微分中值定理与导数的应用习题
第四章微分中值定理与导数得应用习题
§４、1 微分中值定理
1. 填空题
(1）函数在上使拉格朗日中值定理结论成立得ξ就是.
（2)设,则有３个实根，分别位于区间中.
2.选择题
(1)罗尔定理中得三个条件:在上连续,在内可导,且,就是在内至少存在一点,使成立得（B ).
A．必要条件 B.充分条件 C. 充要条件D．既非充分也非必要条件
（2)下列函数在上满足罗尔定理条件得就是( C ）．
A、B、C、Ｄ、
(3)若在内可导，且就是内任意两点,则至少存在一点,使下式成立(Ｂ).
A.
B. 在之间
C.
Ｄ.
3.证明恒等式：.
证明: 令，则,所以为一常数.
设，又因为,
故．
４．若函数在内具有二阶导数，且,其中,证明：在内至少有一点，使得.
证明:由于在上连续,在可导,且,根据罗尔定理知,存在, 使. 同理存在，使. 又在上
符合罗尔定理得条件,故有,使得．
5. 证明方程有且仅有一个实根.
证明:设, 则,根据零点存在定理至少存在一个,使得.另一方面，假设有,且，使,根据罗尔定理,存在使,即,这与矛盾.故方程只有一个实根.
6. 设函数得导函数在上连续,且,其中就是介于之间得一个实数. 证明: 存在,使成立、
证明: 由于在内可导,从而在闭区间内连续,在开区间内可导.又因为,根据零点存在定理,必存在点，使得. 同理,存在点,使得．因此在上满足罗尔定理得条件,故存在，使成立．
7、设函数在上连续，在内可导、试证：至少存在一点, 使
证明：只需令,利用柯西中值定理即可证明、
８．证明下列不等式
(1)当时，.
证明：设,函数在区间上满足拉格朗日中值定理得条件,且, 故, 即
(）
因此, 当时,.
(2)当时,.
证明:设,则函数在区间上满足拉格朗日中值定理得条件,有
因为,所以,又因为，所以，从而
.
§4、2 洛毕达法则
１. 填空题
(１)
(２)０
（3）=
(4)１
2.选择题
（1)下列各式运用洛必达法则正确得就是( Ｂ )
A.
Ｂ.
C. 不存在
Ｄ. =
(2) 在以下各式中，极限存在,但不能用洛必达法则计算得就是( C )
A. Ｂ. Ｃ． D ．
3. 求下列极限
(１)．
解: =.
(2）.
解: ＝＝=．
（３) .
解：＝=.
(４) .
解:＝=.
(５).
解: ，
==
.
（６) .
解:
(7） .
解:1)1(lim 202000sin lim csc 1lim cot ln lim ln tan lim tan 0=====+→+→+→+→+----→x x
x x x x x x x x x x x x e e e e x .
（8）.
解: =
==.
(9) .
解: 因为,所以=1.
§4、3函数得单调性与曲线得凹凸性
1. 填空题
(1) 函数得单调增加区间就是,单调减少区间.
(2)若函数二阶导数存在,且,则在上就是单调 增加 .
(３）函数在内单调增加,则.
(4)若点(1,3）为曲线得拐点,则,,曲线得凹区间为,凸区间为.
２． 单项选择题
(1)下列函数中，( A )在指定区间内就是单调减少得函数、
Ａ、 B 、
Ｃ、 D 、
(２)设,则在区间内( B ).
A 、 单调增加,曲线为凹得
B 、 单调减少,曲线为凹得
Ｃ、 单调减少,曲线为凸得
D.单调增加,曲线为凸得
(3)在内可导, 且，当 时, ，则（ D ）
A 、 任意
B 、 任意
Ｃ、 单调增 D 、 单调增
(4)设函数在上二阶导数大于0, 则下列关系式成立得就是（ B )
A 、
B 、
C 、 Ｄ、
２. 求下列函数得单调区间
(1).
解：，当时,,所以函数在区间为单调增加;
当时,，所以函数在区间为单调减少.
(２). 解:,
当,或时,,所以函数在区间为单调增加;
当时,,所以函数在区间为单调减少．
（３）
解： ,故函数在单调增加．
３. 证明下列不等式
(１）证明: 对任意实数与， 成立不等式.
证明:令，则, 在内单调增加、
于就是, 由 , 就有 ， 即
|
|1||||1||||||1||||||1||||||1||||||1||b b a a b a b b a a b a b a b a b a +++≤+++++=+++≤+++ （２)当时, .
证明：设， ,由于当时,, 因此在单调递增, 当 时, , 故在单调递增, 当 时, 有、故当时,, 因此.
(３)当 时,.
证明：设， ,当,,
所以在单调递增， 当 时, , 故在单调递增, 从而当 时, 有、 因此当 时,.
4． 讨论方程(其中为常数)在内有几个实根.
解:设 则在连续， 且，
?由,得为内得唯一驻点.
在上单调减少,在上单调增加.
故为极小值,因此在得最大值就是，最小值就是.
(１) 当或时,方程在内无实根；
(２) 当时,有两个实根;
?(3) 当时，有唯一实根．
5. 试确定曲线中得ａ、b 、c 、d ,使得处曲线有水平切线,为拐点,且点在曲线上．
解: ,,所以
解得: .
6．求下列函数图形得拐点及凹或凸得区间
（１)
解: , ,
令,得,当时不存在.
当或时, ，当或时, .
故曲线在上就是凸得, 在区间与上就是凹得，
曲线得拐点为．
(2)拐点及凹或凸得区间
解: ,.
当时,不存在；当时,.
故曲线在上就是凸得, 在上就是凹得,就是曲线得拐点,
７.利用凹凸性证明: 当时,
证明:令，则，．
当时，, 故函数得图形在上就是凸得, 从而曲线在线段(其中）得上方,又, 因此,即.
§4、4 函数得极值与最大值最小值
１. 填空题
（１)函数取极小值得点就是.
(２) 函数在区间上得最大值为，最小值为.
２．选择题
(１) 设在内有二阶导数,,问还要满足以下哪个条件,则必就是得最大值?(C)
A. 就是得唯一驻点
B. 就是得极大值点
C.在内恒为负
D. 不为零
(2）已知对任意满足,若,则(B)
A、为得极大值
B、为得极小值
C、为拐点
D、不就是极值点, 不就是拐点
（３)若在至少二阶可导, 且,则函数在处( A )
Ａ. 取得极大值Ｂ. 取得极小值 C.无极值 D. 不一定有极值
3. 求下列函数得极值
(1).
解:由，得.
，所以函数在点取得极小值.
(２).
解:定义域为,，
令得驻点,当时，，当时,.
因此为极大值．
４．求得在上得最大值与最小值.
解:.
由,得, .
而, 所以最大值为１32，最小值为7.
5. 在半径为得球内作一个内接圆锥体,问此圆锥体得高、底半径为何值时,其体积最大.
解:设圆锥体得高为, 底半径为,故圆锥体得体积为,
由于,因此，
由，得,此时．
由于内接锥体体积得最大值一定存在,且在得内部取得、现在在内只有一个根，故当, 时, 内接锥体体积得最大．
６、工厂与铁路线得垂直距离为,点到火车站得距离为、欲修一条从工厂到铁路得公路, 已知铁路与公路每公里运费之比为，为了使火车站与工厂间得运费最省,问点应选在何处？解：设，与间得运费为, 则
()，
其中就是某一正数.
由，得、
由于，, ,其中以为最小，因此当AD=km时,总运费为最省.
7. 宽为得运河垂直地流向宽为得运河、设河岸就是直得，问木料从一条运河流到另一条运河去,其长度最长为多少？
解: 问题转化为求过点得线段得最大值、设木料得长度为，,木料与河岸得夹角为,则，且
,
.
则
，
由得, 此时,
故木料最长为.
§4、5 函数图形得描绘
1.求得渐近线、
解:由 ,所以为曲线得铅直渐近线．
因为
所以为曲线得斜渐近线. 第四章 综合练习题
１.填空题
(１) ０ .
（２） 函数在区间内单调减少,在区间内单调增加.
(３） 曲线得渐近线就是.
(4） 1 .
2. 求下列极限
(1)
解:＝
＝＝＝
＝.
(２)
解:=＝
=．
３. 求证当时, .
证明: 令, 则
,
当时, ，故在单调增. 当时,有,即 .
4. 设在上可导且,证明：存在点使、
证明： 设, 则，且.
由拉格朗日中值定理知, 存在,使, 即
14422|)(||)(|)()()
(1)(020<=+≤-+≤--=+'ππ
π
a b a F b F a b a F b F x f x f . 5． 设函数在上连续,在内具有二阶导数且存在相等得最大值, 且, , 证明： 存在，使得.
证明: 设分别在取得最大值, 则, 且. 令.
当时, , 由罗尔定理知, 存在， 使
, 进一步由罗尔定理知, 存在,使,即
当时, ,,由零点存在定理可知,存在,使. 由于，由前面证明知, 存在,使,即.
6. 设，证明方程有且仅有一个正得实根.
证明:设. 当,显然只有一个正得实根．下考虑时得情况.
先证存在性:因为在内连续,且,,由零点存在定理知，至少存在一个，使,即至少有一个正得实根.
再证唯一性:假设有,且，使，根据罗尔定理,存在,使,即,从而,这与矛盾．故方程只有一个正得实根．
7.对某工厂得上午班工人得工作效率得研究表明,一个中等水平得工人早上8时开始工作,在小时之后,生产出个产品.问:在早上几点钟这个工人工作效率最高?
解:因为,，令,得. 又当时，.函数在上单调增加；当时,,函数在上单调减少.故当时,达到最大, 即上午1１时这个工人得工作效率最高.