04第四章--不定积分
04第四章--不定积分D
（2）因为x x
x F sin )(='，所以 dx
x x xdx x x dx x x F x dF 22
22
2
sin 22sin ]2)([)(==?'=．
（3）因为)()('=-x
e x
f ，则x
x
e e
x f --=''=')()(，
所以
C x dx dx e e dx x f e x
x x
+==='???-)(．
（4）因为
x
x x
e x e e x
f 1
2111
-='???? ??=)(，所以
2
1
x x f -=)(．
（5）[])()(3
3
x f dx x f ='?． （6
）C x
C e C x f x d x f dx x x f x +=+=+='='-??
1)(ln )(ln )(ln )(ln ln ．
二、直接积分法
被积函数经过恒等变形后，能用基本积分公式和不定积分的性质计算不定积分的方法，称为直接积分法．
例2 计算下列不定积分： （1）?+dx x x 2
1)(； （2）
?dx
e a
x
x ；
（3）?+dx
x
x
2
2
1； （4）
?
++dx x x x )
(2
22
121；
（5）
?+dx
x x 24
1； （6）
?
dx x
2
2sin ； （7）?+dx x
x x
cos sin cos 2； （8）?dx
x x
22sin cos ；
（9）?+dx
x x x x 2244cos sin cos sin ． 解 （
1
）
?
?
-
++
=+dx x
x x dx x
x )2()1(2
12
12
32
C
x x x +++=21
23
25
23
4
52． （2）C
a ae C ae ae dx ae dx e a x
x x
x
x ++=+==??ln )()ln()()(1． （3）C x x dx x dx x x +-=?
?
? ??
+-=+??arctan 1111222． （4）????? ??++=++dx x x dx x x x 22222111
)1(21C x
x +-=1arctan ．
（
5
）
????
? ??++-=+dx x x dx x x 22
241111C x x x ++-=arctan 331． （6）C x x dx x dx x +-=-=??)sin (2
1
2cos 12sin 2
．
（
7
）
???-=+-=+dx
x x dx x x x
x dx x x x )sin (cos cos sin sin cos cos sin cos 222
C
x x ++=cos sin ．
（8）
????
?
?
??-=-=dx x dx x x dx x x 212122222sin sin sin sin cos
C
x x +--=2cot ．
（9）
?????
?
??+=+dx
x x x x x x dx x x x x 2242242244cos sin cos cos sin sin cos sin cos sin
?+=dx
x x )cot (tan 22
?-+=dx
x x )csc (sec 222 C x x x +--=2cot tan ．
三、换元积分法
1．第一换元积分法（凑微分法） 设?+=C u F du u f )()(，则
???=='du u f x u x d x f dx x x f )()
()()]([)()]([?????
C
x F x u C
u F +=+=)]([)
()(??．
常用的凑微分公式：
（1）??++=+)()()(b ax d b ax f a dx b ax f 1； （2）??++=+-)()()(b ax d b ax f na
dx x b ax f n
n n n
11；
（3）??=)
()()
(
x d x f dx x
x f 21；
（4）??=)(ln )(ln )(ln x d x f dx x
x f 1； （5）????
?
????? ??-=??? ??x d x f dx x x f 11112
； （6）??=)()()(x
x
x
x
e d e
f dx e e f ； （7）??-----=)()()(x
x
x
x
e d e
f dx e e f ； （8）??=)(sin )(sin cos )(sin x d x f xdx x f ；
（9）??-=)(cos )(cos sin )(cos x d x f xdx x f ； （10）??=)(tan )(tan sec )(tan x d x f xdx x f 2； （11）??-=)(cot )(cot csc )(cot x d x f xdx x f 2
； （12）??=)(sec )(sec tan sec )(sec x d x f xdx x x f ； （13）??-=)(csc )(csc cot csc )(csc x d x f xdx x x f ； （14）??=-)(arcsin )(arcsin )(arcsin x d x f dx x x f 2
1；
（15）??-=-)(arccos )(arccos )(arccos x d x f dx x x f 2
1；
（16）??=+)(arctan )(arctan )
(arctan x d x f dx x x f 2
1； （17）??-=+)(arccot )(arccot )(arccot x d x f dx x
x f 2
1． 注 ①结合导数、微分基本公式理解这些凑微分公式及后面例题中出现的较复杂凑微分公式；
②熟练掌握这些常用的凑微分公式和熟记基本积分公式；
③分部积分法中也会用到凑微分公式．
例3 计算下列不定积分：
（1）?xdx 2
sin ； （2）?xdx 3
sin ；
（3）?xdx 4
sin ； （4）
?xdx
5sin ；
（5）?dx x
x x
ln ln ln ； （6）?
+dx
x x x )
(arctan 1；
（7）?xdx
x 35
sec tan ； （8）
?+dx x x x
cos sin cos 12；
（9）?--dx
e x x
x 221)(； （10）
?+x
x dx
2
2
2cos sin ； （11）?+dx x
x x
x 4
4
cos sin cos sin ； （12）?+dx
x x
sin sin 1；
（13）?xdx x 24cos sin ； （14）?++522
x x dx
；
（15）?+)
(x
x
e e dx 21． 解（1）?
?-=dx x xdx 22cos 1sin 2
C x x +-=24
1
21sin ． （2）???-=-=)
(cos )1(cos )(cos sin sin 223
x d x x xd xdx
C x x +-=cos cos 33
1
．
（
3
）
????? ??-=dx x xdx 2
4
221cos sin ?+-=dx x x )cos cos (22214
12
?++-=dx x x )cos cos (24122141
C x x x ++-=432
1
24183sin sin ．
（4）???--=-=)
(cos )cos ()(cos sin sin
x d x x xd xdx 2245
1
?+--=)(cos )cos cos (x d x x 4
221
C
x x x +-+-=535
1
32cos cos cos ．
注 注意区分以上积分中x sin 的幂指数为奇数或偶数时的解法．若将x sin 换为x cos ，解法相同．
（5）C x x xd x d x x dx x x x +===???ln ln )ln (ln ln ln )(ln ln ln ln ln ln ln 2
2
1
． （
6
）??
?
=+=+)
(arctan arctan )()
(arctan )
(arctan x d x x d x x dx x x x 21212
C
x +=2)(arctan ．
（7）??=)
(sec sec tan sec tan
x xd x xdx x 2435
?-=)
(sec sec )(sec x xd x 2221
?+-=)
(sec )sec sec (sec x d x x x 2462
C x x x ++-=
3573
1
5271sec sec sec ．
（8）?
?+
=+)(sin sin cos sin cos x d x dx x x x 22
211
2
1
12
?++=)sin (sin x d x
22221
C
x ++=)2sin 2ln(． （9）C e x x d e dx e
x x x x x x
x +=-=
----??22
222222
12211)()(．
（10）被积函数的分子、分母同除以
x 2
cos ，得
??+=+dx
x x
dx x x 2222tan 2sec cos 2sin 1?
+=)(tan tan x d x
2
21
C
x +=2tan arctan
21．
（
11
）
???
?
? ??++??? ??-=+dx x x x
dx x x x x 2
244221221221cos cos sin cos sin cos sin
?+=dx x
x 2122
cos sin ?+-=)(cos cos x d x
2211212
C
x +-=22
1
cos arctan ．
（12
）
???-=-+-=+dx x
x
x dx x x x x dx x x 221111cos sin sin )sin )(sin ()sin (sin sin sin
??-=xdx
xdx x 2tan tan sec ?--=dx
x x )1(sec sec 2
C
x x x ++-=tan sec ．
（13）?
?+=dx x x xdx x )sin (sin cos sin 262124 C x x +--
=24
1
6121cos cos
．
注 与三角函数有关的积分中，常常使用半角公式和积化和差公式以降低三角函数的幂指数，简称降幂法．是常用的积分方法．
（14）C x dx x dx x x ++=++=++??2
1
214115212
2
arctan )(． （15
）
????
?
? ??+-=+=+)()()()(x x x x x x x x e d e e e d e e dx e e 222221111111
C
e e x x +--=-arctan ．
*
例4 计算下列不定积分：
（1）?+dx x x x
2
1)
ln (ln ； （2）?+-+dx
x x x x )(ln )ln(11；
（3）
?-dx
x x x
x 4932； （4）?dx
x x x
cos sin tan ln ；
（5）
?+dx
x x x
cos sin cos 12； （6）
?++dx
x x 1142；
（7）?
++++dx
x
x x 2
215
1)ln(．
解
（1）因为x x x ln )ln (+='1，所以
C x x x x d x x dx x x x
+-==+??ln )ln ()ln ()ln (ln 1
1
122．
（2）因为)
1(1
111]ln )1[ln(+-
=-+='-+x x x x x x ，所以
????
? ??+--+-=+-+dx x x x x dx x x x x 111
]ln )1[ln()1(ln )1ln(
?-+-+-=]
ln )1[ln(]ln )1[ln(x x d x x
C
x x +-+-=2]ln )1[ln(2
1
．
（3）
?????
? ????? ??-=??? ??-?
?? ??=-x
x x
x
x x x x d dx dx 3232113219413249322ln
C x x
+??
?
??-?
??
??+?-=32132121321ln ln ln C x
x x
x +-+-=23233221ln )ln (ln ．
（4）因为x x x cos sin )tan (ln 1='，所以
C x x xd dx x x x +==??tan ln )tan (ln tan ln cos sin tan ln 2
2
1． （5）因为x x x 21cos )cos sin (='+，所以
??++=+)
cos sin (cos sin cos sin cos x x d x x dx x x x 111
12
C
x x ++=)cos sin 1ln(．
（6）被积函数的分子、分母同除以2
x ，
得
?????? ??-+??? ?
?-=++
=++x x d x x dx x x x dx x x 121111
1112
2
2242
C x
x C x x +-=+-=
212121
2
12
arctan arctan
．
（7）因为2
211]5)1[ln(x
x x +=
'+++
，所以
?
++++dx
x
x x 2
215
1)ln(
?++++++=]
5)1[ln(5)1ln(22x x d x x
C x x ++++=23
2]5)1[ln(3
2
．
2．第二换元积分法 设C t F dt t t f +='?)()()]([??，则
C
x F x t C
t F dt t t f t x dx
x f +=+='=--??))(()
()()()]([)()(11?????．
注 （1）当被积函数中含有根式时，一般要通过适当换元，去掉根号后再积分，这是第二换元积分法的主要作用．常见的代换有：
①含有形如n
b ax +的根式时，作代换t b ax n
=+；
②含有形如22x a -、22x a +、2
2a
x -
（0>a ）的根式时，分别作三角代换：t a x sin =，t a x tan =，t a x sec =；
（2）当被积函数中分母关于x 的次数比分子关于x 的次数至少大1时，可考虑倒代换：t x 1=； （3）当被积函数为x
a 所构成的代数式时，可考虑指数代换：t a x
=．
例5 计算下列不定积分：
（1）?+dx x x x
)
(arctan
1； （2）?
+dx
e x
1
1；
（3）?+dx
x
x
x ln ln 1； （4）?+dx a x 2221
)()
(0>a ；
（5）?
-dx x
x a 4
2
2)(0>a ； （6）?
-dx x
x 2
29
．
解
（1）设t
x =arctan
，则
t
x tan =，t x 2
tan =，
tdt t dx 2
2sec tan =， 于是
C x C t tdt dx x x x +=+==+??
2221)(arctan )
(arctan ．
（2）设t
e x =+1，则)
ln(12
-=t
x ，dt t t
dx 1
22
-=，于是
C e e C t t dt t dx e x x x +++-+=++-=-=+??
111
11111211
2ln ln
C
x e x +--+=)ln(112． （3）设t x =+ln 1，则12
-=t
x ln ，1
2-=t e x ，
dt te dx t 1
22-=，于是
C t t dt t dx x
x
x +-=
-=+??23
21213
2)(ln ln
C x x x ++-++=
ln ln )ln (12113
2
C x x ++-=
ln )(ln 123
2
．
（4）设t a x tan =，则tdt
a dx 2
sec
=，于是
C t t a tdt a dx a x +??
?
??+==+??221211132
32
22sin cos )(． 由t a x tan =得
a
x
t arctan
=，2
2
2
2122a
x ax
t t t +=
+=tan tan sin ， 所以
C a x ax
a x
a dx a x +???
?
?
++=+?2
23222211
arctan )(． （5）设t a x sin =，则tdt a dx cos =，于是
???==-tdt t a
dt t t a dx x x a 2
2
2
4
2
2
4
2
2
1
1csc cot sin cos C t a
t td a +-=-
=?322
2311cot )(cot cot ．
由于x
x a t t
t
t t 2
221-=
-==sin sin sin cos cot ，所以
C x
a x a x a dx x x a +---=-?
3
22
2224223)(．
（6）设t x sec 3=，则tdt t dx tan sec 3=，于是
???
-==-dt t t dt t t
dx x
x )cos (sec sec tan 922
2
1
sin |tan sec |ln C t t t +-+=．
由t x sec 3=得 3x
t =sec ，3
9tan 2-=
x t ，x
x t 9sin 2-=
，
所以
?
-dx x x 2
29
1
229
39
3C x
x x x +---+=ln
C x
x x x +--
-+=9
922
ln ．
例6 计算下列不定积分：
（1）?+2
22a x x dx ； （2）
?+)
(27x x dx ；
（3）?
-+dx
x x
x 1
12
2
； （4）
?+)
(x x e e dx 21；
（5）?++x
x x dx 4212．
解
（1）令t x 1=，则dt t
dx 2
1
-=，于是 ?
?
+-=+dt t
a t a
x x
dx 2
22
22
1?
++-
=)
(222
22
11121
t a d t
a a C
x
a a x C a t a ++-=++-=22
22221． （2）??
+-=+dt t
t t x x x dx 7
67211)2(?++-=)(7
721211141t d t
C x x C t +++-=++-
=||ln 2
1
|2|ln 141|21|ln 14177． （3）
??-+-=-+dt t
t t x dx x x x 2
2211111
??--+--=)
(222
111
2111t d t dt t
C x
x x C t t +--=
+-+-=1
1122
arcsin arcsin ．
（4）令t
e
x
=，则dt t dx 1=，于是 ?????
? ??+-=+=+dt t t dt t t e e dx
x x 2
2
2
2
2111
111)()( C
e e C t t
x x +--=+--=-arctan arctan 1
．
（5）令t
x
=2
，则dt t
dx 121?=ln ，于是 ???+
??? ?
?+=++=++dt t dt t t dx x x x 43
211
2ln 1112ln 1421222
C t ++
?=2
3
21arctan 2312ln 1C
x ++=+3
12arctan 2ln 321．
例7 计算下列不定积分：
（1）?+dx x x )(11； （2）
?
-+dx
x
x x 2
1；
（3）?
--dx
x x x 1
2
； （4）
?
+++dx
x x x x 1
1)(．
解 （
1
）?
?
?+=+=+
)
()
()
()(x d x x dx x x x dx x x 1121111
[]
C
x x x d x x ++-=???
?
??+-=?)1ln(ln 2)(1112．
（2）??
----
=-+dx
x x x dx x
x x 2
2
3
21211
??-+---
=dx
x x dx x x x 2
21
232121
??--+---=-dx
x x x d x x 2221
2)
12(113)()(21
C x x x +-+
--=)arcsin(122
3
2． （
3
）
??
-+=--dx x x x dx x x x )(11
222
??-+=dx
x x dx x 122
?--+=)()(112
1
31221
23x d x x
C x x +-+=23
2313
1
31)(．
（4）??
-++=+++dx
x x x x dx x x x x )()()(111
1
??+-+=dx
x x dx x x 11)(
．
??
+-+-
+
=dx
x x dx x x 11121
2
3)
()(
C x x x x ++++-+=23
25
23
25
13
2
1523252)()(．
注 例7（2）中使用加项、减项的方法，（3）、（4）中是将分母有理化．若利用第二换元积分法求解，计算过程较烦琐，读者自行验证．
四、分部积分法
设)(x u 、)(x v 都是可微函数，且)()(x v x u '、)()(x v x u '都有原函数，则
??'-='dx u v uv dx v u ，
简写为??-=vdu uv udv ．
注 （1）应用分部积分公式??-=vdu uv udv 的关键，是正确选择u 和dv ．一般把六种基本初等函数“反对幂指三常”（口诀）中位置在前的函数作为u ；
（2）常用的一个不定积分：C e x dx xe x
x
+-=?)1(．
例8 计算下列不定积分：
（1）?+dx e x x
22
1)(； （2）?++xdx x x 25223
cos )(；
（3）?xdx x arctan ； （4）?+dx x )ln(2
1；
（5）?+xdx x
x
arctan 2
2
1； （6）?xdx 3
sec ； （7）
?+dx
x xe x
2)1(； （8）
?+dx
x x 222
1)(；
（9）?+dx x e
x
221)(tan ； （10）?dx x x
x 3
sin cos ；
（11）?dx
e e x x
arccot ； （12）
?++dx
e x x x
cos sin 11． 解 （
1
）
????? ??+=+x x e d x dx e x 22222111)()(?-+=dx xe e x x x
22222112
1)(
?-+=)2(24
1
)1(21222x d xe e x x x
C e x e x x x +--+=222)12(4
1
)1(21
C e x x x ++-=
223224
1
)(．