可靠性分析课程论文概要

可靠性分析

一可靠性概念

产品在规定条件下和规定的时间内完成规定功能的能力叫产品的“可靠性”。通俗地说，产品故障出的少，就是可靠性高。可靠性的概率度量叫可靠度，用R(t)表示。设N 个产品从时刻“0”开始工作，到时刻t 失效的总个数为n(t)，当N 足够大时

R(t)≈[N－n(t)]/N=N(t)/N

这里边重点是产品、规定条件、规定时间、规定功能。

产品：硬件（汽车、电视机等）、流程性材料（水泥、燃油、煤气等）、

软件（程序、记录等）、服务（理发、导游等）。

规定条件：主要指自然、人文等环境。

规定时间：指时间段或某一时刻。

规定功能：产品所应达到的能力和效果。

我们这里讲到的产品可靠性通俗说就是我们研制生产的设备或系统在用户所处的环境中使用时实现其应有的技战术性能的能力。

产品的可靠性变化一般都有一定的规律, 其特征曲线如图1所示, 由于其形状象浴盆,通常称之为“浴盆曲线”。在实验和设计初期,由于产品设计制造中的错误、软件不完善以及元器件筛选不够等原因而造成早期失效率高; 通过修正设计、改进工艺、老化元器件、以及整机试验等,使产品进入稳定的偶然失效期;使用一段时间后,由于器件耗损、整机老化以及维护等原因, 产品进入了耗损失效期。这就是可靠性特征曲线逞“浴盆曲线”型的原因。

在国际上，可靠性起源于第二次世界大战，1944 年纳粹德国用V-2 火箭袭击伦敦，有80 枚火箭在起飞台上爆炸，还有一些掉进英吉利海峡。由此德国提出并运用了串联模型得出火箭系统可靠度，成为第一个运用系统可靠性理论的飞行器。当时美国海军统计，运往远东的航空无线电设备有60％不能工作。电子设备在规定使用期内仅有30％的时间能有效工作。在此期间，因可靠性问题损失的飞机2.1 万架，是被击落飞机的 1.5 倍。由此引起人们对可靠性问题的认识，通过大量现场调查和故障分析，采取对策，诞生了可靠性这门学科。上述例子充分证明了装备可靠性的重要。因此现代武器装备既要重视性能，又不能轻视可靠性。要获得装备的高可靠性，目前通用的做法是采用工程化的方法进行设计和管理。下面我们介绍一下可靠性工程方法的一些基本内容。也是目前我们工作中常用到的内容。

二常用的可靠性工程技术指标

2.1 常用参数

实际工作中我们常遇到的表征电子系统产品可靠性的工程技术。

2.2 定义

2.2.1 可用性

产品在任一随机时刻需要和开始执行任务时，处于可工作或可使用状态的程度。可用性的概率度量叫“可用度”，用“A”表示。

可用性描述了在要求的外部资源得到保证的前提下，产品在规定的条件下及随机规定的时刻处于可执行规定任务的能力。

2.2.2 固有可用度

仅与工作时间和修复性维修时间有关的一种可用性参数。其度量方法为：产品的平均故障间隔时间和平均故障间隔时间、平均修复时间的和之比。

2.2.3 使用可用度

它是与能工作时间和不能工作时间有关的一种可用性参数。其度量方法为：产品的能工作时间与能工作时间、不能工作时间的和之比。

2.2.4 MTBF

它是在规定的条件下和规定的时间内，产品处于规定状态的总数与这段时间内故障总数之比。它是可修复产品的一种基本参数。对于一批产品来说

式中ti为第i 个产品无故障工作时间，N 为产品的数量。

2.2.5 故障率（λ）

产品工作到t 时刻后的单位时间内发生失效的概率。它是在规定的条件下和规定的时间内，产品的故障总数和寿命单位总数之比。它是可靠性的一种基本参数。设有N 个产品，从t＝0 时刻开始工作，到时刻t 时的失效数为n(t)，即t 时刻残存产品数为N－n(t)，又若在（t+Δt）时间内，有Δn(t)个产品失效。

λ(t)=[n（t+Δt）－n(t)]/[N－n(t)]/Δt=Δn(t)/[N－n(t)]/Δt

2.3 相互关系

Ai=MTBF/(MTBF+MTTR)

A0=MTBF/(MTBF+MTTR+MLDT)

其中MTTR 为平均修复时间，MLDT 为平均维修保障延误时间。当MLDT=0 时，A0=Ai，这就说明了合同参数与实际使用之间的差异，而说明这一点的目的，就是要指出我们在做设计时除了要考虑合同要求，还应该考虑客观因素的影响，才能保证生产出来的产品真正满足实际使用要求。

三产品可靠性模型

3.1 建立可靠性模型的作用和意义

(a)建立系统可靠性模型是可靠性工程重要工作项目，是可靠性保证大纲规定的必做的工作项目之一。

(b) 建立系统可靠性工作模型是可靠性指标与维修性指标分配和预测的基础工作。

(c)建立系统可靠性模型是可靠性分析、估算、评价的工具。

(d) 建立系统可靠性模型是对系统最佳方案权衡和优化设计首先应完成的工作项目。

(e)建立系统可靠性模型是进行可靠性设计重要措施之一。如冗余设计等。

3.2 建立可靠性模型的步骤

3.2.1 产品定义

（1）确定产品的任务和工作模式。

（2）规定产品及其分系统的性能参数及容许界限。

（3）确定产品的物理界限及功能接口。

（4）确定构成任务失效的条件。

（5）确定产品的寿命剖面和任务剖面。

对于建立基本可靠性模型，一定要明白：产品组成和框图结构、寿命剖面。

3.2.2 确定产品可靠性框图

根据产品定义的结果，将产品组成部分按工作流程以框图的形式类别表示出来。

对于基本可靠性模型，框图都是串联的。如接收机框图从工作原理讲，本振只与混频器相连，电源与所有电路都相连，这里不考虑这些。在此需要补充说明的是：特别是对于大型复杂的系统，随着设计工作的从系统级向分系统级、设备级等等逐级展开，就要在各个设计级别绘制一系列的可靠性框图，这些可靠性框图是越画越细，而且要有可追溯性。主要是便于预测工作由器件级向上开展，便于考虑模块级备份和冗余。

编制可靠性框图应注意：

(1)框图的标题和任务。

(2)方框的顺序和标志。

(3)列出未记入模型的单元。

3.2.3 确定计算产品可靠性的数学模型

对于有m 个单元所组成的系统来说，其可靠性数学模型可以表示为：

当各单元的可靠度都符合指数规律时，可

因而有

以上述接收机为例，其可靠性数学模型为：

当组成系统的分系统可靠度相同且服从指数分布时，λ 为常数，则： 目前讲到的可靠性模型适用于寿命服从指数分布的电子设备，而

机械零部件为次要成分，其失效率也低。对于目前生产的电子设备，可 忽略不计。如果产品既有电子元器件又有机械零部件，且为串联结构， 则其可靠性数学模型为

软件可靠性未纳入系统可靠性模型时，应假设整个软件是完全可靠的。

四 产品可靠性预测与分配

4.1 可靠性预测的目的

(a)可靠性预测作为一种设计工具，可从可靠度、性能、费用、研制周期等选择最佳的设计方案。其中早期预测着重于方案的现实性和可能性研究。

(b)选择了某一设计方案后，通过可靠性预测可发现设计的薄弱环节，以便及时改进。

(c)通过可靠性预测可以推测产品能否达到规定的可靠性要求。

(d)可靠性预测结果不仅用于指导设计，还可以为转阶段决策提供信息，为可靠性试验、制定维修计划、保障性分析、安全性分析、生存性评价等提供信息。后期预测着重于对设备的可靠性进行评价或提出硬件改进建议。

(e)为可靠性指标的分配和可靠性保障设计提供依据。

可靠性预测可以发现哪些元件或子系统是造成系统失效的主要因素；找出薄弱环节之后，便可采取必要的改进措施；以减小整个系统的失效率，提高系统的可靠性。

可靠性预测是可靠性设计的重要内容，它包括元件可靠性预测和系统可靠性预测。下面分别加以讨论。

4.2元件可靠度预测

预测系统的可靠度通常是以预测系统中的元件或组件的可靠度为基础。所有元件的可靠度确定以后，把这些元件的可靠度适当地组合起来就可以得出系统的可靠度。因此，首先碰到的问题就是如何预测元件的可靠度。

第一步是确定基本失效率

它是在一定的使用(或试验)条件和环境条件下得出的。设计时可以从可靠性手册上查得，也可通过可靠性试验求得。 第二步是确定应用失效率即元件在现场使用中的失效率。从两方面得到： 1)根据不同的应力环境，对基本失效率乘上适当的修正因子(系数)得到，2)直接采用从实际现场应用中收集到的失效率数据。这里提出失效率的修正系数KF 值，因此应用失效率为： G F K λλ=

第三步是确定元件的可靠度。大多数可靠度预测时采用都是指数分布。即：t K t G F e e t R λλ--==)（

现有的绝大多数失效率数据都是基于常失效率的假设推出的，或者至少是基于这个假设预测的。这种假设是基本符合实际情况的，因为大多设备（系统）线路都经过老化等试验，工作在偶然失效期，失效率基本上保持常数。

4.3系统可靠性预测

系统(或线路)的可靠性是与元件的数量、元件的可靠性以及元件之间的相互关系有关。可靠性预测方法有；(a)回归分析法；(b)相似产品法；(c)相似电路法；(d)专家评分法；(e)有源单元估算法；(f)元件计数法；(g)应力分析法；(f) 蒙特卡洛法。这里重点介绍元件计数法、应力分析法、蒙特卡洛法

4.3.1计数法

元器件计数可靠性预测法是根据设备中各类元器件的数量及该元器件通用失效率、元器件质量等级和设备的应用环境类别来估算设备可靠性的一种方法，其计算设备失效率的数学表达式为：

式中 λ设备———设备总失效率

λGi ———第 i 种元器件的通用失效率

πQi ———第 i 种元器件的通用质量系数

Ni ———第 i 种元器件的数量

n ———设备所有元器件的种类数目

其基本程序为：

(a)列出设备的元器件种类及每类元器件的数量，质量等级和设备的应用环境类别。

(b)从相关资料中，查找各类元器件在该环境类别下的通用失效率λG ，以及通用质量系数 πQ 。

(c)将前两个步骤所得的数据填入失效率预测表内。

(d)按公式分别计算不同应用环境下的设备失效率，假设某系统由两台设备组成，一台使用在室外固定，一台使用在地面移动，那在计算该系统的失效率时，应分别计算设备 1 和设备 2 的失效率。 再假设两台设备一模一样，那计算设备 1 和设备 2 的失效率时，公式中的 λG 取值不同，具体参数首先确定使用环境类型，再根据类型代号从相关材料中查找对应器件的 λG 值。 其余参数相同。

(e)将组成设备的各部分失效率相加，计算整个设备系统的总失效率及其 MTBF 等可靠性指标。

4.3.2 应力分析法

元器件应力分析可靠性预测法是通过分析元器件所承受的应力，计算元器件在该应力条件下的工作失效率来预测设备的可靠性。元器件在不同应力条件下其失效率不同。 在普通场合，这些应力主要的是电应力和环境应力。元器件应力分析可靠性预测法较全面的

考虑了电、热和其它气候、机械环境应力等因素对元器件失效率的影响。 通过分析设备上各元器件工作时所承受的电、热应力及了解元器件的质量等级，承受

电、热应力的额定值，工艺结构参数和应用环境类别等，利用手册给出的数值、图表和失效率模型，来计算各元器件的工作失效率，由此预测电子设备的可靠性水平。

其预测的主要程序：

(a)分析各元器件的应用方式，工作环境温度及其它环境应力，以及负荷电应力比等工作应力数据。

(b)汇编设备的元器件详细清单，清单内容包括：元器件名称，型号规格，数量，产品标准，性能额定值及有关的设计、工艺、结构参数和工作应力数据等。

在采用应力分析进行预测时，大多数元器件种类分别有基本失效率模型和工作失效率模型。基本失效率模型一般考虑温度和电应力对元器件失效率影响。 而工作失效率模型除反映温度、电应力等基本因素外，还包括其它多种的对元器件失效率影响的因素。一般（集成电路除外）表示为：反映电应力（S ）、温度应力（T ）影响的基本失效率（λb ）与其余影响失效率的质量因子、环境因子、设计、工艺、结构因子以及应用因子（π 系数）等一系列修正因子的乘积。集成电路失效率计算除考虑上述因子外，还应考虑结温、电路复杂度、封装复杂度等因子。

4.3.3蒙特卡洛法（monte carlo)

蒙特卡洛法是用随机抽样方法，根据可靠性框图进行可靠性预测。概率论中大数法则表明：样本量越大，样本均值作为母体均值的估计就越精确。从随机数表中任意抽取一组随机数，均在0.01到1.00之间，将这些随机数分别与系统中各单元无故障工作概率Pi 或可靠度Ri 进行比较，并规定：某一随机数等于或小于Pi ，则第i 单元是工作的，否则应定为失效。对系统中每个单元都进行这样的比较，以确定系统中每个单元的工作状态，再根据系统的逻辑图来确定系统是成功或失败，如此相当于完成一次对系统的随机抽样试验。这样的试验次数n 至少要统计100次，然后统计系统完成任务的次数s ，则系统可靠度预测值可以用下式估计：n S

R S

现用下述例子来说明具体方法：

设某系统的可靠性方框图如图所示。假设单元A,B,C 的可靠度分别为R1、R2、R3。其中第1个单元A(设R1=0.80)，用计算机的随机数发生器输入一个随机数,根据第1个随机数来决定这个单元的成功或失效。如果这个随机数小于0.7999,则表示该单元正常,若在0.8~0.9999,则表示单元失效。

根据逻辑图，要把另1个随机数输入到框图的下一单元B,新的随机数便决定这一单元的成功或失效。

如果对单元A 发出的随机数大于0.80,但他还有并联单元C,给单元C 发出一个随机数,与该单元的可靠度比较后,确定其成功或失效。若失效,而系统又没有其他并联单元了,则表示系统失效。上述过程一结束,记下失效次数。若成功,则又对单元B 发出新的随机数,与B 单元可靠度比较成功后,则表示系统成功,记下成功次数。这个过程要反复进行到要求的试验次数N 为止。进行模拟的次数越多,预计值越接近实际情况。下图为蒙特卡洛法的计算机程序流程图。

4.4可靠性分配

可靠性分配是把系统规定的可靠性指标按照一定的程序分给分系统及元件，以便复杂问题的处理得以简化并便于检验，它是一个由整体到局部，由大到小，由上到下的过程。要进行分配，就必须明确目标函数与约束条件。随着目标函数和约束条件的不同，可靠性分配的方法也因之而异。有的以可靠度指标为约束条件，给出系统要求达到的可靠度值，而以在这一限制下，使重量、成本等其它的系统参数尽可能小。作为目标函数，有的则给出重量、成本等的界限值，要求作出使系统可靠度尽可能高的分配．一般应根据系统的用途，视哪一些参数应予优先考虑来选定设计方法。在优化设计上实际为带约束的优化问题。

可靠性分配有许多方法，随掌握可靠性资料的多少、设计的阶段以及目标和限制条件的不同而不同。几种常用的方法：等分配法、再分配法、比例分配法、综合评分法。

五可靠性设计技术

5. 1 降额设计

所谓降额设计,就是使元器件运用于比额定值低的应力状态的一种设计技术。为了提高元器件的使用可靠性以及延长产品的寿命,必须有意识地降低施加在器件上的工作应力(如:电、热、机械应力等) ,降额的条件及降额的量值必须综合确定,以保证电路既能可靠地工作,又能保持其所需的性能。降额的措施也随元器件类型的不同而有不同的规定,如电阻降额是降低其使用功率与额定功率之比;电容降额是使工作电压低于额定电压;半导体分立器件降额是使功耗低于额定值;接触元件则必须降低张力、扭力、温度和降低其它与特殊应用有关的限制。

电子元器件的降额, 通常有一个最佳的降额范围,在这个范围内,元器件的工作应力的变化对其失效率有显著的影响,设计也易于实施,而且不需要设备在重量、体积、成本方面付出太大的代价。因此,应根据元器件的具体应用情况来确定适当的降额水平。因为若降额不够则元器件的失效率会比较大,不能达到可靠性要求; 反之,降额过度,将使设备的设计发生困难,并将在设备的重量、

体积、成本方面付出较大的代价, 还可能使元器件数量产生不必要的增加,这样反而会使设备可靠性下降。

降额的等级分为三个等级,分别称为Ⅰ级降额、Ⅱ级降额和Ⅲ级降额。

Ⅰ级降额是最大降额, 超过它的更大降额, 元器件的可靠性增长有限,而且使设计难以实现。Ⅰ级降额适用于下述情况:设备的失效将严重危害人员的生命安全, 可能造成重大的经济损失, 导致工作任务的失败,失败后无法维修或维修在经济上不合算等。

Ⅱ级降额指元器件在该范围内降额时, 设备的可靠性增长是急剧的, 且设备设计较Ⅰ级降额易于实现。Ⅱ级降额适用于设备的失效会使工作水平降级或需支付不合理的维修费用等场合。

Ⅲ级降额指元器件在该范围内降额时设备的可靠性增长效益最大,且在设备设计上实现困难最小,它适用于设备的失效对工作任务的完成影响小、不危及工作任务的完成或可迅速修复的情况。

5. 2 热设计

由于现代电子设备所用的电子元器件的密度越来越高,这将使元器件之间通过传导、辐射和对流产生热耦合。因此, 热应力已经成为影响电子元器件失效率的一个最重要的因素。对于某些电路来说,可靠性几乎完全取决于热环境。所以, 为了达到预期的可靠性目的, 必须将元器件的温度降低到实际可以达到的最低水平。有资料表明:环境温度每提高10 ℃,元器件寿命约降低1/ 2。这就是有名的“10 ℃法则”。热设计包括散热、加装散热器和制冷三类技术, 这里笔者主要谈一谈散热技术。应用中常采用的方法:

第一种是传导散热方式, 可选用导热系数大的材料来制造传热元件, 或减小接触热阻并尽量缩短传热路径。

第二种是对流散热方式, 对流散热方式有自然对流散热和强迫对流散热两种方式。自然对流散热应注意以下几点:

●设计印制板和元器件时必须留出多余空间;

●安排元器件时,应注意温度场的合理分布;

●充分重视应用烟囱拨风原理;

●加大与对流介质的接触面积。

强迫对流散热方式可采用风机(如计算机上的风扇)或双输入口推拉方式(如带换热器的推拉方式) 。

第三种是利用热辐射特性方式, 可以采用加大发热体表面的粗糙度、加大辐射体周围的环境温差或加大辐射体表面的面积等方法。

在热设计中,最常采用的方法是加散热器,其目的是控制半导体的温度, 尤其是结温Tj, 使其低于半导体器件的最大结温TjMAX , 从而提高半导体器件的可靠性。半导体器件和散热器安装在一起工作时的等效热路图如图2所示。图中各参数的含义如下:

R Tj—半导体器件内热阻, ℃/ W ;

R Tc —半导体器件与散热器界面之间的界面热阻, ℃/ W ;

R Tf —散热器热阻, ℃/ W ;

Tj—半导体器件结温, ℃;

Tc —半导体器件壳温, ℃;

Tf —散热器温度, ℃;

Ta —环境温度, ℃;

Pc —半导体器件使用功率,W。

根据图 2 ,散热器的热阻R Tf应为:

R Tf = (R Tj- Ta) / PC - R TJ - R Tc

散热器热阻R Tf是选择散热器的主要依据。Tj、R Tj是半导体器件提供的参数, Pc 是设计要求的参数, R Tc可以从热设计专业书籍中查到。下面介绍一下散热器的选择。

(1) 自然冷却散热器的选择

首先按以下式子计算总热阻R T 和散热器的热阻R Tf ,即:

R T = (TJmax - Ta) / Pc

R Tf = R T - R Tj- R Tc

算出R T 和R Tf 之后, 可根据R Tf和Pc 来选择散热器。选择时,根据所选散热器的R Tf和Pc 曲线,在横坐标上查出已知Pc , 再查出与Pc 对应的散热器的热阻R′Tf。

按照R′Tf≤RTf的原则选择合理的散热器即可。

(2) 强迫风冷散热器的选择

强迫风冷散热器在选择时应根据散热器的热阻RTf和风速v 来选择合适的散热器和风速。

5. 3 冗余设计

冗余设计是用一台或多台相同单元(系统)构成并联形式,当其中一台发生故障时,其它单元仍能使系统正常工作的设计技术。冗余按特点分为热冗余储备和冷冗余储备; 按冗余程度分,有两重冗余、三重冗余、多重冗余;按冗余范围分,有元器件冗余、部件冗余、子系统冗余和系统冗余。这种设计技术通常应用在比较重要, 而且对安全性及经济性要求较高的场合,如锅炉的控制系统、程控交换系统、飞行器的控制系统等。

5. 4 电磁兼容性设计

电磁兼容性设计也就是耐环境设计。首先要明白什么是电磁兼容性问题, 电磁兼容性问题可以分为两类: 一类是电子电路、设备、系统在工作时由于相互干扰或受到外界的干扰使其达不到预期的技术指标; 另一类电磁兼容性问题就是设备虽然没有直接受到干扰的影响, 但不能通过国家的电磁兼容标准, 如计算机设备产生超过电磁发射标准规定的极限值,或在电磁敏感度、静电敏感度上达不到要求。为了使设备或系统达到电磁兼容状态, 通常采用印制电路板设计、屏蔽机箱、电源线滤波、信号线滤波、接地、电缆设计等技术。印制电路板在设计布置时,应注意以下几点:

●各级电路连接应尽量缩短, 尽可能减少寄生耦合,高频电路尤其要注意;

●高频线路应尽量避免平行排列导线以减少寄生耦合,更不能象低频电路

那样把连线扎成一束;

●设计各级电路应尽量按原理图顺序排列布置,避免各级电路交叉排列;

●每级电路的元器件应尽量靠近各级电路的晶体管和电子管,不应分布得太远,应尽量使各级电路自成回路;

●各级均应采用一点接地或就近接地, 以防止地电流回路造成干扰, 应将大电流地线和小电流回路的地线分开设置, 以防止大电流流进公共地线产生较强的耦合干扰;

●对于会产生较强电磁场的元件和对电磁场感应较灵敏的元件,应垂直布置、远离或加以屏蔽以防止和减小互感耦合;

●处于强磁场中的地线不应构成闭合回路, 以避免出现地环路电流而产生干扰;

●电源供电线应靠近(电源的)地线并平行排列以增加电源滤波效果。

5. 5 漂移设计技术

产生漂移的原因主要是元器件的参数标准值与实际数值存在公差、环境条件变化对元器件性能产生影响或是使用在恶劣环境而导致元件性能退化等因素。如果元器件参数值发生的漂移超出其设计参数范围,就会使设备或系统不能完成规定的功能。漂移设计是通过在设计阶段根据线路原理写出特性方程, 然后通过收集元器件的分布参数来计算它们的漂移范围以使漂移结果处在设计范围内来保证设备正常使用的一种设计方法。

5. 6 互连可靠性设计

由于在大部分电子产品中都有接插件, 为了降低这些连接部分的故障率, 因此有必要进行互连可靠性设计,常采用的方法有:

●注意接插件的选型, 印制电路板应尽量采用大板或多层板,以减少接插点;

●尽量减少可拔插点,以提高其可靠性,重要部位可采用冗余设计;

●两个插头同时相对时,应采用将其中一个固定,另一个浮动的方式,来保证对准和拔插;

●采用机械固定方式;

●对于常插拔的部件,最好设计成单面走线;

●连接空间应进行有序分割;

●馈线和地线应隐蔽安装。

六可靠性分析应用――CAN 总线的冗余设计及可靠性研究

6.1无冗余的CAN 总线系统及其可靠性

典型的无冗余CAN 总线控制系统主要有两种形式，示意图分别如图所示。它们都是由微控制器、CAN 控制器、CAN 驱动器以及CAN 总线等组成的，它们之间的差别主要是在于选择CAN控制器的种类不同，一种选择的是独立的CAN控制器，另一种选择的是自带有CAN 控制器的微控制器。下图所示的是最经典的采用独立CAN 控制器的的控制系统。

下图所示内容则是采用的自带 CAN 控制器的微处理器的 CAN 总线控制系统，这种系统由于元器件集成度较高，能省去一些接口电路的设计，因此其可靠性也相对较高。

根据无冗余CAN 总线系统的特性分析后对其建立可靠性模型，如下图所示。

模型中1λ代表传输导线的单位失效率，L代表传输导线的总长，则传输导线的总失效率为L1λ，2λ代表是总线收发器的失效率，3λ代表的是总线控制器的失效率，4λ代表的为微处理器的失效率，则根据串联原理可以得出非冗余 CAN 总线系统的可靠度为：

系统整体失效率为：

平均无故障时间为：

6.2 有冗余的CAN 总线系统及其可靠性

由于CAN 总线的高可靠性、结构简单等各种优点使得CAN 总线在各个

工业领域中得到广泛的推广应用，但在航空航天以及船舶、兵器等军工行业，由于产品工作环境异常恶劣，因此对CAN 总线控制的可靠性造成了很大威胁。根据实际工业现场的故障总结，CAN 总线控制中常见的故障如传输介质的破坏、接头连接不牢固以及总线控制器和CAN 发送器失效等故障都会造成CAN 总线控制系统可靠性的严重下降，如果不能很好解决这些问题，将会使系统失效甚至会导致无法估计的严重后果，而采用冗余设计是解决这一问题的有效方法。根据CAN 总线实际应用中可能出现的故障程度，可以采用不同级别的冗余设计来提高系统的可靠性。一般来说，比较常用的典型冗余设计方案有四种：微处理器级别的

冗余、总线控制器级别的冗余、总线驱动器级别的冗余以及总线级别的冗余。以下将

对这四种级别的冗余设计方案及其可靠性进行研究。

（1）总线驱动器级别的冗余控制系统及其可靠性

CAN 总线驱动器级冗余系统的原理示意图如图所示，该系统是由两条总线传输导线、两个总线驱动器、一个CAN 总线控制器级别的微处理器构成。两个总线驱动器分别于CAN-A 与CAN-B 相连，总线控制器通过一模拟开关判断电路与两个总线驱动器相连，在数据发送阶段，两个总线驱动器都能同时收到CAN 控制器的数据传送，在其中一个总线驱动器发生失效时，经过模拟开关处理，总线上的报文仍能经过另一个总线驱动器传送给总线控制器。

对系统进行原理分析，总线驱动器并联后又与其他元器件串联，建立可靠性模型，如下图所示。

这是一个典型的串并联混合系统，根据第二章中的可靠性理论知识，可以得出驱动器级别的冗余系统的可靠度为：

（2）总线控制器级别的冗余控制系统及其可靠性

总线控制器级别的冗余控制系统的设计原则是由两条CAN 传输导线、两个CAN 总线收发器以及两个CAN 总线控制器构成的，其系统原理图如图所示。两个CAN总线控制器通过微处理器CPU 上的两个端口与中断来实现同时控制。根据软件功能设计的不同，可以使该冗余系统具备有热备份与冷备份两种功能，而实现这两种备份功能的硬件是相同的。

根据系统原理进行分析后对总线控制器级别的冗余控制系统建立可靠性模型，如下图所示。

这是一个典型的串并联混合系统，同理根据第二章中的可靠性理论知识，可以得出总线控制器级别的冗余系统的可靠度为：

（3）系统级别的冗余控制系统及其可靠性

系统级别的冗余控制系统的设计思想是将两套由总线控制器、收发器、传输导线、处理器CPU 组成的完整独立CAN 控制系统并联起来，下图所示是即为典型的系统级别的冗余控制系统原理图，该系统也可以设计为冷备份和热备份两种工作状态。冷备份是指其中一套系统工作时另一套系统处于关机状态，一旦工作的系统出现故障，则启动另一套系统，该种工作模式耗能小，易于实现，但由于启动另一套系统需要一定时间，实时性较差；热被备份工作模式是指将两套系统分别设置为主系统和备份系统，它们同时工作，能够相互检测，当主系统出现故障，经过切换模块切换，本系统就是取得总线的控制权，代替主系统进行对整个系统的监控，此种工作模式实时性较高，使用也比较广泛。

根据以上的所述的工作原理，对系统级别的冗余控制系统建立可靠性模型，如下图所示。

这是一种典型并—串联系统，由两套子系统并联而成，每套子系统又由各元器件串联而成根据可靠性理论知识，模型进行简化等效，得出系统级别的冗余控制系统的可靠度为：

平均无故障工作时间MTBF为：

根据式（6-9）可以明显得出系统级别的冗余系统平均无故障时间是无冗余时系统平均无故障时间的 1.5 倍，所以系统的可靠度得到显著提高。

各冗余级别系统的可靠性对比研究

根据对以上四种级别的冗余系统的可靠性结果，用以下方法对比它们之间的可靠度大小。

由以上分析，显而易见，各级别冗余系统的可靠度的大小排列顺序如下：

四种不同级别的冗余控制系统除了在自身可靠性高低方面存在着一定的差异外，在成本、硬件复杂程度、软件编程难度及通信即时性方便也都有很大的差别。总线控制器级别的冗余系统由于在总线控制器与两个驱动器之间需要设计一个切换开关模块，该模块具备有检测故障与切换总线控制的作用，但其本身设计相对复杂，而且还影响系统的通信即时性，如果出现故障也会导致系统的无法运行，这将加大系统的故障率。系统级别的冗余控制系统由于采用两套CAN 控制系统，这在增加成本的同时也增大了产品的体积，在系统复杂程度方面也比总线控制器级别的冗余系统复杂很多。

七可靠性设计方法应用――微特电机电路系统可靠性设计

微特电机中有许多电子线路，电机的轴角转换电路、交直流电机的伺服电路、无刷直流电动机的换相开关电路、无刷直流电动机和永磁交流同步电动机的驱动控制电路。这些电子线路的可靠性控制是微特电机可靠性设计的重要环节，以微特电机的驱动控制电路为例，主要失效形式有四种：①功率器件的损坏。②控制器内部控制电源损坏。③控制器工作时断时续。④连接线磨损及接插件接触不良或脱落引起的控制信号丢失。

7.1 驱动电路的可靠性设计

为提高驱动控制电路的可靠性，应采取如下控制措施：

（1）对控制器的薄弱环节进行冗余设计。采用降额设计，使电子元器件工

作时承受的工作应力（电压、电流、温升、最高运行频率等）适当低于电子元器件标准规定的额定值。

（2）对电子元器件型号、品牌、供应商的选择慎重考虑。应优先选用列入合格制造商目录且经质量认证的产品。

（3）要克服控制器对温度的敏感，首先要选择温度系数好的电子元器件，其次是从设计上降低各模块电路的功率消耗。

（4）进行控制器可靠性测试（器件测试、极板测试、成品测试、破坏性极限测试等）。

7.2 电磁兼容性设计

实际上电动机控制器中存在许多的辐射源。如何减少辐射及其影响是微特电机纽件产品电磁兼容设计的关键所在。减少电磁辐射的设计方法主要有：（1）选用频率低的微控制器。选用外时钟频率低的微控制器可以有效降低噪声和提高系统的抗干扰能力。

（2）减小来自电源的噪声。电源在向系统提供能源的同时，也将其噪声加到所供电的电源上。电路中微控制器的复位线，中断线，以及其他一些控制线最容易受外界噪声的干扰。

（3）元件布置要合理分区。元件在印制线路板上排列的位置要充分考虑抗电磁干扰，原则之一是各部件之间的引线要尽量短。在布局上，要把模拟信号部分，高速数字电路部分，噪声源部分（如继电器、大电流开关等）三部分合理地分开，使相互间的信号耦合为最小。

（4）处理好接地线。双面印制线路板采用单点接地法。与印制线路板以外的信号线相连时采用屏蔽电缆。对于高频和数字信号，屏蔽电缆两端都接地。对于噪声和干扰非常敏感的电路或高频噪声特别严重的电路应该用金属罩屏蔽起来。

（5）数字电路中适当配置去耦电容。设计印制线路板时，每个集成电路的电源、地之间都要加一个去耦电容。

依据上述电路可靠性设计原则，本文设计了一块电机的驱动电路，实现电机的可靠的控制。微特电机制造阶段的可靠性控制是复杂、系统的工程，只有在每一个零部件、每一个工序中规范性的操作，才能达到设计中提出的预定目标。

电机控制器驱动板

八课程总结

经过一学期的学习，我对电子产品的可靠性工作有了更加深入的认识，这门课程使我明白在设计电子产品的过程中怎样开展可靠性工作、怎样预测产品的可靠性、怎样进行可靠性分配、怎样进行电子产品的可靠性设计。为以后能设计出可靠稳定的电子产品打下了理论基础。这门课程一直是由李老师在百忙之中为同学们讲解的，他的谆谆教诲激励每一个同学，在此对李老师表示深深谢意！

数值分析小论文 董安

数值分析作业 课题名称代数插值法-拉格朗日插值法班级Y110201 研究生姓名董安 学号S2******* 学科、专业机械制造及其自动化 所在院、系机械工程及自动化学院2011 年12 月26日

代数插值法---拉格朗日插值法 数值分析中的插值法是一种古老的数学方法，它来自生产实践。利用计算机解决工程问题与常规手工计算的差异就在于它特别的计算方法.电机设计中常常需要通过查曲线、表格或通过作图来确定某一参量,如查磁化曲线、查异步电动机饱和系数曲线等.手工设计时,设计者是通过寻找坐标的方法来实现.用计算机来完成上述工作时,采用数值插值法来完成。因此学好数值分析的插值法很重要。 插值法是函数逼近的重要方法之一，有着广泛的应用 。在生产和实验中，函数f(x)或者其表达式不便于计算复杂或者无表达式而只有函数在给定点的函数值(或其导数值) ，此时我们希望建立一个简单的而便于计算的函数 (x)，使其近似的代替f(x)，有很多种插值法,其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点,常用的插值还有Hermit 插值,分段插值和样条插值.本文着重介绍拉格朗日(Lagrange)插值法。 1.一元函数插值概念 定义 设有m+1个互异的实数1x ，2x ，···，m x 和n+1 个实值函数()0 x j ， ()1 x j ， ···()n x j ，其中n ￡m 。若向量组 k f =（()0k x j ，()1k x j ，···，() k m x j ）T （k=0,1，，n ） 线性无关，则称函数组{()k x j （k=0,1， ，n ）}在点集{i x (i=0,1, ,m)}上线性无关；否 则称为线性相关。 例如，函数组{2+x ，1-x ，x+2 x }在点集{1,2,3,4}上线性无关。 又如，函数组{sin x ，n2x ，sin 3x }在点集{0， 3p ，2 3 p ，p }上线性相关。 给点n+1个互异的实数0x ，1x ，···，n x ，实值函数() f x 在包含0x ，1x ，···，n x 的某个区间[] ,a b 内有定义。设函数组 {()k x j （k=0,1， ，n ）} 是次数不高于n 的多项式组，且在点集{0x ，1x ，···，n x }上线性无关。

泛函分析课程论文

泛函分析课程论文 数学与计算科学学院 09数本2班 黄丽萍 2009224725 大四新学年开始了，我们也开始学习了一门综合性及专业性强的课程——泛函分析。首先，理解下“泛函分析”这个概念。 泛函分析是20世纪发展起来的一门新学科，其中泛函是函数概念的推广，对比函数是数与数之间的对应关系，我们发现泛函是函数和数之间的对应关系。在学习泛函分析前，我们先确定学习目标：理解和掌握“三大空间和三大定理”。所以在接下来的两章内容的学习中，我们将先学习“两大空间”——度量空间和赋范线性空间及其相关知识（第七章和第八章）。在学习中慢慢体味泛函分析的综合性及专业性。 第七章的标题已经明确给出了学习任务——度量空间和赋范线性空间。 §1 度量空间 §1.1 定义：若X 是一个非空集合，:d X X R ?→是满足下面条件的实值函数，对于,x y X ?∈，有 （1）(,)0d x y =当且仅当x y =； （2）(,)(,)d x y d y x =； （3）(,)(,)(,)d x y d x z d y z ≤+， 则称d 为X 上的度量，称(,)X d 为度量空间。 【理解】度量空间就是：集合+距离；（满足非负性、对称性及三点不等式） 其实度量空间是在实变函数中接触的知识，但其在泛函分析学科中的重要性，我们可以通过度量空间的进一步例子来感受。 §1.2 度量空间的进一步例子 例：1、离散的度量空间(,)X d ，设X 是一个非空集合，,x y X ?∈，当1,(,)0,=x y d x y x y ≠?=??当当。

2、序列空间S ，i =1i |-|1(,)21+|-|i i i i d x y ξηξη∞ =∑是度量空间 3、有界函数全体()B A ，(,)sup|(t)-(t)|t A d x y x y ∈=是度量空间 4、连续函数[a,b]C ，(,)max|(t)-(t)|a t b d x y x y ≤≤=是度量空间 5、空间2l ，122=1(,)[(-)]k k i d x y y x ∞=∑是度量空间 §1.3度量空间中的极限，稠密集，可分空间 §1.3.1极限：类似数学分析定义极限，如果 {}n x 是(,)X d 中点列，如果?x X ∈，使n l im (,)=0n d x x →∞，则称点列{}n x 是(,)X d 中的收敛点列，x 是点列{}n x 的极限。 同样的类似于n R ，度量空间中收敛点列的极限是唯一的。 §1.3.2稠密子集与可分空间:设X 是度量空间，E 和M 是X 中两个子集，令 M M M ?表示的闭包，如果E ,那么称集M 在集E 中稠密，当E=X 时，称M 为X 的一个稠密子集，如果X 有一个可数的稠密子集，则称X 是可分空间。 即：{},n n M E x E x M s t x x n ??∈??→→∞在中稠密对 §1.3.3 例子 1、 n 维欧氏空间n R 是可分空间； 2、 坐标为有理数的全体是n R 的可数稠密子集； 3、 l ∞是不可分空间。 §1.4 连续映射 §1.4.1定义：设 (,),(,),> 0,X (,) < (T ,T ) < ,o o o o X X d Y Y d T X Y x X d x x x d x x T x εδδε==∈ 是两个度量空间，是到中映射，如果对于任意给定的正数，存在正数 使对 中一切满足 的 ，有 则称在连续。

论文写作课程心得4篇

论文写作课程心得4篇 一： 在本学期的《论文写作》课程中，我学习到了关于论文写作的基本要素和方法。张聿老师在授课时非常细致、全面，将各种已经出现或可能产生的学术规范问题一一作了梳理，并介绍了一些历届的优秀毕业论文，为我们展示这些优秀文章中值得我们学习的优点，以至于我在听课时，不断地发现与再发现着自己以往论文中的一些问题。 在课堂上，我一步步了解了论文之前需要做哪些准备工作，如何选题，如何确定题目，论文的框架的主要内容，写作技巧以及需要注意的问题等等。通过这个课程，我从对于硕士论文的未知状态逐渐变得心中有数。老师在几次课上反复提到了论文的主题这一方面，可想而知，这是论文的第一要旨，极其重要。首先，是否有能力写，要根据主客观条件判断，课题过大，问题难以研究深入，可能导致虎头蛇尾，草草收摊；其次，论文要有价值，也就是需要有创新性、前沿性、理论性、趣味性等等；再次，所选的主题要有东西可写，方便展开，内容可充实；另外，是否可按期完成，送审是否顺利，是否有利于答辩，这些都是要综合考虑与权衡的。通过这些学习，对于我的开题报告有很大的帮助。 回想整个课程的学习，除了学到了有关论文写作的规则与技巧以外，我还有其他方面的收获。那是在第一堂课的引言部分，老师讲到平时要重视练习、提高艺术修养，不仅要勤写、多写，养成记笔记的好习惯，还要扩展知识面，大量关注相关领域。这些的确非常的重要，一方面，自从上了大学，没有了语文考试中的作文，没有老师布置的周记作业，我的写作水准逐年降低，文字功能退化严重，平时有些心得感悟最多三言两语记下来，只能称作意识流，且极少会书写百字以上的篇幅，这就造成自己逻辑思维能力下降，文章架构组织能力弱化。另一方面，缺乏一定的知识面和阅读量，例如老师在课堂上列举的诸多著作，有很大一部分都只是有所耳闻，却从未完整阅读过，甚至还有一些前所未闻。我深知作为一个硕士研究生，自己还差的太多，只觉惭愧之至。除文学艺术以外，老师还讲到了中国戏曲，当老师将昆曲600年的故事娓娓道来，我真是感动极了，更加懊恼自己的无知。我一向自诩对中国传统文化存在浓厚兴趣，自己的研究方向是民族性的色彩，然而却对中国文化中这么举足轻重的一笔多年来置若罔闻，实不应该。好在，这堂课真正激发了我对阅读的兴趣，很激动，决心要把这些空白慢慢补回来，尤其是中国传统艺术领域之精髓。老舍先生在《四世同堂》里，借英国领事富善先生说过一句话。他说，“老派的中国人英语不好，但是中文还靠得住。可是现在的中国人是英语不好，中文也靠不住。”这句话放到现如今仿佛更加贴切了。当我意识到这一点，那种紧迫感与压力也随之而来。一下课，我便直接冲进图书馆，借了《牡丹亭》，一面品读文字，一面找到白先勇先生的青春版《牡丹亭》视频，二者结合起来欣赏，不得不说，这极大地震撼了我。张聿老师在课堂上教授给我们的不仅是知识，更是比知识本身更重要的东西，让我有所反思，从而自觉地提高自身的艺术修养。 通过《论文写作》课程的学习，可谓受益良多，我更加深切地体会到，写一篇优秀的论文绝非易事，要投入更多时间与精力做好研究工作。以上就是我的《论文写作》课程的学习心得。

数值计算方法学习心得

数值计算方法学习心得 ------一个代码的方法是很重要，一个算法的思想也很重要，但 在我看来，更重要的是解决问题的方法，就像爱因斯坦说的内容比 思维本身更重要。 我上去讲的那次其实做了挺充分的准备，程序的运行，pdf文档，算法公式的推导，程序伪代码，不过有一点缺陷的地方，很多细节 没有讲的很清楚吧，下来之后也是更清楚了这个问题。 然后一学期下来，总的来说，看其他同学的分享，我也学习到 许多东西，并非只是代码的方法，更多的是章胜同学的口才，攀忠 的排版，小冯的深入挖掘…都是对我而言比算法更加值得珍惜的东西，又骄傲地回想一下，曾同为一个项目组的我们也更加感到做项 目对自己发展的巨大帮助了。 同时从这些次的实验中我发现以前学到的很多知识都非常有用。 比如说，以前做项目的时候，项目导师一直要求对于要上传的 文件尽量用pdf格式，不管是ppt还是文档，这便算是对产权的一种 保护。 再比如代码分享，最基础的要求便是——其他人拿到你的代码 也能运行出来，其次是代码分享的规范性，像我们可以用轻量级Ubuntu Pastebin，以前做过一小段时间acm，集训队里对于代码的分享都是推荐用这个，像数值计算实验我觉得用这个也差不多了，其 次项目级代码还是推荐github（被微软收购了），它的又是可能更 多在于个人代码平台的搭建，当然像readme文档及必要的一些数据 集放在上面都更方便一些。

然后在实验中，发现debug能力的重要性，对于代码错误点的 正确分析，以及一些与他人交流的“正规”途径，讨论算法可能出 错的地方以及要注意的细节等，比如acm比赛都是以三人为一小组，讨论过后，讲了一遍会发现自己对算法理解更加深刻。 然后学习算法，做项目做算法一般的正常流程是看论文，尽量 看英文文献，一般就是第一手资料，然后根据论文对算法的描述， 就是如同课上的流程一样，对算法进一步理解，然后进行复现，最 后就是尝试自己改进。比如知网查询牛顿法相关论文，会找到大量 可以参考的文献。 最后的最后，想说一下，计算机专业的同学看这个数值分析， 不一定行云流水，但肯定不至于看不懂写不出来，所以我们还是要 提高自己的核心竞争力，就是利用我们的优势，对于这种算法方面 的编程，至少比他们用的更加熟练，至少面对一个问题，我们能思 考出对应问题的最佳算法是哪一个更合适解决问题。 附记: 对课程的一些小建议： 1. debug的能力不容忽视，比如给一个关于代码实现已知错误的代码给同学们，让同学们自己思考一下，然后分享各自的debug方法，一步一步的去修改代码，最后集全班的力量完成代码的debug，这往往更能提升同学们的代码能力。 2. 课堂上的效率其实是有点低的，可能会给学生带来一些负反馈，降低学习热情。 3. 总的来说还是从这门课程中学到许多东西。 数值分析学习心得体会

数值分析小论文

“数值分析”课程 第一次小论文 郑维珍2015210459 制研15班（精密仪器系）内容：数值分析在你所在研究领域的应用。 要求：1）字数2500以上；2）要有摘要和参考文献；3）截至10.17，网络学堂提交，过期不能提交！ 数值分析在微流控芯片研究领域的应用 摘要： 作者在硕士期间即将参与的课题是微流控芯片的研制。当前，微流控芯片发展十分迅猛，而其中涉及到诸多材料学、电子学、光学、流体力学等领域的问题，加上微纳尺度上的尺寸效应，理论研究和数值计算都显得困难重重。发展该领域的数值计算，成为重中之重。本文从微流体力学、微传热学、微电磁学、微结构力学等分支入手，简要分析一下数值分析方法在该领域的应用。 微流控芯片(Microfluidic Chip)通常又称芯片实验室(Lab-On-a-Chip )，它是20世纪90年代初由瑞士的Manz和Widmer提出的[1-2]，它通过微细加工技术，将微管道、微泵、微阀、微电极、微检测元件等功能元件集成在芯片材料(基片)上，完成整个生化实验室的分析功能，具有减少样品的消耗量、节省反应和分析的时间、高通量和便携性等优点。 通常一个微流控芯片系统都会执行一个到多个微流体功能，如泵、混合、热循环、扩散和分离等，精确地操纵这些流体过程是微流控芯片的关键。因此它的研究不仅需要生命科学、MEMS、材料学、电子学、光学、流体力学等多学科领域的基础理论的支持，还需要很多数学计算。

1）微流体力学计算[3]： 对微管里的流体动力的研究主要包含了以下几个方面：(1)微管内流体的粘滞力的研究；(2)微管内气流液流的传热活动；(3)在绝热或传热的微管内两相流的流动和能量转换。这三方面的研究涵盖了在绝热、传热和多相转换条件下，可压缩和不可压缩流体在规则或不规则的微管内的流动特性研究。 由此，再结合不同的初值条件和边界条件，我们可以得到各种常微分方程或偏微分方程，而求解这些方程，就是需要很多数值分析的知识。例如，文献[4]里就针对特定的初值和边界条件，由软件求解了Navier-Stodes方程： 文献[4]专门有一章节讨论了该方程的离散化和数值求解。 微流体力学主要向两个方面发展：一方面是研究流动非定常稳定特性、分叉解及微尺寸效应下的湍流流动的机理，更为复杂的非定常、多尺度的流动特征，高精度、高分辨率的计算方法和并行算法；另一方面是将宏观流体力学的基本模型，结合微纳效应，直接用于模拟各种实际流动，解决微纳芯片生产制造中提出来的各种问题。 2）微传热方程计算： 常微分、偏微分方程的数值求解应用较为广泛的另一问题就是微流体传热问题。由传热学的相关知识，我们可以达到如下的传热学基本方程： 该方程在二维情况下经过简化和离散，可以得到如教材第三章所讲的“五点差分格式”的方程组，从而采取数值方法求解[5]。 除此之外，微结构芯片在加工和制造过程中也会有很多热学方面的问题，例如文献[6]所反映的注塑成型工艺中，就有大量的类似问题的解决。 3）微电磁学计算： 由于外加电场的作用，电渗流道中会产生焦耳热效应。许多研究者对电渗流道中的焦耳热效应进行了数值模拟研究。新加坡南洋理工大学的G. Y. Tang等在电渗流模型的基础上，考虑了与温度有关的物理系数，在固一液祸合区域内利用

泛函分析学习心得

泛函分析学习心得 学习《实变函数论与泛函分析》这门课程已有将近一年的时间，在接触这门课程之前就已经听闻这门课程是所有数学专业课中最难学的一门，所以一开始是带着一种“害怕学不好”的心理来学.刚开始接触的时候是觉得很难学，知识点很难懂，刚开始上课时也听不懂，只顾着做笔记了.后来慢慢学下来，在课前预习、课后复习研究、上课认真听课后发现没有想象中的那么难，上课也能听懂了.因此得出了一个结论：只要用心努力去学，所有课程都不会很难，关键是自己学习的态度和努力的程度. 在学习《泛函分析》的前一个学期先学习了《实变函数论》，《实变函数论》这部分主要学习了集合及其运算、集合的势、n 维空间中的点集、外测度与可测集、Lebesgue 可测集的结构、可测函数、P L 空间等内容，这为这学期学习《泛函分析》打下了扎实的基础.我们在这个学期的期中之前学习的《泛函分析》的主要内容包括线性距离空间、距离空间的完备性、内积空间、距离空间中的点集、不动点定理、有界线性算子及其范数等.下面我谈谈对第一章的距离空间中部分内容的理解与学习： 第一章第一节学习了线性距离空间，课本首先给出了线性空间的定义及其相关内容，这与高等代数中线性空间是基本一样的，所以学起来比较容易.接着是距离空间的学习，如果将n 维欧氏空间n R 中的距离“抽象”出来，仅采用性质，就可得到一般空间中的距离概念： 1.距离空间（或度量空间）的定义： 设X 为一集合，ρ是X X ?到n R 的映射，使得使得X z y x ∈?,,，均满足以下三个条件： （1）)(0,≥y x ρ，且)(0,=y x ρ当且仅当y x =（非负性） （2）)()(x y y x ,,ρρ=（对称性） （3）)()()(z y y x z x ,,,ρρρ+≤（三角不等式）， 则称X 为距离空间（或度量空间），记作)(ρ,X ，)(y x ,ρ为y x ,两点间的距离. 学习了距离空间定义后，我们可以验证：欧式空间n R ，离散度量空间，连

课程总结(精选10篇)完整版

《课程总结》 课程总结（一）： 课程学习总结 本学期开设的独立研究课程是一门很有用的学科。它不仅仅能够帮忙大学生解决现实中的需要，如毕业论文的撰写，更能提高大学生的素质，如创新精神的培养及创新潜力的提高。以下我将从几方应对这门课程的进行总结，并谈谈我对这门课程的感受。 一、课程学习资料。透过对本课程的学习，我们学会了知识创新、课题申请书及论文的撰写等知识、从而从必须程度上丰富了我们的知识，提高了我们的素质，使我们受益匪浅。更使我感受颇深的是知识创新。建设创新型国家的关键是靠创新型人才，创新型人才的培养关键是提高知识创新潜力。我们最重要的任务是将我们的相关知识透过不同程度地加工及运用转化成潜力。 二、课程讲授模式。本课程的课堂模式一反常态，学生转变主角，有学生进行备课及讲授。该模式分为两部分：第一部分由指定学生进行本节课程的讲解；第二部分由全体同学进行讨论，找出问题，解决问题。这种模式充分调动了所有同学的用心性，真正做到了学生与老师的互动，效果事半功倍。我个人很喜欢这种教学模式。 三、课堂外的学习。课堂外的学习是同学们掌握知识，提高感悟必不可少的过程。同学们在课堂外全身心地投入到本课程的学习当中，认真完成作业，真正做到学以致用。 以上就是我的总结和感受。透过对本课程的学习以及与老师和同学们的学习交流，我学到了很多东西，这必将对我今后的学习带给很大的帮忙。十分感谢刘老师和同学们的陪伴。 课程总结（二）： 透过新课程改革通识培训网上一段时间的学习，感觉受益非浅，在知识、经济高度发展的这天，没有知识和潜力是不够的，那么如何推动社会不断进步，应丛基础作起，从学生的教育做起，从课改作起。 得到了老师们的高度评价：学习过程中不断提出问题，分析问题，教学反思，用新课程理念及要求自己评价过去的教学活动实践，感悟点颇多，目的是提高自己以后的教学实践潜力，使自己的教学活动贴合新课程改革的要求标准，使自己的教学更高效。 新课程新在哪关在新上，新课程理念，新课程资料，新教学组织安排，新评价等，明白新课程的特点，更好理解新课程改革.。

MATLAB与数值分析课程总结

MATLAB与数值分析课程总结 姓名：董建伟 学号：2015020904027 一：MATLAB部分 1.处理矩阵－容易 矩阵的创建 （1）直接创建注意 a中括号里可以用空格或者逗号将矩阵元素分开 b矩阵元素可以是任何MATLAB表达式，如实数复数等 c可以调用赋值过的任何变量，变量名不要重复，否则会被覆盖 （2）用MATLAB函数创建矩阵如：a空阵［］ b rand/randn——随机矩阵 c eye——单位矩阵 d zeros ——0矩阵 e ones——1矩阵 f magic——产生n阶幻方矩阵等 向量的生成 （1）用冒号生成向量 （2）使用linspace和logspace分别生成线性等分向量和对 数等分向量 矩阵的标识和引用 （1）向量标识 （2）“0 1”逻辑向量或矩阵标识 （3）全下标，单下标，逻辑矩阵方式引用 字符串数组 （1）字符串按行向量进行储存 （2）所有字符串用单引号括起来 （3）直接进行创建 矩阵运算 （1）注意与数组点乘，除与直接乘除的区别，数组为乘方对应元素的幂

（2）左右除时斜杠底部靠近谁谁是分母 （3）其他运算如，inv矩阵求逆，det行列式的值, eig特征值，diag 对角矩阵 2.绘图－轻松 plot－绘制二维曲线 （1）plot(x)绘制以x为纵坐标的二维曲线 plot(x,y) 绘制以x为横坐标，y为纵坐标的二维曲线 x,y为向量或矩阵 （2）plot（x1,y1,x2,y2，。。。。。。）绘制多条曲线，不同字母代替不同颜色:b蓝色，y黄色，r红色，g绿色 （3）hold on后面的pl ot图像叠加在一起 hold off解除hold on命令，plot将先冲去窗口已有图形（4）在hold后面加上figure，可以绘制多幅图形 （5）subplot在同一窗口画多个子图 三维图形的绘制 (1)plot3(x,y,z,’s’) s是指定线型，色彩，数据点形的字 符串 (2)［X,Y］＝meshgrid(x,y)生成平面网格点 (3)mesh(x,y,z，c)生成三维网格点，c为颜色矩阵 (4)三维表面处理mesh命令对网格着色，surf对网格片着色 (5)contour绘制二维等高线 (6)axis(［x1,xu,y1,yu］)定义x,y的显示范围 3．编程－简洁 （1）变量命名时可以由字母，数字，下划线，但是不得包含空格和标点 （2）最常用的数据类型只有双精度型和字符型，其他数据类型只在特殊条件下使用 （3）为得到高效代码，尽量提高代码的向量化程度，避免使用循环结构

《数值分析》课程设计报告

《数值分析》课程设计实验报告 龙格—库塔法分析Lorenz 方程 200820302033 胡涛 一、问题叙述 考虑著名的Lorenz 方程 () dx s y x dt dy rx y xz dt dz xy bz dt ?=-???=--???=-?? 其中s ，r ，b 为变化区域内有一定限制的实参数，该方程形式简单，表面上看并无惊人之处，但由该方程揭示出的许多现象，促使“混沌”成为数学研究的崭新领域，在实际应用中也产生了巨大的影响。 二、问题分析 Lorenz 方程实际上是一个四元一阶常微分方程，用解析法精确求解是不可能的，只能用数值计算，最主要的有欧拉法、亚当法和龙格- 库塔法等。为了得到较高精度的，我们采用经典四阶龙格—库塔方法求解该问题。 三、实验程序及注释 （1）算法程序 function [T]=Runge_Kutta(f,x0,y0,h,n) ％定义算法，其中f 为待解方程组， x0是初始自变量，y0是初始函数 值，h 是步长，n 为步数 if nargin<5 n=100; ％如果输入参数个数小于5，则步数 n=100 end r=size(y0);r=r(1); ％返回初始输出矩阵的行列数，并将 值赋给r(1) s=size(x0);s=s(1); ％返回初始输入矩阵的行列数，并 将值赋给s(1) r=r+s; T=zeros(r,n+1); T(:,1)=[y0;x0]; for t=2:n+1 ％以下是具体的求解过程 k1=feval(f,T(1:r-1,t-1)); k2=feval(f,[k1*(h/2)+T(1:r-1,t-1);x0+h/2]); k3=feval(f,[k2*(h/2)+T(1:r-1,t-1);x0+h/2]); k4=feval(f,[k3*h+T(1:r-1,t-1);x0+h]); x0=x0+h; T(:,t)=[T(1:r-1,t-1)+(k1+k2*2+k3*2+k4)*(h/6);x0]; end

泛函分析论文

泛函分析作业 数学系08级5班 08020170 赵英杰

泛函分析主要内容 泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科。是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论。它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。主要内容有拓扑线性空间等。泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。 泛函分析是分析数学中最“年轻”的分支，它是古典分析观点的推广，它综合函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子、和极限理论。他在二十世纪四十到五十年代就已经成为一门理论完备、内容丰富的数学学科了。 一、度量空间和赋范线性空间 1、度量空间 现代数学中一种基本的、重要的、最接近于欧几里得空间的抽象空间。19世纪末叶，德国数学家G.康托尔创立了集合论，为各种抽象空间的建立奠定了基础。20世纪初期,法国数学家M.-R.弗雷歇发现许多分析学的成果从更抽象的观点看来,都涉及函数间的距离关系,从而抽象出度量空间的概念。 度量空间中最符合我们对于现实直观理解的是三维欧氏空间。这个空

间中的欧几里德度量定义两点之间距离为连接这两点的直线的长度。 定义：设X为一个集合，一个映射d：X×X→R。若对于任何x,y,z属于X，有 （I）（正定性）d(x,y)≥0,且d(x,y)=0当且仅当 x = y； （II）（对称性）d(x,y)=d(y,x)； （III）（三角不等式）d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z） 则称d为集合X的一个度量（或距离）。称偶对（X，d）为一个度量空间，或者称X为一个对于度量d而言的度量空间。 2、赋范线性空间 泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线性空间。这类空间被称为巴拿赫空间，巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔伯特空间。 （一）、希尔伯特空间 希尔伯特空间可以利用以下结论完全分类，即对于任意两个希尔伯特空间，若其基的基数相等，则它们必彼此同构。对于有限维希尔伯特空间而言，其上的连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换。对于无穷维希尔伯特空间而言，其上的任何态射均可以分解为可数维度（基的基数为50）上的态射，所以泛函分析主要研究可数维度上的希尔伯特空间及其态射。希尔伯特空间中的一个尚未完全解决的问题是，是否对于每个希尔伯特空间上的算子，都存在一个真不变子空间。该问题在某些特定情况下的答案是肯定的。 （二）、巴拿赫空间

课程总结报告

课程总结报告经过一个学期的学习，我体会颇深。此前，进入实验室我们的任务大都是观看老师的演示实验，自己动手的实验少之又少。如今，本学期大部分实验均需要自己独立完成，这无疑是对我们动手实践能力的大考验。虽然在很多物理实验中我们只是运用课堂上所知识的原理与结果，再现科学家经过无数次修改完善而总结的最为精妙的实验，但我们试验所经历的过程与物理家进行科学研究的所进行的物理实 验是大同小异的的。任课老师通过精心设计实验方案、严格控制实 验条件等多种途径，以最佳的实验方式呈现物理问题，使我们通过 努够顺利地解决物理实验呈现的问题，考验了我们的实际动手能力 和分析解决问题的综合能力，加深了我们对有关物理知识的理解，提高了我们的创新学习能力。 在正式做物理实验之前，我们必须要进行认真仔细的预习，如果没有对即将操作的实验预习，我们就无法把握实验的细节和注意事项，这就有可能导致实验的失败，因此，在未预习实验的情况下，实验室的老师是不允许我们进入实验室的。这一点也让我们深刻意识到科学研究的严谨与踏实的重要性。预习实验必须要弄清楚实验的总体过程，弄懂实验的目的、基本原理，了解实验步骤；对照教材所列 的实验仪器，了解仪器的工作原理、性能、正确操作方法，特别是要注意仪器的使用注意事项。最后我们要把预习实验的情况呈现在预 习报告上。物理实验的预习报告总共包括五的部分：1、实验目的；2、实验仪器；3、实验中的主要工作；4、预习中遇到的主要问题及思考；

5、实验原始数据记录等。它能够帮助我们有条不紊地进行实验中的各项操作成功完成实验。在预习实验过程中尤其要注意对实验原理、实验步骤和预期实验现象进行思考，我们可以独立进行演算和推理，也可以和同学一起讨论研究，也可以参考课外资料，必要时还可以请教实验室的老师。只有把预习时遇到的问题解决掉，才能在实验操作时胸有成竹游刃有余。 实验预习完成后，就要准备进行实验的实际操作了。实验过程中要严格按照实验仪器的操作要求来操作，所有仪器要调整到正确的位置和稳定的状态。所以在进行实验前我们一定要仔细检查实验仪器，确保实验仪器完好无损并可以正常使用。在实验的过程中，如果出现一些故障或观察到的实验现象与理论上的现象不符，首先应认真思考并检查实验仪器使用以及线路连接是否正确，不正确的操作及时进行改正，如果自己无法解决，应及时请老师来指导改正，切不可马虎对待，敷衍了事。实验步骤方面可按照预习报告按部就班进行即可，但要仔细观察实验现象，注意及时记录实验原始数据，不得捏造实验数据。实验数据的处理与分析这一过程对得出实验最终的结论十分重要。本学期我们学到的数据处理方法主要有： 1、列表法：列表法是实验数据处理的一种基本方法将数据按一定的规律列成表格时的数据表达清晰有条理，易于审核和发现问题，有助于发现物理量之间的相互关系和规律。 列表时应注意：（1）首先要写数据表格的名称，必要时还应提供有关参数。例如，引用的物理常数，实验的环境参数，测量仪器的误差

泛函分析课程总结

泛函分析课程总结 数学与计算科学学院 09数本5班 符翠艳 2009224524 序号：26 一．知识总结 第七章 度量空间和赋范线性空间 1. 度量空间的定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素,x y ，都有唯 一确定的实数(),d x y 与之相对应，而且满足 ()()()()()()()1,0,,0=;2,,;3,,,,d x y d x y x y d x y d y x d x y d x z d z y z ≥=?? ??=????≤+?? 、的充要条件是、、对任意都成立。 则称d 为X 上的一个度量函数，（d X ,）为度量空间，),(y x d 为y x ,两点间的度量。 2. 度量空间的例子 ①离散的度量空间(),X d 设X 是任意的非空集合，对X 中任意两点,x y X ∈,令 ()1,,0,x y d x y x y ≠?? =??=?? 当当 ②序列空间S 令S 表示实数列（或复数列）的全体，对S 中任意两点 ()()12n 12,,...,,...,,...,,...n x y ξξξηηη==及，令 ()11,21i i i i i i d x y ξηξη∞ =-=+-∑ ③有界函数空间B （A ） 设A 是一给定的集合，令B （A ）表示A 上有界实值（或复值）函数全体，对B （A ）中任意两点,x y ，定义 (),()()sup t A d x y x t y t ∈=- ④可测函数空间m(X) 设m(X)为X 上实值（或复值）的L 可测函数全体，m 为L 测度，若()m X ≤∞，对任意两个可测函数()()f t g t 及，令 ()()(),1()() X f t g t d f g dt f t g t -=+-?

数值分析心得体会

数值分析心得体会 篇一：学习数值分析的经验 数值分析实验的经验、感受、收获、建议班级：计算131 学号：XX014302 姓名：曾欢欢 数值分析实验主要就是学习MATLAB的使用以及对数值分析类容的应用，可以使学生更加理解和记忆数值分析学得类容，也巩固了MATLAB的学习，有利于以后这个软件我们的使用。在做实验中，我们需要具备较好的编程能力、明白MATLAB软件的使用以及掌握数值分析的思想，才能让我们独立自主的完成该作业，如果是上述能力有限的同学，需要借助MATLAB的书以及网络来完成实验。数值分析实验对于我来说还是有一定难度，所以我课下先复习了MATLAB的使用方法以及编写程序的基本类容，借助互联网和同学老师资源完成了数值分析得实验的内容。在实验书写中，我复习了各种知识，所以我认为这门课程是有必要且是有用处的，特别是需要处理大量实验数据的人员，很有必要深入了解学习它，这样在以后的工作学习里面就减少了很多计算问题也提高了实验结果的精确度。 学习数值分析的经验、感受、收获、建议数值分析的内容包括插值与逼近，数值微分与数值积分，非线性方程与线性方程组的数值解法，矩阵的特征值与特征向量计算，常微分方程数值解等。

首先我们必须明白数值分析的用途。通常所学的其他数学类学科都是由公式定理开始，从研究他们的定义，性质再到证明与应用。但实际上，尤其是工程，物理，化学等其它具体的学科。往往我们拿到 手的只是通过实验得到的数据。如果是验证性试验，需要代回到公式 进行分析，验证。但往往更多面对的是研究性或试探性试验，无具体 公式定理可代。那就必须通过插值，拟合等计算方法进行数据处理以得到一个相对可用的一般公式。还有许多计算公式理论上非常复杂，在工程中不实用，所以必须根据实际情况把它转化成多项式近似表 示。学习数值分析，不应盲目记公式，因为公事通常很长且很乏味。其次，应从公式所面临的问题以及用途出发。比如插值方法，就 是就是把实验所得的数据看成是公式的解，由这些解反推出一个近似公式，可以具有局部一般性。再比如说拟合，在插值的基础上考虑实 验误差，通过拟合能将误差尽可能缩小，之后目的也是得到一个具有 一定条件下的一般性的公式。。建议学习本门课程要结合知识与实际，比如在物理实验里面很多

数值分析学习心得体会.doc

数值分析学习感想 一个学期的数值分析，在老师的带领下，让我对这门课程有了深刻的理解和感悟。这门 课程是一个十分重视算法和原理的学科，同时它能够将人的思维引入数学思考的模式，在处 理问题的时候，可以合理适当的提出方案和假设。他的内容贴近实际，像数值分析，数值微 分，求解线性方程组的解等，使数学理论更加有实际意义。 数值分析在给我们的知识上，有很大一部分都对我有很大的帮助，让我的生活和学习有 了更加方便以及科学的方法。像第一章就讲的误差，在现实生活中，也许没有太过于注意误 差，所以对误差的看法有些轻视，但在学习了这一章之后，在老师的讲解下，了解到这些误 差看似小，实则影响很大，更如后面所讲的余项，那些差别总是让人很容易就出错，也许在 别的地方没有什么，但是在数学领域，一个小的误差，就很容易有不好的后果，而学习了数 值分析的内容，很容易就可以将误差锁定在一个很小的范围内，在这一范围内再逼近，得出 的近似值要准确的多，而在最开始的计算中，误差越小，对后面的影响越小，这无疑是好的。 数值分析不只在知识上传授了我很多，在思想上也对我有很大的影响，他给了我很多数 学思想，很多思考的角度，在看待问题的方面上，多方位的去思考，并从别的例子上举一反三。像其中所讲的插值法，在先学习了拉格朗日插值法后，对其理解透彻，了解了其中 的原理和思想，再学习之后的牛顿插值以及三次样条插值等等，都很容易的融会贯通，很容 易的就理解了其中所想，他们的中心思想并没有多大的变化，但是使用的方式却是不同的， 这不仅可以学习到其中心内容，还可以去学习他们的思考方式，每个不同的思考方式带来的 都是不同的算法。而在看待问题上，不同的思考方式总是可以快速的全方位的去看透彻问题， 从而知道如何去解决。 在不断的学习中，知识在不断的获取，能力在不断的提升，同时在老师的不懈讲解下， 我逐渐的发现数值分析所涵盖的知识面特别的广泛，而我所需要学习的地方也更加的多，自 己的不足也在不断的体现，我知道这只是我刚刚接触到了数学的那一角，在以后我还会接触 到更多，而这求知的欲望也在不停的驱赶我，学习的越多，对今后的生活才会有更大的帮助。 计算132 2013014923 张霖篇二：数值分析学习报告 数值分析学习心得报告 班级：11级软工一班 姓名： * * * 学号: 20117610*** 指导老师：* * * 学习数值分析的心得体会 无意中的一次选择，让我接触了数值分析。 作为这学期的选修课，我从内心深处来讲，数值分析真的有点难。感觉它是在高等数学 和线性代数的基础上，又加深了探讨。虽然这节课很难，我学的不是很好，但我依然对它比 较感兴趣。下面就具体说说我的学习体会，让那些感兴趣的同学有个参考。 学习数值分析，我们首先得知道一个软件——matlab。matrix laboratory，即矩阵实验 室，是math work公司推出的一套高效率的数值计算和可视化软件。它是当今科学界最具影 响力、也是最具活力的软件，它起源于矩阵运算，并高速发展成计算机语言。它的优点是强 大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面、便捷的与其他程序和语 言接口。 根据上网搜集到的资料，你就会发现matlab有许多优点： 首先，编程简单使用方便。到目前为止，我已经学过c语言，机器语言，java语言，这

《excel高级办公应用技术》课程学期总结论文格式

《Excel高级办公应用技术》课程学期总结论文 摘要：Excel是一款功能强大的办公软件，能够对数据进行处理、统计分析和计算、简单的数据库管理，能绘制图表。它功能强大，能将杂乱的数据组成有用的信息，然后可以将其传播分析和交流，并且excel上手简单，函数简单易懂，本论文将结合自己的一些学习经验讲一些学习excel的心得体会。 关键字：excel软件；基础应用 二、所学知识概要：数据类型及输入，工作表的格式设定，公式与函数的应用，图表的处理， 三、知识点详述： ㈠数据类型及输入。 excel常用的数据类型有数字型，日期型，文本型，逻辑型数据等，而其中文本类型和数字类型最为常用。其输入方法也不尽相同。字符文本应逐字输入，而文本如果要在单元格中输入文本格式的数字（如“身份证号码”），除了事先将单元格格式设置为文本外，只需在数字前面加个“’”（单引号）即可。分数的输入通常在单元格内输入分数8/9会显示为8月9日，如果想避免此类情况，除了将单元格格式设置成分数格式外还可以在要输入分数票添加一个0和空格。但此输入法的分母不能超过99。连续输入编号（或等差、等比性质的数据）应采用复制或序列填充的方式进行输入。在excel中除了自带的数据格式，用户还可以自定义格式。比如要输入15位的数值是我们可以进行自定义格式输入。在单元格格式中定义数值精度，在使用中从中选择即可。 ㈡工作表的格式设置 工作表的格式设置是个很常用的操作。在excel中不同类型的数据有不同的使用格式。数据的对齐方式，在默认情况下，文本靠单元格的左边对齐，数值靠单元格的右边对齐。有时需要特殊的对齐方式，如斜线表头，旋转字体，垂直居中等。文本格式的设置，文字的设置大致包括字体、字型、颜色、修饰、对齐方式、字体颜色等。我们可以通过选

实变函数学习心得

实变函数学习心得 实变函数课在我国高等学校数学系的教学计划中属于专业基础课,是一门承上启下的课。下面是为大家准备的实变函数学习心得体会，希望大家喜欢! 实变函数学习心得体会范文篇1 学习实变函数这们课已经一个学期了，对于我们数学专业的学生，大学最难的一门课就是实变函数论与实变函数这门课了。我们用的教材难度比较大，所以根据我自己学习这门课的心得与方法，有以下几点： 1、复习并巩固数学分析等基础课程。学习实变函数这门课程要求我们以数学分析为学习基础，因此，想学好这门课必须有相对比较扎实的数学分析基础。 2、课前预习。实变函数是一门比较难的课程，龙老师上课也讲得比较快、比较抽象，因此，适当的预习是必要的，了解老师即将讲什么内容，相应地复习与之相关内容。如果能够做到这些，那么你的学习就会变得比较主动、深入，会取得比较好的效果。 3、上课认真听讲，认真做笔记。龙老师是一位博学的老师，上课内容涵盖许多知识。因此，上课应注意老师的讲解方法和思路，其分析问题和解决问题的过程，记好课堂笔记，实变函数这门课比较难，所以建议听课是一个全身心投入听、记、思相结合的过程。 4、课后复习,做作业，做练习。我们作为大三的学生，我们要学

会抓住零碎的时间复习实变函数课堂的学习内容，巩固学习。复习不是简单的重复，应当用自己的表达方式再现所学的知识，例如对某些定理证明的复习，不是再读一遍书或课堂笔记，而是离开书本和笔记，回忆有关内容，理解并掌握其证明思路。做作业、做练习时，大家要重视基本概念和基本原理的理解和掌握，不要一头扎进题海中去。 所以，我们学习实变函数总的来说要把握课前、课时与课后的任务，学习内容要多下功夫掌握基本概念和原理及其证明思路，尽可能地掌握作业题目，在记忆的基础上理解，在完成练习中深化理解，在比较中构筑知识结构的框架，是提高学习实变函数课程效率的重要途径。 实变函数学习心得体会范文篇2 古语有云：微机原理闹危机，汇编语言不会编，随机过程随机过，量子力学量力学，实变函数学十遍。其它的不好说，这实变函数确实要多看几遍的。虽然我曾旁听过这门课，但是对于其中的种种总感觉模模糊糊，不甚明了。前几日在网上down了一个完整的教学视频，便想着把这门课重新来过，遂借着这片地方留下一些印记，好督促自己万不可半途而废。 1、集合列的极限有上下极限之分，只有当上下极限相等时，才称集合列存在极限。对于上极限可以这样定义： {x|x属于无穷多个An}.无穷多是用文字语言来进行形象的描述，那么转换成数学的语言应该是怎样的呢?类比数学分析中的聚点原理，我们可以假设若x属于某个Am，那么一定可以找到mm,使得x也属于m，如若不然，x就属于有限个集合，而不是无穷多个了。上述

数值分析小论文论文

对于牛顿型方法的改进 对于函数f(x),假定已给出极小点* x 的一个较好的近似点0x ，则在0x 处将f(x)泰勒展开到二次项，得二次函数()x φ。按极值条件'()0x φ=得()x φ的极小点，用它作为*x 的第一个近似点。然后再在1x 处进行泰勒展开，并求得第二个近似点2x 。如此迭代下去，得到一维情况下的牛顿迭代公式'k 1''k ()() k k f x x x f x +=- (k=0,1,2,…) 对于多元函数f(x),设k x 为f(x)极小点*x 的一个近似值，在k x 处将f(x)进行泰勒展开，保留到二次项得21()()()()()()()()2T T k k k k k k f x x f x f x x x x x f x x x ?≈=+?-+ -?-， 式中 2()k f x ?—f(x)在k x 处的海赛矩阵。 设1k x +为()x ?的极小点，它作为f(x)极小点*x 的下一个近似点，根据极值必要条件 1()0k x ?+?=即21()()()k k k k f x f x x x +?+?-得1 21()()k k k k x x f x f x -+??=-???? （k=0,1,2，…） 上式为多元函数求极值的牛顿法迭代公式。 对于二次函数，f(x)的上述泰勒展开式不是近似的，而是精确地。海赛矩阵是一个常矩阵，其中各元素均为常数。因此，无论从任何点出发，只需一步就可以找到极小点。因为若某一迭代法能使二次型函数在有限次迭代内达到极小点，则称此迭代方法是二次收敛的，因此牛顿方法是二次收敛的。 从牛顿法迭代公式的推演中可以看到，迭代点的位置是按照极值条件确定的，其中并未含有沿下降方向搜寻的概念。因此对于非二次函数，如果采用上述牛顿法公式，有时会使函数值上升，即出现1>k k f f +（x ）（x ） 现象。为此对上述牛顿方法进行改进，引入数学规划法的概念。 如果把1 2()()k k k d f x f x -??=-????看作是一个搜索方向，则采取如下的迭代公式 121()()k k k k k k k k x x a d x a f x f x -+??=-=-???? （k=0,1,2,…） 式中 k a —沿牛顿方向进行以为搜索的最佳步长k a 可通过如下极小化过程求得1()()()min k k k k k k k a f x f x a d f x a d +=+=+。由于此种方法每次迭代都在牛顿方向上进 行一维搜索，这就避免了迭代后函数值上升的现象，从而保持了牛顿法二次收敛的特性，而对初始点的选取并没有苛刻的要求。其计算步骤如下：