1-B=B,1-C=C, 1-D =D, 1-E =E

所以1)

ABCDE=1-E1-D1-C1-B1-A=EDCBA.

b.设1)

ABCDE=（ABCDE）又知任意四个子群的乘积还是子群成

立，所以

（ABCDE）1)

ABCDE=ABCDE·1-E1-D1-C1-B1-A =ABCDE·EDCBA.

因为ABCDE ·EDCBA =ABCDEDCBA=ABCDEABCD =AABEDCBCD=ABBCDE =ABCDE.

所以由推论1知，ABCDE ≤G.

即:五个子群A,B,C,D,E 的乘积在满足条件：（1）ABCDE=EDCBA,（2）在A,B,C,D,E 五个子群中任意四个子群（按字母顺序组成）的乘积还是一个子群，则ABCDE 是一个子群.

由上可知，从三个子群的乘积到五个子群的乘积，它们满足各自条件的情况下，还是子群。

一般的情况下，子群与子群的乘积不一定是子群，但是在一定的前提条件下，子群与子群的乘积可以是乘积。例如：条件HK=KH 只是两个子群的乘积是子群的充要条件。那么我们就可以猜测，多个子群（大于5）的乘积是否还是子群，下面就进行简单的探讨。 ⅵ.设121

-n H H H

是G 的n 个子群,则121

-n H H H

≤G ，

(Hs

H H

)=( s H 2H 1H ) (s=2、3、4……n ）(任意s

个子群

的乘积按字母顺序，如：221

-n H H H

= 2-n H 2H 1H

321-n H H H = 3-n H 2H 1H ……)

证明：由归纳法有：

①s=2时，与上面ⅱ中的情况类似

设21H H ≤G ，则由ⅰ知121)(-H H =21H H

但由于1H ，2H 都是子群，故11

-H =1H ，12

-H

=2H

所以121)(-H H =12

-H

-H =2H 1H 从而21H H =2

H 1H

设21H H =2H 1H ，则有（ 21H H ）121)(-H H =21H H ﹒12

-H

=21H H 2H 1H =21H H 1H =1H 1H 2H =2

1H H

从而由推论1知21H H ≤G.所以s=2时结论成立。 ②当s=n-1时：

设121

-n H H H

≤G ，由ⅰ知1

121)(--n H H H =121

-n H H H

但由于1H ，2H 1-n H 都是子群，故11

-H =1H ，1

-H

=2H 11

)

(---=n n H H

所以1

121

)(--n H H H

= 1

)(--n H

-H

-H ，从而

121-n H H H = 1

-n H

2H 1H

设121

-n H H H

= 1

-n H

2H 1H ，则有（121-n H H H ）1

121)

(--n H H H =

121-n H H H ? 1

1)(--n H 12

-H

-H =121

-n H H H

-n H

2H 1H =

121-n H H H

从而由推论1知21H H 1-n H ≤G. 所以s=n-1时结论成立。 ③因为当s=n-1时结论成立，所以当s=n 时，结论显然成立。综合①②③知：在满足特定的条件下多个子群的乘积仍然是子群。两个子群的乘积不一定就是子群，但在一定的条件下可以是子群，既子群的乘积仍是子群的判定条件。参考文献

1. 石生明.《近世代数初步》.高等教育出版社.2006.3.

2. 刘绍学.《近世代数基础》.高等教育出版社.1999（2003重印）.

3. 陈重穆主编.《有限群伦基础》.重庆出版社.1983.

第1章集合与充要条件教案(1)

第一章集合与充要条件 1.1 集合的概念第一节集合与元素教学目标： 1．理解集合的概念；理解集合中元素的性质． 2．理解“属于”关系的意义；知道常用数集的概念及其记法． 3．引导学生发现问题和提出问题，培养独立思考和创造性地解决问题的意识．教学重点：集合的基本概念，元素与集合的关系．教学难点：正确理解基本概念教学过程： [新授]： 1．集合的概念（1）一般地，把一些能够确定的对象看成一个整体，我们就说，这个整体是由这些对象的全体构成的集合（简称为集）．（2）构成集合的每个对象都叫做集合的元素．（3）集合与元素的表示方法：一个集合，通常用大写英文字母A,B,C,…表示，它的元素通常用小写英文字母a,b,c,…表示． 2．元素与集合的关系（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A，读作“a属于A”．（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a?A．读作“a不属于A”．3．集合中元素的特性（1）确定性（2）互异性（3）无序性： 4．集合的分类（1）有限集（2）无限集 5．常用数集自然数集N；正整数集N＋或N*；整数集Z；有理数集Q；实数集R． 6．空集?（不能写成{?}） [巩固]：例1：判断下列语句能否构成一个集合，并说明理由．（1）小于10的自然数的全体；（2）某校高一（2）班所有性格开朗的男生；（3）英文的26个大写字母；（4）非常接近1的实数． [点评]：组成集合的对象是确定的，对于一个对象是否是集合中元素，只有两种结果：是或不是，出现形容词修饰的对象不能组成集合．练习1：判断下列语句是否正确：（1）由2，2，3，3构成一个集合，此集合共有4个元素；（2）所有三角形构成的集合是无限集；（3）周长为20cm的三角形构成的集合是有限集；

充要条件教材分析

充要条件（教材分析）充要条件是中学数学中最重要的数学概念之一，它主要讨论了命题的条件与结论之间的逻辑关系，目的是为今后的数学学习特别是数学推理的学习打下基础。在教材中，这节内容被安排在数学选修2-1第一章中“常用逻辑用语”的第二节。除了教学位置的前移之外，新教材中与充要条件相关联的知识体系也作了相应的扩充。在“充要条件”这节内容前，还安排了“四种命题”这一节内容作为必要的知识铺垫，为学生学习充要条件打下基础，也便于老师讲透充要条件这一基本数学概念。显然，教材的这种处理，充分说明充要条件这一内容在整个高中数学体系中的基础性和重要性，新教学大纲把教学目标定位在“掌握充要条件的意义”。从教材编写角度看，新旧教材最大的差异在于对“充分条件”和“必要条件” 定义的处理上，旧教材中“充分条件”和“必要条件”是以如下方式分别定义的， “一般地，如果A成立，那么B成立，即A?B，这时我们就说条件A是B成立的充分条件，也就是说，为使B成立，具备条件A就足够了。”“一般地，如果B成立，那么A成立，即B?A，或者，如果A不成立，那么B就不成立，这时我们就说，条件A是B成立的必要条件。也就是说，要使B成立，就必须A成立。因为‘B?A’ A?’是等价的，所以，如果A不成立，那么B就一定不成立，和它的逆命题‘B 也就是说，要使B成立，A就必须成立。”与旧教材大段枯燥难懂的表述相比，新教材的定义显得更简洁精炼，“一般地，如果已知p?q，那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。”与定义表述的繁简成鲜明对照的是，新教材的例题、练习题、习题数均大幅增加，是旧教材的两倍。显然，新教材的编写者在数学概念的处理上贯彻了“淡化形式，注重实质”这一新的教学观，因此淡化了对定义的纯文字叙述，而更注重学生从感性上去领悟，让学生在解题实践中加深理解。当然，一次性给出定义也存在一定的不足，学生在判断条件与结论的逻辑关系之前，还必须先分清何者是条件，何者是结论，这增加了学生理解上的困难。 ·1·

(完整版)集合与充要条件练习题

一、选择题 1．下列语句能确定一个集合的是（） A 浙江公路技师学院高个子的男生 B 电脑上的容量小的文件全体 C 不大于3的实数全体 D 与1接近的所有数的全体 2．下列集合中，为无限集的是（） A 比1大比5小的所有数的全体 B 地球上的所有生物的全体 C 超级电脑上所有文件全体 D 能被百度搜索到的网页全体 3．下列表示方法正确的是（） 2.0 (3) A N B Q C R D Z Q π*∈-∈∈∈ 4．下列对象能组成集合的是（） A.大于5的自然数 B.一切很大的数 C.路桥系优秀的学生 D.班上考试得分很高的同学 5．下列不能组成集合的是（） A. 不大于8的自然数 B. 很接近于2的数 C.班上身高超过2米的同学 D.班上数学考试得分在85分以上的同学 6．下列语句不正确的是（） A.由3,3,4,5构成一个集合，此集合共有3个元素 B.所有平行四边形构成的集合是个有限集 C.周长为20cm 的三角形构成的集合是无限集 D.如果,,a Q b Q a b Q ∈∈+∈则 7．下列集合中是有限集的是（） {} {}{} {}2.|3..|2,.|10A x Z x B C x x n n Z D x R x ∈<=∈∈-=三角形 8．下列４个集合中是空集的是（） {} {}{}{}2222.|10.|.|0.|10A x R x B x x x C x x D x x ∈-=<-=+= 9．下列关系正确的是（） .0.0.0.0A B C D ∈?????≠? 10．用列举法表示集合{}2|560x x x -+=，结果是（）Ａ．３Ｂ．２Ｃ．{}3,2 Ｄ．３,２ 11．绝对值等于３的所有整数组成的集合是（）Ａ．３Ｂ．{}3,3- Ｃ．{}3 Ｄ．３，－３ 12．用列举法表示方程24x =的解集是（） {}{}{}{}2.|4.2,2.2.2A x x B C D =-- 13．集合{}1,2,3,4,5也可表示成（）

光合作用与呼吸作用计算

光合作用与呼吸作用相关计算一、知识基础二、相关练习 1．对不同地区农作物的光合作用速率、作物产量及太阳辐射量作比较，如下表所示：下列说法中不正确的是（）A A．对太阳能利用率最低的是英国甜菜 B．以色列玉米呼吸作用的消耗率最大 C．高的太阳辐射量，能使作物有高的光合作用量，但不一定有高的作物产量 D．作物产量高的地区，往往不是太阳辐射高的热带，而是在昼夜温差大的温带 2．将状况相同的某种绿叶分成四等组，在不同温度下分别暗处理1h，再光照1h（光强相同），测其重量变化，得到如下表的数据。可以得出的结论是（）B

A．该植物光合作用的最适温度约是27℃ B．该植物呼吸作用的最适温度约是29℃ C．27~29℃下的净光合速率相等 D．30℃下的真正光合作用速率为2mg/h 3．右图为某绿色植物在25℃时光照强度与氧气释放速度之间的关系，下列叙述不正确的是（）C A．在500lux下，此植物能进行光合作用 B．在1000lux下，此植物每小时氧气的释放量为0ml C．在1500lux下，光合作用产生氧气的速度为5ml/h D．在4000lux下，此植物氧气的释放量为15ml 4．一学生做了这样一个实验：将小球藻放在一只玻璃容器内，使之处于气密封状态。实验在保持适宜温度的暗室中进行，并从第5分钟起给予光照。实验中仪器记录了该容器内氧气量的变化，结果如右图。请据图分析回答：（1）在0～5分钟之间氧气量减少的原因是。（2）给予光照后氧气量马上增加的原因是。（3）在5～20分钟之间，氧气量增加的速率逐渐减小，这是因为。溶液后，氧气产生量呈直线上升，这是因为（4）加入少量的NaHCO 3 。（5）加入NaHCO 溶液后，平均每分钟释放摩尔的氧气。 3 （1）呼吸作用消耗了容器中的氧气（2）光合作用产生的氧气量大于呼吸作用消耗的氧气量浓度逐渐减少，光合作用速率逐渐下降（3）光合作用使密闭容器内的CO 2

(完整版)集合与充要条件练习题

13.集合1,2,3,4,5也可表示成（）） B 电脑上的容量小的文件全体 D 与1接近的所有数的全体） B 地球上的所有生物的全体 D 能被百度搜索到的网页全体） R D.Z Q ） B. 一切很大的数 D.班上考试得分很高的同学） B.很接近于2的数 D.班上数学考试得分在85分以上的同学 A.由3,3,4,5构成一个集合，此集合共有3个元素 B.所有平行四边形构成的集合是个有限集 C.周长为20cm 的三角形构成的集合是无限集 D.如果a Q,b Q,则a b Q 7?下列集合中是有限集的是（） A. x Z |x 3 B.三角形 2 C. x | x 2n, n Z D. x R | x 1 0 8?下列4个集合中是空集的是（） A. x R|x 2 1 0 B. x|x 2 x C. x|x 2 D. x|x 2 1 0 9?下列关系正确的是（） A.0 B.0 C.0 D.0 A.3 B.2 C. 3,2 D.3 , 2 11 .绝对值等于3的所有整数组成的集合是（） A.3 B. 3, 3 C. 3 D.3,—3 12 .用列举法表示方程x 2 4的解集是（） A. x|x 2 4 B. 2, 2 C. 2 D. 2 A. x|x5 B. x|0x5 、选择题 1 ?下列语句能确定一个集合的是 A 浙江公路技师学院高个子的男生 C 不大于3的实数全体 2?下列集合中，为无限集的是（ A 比1大比5小的所有数的全体 C 超级电脑上所有文件全体 3 ?下列表示方法正确的是（ A.0 N B. 2 Q C. 3 4 ?下列对象能组成集合的是（ A.大于5的自然数 C.路桥系优秀的学生 5?下列不能组成集合的是（ A.不大于8的自然数 C.班上身高超过2米的同学 6 ?下列语句不正确的是（ 10 ?用列举法表示集合 x|x 2 5x 6 0，结果是（

09数学分析教案_(华东师大版)第九章_定积分第三节可积条件

§3可积条件教学要求：理解可积的必要条件以及上和、下和的性质，掌握可积的充要条件及可积函数类，能独立地证明可积性的问题. 教学重点：掌握可积的充要条件及可积函数类，能独立地证明可积性的问题；一、必要条件: Th 9.2 若函数f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[a,b]上有界. 证明反证法若f(x)在[a,b]上无界，则对于[a,b]的任意分割T ，必存在属于T 的某个小区间?k ，f(x)在?k 上无界，在i ≠k 的各个小区间上任意取定ξi ，并记| ()|i i i k G f x ξ≠=?∑，现在对任意大的正数M ，由于f(x)在?k 上无界，故存在ξk ∈?k ，使得|()|k k M G f x ξ+> ?，于是有1 |||()|()|()|n i i k k i i k i i k k M G f x f x f x x G M x ξξξ=≠-+???> ??-=?∑∑≥由此可见，对于无论多小的||T||,按上述方法选取点集{ξi }时，总能使积分和的绝对值大于任何事先给出的正数，这与f(x)在[a,b]上可积相矛盾。这个定理指出，任何可积函数一定是有界的，但要注意，有界函数不一定可积。例1 证明狄利克雷函数D(x)在[0,1]上有界但不可积证明显然|D(x)|≤1，x ∈[0,1]. 对于[0,1]的任一分割T ，由有理数和无理数在实数中的稠密性，在属于T 的任一小区间?i 上，当取ξi 全为有理数时， 1 1 ()1n n i i i i i D x x ξ==?=?=∑∑，当取ξi 全为无理数时，1 ()0n i i i D x ξ=?=∑，所以不论||T||有多小，只要点集{ξi }取法不同（全取有理数或全取无理数），积分和有不同的极限，即D(x)在[0,1]上不可积。由此可见，有界是可积的必要条件，所以在讨论函数的可积性时，总是假设函数是有界的。二、可积的充要条件要判断一个函数是否可积，固然根据定义，直接考察积分和是否能无限接近于某一常数，但由于积分和的复杂性和那个常数不易预知，因此这是极其困难的。下面给出的可积准则只与被积函数本身有关，而不涉及定积分的值。设T={?i |i=1,2,…,n},为对[a,b]的任意一个分割，由于f(x)在[a,b]上有界，它在每个?i 上存在上下确界，，记sup (),inf (),i i i x x M f x m f x ∈?∈?==，i=1,2,…,n,作和1 1 (),()n n i i i i i i S T M x s T m x === ?=?∑∑分别为f(x)关于分割 T 的上和与下和，或称达布上和与达布下和，统称为达布和，任给ξi ∈?i ，i=1,2,…,n,显然有 1 ()()n i i i s T f x ξ=?∑≤≤S(T),与积分和相比较，达布和只与分割T 有关，而与点集{ξi }无关，由不等式就能通过讨论上和与下和当||T||→0时的极限来揭示f(x)在[a,b]上是否可积。所以，可积性理论总是从讨论上和与下和的性质入手的。定理9.3（可积准则）函数f(x)在[a,b]上可积的充要条件是：任给ε>0，总存在相应的一个分割，使得S(T)-s(T)<ε。本定理的证明依赖于对上和与下和性质的详尽讨论，这里从略（完整证明补述于§6）设ωi =M i -m i ,称为f(x)在?i 上的振幅，有必要时记为f i ω，由于1()()n i i i S T s T x ω=-=?∑或记为i i T x ω?∑，因此可积准则又可改述如下：定理9.3'函数f(x)在[a,b]上可积的充要条件是：任给ε>0，总存在相应的一个分割，使得 i i T x ωε?<∑。几何意义是：若函数f(x)在[a,b]上可积，则图中包围曲线y=f(x)的一系列小矩形面积之和可以达到任意小，只要分割充分细，反之亦然。

与呼吸作用有关的计算

三．与呼吸作用有关的计算【知识回顾】呼吸作用的计算会涉及有氧呼吸与无氧呼吸之间葡萄糖的消耗量、氧气的消耗量、二氧化碳的生成量、能量、产生A TP的量等计算问题。 1．细胞呼吸的总反应式（1）有氧呼吸的总反应式： C6H12O6＋6O2＋6H2O——→6CO2＋12H2O＋能量（2）无氧呼吸的总反应式： C6H12O6——→2C2H5OH（酒精）＋2CO2＋少量能量[酵母菌、植物细胞在无氧条件下的呼吸] C6H12O6——→2C3H6O3（乳酸）＋少量能量 [高等动物和人体的骨骼肌细胞、马铃薯块茎、甜菜块根、胡萝卜的叶、玉米的胚等细胞在无氧条件下的呼吸，蛔虫和人体成熟的红细胞中（无细胞核）无线粒体，也只进行无氧呼吸。] 2．细胞呼吸的能量关系（1）有氧呼吸1mol葡萄糖彻底分解释放2870kJ能量，1161kJ储存在ATP中，形成38ATP （第一阶段形成2ATP、第二阶段形成2A TP、第三阶段形成34ATP），其余以热能散失。（2）无氧呼吸——乳酸发酵与酒精发酵在无氧呼吸的乳酸发酵与酒精发酵过程中，第一阶段产生2A TP；第二阶段释放的能量太少，不足于形成ATP，释放的能量全部以热能的形式散失了。如果消化了相同物质的量的葡萄糖，在产生酒精的无氧呼吸中，转移到ATP的能量与产生乳酸的无氧呼吸是相同的，都是61.08kJ /mol，形成2A TP，但释放的能量要多一些，1mol葡萄糖分解成酒精释放225.94kJ能量，1mol葡萄糖分解成乳酸释放196.65kJ能量，61.08kJ储存在A TP 中，其余以热能散失。 3．呼吸类型（1）O2的浓度对细胞呼吸的影响 O2浓度直接影响呼吸作用的性质。O2浓度为0时只进行无氧呼吸；浓度为10％以下时，既进行有氧呼吸又进行无氧呼吸；浓度为10％以上时，只进行有氧呼吸。（2）细胞呼吸时气体的变化情况（以植物为例） ①如果只进行有氧呼吸，则吸收的氧气量和放出的二氧化碳量相等； ②如果只进行无氧呼吸，则不吸收氧气，能放出二氧化碳； ③如果既有有氧呼吸又进行无氧呼吸，则吸收的氧气量小于放出的二氧化碳量。【例题讲解】〖例题1〗酵母菌发酵产生CO2的摩尔数为N，在安静情况下，人消耗同样数量的葡萄糖可以产生的CO2量是（B） A．1/3Nmol B．3Nmol C．6Nmol D．12Nmol 〖命题意图〗本题考查的知识点是细胞呼吸的有关计算。〖解析〗酵母菌发酵产生CO2的摩尔数为N，由反应式“C6H12O6——→2C2H5OH（酒精）＋2CO2＋少量能量”需消耗N/2的葡萄糖；由人通过有氧呼吸消耗葡萄糖的反应式“C6H12O6＋6O2＋6H2O——→6CO2＋12H2O＋能量”，人消耗N/2的葡萄糖，可产生3N的

(完整版)高中数学一轮复习《1集合与充要条件》教学案

盐城市文峰中学美术生高中数学复习教学案 §1集合与充要条件【考点及要求】： 1.了解集合含义，体会“属于”和“包含于”的关系，全集与空集的含义； 2.了解并掌握集合之间交，并，补的含义与求法； 3.理解充分条件、必要条件与充要条件的意义，会判断充分条件、必要条件与充要条件. 【基础知识】： 1.集合中元素与集合之间的关系：文字描述为和符号表示为和 2.常见集合的符号表示：自然数集正整数集整数集有理数集实数集复数集 3.集合的表示方法1 2 3 4.集合间的基本关系：1)相等关系：_________A B B A ???且 2)子集：A 是B 的子集，符号表示为______或B A ? 3) 真子集：A 是B 的真子集，符号表示为_____或____ 5.不含任何元素的集合叫做，记作，并规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的 6.若已知全集U ，集合A U ?，则U C A = . 7.________A A ?=，_________A ??=，__________A A ?=， _________A ??=，_________U A C A ?=，_________U A C A ?=， 8.若A B ?，则____,___A B A B ?=?= 9.若q p ?,则p 是q 的条件, q 是p 的条件. 10.若q p ?,且p q ?,则p 是q 的条件. 【基本训练】： 1.{}a a a ,202-∈，则a 的值等于_________. 2.若全集{}4,3,2,1,0=U ,且{}3,2=A C U ,则A 的真子集有个. 3.集合{}{}02,12<-=>=x x x B x x A ，则______=?B A . 4.1>x 是x x >2的_____________ 条件. 【典型例题讲练】例1.已知集合{}{} 03)32(,082222≤-+--=≤--=m m x m x x B x x x A （1）若[]4,2=?B A ，求实数m 的值；

充要条件中的基本关系

充要条件中的基本关系2012-08-29、30 1. 已知R b a ∈,，则“00>>b a 且”是“00>>+ab b a 且” 2. 02≥++c bx ax 对R x ∈?恒成立的充要条件是 0,0≤?>且a 或 0,0≥==c b a 3. 直线0=++C By Ax 与圆()()22 2r b y a x =-+-()0>r 相切的充要条件是 r B A C Bb Aa =+++22 4. B A >是B A sin sin >的（B A =？） 5. 3,221>>x x 是{6 52121>>+x x x x 的条件。 6. ABC ?中，B A cos sin >是ABC ?为锐角三角形的条件. 必要不充分 7. 写出ABC ?为锐角三角形的一个充要条件： 8. 写出ABC ?为钝角三角形的一个充要条件： 9. 写出ABC ?为直角三角形的一个充要条件： C B A c o s c o s c o s 10. ABC ?中，c b a ,,是三边长，则222b a c +=是ABC ?为直角三角形的充要条件吗？ 11. b a , 0<吗？（锐角？） 12. ⊥的充要条件是0=?. 13. 已知条件p : k =3，条件q ：直线y=kx +2与圆x 2+y 2=1相切，则p 是q 的条件 14. 000≤+≤≤n m n m 则，或若. 写出其逆命题、否命题、逆否命题.

15. 如果一个命题的否命题是“若0x y +≤，则0x ≤或0y ≤”，则这个命题的逆命题为________________ 16. 在ABC ?中，“0>?AC AB ” 是 “ABC ?为锐角三角形” 17. 设命题p ：关于x 的不等式21110a x b x c ++>与22220a x b x c ++>的解集相同，命题q ：111222a b c a b c ==，则命题q 是p 的_________条件 18. 已知p 是r 的充分条件而不是必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件．现有下列命题： ①s 是q 的充要条件； ②p 是q 的充分条件而不是必要条件； ③r 是q 的必要条件而不是充分条件； ④?p 是?s 的必要条件而不是充分条件； ⑤r 是s 的充分条件而不是必要条件．则正确命题序号是 19. 已知p ：23≤-x ，q ：()()011≤--+-m x m x ，若?p 是?q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围． 42≤≤m 20. 求证：关于x 的一元二次不等式012>+-ax ax 对于一切实数x 都成立的充要条件是40<+-ax ax 对于一切实数x 都成立”推出“40<+-ax ax 对于一切实数x 都成立”. 21. 已知全集U ＝R ，非空集合A ＝??????????x |x －2x －(3a ＋1)<0，B ＝?????? ????x |x －a 2－2x －a <0. (1)当a ＝12时，求(?U B )∩A ； (2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的