坐标系中三角形面积

用坐标求几何图形的面积

引入：如图所示,C,D两点的横坐标分别为2,3,线段CD=1;B,D两点的横坐标分别为-2,3,线段BD=5;A,B两点的横坐标分别为-3,-2,线段AB=1.

(1)如果x轴上有两点M(x1,0),N(x2,0)(x1

(2)如果y轴上有两点P(0,y1),Q(0,y2)(y1

（3）如果 A(2,2),B(2,5),那么AB=______________

(4) 如果 A(2,3),B(-5,3),那么AB=_________

一、求三角形面积

（1）有一边在坐标轴上

例1 如图1，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（－3，0），（0，3），（0，－1），求三角形ABC的面积？

（2）、有一边与坐标轴平行

例2 如图2，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（4，5），C（-1，2），求三角形ABC的面积.

（3）、三边均不与坐标轴平行

例3 如图2,平面直角坐标系中，已知点A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），你能求出三角形ABC的面积吗？

练习：

1、已知：△ABC 中，A（0，3），B（0，-2），C(-2, 1/2)，画出图形，求△ABC的面积;

2，如图，在三角形AOB中，A、B两点的坐标分别为（2,4）、（6，2），

求三角形AOB的面积.

二，求四边形的面积：

（1）求规则四边形的面积

例1、已知：四边形BCDE 中，B(3，0)，C(3,2)，D(1,3), E(1,0)，画出图形，求四边形BCDE 的面积;

（2）求不规则四边形的面积：

例2，如图，四边形ABCD各个顶点的坐标分别为（– 2，8），（– 11，6），（– 14，0），（0，0）。

确定这个四边形的面积，你是怎么做的？

练习：

1，在平面直角坐标系中，顺次连接点A（-2,0）、B（0,3）、C（3,3）、D（4,0）.

（1）得到的是什么图形？

（2）求该图形的面积.

2，已知：四边形ABCD 中，A(-3,0)，B(3，0)，C(3,2)，D(1,3), 画出图形，求四边形ABCD的面积;

等腰三角形、全等三角形及平面直角坐标系

等腰三角形、全等三角形及直角坐标 教学课题 等腰三角形、全等三角形及直角坐标 教学目标 1、 能证明全等三角形 2、 掌握等腰（等边）三角形的性质，会判定等腰（等边）三角形 3、 掌握平面直角坐标系及相关概念, 类比（由数轴到平面直角坐标系）的方法、数形结合的 思想． 教学重、难点 灵活运用四种全等三角形判定定理；构建平面直角坐标系，掌握平面内点与坐标的对应． ◆ 诊查检测： 1、 如图所示，某同学把一块三角形玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事 的办法是（ ） A.带①去 B.带②去 C.带③去 D.带①和②去 2、 一个正方形在平面直角坐标系中三个点的坐标为（-2，-3）、（-2，-1）、 （2，1），则第四个顶点的坐标为（ ） A ．（2，2） B.（3，2） C.（2，-3） D.（2，3） 3、判断题：① 两边和一角对应相等的两个三角形全等.（ ） ② 两角和一边对应相等的两个三角形全等.（ ） ③ 两条直角边对应相等的两个三角形全等. （ ） ④ 腰长相等，顶角相等的两个等腰三角形全等. （ ） ⑤ 三角形中的一条中线把三角形分成的两个小三角形全等.（ ） ⑥ 两个等边三角形全等（ ）. ⑦ 一腰和底边对应相等的两个等腰三角形全等. （ ） ⑧ 腰长相等，且都有一个40°角的两个等腰三角形全等.（ ） ⑨ 腰长相等，且都有一个100°角的两个等腰三角形全等.（ ） ⑩ 有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等． （ ） 4、(1)等腰三角形的一个角是110°，它的另外两个角的度数是 (2)等腰三角形的一个角是80°，它的另外两个角的度数是 5、点A （2，0），B （-3，0），C （0，2），则△ABC 的面积为 ． 6、已知：如图，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ． 求证：AB=AD ． D C A B

坐标三角形及其面积

坐标三角形及其面积 坐标三角形 在平面直角坐标系中,直线()0≠+=k b kx y 与两条坐标轴围成的三角形叫做坐标三角形.坐标三角形是直角三角形. 如图（1）所示,直线()0≠+=k b kx y 与x 轴交于点A ?? ? ??-0,k b ,与y 轴交于点B ()b ,0,Rt △AOB 就是一个坐标三角形. 正比例函数的图象不存在坐标三角形. 与坐标三角形有关的问题: （1）已知直线的解析式,求坐标三角形的面积. （2）求原点O 到直线的距离,即求坐标三角形斜边上的高.（等积法） （3）已知坐标三角形的面积,求直线的解析式. 在图（1）中,因为点A ?? ? ??-0,k b 、B ()b ,0,所以 b OB k b k b k b OA ===-=,, △AOB 的面积为k b OB OA S AOB 2212 =?=?. 于是得到下面的结论: 在平面直角坐标系中,直线()0≠+=k b kx y 与两条坐标轴围成的坐标三角形的面积为 k b S 22 =.（只用于解决选择题和填空题,以及某些解答题答案的检验） 图（1）坐标三角形

图（2） 在解决关于坐标三角形的问题时,应注意分类讨论思想的应用. 习题1. 直线4+-=x y 与两条坐标轴围成的三角形的面积为_________. 习题2. 若直线b x y +-=2与两坐标轴围成的三角形的面积为1,则b 的值为【 】 （A ）4 （B ）4- （C ）4± （D ）2± 分析:使用坐标三角形的面积公式k b S 22 =解决问题. 解:由题意可知: 1222 =-b ,解之得:2±=b . 习题3. 已知直线32 1 -= x y . （1）求该直线x 轴、y 轴的交点坐标; （2）求该直线与两条坐标轴围成的三角形的面积. 习题4. 已知一次函数42+=x y . （1）在如图（2）所示的平面直角坐标系中,画出函数的图象; （2）求图象与x 轴的交点A 的坐标,与y 轴的交点B 点的坐标; （3）在（2）的条件下,求△AOB 的面积.

八年级全等三角形易错题(Word版 含答案)

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难） 1．如图1，在平面直角坐标系中，点D（m，m+8）在第二象限，点B（0，n）在y轴正半轴上，作DA⊥x轴，垂足为A，已知OA比OB的值大2，四边形AOBD的面积为12． （1）求m和n的值． （2）如图2，C为AO的中点，DC与AB相交于点E，AF⊥BD，垂足为F，求证：AF＝DE． （3）如图3，点G在射线AD上，且GA＝GB，H为GB延长线上一点，作∠HAN交y轴于点N，且∠HAN＝∠HBO，求NB﹣HB的值． 【答案】（1） 4 2 m n =- ? ? = ? （2）详见解析；（3）NB﹣FB＝4（是定值），即当点H在GB的延长线上运动时，NB﹣HB的值不会发生变化． 【解析】 【分析】 （1）由点D，点B的坐标和四边形AOBD的面积为12，可列方程组，解方程组即可；（2）由（1）可知，AD＝OA＝4，OB＝2，并可求出AB＝BD＝25，利用SAS可证 △DAC≌△AOB，并可得∠AEC＝90°，利用三角形面积公式即可求证； （3）取OC＝OB，连接AC，根据对称性可得∠ABC＝∠ACB，AB＝AC，证明 △ABH≌△CAN，即可得到结论. 【详解】 解：（1）由题意()() 2 1 812 2 m n n m m --= ? ? ? ++-= ?? 解得 4 2 m n =- ? ? = ? ； （2）如图2中， 由（1）可知，A（﹣4，0），B（0，2），D（﹣4，4），

∴AD ＝OA ＝4，OB ＝2， ∴由勾股定理可得：AB ＝BD ＝25， ∵AC ＝OC ＝2， ∴AC ＝OB ， ∵∠DAC ＝∠AOB ＝90°，AD ＝OA ， ∴△DAC ≌△AOB （SAS ）， ∴∠ADC ＝∠BAO ， ∵∠ADC +∠ACD ＝90°， ∴∠EAC +∠ACE ＝90°， ∴∠AEC ＝90°， ∵AF ⊥BD ，DE ⊥AB ， ∴S △ADB ＝ 12?AB ?AE ＝1 2 ?BD ?AF ， ∵AB ＝BD ， ∴DE ＝AF ． （3）解：如图，取OC ＝OB ，连接AC ，根据对称性可得∠ABC ＝∠ACB ，AB ＝AC ， ∵AG ＝BG ， ∴∠GAB ＝∠GBA ， ∵G 为射线AD 上的一点， ∴AG ∥y 轴， ∴∠GAB ＝∠ABC ， ∴∠ACB ＝∠EBA ， ∴180°﹣∠GBA ＝180°﹣∠ACB ， 即∠ABG ＝∠ACN ， ∵∠GAN ＝∠GBO ， ∴∠AGB ＝∠ANC ， 在△ABG 与△ACN 中， ABH ACN AHB ANC AB AC ∠=∠?? ∠=∠??=? ， ∴△ABH ≌△ACN （AAS ）， ∴BF ＝CN ， ∴NB ﹣HB ＝NB ﹣CN ＝BC ＝2OB ，

全等三角形与坐标系

全等三角形与坐标系 1、如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l 2、l 3、l4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3（h1＞0，h2＞0，h3＞0）。 （1）求证h1=h3； （2）设正方形ABCD的面积为S.求证S=（h2+h3）2+h12； （3）若，当h1变化时，说明正方形ABCD的面积为S随h1的变化情况。 2、已知△ABC为等腰直角三角形，当顶点C坐标是（2，2）时，（1）判断CD与CE的数量关系；（2）求∠COE 的度数；（3）求四边形OECD的面积。 3、如图，已知平面直角坐标系中点A坐标为（2，3），点B坐标为（3，-2）。判断△AOB的形状，并证明。 4、在平面直角坐标系中，点A、B同时从原点出发，分别沿x轴、y轴的正方向运动，其中点A的速度为每秒2个单位，点B的速度为每秒1个单位，经过t秒后，请在线段OA的对称轴上取一点P，使△PAB是以AB为腰的等腰直角三角形，求出点P的坐标。（用含t的代数式表示）

5、已知点A（2，3），点C（4，4），若△ABC为等腰直角三角形且∠ACB=90°，AC=BC，求点B的坐标。 6、如图，平面直角坐标系中，点A、B分别在x,y轴上，点B的坐标为（0，1），∠BAO=30°。 （1）求AB的长度； （2）以AB为一边作等边△ABE，作OA 的垂直平分线MN交AB的垂线AD于点D。求证：BD=OE； （3）在（2）的条件下，连接DE交AB于点F，求证：F为DE的中点。 7、如图，在平面直角坐标系中，A（a,0），B（0，b）,且a、b满足（），点C、B关于x轴对称。 （1）求A、C两点坐标； （2）点M为射线OA上A点右侧一动点，过点M作MN CM交直线AB于N，连接BM，是否存在点M，使 S△AMN=S△AMB？若存在，求出M点的坐标；若不存在，说明理由。 （3）点P为第二象限角平分线上一动点，将射线BP绕B点逆时针旋转30°交x轴于点Q，连PQ，在点P运动过程中，点∠BPQ=45°时，求BQ的长。

坐标系内三角形面积的求法

坐标系内三角形面积的求法 平面直角坐标系内三角形面积的计算问题，是一类常见题型，也是坐标系内多边形面积计算的基础，那么如何解决这类问题呢？ 一、三角形的一边在坐标轴上 例1 如图1，三角形ABC 的三个顶点的坐标分别是A(4,0),B(-2,0),C(2,4),求三角形ABC 的面积. 分析：要求三角形的面积，需要分别求出底边及其高.由图1可知，三角形ABC 的边AB 在x 轴上，容易求得AB 的长，而AB 边上的高，恰好是C 点到x 轴的距离，也就是C 点的纵坐标的绝对值. 解：因为A(4,0),B(-2,0),所以AB=4-（-2）=6.因为C(2,4),所以C 点到x 轴的 距离，即AB 边上的高为4，所以三角形ABC 的面积为12462 1=??. 二、三角形有一边与坐标轴平行 例1 如图2，三角形ABC 三个顶点的坐标分别为A （4，1），B （4，5），C （-1，2），求三角形ABC 的面积. 分析：由A （4，1），B （4，5）两点的横坐标相同，可知边AB 与y 轴平行，因而AB 的长度易求.作AB 边上的高CD ，则D 点的横坐标与A 点的横坐标相同，也是4，这样就可求得线段CD 的长，进而可求得三角形ABC 的面积. 解：因为A ，B 两点的横坐标相同，所以边AB ∥y 轴，所以AB=5-1=4. 作AB 边上的高CD ，则D 点的横坐标为4，所以CD=4-（-1）=5，所以三角形ABC

的面积为10542 1=??. 三、坐标平面内任意三角形的面积 例3 如图3，在直角坐标系中，三角形ABC 的顶点均在网格点上.其中A 点坐标为（2，-1），则三角形ABC 的面积为______平方单位. 分析：本题中三角形ABC 的任何一边都不在坐标轴上或与坐标轴平行，因此直接运用三角形的面积公式不易求解.可运用补形法，将三角形补成长方形，从而把求一般三角形面积的问题转化为求长方形面积与直角三角形面积的问题. 解：由题意知，B （4，3），C(1,2).如图4，过点A 作x 轴的平行线，过点C 作y 轴的平行线，两线交于点E.过点B 分别作x 轴、y 轴的平行线，分别交EC 的延长线于点D ，交EA 的延长线于点F.则长方形BDEF 的面积为3×4=12，三 角形BDC 的面积为5.13121=??, 三角形CEA 的面积为5.1312 1=??，三角形ABF 的面积为4422 1=??.所以三角形ABC 的面积为: 长方形BDEF 的面积 - （三角形BDC 的面积+三角形CEA 的面积 + 三角形ABF 的面积）=12-(1.5+1.5+4)=5（平方单位）.

全等三角形及平面直角坐标系复习题

全等三角形及平面直角坐标系复习题 1．下列说法：①全等图形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等，其中正确的说法为（） Ａ．①②③④Ｂ．①③④Ｃ．①②④Ｄ．②③④ 2．对于两个图形，给出下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长和面积都相等；④两个图形的形状相同，大小也相等．其中能获得这两个图形全等的结论共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个 3. 下列各点中，在第二象限的点是（） A. （2，3） B. （2，-3） C. （-2，-3） D. （-2，3） 4. 将点A（-4，2）向上平移3个单位长度得到的点B的坐标是（） A. （-1，2） B. （-1，5） C. （-4，-1） D. （-4，5） 5. 如果点M（a-1，a+1）在x轴上，则a的值为（）A. a=1 B. a=-1 C. a>0 D. a的值不能确定 6. 点P的横坐标是-3，且到x轴的距离为5，则P点的坐标是（） A. （5，-3）或（-5，-3） B. （-3，5）或（-3，-5） C. （-3，5） D. （-3，-5） 7. 已知正方形ABCD的三个顶点坐标为A（2，1），B（5，1），D(2，4)，现将该正方形向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到正方形A'B'C'D'，则C’点的坐标为（）

A. （5，4） B. （5，1） C. （1，1） D. （-1，-1） 8.如图，A 在DE 上，F 在AB 上。且AC=CE, ∠1=∠2=∠3,则DE 的长等于（ ） A.DC B.BC C.AB D.AE+AC 9. 已知：如图 垂足分别为E , F , AF=BE , 且AC=BD , 则不正确 的结论是 [ ] A.Rt△AEC≌Rt△BFD B.∠C+∠B=90° C.∠A=∠D D.AC∥BD. 10. 如图 , 下面条件中 , 不能证出Rt△ABC≌Rt△A'B'C'的是 [ ] A.AC=A'C' , BC=B'C' B.AB=A'B' , AC=A'C' C.AB=B'C' , AC=A'C' D.∠B=∠B' , AB=A'B' 11.已知：如图 , AD=BC , AE , CF 分别垂直BD 于E 、F , AE=CF , 则图中有____对相等的角(除直角外) A E D F 1 3

平面直角坐标系中的全等三角形(供参考)

平面直角坐标系中的全等三角形 一、典例精析 例1如图,在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,A(3,0)B(2,2), 以O,A,C 为顶点的三角形与△OAB 全等(C,B 不重合),则满足 条件的C 的坐标可以是 。 例2在平面直角坐标系中，已知点A(4,0),B(0,3)，若有一个直角三角形与Rt △ABO 全等，且它们有一条公共边，请写出这个三角形未知顶点的坐标（要有过程） 例3如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt △AOB 的斜边OB 在x 轴上，直线 43-=x y 经 过等腰Rt △AOB 的直角顶点A ，交y 轴于C 点，双曲线 也经过A 点．(1) 求点A 的坐标和k 的值；(2)若点P 为x 轴上一动点．在双曲线上是否存在一点Q ，使得△P A 是 点A 为直角顶点的等腰三角形．若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由． 二、课堂练习 1．如图，正方形ABCD 的四个顶点分别在四条平行线l 1、l 2、l 3、l 4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h 1、h 2、h 3（h 1＞0，h 2＞0，h 3＞0）． A ● ● B O ● A B O P C y x A B O P y x 备用图 x k y =

（1）求证：h 1＝h 3； （2）设正方形ABCD 的面积为S ，求证：S ＝( h 1＋h 2)2＋h 12； （3）若 3 2 h 1＋h 2＝1，当h 1变化时，说明正方形ABCD 的面积为S 随h 1的变化情况． 2．定义：对于抛物线y=ax2+bx+c （a 、b 、c 是常数，a ≠0），若b2=ac ，则称该抛物线为黄金抛物线．例如：y=2x2-2x+2是黄金抛物线． （1）请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式； （2）若抛物线y=ax2+bx+c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）是黄金抛物线，请探究该黄金抛物线与x 轴的公共点个数的情况（要求说明理由）； （3）将（2）中的黄金抛物线沿对称轴向下平移3个单位 ①直接写出平移后的新抛物线的解析式； ②设①中的新抛物线与y 轴交于点A ，对称轴与x 轴交于点B ，动点Q 在对称轴上，问新抛物线上是否存在点P ，使以点P 、Q 、B 为顶点的三角形与△AOB 全等？若存在，直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由图中画出新抛物线的示意图计 三、课外作业 1、如图，平面直角坐标系中，OB 在x 轴上， ∠ABO ＝90°点A 的坐标为(1，2)． A D B h 1 h 2 h 3 l 1 l 2 l 3 l 4 A y

平面直角坐标系中三角形面积的求法

平面直角坐标系中面积的求法 姓名：家长签字： 1、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为：（2，5）、（6，-4）、（-2，0），且边AB与x轴相交于点D，求点D的坐标。 2、在平面直角坐标系中，A（-5，0）、B（3，0），点C在y轴上，且△ABC的面积为12，求点C的坐标。 3、在平面直角坐标系中，P（1，4），点A在坐标轴上，4 PAO S=，求点P的坐标。 4、已知，点A（-2，0）、B（4，0）、C（2，4） （1）求△ABC的面积； （2）设P为x轴上一点，若 1 2 APC PBC S S =，试求点P的坐标。 5、在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，-1）、B（-1，4）、C（-3，1），（1）求△ABC的面积； （2）将△ABC先向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，求线段AB扫过的面积。 6、在直角坐标系中，A（-4，0）、B（2，0）、点C在y轴正半轴上，18 ABC S=，（1）求点C的坐标； （2）是否存在位于坐标轴上的点P，使得 1 2 APC ABC S S =。若存在，请求出P的坐标，若不存在，说 明理由。

7、在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（-1，0）、（3，0），现同时将点A、B分别向上平移2个 单位，再向右平移1个单位，分别得到点A、B的对应点C、D，连接AC、BD。 （1）求点C、D的坐标及四边形ABDC的面积； （2）在y轴上是否存在一点P，连接PA、PB，使 1 2 APB ABDC S S 四 ，若存在这样的点，求出点P的坐 标，若不存在，试说明理由。 8、如图，已知长方形ABCO中，边AB=8，BC=4。以O为原点，OAOC所在的直线为y轴和x轴建立直角坐标系。 （1）点A的坐标为（0，4），写出B、C两点的坐标； （2）若点P从C点出发，以2单位/秒的速度向CO方向移动（不超过点O）,点Q从原点O出发，以1单位/秒的速度向OA方向移动（不超过点A），设P、Q两点同时出发，在他们移动过程中，四边形OPBQ的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求变化的范围。 9、在平面直角坐标系中，已知O是原点，四边形ABCD是长方形，A、B、C的坐标分别是A（-3，1）、B （-3，3）、C（2，3）。 （1）求点D的坐标； （2）将长方形ABCD以每秒1个单位长度的速度水平向右平移，2秒钟后所得的四边形A1B1C1D1四个顶点的坐标各是多少？ （3）平移（2）中的长方形A1B1C1D1 ，几秒钟后△OB1D1 的面积等于长方形ABCD的面积？

平面直角坐标系中三角形面积的求法

平面直角坐标系中面积的求法 交于点D,求点D 的坐标。 P （ 1，4），点A 在坐标轴上， S VPAO 4，求点P 的坐标。 4、已知，点 A （-2，0）、B （4，0）、C （2，4） （1 ）求厶ABC 的面积； 1 （ 2 ）设P 为X 轴上一点，若S vAPC S/PBC ，试求点P 的坐标。 2 5、在平面直角坐标系中，△ ABC 的顶点坐标分别为 A （ 1，-1 ）、B （-1，4）、C （ -3，1）， （1 ）求厶ABC 的面积； （2）将厶ABC 先向下平移2个单位长度，再向右平移 3个单位长度，求线段 AB 扫过的面积。 6、在直角坐标系中，A （ -4，0）、B （ 2，0）、点C 在y 轴正半轴上，S MBC 18， （1） 求点C 的坐标； 1 （2） 是否存在位于坐标轴上的点 P,使得S/APC 1 S/ABC 。若存在，请求出P 的坐标，若不存在，说 1、在平面直角坐标系中，△ 姓名: ABC 的三个顶点的坐标分别为: 家长签字: （2, 5）、（ 6，- 4 ）、（ -2， 0），且边AB 与x 轴相 2、在平面直角坐标系中, A （-5，0）、 B （ 3，0），点 C 在y 轴上，且△ ABC 的面积为 12，求点C 的坐标。 3、在平面直角坐标系中,

明理由。

7、在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(-1 , 0)、(3, 0),现同时将点A B分别向上平移2个单位，再向右 平移1个单位，分别得到点A、B的对应点C D,连接AC BD (1)求点C D的坐标及四边形ABDQ的面积； (2)在y轴上是否存在一点P,连接PA PB使S VAPB 若不存在，试说明理由。 &如图，已知长方形ABCO中，边AB=8, BC=4以O为原点，OAOC所在的直线为y轴和x轴建立直角坐标系。 (1 )点A的坐标为(0, 4)，写出B、C两点的坐标； (2)若点P从C点出发，以2单位/秒的速度向CO方向移动(不超过点C)，点Q从原点O出发，以1单位/秒的速度向OA方向移动(不超过点A)，设P、Q两点同时出发，在他们移动过程中，四边形OPBQ勺面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求变化的范围。 9、在平面直角坐标系中，已知O是原点，四边形ABCD是长方形，A、B C的坐标分别是A (-3 , 1)、B( -3 , 3)、C (2, 3 )。 (1)求点D的坐标； (2)将长方形ABCD以每秒1个单位长度的速度水平向右平移，2秒钟后所得的四边形A1B1C1D四个顶点的坐标各是多少？ (3)平移(2)中的长方形A1B1C1D1，几秒钟后△ OBD的面积等于长方形ABCD勺面积？

平面直角坐标系中三角形面积的求法

-2 x y 2 34 1 -1 -3 -40 -3-2-12 1 4 3 D C B A 平面直角坐标系中三角形面积的求法 13如图所示,C,D两点的横坐标分别为2,3,线段CD=1;B,D两点的横坐标分别为-2,3,线段BD=5;A,B两点的横坐标分别为-3,-2,线段AB=1. (1)如果x轴上有两点M(x1,0),N(x2,0)(x1

例3 如图2,平面直角坐标系中，已知点A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），你能求出三角形ABC的面积吗？ 21.（6分）如图，在三角形AOB中，A、B两点的坐标分别为（2,4）、（6，2），求三角形AOB 的面积. 22.（8分）在平面直角坐标系中，顺次连接点A（-2,0）、B（0,3）、C（3,3）、D（4,0）. （1）得到的是什么图形？ （2）求该图形的面积. 四．不规则四边形的面积求法 如图，四边形ABCD各个顶点的坐标分别为（– 2，8），（– 11，6），（– 14，0），（0，0）。确定这个四边形的面积，你是怎么做的/ x y 1234567 1 2 3 4 5 B A O 22题图

全等三角形与坐标系

全等三角形与坐标系 1.如图，直角坐标系中，点B（a，0），点C（0，b），点A在第一象限．若a，b满足(a?t)2+|b?t|=0(t>0)．（1）证明：OB=OC； （2）如图1，连接AB，过A作AD⊥AB交y轴于D，在射线AD上截取AE=AB，连接CE，F是CE的中点，连接AF，OA，当点A在第一象限内运动（AD不过点C）时，证明：∠OAF的大小不变； （3）如图2，B′与B关于y轴对称，M在线段BC上，N在CB′的延长线上，且BM=NB′，连接MN 交x轴于点T，过T作TQ⊥MN交y轴于点Q，求点Q的坐标 2.如图1，已知线段AC∥y轴，点B在第一象限，且AO平分∠BAC，AB交y轴与G，连OB、OC．（1）判断△AOG的形状，并予以证明； （2）若点B、C关于y轴对称，求证：AO⊥BO； （3）在（2）的条件下，如图2，点M为OA上一点，且∠ACM=45°，BM交y轴于P，若点B的坐标为（3，1），求点M的坐标． 3.平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC、OA分别在x轴、y轴上，点A（0，m），点C（n，0），且 m、n满足√m+2+(n?2)2=0． （1）求点A、C的坐标； （2）如图1，点D为第一象限内一动点，连CD、BD、OD，∠ODB=90°，试探究线段CD、OD、BD 之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图2，点F在线段OA上，连BF，作OM⊥BF于M，AN⊥BF于N，当F在线段OA上运动时（不与O、A重合），OM+AN 的值是否变化？若变化，求出变化的范围；若不变，求出其值． BN

4.已知点A与点C为x轴上关于y轴对称的两点，点B为y轴负半轴上一点． （1）如图1，点E在BA延长线，连接EC交y轴于点D，若BE=8，EC=6，CB=4，求△ADE的周长； （2）如图2，点G为第四象限内一点，BG=BA，连接GC并延长交y轴于F，试探究∠ABG与∠FCA 之间有和数量关系？并证明你的结论； （3）如图3，A（-3，0），B（0，-4），点E（-6，4）在射线BA上，以BC为边向下构成等边△BCM， 以EC为边向上构造等腰△CNE，其中CN=EN，∠CNE=120°，连接AN，MN，求证:AN MN =1 2 5.已知，在平面直角坐标系中，点A（-3，0），点B（0，3）．点Q为x轴正半轴上一动点，过点A作 AC⊥BQ交y轴于点D． （1）若点Q在x轴正半轴上运动，且OQ＜3，其他条件不变，连OC，求证：∠OCQ的度数不变．（2）有一等腰直角三角形AMN绕A旋转，且AM=MN，∠AMN=90°，连BN，点P为BN的中点，猜想OP与MP的数量和位置关系并证明． 6.如图，A(O,4),B(-2,O),C(2,O),CM⊥AB,ON⊥AC，垂足分别为M、N． (1)求证：CM+CN=AB; (2)过O点作直线EF交AC于E，BF与AC相交于P点，若AE+BF=AB，问PE与PF存在怎样关系并证明．

坐标系中求线段长和三角形面积的通用方法

坐标系中求线段长和三角形面积的通用方法 一、学习目标 1、由数轴上两点间的距离转化为坐标系中求线段的长度，进而探索坐标系内任意两点间的距离； 2、运用所掌握的方法解决坐标系内三角形面积的解题策略； 3、体验和感受用“转化”的数学思想，指导我们探究学习数学问题. 二、学习过程 【基础题型】 1、如下图所示，数轴上有A、B两点，分别表示2和-2，C是数轴上一动点. ①求AB的长；②若点C表示的数是x，请用含x的式子表示出AC和BC的长；③若AC=3，求点C. 解析：①AB=2-（-2）=4；②AC=∣x-2∣，BC=∣x-（-2）∣=∣x-2∣；③分两种情况：若点C在点A 的右边，则点C表示的数是5；若点C在点A的左边，则点C表示的数是-1. 点评：（i）绝对值的意义就是表示数轴上两点间的距离，任意实数的绝对值永远为非负数；（ii）数轴上两定点间的距离就是“大数减小数”，更确切可以记为“右减左”；（iii）若数轴上两点是一定一动，则它们的距离可以用含绝对值符号的式子表示出来. 2、如下图，在平面直角坐标系中，直线m和n分别平行于坐标轴，且交于点C，其中，m和y轴交于点D，n和x轴交于点E，已知点A（3，2）和B（1，4）分别在直线m和n上，求： ①点C的坐标；②AC和BC；③若点F（x，0）是x轴上一点，且位于直线n的右侧，表示出△CEF 的面积.若点F位于直线n的左侧呢？ 解析：①C（1，2）；②AC=3-1=2，BC=4-2=2；③如下图，当点F位于直线n的右侧时，即x＞1 ，S△CEF=1/2×EF×CE=1/2×（x-1）×2=x-1；当点F位于直线n的左侧时，即x＜1 ，S△CEF=1/2×EF×CE=1/2×（1-x）×2=1-x. 点评：（i）若两点在x轴上，则求它们之间的距离的方法是“右减左”，若两点在y轴上，则求它们之间的距离的方法是“上减下”；（ii）求坐标系中三角形的面积，就是用上面的方法，把底和高分别表示出来后，代入三角形的面积公式化简计算即可.

直角坐标系中求三角形面积的方法

面积问题 直角坐标系中求三角形面积的方法： 1．如图：已知直线AB:y=-2x+6与x轴、y轴相较于A点、B点； (1)求△AOB的面积； (2)已知D点的横坐标为1、D点的纵坐标为为1，求△COD的面积； (3)已知直线l:y=x-2与AB相交于点E,与y轴交于点F,求两直线与y轴围成的面积； 2．如图在平面直角坐标系xOy中，函数y= （x＞0）的图象与一次函数y=kx﹣k的图象的交点为A（m，2）． （1）求一次函数的解析式； （2）设一次函数y=kx﹣k的图象与y轴交于点B， 若点P是x轴上一点，且满足△PAB的面积是4， 直接写出P点的坐标． 3.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值； （3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），过E点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S． ①求S与m的函数关系式； ②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm 的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？ （2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．

二次函数压轴题之全等三角形的存在性(讲义及答案)

二次函数压轴题之全等三角形的存在性（讲义） 课前预习 1.如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(2，1)，点B坐标 为(3，0)，点D为平面直角坐标系中任一点（与点O，A，B 不重合）． （1）△AOB和△DOB的公共边为_________． （2）若△DOB与△OAB全等，则点D的坐标为_________． （3）在下图中画出可能的△DOB，并考虑与△AOB之间的 联系．

知识点睛 全等三角形存在性的处理思路 1.分析特征：分析背景图形中的定点、定线及不变特征，结合 图形形成因素（判定等）考虑分类． 注：全等三角形存在性问题主要结合对应关系及不变特征考虑分类． 2.画图求解： 往往先从对应关系入手，再结合背景中的不变特征分析，综合考虑边、角的对应相等和不变特征后列方程求解． 3.结果验证：回归点的运动范围，画图或推理，验证结果． 精讲精练 1.如图，抛物线C1经过A，B，C三点，顶点为D，且与x轴的 另一个交点为E． （1）求抛物线C1的解析式． （2）设抛物线C1的对称轴与x轴交于点F，另一条抛物线C2经过点E（抛物线C2与抛物线C1不重合），且顶点为M(a，b)，对称轴与x轴交于点G，且以M，G，E为顶点的三角形与以D，E，F为顶点的三角形全等，求a，b的值．（只需写出结果，不必写出解答过程）

2.如图，抛物线213442 y x x =-++与x 轴的一个交点为A (-2，0)，与y 轴交于点C ，对称轴与x 轴交于点B ．若点D 在x 轴上，点P 在抛物线上，使得△PBD ≌△PBC ，则点P 的坐标为_____________________________________．

坐标系中三角形面积

用坐标求几何图形的面积 引入：如图所示,C,D两点的横坐标分别为2,3,线段CD=1;B,D两点的横坐标分别为-2,3,线段BD=5;A,B两点的横坐标分别为-3,-2,线段AB=1. (1)如果x轴上有两点M(x1,0),N(x2,0)(x1

（3）、三边均不与坐标轴平行 例3 如图2,平面直角坐标系中，已知点A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），你能求出三角形ABC的面积吗？ 练习： 1、已知：△ABC 中，A（0，3），B（0，-2），C(-2, 1/2)，画出图形，求△ABC的面积; 2，如图，在三角形AOB中，A、B两点的坐标分别为（2,4）、（6，2）， 求三角形AOB的面积.

二，求四边形的面积： （1）求规则四边形的面积 例1、已知：四边形BCDE 中，B(3，0)，C(3,2)，D(1,3), E(1,0)，画出图形，求四边形BCDE 的面积; （2）求不规则四边形的面积： 例2，如图，四边形ABCD各个顶点的坐标分别为（– 2，8），（– 11，6），（– 14，0），（0，0）。 确定这个四边形的面积，你是怎么做的？

平面直角坐标系与全等

x x 坐标系中构造全等三角形问题 二、典型例题2：如图，已知平面直角坐标系中点A 坐标为（2，3），点B 坐标为（3，-2）.请判断△AOB 的形状，并证明. 变式一：已知点A （2，3），点C （4，4），若△ABC 为等腰直角三角形且∠ACB=90°， AC=BC ，求点B 的坐标. 变式三：在平面直角坐标系中，点A 、B 同时从原点出发，分别沿x 轴、y 轴的正方向运动， 其中点A 的速度为每秒2个单位，点B 的速度为每秒1个单位，经过t 秒后，请在线段OA 的对称轴上取一点P ，使△PAB 是以AB 为腰的等腰直角三角形，求出点P 的坐标.（用含有t 的代数式表示） 顶点C 与原点重合，∠BCx=30°，且点B 到

2.已知，等腰直角△ACB，∠ACB=90°，AC=BC=4，将其放在平面直角坐标系中顶点C绕着原点O旋转到如图位置(即直角边与坐标轴重合）,作∠CBA平分线BF与∠BAx 平分线AE的反向延长线交于点 F.求∠F度数. 3. 将2题中“作∠CBA平分线BF”改为“线段CA上有一点D满足2 :1 S: S BAD BCD = ? ? ”其他条件不变，求∠F度数. 二、顶点在x轴上时 1.已知，等腰直角△ACB，∠ACB=90°，AC=BC=4，将其放在平面直角坐标系中，顶点C 在x轴上，且点B在y轴上，∠BCO=30°，且点C到y轴距离是3 2，求A，B两点坐标（两种情况）. 2.在1题基础上，作AD⊥y轴.求OC-AD的值.

三、顶点在角平分线上时 1.当顶点C 坐标是（2,2）时，（1）判断CD 与CE （2）求∠COE 度数（3）求四边形OECD 的面积. 2.顶点C 坐标是（a,a ）时作∠COy 的角平分线OF ，作EH ⊥OF 与点H ，交OC 于点N ，且满足∠HON=∠OEN.求证：EN=2OH. 计算：（1）3592533522+?-÷-x x x x x (2)111211 2 2-÷??? ? ?-++-x x x x x ， （3）x 444122 22-÷ ?? ? ??+----+x x x x x x x (4) 2x ,14144122x 2222-=--÷++-?+-+其中x x x x x x x ()524 52;23m m m m -??++ ? ?--? ? ()()2 222 211226;7.233x y xy a b a b a a x y x y x y x y a b a b a b b ????+-??+?÷+?-÷ ? ? ?+++-+-??????

八年级上册数学 全等三角形专题练习(解析版)

八年级上册数学 全等三角形专题练习（解析版） 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．在直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点 A （1，2），点 P 是 y 轴正半轴上的一点，且△AOP 为等腰三角形，则点 P 的坐标为_____________． 【答案】5(0,5),(0,4),0, 4?? ??? 【解析】 【分析】 有三种情况：①以O 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于D ，求出OA 即可；②以A 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于P ，求出OP 即可；③作OA 的垂直平分线交y 轴于C ，则AC ＝OC ，根据勾股定理求出OC 即可． 【详解】 有三种情况：①以O 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于D ，则OA ＝OD ＝22125+=； ∴D （0，5）； ②以A 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于P ，OP ＝2×y A =4， ∴P （0，4）； ③作OA 的垂直平分线交y 轴于C ，则AC ＝OC ， 由勾股定理得：OC ＝AC ＝()2212OC +-， ∴OC ＝54 ， ∴C （0，54 ）； 故答案为：5(0,5),(0,4),0, 4? ? ???． 【点睛】

本题主要考查对线段的垂直平分线，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键． 2．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD，当△AOD是等腰三角形时，求α的角度为______ 【答案】110°、125°、140° 【解析】 【分析】 先求出∠DAO=50°，分三种情况讨论：①AO=AD，则∠AOD=∠ADO，②OA=OD，则 ∠OAD=∠ADO，③OD=AD，则∠OAD=∠AOD，分别求出α的角度即可. 【详解】 解：∵设∠CBO=∠CAD=a，∠ABO=b，∠BAO=c，∠CAO=d， 则a+b=60°，b+c=180°﹣110°=70°，c+d=60°， ∴b﹣d=10°， ∴（60°﹣a）﹣d=10°， ∴a+d=50°， 即∠DAO=50°， 分三种情况讨论： ①AO=AD，则∠AOD=∠ADO， ∴190°﹣α=α﹣60°， ∴α=125°； ②OA=OD，则∠OAD=∠ADO， ∴α﹣60°=50°， ∴α=110°； ③OD=AD，则∠OAD=∠AOD， ∴190°﹣α=50°， ∴α=140°； 所以当α为110°、125°、140°时，三角形AOD是等腰三角形， 故答案为：110°、125°、140°. 【点睛】 本题是对等边三角形的考查，熟练掌握等边三角形的性质定理及分类讨论是解决本题的关键.

八年级全等三角形综合题

全等综合 1. 如图，平面直角坐标系中，点A、B分别在x、y轴上，点B的坐标为(0，1)，∠BAO=30°．（1）求AB的长度； （2）以AB为一边作等边△ABE，作OA的垂直平分线MN交AB的垂线AD于点D．求证：BD=OE． （3）在（2）的条件下，连结DE交AB于F．求证：F为DE的中点． 2．如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点， M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．(1)如图①，当点M在点B左侧时，EN与MF的数量关系为_________；

(2)如图②，当．点M在BC上时，其它条件不变，(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由； (3)若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断(1)的结论中EN与 MF的数量关系是否仍然成立？请直接写出结论，不必证明． 3．如图，平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，且OA=AB. (1)如图，在图中画出△AOB关于BO的轴对称图形△A1OB，若 A(-3，1)，请求出A1点的坐标； (2)当△AOB绕着原点O旋转到如图所示的位置时，AB与y轴交于点E，且AE=BE．AF ⊥y轴交BO于F，连结EF，作AG//EF交y轴于G．试判断△AGE的形状，并说明理由；

(3)当△AOB绕着原点O旋转到如图所示的位置时，若3)，c为x轴上一点，且OC=OA， ∠BOC=15°，P为y轴上一点，过P做PN⊥AC于N，PM⊥AO于M，当P在y轴正半轴上运动时，试探索下列结论：①PO+PN-PM不变，②PO+PM+PN不变．其中哪一个结论是正确的？请说明理由并求出其值。 4.如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于E，交BC的延长线于F，∠A=40°， （1）求∠EFB； （2）如果将（1）中的度数改为70°，其余条件不变，求∠EFB的大小。 （3）若∠A=α，则∠EFB= 。 5.在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且

1期末复习(平面直角坐标系、等腰三角形、全等三角形)

期末专题复习（直角坐标系） 一、概念复习 1、直角坐标系：横轴（x 轴）、纵轴（y 轴）、原点。直角坐标系的平面叫直角坐标平面。 2、点的坐标：点P 对应的有序数对叫点的坐标，P （a,b ）a 叫横坐标，b 叫纵坐标。 3、平面直角坐标系把平面分成四个象限：x 轴、y 轴不属于任何象限。 第一象限（＋，＋）、第二象限（－，＋）、第三象限（－，－）、第四象限（＋，－） 4、经过点P （a ，b ）且垂直于x 轴（或平行于y 轴）的直线表示为：直线x = a 经过点P （a ，b ）且垂直于y 轴（或平行于x 轴）的直线表示为：直线y = b 5、平行于坐标轴的直线上的两点间的距离： 平行于x 轴的直线上的两点A （x 1，y ）、B （x 2，y ）的距离是 21x x AB -= 平行于x 轴的直线上的两点C （x ，y 1）、D （x ，y 2）的距离是 21y y CD -= 6、点P （a ，b ）沿着坐标轴（沿与x 轴或y 轴）平行的某一方向平移m （m>0）个单位 则；向右平移所对应的点的坐标为（a+ m ，b ）； 向左平移所对应的点的坐标为（a- m ，b ） 向上平移所对应的点的坐标为（a ，b+ m ）；向下平移所对应的点的坐标为（a ，b- m ） 7、对称点的坐标特征 直角坐标平面内有点M （a ，b ） 与点M （a ，b ）关于x 轴对称的点的坐标是（a ，- b ） 与点M （a ，b ）关于 y 轴对称的点的坐标是（- a ，b ） 与点M （a ，b ）关于原点对称的点的坐标是（- a ，- b ） 二、典型例题 1、点A （-3，2）向左平移4个单位到B ，则B 点的坐标是___________ 2、点N （3，-4）沿x 轴翻折与M 重合，那么点M 的坐标是___________ 3、将点Q （10，2）绕原点O 旋转180°后落到P 处，则P 点的坐标是___________ 4、直角坐标平面内，点A （-2，3）向____平移______个单位后就和点B （2，3）重合 5、点P 在第三象限，且点P 到x 轴和到y 轴的距离都是3，则点P 坐标是_______________ 6、如果点M （3a-1,5+b ）与点（b -2，a ）关于原点对称，则a=_______,b=__________ 7、在x 轴上有A 、B 两点，AB =10，若点A 的坐标是（2，0），那么点B 的坐标是___________ 8、在直角坐标平面内，设点P （x,y ）,若xy>0,则点P 在_________象限。