杆对小球有推力A F ，有2
A
A v mg F m L
-=，则 4.84N A F =．由A 至B 只有重力做功，机械能守恒．设B 点所处水平面为参考平面,则
2211222
A B mv mg L mv +?=, 解得24 4.5m/s B A v v gL =+=．
在最低点B ，小球m 受拉力B F ，由2
B
B v F mg m L -=
解得225.3N B
B v F mg m L
=+=．
【例8】如图13所示，光滑的圆管轨道AB 部分平直，BC 部分是处于竖直平面内半径为R 的半圆，圆管截面半径r ，有质量为m 、半径比r 略小的光滑小球以水平初速度度0v 射入圆管.
(1)若要小球能从C 端出来，初速0v 多大
(2)在小球从C 端出来瞬间，对管壁压力有哪几种典型情况，初速度0v 各应满足什么条件
图13
【解析】本题综合考查了竖直平面内圆周运动临界问题；属于“轻杆类”．
(1)小球恰好能到达最高点的条件是0C v =，由机械能
守恒，初速度应满足：2
0122
mv mg R =?，即04v gR =．
要使小球能从C 端出来，需0C v ≥，所以入射速度04v gR ≥．
(2)在小球从C 端出来瞬间，对管壁压力有以三种典型情况： ①刚好对管壁无压力，此时重力恰好充当向心力，即
2C
v mg m L
=.
由机械能守恒定律，知22
011222
C mv mg R mv =?+
联立解得: 0
5v gR
=
②对下管壁有压力，应有2C
v mg m L
>，相应的入射速度
0v 应满足045gR v gR ≤<．
③对上管壁有压力，此时应有2C
v mg m L
<，相应的入射
速度0v 应满足0
5v gR
>
小结 本题中的小球不能做匀速圆周运动，它的合力除最高点与最低点过圆心外，其他条件下均不过圆心，因而在一般位置处，它具有切向加速度.
【例9】如图14所示，一内壁光滑的环形细圆管位于竖直平面内，环的半径R (比细管的半径大得多)，在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球A B 、，质量分别为A B m m 、，沿环形管顺时针运动，当A 球运动到最低点时，速度为A v ，B 球恰到最高点，若要此时圆管的合力为零，B 的速度B v 为多大？
【解析】本题综合考察了竖直平面内圆周运动临界问题的分析，属于“轻杆类”．在最低点对A 球进行受力
图11 图12
图 14
分析，如图15所示，应用牛顿第二定律有2A
A A A
v N m g m R
-= 由牛顿第三定律，球A 对管有向下的压力'A A N N =，根据题意''A B N N =,即球B 对对管有向上的压力'B N ，球B 受力情况，如图
16所示，由牛顿第三定律，管对球B 有向下的压力B N ,'B B N N =，对球B 应用牛顿第二定律，有：2
B B B v N m g m R
+=,由于A B N N =
联立可得2(1)A A B A B B
m m
v v gR m m =
++ 三、小球在凸、凹半球上运动
如图17所示，小球在凸半球上最高点运动时： (1)当0v gR <<，小球不
会脱离凸半球且能通过凸半球的最高点．
(2)当v gR =，因轨道对小球不能产生弹力，故此时小球将刚好脱离轨道做平抛运动．
(3)当v gR >，小球已脱离凸半球最高点做平抛运动． 如图18所示，小球若通过凹半球的最低点时速度只要0v >即可．
由以上分析可知，通过凸(或凹)半球最高点(或最低点)的临界条件是小球速度0v gR <<(或0v >)． 【例10】如图19所示，汽车质量为41.510kg ?，以不变速率通过凸形路面，路面半径为15m ，若汽车安全行驶，则汽车不脱离最高点的临界速度为多少若汽车达到临界速度时将做何种运动水平运动位移为多少 【解析】(1)此题属于“轻绳类”，即轨道只能沿某一方向给物体作用力，临界条件为汽车对轨道压力
0N =，则汽车不脱离最高点
的临界速度为0v ，则有：
20
v mg m R
=，可得0v gR =；
(2)当0v gR =时，汽车在轨道最高点仅受重力作用，且有初速度gR ，故做平抛运动，则 2
12
R gt =
，0x v t =,可得:2x R =． 【例11】小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m 的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动．当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞离水平距
离d 后落地，如图20所示．已知握绳的手离地面高度为d ，手与球之间的绳长为34
d ，重力加速度为g ．忽略手的运动半径和空气阻力．
（1）求绳断时球的速度大小1v 和球落地时的速度大小2v ．
（2）问绳能承受的最大拉力多大
（3）改变绳长，使球重复上述运动。若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长
应为多少最大水平距离为多少
【解析】（1）设绳断后球飞行时间为t ，由平抛运动规律，有：竖直方向 21
14
2
d gt =
水平方向 1d v t =，得：12v gd =
由机械能守恒定律，有：2
22
1113()224
mv mv mg d d =+-，得：25
2
v gd =
（2）设绳能承受的最大拉力为T ，这也是球受到绳的最大拉力大小，球做圆周运动的半径为3
4
R d = 由向心力公式，有21v T mg m R -=，解得11
3
T mg =
（3）设绳长为l ，绳断时球的速度大小为3v ，绳承受的最大拉力不变，
图17 图18
图15 图16
图19
图 20
有23v T mg m l -=，得38
3
v gl =
绳断后球做平抛运动，竖直位移为d l -，水平位移为
x ，时间为1t ，有：2
112
d l gt -=
，31x v t = 得：()
43
l d l x -= 当2d l =
时，x 有极大值 max 23x 总结 竖直平面内圆周运动两种模型的临界问题，其关键是分清属于“轻绳”类还是“轻杆”类，“轻绳”只能对物体产生沿绳收缩方向的拉力，在最高点对物体拉力为零是临界条件，即0F =拉；在最高点，“轻杆”对物体既可以产生拉力，也可以产生支持力，还可以对物体的作用力为零，杆与物体之间的作用力为零是临界条件，即0N =．
在处理带电小球在竖直平面内做圆周运动时，一定要区分“几何最高点”与“力学最高点”不一定是对应的，上面总结的“轻绳类"和“轻杆类”规律必须是“力学最高点”．
竖直面内的圆周运动(解析版)
竖直面内的圆周运动 一、竖直平面内圆周运动的临界问题——“轻绳、轻杆”模型 1.“轻绳”模型和“轻杆”模型不同的原因在于“轻绳”只能对小球产生拉力，而“轻杆”既可对小球产生拉力也可对小球产生支持力。 2.有关临界问题出现在变速圆周运动中，竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况。 物理情景最高点无支撑最高点有支撑 实例球与绳连接、水流星、沿内轨道 的 “过山车”等 球与杆连接、球在光滑管道中运动等 图示 异同点受力 特征 除重力外，物体受到的弹力方 向：向下或等于零 除重力外，物体受到的弹力方向：向 下、等于零或向上 受力 示意 图 力学 方程 mg＋F N＝m v2 R mg±F N＝m v2 R 临界 特征 F N＝0 mg＝m v2min R 即v min＝gR v＝0 即F向＝0 F N＝mg 过最高点的条 件 在最高点的速度v≥gR v≥0 【典例1】如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R 的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F－v2图象如图乙所示，则()
A ．小球的质量为aR b B ．当地的重力加速度大小为R b C ．v 2＝c 时，小球对杆的弹力方向向上 D ．v 2＝2b 时，小球受到的弹力与重力大小相等 【答案】： ACD 【典例2】用长L ＝ 0.6 m 的绳系着装有m ＝ 0.5 kg 水的小桶，在竖直平面内做圆周运动，成为“水流星”。G ＝10 m/s 2。求： (1) 最高点水不流出的最小速度为多少？ (2) 若过最高点时速度为3 m/s ，此时水对桶底的压力多大？ 【答案】 (1) 2.45 m/s (2) 2.5 N 方向竖直向上 【解析】(1) 水做圆周运动，在最高点水不流出的条件是：水的重力不大于水所需要的向心力。这是最小速度即是过最高点的临界速度v 0。 以水为研究对象， mg ＝m v 20L 解得v 0＝Lg ＝0.6×10 m/s ≈ 2.45 m/s (2) 因为 v ＝ 3 m/s>v 0，故重力不足以提供向心力，要由桶底对水向下的压力补充，此时所需向心力由以上两力的合力提供。 V ＝ 3 m/s>v 0，水不会流出。 设桶底对水的压力为F ，则由牛顿第二定律有：mg ＋F ＝m v 2L 解得F ＝m v 2L －mg ＝0.5×(32 0.6 －10)N ＝2.5N
竖直平面内的圆周运动及实例分析
竖直平面内的圆周运动及实例分析 竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周运动(带电粒子在匀强磁场中运动除外)，运动的速度大小和方向在不断发生变化，运动过程复杂，合外力不仅要改变运动方向，还要改变速度大小，所以一般不研究任意位置的情况，只研究特殊的临界位置──最高点和最低点。 一、两类模型——轻绳类和轻杆类 1．轻绳类。运动质点在一轻绳的作用下绕中心点作变速圆周运动。由于绳子只能提供拉力而不能提供支持力，质点在最高点所受的合力不能为零，合力的最小值是物体的重力。所以：（1）质点过最高点的临界条件：质点达最高点时绳子的拉力刚好为零，质点在最高点的向心力 全部由质点的重力来提供，这时有，式中的是小球通过最高点的最小速度， 叫临界速度；（2）质点能通过最高点的条件是；（3）当质点的速度小于这一值时，质点运动不到最高点高作抛体运动了；（4）在只有重力做功的情况下，质点在最低点的速度不得小于，质点才能运动过最高点；（5）过最高点的最小向心加速度。 2．轻杆类。运动质点在一轻杆的作用下，绕中心点作变速圆周运动，由于轻杆能对质点提供支持力和拉力，所以质点过最高点时受的合力可以为零，质点在最高点可以处于平衡状态。 所以质点过最高点的最小速度为零，（1）当时，轻杆对质点有竖直向上的支持力，其大小等于质点的重力，即；（2）当时，；（3）当，质点的重力不 足以提供向心力，杆对质点有指向圆心的拉力；且拉力随速度的增大而增大；（4）当 时，质点的重力大于其所需的向心力，轻杆对质点的竖直向上的支持力，支持力随的增大而减小，；（5）质点在只有重力做功的情况下，最低点的速度，才能运动到最高点。过最高点的最小向心加速度。 过最低点时，轻杆和轻绳都只能提供拉力，向心力的表达式相同，即，向
竖直平面内的圆周运动习题 - 副本
竖直平面内的圆周运动 一、无支撑模型 【例题1】如图所示，一质量为0.5kg 的小球，用0.4m 长的细线拴住在竖直面内作圆周运动，求：（1）当小球在圆上最高点速度为4m/s 时，细线的拉力是多少？（2）当小球在圆上最低点的速度为24m/s 时，细线的拉力是多少？（g=10m/s 2 ） 练习、用长为l 的细线拴一个小球使其绕细线的加一端在竖直平面内做圆周运动，当球通过圆周的最高点时，细线受到的拉力等于球重的2倍，已知重力加速度为g ，则球此时的速度大小为__________，角速度大小为______________，加速度大小为____________。 二、有支撑模型 【例题2】长度为0．5m 的轻质细杆OA ，A 端有一质量为 3kg 的木球，以 O 点为圆心，在竖直面内作圆周运动，如图所示，小球通过最高点的速度 为 2m/s ，取g = 10 m/s 2，则此时球对轻杆的力大小是 ，方 向向 。 练：如图所示，长为L 的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的 水平轴上，使小球在竖直平面内作圆周运动，关于小球在最高点的速度v 0下列说法中正确的是 A ．v 的最小值为gR B ．v 由零逐渐增大，向心力也逐渐增大 C ．当v 由gR 值逐渐增大时，杆对小球的弹力也逐渐增大 D ．当v 由gR 值逐渐增小时，杆对小球的弹力也仍然逐渐增大 课堂练习： 1、如图，轻杆的一端与小球相连接，轻杆另一端过O 轴在竖直平 面内做圆周运动。当小球达到最高点A 、最低点B 时，杆对小球的 作用力可能是： A. 在A 处为推力，B 处为推力 B. 在A 处为拉力，B 处为拉力 C. 在A 处为推力，B 处为拉力 D. 在A 处作用力为零，在B 处作用力不为零 2. 长为L 的轻绳一端系一质量为m 的物体, 另一端被质量为M 的人用手握住. 人站在水平地面上, 使物体在竖直平面内作圆周运动, 物体经过最高点时速度为v , 则此时人对地面的压力为（ ） A. ( M + m )g － m v 2L B. ( M + m )g + m v 2 L C. M g + m v 2L D. ( M － m )g － m v 2 L 3.一轻杆一端固定一质量为m 的小球，以另一端O 为圆心，使小球在竖直平面内做半径为R 的圆周运动，以下说法正确的是( ) A 、小球过最高点时，杆所受的弹力可以为零 B 、小球过最高点时最小速度为gR B O O A A
专题：竖直平面内的圆周运动
专题：竖直平面内的圆周运动 教学名称：专题：竖直平面内的圆周运动 教学班级：高三（1）班 教学时间：2007 年11 月5 教学目标: 1掌握向心力、向心加速度的有关知识，理解向心力、向心加速度的概念 3、熟练应用向心力、向心加速度的有关公式分析和计算有关冋题 重点难点： 1. 重点：理解向心力、向心加速度的概念并会运用它们解决实际问题 2. 难点：熟练应用向心力、向心加速度的有关公式分析和计算有关问题。 教学过程 一、引入 圆周运动是一种最常见的曲线运动，与日常生活联系密切，对圆周运动的考查主要表现在两个方面：一是对线速度、角速度、向心加速度等概念的理解和它们之间关系的运用；二是对向心力的分析，特别是与牛顿运动定律、动能定理、动量守恒定律等规律综合在一起考查?题型既有选择题，又有计算题,难度一般中等或中等以上?主要表现为对竖直平面内的变速圆周运动的考查 二、知识再现 竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，对于物体在竖直平面内做变 速圆周运动的问题，中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的情况，并且经常出现临界状态? 1、如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况： ①临界条件：小球达最高点时绳子的拉力（或轨道的弹力）刚好等于零，小球的 v N m mg r ③不能过最高点的条件：VVV临界（实际上小球还没有到最高点就已脱离了轨道） 2、如图所示，有物体支持的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况： ②能过最高点的条件：v > v临界.此时小球对轨道有压力或绳对小球有拉力 上式中的v临界是小球通过最高点的最小速度，通常叫临界速度, v临界=.rg . 2 重力提供其做圆周运动的向心力，即 2 mv 临界 mg= r
竖直平面内的圆周运动 绳 杆模型 学校学案
竖直平面内的圆周运动（绳、杆模型）学习目标： 1、加深对向心力的认识，会在绳、杆两类问题中分析向心力的来源。 2、知道两类问题的“最高点”、“最低点”临界条件。 注意知识点： 1、对于物体在竖直平面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运动，该类运动常有临界问题，并伴有“最大”、“最小”、“刚好”等词语，常分析两种模型：绳模型、杆模型。两种模型过最高点的临界条件不同，其实质原因主要是： （1）“绳”（或圆轨道内侧）不能提供支撑力，只能提供拉力。 （2）“杆”（或在圆环状细管内）既能承受压力，又能提供支撑力。 一、绳模型： 如图所示小球在细绳的约束下，在竖直平面内做圆周运动，小球质量为m，绳长为R，1、在最低点时，对小球受力分析，小球受到重力、绳 的拉力。由牛顿第二定律得：向心力由重力mg和拉力 F的合力提供： F-mg =2v m R 得：F =mg+2v m R
在最低点拉力大于重力 2、在最高点时，我们对小球受力分析如图，小球受到 重力、绳的拉力。可知小球做圆周运动的向心力由重力 mg和拉力F共同提供： F+mg =2v m R 在最高点时，向心力由重力和拉力共同提供， v越大，所需的向心力越大，重力不变，因此大力就越大；反过来，v越小，所需的向心力越小，重力不变，因此拉力也就越小。如果v不断减小，那么绳的拉力就不断减小，在某时刻绳的拉力F 就会减小到0，这时小球的向心力最小F 向 =mg，这时只有重力提供向心力。故：（1）小球能过最高点的临界条件：绳子（或轨道）对小球刚好没有力的作用 ，只有重力提供向心力，小球做圆周运动刚好能过最高点。 mg =2v m R v 临界 =Rg （2）小球能过最高点条件：v≥Rg （当v >Rg时，绳对球产生拉力或轨道对球产生压力，向心力由重力和绳的拉力共同提供） （3）不能过最高点条件：v 高中物理--竖直平面内的圆周运动问题
B A 6122 --图6121 --图 专题二：竖直平面内的圆周运动的综合问题 【学习目标】 1. 了解竖直平面内的圆周运动的特点． 2. 了解变速圆周的运动物体受到的合力产生的两个效果，知道做变速圆周运动的物体受到的合力不指向圆心． 3. 掌握处理变速圆周运动正交分解的方法． 4. 学会用能量观点研究竖直平面内圆周运动． 【教材解读】 1. 竖直平面内的圆周运动的特点 竖直平面内的圆周运动分为匀速圆周运动和变速圆周运动两种．常见的竖直平面内的圆周运动是物体在轨道弹力（或绳、杆的弹力）与重力共同作用下运动，多数情况下弹力（特别是绳的拉力与轨道的弹力）方向与运动方向垂直对物体不做功，而重力对物体做功使物体的动能不断变化，因而物体做变速圆周运动．若物体运动过程中，还受其他力与重力平衡，则物体做匀速圆周运动． 2. 变速圆周运动所受合外力产生两个效果 做变速圆周运动的物体受到的合力不指向圆心(图6-12-1)，它产生两个方向的效果． 12F F F ????????→?????????→?? 合产生向心加速度产生切线方向加速度半径方向的分力改变速度的方向切线方向的分力改变速度的大小 因此变速圆周运动的合外力不等于向心力，只是在半径方向的分力F 1提供向心力． 3. 变速圆周运动中的正交分解 应用牛顿运动定律解答圆周运动问题时，常采用正交分解法，其坐标原点是做圆周运动的物体（视为质点）所在的位置，建立相互垂直的两个坐标轴：一个沿法线（半径）方向，法线方向的合力F 1改变速度的方向；另一个沿切线方向，切线方向的合力F 2改变速度的大小．（想一想，图 6-12-1中物体的速度在增大还是减小？） 4. 处理竖直平面内圆周运动的方法 如前所述，通常情况下，由于弹力对物体不做功，只有重力（或其他力）对物体做功，因此，运用能量观点（动能定理、机械能守恒定律）和牛顿运动定律相结合是解决此类问 题的有效方法．另外要注意在不同约束条件下物体能完成圆周运动的条件不同：在绳（或沿圆轨道内侧运动）的约束下，最高点速度v ≥度v ≥ 0． 【案例剖析】 例1．如图6-12-2所示，质量为m 的小球自半径为R 的光滑半 圆形轨道最高点A 处由静止滑下，当滑至最低点B 时轨道对小球的 支持力是多大？ 解析：小球下滑过程中轨道对小球的弹力不做功，只有重力对
竖直平面内的圆周运动的几类问题
竖直平面内圆周运动的几类问题【关键词】：竖直平面圆周运动向心力 【摘要】：竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周运动(带电粒子在匀强磁场中运动除外)，运动的速度大小和方向在不断发生变化，运动过程复杂，合外力不仅要改变运动方向，还要改变速度大小。 竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周运动(带电粒子在匀强磁场中运动除外)，运动的速度大小和方向在不断发生变化，运动过程复杂，合外力不仅要改变运动方向，还要改变速度大小。解圆周运动问题的基本步骤：1.确定作圆周运动的物体作为研究对象。2.确定作圆周运动的轨道平面、圆心位置和半径。3.对研究对象进行受力分析。 4.运用平行四边形定则或正交分解法（取向心加速度方向为正方向）求出向心力F。 5.根据向心力公式，选择一种形式列方程求解。下面是我结合实例浅谈竖直平面内的圆周运动的几类问题： 一、最高点、最低点问题（如图） 竖直平面内的圆周运动最高点、最低点问题都是竖直方向的各力的合力提供向心力的情况。其中最低点问题如上图Ａ，轨道对球的支持力和球的重力的合力提供给球做圆周所需的向心力，即 ；而最高点问题相对复杂点，我把它分成以下几种：
(一)、汽车过拱桥模型（如图） 例：汽车质量为1000kg, 拱形桥的半径为10m ，(g=10m/s2)则（1）当汽车以5m/s 的速度通过桥面最高点时，对桥的压力是多大？（2）如果汽车以10m/s 的速度通过桥面最高点时，对桥的压力又是多大呢？ 分析：（1）汽车受力分析如图所示,分析可得 r v m N mg 2 =-，即 N 7500)N 105-(1010002 2=?=-=r v m mg N ；（2）当汽车以10m/s 的速度通过桥面最高点时，汽车对桥面的压力N=0，汽车达到最大安全速度，此时仅有重力提供向心力。 对上例最高点汽车受力分析可知，车在竖直方向上受到支持力和重力作用，取向心加速度方向为正方向，有 ，当速度ν增大时，向心力增大，故Ｎ要减小，直到Ｎ=０，速度ν增到了最大值，即仅有重力提供向心力 ， 。因此，汽车过拱桥模型有个最 大速度(临界状态)，如果速度大于 ，那么汽车将飞离桥面，做离心运动。 (二)、绳球模型 （如图）
竖直平面内的圆周运动绳、杆模型)学校学案
竖直平面内的圆周运动杆模型） 学习目标： 1、加深对向心力的认识，会在绳、杆两类问题中分析向心力的来源。 2、知道两类问题的“最高点”、“最低点”临界条件。 注意知识点： 1、对于物体在竖直平面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运动，该类运动常有临界问题，并伴有 “最大”、“最小”、“刚好”等词语，常分析两种模型：绳模型、杆模型。两种模型过最高点的临界 条件不同，其实质原因主要是： （1）“绳”（或圆轨道内侧）不能提供支撑力，只能提供拉力。 （2）“杆”（或在圆环状细管内）既能承受压力，又能提供支撑力。 一、绳模型：如图所示小球在细绳的约束下，在竖直平面内做圆周运动，小球质量为 1、在最低点时，对小球受力分析，小球受到重力、绳的拉力。由牛顿第二定律得：向心力由重力mg和拉力F的合力提供： 2 2 F-mg=m V得：F =mg+m—R R 在最低点拉力大于重力 2、在最高点时，我们对小球受力分析如图，小球受到重力、绳的拉 力。可知小球做圆周运动的向心力由重力mg和拉力F共同提供： 2 F+mg= m —R 在最高点时，向心力由重力和拉力共同提供，v越大，所需的向心力越大，重力不变，因此大 力就越大；反过来，v越小，所需的向心力越小，重力不变，因此拉力也就越小。如果v不断减小，那么绳的拉力就不断减小，在某时刻绳的拉力F就会减小到0，这时小球的向心力最小F向=mg,这时 只有重力提供向心力。故： （1）小球能过最高点的临界条件：绳子（或轨道）对小球刚好没有力的作用，只有重力提供向心力，小球做圆周运动刚好能过最高点。 2 __________________________ mg= m - v临界=..』Rg R （2 ）小球能过最高点条件：-> .Rg （当-> ,Rg时，绳对球产生拉力或轨道对球产生压力，向心力由重力和绳的拉力共同提供） （3）不能过最高点条件：v < ■ Rg （实际上球还没有到最高点时，就脱离了轨道） 二、杆模型： m绳长为R, 如图，小球在轻杆的约束下在竖直平面内做匀速圆周运动，小球质量为1、在最低点时，对小球受力分析，向心力的来源是向心力由重力 2 合力提供，由牛顿第二定律得：F+mg= m R m杆长为R, mg和拉力F的 在最低点情况和绳模型一样 2、在最高点时，我们对小球受力分析如图，杆的弹力F N有可能是拉力，也可能是支持力。
竖直平面内的圆周运动(绳、杆模型)学校学案
竖直平面内的圆周运动（绳、杆模型） 学习目标： 1、加深对向心力的认识，会在绳、杆两类问题中分析向心力的来源。 2、知道两类问题的“最高点”、“最低点”临界条件。 注意知识点： 1、对于物体在竖直平面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运动，该类运动常有临界问题，并伴有“最大”、“最小”、“刚好”等词语，常分析两种模型：绳模型、杆模型。两种模型过最高点的临界条件不同，其实质原因主要是： （1）“绳”（或圆轨道内侧）不能提供支撑力，只能提供拉力。 （2）“杆”（或在圆环状细管内）既能承受压力，又能提供支撑力。 一、绳模型： 如图所示小球在细绳的约束下，在竖直平面内做圆周运动，小球质量为m ，绳长为R ， 1、在最低点时，对小球受力分析，小球受到重力、绳的拉力。由牛 顿第二定律得：向心力由重力mg 和拉力F 的合力提供： F-mg =2v m R 得：F =mg+2 v m R 在最低点拉力大于重力 2、在最高点时，我们对小球受力分析如图，小球受到重力、绳的拉 力。可知小球做圆周运动的向心力由重力mg 和拉力F 共同提供： F+mg =2 v m R 在最高点时，向心力由重力和拉力共同提供， v 越大，所需的向心力越大，重力不变，因此大力就越大；反过来，v 越小，所需的向心力越小，重力不变，因此拉力也就越小。如果v 不断减小，那么绳的拉力就不断减小，在某时刻绳的拉力F 就会减小到0，这时小球的向心力最小F 向=mg ，这时只有重力提供向心力。故： （1）小球能过最高点的临界条件：绳子（或轨道）对小球刚好没有力的作用 ，只有重力提供向心力，小球做圆周运动刚好能过最高点。 mg =2 v m R v 临界=Rg （2）小球能过最高点条件：v ≥ Rg （当v >Rg 时，绳对球产生拉力或轨道对球产生压力，向心力由重力和绳的拉力共同提供） （3）不能过最高点条件：v 必修2 竖直平面内的圆周运动习题(带答案)
1 竖直平面内的圆周运动 【例题1】如图所示，一质量为0.5kg 的小球，用0.4m 长的细线拴住在竖面内作圆周运动，求： （1）当小球在圆上最高点速度为4m/s 时，细线的拉力是多少？ （2）当小球在圆上最低点的速度为24m/s 时，细线的拉力是多少？（g=10m/s 2 ） 练1、把盛水的水桶拴在长为L 的绳子一端，使这水桶在竖直平面做圆周运动，要使水在水桶转到最高点时不从桶里流出来，这时水桶的线速度至少应该是 ( ) A. gl 2 B. 2/gl C. gl D. 0 练2、用长为L 的细线拴一个小球使其绕细线的一端在竖直平面内做圆周运动，当球通过圆周的最高点时，细线受到的拉力等于球重的2倍，已知重力加速度为g ，则球此时的速度大小为 ，角速度大小为 ，加速度大小为 。 【例题2】长度为0．5m 的轻质细杆OA ，A 端有一质量为 3kg 的木球，以O 点为圆心，在竖直面 内作圆周运动，如图所示，小球通过最高点的速度为 2m/s ，取g = 10 m/s 2 ，则此时球对轻杆的 力大小是 ，方向向 。 练3：如图所示，长为L 的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球 在竖直平面内作圆周运动，关于小球在最高点的速度v 0下列说法中正确的是 A ．v B ．v 由零逐渐增大，向心力也逐渐增大 C ．当v D ．当v 课堂练习： 1. 长度均为L 的轻杆和轻绳一端固定在转轴上, 另一端各系一个质量为m 的小球, 它们各自在竖直平面内恰好做圆周运动, 则小球运动到最低点时, 杆、绳所受拉力之比为（ ） A. 5 : 6 B. 1 : 1 C. 2 : 3 D. 1 : 2 2、（多选）如图11，轻杆的一端与小球相连接，轻杆另一端过O 轴在竖直平面内做圆 周运动。当小球达到最高点A 、最低点B 时，杆对小球的作用力可能是： A. 在A 处为推力，B 处为推力 B. 在A 处为拉力，B 处为拉力 C. 在A 处为推力，B 处为拉力 D. 在A 处作用力为零，在B 处作用力不为零 3. 长为L 的轻绳一端系一质量为m 的物体, 另一端被质量为M 的人用手握住. 人站在水平地面上, 使物体在竖直平面内作圆周运动, 物体经过最高点时速度为v , 则此时人对地面的压力为（ ） A. ( M + m )g － m v 2L B. ( M + m )g + m v 2L C. M g + m v 2L D. ( M － m )g － m v 2L 4．一轻杆一端固定一质量为m 的小球，以另一端O 为圆心，使小球在竖直平面内做半径为R 的圆周运动，以下说法正确的是（ ） A 、小球过最高点时，杆所受的弹力可以为零 B 、小球过最高点时最小速度为gR C 、小球过最高点时，杆对球的作用力可以与球所受重力方向相反， 此时重力一定大于杆对球的作用力 D 、小球过最高点时，杆对球的作用力一定与小球所受重力方向相反
竖直平面内圆周运动的临界问题及应用
五、竖直平面内的圆周运动 竖直平面内的圆周运动是典型的变速运动，高中 阶段只分析通过最高点和最低点的情况，经常考查临 界状态，其问题可分为以下两种模型. 一、两种模型 模型1：“轻绳类” 绳对小球只能 产生沿绳收缩方向 的拉力(圆圈轨道问 题可归结为轻绳 类)，即只能沿某一 个方向给物体力的作用，如图1、图2所示，没有物体 支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况： (1)临界条件：在最高点，绳子(或圆圈轨道)对小球没 有力的作用，v gR = (2)小球能通过最高点的条件：v gR ≥，当v gR >时 绳对球产生拉力，圆圈轨道对球产生向下的压力. (3)小球不能过最高点的条件：v gR <，实际上球还 没到最高点就脱离了圆圈轨道，而做斜抛运动. 模型2：“轻杆类” 有物体支撑的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点 的情况，如图3所示，(小球在圆环轨道内做圆周运动 的情况类似“轻杆类”， 如图4所示，)： (1)临界条件：由于硬杆 和管壁的支撑作用，小 球恰能到达最高点的临 界速度0 v= (2)小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况： ①当0 v=时，轻杆对小球有竖直向上的支持力N，其 大小等于小球的重力，即N mg =； ②当0v gR <<时，因 2 v mg N m R -=,则 2 v N mg m R =-. 轻杆对小球的支持力N竖直向上，其大小随速度的增大而减小，其取值范围是0 mg N >>． ③当v gR =时，0 N=；④当v gR >时，则 2 v mg N m R +=，即 2 v N m mg R =-，杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大，注意杆与绳不同，在最高点，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力，还可对球的作用力为零. 小结如果小球带电，且空间存在电磁场时，临界条件应是小球重力、电场力和洛伦兹力的合力作为向心力，此时临界速度v≠gR(应根据具体情况具体分析)．另外，若在月球上做圆周运动则可将上述的g换 成g 月 ，若在其他天体上 则把g换成g 天体 . 二、两种模型的应用 【例1】如图5所示，质 量为m的小球从光滑的斜面轨道的A点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R的竖直圆形轨道的最高点B 而做圆周运动，问A点的高度h至少应为多少 【解析】此题属于“轻绳类”，其中“恰能”是隐含条件，即小球在最高点的临界速度是v Rg = 临界 ，根据机械能守恒定律得2 1 2 2 mgh mg R mv =?+ 临界 把v Rg = 临界 代入上式得： min 5 2 h R =． 【例2】如图6所示，在竖直向下的匀强电场中，一个带负电q、质量为m且重力大于所受电场力的小球，从光滑的斜面轨道的A点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R的竖直圆形轨道的最高点B而做圆周运动，问A点的高度h至少应为多少？ 【解析】此题属于 “轻杆类”，带电小 球在圆形轨道的最 高点B受到三个力 作用:电场力 F qE =，方向竖直向 上；重力mg；弹力N，方向竖直向下．由向心力公式， 图1 图2 图3 图4 图5 图6
教案《竖直平面内的圆周运动实例分析》
课题：竖直平面内的圆周运动实例分析 授课班级：高一14班授课时间：2016年4月12日 授课教师：罗华权 三维目标： 一、知识与技能 1、了解竖直平面内的圆周运动的特点； 2、会分析汽车过凸形桥最高点和凹形桥最低点的受力情况； 3、会分析轻杆、轻绳、管道内的小球做圆周运动在最高点、最低点的受力情况； 4、掌握轻杆、轻绳、管道内的小球做圆周运动的临界条件。 二、过程与方法 1、通过对圆周运动的实例分析，渗透理论联系实际的观点，提高学生的分析和解决问题的 能力。 2、通过对匀速圆周运动的规律也可以在变速圆周运动中使用，渗透特殊性和一般性之间的 辨证关系，提高学生的分析能力。 3、运用启发式问题探索教学方法，激发学生的求知欲和探索动机；锻炼学生观察、分析、 抽象、建模的解决实际问题的方法和能力。 三、情感态度与价值观 1、通过对几个实例的分析，使学生养成仔细观察、善于发现、勤于思考的良好习惯，明确 具体问题必须具体分析； 2、激发学生学习兴趣，培养学生关心周围事物的习惯； 3、养成良好的思维表述习惯和科学的价值观。 教学重点： 1、分析汽车过凸形桥最高点和凹形桥最低点的受力情况； 2、分析轻绳、圆环内侧轨道、轻杆的小球做圆周运动在最高点、最低点的受力情况。 教学难点： 轻绳、圆环内侧轨道、轻杆等模型中的小球在竖直平面内做圆周运动的临界条件及应用。 教学方法： 讲授、分析、推理、归纳 教学用具： 过山车模型、水流星、多媒体课件等 课时安排： 1课时 教学过程： 上节课我们对生活中常见的匀速圆周运动进行了实例分析。知道分析和研究匀速圆周运动的问题，关键是把向心力的来源弄清楚，然后再结合牛顿第二定律解决相关具体问题。这节课我们将进一步学习竖直平面内的变速圆周运动，生活中有哪些常见的竖直平面内的圆周运动呢？ 一、汽车过凹凸桥 1. 汽车过凸形桥的最高点 公路上的拱形桥是常见的，汽车过桥时的运动也可看做圆周运动。
竖直平面内的圆周运动规律总结
竭诚为您提供优质文档/双击可除竖直平面内的圆周运动规律总结 篇一：竖直平面内的圆周运动及实例分析 竖直平面内的圆周运动及实例分析 竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周运动(带电粒子在匀强磁场中运动除外)，运动的速度大小和方向在不断发生变化，运动过程复杂，合外力不仅要改变运动方向，还要改变速度大小，所以一般不研究任意位置的情况，只研究特殊的临界位置──最高点和最低点。 一、两类模型——轻绳类和轻杆类1．轻绳类。运动质点在一轻绳的作用下绕中心点作变速圆周运动。由于绳子只能提供拉力而不能提供支持力，质点在最高点所受的合力不能为零，合力的最小值是物体的重力。所以：（1）质点过最高点的临界条件：质点达最高点时绳子的拉力刚好为零，质点在最高点的向心力全部由质 点的重力来提供，这时有通过最高点的条件是，式中的是小球通过最高点的最小速度，叫临界速度；（2）质点能；（3）当质点的速度小于这一值时，质点运动不到最高点高
作抛体运动了； ，质点才能运动过最高点；（5）过最（4）在只有重力 做功的情况下，质点在最低点的速度不得小于 高点的最小向心加速度。 2．轻杆类。运动质点在一轻杆的作用下，绕中心点作 变速圆周运动，由于轻杆能对质点提供支持力和拉力，所以质点过最高点时受的合力可以为零，质点在最高点可以处于平衡状态。所以质点过最高点的最小速度为零， （1）当时，轻杆对质点有竖直向上的支持力，其大小 等于质点的重力，即；（2）当 时， ；（3）当 而增大；（4）当 随的增大而减小，，质点的重力不足以提供向心力，杆 对质点有指向圆心的拉力；且拉力随速度的增大时，质点的重力大于其所需的向心力，轻杆对质点的竖直向上的支持力，支持力；（5 ）质点在只有重力做功的情况下，最低点的速度 。 ，向心加速度的表达，才能运动到最高点。过最高点的最小向心加速度过最低点时，轻杆和轻绳都只能提供拉力，向心力的表达式相同，即
竖直面圆周运动的绳球,杆球模型
（1）绳球模型（外轨道模型）：如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况： ①临界条件：小球达最高点时绳子的拉力（或轨道的弹力）刚好等于零，小球的重力提 供其做圆周运动的向心力，即 r mv mg 2 临界 =?rg = 临界 υ（ 临界 υ是小球通过最高点的最小速度，即临界速度）。 ②能过最高点的条件： 临界 υ υ≥。此时小球对轨道有压力或绳对小球有拉力 m g r v m N- = 2 ③不能过最高点的条件： 临界 υ υ<（实际上小球还没有到最高点就已脱离了轨道）。 （2）杆球模型（双层轨道模型）：如图所示，有物体支持的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况： ①临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能达到最高点的临界速度0 = 临界 υ。 ②图（a）所示的小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况是： 当v=0时，轻杆对小球有竖直向上的支持力N，其大小等于小球的重力，即N=mg； 当0N>0。 当rg = υ时，N=0； 当v>rg时，杆对小球有指向圆心的拉力m g r v m N- = 2 ，其大小随速度的增大而增大。 ③图（b）所示的小球过最高点时，光滑硬管对小球的弹力情况是： G F
当v=0时，管的下侧内壁对小球有竖直向上的支持力，其大小等于小球的重力，即N=mg 。 当0N>0。 当v=gr 时，N=0。 当v>gr 时，管的上侧内壁对小球有竖直向下指向圆心的压力m g r v m N -=2 ，其大小随速度的增大而增大。 ④图(c)的球沿球面运动，轨道对小球只能支撑，而不能产生拉力。在最高点的v 临界=gr 。当v=gr 时，小球将脱离轨道做平抛运动
