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高等代数期末考试试卷及答案

高等代数（II ）期末考试试卷及答案（A 卷）一、填空题（每小题3分，共15分）

1、线性空间[]P

x 的两个子空间的交()()11L x L x -+=

2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基，由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下的坐标是

3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵，则A 与B 的关系是

4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()2

1,,1,λλ

λ+

则其特征矩阵E A λ-的标准形是

5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是：

二、单项选择题（每小题3分，共15分）

1、（）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个线性空间同构：

（A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间；（B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间；（C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间；（D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。 2、（）设A 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：（A ）A 的核是零子空间的充要条件是A 是满射；（B ）A 的核是V 的充要条件是A 是满射；

（C ）A 的值域是零子空间的充要条件是A 是满射；（D ）A 的值域是V 的充要条件是A 是满射。 3、（）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0;

A A

B A λλ≠是一个非零常数；

()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。

4、（）设实二次型

f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为：

222

1122...n n y y y λλλ+++，则其中的12,,...n λλλ是：

()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。

5、（）设3阶实对称矩阵A 有三重特征根“2-”，则A 的若当标准形是：

()()()200200200020;120;120;002002012A B C ---??

--- ? ? ? ? ? ?---??????

()D 以上各情形皆有可能。

三、是非题（每小题2分，共10分）

（请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“?”） 1、（）设V 1，V 2均是n 维线性空间V 的子空间，且{}120V V =I

则12V

V V =⊕。

2、（）n 维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下的矩阵是一对角矩阵。

3、（）同阶方阵A 与B 相似的充要条件是E A λ-与E B λ- 等价。

4、（）n 维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵。

5、（）欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。

四、解答题（每小题10分，共30分）

1、在线性空间4

P 中，定义线性变换：

()()()(

)

,,,,,,,,,a b c d a b a c b d a b c d P ''

'=++?∈A

（1）求该线性变换A 在自然基：()()121,0,0,0,0,1,0,0εε''==

()()340,0,1,0,0,0,0,1εε''==下的矩阵A ；

（2）求矩阵A 的所有特征值和特征向量。

2、（1）求线性空间[]3P

x 中从基()()()

:1,1,1I x x --到基

()()()

:1,1,1II x x ++的过渡矩阵；

（2）求线性空间[]3P

x 中向量()2123f x x x =-+在基

()()()

:1,1,1I x x --下的坐标。

3、在R 2中，()()1212,,,a a b b α

β?==，规定二元函数：

()11122122,4a b a b a b a b αβ=--+

（1）证明：这是R 2的一个内积。（2）求R 2的一个标准正交基。

五、证明题（每小题10分，共30分）

1、设P 3的两个子空间分别为：

(){}(){}

321

3,,0,,,0

W x x x x x

x W x x x x x

x =

++==

--= 证明：（1）3

12P W W =+；

（2）12W W +不是直和。

2、设A 是数域P 上线性空间V 的线性变换，证明()12,,...,r W L ααα= 是A 的不变子空间的兖要条件是()1,2,...,i W i r α∈=A

3、已知A E -是n 级正定矩阵，证明：

（1）A 是正定矩阵；（2）23n A E +>

答案

一、填空题（每小题3分，共15分）

1、线性空间[]P

x 的两个子空间的交()()11L x L x -+=I {}

1C X

3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵，则A 与B 的关系是相似关系

4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()2

1,,1,λλ

λ+

则其特征矩阵E A λ-的标准形是

()10

000001λλλ?? ? ? ?+??

5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是：

A AX A B

''=

二、单项选择题（每小题3分，共15分）

2、（ A ）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个

线性空间同构：

（A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间；（B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间；（C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间；（D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。

2、（ D ）设A 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：（A ）A 的核是零子空间的充要条件是A 是满射；（B ）A 的核是V 的充要条件是A 是满射；

（C ）A 的值域是零子空间的充要条件是A 是满射；（D ）A 的值域是V 的充要条件是A 是满射。 3、（ B ）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0;

A A

B A λλ≠是一个非零常数；

()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。

4、（ C ）设实二次型

f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为：

222

1122...n n y y y λλλ+++，则其中的12,,...n λλλ是：

()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。

5、（ A ）设3阶实对称矩阵A 有三重特征根“2-”，则A 的若当标准形是：

()()()200200200020;120;120;002002012A B C ---??

--- ? ? ? ? ? ?---??????

()D 以上各情形皆有可能。

三、是非题（每小题2分，共10分）

（请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“?”） 1、（ × ）设V 1，V 2均是n 维线性空间V 的子空间，且{}120V V =I

则12V

V V =⊕。

2、（ √ ）n 维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下的矩阵是一对角矩阵。

3、（ √ ）同阶方阵A 与B 相似的充要条件是E A λ-与E B λ- 等价。

4、（ × ）n 维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵。

5、（ √ ）欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。

四、解答题（每小题10分，共30分）

1、在线性空间4

P 中，定义线性变换：

()()()(

)

,,,,,,,,,a b c d a b a c b d a b c d P ''

'=++?∈A

（1）求该线性变换A 在自然基：()()121,0,0,0,0,1,0,0εε''==

()()340,0,1,0,0,0,0,1εε''==下的矩阵A ；

（2）求矩阵A 的所有特征值和特征向量。

解：（1）线性变换A 在自然基下的矩阵是

000010010100101A ??

= ?

（5分）

（2）因为()

1E A λλ-=-

所以矩阵A 的所有特征值是12341λλλλ====

解齐次线性方程组

()0E A X -=

得矩阵A 的所有特征向量：

()()120,0,1,00,0,0,1k k ''+，其中12,k k 不全为零。（5分）

2、（1）求线性空间[]3P

x 中从基()()()

:1,1,1I x x --到基

()()()2

:1,1,1II x x ++的过渡矩阵；

（2）求线性空间[]3P

x 中向量()2123f x x x =-+在基

()()()

:1,1,1I x x --下的坐标。

解：（1）因为()()

(

)

()2

21111,1,11,,012001x x x x -??

--=- ? ???

()()

(

)

()2

21111,1,11,,012001x x x x ?? ?

++= ? ???

所以

()()

(

)()()

(

)

1111111,1,11,1,1012012001001x x x x --????

? ?++=--- ? ? ? ?????

()()

(

)

1111111,1,1012012001001x x ???? ???=-- ??? ???????

即所求的过渡矩阵为124014001??

? ? ???

（5分） ()()

(

)

1241,1,1014001x x ?? ?=-- ? ???

（2）因为()()()

()

1111,,1,1,1012001x x x x ?? ?=-- ? ???

故

()()2211231,,23f x x x x x ??

?=-+=- ? ???

()()

(

)

()()2

211111,1,10122241310013x x x x ????

???

=---=+-+- ??? ???????

所以()f x 在基()()()2

:1,1,1I x x --下的坐标是：243??

? ? ???

（5分）

3、在R 2中，()()1212,,,a a b b α

β?==，规定二元函数：

()11122122,4a b a b a b a b αβ=--+

（3）证明：这是R 2的一个内积。（4）求R 2的一个标准正交基。（1）证明：

()11122122,4a b a b a b a b αβ=--+

()112211,14b a a b -??

??= ? ?-????

因为1114-??

?-??

是正定矩阵，

所以这个二元函数是R 2的一个内积。（5分）（2）解：考察自然基()()121,0,

0,1εε==

它的度量矩阵正是1114-??

?-??

令：()1

11,0,αε==

()()()()

()

212122*********,,1

1,1,,1εαεεαεαεεεεααεε-=-=-=-=

再令：)111221211

,1,1βααβααα==== 则12,ββ是R 2的一个标准正交基。（5分）（2）解法二：考察自然基()()121,0,

0,1εε==

它的度量矩阵正是1114-??

?-??

(

2212121

011101010101401031101r r r c c c ???+?-??? ? ?

-+??????u u u u u u r

u u u u u 令：()(

)12121,,0ααεε?= ?

即：(

()11

1,1αεα=???

=??

则12,αα 的度量矩阵是E ，从而是R 2的一个标准正交基。

五、证明题（每小题10分，共30分）

2、设P 3的两个子空间分别为：

(){}(){}

321

3,,0,,,0

W x x x x x

x W x x x x x

x =

++==

--= 证明：（1）3

12P W W =+；

（2）12W W +不是直和。

证明：（1）W 1的一个基是：()()121,1,0,1,0,1αα=-=-

W 2的一个基是：()()121,1,0,1,0,1ββ== 因为()12

1212,,,W W L ααββ+=

其中121,,ααβ是12W W +的生成元的一个极大无关组从而是12W W +的一个基，所以()31212dim

3W W P W W +=?=+ （5分）

（2）因()1212dim 2,dim 2,dim 3W W W W ==+=

即()121dim

dim dim W W W W +≠+

所以12W W +不是直和。（5分）（2）之证法二：因为()(

)

{}120,1,10W W L =-≠I 所以12W W +不是直和。

2、设A 是数域P 上线性空间V 的线性变换，证明()12,,...,r W L ααα= 是A 的不变子空间的兖要条件是()1,2,...,i W i r α∈=A

证明：（充分性）设有()1,2,...,i W

i r α∈=A

1122...r r k k k W

αααα?=+++∈

1122...r r k k k W αααα?=+++∈A A A A

()12,,...,r W L ααα?=是A? ?∏ζ?。（5分）

（必要性）设()12,,...,r W

L ααα=是A? ?∏ζ?，

由()(),1,2,...,,1,2,...,i i W i r W i r αα∈=?∈=A （5分） 3、已知A E -是n 级正定矩阵，证明：

（1）A 是正定矩阵；（2）

23n A E +>

证明：（1）设A 的特征值为12,,...,n λλλ

因为A E -是正定矩阵，故其特征值()10,1,2,...,i

i n λ->=

于是A 的特征值()1,1,2,...,i

i n λ>=

所以A 是正定矩阵。（5分）（2）因为A 的特征值()1,1,2,...,i i n λ>= 所以A+2E 的特征值()23,1,2,...,i i n λ+>=

()1

223n

n i i A E λ=?+=+>∏ （5分）

(完整版)高等代数(下)期终考试题及答案(B卷)

高等代数(下）期末考试试卷及答案（B 卷）一．填空题（每小题3分，共21分） 1. 22 3[]-2-31,(-1),(-1)P x x x x x 在中,在基下的坐标为 2. 设n 阶矩阵A 的全体特征值为12,,,n λλλL ，()f x 为任一多项式，则()f A 的全体特征值为 . 3.'=n 在数域P 上的线性空间P[x]中,定义线性变换:(,则的值域())()A A f x f x A ()-n P[x]= ,的核(0)= 1A A A 4．已知3阶λ-矩阵A （λ）的标准形为21 0 00 00 0λλλ?? ? ? ?+?? ，则A （λ）的不变因子________________________； 3阶行列式因子 D 3 =_______________. 5. 若4阶方阵A 的初等因子是（λ-1）2，（λ-2），（λ-3），则A 的若当标准形 J= 6.在n 维欧氏空间V 中，向量ξ在标准正交基12,,,n ηηηL 下的坐标是 12(,,,)n x x x L ，那么(,)i ξη＝ 7. 两个有限维欧氏空间同构的充要条件是．二. 选择题( 每小题2分，共10 分) 1.( ) 已知{(,),,,}V a bi c di a b c d R =++∈为R 上的线性空间，则dim(V)为 (A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 4 2. ( ) 下列哪个条件不是n 阶复系数矩阵A 可对角化的充要条件 (A) A 有n 个线性无关的特征向量； (B) A 的初等因子全是1次的； (C) A 的不变因子都没有重根； (D) A 有n 个不同的特征根； 3．( ) 设三阶方阵A 的特征多项式为322)(23+--=λλλλf ，则=||A

高等代数试卷及答案1

高等代数一、填空题（共10题，每题2分，共20 分） 1．只于自身合同的矩阵是矩阵。 2．二次型()()11212237,116x f x x x x x ?? ??= ? ????? 的矩阵为__________________。 3．设A 是实对称矩阵，则当实数t _________________,tE A +是正定矩阵。 4．正交变换在标准正交基下的矩阵为_______________________________。 5．标准正交基下的度量矩阵为_________________________。 6．线性变换可对角化的充要条件为__________________________________。 7．在22P ?中定义线性变换σ为：()a b X X c d σ?? = ??? ，写出σ在基11122122,,,E E E E 下的矩阵_______________________________。 8．设1V 、2V 都是线性空间V 的子空间，且12V V ?，若12dim dim V V =，则_____________________。 9．叙述维数公式_________________________________________________________________________。 10．向量α在基12,,,n ααα???（1）与基12,,,n βββ???（2）下的坐标分别为x 、y ，且从基（1）到基（2）的过渡矩阵为A ，则x 与y 的关系为_____________________________。二、判断题（共10 题，每题1分，共10分） 1．线性变换在不同基下的矩阵是合同的。（） 2．设σ为n 维线性空间V 上的线性变换，则()1 0V V σσ -+=。（） 3．平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法，构成实数域上的线性空间。（） 4．设1V 与2V 分别是齐次线性方程组120n x x x ++???+=与12n x x x ==???=的解空间，则 12n V V P ⊕= （） 5．2 2 11n n i i i i n x x ==??- ??? ∑∑为正定二次型。（） 6．数域上任意一个矩阵都合同于一对角矩阵。（） 7．把复数域C 看作复数域上的线性空间，C ξ?∈，令σξξ=，则σ是线性变换。（） 8．若σ是正交变换，那么σ的不变子空间的真正交补也是σ的不变子空间。（） 9．欧氏空间中不同基的度量矩阵是相似的。（） 10．若σ为[]n P x (1n >)中的微分变换，则σ不可对角化。（）

大一(第一学期)高数期末考试题及答案

( 大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .

大一第二学期高数期末考试题(含答案)

大一第二学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 1 2 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ．　求，，设?--??? ??≤<-≤=1 32 )(1020)(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数 )(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且 →=0 () lim x f x A x ，A 为常数. 求'() g x

高等代数期末卷及答案

沈阳农业大学理学院第一学期期末考试《高等代数》试卷(1) 1 ?设 f (x) = x 4 +x ? +4x - 9 ,贝H f (一3) = 69 .. 2?当 t = _2,-2 . 时，f(x)=x 3 —3x+t 有重因式。 3.令f(x),g(x)是两个多项式，且f(x 3) xg(x 3)被x 2 x 1整除，则 f(1)=_0_^ g(1)= 0 . 0 6 2 =23 。 1 1 — -2 0 1 x , 2x 2 2x 3 x 4 二 0 7. 2x 1 x 2 -2x 3 -2x 4 二 0 的一般解为 x( ~'X 2 _'4x 3 ~3x 4 = 0 题号 -一- -二二 -三四五六七总分得分、填空(共35分，每题5 分) 得分 4.行列式 1 -3 5. ■’4 10" 1 0 3 -1、 -1 1 3 '9 -2 -1 2 1 0 2」 2 0 1 < 9 9 11 <1 3 4 丿 6. z 5 0 0 1 -1 <0 2 1； 0-2 3 矩阵的积

c 亠5 刘=2x3 X4 4 x3, x4任意取值。X2 二-2x^ --x4

、(10分)令f(x),g(x)是两个多项式。求证当且仅当(f(x) g(x), f(x)g(x))=1。证：必要性.设(f(x) g(x), f (x)g(x)) =1。(1% 令 p(x)为 f (x) g (x), f (x)g(x)的不可约公因式,(1% 则由 p(x) | f (x)g (x)知 p(x)| f (x)或 p(x) |g(x) o (1%) 不妨设 p(x) | f (x)，再由 p(x)|(f(x) g (x))得 p(x) | g(x)。故 p(x) |1 矛盾。(2%) 充分性.由(f (x) g(x), f (x)g(x)^1知存在多项式u(x), v(x)使 u(x)(f(x) g(x)) v(x)f(x)g(x)=1,(2%) 从而 u(x)f(x) g(x)(u(x) v(x) f(x)) =1,(2%) 故(f (x), g(x)) =1 o (1%) ax 「bx 2 2x 3 =1 ax 1 (2 b -1)x 2 3x 3 =1 ax 1 bx 2 - (b 3)X 3 = 2b _1 有唯一解、没有解、有无穷解？在有解情况下求其解。解： a b 2 1 a b 2 1 a 2b -1 3 1 T 0 b —1 1 0 b J* b+3 2b-1 , b+1 2b-2 ‘ (5%) a 2 - b 0 1 0 b -1 1 0 L 0 0 b+1 2b —2 当b =1时，有无穷解：X 3 = 0, X 2 = 1 - a%,人任意取值; 当a =0,b =5时，有无穷解：x 1 = k,x^ --3,x^ 4 ，k 任意取值；(3%) 当b = T 或a =0且b =二1且b = 5时，无解。(4%) 三、(16分)a,b 取何值时，线性方程组当a(b 2 T) = 0时，有唯一解: 5-b a(b 1) X 2 2 b+1 x3 = 2b -2 b 1 ；4%) (f(x),g(x)) =1

高等代数试题附答案

科目名称：《高等代数》姓名：班级：考试时间：120分钟考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ ≌≌≌≌ 一、填空题（每小题5分，共25分） 1、在[]X P 中，向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为。 2、向量组 ()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩为，一个最大无关组为 .。 3、（维数公式）如果21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么。 4、假设??? ? ? ??-----=175131023A 的特征根是，特征向量分别为。 5、实二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 的秩为二、是非题（每小题2分，共20分） 1、如果r a a a ,,,21 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。（） 2、在][x P 中，定义变换)()(0x f x Af =,其中P x ∈0，是一固定的数，那么变换A 是线性变换。（） 3、设21,W W 是向量空间V 的两个子空间，那么它们的并 21W W 也是V 的一个子空间。（） 4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。（）

5、令),,,(4321x x x x =ξ是4R 的任意向量，那么δ是4R 到自身的线性变换。其中),,,()(24232221x x x x =ξδ。（） 6、矩阵A 的特征向量的线性组合仍是A 的特征向量。（） 7、若矩阵A 与B 相似，那么A 与B 等价。（） 8、n 阶实对称矩阵A 有n 个线性无关的特征向量。（） 9、在)(2R M 中，若W 由所有满足迹等于零的矩阵组成，那么W 是 )(2R M 的子空间。（） 10、齐次线性方程组0)(=-X A E λ的非零解向量是A 的属于λ的特征向量。（）三、明证题（每小题××分，共31分） 1、设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换，证明：A 可逆当且仅当n A A A εεε,,,21 线性无关。（10） 2、设δ是n 维欧氏空间V 的一个线性变幻，证明：如果δ是对称变幻， 2δ=l 是单位变幻，那么δ是正交变换。（11） 3、设V 是一个n 维欧氏空间，证明：如果21,W W 都是V 得子空间，那么() ⊥⊥⊥ =+2121W W W W 。（10）四、计算题（每小题8分，共24分） 1、求矩阵??? ? ? ??---=466353331A 的特征根与特征向量，并求满秩矩阵P 使得AP P 1-为对角形矩阵。 2、求一个正交矩阵U ，使得AU U '使对角形式，其中

高数2-期末试题及答案

北京理工大学珠海学院 2010 ～ 2011学年第二学期《高等数学(A)2》期末试卷A （答案）适用年级专业：2010级信息、计算机、机械与车、化工与材料学院各专业一．选择填空题（每小题3分，共18分） 1.设向量 a =（2,0,-2）,b = （3,-4,0），则a ?b = 分析：a ?b = 2 234 i j k -- = -6j – 8k – 8i = （-8,-6,-8） 2.设 u = 2 2 3 x xy y ++.则 2u x y ??? = 分析：u x ?? = 22x y +, 则2u x y ??? = 2' (2)x y += 2y 3.椭球面 2 2 2 2315x y z ++= 在点（1,-1,,2）处的切平面方程为分析：由方程可得，2 2 2 (,,)2315F x y z x y z =++- ，则可知法向量n =（ Fx, Fy, Fz ）; 则有 Fx = 2x ， Fy = 4y ， Fz = 6z ，则过点（1,-1,,2）处的法向量为 n =（2,-4,,12）因此，其切平面方程为：2(1)4(1)12(2)0x y z --++-= ，即 26150x y z -+-= 4.设D ：y = x, y = - x, x = 2直线所围平面区域.则 (2)D y d σ+=??___________ 分析：画出平面区域D （图自画），观图可得， 2 (2)(2)8x x D y d dx y dy σ-+=+=???? 5.设L ：点(0 , 0 )到点(1 , 1)的直线段.则 2L x ds =? _________ 分析：依题意可知：L 是直线y = x 上点(0 , 0 )与点(1 , 1)的一段弧，则有 1 1 2 L x ds x x === ? ?? 6.D 提示：级数 1 n n u ∞ =∑发散，则称级数 1 n n u ∞ =∑条件收敛二.解答下列各题（每小题6分，共36分）

厦门大学《高等代数》期末试题及答案(数学系)

10-11学年第一学期厦门大学《高等代数》期末试卷厦门大学《高等代数》课程试卷数学科学学院各系 2010 年级各专业主考教师：杜妮、林鹭试卷类型：（A 卷） 2011.1.13 一、单选题（32 分. 共 8 题, 每题 4 分） 1) 设b 为 3 维行向量， 123123 V {(,,)|(,,)} x x x x x x b == ，则____。C A)对任意的b ，V 均是线性空间；B)对任意的b ，V 均不是线性空间；C)只有当 0 b = 时，V 是线性空间；D)只有当 0 b 1 时，V 是线性空间。 2)已知向量组 I ： 12 ,,..., s a a a 可以由向量组 II ： 12 ,,..., t b b b 线性表示，则下列叙述正确的是____。 A A)若向量组 I 线性无关，则s t ￡；B)若向量组 I 线性相关，则s t > ； C)若向量组 II 线性无关，则s t ￡；D)若向量组 II 线性相关，则s t > 。 3)设非齐次线性方程组AX b = 中未定元个数为 n ，方程个数为m ，系数矩阵 A 的秩为 r ，则____。 D A)当r n < 时，方程组AX b = 有无穷多解； B) 当r n = 时，方程组AX b = 有唯一解；C)当r m < 时，方程组AX b = 有解；D)当r m = 时，方程组AX b = 有解。 4) 设 A 是m n ′ 阶矩阵，B 是n m ′ 阶矩阵，且AB I = ，则____。A A)(),() r A m r B m == ；B)(),() r A m r B n == ；C)(),() r A n r B m == ； D)(),() r A n r B n == 。 5) 设 K 上 3 维线性空间 V 上的线性变换j 在基 123 ,, x x x 下的表示矩阵是 111 101 111 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? ，则j 在基 123 ,2, x x x 下的表示矩阵是____。C A) 121 202 121 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? ； B) 1 2 11 22 1 2 11 0 11 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? ； C)11 22 121 0 121 ?? ?÷ ? ÷ ?÷ è? ；D) 1 2 1 2 11 202 11 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? 。 6) 设j 是 V 到 U 的线性映射，dim V ,dim U n m == 。若m n < ，则j ____。B A)必是单射； B)必非单射； C)必是满射；D)必非满射。

高等代数试题及答案

中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试试卷

授课教师命题教师或命题负责人签字年月日院系负责人签字年月日共 2 页第 2 页

中国海洋大学 XXXX-XXXX 学年第X 学期期末考试试卷五(10分)证明：设A 为n 级矩阵,()g x 是矩阵A 的最小多项式,则多项式()f x 以A 为根的充要条件是()g x |()f x . 六(10分)设V 是数域P 上的n 维线性空间,A B ,是V 上的线性变换，且=AB BA .证明:B 的值域与核都是A 的不变子空间. 七(10分)设2n 阶矩阵a b a b A b a b a ??????? ? =? ?? ??????? O N N O ,a b ≠,求A 的最小多项式. 八(10分)设f 是数域P 上线性空间V 上的线性变换,多项式()(),p x q x 互素,且满足 ()()0p f q f =(零变换) 求证：()()()(),ker ,ker V W S W p f S q f =⊕==

中国海洋大学 2007-2008学年第2学期期末考试数学科学学院《高等代数》试题(A 卷)答案一.判断题 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√ 二.解：A =???? ????????1111111111111111， 3|(4)E A λλλ-=-｜，所以特征值为0，4（3重）. 将特征值代入，求解线性方程组()0E A x λ-=，得4个线性无关的特征向量（答案可以不唯一），再正交单位化，得4个单位正交向量： 11111 ,,,)'2222α＝( ，2α＝， 3α＝，4'α＝. 所以正交阵1 212 102610 2 T ?????? ?=??- ?? ???????? 而40'00T AT ??????=??????. 三.证：(1) ,.A B M ?∈ 验证,A B kA M +∈即可. (2) 令1101 010011 0n E D E -???? ? ??? ??== ????? ?????? O O O ，D 为循环阵， 00n k k k E D E -?? = ??? ，(k E 为k 阶单位阵) 则2 1 ,,,,n n D D D D E -=L 在P 上线性无关.

(完整word版)高等代数II期末考试试卷及答案A卷,推荐文档

高等代数（II ）期末考试试卷及答案（A 卷）一、填空题（每小题3分，共15分） 1、线性空间[]P x 的两个子空间的交()()11L x L x -+= I 2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基，由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下的坐标是 3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵，则A 与B 的关系是 4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()2 1,,1,λλ λ+ 则其特征矩阵E A λ-的标准形是 5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是：二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1、（）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个线性空间同构：（A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间；（B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间；（C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间；（D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。 2、（）设A 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：（A ）A 的核是零子空间的充要条件是A 是满射；（B ）A 的核是V 的充要条件是A 是满射；

（C ）A 的值域是零子空间的充要条件是A 是满射；（D ）A 的值域是V 的充要条件是A 是满射。 3、（）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0; A A B A λλ≠是一个非零常数； ()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。 4、（）设实二次型 f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为： 222 1122...n n y y y λλλ+++，则其中的12,,...n λλλ是： ()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。 5、（）设3阶实对称矩阵A 有三重特征根“2-”，则A 的若当标准形是： ()()()200200200020;120;120;002002012A B C ---?? ?? ?? ? ? ? --- ? ? ? ? ? ?---?????? ()D 以上各情形皆有可能。三、是非题（每小题2分，共10分）（请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“?”） 1、（）设V 1，V 2均是n 维线性空间V 的子空间，且{}120V V =I 则12V V V =⊕。 2、（）n 维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下的矩阵是一对角矩阵。 3、（）同阶方阵A 与B 相似的充要条件是E A λ-与E B λ- 等价。 4、（）n 维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵。 5、（）欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。

大学高等数学高数期末考试试卷及答案

大学高等数学高数期末考试试卷及答案 Last updated on the afternoon of January 3, 2021

华南农业大学2010/2011学年第一学期经济数学期中考试试卷一、选择题（每题3分，共30分） 1、设函数3()1f x x =-，则()f x -=（） 31x -31x --31x -+31x +、函数y = A ．3x < B ．3x ≤ C ．4x < D ．4x ≤ 3、（）中的两个函数相同． A ．()f x x =，()g t =．2()lg f x x =，()2lg g x x = C ．21()1x f x x -=+，()1g x x =- D ．sin 2()cos x f x x =，()2sin g x x = 4、下列函数中()是奇函数。 A ．3sin()4x x - B ．1010x x -+ C ．2cos x x - D ． sin x x 5、1 lim(1)n n n →∞-=（） A ．1 B ．2e C ．1e - D ．∞+ 6、下列函数在给定变化过程中是无穷大量的是（） 1 sin (0)x x x →.(0)x e x → ln (0)x x +→.sin ()x x x →∞ 7、设10 ()10x e x f x x x ?+≤=?->?，则在0=x 处，)(x f （） A ．连续 B ．左、右极限不存在 C ．极限存在但不连续 D ．左、右极限存在但不相等 8、若曲线()f x 在点0x x =处的切线平行于直线234x y +=，则0()f x '=（） A ．2 B ．3 C ． 23D ．23 - 9、设()x f x e =，则[(sin )]f x '=（）。 A ．x e B ．sin x e C ．sin cos x x e D ．sin sin x x e

大一高数同济版期末考试题(精) - 副本

高等数学上（1）一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(l i m . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++=2 2 221 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ．　求，，设?--?????≤<-≤=1 32 )(1020 )(dx x f x x x x xe x f x

高数下期末考试试题和答案解析

2017学年春季学期《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷（A ）注意： 1、本试卷共 3 页； 2、考试时间110分钟； 3、姓名、学号必须写在指定地方一、单项选择题（8个小题，每小题2分，共16分）将每题的正确答案的代号A 、B 、C 或D 填入下表中． 1．已知a 与b 都是非零向量，且满足-=+a b a b ，则必有（）. (A)-=0a b (B)+=0a b (C)0?=a b (D)?=0a b 2.极限2 2 22 00 1 lim()sin x y x y x y →→+=+( ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)不存在 3．下列函数中，d f f =?的是( ). （A ）(,)f x y xy = （B ）00(,),f x y x y c c =++为实数（C ）(,)f x y = （D ）(,)e x y f x y += 4．函数(,)(3)f x y xy x y =--，原点(0,0)是(,)f x y 的( ). （A ）驻点与极值点（B ）驻点，非极值点（C ）极值点，非驻点（D ）非驻点，非极值点 5．设平面区域2 2 :(1)(1)2D x y -+-≤，若1d 4D x y I σ+= ??，2D I σ=，3D I σ=，则有（）. （A ）123I I I << （B ）123I I I >> （C ）213I I I << （D ）312I I I << 6．设椭圆L ： 13 42 2=+y x 的周长为l ，则22(34)d L x y s +=?（）. (A) l (B) l 3 (C) l 4 (D) l 12 7．设级数 ∑∞ =1 n n a 为交错级数，0()n a n →→+∞，则（）. (A)该级数收敛 (B)该级数发散 (C)该级数可能收敛也可能发散 (D)该级数绝对收敛 8.下列四个命题中，正确的命题是（）. （A ）若级数 1n n a ∞ =∑发散，则级数21n n a ∞ =∑也发散（B ）若级数21n n a ∞ =∑发散，则级数1n n a ∞=∑也发散（C ）若级数 21n n a ∞ =∑收敛，则级数 1n n a ∞ =∑也收敛（D ）若级数 1 ||n n a ∞=∑收敛，则级数2 1 n n a ∞=∑也收敛二、填空题(7个小题，每小题2分，共14分)． 1.直线34260 30 x y z x y z a -+-=?? +-+=?与z 轴相交，则常数a 为 . 2．设(,)ln(),y f x y x x =+则(1,0)y f '=______ _____. 3．函数(,)f x y x y =+在(3,4)处沿增加最快的方向的方向导数为 . 4．设2 2 :2D x y x +≤，二重积分 ()d D x y σ-??= . 5．设()f x 是连续函数，22{(,,)|09}x y z z x y Ω=≤≤--，22()d f x y v Ω +???在柱面坐标系下的三次积分为 . 6.幂级数 1 1 (1) ! n n n x n ∞ -=-∑的收敛域是 . 7.将函数2 1,0 ()1,0x f x x x ππ--<≤??=?+<≤?? 以2π为周期延拓后，其傅里叶级数在点x π=处收敛于 . 三峡大学试卷纸教学班号序号学号姓名 ……………………．……答题不要超过密封线…………．………………………………

高等代数试卷及答案--(二)

一、填空题（共10题，每题2分，共20 分） 1．只于自身合同的矩阵是矩阵。 2．二次型()()11212237,116x f x x x x x ?? ??= ? ????? 的矩阵为__________________。 3．设A 是实对称矩阵，则当实数t _________________,tE A +是正定矩阵。 4．正交变换在标准正交基下的矩阵为_______________________________。 5．标准正交基下的度量矩阵为_________________________。 6．线性变换可对角化的充要条件为__________________________________。 7．在22P ?中定义线性变换σ为：()a b X X c d σ?? = ??? ，写出σ在基11122122,,,E E E E 下的矩阵_______________________________。 8．设1V 、2V 都是线性空间V 的子空间，且12V V ?，若12dim dim V V =，则_____________________。 9．叙述维数公式_________________________________________________________________________。 10．向量α在基12,,,n ααα???（1）与基12,,,n βββ???（2）下的坐标分别为x 、y ，且从基（1）到基（2）的过渡矩阵为A ，则x 与y 的关系为_____________________________。二、判断题（共10 题，每题1分，共10分） 1．线性变换在不同基下的矩阵是合同的。（） 2．设σ为n 维线性空间V 上的线性变换，则()1 0V V σσ -+=。（） 3．平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法，构成实数域上的线性空间。（） 4．设1V 与2V 分别是齐次线性方程组120n x x x ++???+=与12n x x x ==???=的解空间，则 12n V V P ⊕= （） 5．2 2 11n n i i i i n x x ==??- ??? ∑∑为正定二次型。（） 6．数域上任意一个矩阵都合同于一对角矩阵。（） 7．把复数域C 看作复数域上的线性空间，C ξ?∈，令σξξ=，则σ是线性变换。（） 8．若σ是正交变换，那么σ的不变子空间的真正交补也是σ的不变子空间。（） 9．欧氏空间中不同基的度量矩阵是相似的。（） 10．若σ为[]n P x (1n >)中的微分变换，则σ不可对角化。（）三、计算题（共3题，每题10分，共30分）

大一上学期高数期末考试题

大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1.. （A）（B）（C）（D）不可导. 2.. （A）是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B）是等价无穷小；（C）是比高阶的无穷小；（D）是比高阶的无穷小. 3.若，其中在区间上二阶可导且，则（）. （A）函数必在处取得极大值；（B）函数必在处取得极小值；（C）函数在处没有极值，但点为曲线的拐点；（D）函数在处没有极值，点也不是曲线的拐点。 4. （A）（B）（C）（D）. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. . 6. . 7. . 8. . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9.设函数由方程确定，求以及. 10. 11. 12.设函数连续，，且，为常数. 求并讨论在处的连续性. 13.求微分方程满足的解. 四、解答题（本大题10分） 14.已知上半平面内一曲线，过点，且曲线上任一点处切线斜率数值上等于此曲线与轴、轴、直线所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分） 15.过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及x轴围成平面图形D. (1)求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积 V. 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分） 16.设函数在上连续且单调递减，证明对任意的，. 17.设函数在上连续，且，.证明：在内至少存在两个不同的点，使（提示：设）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)

1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. . 6.. 7. . 8.. 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9.解：方程两边求导， 10.解： 11.解： 12.解：由，知。，在处连续。 13.解：，四、解答题（本大题10分） 14.解：由已知且，将此方程关于求导得特征方程：解出特征根：其通解为代入初始条件，得故所求曲线方程为：五、解答题（本大题10分） 15.解：（1）根据题意，先设切点为，切线方程：由于切线过原点，解出，从而切线方程为：则平面图形面积（2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1，则曲线与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2 D绕直线x = e旋转一周所得旋转体的体积六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分） 16.证明：故有：证毕。

高等代数期末卷及答案

沈阳农业大学理学院第一学期期末考试《高等代数》试卷（1）一、填空（共35分，每题5分） 1．设4 2 ()49f x x x x =++-, 则(3)f -= 69_ .. 2．当t = _2,-2 .时, 3()3f x x x t =-+有重因式。 3. 令 ()f x ,()g x 是两个多项式, 且33()()f x xg x +被21x x ++整除, 则 (1)f = 0_ , (1)g = _0 . 4. 行列式 31 0210 62 101132 1 -=-- 23 。 5. 矩阵的积41010311 1321022 011 34?? ? --?? ?= ? ??? ??? 9219911--?? ???。 6. 1 500031021-?? ?= ? ??? 1 05011023?? ? ?- ? ? - ??? 7. 1234123412342202220430 x x x x x x x x x x x x +++=?? +--=??---=?的一般解为 134234523423x x x x x x ? =+??? ?=--?? , 34,x x 任意取值。二、（10分）令()f x ,()g x 是两个多项式。求证((),())1f x g x =当且仅当

(()(),()())1f x g x f x g x +=。证：必要性. 设(()(),()())1f x g x f x g x +≠。（1%）令()p x 为()(),()()f x g x f x g x +的不可约公因式，（1%）则由()|()()p x f x g x 知 ()|()p x f x 或()|()p x g x 。(1%) 不妨设()|()p x f x ，再由()|(()())p x f x g x +得()|()p x g x 。故()|1p x 矛盾。(2%) 充分性. 由(()(),()())1f x g x f x g x +=知存在多项式(),()u x v x 使 ()(()())()()()1u x f x g x v x f x g x ++=,(2%) 从而()()()(()()())1u x f x g x u x v x f x ++=,(2%) 故((),())1f x g x =。(1%) 三、(16分),a b 取何值时，线性方程组有唯一解、没有解、有无穷解？在有解情况下求其解。解： 21212131011032100122201011000122a b a b a b b a b b b b b a b b b b ???? ? ?-→- ? ? ? ?+-+-????-?? ?→- ? ?+-?? (5%) 当2 (1)0a b -≠时，有唯一解：1235222 , (1)+11 b b x x x a b b b ---= ==++，； (4%) 当1b =时，有无穷解：3210,1,x x ax ==-1x 任意取值；当a 0,5b ==时，有无穷解：14 12333,,,x k x x k ==-=任意取值；(3%) 当1b =-或0 1 5a b b =≠±≠且且时，无解。(4%) 四、(10分)设12,,...,n a a a 都是非零实数，证明证: 对n 用数学归纳法。当n=1时 , 1111 1 1(1)D a a a =+=+, 结论成立(2%); 假设n-1时成立。则n 时

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