江苏省2014届高三数学一轮复习考试试题精选(1)分类汇编14：解析几何

江苏省2014届高三数学一轮复习考试试题精选（1）分类汇编14：解析几何

一、填空题

1 ．（江苏省扬州中学2014届高三开学检测数学试题）已知实数0p >，直线3420x y p -+=与抛物线

2

2x py =和圆2

2

2()24p p x y +-=从左到右的交点依次为,A B C D 、、、则

AB CD

的值为 ▲ ． 【答案】

1

16

2 ．（江苏省淮安市车桥中学2014届高三9月期初测试数学试题）如果圆x 2

+y 2

-2ax-2ay+2a 2

-4=0与圆x 2

+y 2

=4

总相交,则a 的取值范围是___.

【答案】00a a -<<<<或

3 ．（江苏省常州市武进区2014届高三上学期期中考试数学(理)试题）若实数x 、y 满足()2

2

2x y x y +=+,

则x y +的最大值是_________.

【答案】4

4 ．（江苏省无锡市市北高中2014届高三上学期期初考试数学试题）椭圆中有如下结论:椭圆22221x y a b

+=上斜率

为1的弦的中点在直线0b

y a x 22=+上,类比上述结论得到正确的结论为:双曲线22

221x y a b -=上斜率为1的弦的

中点在直线_______________上.

【答案】

22x y

a b -=

5 ．（江苏省泰州中学2014届第一学学期高三数学摸底考试）设中心在原点的双曲线与椭圆+y 2

=1有公共的

焦点,且它们的离心率互为倒数,则该双曲线的方程是__________. 【答案】2x 2﹣2y 2

=1

6 ．（江苏省连云港市赣榆县清华园双语学校2014届高三10月月考数学试题）我们把形如

()0,0b

y a b x a

=

>>-的函数称为“莫言函数”,并把其与y 轴的交点关于原点的对称点称为“莫言点”,以“莫言点”为圆心,凡是与“莫言函数”图象有公共点的圆,皆称之为“莫言圆”.当1=a ,1=b 时,在所有的“莫言圆”中,面积的最小值______. ) 【答案】π3.

7 ．（江苏省无锡市2014届高三上学期期中调研考试数学试题）直线1y kx =+与圆2

2

(3)(2)9x y -+-=相

交于A B 、两点,若4AB >,则k 的取值范围是____________________.

【答案】1

(,2)2

-

8 ．（江苏省连云港市赣榆县清华园双语学校2014届高三10月月考数学试题）设F 是椭圆x 2a 2+y 2

b

2=1(a >b >0)右焦

点,A 是其右准线与x 轴的交点.若在椭圆上存在一点P ,使线段PA 的垂直平分线恰好经过点F ,则椭圆离心率的取值范围是 ___________.]

【答案】[12

,1)

9 ．（江苏省南京市第五十五中学2014届高三上学期第一次月考数学试题）抛物线2

12y x =-的准线与双曲

线22

193

x y -=的两条渐近线所围成的三角形的面积等于

(A) (B)2

【答案】A

10．（江苏省苏州市2014届高三暑假自主学习测试（9月）数学试卷）已知双曲线2

2

1(0)y x m m

-=>的离心率

为2,则m 的值为 ______. 【答案】3

11．（江苏省诚贤中学2014届高三上学期摸底考试数学试题）若双曲线2

2

1y x k

-=的焦点到渐近线的距离为

则实数k 的值是________.

【答案】8

12．（江苏省宿迁市2014届高三上学期第一次摸底考试数学试卷）已知双曲线22

221(00)x y a b a b

-=＞＞，的左、

右焦点分别为12F F ，,以12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P .若1230PF F ∠=

,则该双曲线的离心率为______.

【答案】1

13．（江苏省宿迁市2014届高三上学期第一次摸底考试数学试卷）已知过点(25)，的直线l 被圆

22240C x y x y +--=：截得的弦长为4,则直线l 的方程为______.

【答案】20x -=或4370x y -+=

14．（江苏省无锡市2014届高三上学期期中调研考试数学试题）若中心在原点,以坐标轴为对称轴的圆锥曲线

C ,,且过点(2,3),则曲线C 的方程为________.

【答案】2

2

5x y -=

15．（江苏省苏州市2014届高三暑假自主学习测试（9月）数学试卷）已知P 是直线l :40(0)

kx y k ++=>上一动点,PA ,PB 是圆C :22

20x y y +-=的两条切线,切点分别为A ,B .若四边形PACB 的最小面积为2,则k =______.

【答案】2

16．（江苏省南京市2014届高三9月学情调研数学试题）如图,已知过椭圆

的左顶点A(-a,0)

作直线1交y 轴于点P,交椭圆于点Q.,若△AOP 是等腰三角形,且

,则椭圆的离心率为____

【答案】

17．（江苏省扬州市扬州中学2014届高三10月月考数学试题）当且仅当m r n ≤≤时,两圆2

2

49x y +=与

22268250(0)x y x y r r +--+-=>有公共点,则n m -的值为______________.

【答案】10 二、解答题

18．（江苏省南京市2014届高三9月学情调研数学试题）已知椭圆C 的中心在坐标原点,右准线为x =

离心率为

3

.若直线y=t(t>o)与椭 圆C 交于不同的两点A,B,以线段AB 为直径作圆M. (1)求椭圆C 的标准方程;

(2)若圆M 与x 轴相切,求圆M 被直线10x +=截得的线段长.

【答案】

19．（江苏省泰州中学2014届第一学学期高三数学摸底考试）给定圆P :2

2

2x y x +=及抛物线S :2

4y x =,

过圆心P 作直线l ,此直线与上述两曲线的四个交点,自上而下顺次记为A B C D 、、、,如果线段

AB BC CD 、、的长按此顺序构成一个等差数列,求直线l 的方程.

【答案】解:圆P 的方程为()2

2

11x y -+=,则其直径长2B C =,圆心为

()1,0P ,设l 的方程为1ky x =-,即1x ky =+,

代入抛物线方程得:2

44y ky =+,设()()1122,, ,A x y D x y ,

有121244

y y k

y y +=??

=-?,则222121212()()416(1)y y y y y y k -=+-=+.

故22

2

2

2

2

212

121212||()()()()4

y y AD y y x x y y -=-+-=-+ 22

221212()[1(

)]16(1)4

y y y y k +=-+=+,因此2||4(1)AD k =+ 据等差,2BC AB CD AD BC =+=-,

所以36AD BC ==,即()

2

416k +=,2

k =±

, x

y

o A

B

C

D

P

即:l

y

-=

y

+-=

20．（江苏省扬州市扬州中学2014届高三10月月考数学试题）已知椭圆:

22

22

:1(0)

x y

C a b

a b

+=>>的离心

率为

2,一条准线:2

l x=.

(1)求椭圆C的方程;

(2)设O为坐标原点,M是l上的点,F为椭圆C的右焦点,过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于P Q

、两点.

①若6

PQ=,求圆D的方程;

②若M是l上的动点,求证:P在定圆上,并求该定圆的方程.

【答案】解:(1)由题设

:

2

2

c

a

a

c

?

=

??

?

?=

??

,

1

a

c

?=

?

∴?

=

??

,2221

b a c

∴=-=,

? 椭圆C的方程为:

2

21 2

x

y

+=

? (2)①由(1)知:(1,0)

F,设(2,)

M t,

则圆D的方程:

2

22

(1)()1

24

t t

x y

-+-=+, 直线PQ的方程:220

x ty

+-=

, PQ

∴=

∴=,

24

t

∴=,2

t

∴=±

∴圆D的方程:22

(1)(1)2

x y

-+-=或22

(1)(1)2

x y

-++=

②解法(一):设

00

(,)

P x y,

由①知:

2

22

00

00

(1)()1

24

220

t t

x y

x ty

?

-+-=+

?

?

?+-=

?

,即:

22

0000

00

20

220

x y x ty

x ty

?+--=

?

?

+-=

??

,

消去t得:22

00

x y

+=2,∴点P在定圆22

x y

+=2上.

解法(二):设

00

(,)

P x y,则直线FP的斜率为0

1

FP

y

k

x

=

-

,

∵FP⊥OM,∴直线OM的斜率为0

1

OM

x

k

y

-

=-,

∴直线OM 的方程为:00

1

x y x y -=-

, 点M 的坐标为00

2(1)

(2,)x M y --

. ∵MP ⊥OP ,∴0OP MP ?= , ∴000002(1)

(2)[]0x x x y y y ?

--++

= ,∴2200x y +=2,∴点P 在定圆22x y +=2上. 21．（江苏省梁丰高级中学2014届第一学期阶段性检测一）如图:一个城市在城市改造中沿市内主干道国泰路

修建的圆形广场圆心为O,半径为100m ,其与国泰路一边所在直线l 相切于点M,A 为上半圆弧上一点,过点A 作l 的垂线,垂足为B.市园林局计划在ABM ?内进行绿化,设ABM ?的面积为S(单位:2

m )

(1)以θ=∠AON 为参数,将S 表示成θ的函数;

(2)为绿化面积最大,试确定此时点A 的位置及面积的最大值.

【答案】

22．（江苏省南京市第五十五中学2014届高三上学期第一次月考数学试题）已知A 为椭圆

)0(122

22>>=+b a b y a x 上的一个动点,弦AB 、AC 分别过焦点F 1、F 2,当AC 垂直于x 轴时,恰好有13||||21：：=.

(Ⅰ)求椭圆离心率;

(Ⅱ)设F AF B F AF 222111λλ==,试判断21λλ+是否为定值?若是定值,求出该定值并证明;若不

O

国 泰 路

B M l A

N

是定值,请说明理由.

【答案】解:(Ⅰ)当AC 垂直于x 轴时,a b 22||=,13||||21：：=,∴a

b 2

13||=

∴a a

b 242=,∴222b a =,∴22

c b =,故22

=

e . (Ⅱ)由(Ⅰ)得椭圆的方程为2

2

2

22b y x =+,焦点坐标为)0,(),0,(21b F b F -.

①当弦AC 、AB 的斜率都存在时,设),(),,(),,(221100y x C y x B y x A ,则AC 所在的直线方程为

)(00

b x b

x y y --=

, 代入椭圆方程得0)(2)23(2

02

002

02

=--+-y b y b x by y bx b .

∴022

22023bx b y b y y --=,

F AF 222λ=,b x b y y 020223-=-=

λ.同理b

x b 0

123+=λ,∴621=+λλ ②当AC 垂直于x 轴时,则b

b

b 23,112+=

=λλ,这时621=+λλ; 当AB 垂直于x 轴时,则5,121==λλ,这时621=+λλ. 综上可知21λλ+是定值 【D 】6．

23．（江苏省苏州市2014届高三暑假自主学习测试（9月）数学试卷）已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的长轴

两端点分别为A ,B ,000(,)(0)P x y y >是椭圆上的动点,以AB 为一边在x 轴下方作矩形ABCD ,使

(0)AD kb k =>,PD 交AB 于点E ,PC 交AB 于点F .

(Ⅰ)如图(1),若k =1,且P 为椭圆上顶点时,PCD ?的面积为12,点O 到直线PD 的距离为6

5

,求椭圆的方程;

(Ⅱ)如图(2),若k =2,试证明:AE ,EF ,FB 成等比数列.

图(1) 图(2)

【答案】解:(Ⅰ)如图,当k =1时,CD 过点(0,-b ),CD =2a ,

∵

PCD ?的面积为12,∴1

22122

a b ??=,即6ab =.①

此时D (-a ,-b ),∴直线PD 方程为20bx ay ab

-+=.

∴点O 到PD 的距离d =

6

5

. ② 由①②解得3,2a b ==

∴所求椭圆方程为22

194

x y +=

(Ⅱ)如图,当k =2时,(,2),(,2)C a b D a b ---,设12(,0),(,0)E x F x

,

由D ,E ,P 三点共线,及1(,2)DE x a b =+ ,00(,2)DP x a y b =++

(说明:也可通过求直线方程做)

得100()(2)2()x a y b b x a ++=?+, ∴0102()2b x a x a y b ?++=

+,即002()

2b x a AE y b

?+=+

由C ,F ,P 三点共线,及2(,2)CF x a b =-

,

00(,2)CP x a y b =-+

得200()(2)2()x a y b b x a -+=?-, ∴0202()2b a x a x y b ?--=

+,即002()

2b a x FB y b

?-=+

又22

00221x y a b

+=,∴222220022

004()4(2)(2)b a x a y AE FB y b y b ?-?==++ 而00000002()2()242222222b x a b a x ay ab

EF a AE FB a a y b y b y b y b

?+?-=--=-

-=-=

++++ ∴2EF AE FB =?,即有AE ,EF ,FB 成等比数列

24．（江苏省扬州中学2014届高三开学检测数学试题）如图，已知椭圆14

:22

=+y x C 的上、下顶点分别为

B A 、，点P 在椭圆上，且异于点B A 、，直线BP AP 、与直线2:-=y l 分别交于点N M 、，

（Ⅰ）设直线BP AP 、的斜率分别为1k 、2k ，求证：21k k ?为定值； （Ⅱ）求线段MN 的长的最小值；

（Ⅲ）当点P 运动时，以MN 为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．

【答案】解（Ⅰ）)1,0(A ，)1,0(-B ，令),(00y x P ，则由题设可知00≠x ，

∴ 直线AP 的斜率0011x y k -=

，PB 的斜率0

021

x y k +=，又点P 在椭圆上，所以 P

14

2

02

0=+y x ，（00≠x ），从而有411112

020000021-=-=+?-=x y x y x y k k 。 （Ⅱ）由题设可以得到直线AP 的方程为)0(11-=-x k y ， 直线BP 的方程为)0()1(2-=--x k y ，

由?????-=-=????-==-232111y k x y x k y ， 由??

??

?

-=-=????-==+2

12122

y k x y x k y ， ∴直线AP 与直线l 的交点?

??

?

??--2,31k N ，直线BP 与直线l 的交点???? ??--2,12k M 。 又4

1

21-

=k k ，2113||k k MN -=∴34||4||32||4||343111111=?≥+=+=k k k k k k ，

等号当且仅当

||4|

|3

11k k =时取到，即231±

=k ，故线段MN 长的最小值是34。

25．（江苏省苏州市2014届高三暑假自主学习测试（9月）数学试卷）在平面直角坐标系xOy 中,已知曲线C

上任意一点到点1

(0,)2M 的距离与到直线1

2

y =-的距离相等. (Ⅰ)求曲线C 的方程;

(Ⅱ)设11(,0)A x ,22(,0)A x 是x 轴上的两点1212(0,0)x x x x +≠≠,过点12,A A 分别作x 轴的垂线,与曲线C 分别交于点12,A A '',直线12A A ''与x 轴交于点33(,0)A x ,这样就称12,x x 确定了3x .同样,可由

23,x x 确定了4x .现已知126,2x x ==,求4x 的值.

【答案】解:(Ⅰ)因为曲线C 上任意一点到点1(0,

)2M 的距离与到直线1

2

y =-的距离相等, 根据抛物线定义知,曲线C 是以点1(0,)2M 为焦点,直线1

2

y =-为准线的抛物线,

故其方程为2

2x y =

(Ⅱ)由题意知,21111(,)2A x x ',22221

(,)2

A x x ',则12

2

22121211()

1

2()2

A A x x k x x x x ''

-==+-,

故1

2

A A l '':2221211

()()22

y x x x x x -

=+- 令0y =,得

12111x x x =+,即3121111162

x x x =+=+ 同理,

4231111117

2626

x x x =+=++=, 于是467

x =

26．（江苏省淮安市车桥中学2014届高三9月期初测试数学试题）已知圆M 的方程为22(2)1x y +-=,直线l

的方程为20x y -=,点P 在直线l 上,过P 点作圆M 的切线,PA PB ,切点为,A B . (1)若?=∠60APB ,试求点P 的坐标;

(2)若P 点的坐标为(2,1),过P 作直线与圆M 交于,C D 两点,当2=

CD 时,求直线CD 的方程;

(3)经过,,A P M 三点的圆是否经过异于点M 的定点,若经过,请求出此定点的坐标;若不经过,请说明理由.

【答案】,解:(1)设(2,)P m m ,由题可知2MP =,所以2

2

(2)(2)4m m +-=,解之得:4

0,5

m m ==

, 故所求点P 的坐标为(0,0)P 或84(,)55

P .( )

(2)设直线CD 的方程为:1(2)y k x -=-,易知k 存在,由题知圆心M 到直线CD

的距离为

2

,

所以2=,( ) 解得,1k =-或17k =-,ks.5u 故所求直线CD 的方程为:30x y +-=或790x y +-=.( ) (3)设(2,)P m m ,MP 的中点(,

1)2

m

Q m +,因为PA 是圆M 的切线 所以经过,,A P M 三点的圆是以Q 为圆心,以MQ 为半径的圆, 故其方程为:2

222()(1)(1)22

m m

x m y m -+-

-=+-

化简得:0)22(22

2=-+--+y x m y y x ,此式是关于m 的恒等式,故

解得02x y =??=?或????

??

?=

=

5

254

y x 所以经过,,A P M 三点的圆必过异于点M 的定点)5

2

,54(

27．（江苏省涟水中学2014届高三上学期（10月）第一次统测数学(理)试卷）如图,已知抛物线x y 42

=的焦

点为F .过点)02(，P 的直线交抛物线于A ),(11y x ,B ),(22y x 两点,直线AF,BF 分别与抛物线交于点M,N. (1)求21y y 的值;记直线MN 的斜率为1k ,直线AB 的斜率为2k .证明:

2

1

k k 为定值

.

【答案】(1)解:依题意,设直线AB 的方程为.2+=my x

将其代入x y 42=,消去x ,整理得.0842

=--my y 从而.8-21=y y

(2)证明:设M ).,(),(4433y x N y x ，

则

.44

4

44

321212

2

212

4

2343

212

1434321y y y y y y y

y y y y y y y x x x x y y k k ++=--?--=--?--=

设直线AM 的方程为1+=ny x ,将其代入x y 42

=,消去x , 整理得0442

=--ny y .所以.431-=y y 同理可得.442-=y y 故

.4

44212

121432121-=-+-+=++=y

y y y y y y y y y k k 由(1)得，221=k k 为定值 28．（江苏省梁丰高级中学2014届第一学期阶段性检测一）已知P(4,4),圆C:)

3(5)

(22

<=+-m y m x 与椭圆E:)0(122

22>>=+b a b

y a x 有一个公共点A(3,1), 21,F F 分别是椭圆的左、右焦点,直线

1PF 与圆C 相切.

(1)求m 的值与椭圆E 的方程;

(2)设点Q 为椭圆E 上的一个动点,求AQ AP ?的取值范围. 【答案】(Ⅰ)如图,sin 100sin BM AO θθ==, cos 100100cos ,(0,)AB MO AO θθθπ=+=+∈.

则11

100sin (100100cos )22

S MB AB θθ=

?=?+ 1

5000(sin sin 2),(0,)2

θθθπ=+∈

(Ⅱ)'25000(2cos cos 1)5000(2cos 1)(cos 1)S θθθθ=+-=-+,

令'0S =,得1cos ,cos 12θθ==-(舍去),此时3

π

θ=.

所以当3

θ=

时,S 取得最大值2max S =,此时150AB m =.

答:当点A 离路边l 为150m 时,绿化面积最大,值为2.

29．（江苏省宿迁市2014届高三上学期第一次摸底考试数学试卷）在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆

22

221(0)x y C a b a b

+=＞＞：与直线()l x m m =∈R :. 四点(31)(31)-，，，，

(0)-中有三个点在椭圆C 上,剩余一个点在直线l 上. (1)求椭圆C 的方程;

(2)若动点P 在直线l 上,过P 作直线交椭圆C 于M N ，两点,使得PM PN =,再过P 作直线l MN '⊥.证明:直线l '恒过定点,并求出该定点的坐标. 【答案】解:(1)由题意有3个点在椭圆C 上, 根据椭圆的对称性,则点(31)(31)-，，，一定在椭圆C 上,

即

22

91

1a b += ①,

若点(0)-在椭圆C 上,

则点(0)-必为C 的左顶点,

而3＞

则点(0)-一定不在椭圆C 上,

故点在椭圆C 上,

点(0)-在直线l 上, 所以

2233

1a b

+= ②, 联立①②可解得212a =，24b =,

所以椭圆C 的方程为22

1124

x y +=;

(2)由(1)可得直线l

的方程为x =-

设00()(P y y -∈，, 当00y ≠时,设1122()()M x y N x y ，，，，显然12x x ≠,

联立22

1122

221124112

4x y x y ?+=????+=??，，

则222212120124x x y y --+=,即1212121213y y x x x x y y -+=-?-+, 又PM PN =,即P 为线段MN 的中点,

故直线MN

的斜率为00

13-=

, 又l MN '⊥,所以直线l '

的方程为0y y x -=+,

即y x =, 显然l '

恒过定点(0); 当00y =时,直线MN

即x =-此时l '为x

轴亦过点(0); 综上所述,l '

恒过定点(0) 30．（江苏省连云港市赣榆县清华园双语学校2014届高三10月月考数学试题）在平面直角坐标系xOy 中,设椭

圆T 的中心在坐标原点,一条准线方程为2y =,且经过点(1,0). (1)求椭圆T 的方程;

(2)设四边形ABCD 是矩形,且四条边都与椭圆T 相切. ①求证:满足条件的所有矩形的顶点在一个定圆上; ②求矩形ABCD 面积S 的取值范围.

【答案】【解】(1)因为椭圆T 的中心在坐标原点,一条准线方程为有y =2,

所以椭圆T 的焦点在y 轴上,于是可设椭圆T 的方程为x 2a 2+y 2

b

2=1(a >b >0).

因为椭圆T 经过点(1,0),

所以2

222011a

b =?+=??，，

解得2221a b ?=??=??，．

故椭圆T 的方程为2

212

y x +=.

(2)由题意知,矩形ABCD 是椭圆2

2

1y x +=的外切矩形,

①(i)若矩形ABCD 的边与坐标轴不平行,则可设一组对边所在直线的方程为(0)y kx m k =+≠, 则由2212

y x y kx m

??+=??=+?，消去y 得222(2)220k x kmx m +++-=, 于是222244(2)(2)0k m k m ?=-+-=,

化简得m =所以矩形ABCD

的一组对边所在直线的方程为y kx =

即y kx -=

则另一组对边所在直线的方程为ky x +=于是矩形顶点坐标(x ,y )满足2222()()(2)(12)y kx ky x k k -++=+++, 即2222(1)()3(1)k x y k ++=+,亦即223x y +=.

(ii)若矩形ABCD 的边与坐标轴平行,

则四个顶点(1±，显然满足223x y +=. 故满足条件的所有矩形的顶点在定圆223x y +=上.

②当矩形ABCD 的边与坐标轴不平行时,由①知,一组对边所在直线间的距离为另一组对边的边长,于是

,

=

所以S ===

令1t k k =+,

则[)22t

∈+∞，,

于是(

6S ?

==?. ②若矩形ABCD 的边与坐标轴平行,

则S =故S 的取值范围是6????.

31．（江苏省诚贤中学2014届高三上学期摸底考试数学试题）在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆

2222

1

x y a b

+=(a >b >0),其焦点在圆x 2+y 2

=1上. (1)求椭圆的方程;

(2)设A ,B ,M 是椭圆上的三点(异于椭圆顶点),且存在锐角θ,使 cos sin OM OA OB θθ=+ .

(i)求证:直线OA 与OB 的斜率之积为定值;

(ii)求OA 2+OB 2

.

【答案】解:(1)依题意,得 c =1.于是,a

b =1

所以所求椭圆的方程为2

212

x y +=

(2) (i)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则221112x y +=①,2

2

2212

x y +=②.

又设M (x ,y ),因cos sin OM OA OB θθ=+ ,故1212

cos sin ,

cos sin .x x x y y y θθθθ=+??=+?

因M 在椭圆上,故2

21212(cos sin )(cos sin )12

x x y y θθθθ+++=.

整理得22

222

212121212()cos ()sin 2()cos sin 1222

x x x x y y y y θθθθ+++++=.

将①②代入上式,并注意cos sin 0θθ≠,得 121202

x x

y y +=.

所以,12121

2

OA OB y y k k x x ==-为定值

(ii)222

2222222

121212121212

()()(1)(1)1()222

x x x x y y y y y y y y =-=?=--=-++,故22121y y +=. 又22

221212()()222x x y y +++=,故2212

2x x +=. 所以,OA 2

+OB 2

=2222

1122x y x y +++=3

32．（江苏省梁丰高级中学2014届第一学期阶段性检测一）过直线x =-2上的动点P 作抛物线y 2

=4x 的两条切

线PA ,PB ,其中A ,B 为切点.

(1)若切线PA ,PB 的斜率分别为k 1,k 2,求证:k 1k 2为定值; (2)求证:直线AB 恒过定点.

【答案】证明:(1)不妨设A (t 2

1,2t 1)(t 1>0),B (t 2

2,2t 2)(t 2<0),P (-2,m ).

因为y 2

=4x ,所以当y >0时,y =2x ,y ′=1

x

,所以k 1=1t 1.同理k 2=1

t 2

.

由k 1=2t 1－m t 21＋2=1t 1

,得t 2

1-mt 1-2=0.

同理t 2

2-mt 2-2=0.

所以t 1,t 2是方程t 2

-mt -2=0的两个实数根. 所以t 1t 2=-2. 所以k 1k 2=

1

t 1t 2=-1

2

为定值. (2)直线AB 的方程为y -2t 1=2t 2－t 1t 22－t 2

1

(x -t 2

1), 即y =2t 1＋t 2x +2t 1-2t 2

1

t 1＋t 2

,

即y =

2t 1＋t 2x +2t 1t 2

t 1＋t 2

,由于t 1t 2=-2, 所以直线方程化为y =

2

t 1＋t 2

(x -2), 所以直线AB 恒过定点(2,0).