旋转矩阵原理

旋转矩阵原理

揭秘大乐透旋转矩阵原理及算法

(2014-08-07 13:16:36)

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标分类: 艺眸原创教程

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大乐

透

摘要:本研究针对乐透型彩票模型～采用的覆盖设计数学方法～并针对传统的“恰好全部至少有一次覆盖”的简单目标向“恰好全部覆盖一次的最少成本”的目标升级。此研究的理论依据并不是概率论～是纯粹的数据组合。算法可用于研究并不仅限于乐透型彩票的选号应用～可以拓展应用于医药测试、育种等等其他领域。算法的可靠度较强～算法的

测试结果接近最优解的100%~95%,算法仅供参考学习研究～请勿用于其他目的。

关键词:彩票,旋转矩阵,覆盖设计,算法。

一、绪论

改革开放30多年来～随着人们的精神生活日益丰富～公益彩票行业也激起了广大群众的参与热情～其中原由一是出于对公益事件的支持～二是受彩票巨额奖金的吸引。众所周知～彩票的开奖结果是随机性极强的～国家也大力支持开奖过程的透明化。然而毕竟受到诸多因素限制～即便结果接近“随机”～也呈现出一定规律。这种规律的研究方法很多～较于广大彩民接受的是统计法以及概率论。对于更高层的部分“技术彩民”而言～简单的统计与概率学分析已经无法满足对研究的准确性的要求～因为相对于开奖结果数量的千万种～现有的标本才几千个根本无法作出准确的判断～于是数据的组合运筹开始得到彩民的接受与青睐～因为这种方法可以“摆脱概率”。

在彩票数据的组合之中～有一种方法叫做“聪明组合”～其目标是提高中奖机会。这种所谓的“聪明组合”就是一种数学里面的覆盖设计～简单地讲就是把“可供用于选择的数据”最少地选择～要求是“牺牲最大的胃口能满足最佳的要求”。当然不同的覆盖设计具有不同的设计目标。网络上流

行的一些“中6保5”“中5保4”之类的就是“聪明组合”的应用。

为了更好地让读者理解后文所说的“恰好全部覆盖一次的最少成本”这一概念～先讲述一下所谓的“中M保N”到底是怎么回事。

举个实例:大乐透35选5,篮球12选2的研究此处略去,～如果选择8个数～这8个数里面如果有即将开奖的5个数～现在通过一个组合～要求不管怎样～这个组合都能保证至少有一组能满足中4个,也有可能中5个,。那么～我们称这个组合叫做“大乐透选8中5保4”的“聪明组合”。比如选择的是

{01,02,03,04,05,06,07,08}～开奖结果在这8个数内～下面的组合,5注,将保证能至少有一个中4个结果。

01,02,03,05,08

01,02,04,06,07

01,03,04,06,07

02,03,04,06,07

04,05,06,07,08

可能读者会问～这个“聪明组合”到底怎么“聪明”了,大家可以看到上面这个简单的例子里～如果要保证一定能中4的投注单出现～则复式投注需要

C,8,5,=56注,而上面的“聪明组合”只有5注就能满足要求。当然～这个基数小时～优越性不够明显～假如是“大乐透选18中5保4”～那么“聪明组合”需要234注～复试组合需要8568注。一般

来讲～“聪明组合”的注数只有复式组合的9%~2%～并且选择的基数越大～效果越明显。

二、算法研究

根据绪论所讲述～我们不禁要问道:“聪明组合”到底是怎么的出来的呢,它的运行机制到底是怎样的呢,下面我将以绪论中的“大乐透选8中5保4”的“聪明组合”作例进行算法分析与设计。

首先～我们要知道我们可以选择的有哪些。为了方便操作～我们先对组合进行编号。

可供我们选择的当然就是8个数里面任意选择5个数的组合数了～共计56组。编号方法为:01,02,03,04,05标记为组1～然后从最右边数据进行累加～组号也进行累加～其中单独一组数据满足从左到右依次增大的规律～比如组1中～01到05依次变大。

那么～我们知道了可供我们来设计“聪明组合”的“原材料”有56组数据。从绪论中可以知道～只要56组中的5组就可以满足要求了。那么～是什么样的5组数组可以达到要求呢,我们不妨列出这5组数据为:{Z1～Z2～Z3～Z4～Z5}～

Z1~Z5表示组号～在1~56内。

把这5组数组列为纵列～再把56组可能出现中奖号码的数组{A1～A2～A3～…,A56}列为横行～则刚好交互为一个二维坐标系。将横竖两个数组的共同数记录在其交点处～则刚好组成一个5*56的矩阵～记为“条件矩阵”。为了方便统计～再增加一列～在每一行末尾进行统计～如果此行B中5

个交点值达到要求～则表明这5组数据{Z1～Z2～Z3～Z4～Z5}满足开奖结果为B的数组的要求。同理～全部56组都满足要求～则表明这5组数据{Z1～Z2～Z3～Z4～Z5}满足全部开奖结果的可能性下达到要求～也就是“不管怎样都可以符合要求”了。

上面的表述就是“聪明组合”的基本原理～在数学上表述为两个数组的集合的对应数组的交集全部满足条件。上例中要求5*56的矩阵～每一个交点处数据满足要求即等价于题设要求。

那么在实际求解中～我们并不知道是5个数组组合满足最优解的～所以在实际操作中～这个“5”其实是个未知数。假设为X组～那么这个X是不是就没有一个范围呢,在具体的算法中～有范围跟没范围将决定算法的计算量～一般来说可以根据已知的最优解系列得到大致的最优解与全复数组合数之间的关系。这样一来～可以尽可能少地减少计算量。

同时～我们上例中的“56行”表示的是56中开奖结果的可能性～因为我们无法确定到底是哪一组数据最后会是开奖结果～所以我们完全的办法就是满足所有的56组可能性:那么～真正的“聪明”的组合中～必然会考虑到某些结果的权重了～这里的权重就是根据自己的判断得出的可能性的意思。比如说～上一开奖结果～在本次预测中～一般把它的权重降为0～也就是说我们认为设定它出现的可能性接近0,或者大家依据其他条件进行判断某些组号里面的结果不会

出现～也可以降低权重。那么～最后进行求解的时候～我们的算法设计就会一句权重大小进行排序执行了。比如说～排除掉了6组数组,权重为0,～则条件矩阵中只要满足5*50的矩阵交点达到要求即可。

这样～我们的算法设计就可以依照权重的思路进行了～可以得出一般解与最优解。那么这样的求解结果到底是不是“最聪明”的呢,不论是一般解还是最优解都不一定是。

为什么呢,因为这种思路的大前提是“满足一次覆盖即可”～它只要求“做到了覆盖成员最少”～并不是要求“单次全覆盖成本最优”。怎么理解这些概念呢,还是以上面的“大乐透选8中5保4”为例来分析。普通的旋转矩阵得出的结果往往是只要能确保一定中1组满足中4个数的投注就行～并没有考虑能否再加几注～或许就能保证中2组～也就是说并没有考虑“最大价值的组合”而只是“纯粹的解题”。

最大价值组合是什么概念呢,比如上例中～普通旋转矩阵得出的5注可以保证至少中一注中4的投注～那么最大价值组合假设是8注～能保证至少中2注中4的投注～显然资金的投注效率提高了。进一步深入理解最大价值组合的概念～可以结合彩票规则,如果是其他行业可以参考其行业规则,～对每一个解进行二次加权～这是什么意思呢,就好比是求出了一个解～如果不考虑附加规则～纯数学上市最优的～但是结合实际的权重,中奖的奖金的多少,不同～自然我们对它

的重视度就不同。所以～考虑到这一层次～那么这个组合就算是最大价值的了。

那么～经过这么多的加权运算～怎么在算法上面进行实施呢,我们只要抓住一个根本就行～那就是“条件矩阵”～这是整个算法的核心阵地～所有的加权都只是运算后的过滤条件。这样一来～我们就可以把算法程序化了。

那么程序的设计或说算法的设计的步骤是怎么样的呢,

第一步～对投注组合进行编号～全部的最大的集合就是全复式投注的组合数组。

第二步～确定“工具数组”与“靶数组”。这里的“数组”是指投注组合的编号的集合～前面已经解释。工具数组指的是用来进行进行组合的数组～也就是最后几个数组的母数组集合～通俗地将就是“可以拿来用的投注”。一般而言～工具数组是复式投注的组合数组～比如上例中就是{01~56}。我们最后得出的“聪明组合”或最大价值组合都是这个工具数组的子集～也就是说都是从这里面选的元素～称为“目标组合”。靶数组指的是需要被满足的数组集合～它是复式投注的组合集合的子集。“靶”代表的意义是“可能的结果”～比如彩票行业中～指的是可能的开奖结果。对靶数组进行加权～本质上是对“可能的结果”进行预测～这里可以加入多种不同的预测方法,加权函数,～比如彩票行业中～对往期出现的开奖结果一般可以直接排除～那么把权重降为0～对与上期和值相同的也可以降低权重～对遗漏值、和值进行一

定的范围规划也可以用来进行加权等等～这些具体加权方法可以任意发挥。

想表述一点的是这里面的“数组”很容易让人搞混淆～因为每一注是一个数组～而进行投注的组合又是数组～准确的讲是数组的一个集合～而求解中的条件加权筛选与结果加权判定也是对数组的操作～实际上是对数组的数组进行数组集运算～然后对这个集合进行再一次的集合运算。为了方便就必须进行“减少维度”～把每一个可能的投注编号～每一个编号可以查询得到对应的投注数组～然后对这些编号进行排列组合:

第三步～构造“条件矩阵”。其实只要把“工具数组”与“靶数组”进行横竖两维布臵就得出了一个二维矩阵。

第四步～对条件矩阵进行判定与筛选。我们的最终目的是为了得出自己想要的组合～怎么判断某一目标组合到底符不符合要求呢,自然需要把要求列出来～然后进行判定。

第五步～快速有效的求解。这是对第四步的具体化操作～也就是说怎么根据已经设定好的条件要求等等进行运算出最佳的答案来。因为每一个目标组合都是工具数组的子集～那么目标组合的可能的数量就是工具数组的元素的全部组合数了～如果工具数组有n个元素～那么目标组合就有2^n-1种～任意的选择m个元素的目标组合有C(n～m)种。我们现在的难点就是如何构造一个算法～可以较快地得出一个目标

组合。如果工具数组包含的元素数n不大～可以采取枚举法～也就是把2^n-1种全部枚举进行判定～选择结果最佳的组合即可。但是随着n值增大～求解过程呈现指数级别增加～显然这不能算一种好的算法。一下列出几种算法供参考。

一、权重法。对每一个工具数组元素进行测试～以满足靶数组元素数量进行第一次加权排序。然后对加入目标组合的元素进行上述测试～对结果进行逆排序～也就是目标函数的元素都要求尽可能不重复满足靶数组的某些元素～这样就可以“均摊开来”满足靶数组的元素～或者说靶数组的被满足的元素之间被满足的次数尽可能都是相同的。

二、碰撞法。这个算法类似于退火算法～对每一目标组合的元素进行“碰撞”～如果元素的“有效性不够”～则被退换下来。这里的有效性指的是满足靶数组的元素的个数。然后这个元素把这个特性传递给自己“同性集合”的其他元素～然后其他元素替补上去进行测试～如果还是不行～则传递给周边“同行集合”。这里的同行集合指的是能满足某一个靶元素的工具数组元素的集合。

三、缩水法。先选择一个基数进行枚举组合～然后对目标组合进行不断的替换与删除元素～逐渐缩小基数～最后达到无法替换与删除元素即为最终解。

四、小峰值组合法。选定一个小基数～进行组合～把得出的满足靶元素最多的组合,小峰值,进行集合～然后以这个峰值集合里的元素进行组合。

至此～讲述完了传统的“恰好全部至少有一次覆盖”的简单目标向“恰好全部覆盖一次的最少成本”的目标升级及其算法的研究与分析。

祝愿大家好运:鉴于有限的知识水平～期待同道中人互相帮扶～指出文中漏洞～提出宝贵建议。也希望本文能启发大家对相应数学应用的继续研究。谢谢:

个号码中保旋转矩阵

19个号码中6保5旋转矩阵 共计：783注(金额：￥1566元) 01,05,08,11,16,19 01,02,03,04,05,06 02,06,07,10,14,18 04,05,09,12,13,18 01,05,08,15,18,19 01,02,03,04,08,14 02,06,07,10,16,17 04,05,09,12,15,17 01,05,09,10,11,16 01,02,03,04,10,18 02,06,07,11,12,17 04,05,09,13,16,17 01,05,09,10,15,18 01,02,03,04,11,15 02,06,07,13,15,16 04,05,10,11,14,19 01,05,09,12,14,18 01,02,03,04,18,19 02,06,07,17,18,19 04,05,10,13,14,16 01,05,10,11,12,14 01,02,03,05,06,10 02,06,08,09,11,16 04,05,10,13,17,19 01,05,10,11,13,18 01,02,03,05,06,18 02,06,08,10,13,17 04,05,11,15,16,17 01,05,10,12,13,15 01,02,03,05,12,18 02,06,08,11,13,14 04,06,07,08,10,16 01,05,10,13,14,19 01,02,03,06,09,12 02,06,08,11,14,15 04,06,07,08,11,17 01,05,10,13,16,17 01,02,03,07,08,09 02,06,10,12,15,18 04,06,07,09,13,17 01,05,11,12,15,17 01,02,03,07,09,16 02,06,10,13,18,19 04,06,07,11,12,15 01,05,12,13,17,19 01,02,03,07,16,19 02,06,11,12,13,19 04,06,07,11,13,16 01,05,12,16,17,18 01,02,03,08,09,10 02,06,11,12,14,15 04,06,07,12,13,19 01,06,07,08,10,11 01,02,03,10,11,12 02,06,11,14,16,19 04,06,07,12,17,18 01,06,07,08,11,12 01,02,03,11,13,17 02,06,14,16,18,19 04,06,07,14,15,16 01,06,07,09,16,18 01,02,03,12,14,15 02,07,08,09,18,19 04,06,08,09,11,19 01,06,07,11,14,18 01,02,03,13,14,15 02,07,08,10,12,14 04,06,08,09,17,18 01,06,07,14,16,17 01,02,03,16,17,18 02,07,08,10,12,18 04,06,08,11,18,19 01,06,08,09,13,15 01,02,04,05,11,16 02,07,08,11,13,17 04,06,08,12,13,14 01,06,08,10,12,15 01,02,04,06,12,17 02,07,08,15,16,17 04,06,09,10,12,15 01,06,08,11,14,16 01,02,04,06,14,16 02,07,09,10,11,19 04,06,09,10,13,14 01,06,09,12,13,19 01,02,04,06,17,18 02,07,09,10,12,13 04,06,10,14,15,17 01,06,10,11,18,19 01,02,04,07,08,15 02,07,09,11,12,15 04,06,11,15,16,19 01,06,10,13,14,17 01,02,04,07,10,13 02,07,09,11,13,18 04,06,13,15,16,18 01,06,10,14,16,19 01,02,04,07,15,19 02,07,09,12,14,16 04,07,08,09,10,13 01,06,11,12,13,17 01,02,04,07,17,19 02,07,09,14,15,17 04,07,08,09,11,17 01,06,11,14,15,16 01,02,04,08,09,16 02,07,10,11,14,19 04,07,08,09,15,18 01,06,12,15,16,18 01,02,04,08,11,14 02,07,10,13,16,19 04,07,08,13,18,19 01,06,13,15,16,19 01,02,04,09,12,15 02,07,11,13,16,18 04,07,08,14,16,19 01,07,08,10,11,15 01,02,04,10,16,18 02,07,11,15,16,18 04,07,09,10,13,14 01,07,08,10,15,19 01,02,05,06,10,18 02,07,12,14,17,18 04,07,09,12,16,19 01,07,08,12,15,16 01,02,05,07,09,19 02,07,13,14,15,16 04,07,09,14,18,19 01,07,08,12,17,19 01,02,05,07,11,15 02,07,13,14,17,19 04,07,09,15,16,18 01,07,08,13,14,19 01,02,05,08,09,11 02,08,09,10,12,18 04,07,10,11,12,15 01,07,08,13,15,16 01,02,05,08,10,16 02,08,09,10,13,15 04,07,10,11,18,19 01,07,08,14,17,18 01,02,05,08,14,19 02,08,09,11,12,14 04,07,10,14,16,17 01,07,08,17,18,19 01,02,05,09,13,17 02,08,09,12,17,19 04,07,11,12,15,18 01,07,09,10,12,17 01,02,05,09,13,18 02,08,10,11,16,18 04,07,12,13,15,17 01,07,09,10,12,18 01,02,05,09,16,19 02,08,10,13,14,17 04,07,12,13,16,18 01,07,09,10,15,16 01,02,05,10,17,19 02,08,12,13,17,18 04,08,09,10,12,16 01,07,09,11,13,14 01,02,05,12,14,18 02,08,13,14,16,18 04,08,09,15,17,19 01,07,09,12,13,16 01,02,05,13,15,16 02,08,14,15,16,18 04,08,10,11,13,18 01,07,09,14,16,18 01,02,06,07,08,19 02,08,15,16,17,19 04,08,10,12,15,17 01,07,10,11,13,18 01,02,06,07,09,15 02,09,10,12,16,18 04,08,10,14,15,18 01,07,11,12,18,19 01,02,06,07,12,16 02,09,10,16,17,19 04,08,11,12,17,19 01,07,11,16,17,19 01,02,06,08,11,14 02,09,11,13,15,17 04,08,11,13,15,16 01,07,12,14,15,19 01,02,06,08,13,18 02,09,13,14,15,19 04,08,12,13,15,19 01,08,09,10,11,18 01,02,06,09,10,14 02,09,13,16,17,18 04,08,14,15,17,19 01,08,09,10,13,19 01,02,06,09,15,17 02,10,11,12,15,19 04,09,10,11,16,19 01,08,09,10,14,17 01,02,06,10,12,13 02,10,11,13,15,16 04,09,10,17,18,19 01,08,09,11,12,18 01,02,06,10,13,16 02,10,11,14,17,18 04,09,11,12,14,17 01,08,09,11,15,19 01,02,06,11,13,15 02,10,12,15,17,18 04,09,11,13,14,15 01,08,09,13,14,17 01,02,06,11,17,19 02,11,15,17,18,19 04,09,11,16,18,19 01,08,09,14,16,19 01,02,06,12,13,14 02,12,13,14,16,17

旋转矩阵公式法

旋转矩阵公式法！一，选11个号，中了5个号，100%能组合到4个号。假设你选了01、02、03、04、05、06、07、08、09、10、11，则可以组合成以下22注，需投入44元： （1）01、05、07、09、11 （2）01、05、06、08、10 （3）01、04、06、08、09 （4）01、04、05、07、10 （5）01、03、07、08、11 （6）01、03、04、09、10 （7）01、02、06、10、11 （8）01、02、04、08、11 （9）01、02、03、06、07 （10）01、02、03、05、09 （11）02、07、08、09、10 （12）02、05、06、07、08 （13）02、04、07、09、11 （14）02、04、05、06、09 （15）02、03、05、10、11 （16）02、03、04、08、10 （17）03、06、08、09、11 （18）03、06、07、09、10 （19）03、04、05、07、08 （20）03、04、05、06、11 （21）04、06、07、10、11 （22）05、08、09、10、11 二，选11个号，中了4个号，100%能组合到4个号。假设你选了01、02、03、04、05、06、07、08、09、10、11，则可以组合成以下66注，只要132元就能搞定： （1）01、07、08、09、10 （2）01、06、07、09、11 （3）01、05、08、09、11 （4）01、05、07、10、11 （5）01、05、06、08、10 （6）01、04、09、10、11 （7）01、04、06、08、11 （8）01、04、06、07、10 （9）01、04、05、07、08 （10）01、04、05、06、09 （11）01、03、08、10、11 （12）01、03、06、09、10 （13）01、03、06、07、08 （14）01、03、05、07、09 （15）01、03、05、06、11 （16）01、03、04、08、09 （17）01、03、04、07、11 （18）01、03、04、05、10

11选5中5保4 旋转矩阵

可购买五码复式任选四 选5型中5保4 旋转矩阵10个号 1 01 0 2 0 3 05 07 2 01 02 0 3 08 10 3 01 02 06 09 10 4 01 03 04 0 5 09 5 01 03 05 09 10 6 01 04 05 06 08 7 01 04 05 07 10 8 01 06 07 08 09 9 02 03 04 06 10 10 02 03 05 06 08 11 02 04 06 07 09 12 02 04 07 08 09 13 02 05 07 08 09 14 02 05 07 08 10 15 03 04 06 07 08 16 03 06 07 09 10 17 04 05 08 09 10 选5型中5保4 旋转矩阵9个号 1 01 0 2 0 3 05 07 2 01 02 04 06 08 3 01 02 0 4 07 09 4 01 03 0 5 0 6 09 5 01 03 05 08 09 6 02 03 04 05 09 7 02 05 06 07 08 8 02 06 07 08 09 9 03 04 06 07 08 10 04 05 06 07 08 选5型中5保4 旋转矩阵8个号 1 01 0 2 0 3 07 08 2 01 0 3 0 4 0 5 08 3 01 03 0 4 06 08 4 01 03 0 5 0 6 08 5 02 04 05 0 6 07

选5型中5保4 旋转矩阵11个号 1 1 2 3 4 11 2 1 3 5 6 8 3 1 4 7 8 9 4 2 3 6 10 11 5 3 4 6 9 10 6 4 6 8 9 10 7 1 2 4 6 7 8 1 3 5 7 10 9 1 6 8 10 11 10 2 4 5 8 10 11 3 4 7 8 10 12 5 6 7 9 10 13 1 2 5 6 9 14 1 3 7 9 11 15 2 3 4 5 9 16 2 5 7 8 11 17 3 5 8 9 11 18 1 2 8 9 10 19 1 4 5 10 11 20 2 3 6 7 8 21 2 7 9 10 11 22 4 5 6 7 11

旋转变换(一)旋转矩阵

旋转变换（一）旋转矩阵 1. 简介 计算机图形学中的应用非常广泛的变换是一种称为仿射变换的特殊变换，在仿射变换中的基本变换包括平移、旋转、缩放、剪切这几种。本文以及接下来的几篇文章重点介绍一下关于旋转的变换，包括二维旋转变换、三维旋转变换以及它的一些表达方式（旋转矩阵、四元数、欧拉角等）。 2. 绕原点二维旋转 首先要明确旋转在二维中是绕着某一个点进行旋转，三维中是绕着某一个轴进行旋转。二维旋转中最简单的场景是绕着坐标原点进行的旋转，如下图所示： 如图所示点v 绕原点旋转θ角，得到点v’，假设v点的坐标是(x, y) ，那么可以推导得到v’点的坐标（x’, y’)(设原点到v的距离是r，原点到v点的向量与x轴的夹角是? ) x=rcos?y=rsin? x′=rcos(θ+?)y′=rsin(θ+?) 通过三角函数展开得到 x′=rcosθcos??rsinθsin? y′=rsinθcos?+rcosθsin? 带入x和y表达式得到 x′=xcosθ?ysinθ y′=xsinθ+ycosθ 写成矩阵的形式是： 尽管图示中仅仅表示的是旋转一个锐角θ的情形，但是我们推导中使用的是三角函数的基本定义来计算坐标的，因此当旋转的角度是任意角度（例如大于180度，导致v’点进入到第四象限）结论仍然是成立的。 3. 绕任意点的二维旋转 绕原点的旋转是二维旋转最基本的情况，当我们需要进行绕任意点旋转时，我们可以把这种情况转换到绕原点的旋转，思路如下： 1. 首先将旋转点移动到原点处 2. 执行如2所描述的绕原点的旋转 3. 再将旋转点移回到原来的位置

也就是说在处理绕任意点旋转的情况下需要执行两次平移的操作。假设平移的矩阵是T(x,y)，也就是说我们需要得到的坐标v’=T(x,y)*R*T(-x,-y)（我们使用的是列坐标描述点的坐标，因此是左乘，首先执行T(-x,-y)） 在计算机图形学中，为了统一将平移、旋转、缩放等用矩阵表示，需要引入齐次坐标。（假设使用2x2的矩阵，是没有办法描述平移操作的，只有引入3x3矩阵形式，才能统一描述二维中的平移、旋转、缩放操作。同理必须使用4x4的矩阵才能统一描述三维的变换）。 对于二维平移，如下图所示，P点经过x和y方向的平移到P’点，可以得到： x′=x+tx y′=y+ty 由于引入了齐次坐标，在描述二维坐标的时候，使用（x，y，w）的方式（一般w=1），于是可以写成下面矩阵的形式 按矩阵乘法展开，正好得到上面的表达式。也就是说平移矩阵是 如果平移值是（-tx，-ty）那么很明显平移矩阵式 我们可以把2中描述的旋转矩阵也扩展到3x3的方式，变为：

旋转矩阵

三维旋转矩阵 三维旋转特性 给定单位向量u和旋转角度φ，则R(φ,u)表示绕单位向量u旋转φ角度。 R(0,u)表示旋转零度。 R(φ,u)= R(?φ,?u)。 R(π+φ,u)= R(π?φ,?u)。 如果φ=0，则u为任意值。 如果0<φ<π,则u唯一确定。 如果φ= π，则符号不是很重要。因为- π和π是一致的，结果相同，动作不同。 由旋转矩阵求旋转角和旋转轴 每一个三维旋转都能有旋转轴和旋转角唯一确定，好多方法都可以从旋转矩阵求出旋转轴和旋转角，下面简单介绍用特征值和特征向量确定旋转轴和旋转角的方法。 将旋转矩阵作用在旋转轴上，则旋转轴还是原来的旋转轴，公式表示如下： Ru=u 转化得： Ru=Iu =>(R?I)u=0 可以确定的是u在R-I的零空间中，角度可有下面的公式求得，Tr表示矩阵的迹： Tr(R)=1+2cosθ 从旋转轴和旋转角求旋转矩阵 假设给定单位向量u=(u x，u y， u z) T ，并且u为单位向量即： u x2+u y2+u z2=1，给定绕u旋转的角度θ，可以得出旋转矩阵R： R=[cosθ+u x2(1?cosθ)u x u y(1?cosθ)?u z sinθu x u z(1?cosθ)+u y sinθ u y u x(1?cosθ)+u z sinθcosθ+u y2(1?cosθ)u y u z(1?cosθ)?u x sinθ u z u x(1?cosθ)?u y sinθu z u y(1?cosθ)+u x sinθcosθ+u z2(1?cosθ) ] 上面的公式等价于： R=cosθI+sinθ[u]×+(1?cosθ)u?u 其中[u]×是单位向量u的叉乘矩阵，?表示张量积，I是单位向量. 这是罗德里格斯旋转方程的矩阵表示。下面给出叉乘和张量积的公式：

三维旋转矩阵的计算

三维旋转矩阵的计算 旋转矩阵（Rotation matrix）是在乘以一个向量的时候有改变向量的方向但不改变大小的效果的矩阵。旋转矩阵不包括反演，它可以把右手坐标系改变成左手坐标系或反之。所有旋转加上反演形成了正交矩阵的集合。 在三维空间中，旋转变换是最基本的变换类型之一，有多种描述方式，如Euler 角、旋转矩阵、旋转轴/旋转角度、四元数等。本文将介绍各种描述方式以及它们之间的转换。 1. 旋转矩阵 用一个3阶正交矩阵来表示旋转变换，是一种最常用的表示方法。容易证明，3阶正交阵的自由度为3。注意，它的行列式必须等于1，当等于-1的时候相当于还做了一个镜像变换。 2. Euler角 根据Euler定理，在三维空间中，任意一种旋转变换都可以归结为若干个沿着坐标轴旋转的组合，组合的个数不超过三个并且两个相邻的旋转必须沿着不同的坐标轴。因此，可以用三个沿着坐标轴旋转的角度来表示一个变换，称为Euler角。旋转变换是不可交换的，根据旋转顺序的不同，有12种表示方式，分别为：XYZ、XZY、XYX、XZX、YXZ、YZX、YXY、YZY、ZXY、ZYX、ZXZ、ZYZ，可以自由选择其中的一种。对于同一个变换，旋转顺序不同，Euler角也不同，在指定Euler角时应当首先约定旋转顺序。 2.1 Euler角转化为旋转矩阵 不妨设先绕Z轴旋转γ，再绕Y轴旋转β，最后绕X轴旋转α，即旋转顺序为XYZ，旋转矩阵

3. 旋转轴/旋转角度 用旋转轴的方向向量n和旋转角度θ来表示一个旋转，其中 θ>0表示逆时针旋转。 3.1 旋转轴/旋转角度转化为旋转矩阵 设v是任意一个向量，定义

20个号码中6保5旋转矩阵

20个号码中6保5旋转矩阵 共计：1073注(金额：￥2146元) 01,06,08,10,11,12 01,02,03,04,05,06 02,07,08,11,15,17 04,06,09,11,12,19 01,06,08,10,14,17 01,02,03,04,05,07 02,07,08,11,16,18 04,06,09,14,17,19 01,06,08,12,13,15 01,02,03,04,09,14 02,07,08,13,14,15 04,06,09,15,19,20 01,06,08,15,16,18 01,02,03,04,18,20 02,07,08,16,19,20 04,06,09,16,18,20 01,06,09,10,11,17 01,02,03,05,08,15 02,07,09,10,11,14 04,06,10,11,13,19 01,06,09,10,12,19 01,02,03,05,10,19 02,07,09,10,19,20 04,06,10,11,14,19 01,06,09,12,16,17 01,02,03,05,12,17 02,07,09,12,13,18 04,06,11,12,16,20 01,06,09,13,14,18 01,02,03,06,09,10 02,07,09,12,15,16 04,06,11,12,19,20 01,06,09,15,17,18 01,02,03,06,15,17 02,07,09,17,18,19 04,06,11,13,16,17 01,06,10,14,15,17 01,02,03,07,08,09 02,07,10,11,19,20 04,06,11,14,15,17 01,06,10,17,19,20 01,02,03,07,16,19 02,07,10,14,16,19 04,06,13,15,16,18 01,06,11,12,14,16 01,02,03,07,17,18 02,07,10,15,18,20 04,07,08,09,10,14 01,06,11,13,17,20 01,02,03,08,12,16 02,07,11,12,14,20 04,07,08,09,12,18 01,06,11,15,18,19 01,02,03,08,16,19 02,07,12,13,16,19 04,07,08,11,15,19 01,06,12,13,14,16 01,02,03,09,13,18 02,07,12,13,17,18 04,07,08,12,13,18 01,06,12,14,15,20 01,02,03,09,19,20 02,07,13,14,16,17 04,07,08,13,17,19 01,06,14,16,19,20 01,02,03,10,11,12 02,07,13,15,18,19 04,07,08,14,18,19 01,07,08,09,11,18 01,02,03,10,13,17 02,07,13,16,18,20 04,07,09,10,11,12 01,07,08,10,11,20 01,02,03,11,12,13 02,08,09,10,11,15 04,07,09,11,19,20 01,07,08,10,12,19 01,02,03,13,14,15 02,08,09,10,11,19 04,07,09,13,17,18 01,07,08,10,18,20 01,02,03,15,18,19 02,08,09,10,13,18 04,07,09,15,18,19 01,07,08,13,15,16 01,02,03,16,17,18 02,08,09,11,12,20 04,07,10,11,12,15 01,07,08,14,16,17 01,02,03,17,18,20 02,08,09,12,14,16 04,07,10,11,14,16 01,07,09,10,13,14 01,02,04,05,12,19 02,08,09,15,16,18 04,07,10,12,14,17 01,07,09,10,15,17 01,02,04,06,07,14 02,08,09,15,17,19 04,07,10,13,19,20 01,07,09,10,17,19 01,02,04,06,11,20 02,08,09,16,17,18 04,07,10,14,16,18 01,07,09,10,18,19 01,02,04,06,15,18 02,08,10,12,16,19 04,07,10,17,18,19 01,07,09,11,12,13 01,02,04,07,08,17 02,08,10,13,14,20 04,07,11,12,13,17 01,07,09,11,15,17 01,02,04,07,09,17 02,08,10,15,16,20 04,07,11,13,16,18 01,07,09,12,14,19 01,02,04,07,10,13 02,08,11,12,13,19 04,07,11,15,17,18 01,07,09,13,15,20 01,02,04,07,11,18 02,08,11,13,18,19 04,07,12,13,16,20 01,07,09,13,17,20 01,02,04,07,13,16 02,08,12,18,19,20 04,07,14,15,16,19 01,07,09,14,15,17 01,02,04,07,17,19 02,08,13,16,17,20 04,07,15,16,17,18 01,07,09,14,16,18 01,02,04,08,09,14 02,09,10,15,17,20 04,08,09,10,14,16 01,07,10,15,16,20 01,02,04,08,11,14 02,09,10,16,19,20 04,08,09,11,17,20 01,07,11,13,14,19 01,02,04,08,12,13 02,09,11,13,15,18 04,08,09,12,15,17 01,07,11,13,15,19 01,02,04,09,12,15 02,09,11,13,15,19 04,08,09,13,19,20 01,07,11,13,17,19 01,02,04,10,16,17 02,09,11,14,17,20 04,08,10,11,12,16 01,07,11,14,15,20 01,02,04,13,14,17 02,09,12,14,17,20 04,08,10,11,13,18 01,07,11,16,17,19 01,02,04,13,15,17 02,09,13,14,15,20 04,08,10,11,18,20 01,07,12,14,16,20 01,02,04,16,18,19 02,09,14,16,18,19 04,08,10,12,17,19 01,07,13,14,18,20 01,02,04,16,19,20 02,09,15,16,17,19 04,08,10,15,17,18 01,08,09,10,13,19 01,02,05,06,07,16 02,10,13,14,16,19 04,08,11,12,16,17 01,08,09,10,15,19 01,02,05,06,09,20 02,10,14,15,17,19 04,08,11,17,19,20 01,08,09,11,12,15 01,02,05,06,10,14 02,11,12,13,15,20 04,08,12,14,19,20 01,08,09,11,13,15 01,02,05,07,11,15 02,11,12,14,15,19 04,08,13,14,15,18 01,08,09,12,14,20 01,02,05,07,12,20 02,11,12,15,16,18 04,08,14,15,17,20 01,08,09,12,17,18 01,02,05,07,15,19 02,11,12,16,17,19 04,09,10,13,14,17 01,08,09,14,15,19 01,02,05,08,09,10 02,11,13,14,17,18 04,09,10,13,15,16 01,08,10,12,14,15 01,02,05,08,09,19 02,12,13,15,17,18 04,09,10,18,19,20

旋转矩阵原理

旋转矩阵原理 揭秘大乐透旋转矩阵原理及算法 (2014-08-07 13:16:36) 转载? 标分类: 艺眸原创教程 签: 股票 财经 彩票 旋转 矩阵 大乐 透 摘要:本研究针对乐透型彩票模型～采用的覆盖设计数学方法～并针对传统的“恰好全部至少有一次覆盖”的简单目标向“恰好全部覆盖一次的最少成本”的目标升级。此研究的理论依据并不是概率论～是纯粹的数据组合。算法可用于研究并不仅限于乐透型彩票的选号应用～可以拓展应用于医药测试、育种等等其他领域。算法的可靠度较强～算法的 测试结果接近最优解的100%~95%,算法仅供参考学习研究～请勿用于其他目的。 关键词:彩票,旋转矩阵,覆盖设计,算法。 一、绪论

改革开放30多年来～随着人们的精神生活日益丰富～公益彩票行业也激起了广大群众的参与热情～其中原由一是出于对公益事件的支持～二是受彩票巨额奖金的吸引。众所周知～彩票的开奖结果是随机性极强的～国家也大力支持开奖过程的透明化。然而毕竟受到诸多因素限制～即便结果接近“随机”～也呈现出一定规律。这种规律的研究方法很多～较于广大彩民接受的是统计法以及概率论。对于更高层的部分“技术彩民”而言～简单的统计与概率学分析已经无法满足对研究的准确性的要求～因为相对于开奖结果数量的千万种～现有的标本才几千个根本无法作出准确的判断～于是数据的组合运筹开始得到彩民的接受与青睐～因为这种方法可以“摆脱概率”。 在彩票数据的组合之中～有一种方法叫做“聪明组合”～其目标是提高中奖机会。这种所谓的“聪明组合”就是一种数学里面的覆盖设计～简单地讲就是把“可供用于选择的数据”最少地选择～要求是“牺牲最大的胃口能满足最佳的要求”。当然不同的覆盖设计具有不同的设计目标。网络上流 行的一些“中6保5”“中5保4”之类的就是“聪明组合”的应用。 为了更好地让读者理解后文所说的“恰好全部覆盖一次的最少成本”这一概念～先讲述一下所谓的“中M保N”到底是怎么回事。 举个实例:大乐透35选5,篮球12选2的研究此处略去,～如果选择8个数～这8个数里面如果有即将开奖的5个数～现在通过一个组合～要求不管怎样～这个组合都能保证至少有一组能满足中4个,也有可能中5个,。那么～我们称这个组合叫做“大乐透选8中5保4”的“聪明组合”。比如选择的是 {01,02,03,04,05,06,07,08}～开奖结果在这8个数内～下面的组合,5注,将保证能至少有一个中4个结果。 01,02,03,05,08 01,02,04,06,07

旋转矩阵

性质 设是任何维的一般旋转矩阵: ?两个向量的点积(内积)在它们都被一个旋转矩阵操作之后保持不变: ?从而得出旋转矩阵的逆矩阵是它的转置矩阵: 这里的是单位矩阵。 ?一个矩阵是旋转矩阵，当且仅当它是正交矩阵并且它的行列式是单位一。正交矩阵的行列式是±1；如果行列式是?1，则它包含了一个反射而不是真旋转矩阵。 ?旋转矩阵是正交矩阵，如果它的列向量形成的一个正交基，就是说在任何两个列向量之间的标量积是零(正交性)而每个列向量的大小是单位一(单位向量)。 ?任何旋转向量可以表示为斜对称矩阵A的指数: 这里的指数是以泰勒级数定义的而是以矩阵乘法定义的。A矩阵叫做旋转的“生成元”。 旋转矩阵的李代数是它的生成元的代数，它就是斜对称矩阵的代数。生成元可以通过 M 的矩阵对数来找到。 二维空间 在二维空间中，旋转可以用一个单一的角定义。作为约定，正角表示逆时针旋转。把笛卡尔坐 标的列向量关于原点逆时针旋转的矩阵是: 三维空间 在三维空间中，旋转矩阵有一个等于单位1的实特征值。旋转矩阵指定关于对应的特征向量的旋转(欧拉旋转定理)。如果旋转角是θ，则旋转矩阵的另外两个(复数)特征值是 exp(iθ) 和 exp(-i θ)。从而得出 3 维旋转的迹数等于 1 + 2 cos(θ)，这可用来快速的计算任何 3 维旋转的旋转角。

3 维旋转矩阵的生成元是三维斜对称矩阵。因为只需要三个实数来指定 3 维斜对称矩阵，得出只用三个是实数就可以指定一个 3 维旋转矩阵。 [编辑] Roll, Pitch 和 Yaw 主条目：Tait-Bryan角 生成旋转矩阵的一种简单方式是把它作为三个基本旋转的序列复合。关于右手笛卡尔坐标系的x-, y- 和z-轴的旋转分别叫做roll和pitch，yaw旋转。因为这些旋转被表达为关于一个轴的旋转，它们的生成元很容易表达。 ?绕x-轴的主动旋转定义为: 这里的是 roll 角。 ?绕y-轴的主动旋转定义为: 这里的是 pitch 角。 ?绕z-轴的主动旋转定义为: 这里的是 yaw 角。 在飞行动力学中，roll, pitch 和 yaw 角通常分别采用符号, , 和；但是为了避免混淆于 欧拉角这里使用符号, 和。 任何 3 维旋转矩阵都可以用这三个角, , 和来刻画，并且可以表示为roll, pitch 和 yaw 矩阵的乘积。

离散数学模拟题和答案

复习要点 1.加法原理与乘法原理 2.圆排列公式与应用 3.鸽巢原理及其应用 4.容斥原理及其应用（错位排列数D n） 5.S(n，k)的意义及计算。 6.B(n，k) 的意义及计算。 7.数值函数的性质及其计算。 8.利用生成函数求解。 9.建立递推关系式。 10.求解递推关系式。 11.Pólya定理的应用。

复习题一 1. 6个男孩和6个女孩围成一个圆圈，若男孩和女孩交替就坐，有多少种方法？ 2. 考试中有15个判断“对”或“错”的答题。允许学生对某些题不回答，有多少种回答方法？ 3. （1）在一边长为1的等边三角形中任取5个点，则其中必有两点，该两点的距离至多为 2 1； （2）在一边长为1的等边三角形中任取10个点，则其中必有两点，该两点的距离至多为 3 1； （3）确定m n ，使得在一边长为1的等边三角形中任取m n 个点，则其中必有两点，该两点的距离至多为 n 1。 4. 一位学生有37天时间准备考试，根据以往的经验，他知道至多只需要60个小时的复习时间，他决定每天至少复习1小时。证明：无论他的复习计划怎样，在此期间都存在连续的一些天，他正好复习了13个小时。 5. 有8个人寄存帽子，问各有多少种方法交还帽子使得 (1) 没有一个人得到自己的帽子。 (2) 至少有一个人得到自己的帽子。 (3) 至少有两个人得到自己的帽子。 6. 已知数值函数 a ：a i =???????≥≤≤==6 5251 200 30i i i i b ：b i =?? ? ??≥≤≤=12 01111 .000i i i 试求：a +b ，a ?b ，S 3a ，S -2b ，△a ，a *b 。 7. 一个质点在水平方向上运动，每秒中走过的距离等于前一秒中走过距离的两倍，已知起始位置为3，第3秒钟时的位置是10，试求第i 秒钟时质点的位置。 8. 已知常系数线性递推关系： c 0a i + c 1a i -1+ c 2a i -2=6的解为a ：a i =3i +4i +2 (i ≥0)，试求c 0，c 1和c 2。 9. 设a i 是如1，1，2，3，5，6，13，21，34，…的Fibonacci 数列，证明： （1）a 0+ a 2+…+a 2i = a 2i +1 （2）a 1+ a 3+…+a 2i -1= a 2i -1 （3）a 02+ a 12+…+ a i 2=a i a i +1 10. 将n 个不同的球放入r 个不同的盒子里，盒内的球是有序的，求其分配方案数。 11. 有n 个不同的整数，从中取出两组来，要求第一组里的最小数大于第二组里的最大数，问有多少种方案？

旋转矩阵、欧拉角、四元数

旋转矩阵、欧拉角、四元数比较 旋转矩阵、欧拉角、四元数主要用于: 向量的旋转、坐标系之间的转换、角位移计算、方位的平滑插值计算 各方法比较 任务/性质旋转矩阵欧拉角四元数 在坐标系间(物体和惯性)旋转点能不能(必须转换到矩 阵) 不能(必须转换到矩 阵) 连接或增量旋转能,但经常比四元数 慢,小心矩阵蠕变的情 况 不能能,比矩阵快 插值基本上不能能,但可能遭遇万向锁 或其他问题Slerp提供了平滑插值 易用程度难易难 在内存或文件中存储9个数3个数4个数 对给定方位的表达方式是否唯一是不是,对同一方位有无 数多种方法 不是,有两种方法,它 们互相为互 可能导致非法矩阵蠕变任意三个数都能构成 合法的欧拉角可能会出现误差积累,从而产生非法的四元数 不同的方位表示方法适用于不同的情况。下面是我们对合理选择格式的一些建议: l 欧拉角最容易使用。当需要为世界中的物体指定方位时,欧拉角能大大的简化人机交互, 包括直接的键盘输入方位、在代码中指定方位(如为渲染设定摄像机)、在调试中测试。这个优点不应该被忽视,不要以”优化”为名义而牺牲易用性,除非你去顶这种优化的确有效果。 2如果需要在坐标系之间转换响亮,那么就选择矩阵形式。当然,这并不意味着你就不能用其他格式来保存方位,并在需要的时候转换到矩阵格式。另一种方法是用欧拉角作为方位的”主拷贝”但同时维护一个旋转矩阵,当欧拉角发生改变时矩阵也要同时进行更新。

3 当需要大量保存方位数据(如:动画)时,就使用欧拉角或四元数。欧 拉角将少占用25%的内存,但它在转换到矩阵时要稍微慢一些。如果动画数据需要嵌套坐标系之间的连接,四元数可能是最好的选择。 4 平滑的插值只能用四元数完成。如果你用其他形式,也可以先转换 到四元数然后再插值,插值完毕后再转换回原来的形式。

离散数学习题二参考答案

离散数学习题二参考答案 第二节 容斥原理和抽屉原理 1.从1到500中,有多少数能被3或5整除？只能被3或5整除的数又有多少个 解：设A=“3的倍数”；B=“5的倍数”，则能被3或5整除的个数 N 233]5 3500[]5500[]3500[||||||||=?-+=-+==AB B A B A ； 只能被3或5整除的数： M 200]5 3500[2]5500[]3500[||2||||||=?-+=-+==AB B A B A 2.(1)一个班级有50名学生，第一次考试有26名得A 等，第二次考试有21名得A ，若两次考试中都没有得A 的有17名，那么两次都得A 的有多少名？ (2)若50名在两次考试中得A 的人数相同，两次中恰有一次得A 的为40名，两次中都没得A 的有4名，那么仅在第一次得A 的有多少名。 解：设A=“第一次考试得A 等”，B=“第二次考试得A 等”，则 (1)|A|=26，|B|=21，17||=?B A ，由||50|||| B A B A B A -==， 所以两次都得A 的人数：N=|AB|=50-26-21+17=14（人） (2)由题意得：40||||||||=-+-AB B AB A ，又||||B A =，所以 20||||=-AB A ，即仅在第一次中得A 的人数M=20||||=-AB A 。 3.在1到3000的整数中，不能被3，5，7中任何一个数整除的有多少个？又有多少个数能被3整除，但不能被5和7整除？ 解：设A=“3的倍数”；B=“5的倍数”，C=“7的倍数”， 则不能被3，5，7中任何一个数整除的个数： N=||||||||||||||||||ABC BC AC AB C B A S C B A -+++---= 1371]7532000[]752000[]732000[]532000[]72000[]52000[]32000[2000=??-?+?+?+---=(个 能被3整除，但不能被5和7整除的个数M= 686]7 532000[]732000[]532000[]32000[||||||||||=??+?-?-=+--=-ABC AC AB A C B A 4.分母是1986的最简真分数共有多少个？ 解：1986=2×3×331，设A=“1986内2的倍数”；B=“1986内3的倍数”；C= “1986内331的倍数”，则 |A ∪B ∪C|=|A|+|B|+|C|-|AB|-|AB|-|BC|+|ABC|= 1325]331 321985[]33131985[]33121985[]321985[]3311985[]31985[]21985[=??+?-?-?-++= 所以，分母是1986的最简真分数的个数N=1985-1325=660（个）。 5.50名同学中，爱好美术的占总数的3/5，爱好音乐的比爱好美术的多3名，音乐和美术都不爱好的人数比两项都爱好的人数的1/3还多1名，问对两项都

旋转矩阵公式表

S=10—13的旋转矩阵公式一览 选10个号码，出7中6型旋转矩阵 A，B，C，D，E，F，G A，B，C，D，H，I，J A，B，C，E，F，H，J A，B，C，E，F，I，J A，B，D，E，F，H，J A，B，D，E，F，I，J A，B，E，F，G，H，I A，C，E，G，H，I，J B，D，F，G，H，I，J C，D，E，F，G，H，I C，D，E，F，G，H，J C，D，E，F，G，I，J 一、10个号码（选6中5 - 12注） 2 3 5 6 7 9 ，1 2 4 7 9 10， 3 4 6 7 8 10 3 4 5 6 9 10 ，1 3 5 6 7 10， 1 2 4 5 6 8 1 2 3 4 8 9 ，1 4 5 7 8 9， 2 3 5 7 8 10 1 2 6 8 9 10 ，1 2 3 4 5 10， 1 3 6 7 8 9 二、11个号码（选6中5 – 19注） 2 3 7 9 10 11，2 4 7 8 10 11，1 3 4 6 7 10

2 3 4 6 8 9，1 4 5 7 8 9，3 5 7 8 9 10 1 2 6 8 9 10，1 2 3 4 5 10，1 2 3 7 8 11 1 2 4 6 7 11，2 4 5 8 9 11，3 4 5 6 7 11 1 2 3 5 6 9，2 5 6 7 8 10，1 3 4 8 9 11 1 6 7 8 9 11， 三、12个号码（选6中5 – 33注） 2 3 9 10 11 12， 4 7 8 10 11 12，1 3 6 7 10 12 1 2 5 8 10 12， 1 5 7 9 11 12，3 5 6 8 11 12 2 3 4 6 8 10， 2 6 7 8 9 12，3 5 8 9 10 12 4 5 6 9 10 12， 1 3 4 5 10 11，2 3 7 8 10 11 1 2 4 7 9 10， 2 4 5 8 9 11，3 4 6 7 9 11 1 2 3 5 6 9， 2 5 6 7 10 11，1 3 4 8 9 12 1 6 8 9 10 11， 1 4 5 6 7 8，1 4 5 6 10 11 2 3 4 5 7 12， 1 3 4 8 11 12，1 2 3 5 7 11 1 3 7 8 9 11， 1 2 4 6 9 12，1 2 4 10 11 12 1 2 6 8 11 12， 1 2 3 4 7 8，2 4 6 7 11 12 1 2 3 6 9 11， 5 6 7 8 9 10，3 4 5 7 9 10 四、13个号码（选6中5 - 56注） 3 9 10 11 12 13， 4 7 8 10 12 13，1 3 6 7 12 13 1 2 5 6 7 10，1 2 5 7 12 13，5 6 8 11 12 13