高三数学一轮复习 综合试卷1
高考综合演练1 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．设集合
21 {
|0}
2
x
A x
x
+
=
-，{|||1}
B x x
=<，则A B=（）
A.
1
{|1}
2
x x<
B.{|12}
x x
-<
C.{|121}
x x x
-<<≠
且 D.{|12}
x x
-<<
2．如果命题“
)
(q
p或
?”是假命题，则正确的是（）
A．p、q均为真命题B．p、q中至少有一个为真命题
C．p、q均为假命题D．p、q中至多有一个为真命题
3．要得到函数
)
2(π
+
=x
f
y的图象，只须将函数)
(x
f
y=的图象（）A．向左平移π个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．向右平移π个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移π个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的2
1
倍，纵坐标不变D．向右平移π个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的2
1
倍，纵坐标不变4．定义运算?
?
?
>
≤
=
?
)
(
)
(
b
a
b
b
a
a
b
a
，则函数
x
x
f2
1
)
(?
=的图像大致为（）
.A.B.C.D
5．函数
x
x
x
f ln
)
(+
=的零点所在的区间为（）
A．（－1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（1，e）
6．函数
x
e
x
x
f)3
(
)
(-
=的单调递增区间是（）
A.
)2,
(-∞ B.(0,3) C.(1,4) D. )
,2(+∞
7．由直线
1
2
x=
，x=2，曲线
1
y
x
=
及x轴所围图形的面积为（）
A ．154
B ．174
C ．1
ln 2
2
D ．2ln 2
8．函数
1
)4
(cos 22--
=π
x y 是 （ ）
A ．最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数
C. 最小正周期为2π的奇函数
D. 最小正周期为2π
的偶函数
9．已知等差数列
n
n S n S a a 项和则前项的和前中,357,11,}{71==中 （ ）
A ．前6项和最大
B ．前7项和最大
C ．前6项和最小
D ．前7项和最小
10．下列四个命题中，真命题的个数为( )
（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合； （2）两条直线可以确定一个平面；
（3）若α∈M ，β∈M ，l =?βα，则l M ∈；
（4）空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
11．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测。若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是 （ ） A ．4 B ．5 C.6 D ．7
12．在平面直角坐标系中，不等式组
)(,,04,
0为常数a a x y x y x ??
?
??≤≥+-≥+表示的平面区域的面
积是9，那么实数a 的值为 （ ）
A ．223+
B ．—223+
C ．—5
D ．1
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）
13．设直角三角形的两直角边的长分别为,a b ，斜边长为c ，斜边上的高为h ，则有
a b c h +<+ 成立，某同学通过类比得到如下四个结论：①2222a b c h +>+；
②3
3
3
3
a b c h +<+；③ 4
4
4
4
a b c h +<+；④5
5
5
5
a b c h +>+.
其中正确结论的序号是_ _；进一步类比得到的一般结论是：_ _ 14．一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm)如图3所示，则该几何体的侧面积为_______cm2.
15．若直线220(,)ax by a b R +
+-=∈平分圆2
2
2460x y x y +---=,则
21a b +
的最小值是__________
16．若()(0,1)x f x a a a =>≠，定义由如下框图表述的运算（函数
1
()()f x f x -是函数的反函数），若输入2x =-时，输出11
,48y x =
=则输入时，输出y= .
三、解答题（本大题共6个小题，总分74分） 17．（12分）已知函数
2()2cos 23sin cos f x x x x
=+．求
（1）函数()
f x 的最小正周期；（2）函数()f x 的单调递减区间；
（3）函数()f x 在区间
[0,]
2π
上的最值．
18．(12分)某校从参加某次“广州亚运”知识竞赛测试的学生中随机抽出60名学生， 将其成绩（百分制）（均为整数）分成六段[)50,40，[)60,50…[]100,90
后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：
(Ⅰ)求分数在[)
70,80
内的频率，并补全这个
频率分布直方图；
（Ⅱ）统计方法中，同一组数据常用该组
区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；
（Ⅲ）若从60名学生中随机抽取2人，抽到
的学生成绩在[)
40,70
记0分，在
[]
70,100
记1分，
用
ξ表示抽取结束后的总记分，求
ξ的分布列和数学期望.
19．（12分）已知数列
}
{
n
a
中，
5
1
=
a且1
221
n
n n
a a
-
=+-
（2
n≥且*
n∈N）．
（1）证明：数列
1 2
n
n a-
??
??
??为等差数列；（2）求数列}
{
n
a
的前n项和n
S
．
20．（12分）对于定义在区间D上的函数
()
f x，若存在闭区间[,]
a b D
?和常数c，使得对任意1
[,]
x a b
∈
，都有1
()
f x c
=
，且对任意2
x
∈D，当2
[,]
x a b
?
时，2
()
f x c
>
恒成立，则称函数
()
f x为区间D上的“平底型”函数.
（Ⅰ）判断函数1
()|1||2|
f x x x
=-+-
和2
()|2|
f x x x
=+-
是否为R上的“平底型”函数？并说明理由；
（Ⅱ）设
()
f x是（Ⅰ）中的“平底型”函数，k为非零常数，若不等式||||||()
t k t k k f x
-++≥?
对一切t∈R恒成立，求实数x的取值范围；
（Ⅲ）若函数
2
()2
g x mx x x n
=+++是区间[2,)
-+∞上的“平底型”函数，求m和n的值.
第17题
21．（13分）如图所示的长方体
1111
ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长
为2的正方形，O 为AC 与BD 的交点，
12BB =，M 是线段
11
B D 的中点．
（Ⅰ）求证：//BM 平面1D AC ； （Ⅱ）求证：
1D O ⊥
平面
1AB C
；
（Ⅲ）求二面角1B AB C
--的大小．
22．（13分）已知抛物线C :
22x py =()0p >的焦点为F ,A 、B 是抛物线C 上异于坐标原点O 的不同两点，抛物线C 在点A 、B 处的切线分别为1l 、2l
，且12l l ⊥，1
l 与2l
相交于点D .
(1) 求点D 的纵坐标；
(2) 证明：A 、B 、F 三点共线；
(3) 假设点D 的坐标为
3,12??- ???，问是否存在经过A 、B 两点且与1l 、2l 都相切的圆，若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由.
参考答案 选择题
1．【解析】选D 211
{|
0}{|2},
2
2
x A x x x x +==-
≤<-{|||1}{|11}B x x x x =<=-<<， A B ∴={|12}x x -<<
2．【解析】选B ， 因为“)(q p 或?”是假命题，则“p q 或”是真命题，所以p 、q 中至少有一个为真命题。
3．【解析】选C
由
1
2
()()(2)f x f x f x πππ?????→+??????????→+纵不变，横坐标缩短到原来的倍
左移个单位
得选C 。
4．【解析】选A 由
??
?>≤=?)()
(b a b b a a
b a 得2(0),
()121(0).x x
x f x x ?≤=?=?
>?
5
．
【
解
析
】选 B 方法1：
0,()ln 0,(1)10x A f x x x f >∴=++∞=>错；又因为在（）上为增函数.，
所以x x x f ln )(+=在（1，2）、（1，e ）上均有()0f x >，故C 、D 不对。故选B 。
方法2：取111
(0,1),()10,(1)10
x f f e e e =∈=-<=>因为，
所以x x x f ln )(+=的零点所在的区间为（0，1）。
6．【解析】选D.
()()(3)(3)(2)x x x
f x x e x e x e '''=-+-=-,令()0f x '>,解得2x >,故选D
7．【解析】选D.因为所围图形在X 轴的上方，221122
1
1
ln ln 2ln
2ln 2.2
S dx x
x
∴===-=?
8．【解析】选A.因为22cos ()1cos 2sin 242y x x x ππ??=--=-= ???为奇函数,22T ππ==,所
以选A.
9．【解析】选A.
17176
11,35.735, 2.2a S a d d ?==∴+
=∴=-
226(1)
11(2)12(6)36.2n n n S n n n n S -=+
?-=-+=--+∴则最大.
10．【解析】选A.（1）错，如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合（三点不共线
才行）；
（2）错，两条直线可以确定一个平面（两直线可以异面直线）； （3）对，若α∈M ，β∈M ，l =?βα，则l M ∈（由公理2可得）；
（4）空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内（不一定在同一平面内）． 11．【解析】选C.应抽取植物油类20×0.1=2，果蔬类食品20×0.2=4，所以共抽取2+4=6种.
12．【解析】选D.()()()2
122229
2
S a a a =
+?+=+=1a ∴=.
二、填空题
13．【解析】可以证明②③正确；观察②3333a b c h +<+；③ 4444
a b c h +<+的项与系
数的关系，还有不等号的方向可得：n n n n ()a b c h n N *
+<+∈。 答案：② ③，
n n n n ()a b c h n N *
+<+∈
14．答案：80
15．答案：223+
16．【解析】1212. 2.()log ,4x y a f x x -=-=∴=∴=时，1
3.
8x y ∴==-当时，
答案：-3
三、解答题
17．【解析】()cos 213sin 22sin(2)1
6f x x x x π
=++=++ （3分）
（1）最小正周期
22T π
π=
=； （5分）
（2）当32222
6
2k x k π
π
πππ+
≤+
≤+
，即263k x k ππ
ππ+≤≤+ k Z ∈时，函数()f x 单
调递减，
所以函数()f x 的单调递减区间为
2[,]6
3k k k Z π
π
ππ+
+
∈． （9分）
（3）
7[0,],2[,]
2666x x ππππ
∈∴+∈，
1
sin(2)[,1]
62x π∴+∈-
max min ()()3,()()0
6
2f x f f x f π
π
∴====． （12分）
18．解析：(Ⅰ)设分数在[)
70,80
内的频率为x，
根据频率分布直方图，
则有(0.010.01520.0250.005)101
x +?++?+=，
可得0.3
x=，所以频率分布直方图如图所示.………4分
（求解频率3分，画图1分）
（Ⅱ）平均分为：
450.1550.15650.15750.3850.25950.0571
x=?+?+?+?+?+?=．………7分
（Ⅲ）学生成绩在[)
40,70
的有0.46024
?=人，在
[]
70,100
的有0.66036
?=人.
并且ξ
的可能取值是
0,1,2. ………………………………8分
则
2
24
2
60
46
(0)
295
C
P
C
ξ===
；
11
2436
2
60
144
(1)
295
C C
P
C
ξ===
；
2
36
2
60
105
(2)
295
C
P
C
ξ===
.
所以ξ
的分布列为
ξ0 1 2
P
46
295
144
295
105
295
46144105354
012
295295295295
Eξ=?+?+?=
（或1.2）……………………12分
19．解：（1）∵数列
1
2
n
n
a-
??
??
??为等差数列
设
1
2
n
n n
a
b
-
=
，
1
51
2
2
b
-
==
1111122n n n n n n a a b b +++---=
-()111
212n n n a a ++=-+????
()111
2112n n ++??=
-+??1=， ………………3分
可知，数列12n n a -??
??
??为首项是2、公差是1的等差数列． ………………4分
（2）由（1）知，()111
1122n n
a a n --=+-?，
∴()121
n n a n =+?+． ………………6分
∴()()()()12122132121121n n
n S n n -??=?++?++
+?+++?+??
．
即()1212232212n n n S n n n -=?+?++?++?+．
令()1212232212n n
n T n n -=?+?++?++?， ①
则
()231
22232212n n n T n n +=?+?+
+?++?． ②………………10分
②－①，得
()()1231
2222212n n n T n +=-?-++
+++?
1
2n n +=?．
∴()
11221n n n S n n n ++=?+=?+． ………………12分
20．解析：（1）对于函数1()|1||2|
f x x x =-+-，当[1,2]x ∈时，1()1
f x =.
当1x <或2x >时，1()|(1)(2)|1f x x x >---=恒成立，故
1()
f x 是“平底型”函数. （1
分） 对于函数
2()|2|
f x x x =+-，当(,2]x ∈-∞时，2()2f x =；当(2,)x ∈+∞时，
2()222
f x x =->.
所以不存在闭区间[,]a b ，使当[,]x a b ?时，()2f x >恒成立. 故
2()
f x 不是“平底型”函数. （3分）
（Ⅱ）若||||||()t k t k k f x -++≥?对一切t ∈R 恒成立，则min (||||)||()
t k t k k f x -++≥?.
因为
min (||||)2||
t k t k k -++=，所以2||||()k k f x ≥?.又0≠k ，则()2f x ≤. （5分）
因为()|1||2|f x x x =-+-，则|1||2|2x x -+-≤，解得152
2x ≤≤
. 故实数x 的范围是15
[,]
22. （7分）
（Ⅲ）因为函数
()g x mx =[2,)-+∞上的“平底型”函数，则 存在区间[,]a b [2,)?-+∞和常数c
，使得mx c =恒成立.
所以22
2()x x n mx c ++=-恒成立，即
221
22m mc c n ?=?
-=??=?
.解得111
m c n =??=-??=?或11
1m c n =-??=??=?. （9分）
当1
11m c n =??
=-??=?时，()|1|g x x x =++.
当[2,1]x ∈--时，()1g x =-，当(1,)x ∈-+∞时，()211g x x =+>-恒成立. 此时，()g x 是区间[2,)-+∞上的“平底型”函数. （10分）
当
111m c n =-??=??=?
时，()|1|g x x x =-++.
当[2,1]x ∈--时，()211g x x =--≥，当(1,)x ∈-+∞时，()1g x =.
此时，()g x 不是区间[2,)-+∞上的“平底型”函数. （12分）
21．
解:（Ⅰ）连接1D O
，如图，∵O 、M 分别是BD 、
11
B D 的中点，
11BD D B
是矩形，
∴四边形1D OBM
是平行四边形，∴
1//D O BM
． …………………………2分
∵
1D O ?平面
1D AC
，BM ?平面1D AC
，
∴//BM 平面1D AC
．………………………… 4分
（Ⅱ）连接
1
OB ，∵正方形ABCD 的边长为2
，
1BB =
∴1122B D =，12OB =，12D O =，
则
222
1111OB D O B D +=，∴
11OB D O
⊥． ……………6分
∵在长方体
1111ABCD A B C D -中，AC BD ⊥，
1AC D D
⊥，
∴AC ⊥平面11
BDD B ，又
1D O ?平面11
BDD B ，
∴1AC D O ⊥，又
1AC
OB O
=，
∴
1D O ⊥
平面
1AB C ． …………………………………………8分
（Ⅲ）在平面
1
ABB 中过点B 作
1
BE AB ⊥于E ，连结EC ，
∵CB AB ⊥，1
CB BB ⊥，
∴CB ⊥平面1ABB ，又
1AB ?
平面
1
ABB ， ……………………………9分
∴1CB AB ⊥，又
1
BE AB ⊥，且CB BE B =，
∴1AB ⊥
平面EBC ，而EC ?平面EBC ， ………………………………10分
∴
1AB EC
⊥．
∴BEC ∠是二面角
1B AB C
--的平面角． …………………………11分
在Rt BEC ?中，
23
3BE =
，2BC =
∴tan 3BEC ∠=，60BEC ∠=， ∴二面角
1B AB C
--的大小为60． ………………………………………13分
解法2（坐标法）：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系．连接
1D O
，则点(1,1,0)O 、
1(0,0,2)D ，
∴
1(1,1,2)OD =--
又点(2,2,0)B ，(1,1,2)M ，
∴
(1,1,2)BM =--
∴1OD BM =，且1OD 与BM 不共线，
∴1//OD BM
．
又
1D O ?
平面
1D AC
，BM ?平面1D AC
，
∴//BM 平面1D AC
． ………………4分
（Ⅱ）∵
11(1,1,2)(1,1,2)0OD OB ?=--?=，
1(1,1,2)(2,2,0)0OD AC ?=--?-=
∴11OD OB ⊥，1OD AC ⊥，即11OD OB ⊥，1OD AC ⊥，
又
1
OB AC O
=，∴
1D O ⊥
平面
1AB C
． …………………………………………6分
（Ⅲ）∵CB AB ⊥，
1
CB BB ⊥，∴CB ⊥平面
1
ABB ，
∴(2,0,0)BC =-为平面1
ABB 的法向量．
∵11OD OB ⊥，1OD AC ⊥，
∴
1(1,12)OD =--为平面1AB C 的法向量．
∴
11
cos ,2BC OD <>=
，
∴BC 与
1OD 的夹角为60，即二面角1B AB C --的大小为60．………………13分
（Ⅲ）（法三）设二面角
1B AB C
--的大小为α，
1AB C
?在平面
1AB B
内的射影就是
1AB B
?，
根据射影面积公式可得
11cos AB B AB C
S S α??=
，111
2
2AB B S AB B B ?=??=，
111
22
2AB C S AC B O ?=??=∴1121
cos 2
22AB B AB C S S α??===
，∴二面角
1B AB C
--的大小为60 …………13分
22．解析：(1):设点A 、B 的坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，
∵
1
l 、2l
分别是抛物线C 在点A 、B 处的切线，
∴直线1l
的斜率1'
1
1x x x k y p ===
，直线2l 的斜率
2'
2
2x x x k y p ===
.
∵
12
l l ⊥,
∴
121k k =-, 得
2
12x x p =-. ① …2分
∵A 、B 是抛物线C 上的点,
∴ 22
12
12,.
22x x y y p p ==
∴ 直线1l 的方程为()21112x x y x x p p -=-,直线2l 的方程为()
2
2222x x y x x p p -=-.
由()()211
12222
,2,2x x y x x p p x x y x x p p ?-=-????-=-?? 解得12,2.2x x x p y +?=???
?=-??
∴点D 的纵坐标为2p
-
. …4分
(2) 证法1：∵ F 为抛物线C 的焦点， ∴ 0,2p F ?? ?
??.
∴ 直线AF 的斜率为
2
1221111122202AF
x p p y x p p k x x px --
-===
-， 直线BF 的斜率为
2
22
22222222202BF
x p p y x p p k x x px ---===
-.
∵
222
2121222AF BF
x p x p k k px px ---=- …6分
()()
2222211212
2x x p x x p px x ---=
()()212121212
2x x x x p x x px x -+-=
l
F
O
y
x
E
D
B 1
A 1
B
A
()()22121212
2p x x p x x px x --+-=
0=. ∴
AF BF
k k =.
∴A 、B 、F 三点共线. …8分
证法2：∵ F 为抛物线C 的焦点， ∴ 0,2p F ??
?
??.
∴
2221111,,222x p x p AF x x p p ????-=--=- ? ?
????，
222
2
222,,
222x p x p BF x x p p ????
-=--=- ? ?????.
∵ 22
12221121122222
22122222p x p x x x x x p
p x p x x x x x p ----===----, …6分
∴ //AF BF .
∴A 、B 、F 三点共线. …8分
证法3：设线段AB 的中点为E , 则E 的坐标为
1212,22x x y y ++??
???. 抛物线C 的准线为
:2p
l y =-
. 作
11,AA l BB l
⊥⊥, 垂足分别为
11
,A B .
∵ 由(1)知点D 的坐标为
12
,22x x p +??- ???, ∴DE l ⊥. ∴DE 是直角梯形
11AA B B
的中位线.
∴
()111
2DE AA BB =
+. …6分
根据抛物线的定义得:
11,AA AF BB BF
==,
∴
()()1111
22DE AA BB AF BF =
+=+.
∵AD DB ⊥,E 为线段AB 的中点,
∴
12DE AB =
.
∴()11
22AB AF BF =+,即AB AF BF =+.
∴A 、B 、F 三点共线. …8分 (3)解: 不存在. 证明如下：
假设存在符合题意的圆，设该圆的圆心为M ，
依题意得,MA AD MB BD ⊥⊥，且MA MB =，
由
12
l l ⊥，得AD BD ⊥.
∴ 四边形MADB 是正方形. ∴
AD BD
=. …10分
∵点D 的坐标为
3,12??
- ???， ∴12-
=-p
,得2p =.
把点D 3,12
??
- ?
??的坐标代入直线1l , 得211131422x x x ??--=?- ??? 解得
14
x =或
11
x =-,
∴点A 的坐标为()4,4或11,4?
?- ???. 同理可求得点B 的坐标为()4,4或
11,4?
?- ???.
由于A 、B 是抛物线C 上的不同两点，不妨令11,4A ?
?- ?
?
?,()4,4B .
∴
AD ==
BD ==
…12分 ∴
AD BD
≠, 这与
AD BD
=矛盾.
∴经过A 、B 两点且与1l
、2l
都相切的圆不存在. …13分