《复变函数》综合测试题及答案
一、选择题(单选题)
1、(容易)复数z i =的幅角主值为( ) (A )
3π (B )3π- (C )6π- (D )6
π
2、(中等)复数1cos sin ,0z i θθθπ=-+≤≤的模为( ) (A )2sin
2
θ (B )2sin
2
θ
- (C )22cos θ- (D )2cos 2θ-
3、(容易)设
z =
,则z 的指数表示为( ) (A )cos
sin
4
4z i π
π
=+ (B )4
i z e
π?
= (C )cos
sin
44
z i π
π
=- (D )4
i z e
π-?
=
4、(中等)若ω是方程3
10z -=的一个非零复数根,则21ωω++=( )
(A )0 (B )i (C )2
ω (D )ω-
5、(容易)函数()f z z =在z 平面上( )
(A )不连续 (B )连续且可导 (C )连续但处处不可导 (D )以上答案都不对 6、(容易)满足11z z -=+的点z 所组成的点集为( )
(A )Im 0z = (B )Re 0z = (C )Im 0z > (D )Re 0z > 7、(容易)函数()f z u iv =+在区域D 内解析的充要条件是( )
(A )
,,,u u v v
x y x y
????????都在D 内连续 (B )在D 内
,u v u v x y y x
????==-???? (C )
,,,u u v v x y x y ????????都在D 内存在,且,u v u v x y y x ????==-???? (D )
,,,u u v v x y x y ????????都在D 内连续,且,u v u v x y y x
????==-???? 8、(容易)
1
(0)()
n
z a dz z a ρ
ρ-=>-?
的值为( ) (A )当1n =时为2i π;当1n ≠时为0 (B )0 (C )2i π (D )2n i π
9、(容易)
1
z
z e dz z
==?
( ) (A )0 (B )
2
π
(C )2i π (D )(2)(0,1,2,)k i k π+=L 10、(容易)()f z 在复平面上解析且有界,则()f z 在平面上为( ) (A )0 (B )常数 (C )z (D )()n
z n N ∈ 11、(容易)复级数1n n z ∞
=∑收敛的必要条件是( )
(A )对一切n ,0n z = (B )存在一列自然数{}k n ,使得0k
n z =
(C )lim 0n n z →∞
≠ (D )lim 0n n z →∞
=
12、(容易)幂级数11n n n z n
∞
=+∑的收敛半径为( )
(A )+∞ (B )0 (C )1 (D )2 13、(容易)0z =为()sin f z z z =-的( )
(A )极点 (B )非孤立奇点 (C )本性奇点 (D )3阶零点 14、(容易)设1
()1
z
f z e =
-,则0z =是()f z 的( ) (A )1阶极点 (B )2阶极点 (C )可去奇点 (D )本性奇点 15、(容易)0z ≠∞是函数()f z 的可去奇点,则0Re (,)s f z =( ) (A )0()f z (B )0 (C )2π (D )2i π 16、(容易)若复数22z i =-,则z 的幅角主值为( ) (A )
2π (B )2π- (C )4
π
(D )4π-
17、(中等)复数1cos sin (0)z i θθθπ=++≤≤的模为( ) (A )2cos
2
θ (B )2cos
2
θ- (C )22cos θ+ (D )2sin 2θ+
18、
(容易)设z =
,则z 的指数表示为( ) (A )cos
sin
4
4
z i π
π
=+ (B )4
i z e
π?
= (C )cos
sin
4
4
z i π
π
=- (D )4
i z e
π-?
=
19、
(中等)若12ω=-
,则23ωωω++=( )
(A )0 (B )ω (C )2
ω (D )ω-
20、(中等)函数()Re f z z =在z 平面上( )
(A )不连续 (B )连续且可导 (C )连续但处处不可导 (D )以上答案都不对 21、(容易)下列哪些点集是区域(B ) (A )Im 0z = (B )1
Re 2
z >
(C )12z i ++≤ (D )Re 0z ≥ 22、(中等)若()f z u iv =+,且在区域D 内满足
,u v u v x y y x
????==-????,则( ) (A )()f z 在D 内解析 (B )()f z 在D 内不解析 (C )()f z 在D 内可微 (D )()f z 在D 内不一定可微
23、(容易)
1
1
3
z dz z =-?
的值为( ) (A )2i π (B )0 (C )1 (D )1- 24、(容易)
1
sin z z
dz z
==?
( ) (A )0 (B )i π (C )2i π (D )2i π-
25、(中等)若区域D 内解析函数()f z u iv =+满足00u
x
u y
??=??????=???,则()f z 在区域D 内为( )
(A )0 (B )常数 (C )不一定为常数 (D )0v = 26、若复级数1n n z ∞
=∑收敛,则( )
(A )对一切n ,0n z ≠ (B )存在一列自然数{}k n ,使得0k
n z ≠
(C )lim 0n n z →∞
≠ (D )lim 0n n z →∞
=
27、(容易)幂级数11!
n
n z n ∞
=+∑的收敛半径为( )
(A )+∞ (B )0 (C )1 (D )2 28、(中等)0z =为()1cos f z z =-的( )
(A )极点 (B )非孤立奇点 (C )本性奇点 (D )2阶零点
29、(容易)设函数()f z 在00z z <-<+∞内解析,且0
lim ()z z f z →=∞,则0z 是()f z 的
( )
(A )非孤立奇点 (B )极点 (C )本性奇点 (D )解析点 30、(容易)变换az b
w cz d
+=
+(a ,b ,c ,d 为复常数)为分式线性变换的条件是( ) (A )0ad bc -≠ (B )0ad bc -= (C )a b
c d
= (D )a b c d ===
31、
(容易)复数1z =的幅角主值为( )
(A )
6π (B )6π- (C )3
π
(D )3π-
32、(中等)若ω是方程3
10z -=的一个非零复数根,则345ωωω++=( )
(A )0 (B )i (C )2
ω (D )ω-
33、(容易)下列等式正确的是( )
(A )z z z ?= (B )2
z z z ?= (C )2Im z z i z += (D )2Re z z z -= 34、(中等)下列哪些函数在复平面上解析( ) (A )sin z (B )z (C )2
z (D )Re z 35、(中等)满足11z z ->+的点z 所组成的点集为( ) (A )Im 0z < (B )Re 0z < (C )Im 0z > (D )Re 0z >
36、(容易)使函数()f z u iv =+在区域D 内解析的柯西—黎曼条件是( ) (A )在D 内
,u v u v x y y x ????==???? (B )在D 内,u v u v
x y y x ????==-???? (C )在D 内
,u v u v x y y x ????=-=???? (D )在D 内,u v u v x y y x
????=-=-???? 37、(中等)设()f z 在区域D 内解析,且0{}U z z z D δ=-,在U 上()0f z =,则在D 内 ( )
(A )()f z 不恒为零 (B )()f z 为不为零的常数 (C )()f z 只有惟一的零点 (D )()0f z ≡
38、(容易)1
()n
C
dz z a -?
(其中C 为包围点a 任意围线)的值为( )
(A )当1n =时为2i π;当1n ≠时为0 (B )0 (C )2i π (D )2n i π 39、(容易)
21
z
z e dz z
==?
( )
(A )0 (B )
2
π
(C )2i π (D )i π 40、(中等)()f z 在复平面上解析且Re ()f z 有界,则()f z 在平面上为( ) (A )0 (B )常数 (C )z
e (D )ln z
41、(中等)在1z <内解析,在区间(1,1)-上具有展式0n n x ∞
=∑的函数只能是( )
(A )
1
(1)1z z <+ (B )ln(1)(1)z z -< (C )1(1)1z z <- (D )1
(1)1z z
<-
42、(中等)幂级数21
121
n n z n -∞
=-∑的收敛半径为( )
(A )+∞ (B )1 (C )0 (D )2 43、(容易)若1
()cos
f z z i
=+,则z i =-是()f z 的( ) (A )可去奇点 (B )非孤立奇点 (C )极点 (D )本性奇点 44、(中等)若()
()g z f z z a
=
-,且()g z 在点a 解析,()0g a ≠,则Re (,)s f a =( ) (A )()g a (B )2()ig a π (C )0 (D )()g a '
45、(中等)变换(01)1z a
w a a z
-=
<<-?把单位圆1z <保形映射成( )
(A )上半平面Im 0z > (B )单位圆1w < (C )下半平面Im 0z < (D )1w > 46、(容易)arg(34)i -+=( )
(A )3arctan
4π-(B )3arctan 4π+ (C )4arctan 3π- (D )4
arctan 3
π+ 47、(中等)若ω是方程3
1z =的一个非零复数根,则下列哪些也是此方程的根( )
(A )ω (B )ω- (C )2
ω- (D )i
48、(中等)下列等式不正确的是( )
(A )2
z z z ?= (B )1212arg arg arg z z z z ?=+(10z ≠,20z ≠) (C )1212rg rg rg A z z A z A z ?=+(10z ≠,20z ≠) (D )arg arg (0)z z z =-≠ 49、(容易)下列哪些函数在复平面上不解析( ) (A )sin z (B )cos z (C )chz (D )z
e -
50、(容易)设{Im 2,Re 3}E z z z =<<,则E 一定是( )
(A )无界区域 (B )有界单连通区域 (C )多连通区域 (D )闭区域 51、(容易)使函数()f z u iv =+在区域D 内解析的充要条件是( ) (A )u ,v 在D 内具有一阶连续的偏导数
(B )u ,v 在D 内可微,且在D 内满足柯西—黎曼条件
(C )u ,v 在D 内具有一阶偏导数,且在D 内满足柯西—黎曼条件 (D )u ,v 在D 内在D 内满足柯西—黎曼条件
52、(容易)设()f z 在复平面上解析,且C 为不通过原点的围线,则()
C
f z dz z
=?
( ) (A )2(0)i f π? (B )(0)f (C )0 (D )0或2(0)i f π?
53、(中等)
1
1
cos z dz z
==?
( ) (A )0 (B )1 (C )2i π (D )i π
54、(容易)若()f z 在区域D 内满足 ()0f z '=,则()f z 在区域D 内必为( ) (A )0 (B )z (C )常数 (D )z
e
55、(中等)()f z 在复平面上解析且Im ()f z 有界,则()f z 在平面上为( ) (A )0 (B )常数 (C )z
e (D )ln z
56、(中等)在复平面上解析,在区间[0,1]上等于sin x 的函数只能是( ) (A )sin(
)2
z π
+ (B )sin()z π+
(C )sin iz (D )sin z
57、(容易)若幂级数1
n
n n a z ∞
=∑的收敛半径0R >,则在闭圆()z r R ≤<上1
n
n n a z ∞
=∑( )
(A )不绝对收敛 (B )一致收敛且绝对收敛 (C )绝对收敛但不一致收敛 (D )一致收敛但不绝对收敛 58、(中等)0z =为2
1cos ()z
f z z
-=
的( ) (A )本性奇点 (B )非孤立奇点 (C )二阶极点 (D )可去奇点
59、(容易)函数1
()z e f z z
-=在0z =处的留数为( )
(A )0 (B )2i π (C )1 (D )i π 60、(容易)变换z i
w z i
-=
+把上半平面Im 0z >保形映射成( )
(A )上半平面Im 0z > (B )单位圆1w < (C )下半平面Im 0z < (D )1w >
61、(容易)若复数1z i =-,则z 的幅角主值为( )
(A )4π-
(B )4
π
(C )34π- (D )34π 62、(中等)若21z =-,则z 等于( ) (A )i - (B )i ± (C )i (D )1±
63、(容易)下列点集是区域的是( )
(A )1
{Im }2z z = (B ){1}z z = (C )1{Im }2
z z > (D )2{1}z z = 64、(容易)设()f z x yi =-(,x y R ∈),则( )
(A )()f z 在z 平面上解析 (B )()f z 在0z =可导 (C )()f z 在z 平面上处处可导 (D )()f z 在z 平面上连续 65、(中等)设()f z u iv =+,且在区域D 内满足柯西—黎曼条件,则( ) (A )()f z 在D 内不一定解析 (B )()f z 在D 内解析 (C )()f z 在D 内可导 (D )()f z 在D 内一定不可导 66、(容易)下列哪些函数在z 平面上解析( ) (A )z (B )cos z (C )z (D )z
e 67、(容易)
1
1
cos z dz z
==?
( ) (A )1 (B )2i π (C )0 (D )1- 68、(容易)
1
z
z e dz z
==?
( ) (A )0 (B )1 (C )
1
2i
π (D )2i π 69、(中等)若()f z 在区域D 内解析,且Re ()f z =实常数,则()f z 在区域D 内为( ) (A )复常数 (B )Re z (C )z (D )sin z 70、(容易)若()sin f z z =,则下列结论不成立的是( )
(A )()f z 为解析函数 (B )()f z 有界 (C )()f z 为周期函数 (D )()f z 有零点
71、(中等)复级数0
n n i ∞
=∑( )
(A )一定收敛 (B )等于
1
1i
- (C )一定发散 (D )以上结论都不对 72、(容易)设幂级数为00()n n n a z z ∞
=-∑,则( )
(A )00()n
n n a z z ∞=-∑仅在点0z 收敛 (B )00()n n n a z z ∞
=-∑在全平面上收敛
(C )00
()n
n n a z z ∞
=-∑在点0z 不收敛 (D )00
()n n n a z z ∞
=-∑在点0z 收敛
73、(容易)幂级数1
1n n n n z ∞
=+?∑的收敛半径为( )
(A )0 (B )+∞ (C )1 (D )2 74、(容易)幂级数1n n z ∞
=∑在1z <内的和函数为( )
(A )
11z - (B )1z z - (C )11z + (D )1z
z
+ 75、(中等)()1cos f z z =-以0z =为( )
(A )一阶零点 (B )一阶极点 (C )二阶零点 (D )二阶极点
76、(容易)设()f z 在00z z R <-<内解析,且0
lim ()z z f z →=∞,则0z 是()f z 的( )
(A )零点 (B )可去奇点 (C )非孤立奇点 (D )极点 77、(中等)若2
1cos ()z
f z z
-=
,则0z =必为()f z 的 ( ) (A )可去奇点 (B )零点 (C )本性奇点 (D )二阶极点 78、(中等)若∞是函数()f z 的可去奇点,则Re (,)s f ∞=( )
(A )0 (B )不一定为0 (C )不存在 (D )以上结论都不对 79、(容易)若1
()z
f z e =,则Re (,0)s f = ( )
(A )∞ (B )0 (C )1 (D )以上答案都不对 80、(中等)映射3
2
2w z z =+在点z i =处的伸缩率为 ( )
(A (B ) (C )25 (D )5
81、(容易)若复数1z i =-+,则z 的幅角主值为( )
(A )
23π (B )23π- (C )6π- (D )6
π 82、(中等)若3
1z =且Im 0z >,则z 等于( )
(A )1 (B )122i -
+ (C )122
+ (D )122--
83、(容易)下列点集不是区域的是( )
(A ){Im 0}z z > (B ){Re 0}z z < (C ){1}z z i ≤+ (D ){1}z z > 84、(中等)设()f z i z =?,则( )
(A )()f z 在z 平面上处处不连续 (B )()f z 在z 平面上解析 (C )()f z 为整函数 (D )()f z 在z 平面上处处不解析
85、(容易)设()f z u iv =+,则使得()f z 在区域D 内解析的柯西—黎曼条件是( )
(A )
,u v u v x y y x ????==-???? (B ),u v u v
x y y x ????=-=???? (C )
,u v u v x y y x ????=-=-???? (D ),u v u v x y y x
????==???? 86、(容易)在z 平面上处处不解析的函数是( ) (A )z (B )Im z (C )cos z (D )sin z
e
87、(容易)
1
3
z z
dz z ==-?
( ) (A )2i π- (B )2i π (C )0 (D )1 88、(中等)
2
1
sin z z dz z
==?
( ) (A )2i π (B )1 (C )i π- (D )0
89、(中等)若()f z 在区域D 内解析,且()f z =实常数,则()f z 在区域D 内为( ) (A )复常数 (B )0 (C )z (D )z
e 90、(容易)若()z
f z e =,则下列结论不成立的是( )
(A )()f z 为整函数 (B )()f z 非周期函数 (C )()f z 无零点 (D )()f z 无界 91、(容易)幂级数0!n
n n z ∞
=?∑的收敛半径为( )
(A )+∞ (B )1
(C )0 (D )以上结论都不对
92、(容易)设幂级数为0n
n n a z ∞
=∑的收敛半径0R >,则此幂级数的和函数( )
(A )在z R <内不连续 (B )在z R <内不解析 (C )在z R <内不能逐项求导 (D )在z R <内可逐项积分
93、(中等)在1z <内解析,且在区间(1,1)-上具有展式0
(1)n n n x ∞
=-?∑的函数只能为( )
(A )
11z + (B )11z - (C )211z + (D )2
1
1z
- 94、(容易)若1
()cos f z z i
=+,则z i =-为()f z 的( )
(A )极点 (B )本性奇点 (C )可去奇点 (D )非孤立奇点 95、(中等)2
()(1)
z z
f z e =
-以0z =为( ) (A )可去奇点 (B )本性奇点 (C )一阶极点 (D )二阶极点 96、(容易)若()
()z f z z a
?=
-,且()z ?在点a 解析,则Re (,)s f a =( )
(A )0 (B )()a ?' (C )2()i a π?'? (D )()a ?
97、(容易)2
2()1
iz e f z z =+在z i =的留数为 ( )
(A )2i i e --
(B )0 (C )12i e -- (D )112
e -- 98、(容易)ln(1)z +在0z =处的幂级数展开式为( )
(A )1n n z n ∞
=∑ (B )11(1)n n n z n ∞-=-∑ (C )1(1)n n n z n ∞=-∑ (D )0!
n n z n ∞=∑
99、(中等)变换1i z i
w e
i z
θ
-=+?(θ为实常数)把单位圆1z <保形映射成( )
(A )上半平面Im 0z > (B )下半平面Im 0z < (C )1w < (D )1w > 100、(中等)变换i z i
w e
z i
θ
-=+(θ为实常数)把上半平面Im 0z >保形映射成( ) (A )左半平面Re 0z < (B )右半平面Re 0z > (C )上半平面Im 0z >(D )1z <
二、多项选择题(每题至少有两个或两个以上的正确答案)
1、(较难)
若122
ω=-
-是方程31z =的根,则下列哪些值不为2
1ωω++的值( ) (A )0 (B )i (C )i - (D )2
ω 2、(较难)复数1cos sin z i θθ=-+(0θπ<<)的模为 ( ) (A )2sin
2
θ (B
(C )2(1cos )θ- (D )2sin
2
θ
-
3、(较难)下列点集哪些是区域 ( ) (A )Im Re(1)z i >+ (B )0arg 4
z π
<≤
(C )1Im 2z << (D )Im 3z =
4、(较难)若()Re f z z =,则下列结论正确的是( )
(A )()f z 在z 平面上连续 (B )()f z 在z 平面上处处不解析 (C )()f z 在z 平面上解析 (D )()f z 仅在0z =处解析 5、(较难)若1
()1f z z
=+
,则下列结论正确的是 ( ) (A )Re (,0)1s f = (B )2
Re (,0)1s f = (C )2
Re (,0)2s f = (D )Re (,0)0s z f ?=
6、(较难)若ω不是方程31z =的虚数根,则下列哪些值也一定不是此方程的根( ) (A )ω (B )3
ω (C )1- (D )ω-
7、(较难)复数
z =
的指数表示形式为 ( ) (A )4
i z e
π-?
= (B )4
i z e π?
= (C )(2)
4
i k z e
π
π-?+= (k Z ∈)(D )(2)
4
i k z e
π
π?+= (k Z ∈)
8、(较难)设{1Im 1,1Re 1}E z z z =-<<-<<,则E 一定不能是 ( ) (A )有界单连通区域 (B )有界闭区域 (C )无界区域 (D )区域 9、(较难)下列哪些函数在全平面上不解析( )
(A )sin z (B )z (C )Re z (D )2
z 10、(较难)若1
()sin
f z z
=,则0z =为()f z 的( ) (A )本性奇点 (B )孤立奇点 (C )可去奇点 (D )极点
三、填空题(将正确的答案填在横线上)
1、(中等)复数(3)(2)
(3)(2)
i i z i i +-=
-+的模z = 。
2、(容易)函数()f z 在区域D 内解析是指 。
3、(容易)
11
1
3
z dz z -==+?
。 4、(容易)刘维尔定理是指 。
5、(中等)幂级数02
n n n n z ∞
=?∑的收敛半径R = ,收敛圆为 。
6、(容易)函数1
()1f z z
=
-在0z =处的幂级数展式为 。 7、(容易)设2
()1i z
e f z z ?=+,则Re (,)s f i = 。
8、(容易)分式线性变换的一般形式为 。 9、(容易)设非零复数z 的幅角为θ,则z 的三角表示式为 。 10、(中等)满足等式2
i k
e
i π?=的最小正整数k = 。
11、(中等)()Re f z z z =的可导点为 。 12、(较难)设()f z 在闭区域{12}z z ≤≤上解析,且
1
()z f z dz π==?
,则
2
()z f z dz ==?
。
15、(容易)函数()f z 在区域D 内解析是指 。 16、(容易)若复数5sin1z i =+,则Re()iz = 。
17、(中等)设z x iy =+,x ,y 为实数,0x >,则arg z = 。 18、(较难)若()(1)f z i u =+在区域D 内解析,u 为x ,y 的二元实函数,则在区域D 内
u
x
?=? ,u = 。 19、(容易)设函数()f z 在复平面上解析,且有界,则()f z 在复平面上为 。 20、(容易)若函数()f z 在点0z 解析,则()f z 在点0z 导数。 21、(容易)函数2
1
()1f z z =
-在0z =处的幂级数展式为 。 22、(中等)设0z 为()f z 的孤立奇点,且()f z 在00z z R <-<内有罗郎展式
00
()()n n n f z c z z ∞
==-∑
则0z 必为()f z 的 奇点。
23、(中等)设2
()1i z
e f z z
?=+,则Re (,)s f i -= 。 24、(中等)对任意的非零复数z ,Argz 是多值的,彼此相差 的整数倍。 25、(中等)设1z ,2z 是互为共轭的非零复数,则
1
2
z z = 。 26、(中等)若区域D 内解析的函数()f z ,在区域D 内满足Re ()Im ()f z f z =,则在区域D 内()f z = 。
27、(容易)设函数()f z 在长度为l 的光滑曲线C 上可积,且在C 上,()f z M ≤,则
()C
f z dz ≤?
。
28、(容易)在复平面上n 次多项式()P z 的零点个数为 个(几阶零点要算几个零点)。
29、(容易)函数2
()z f z e =在0z =处的幂级数展式为 。 30、(中等)1
()(1)
f z z z =
-在01z <<内的罗郎展式为 。
31、(容易)一般分式线性变换是由 、 、 、 四种更简单的分式线性变换复合而成。
32、(容易)若复数2006cos2005z i =+,则Re()iz = 。
33、(容易)设()f z 在z 平面上解析,且有界,则()f z 在z 平面上为 。 34、(容易)()sin f z z =在0z =处的幂级数展式为 。 35、(较难)设()f z 在闭区域1100z ≤≤上解析,且
100
()100z f z dz ==?
,则
1
()z f z dz ==?
。
36、(容易)设2
()1i z e f z z -?=+,则Re (,)s f i = 。
37、(容易)若复数20062005z i =+?,则Im()iz = 。 38、(中等)设()f z 是以∞为可去奇点的整函数,则()f z 必为 。 39、(容易)()cos f z z =在0z =处的幂级数展式为 。 40、(中等)设()f z 在z a R -<内解析,且以点a 为非孤立零点,则在z a R -<内
()f z = 。
41、(中等)设sin ()z
f z e
=,则Re (,0)s f = 。
四、判断题(正确的打“√”,错误的打“×”)
1、(容易)设1z 和2z 是两个不相等的复数,则1z 和2z 必可比较大小。 ( )
2、(中等)()f z 在点a 解析是指()f z 在点a 可导。 ( )
3、(中等)在复数范围内,31z =的充要条件是1z =。 ( )
4、(容易)若()f z 在以围线C 为边界的单连通区域D 内解析,且在D D C =+上连续,则
()0C
f z dz =?
。 ( )
5、(中等)若0Re (,)s f z a =,则2
2
0Re (,)s f z a =。 ( ) 6、(中等)若复数z 与其共轭复数z 相等,则z 必为纯虚数。 ( ) 7、(容易)()f z 在点a 点可导,则()f z 在点a 解析。 ( ) 8、(中等)存在函数()f z 在复平面上处处连续,但处处不可导。 ( ) 9、(较难)设1()f z z
=
,则Re (,0)1s f =,从而22
Re (,0)11s f ==。 ( ) 10、(中等)如果()w f z =在区域D 内解析,则()w f z =是区域D 内的保形映射。( ) 11、(容易)因为12<,则2i i <。 ( ) 12、(容易)复数0的模和幅角都没有意义。 ( )
13、(中等)若()f z u iv =+在区域D 内解析,则()g z v i u =-+?也在区域D 内解析。
( )
14、(中等)若解析函数()f z 以0z 为零点,则存在0z 的某邻域,使得0z 为()f z 在此邻域内的惟一的零点。( )
15、(容易)设()f z 在00z z R <-<内解析,则0z 为()f z 的可去奇点? 0
lim ()z z f z →存在。
( )
16、(中等)在复数范围内,2
1z z i =-?=。 ( )
17、(容易)若函数()f z 在区域D 内的每一点都可导,则()f z 在D 内不一定解析。 ( ) 18、(较难)2
()f z z =在复平面上连续,但在复平面上处处不可导。 ( ) 19、(中等)若函数()f z 在有界区域D 内解析,在闭区域D D C =+上连续,则()f z 在边界C 上且只在边界C 达到最大模。( ) 20、(容易)分式线性变换(0)az b
w ad bc cz d
+=
-≠+在扩充z 平面上是保形的。 ( )
21、(容易)任意两个复数必可比较大小。 ( )
22、(容易)若()f z 在点0z 可导,则()f z 在点0z 不一定解析。 ( ) 23、(中等)不存在在z 平面上处处连续处处不可导的复变函数。 ( ) 24、(中等)设1()f z z
=
,则Re (,0)1s f =,22
Re (,0)11s f ==。( ) 25、(中等)若()w f z =是区域D 内的解析函数,则()f D 也必为区域。 ( ) 26、(中等)0z z -=是z 为实数的充要条件。 ( )
27、(容易)若()f z 在点0z 解析,则()f z 在点0z 一定可导。 ( ) 28、(中等)2
()f z z =在z 平面上处处不可导。 ( ) 29、(中等)若∞为()f z 的可去奇点,则Re (,)0s f ∞=。( )
30、(容易)若()w f z =是区域D 内的单叶解析函数,则()f D 不一定为区域。 ( )
五、计算题
1、(较难)将复数2
(1cos sin )(0)z i ???π=++≤<化为指数形式。
2、(中等)在复数范围内解方程44
0(0)z a a +=>。
3、(中等)计算积分C
z dz ?,其中(1)C 是从1-到1的直线段;(2)C 是从1-到1的上
半单位圆周:1z =。
4、(较难)求2
2
C
z dz z z
--?
,其中C 是圆周:2z =。 5、(中等)求下列函数在0z =处的幂级数展开式
(1)2
z
e d ξξ?; (2)
2
1
(1)
z -。 6、(较难)求实积分
2
sin 1x x
dx x +∞
-∞
+?
。 7、(较难)试求把单位圆盘1z <保形映射成单位圆盘1w <,并且把1z <内的一点00z ≠变成0的分式线性变换。
8、(中等)在复数范围内解方程8
10z +=。 9、(中等)计算积分
1
()n
z a R
dz z a -=-?
,其中n 为整数,0R >。 10、(较难)计算积分
25
52
1
z z dz z =--?
。 11、(较难)设3
()e f z d z
ξξξ
ξξ=-=
-?
,求()f i '。 12、(中等)设2
1
(1)()z f z e -=,求Re (,1)s f 。
13、求1
()(1)(2)
f z z z =
--在圆环011z <-<内的罗郎展式。
14、(较难)利用留数计算实积分20
sin 54cos x
I dx x
π
=+?
。
15、(较难)试求把单位圆盘1z <保形映射成单位圆盘1w <的分式线性变换()w L z =,并且1
()02L =,1(0)2
L =-
。 16、(较难)将复数2
(1cos sin )(0)z i ???π=-+≤<化为指数形式。 17、(中等)求积分2
1
C
dz z z
-?
,其中C 是圆周:2z =。 18、(中等)计算积分
22
sin 9
z z e z
dz z =-?
。
19、(较难)设23
371
()f z dz z
ξξξξ=++=
-?
,求(1)f i '+和(33)f i '+。
20、(中等)设1
()sin f z z
=,求Re (,0)s f 。 21、(中等)求1
()(1)(2)
f z z z =
--在圆环12z <<内的罗郎展式。
22、(较难)利用留数计算实积分20
1
2cos I d π
θθ
=
+?
。
23、(较难)试求把上半平面Im 0z >保形映射成单位圆盘1w <的分式线性变换()w L z =,并且满足()0L i =,(0)1L =-。
24、(中等)求复数(20052006)(20032004)
(20052006)(20032004)
i i z i i +-=
-+的模。
25、(中等)求积分2
1
22
C
dz z z ++?
,其中C 是圆周:1z =。 26、(较难)计算积分
2
2
(9)()
z z
dz z z i =-+?
。 27、(难)用复积分和留数定理两种方法计算积分
22
2
(1)z
z e dz z =+?
。
28、(较难)设2
()(1)(1)z
f z z z =
-+,求Re (,1)s f -和Re (,)s f ∞。
29、(中等)求1
()(1)(2)
f z z z =
--在圆环2z <<+∞内的罗郎展式。
30、
(较难)利用留数计算实积分20
I π
θ=
?
。
31、(难)试求把带形区域0Im z π<<映射成单位圆盘1w <的保形映射变换()w f z =。 33、(中等)在复数范围内解方程6
6
0(0)z a a +=>。 34、(中等)计算复积分
21
(2)
n
z R
dz z -=-?
,其中1n ≥为自然数,0R >。 35、(较难)设22
1
()e f z dz z
ξξξξ=--=
-?
,求()f i ',(2)f i '+。
36、(中等)求出函数1
()(1)(2)
f z z z =--在扩充平面上的所有孤立奇点的去心邻域内的罗
郎展式。
37、(较难)用留数计算实积分0
1
2cos d π
θθ
+?
。
38、
(中等)设复数z =
,求z 。
39、(中等)计算复积分
21
1
45
z dz z z =++?
。
40、(较难)设222
593
()f z dz z
ξξξξ=++=
-?
,求()f i ',(12)f i '+。
41、(中等)求出函数1
()(1)
f z z z =-在扩充平面上的所有孤立奇点的去心邻域内的罗郎展
式。
42、(较难)用留数计算实积分2
20
1
1cos d π
θθ
+?
。
六、证明题
1、(中等)证明:2222
1212122()z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义。 2、(难)设3
2
(,)3u x y x xy =-,证明: (1)(,)u x y 是z 平面上的调和函数;
(2)求以(,)u x y 为实部的解析函数()f z ,使得(0)f i =。 3、(难)(1)证明:1
02
C dz z =+?
,其中:1C z =; (2)利用(1)的结果证明0
12cos 054cos d π
θ
θθ
+=+?
。
4、(难)若()f z 在区域D 内解析,在区域D 内,Re z e =,则在区域D 内()f z e ic =+,其中c 为是实常数。
5、(难)设()f z 在闭区域0(0)z z R R -≤>上解析,令0()max ()z z R
M R f z -==,证明:
()
0!()
()(0,1,2,)n n
n M R f
z n R
?≤
=L ---------- 柯西不等式。 6、(难)若()f z 在区域D 内解析,在区域D 内,Im 1z =,则在区域D 内()f z c i =+,其中c 为是实常数。
7、(难)设()f z 在闭区域(0)z R R <>上解析,并且具有泰勒展式
01()n n f z a a z a z =++++L L ,
令()max ()z r
M r f z ==,证明:
()
(0,1,2,,0)n n
M r a n r R r ≤
=< 8、(难)若()f z 在区域D 内解析,()f z 也在区域D 内解析,则在区域D 内()f z 恒为常数。 9、(难)设()f z 在闭圆1z ≤上解析,且 2 1 () 0,{1}()f d z z z z ξξξξ==∈<-?, 证明:在1z ≤内 ()f z 恒为常数。 10、(难)若()f z 在区域D 内解析,且()i f z ?也在区域D 内解析,则()f z 在区域D 内必为常数。 11、(难)设()f z 在闭圆域1z ≤上解析,且在圆域1z <内,恒有1 () 1f d z ξξξξ==-? ,证明:在闭圆域1z ≤上,()f z c ≡,且12i c e θ π = ?,θ为实常数。 12、(难)若()f z 在区域D 内解析,且Re ()Im ()f z f z =,则()f z 在区域D 内必为常数。 13、(难)设()f z 在闭圆域1z ≤上解析,且在圆域1z <内,恒有11() Re[ ]12f d i z ξξξπξ==-?,证明:在闭圆域1z ≤上,()1f z i c ≡+?,其中c 为实常数。 复变函数综合测试题库 (解答) 一、选择题(单选题) 1、复数z i =的幅角主值为( C ) (A ) 3π (B )3π- (C )6π- (D )6 π 2、复数1cos sin ,0z i θθθπ=-+≤≤的模为( A ) (A )2sin 2 θ (B )2sin 2 θ - (C )22cos θ- (D )2cos 2θ- 3、设 z = ,则z 的指数表示为( B ) (A )cos sin 44z i π π =+ (B )4 i z e π? = (C )cos sin 44 z i π π =- (D )4 i z e π-? = 4、若ω是方程3 10z -=的一个虚部非零的根,则21ωω++=( A )题目不严密,若1 =w 则2 1ωω++=3 (A )0 (B )i (C )2 ω (D ) ω- 5、函数()f z z =在z 平面上( C ) (A )不连续 (B )连续且可导 (C )连续但处处不可导 (D )以上答案都不对 6、满足11z z -=+的点z 所组成的点集为(B ) (A )Im 0z = (B )Re 0z = (C )Im 0z > (D )Re 0z > 7、函数()f z u iv =+在区域D 内解析的充要条件是( D ) (A ) ,,,u u v v x y x y ????????都在D 内连续 (B )在D 内 ,u v u v x y y x ????==-????