1-6 弱导近似

第二节二元函数的一阶、二阶偏导数

第二节 二元函数的一阶、二阶偏导数 一、二元函数的一阶偏导数 1、在某点处的一阶偏导数——已知二元函数 z f(x ，y) 在点(x ，y 0)处及其附近有定 义，若一元函数z f(x ，y 0)在点x 0处对x 可导，则称此导数值为二元函数 z f(x ，y)在点(x 0，y 0)处对x 的一阶偏导数，记作 f x (x 0，y 0) ，或z x |x x 0，或 y y 0 f(x 0，y 0) z ； ，或 |x x x x yy 若一元函数z f(x ，y 0 )在点y 0处对y 可导，则称此导数值为二元函 数 z f (x ，y) 在点(x 0，y 0)处对y 的一阶偏导数，记作 f y (x 0，y 0)，或z y |x x 0，或 f(x 0，y 0) ，或 y y y 0 z x 0。 |x yy y 0 2、可导与连续关系：尽管在某点处两个一阶偏导数都存在，却不能保证在该点处连续。 3、在某区域上的一阶偏导数——若二元函数 z f(x ，y)在区域E 上每一点(x ，y)处都 有对x ，对y 的一阶偏导数，则对于区域 E 上每一点(x ，y)都有一个对x 的一阶偏导 数值和一个对 y 的一阶偏导数值与之对应，于是得到两个新的二元函数，这两个新 的二 元函数分别称 为 z f (x ，y)对x ，对y 的一阶偏导函数，简称一阶偏导数，分别记作 f x (x ，y)，或z x ，或 f(x ，y) z ，或 和f y (x ，y)，或z y ，或f(x ，y)，或z 。 x x y y 二、二阶偏导数 1、定义——二元函数 z f(x ，y)一阶偏导数的一阶偏导数称为二元函数 z f (x ，y) 的二阶偏导数，共有四个，分别记作 f xx (x ，y) (f x (x ，y))x ，或z xx ，或 f 2 (x ，y) 2z x 2 ，或 x 2 2 ， 2 f xy (x ，y) (f x (x ，y))y ，或z xy ，或 f(x y)，或 z y x x y 2 ， 2

修订过的最优化方法复习题

《最优化方法》复习题 第一章 引论 一、 判断与填空题 1 )].([arg )(arg m in m ax x f x f n n R x R x -=∈∈ √ 2 {}{}.:)(min :)(max n n R D x x f R D x x f ?∈-=?∈ ? 3 设.:R R D f n →? 若n R x ∈*，对于一切n R x ∈恒有)()(x f x f ≤*，则称*x 为最优化问题 )(min x f D x ∈的全局最优解. ? 4 设.:R R D f n →? 若D x ∈*，存在*x 的某邻域)(*x N ε，使得对一切)(*∈x N x ε恒有)()(x f x f <*，则称*x 为最优化问题)(min x f D x ∈的严格局部最 优解. ? 5 给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值. √ 6 非空集合n R D ?为凸集当且仅当D 中任意两点连线段上任一点属于D . √ 7 非空集合n R D ?为凸集当且仅当D 中任意有限个点的凸组合仍属于D . √ 8 任意两个凸集的并集为凸集. ? 9 函数R R D f n →?:为凸集D 上的凸函数当且仅当f -为D 上的凹函数. √ 10 设R R D f n →?:为凸集D 上的可微凸函数，D x ∈*. 则对D x ∈?，有).()()()(***-?≤-x x x f x f x f T ? 11 若)(x c 是凹函数，则}0)( {≥∈=x c R x D n 是凸集。 √ 12 设{}k x 为由求解)(min x f D x ∈的算法A 产生的迭代序列，假设算法A 为单调下降算 法，则对{} ,2,1,0∈?k ，恒有 )()(1k k x f x f ≤+ .

二元函数的连续、偏导数、可微之间的关系

目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key words (1) 引言 (1) 1二元函数连续、偏导数、可微三个概念的定义 (1) 2二元函数连续、偏导数、可微三个概念之间的关系 (2) 2.1二元函数连续与偏导数存在之间的关系 (2) 2.2二元函数连续与可微之间的关系 (3) 2.3二元函数可微与偏导数存在之间的关系 (3) 2.4二元函数可微与偏导数连续之间的关系 (4) 二元函数连续、偏导数、可微的关系图 (6) 参考文献 (7) 致谢 (8)

本科生毕业论文 2 二元函数的连续、偏导数、可微之间的关系 摘要 一元函数可微与可导等价，可导必连续.但二元函数并非如此，以下文章给出了二元函数连续、偏导数、可微之间的关系，并给出了简单的证明，且用实例说明了它们之间的无关性和在一定条件下所具有的共性. 关键词 二元函数 连续 偏导数 可微 The Relationship among Continuation, Partial Derivatives and Differentiability in Binary Function Abstract Unary function differentiable with derivative equivalent, will be continuously differentiable. But the dual function is not the case, the following article gives a continuous function of two variables, partial derivatives, can be said the relationship between them, and gives a simple show, and illustrated with examples related between them and under certain conditions have in common.. Key words binary function continuation partial derivatives differentiability 引言 二元函数的偏导数存在、函数连续、可微是二元函数微分学的三个重要概念.对于学习数学分析的人来说，必须弄清三者之间的关系，才能学好、掌握与之相关的理论知识.本文详细讨论这三者之间的关系. 1 二元函数连续、偏导数、可微三个概念的定义 定义1 设f 为定义在点集2D R ?上的二元函数，0D P ∈（0P 或者是D 的聚点，或者是D 的孤立点），对于任给的正数ε，总存在相应的正数δ，只要0,)(D P U P δ?∈， 就有0)||()(f P f P ε<-，则称f 关于集合 D 在点0P 连续. 定义2 设函数(,),(,)z f x y x y D =∈，若00,)(y D x ∈且0,)(y f x 在0x 的某一邻域内 有定义，则当极限00000000(,))(,) (,lim lim x x x f x y f x y f x x y x x ?→?→+-=????存在时，则称这个极限 为函数f 在点00,)(y x 关于x 的偏导数，记作0 (,) |x y f x ??. 定义3 设函数(,)z f x y =在点000,)(y P x 某邻域0()U P 内有定义， 对于0()U P 中的点00,)(,)(y P x y x x y ++=??，若函数f 在点0P 处的全增量可表示为

(整理)7用Mathematica求偏导数与多元函数的极值.

§10 用Mathematica求偏导数与多元函数的极值10.1 用Mathematica 作三维函数图 在多元函数微积分中，作图可以使得问题更为直观，易于理解。这里首先给大家介绍“用Mathematica作三维函数图”。 1 常用的三维绘图函数 Plot3D[f[x,y],{x,a,b},{y,c,d},可选项]: 作) f的图形。 x (y , ParametricPlot3D[{x[u,v],y[u,v],z[u,v]},{u,a,b}{v,c,d}]: 作三维参数方程的图形。 Show[f1,f2,f3,…]: 将多个图形组合重新显示。 2 常用的可选项 Plot3D函数有许多可选项可以用来修饰三维图形的外观。可以借助于可选项改变图形的外观，以便于观察。 表10-1 常用的可选项

选择合适的观测点在也有助于观察图形，下面是典型的ViewPoint 值： 表10-2 典型的ViewPoint 值 例10.1 画出函数22sin y x z +=图形，并使图形表面不上色。 解 In[1]:= Plot3D[Sin[Sqrt[x^2+y^2]],{x,0,2Pi},{y,0,2Pi}] Out[1]= -SurfaceGraphics- In[2]:= Show[%,Shading->False]

Out[2]= -SurfaceGraphics- 例10.2 画出函数y 图形，并使调整图形观测点观察图形是否对称。 sin x z cos 解In[1]:= Plot3D[Sin[x*y],{x,0,2Pi},{y,0,2Pi},AxesLabel->{“x”, “y”, “z”}] Out[1]= -SurfaceGraphics- In[2]:= Show[%,ViewPoint->{－1,-1,2}]

二元函数的连续、偏导数、可微之间的关系

摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key words (1) 引言 (1) 1二元函数连续、偏导数、可微三个概念的定义 (1) 2二元函数连续、偏导数、可微三个概念之间的关系 (2) 二元函数连续与偏导数存在之间的关系 (2) 二元函数连续与可微之间的关系 (3) 二元函数可微与偏导数存在之间的关系 (3) 二元函数可微与偏导数连续之间的关系 (4) 二元函数连续、偏导数、可微的关系图 (6) 参考文献 (7) 致谢 (8) 二元函数的连续、偏导数、可微之间的关系

摘要 一元函数可微与可导等价，可导必连续.但二元函数并非如此，以下文章给出了二元函数连续、偏导数、可微之间的关系，并给出了简单的证明，且用实例说明了它们之间的无关性和在一定条件下所具有的共性. 关键词 二元函数 连续 偏导数 可微 The Relationship among Continuation, Partial Derivatives and Differentiability in Binary Function Abstract Unary function differentiable with derivative equivalent, will be continuously differentiable. But the dual function is not the case, the following article gives a continuous function of two variables, partial derivatives, can be said the relationship between them, and gives a simple show, and illustrated with examples related between them and under certain conditions have in common.. Key words binary function continuation partial derivatives differentiability 引言 二元函数的偏导数存在、函数连续、可微是二元函数微分学的三个重要概念.对于学习数学分析的人来说，必须弄清三者之间的关系，才能学好、掌握与之相关的理论知识.本文详细讨论这三者之间的关系. 1 二元函数连续、偏导数、可微三个概念的定义 定义1 设f 为定义在点集2D R ?上的二元函数，0D P ∈（0P 或者是D 的聚点，或者是D 的孤立点），对于任给的正数ε，总存在相应的正数δ，只要0,)(D P U P δ?∈，就有0)||()(f P f P ε<-，则称f 关于集合D 在点0P 连续. 定义2 设函数(,),(,)z f x y x y D =∈，若00,)(y D x ∈且0,)(y f x 在0x 的某一邻域内 有定义，则当极限00000000(,))(,) (,lim lim x x x f x y f x y f x x y x x ?→?→+-=????存在时，则称这个极限为函数f 在点00,)(y x 关于x 的偏导数，记作0 (,)|x y f x ??. 定义3 设函数(,)z f x y =在点000,)(y P x 某邻域0()U P 内有定义，对于0()U P 中的点 00,)(,)(y P x y x x y ++=??，若函数f 在点0P 处的全增量可表示为

多元复合函数的偏导数(一)

多元复合函数求导 （一）

证一元函数求导法则： 一元函数的链式法则 链式法则 ()()(())=()y f u u x y f x y x ??==???→=复合 ，()()dy dy du f u x dx du dx ?''==dy du du dx y u x ??→??→

多元函数的复合情况要复杂一些（一）多元与多元的复合 （二）多元与一元的复合 （三）一元与多元的复合

证链式法则（多元套多元） 如果),(y x u φ=及),(y x v ψ=都在点 ),(y x 具有对x 和y 的偏导数，且函数) ,(v u f z =在对应点),(v u 具有连续偏导数，则复合函数 )],(),,([y x y x f z ψφ=在对应点),(y x 的两个偏 导数存在，且可用下列公式计算 x v v z x u u z x z ????+????=??， y v v z y u u z y z ????+????=??.

u v x z y 链式法则如图示 =??x z ???u z x u ?????+v z ,x v ??=??y z ???u z y u ?????+v z .y v ??

类似地再推广，设),(y x u φ=、),(y x v ψ=、),(y x w w =都在点 ),(y x 具有对x 和y 的偏导数，复合函数)],(),,(),,([y x w y x y x f z ψφ= 在对应点),(y x 的两个偏导数存在，且可用下列公式计算 x w w z x v v z x u u z x z ????+????+????=??, y w w z y v v z y u u z y z ????+????+????=??. z w v u y x

多元函数偏导数(第七讲)

第七讲 多元函数偏导数与最值问题 一、多元函数偏导数（抽象函数、隐函数、方程组） 例1．设函数(,,)f x y z 是k 次齐次函数，即(,,)(,,)k f tx ty tz t f x y z =，k 为某一常数，求证：(,,)f f f x y z kf x y z x y z ???++=???． 证明：令, ,u tx v ty w tz ===，则(,,)(,,)k f tx ty tz t f x y z =化为 (,,)(,,)k f u v w t f x y z =， 上式两边对t 求导得 1(,,)k f u f v f w kt f x y z u t v t w t -??????++=??????， 又 ,u v w x y z t t t ???===??? 有 1(,,)k f f f x y z kt f x y z u v w -???++=??? 上式两边同乘以t ，得 (,,)k f f f tx ty tz kt f x y z u v w ???++=??? 即有 (,,)f f f u v w kf u v w u v w ???++=??? 于是得 (,,)f f f x y z kf x y z x y z ???++=???． 例2．设(,,)u f x y z =，2(,,)0y x e z j =，sin y x =，其中,f j 具有一阶连续偏导数，且 0x j ?1?，求du dx ． 解：这是有显函数，隐函数构成的复合函数的求导问题，见复合关系图： 有复合关系，有 x y z du u u dy u dz dy dz f f f dx x y dx z dx dx dx ???￠￠￠=++=++??? x y z x y x u U n R e g i s t e r e d

最优化方法复习题

一、 简述题 1 写出Wolfe-Powell 非精确一维线性搜索的公式。 2 怎样判断一个函数是否为凸函数. （例如: 判断函数2122212151022)(x x x x x x x f +-++=是否为凸函数） 二、 证明题 1 证明一个优化问题是否为凸规划.（例如 判断0 ..2 1)(min ≥=++=x b Ax t s b x c Gx x x f T T （其中G 是正定矩阵）是凸规划. 2 熟练掌握凸规划的性质及其证明. 第二章 线性规划 考虑线性规划问题： ,0,..min )(≥=x b Ax t s x c LP T 其中，m n m n R b R A R c ∈∈∈?,, 为给定的数据，且rank .,n m m A ≤= 一、 判断与选择题 1 (LP)的基解个数是有限的. √ 2 若(LP)有最优解，则它一定有基可行解为最优解. √ 3 (LP)的解集是凸的. √ 4 对于标准型的(LP)，设{} k x 由单纯形算法产生，则对{} ,2,1,0∈k ，有

.1+>k T k T x c x c × 5 若*x 为(LP)的最优解，*y 为(DP)的可行解，则.**y b x c T T ≥ √ 6 设0x 是线性规划(LP)对应的基),,(1m P P B =的基可行解，与基变量m x x ,,1 对应的规范式中，若存在0

多元函数的偏导数

多元函数的偏导数 以二元函数为例。 二元函数的偏导数存在、函数连续、可微是二元函数微分学的三个重要概念。.对于学习数学分析的人来说，必须弄清三者之间的关系，才能学好、掌握与之相关的理论知识。 定义1 设f(x,y)为定义在点集D?R2上的二元函数，P0∈D（P0或者是D的聚点，或者是D的孤立点），对于任给的正数ε，总存在相应的正数δ，只要P∈U(P0,δ)∩D，就有f P?f(P0)<ε，则称f(x,y)关于集合D在点P0连续。定义2 设函数z=f x,y,(x,y)∈D，若(x0,y0∈D且f x,y0在x0的某一邻域内 有定义，则当极限limΔx→0?x f(x0,y0) ?x =limΔx→0f x0+?x,y0?f(x0,y0) ?x 存在时，则称这 个极限为函数f x,y在点x0,y0关于x的偏导数，记作ef ex(x 0,y0) 。 定义3 设函数z=f x,y在点P0x0,y0某邻域U(P0,δ)内有定义，对于U(P0,δ)中的点P x,y=(x0+?x,y0+?y)，若函数f x,y在点P0x0,y0处的全增量可表示为?z=f x0+?x,y0+?y?f x0,y0=A?x+B?y+O(ρ)，其中A、B是仅与点P0x0,y0有关的常数，ρ= ?x2+?y2，O(ρ)是较ρ高阶的无穷小量，则称函数f x,y在点P0x0,y0处可微。 二元函数连续与偏导数存在不等价，偏导数存在不一定连续，连续不一定偏导数存在.这与一元函数不同.一元函数中，可导一定连续，连续不一定可导。定理1：若z=f x,y在点x,y可微，则z=f x,y在点x,y一定连续。 定理2：若二元函数z=f x,y在其定义域内一点P0x0,y0处可微，则f x,y在该点关于每个自变量的偏导数都存在，且A=f x x0,y0,B=f y x0,y0。 定理3：若二元函数z=f x,y的偏导数在点P0x0,y0的某邻域内存在，且

多元函数偏导连续与可微

),(y x f 在点),(00y x 处两个偏导连续与在点),(00y x 处可微之间的关系？ （作者：谢洁） （申明一下以下证明在函数的两个偏导数存在的前提下进行。） 由偏导连续?可微 证：设点),(y y x x ?+?+为点),(y x 的该邻域内的任意一点，函数的全增量为 [][]),(),(),(),(),(),(y x f y y x f y y x f y y x x f y x f y y x x f z -?++?+-?+?+=-?+?+=?对于第一个方括号内的表达式而言，由于y y ?+不变，故可看作x 的一元函数),(y y x f ?+在点x 处的增量。 由拉格朗日中值定理，得 ),(),(y y x f y y x x f ?+-?+?+=x y y x x f x ??+?+),(1θ )10(1<<θ. 又由假设条件),(y x f x 在点),(y x 处连续，上式进一步化简 ),(),(y y x f y y x x f ?+-?+?+=x x y x f x ?+?1),(ε，其中1ε是y x ??,的函数，并且当0,0→?→?y x 时，01→ε. 同理，第二个方括号可写为 ),(),(y x f y y x f -?+=y y y x f y ?+?2),(ε （*） ， 其中2ε是y ?的函数，并且当0→?y 时，02→ε. 由上述可得，在连续偏导的假设条件下，全增量z ?可表示为=?z x x y x f x ?+?1),(ε+y y y x f y ?+?2),(ε，易得2121εερ εε+≤?+?y x ，它是随着)0,0(),(→??y x 即0→ρ而趋于零的。即上（*）式中)(21ροεε=?+?y x ，因此由定义，此函数),(y x f z =在),(00y x 处可微分。 那么是否意味着函数在),(00y x 处可微分?两个偏导数一定连续呢？下面举一反例： )0,0(),()0,0(),(0,1sin )(),(2222=≠?? ???++=y x y x y x y x y x f 的两个一阶偏导数),('y x f x 与),('y x f y 在（0，0）点处都不连续，但),(y x f 在（0，0）点可微。