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初中数学数学中考数学压轴题的专项培优练习题(及解析

一、中考数学压轴题

1．ABC 内接于O ，AB BC =，连接BO ；

（1）如图1，连接CO 并延长交

O 于点M ，连接AM ，求证：//AM BO ；

（2）如图2，延长BO 交AC 于点H ，点F 为BH 上一点，连接AF ，若AH HF

AB BF

=，求证：BAF HAF ∠=∠；

（3）在（2）的条件下，如图3，点E 为AB 上一点，点D 为

O 上一点，连接ED 、

OE ，若CBD 3ABH 90∠+∠=?，若OF 3=，FH 4=，1362

EBD S ?=

，连接OE ，求线段OE 的长．

2．如图，在平面直角坐标系中，直线6y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点C 在x 轴正半轴上，2ABC ACB ∠=∠．

（1）求直线BC 的解析式；

（2）点D 是射线BC 上一点，连接AD ，设点D 的横坐标为t ，ACD ?的面积为

S ()0S ≠，求S 与t 的函数解析式，并直接写出自变量t 的取值范围；

（3）在（2）的条件下，AD 与y 轴交于点E ，连接CE ，过点B 作AD 的垂线，垂足为

点H ，直线BH 交x 轴于点F ，交线段CE 于点M ，直线DM 交x 轴于点N ，当

:7:12NF FC =时，求直线DM 的解析式．

3．在梯形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=?，45C ∠=?，8AB =，14BC =，点E 、

F 分别在边AB 、CD 上，//EF AD ，点P 与AD 在直线EF 的两侧，90EPF ∠=?，

PE PF =，射线EP 、FP 与边BC 分别相交于点M 、N ，设AE x =，MN y =．

（1）求边AD 的长；

（2）如图，当点P 在梯形ABCD 内部时，求关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）如果MN 的长为2，求梯形AEFD 的面积．

4．如图1，已知，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB=AC=10，BC=12，连接AO 并延长交BC 于点H ．

（1）求外接圆⊙O 的半径；

（2）如图2，点D 是AH 上（不与点A ，H 重合）的动点，以CD ，CB 为边，作平行四边形CDEB ，DE 分别交⊙O 于点N ，交AB 边于点M ． ①连接BN ，当BN ⊥DE 时，求AM 的值；

②如图3，延长ED 交AC 于点F ，求证：NM ·NF=AM ·MB ； ③设AM=x ，要使2ND -22DM <0成立，求x 的取值范围．

5．在平面直角坐标系xOy 中，对于点A 和图形M ，若图形M 上存在两点P ，Q ，使得

3AP AQ =，则称点A 是图形M 的“倍增点”．

（1）若图形M 为线段BC ，其中点()2,0B

-，点()2,0C ，则下列三个点()1,2D -，

()1,1E -，()0,2F 是线段BC 的倍增点的是_____________；

（2）若O 的半径为4，直线l ：2y x =-+，求直线l 上O 倍增点的横坐标的取值范

围；

（3）设直线1y x =-+与两坐标轴分别交于G ，H ，OT 的半径为4，圆心T 是x 轴上的动点，若线段GH 上存在T 的倍增点，直接写出圆心T 的横坐标的取值范围． 6．∠MON=90°，点A ，B 分别在OM 、ON 上运动（不与点O 重合）．

（1）如图①，AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 的平分线，随着点A 、点B 的运动，∠AEB= °

（2）如图②，若BC 是∠ABN 的平分线，BC 的反向延长线与∠OAB 的平分线交于点D ①若∠BAO=60°，则∠D= °．

②随着点A ，B 的运动，∠D 的大小会变吗？如果不会，求∠D 的度数；如果会，请说明理由．

（3）如图③，延长MO 至Q ，延长BA 至G ，已知∠BAO ，∠OAG 的平分线与∠BOQ 的平分线及其延长线相交于点E 、F ，在△AEF 中，如果有一个角是另一个角的3倍，求∠ABO 的度数．

7．综合与探究:如图1,在平面直角坐标系xOy 中,四边形OABC 是边长为4的菱形，

60C ?∠=

（1）把菱形OABC 先向右平移4个单位后，再向下平移()03m m <<个单位，得到菱形

''''O A B C ,在向下平移的过程中，易知菱形''''O A B C 与菱形OABC 重叠部分的四边形

'AEC F 为平行四边形，如图2.试探究:当m 为何值时，平行四边形'AEC F 为菱形:

（2）如图，在()1的条件下，连接''',AC B O G 、为CE 的中点J 为EB 的中点，H 为

AC 上一动点，I 为''B O 上一动点，连接,,,GH HI IJ 求GH HI IJ ++的最小值，并直

接写出此时,H I 点的坐标.

8．附加题：在平面直角坐标系中，抛物线2

1y ax a

=-与y

轴交于点A ，点A 关于x 轴的对称点为点B ，（1）求抛物线的对称轴；

（2）求点B 坐标（用含a 的式子表示）；（3）已知点11,

P a ??

???

，(3,0)Q ，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图像，

求a 的取值范围．

9．小明研究了这样一道几何题：如图1，在ABC 中，把AB 绕点A 顺时针旋转

()0180a a ?<

180a β+=?时，请问AB C ''△边B C ''上的中线AD 与BC 的数量关系是什么？以下是

他的研究过程：

特例验证：（1）①如图2，当ABC 为等边三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系为

AD =_______BC ；②如图3，当90BAC ∠=?，8BC =时，则AD 长为________．猜想论证：（2）在图1中，当ABC 为任意三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系，并

给予证明．

拓展应用：（3）如图4，在四边形ABCD ，90C ∠=?，120A B ∠+∠=?，

123BC =，6CD =，63DA =，在四边形内部是否存在点P ，使PDC △与PAB △之

间满足小明探究的问题中的边角关系？若存在，请画出点P 的位置（保留作图痕迹，不需要说明）并直接写出PDC △的边DC 上的中线PQ 的长度；若不存在，说明理由． 10．在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线(2)()y a x x m =++与x 轴交于点

A C 、（点A 在点C 的左侧），与y 轴正半轴交于点

B ，24O

C OB ==．（1）如图1，求a m 、的值；

（2）如图2，抛物线的顶点坐标是M ，点D 是第一象限抛物线上的一点，连接AD 交抛物线的对称轴于点N ，设点D 的横坐标是t ，线段MN 的长为d ，求d 与t 的函数关系式；

（3）如图3，在（2）的条件下，当15

d =时，过点D 作DE x 轴交抛物线于点E ，点

P 是x 轴下方抛物线上的一个动点，连接PE 交x 轴于点F ，直线2

y x b =+经过点D 交EF 于点G ，连接CG ，过点E 作EH CG 交DG 于点H ，若3CFG EGH S S =△△，求点

P 的坐标．

11．如图，抛物线2(40) y ax bx a =++≠与x 轴交于()() 3,0, 4,0A C -两点，与y 轴交于点B ．

()1求这条抛物线的顶点坐标；

()2已知AD AB =(点D 在线段AC 上)，有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度移动：同时另一个点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动，经过()t s 的移动，线

段PQ 被BD 垂直平分，求t 的值；

()3在()2的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M ,使MQ MC +的值最小?若存

在，请求出点M 的坐标：若不存在，请说明理由．

12．如图1，平面直角坐标系xoy 中，A (－4，3)，反比例函数(0)k

y k x

<的图象分别交矩形ABOC 的两边AC ，BC 于E ，F （E ，F 不与A 重合），沿着EF 将矩形ABOC 折叠使A ，D 重合．

（1）①如图2，当点D 恰好在矩形ABOC 的对角线BC 上时，求CE 的长； ②若折叠后点D 落在矩形ABOC 内（不包括边界），求线段CE 长度的取值范围．（2）若折叠后，△ABD 是等腰三角形，请直接写出此时点D 的坐标．

13．如图1，已知点B （0，9），点C 为x 轴上一动点，连接BC ，△ODC 和△EBC 都是等边三角形．

（1）求证：DE＝BO；

（2）如图2，当点D恰好落在BC上时．

①求点E的坐标；

②在x轴上是否存在点P，使△PEC为等腰三角形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，说明理由；

③如图3，点M是线段BC上的动点（点B，点C除外），过点M作MG⊥BE于点G，MH⊥CE于点H，当点M运动时，MH＋MG的值是否发生变化？若不会变化，直接写出MH＋MG的值；若会变化，简要说明理由．

14．在综合与实践课上老师将直尺摆放在三角板上，使直尺与三角板的边分别交于点P、M、N、Q，

（1）如图①所示．当∠CNG＝42°，求∠HMC 的度数．（写出证明过程）

（2）将直尺向下平移至图 2 位置，使直尺的边缘通过点 C，交 AB 于点 P，直尺另一侧与三角形交于 N、Q 两点。请直接写出∠PQF、∠A、∠ACE 之间的关系．

15．如图①，△ABC是等腰直角三角形，在两腰AB、AC外侧作两个等边三角形ABD和ACE，AM和AN分别是等边三角形ABD和ACE的角平分线，连接CM、BN，CM与AB交于点P．

（1）求证：CM ＝BN ；

（2）如图②，点F 为角平分线AN 上一点，且∠CPF ＝30°，求证：△APF ∽△AMC ；（3）在（2）的条件下，求

的值． 16．已知抛物线2

y ax bx c =++过点(6,0)A -，(2,0)B ，(0,3)C -．（1）求此抛物线的解析式；

（2）若点H 是该抛物线第三象限的任意一点，求四边形OCHA 的最大面积；（3）若点Q 在y 轴上，点G 为该抛物线的顶点，且45GQA ∠=?，求点Q 的坐标． 17．如图，在⊙O 中，直径AB ＝10，tanA ＝33

．（1）求弦AC 的长；

（2）D 是AB 延长线上一点，且AB ＝kBD ，连接CD ，若CD 与⊙O 相切，求k 的值；（3）若动点P 以3cm/s 的速度从A 点出发，沿AB 方向运动，同时动点Q 以3

cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为t （0＜t ＜10

），连结PQ ．当t 为何值时，△BPQ 为Rt △？

18．已知四边形ABCD 为矩形，对角线AC 、BD 相交于点O ，AD ＝AO ．点E 、F 为矩形边上的两个动点，且∠EOF ＝60°．

（1）如图1，当点E 、F 分别位于AB 、AD 边上时，若∠OEB ＝75°，求证：DF ＝AE ；（2）如图2，当点E 、F 同时位于AB 边上时，若∠OFB ＝75°，试说明AF 与BE 的数量关系；

（3）如图3，当点E 、F 同时在AB 边上运动时，将△OEF 沿OE 所在直线翻折至△OEP ，取线段CB 的中点Q ．连接PQ ，若AD ＝2a （a ＞0），则当PQ 最短时，求PF 之长．

19．如图，在矩形ABCD中，点E为BC的中点，连接AE，过点D作DF AE

⊥于点F，过点C作CN DF

⊥于点N，延长CN交AD于点M．

（1）求证：AM MD

（2）连接CF，并延长CF交AB于G

①若2

AB=，求CF的长度；

②探究当AB

为何值时，点G恰好为AB的中点．

20．在△ABC中∠B=45°，∠C=30°，点D为BC边上任意一点，连接AD，将线段AD绕A 顺时针旋转90°，得到线段AE，连接DE．

（1）如图1，点E落在BA的延长线上时，∠EDC= （度）直接填空．

（2）如图2，点D在运动过程中，DE⊥AC时，AB=4 ，求DE的值．

（3）如图3，点F为线段DE中点，2a，求出动点D从B运动到C，点F经过的路径长度．

21．问题提出

（1）如图1，已知三角形ABC ，请在BC 边上确定一点D ，使得AD 的值最小．问题探究

（2）如图2，在等腰ABC 中，AB AC =，点P 是AC 边上一动点，分别过点A ，点

C 作线段BP 所在直线的垂线，垂足为点,

E ，若5,6AB BC ==，求线段BP 的取值范围，并求AD CE +的最大值．

问题解决

（3）如图3，正方形ABCD 是一块蔬菜种植基地，边长为3千米，四个顶点处都建有一个蔬菜采购点，根据运输需要，经过顶点A 处和BC 边的两个三等分点E F 、之间的某点

P 建设一条向外运输的快速通道，其余三个采购点都修建垂直于快速通道的蔬菜输送轨

道，分别为BB '、CC '、DD '．若你是此次项目设计的负责人，要使三条运输轨道的距离之和(

)

BB CC DD '''

++最小，你能不能按照要求进行规划，请通过计算说明．

22．如图1，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，矩形OACB 的顶点A 、B 分别在x 轴和

y 轴上，已知OA=5，OB=3，点D 的坐标是（0，1），点P 从点B 出发以每秒1个单位的

速度沿折线BCA 的方向运动，当点P 与点A 重合时，运动停止，设运动的时间为t 秒．

（1）点P 运动到与点C 重合时，求直线DP 的函数解析式；

（2）求△OPD 的面积S 关于t 的函数解析式，并写出对应t 的取值范围；

（3）点P 在运动过程中，是否存在某些位置使△ADP 是不以DP 为底边的等腰三角形，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

23．（操作发现）如图1，ABC ?为等腰直角三角形，90ACB ∠=?，先将三角板的90?角与ACB ∠重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0?且小于45?），旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D ．在三角板另一直角边上取一点F ，使

CF CD =，线段AB 上取点E ，使45DCE ∠=?，连接AF ，EF ．

（1）请求出EAF ∠的度数？（2）DE 与EF 相等吗？请说明理由；

（类比探究）如图2，ABC ?为等边三角形，先将三角板中的60?角与ACB ∠重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0?且小于30）.旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D .在三角板斜边上取一点F ，使CF CD =，线段AB 上取点E ，使

30DCE ∠=?，连接AF ，EF .

（3）直接写出EAF

∠=_________度；

（4）若1AE =，2BD =，求线段DE 的长度.

24．发现来源于探究．小亮进行数学探究活动，作边长为a 的正方形ABCD 和边长为b 的正方形AEFG （a>b ），开始时，点E 在AB 上，如图1．将正方形AEFG 绕点A 逆时针方向旋转．

（1）如图2，小亮将正方形AEFG 绕点A 逆时针方向旋转，连接BE 、DG ，当点G 恰好落在线段BE 上时，小亮发现DG ⊥BE ，请你帮他说明理由．当a=3，b=2时，请你帮他求此时DG 的长．

（2）如图3，小亮旋转正方形AEFG ，点E 在DA 的延长线上，连接BF 、DF ．当FG 平分∠BFD 时，请你帮他求a ：b 及∠FBG 的度数．

（3）如图4，BE 的延长线与直线DG 相交于点P ，a=2b ．当正方形AEFG 绕点A 从图1开始，逆时针方向旋转一周时，请你帮小亮求点P 运动的路线长（用含b 的代数式表示）． 25．如图，直线y ＝﹣x+4与抛物线y ＝﹣12

x 2

+bx+c 交于A ，B 两点，点A 在y 轴上，点B 在x 轴上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在x 轴下方的抛物线上存在一点P ，使得∠ABP ＝90°，求出点P 坐标；

（3）点E 是抛物线对称轴上一点，点F 是抛物线上一点，是否存在点E 和点F 使得以点E ，F ，B ，O 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、中考数学压轴题

1．（1）见解析；（2）见解析；（3）86OE 2

= 【解析】【分析】

(1)根据BM =MB 得到MAB MCB α∠=∠=，再证明M MOB ∠=∠即可得到答案； (2)过点F 作FK AB ⊥，连接OA 、OC ，证明AF 平分BAH ∠即可得到答案； (3)延长BH 交

O 于Q ，连接AQ ，先求32DG 3=

，再根据1362EBD S ?=2

BE =

【详解】（1）∵BM =MB

∴MAB MCB α∠=∠=（同弧所对圆周角相等）， ∵CM 为直径，

∴CAM 90∠=?（直径所对的角是90°） ∴CAB 90α∠=?- ∵BA BC =

∴BAC BCA 90α∠=∠=?- ∴ACM 902α∠=?- ∴M 2α∠=

∵MOB 2MCB 2α∠=∠= ∴M MOB ∠=∠

∴AM //OB （内错角相等，两直线平行），（2）过点F 作FK AB ⊥，连接OA 、OC

∵OA OC =

∴点O 在AC 的垂直平分线上 ∵BA BC =

∴点B 在AC 的垂直平分线上 ∴BH 垂直平分AC 在Rt BAH ?中，sin ABH AH

∠=，在Rt BKF ?中，sin KBF KF

∠=， ∴AH KF

AB BF =， ∵

AH HF

AB BF

=， ∴KF HF =， ∴AF 平分BAH ∠， ∴BAF HAF ∠=∠，（3）延长BH 交

O 于Q ，连接AQ ，

∵BH AC ⊥，BA BC = ∴ABH CBH ∠=∠ ∵CQ =CQ

∴QAC CBQ ∠=∠（同弧所对的圆周角相等）， ∴QAF QAC FAH ∠=∠+∠

AFQ ABH FAB ∠=∠+∠

∴QAF QFA ∠=∠ ∴QA QF =

设半径为r ，则QH r 7=-，QF AQ r 3==- ∴22222AH AQ QH OA OH =-=- 即2

(3)(7)7r r r ---=- 解得9r =或1r =-（舍去） ∴6AQ =，2QH =，16BH =

∴AH =

=AB ==

∴sin HAB BH AB ∠=

1sin ABH 3AH AB ∠==，AC =∵CBD 3ABH 90∠+∠=?

ABH BAH 90∠+∠=?

ABD 2ABH CBD ∠=∠+∠

∴HAB ABD ∠=∠ 连接OC 、OD ∴AOD BOC ∠=∠ ∴AOC BOD ∠∠=

∴AC BD ==过点D 作DG AB ⊥于G ，如上图，

∴sin DBG 3

DG BD ∠==

∴32DG 3

∵3

EBD S ?=

∴

1132223BE DG BE ?=?=

∴2

BE =

过O 作ON BE ⊥于N ，如上图，

∴1

BN AB 2

∴EN 2

∵1

sin NBO 3

ON OB ∠== ∴3ON =

∴OE ==

【点睛】

本题主要考查了与圆狗官的性质（同弧所对圆周角相等、直径所对的圆周角是90°），角平分线的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．

2．A

解析：（1）6y x =-+；（2）636S t =-，()6t >；（3）5599

y x =+ 【解析】【分析】

（1）求出点A 、B 的坐标，从而得出△ABO 是等腰直角三角形，再根据2ABC ACB ∠=∠可得△OCB 也是等腰直角三角形，从而可求得点C 的坐标，将点B 、C 代入可求得解析式；

（2）存在2种情况，一种是点D 在线段BC 上，另一种是点D 在线段BC 的延长线上，分别利用三角形的面积公式可求得；

（3）如下图，先证ACR CAD ???，从而推导出//RD AC ，进而得到CF RG =，同理还可得NF DG =，RD CN =，然后利用:7:12NF FC =可得到N 、D 的坐标，代入即可求得．【详解】解：（1）

直线6y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，

(6,0)A ∴-，(0,6)B ．6OA OB ∴==．

45BAO ∴∠=?，180BAO ABC BCO ∠+∠+∠=?，

2ABC ACB ∠=∠，45BCO ∴∠=?

6OC OB ∴==，()6,0C ∴．设直线BC 的解析式为y kx b =+，将B 、C 两点坐标代得60

6k b b +=??=?

解得1

6k b =-??

∴直线BC 的解析式为6y x =-+．

（2）点D 是射线BC 上一点，点D 的横坐标为t ，

(,6)D t t ∴-+，6(6)12AC =--=．

如下图，过点D 作DK AC ⊥于点K ，当点D 在线段BC 上时，

6DK t =-+，

6362

S AC DK t ∴=?=-+()06t ≤<；

如下图，当点D 在线段BC 的延长线上时，

6DK t =-，636S t ∴=-()6t >．

（3）如图，延长CE 交AB 于点R ，连接DR 交BF 于点G ，交y 轴于点P ．

45BAO BCO ∠=∠=?，BA BC ∴=．

AO CO =，BO AC ⊥EA EC ∴=，EAC ECA ∴∠=∠． ACR CAD ∴???．BAD BCR ∴∠=∠．

AR CD ∴=．BR BD ∴=．//RD AC ∴．BH AD ⊥，

HBD BAD BCR ∴∠=∠=∠．MB MC ∴=，∠MRB MRB MBR ∠=∠ MR MB ∴=．CM MR ∴=．//RD AC ， ::1:1CF RG CM RM ∴==．CF RG ∴=．同理NF DG =．RD CN =．

∵:7:12NF FC =．:7:12DG RG ∴=．

RP PD BP

==，5tan 19PG OF OBF BP OB ∴==∠= 6OB ∴=，3019OF ∴=，6

OC =，84

CF ∴=．

7RD GN ∴==．1ON ∴=，72PD =

．52

OP OB BP ∴

=-=． (1,0)N ∴-，75,22D ??

???

．

设直线 DN 的解析式为y ax c =+，将N 、D 两点代入，

0752

2a c a c -+=???+=?? 解得5959a c ?=????=??

∴直线DM 的解析式为55

y x =

+．【点睛】

本题考查了一次函数与图形的综合，需要用到全等、三角函数和平面直角坐标系的知识，解题关键是想办法确定函数图像上点的坐标．

3．D

解析：（1）6；（2）y=－3x+10(1≤x ＜103)；（2）176

或32 【解析】【分析】

（1）如下图，利用等腰直角三角形DHC 可得到HC 的长度，从而得出HB 的长，进而得出AD 的长；

（2）如下图，利用等腰直角三角形的性质，可得PQ 、PR 的长，然后利用EB=PQ+PR 得去x 、y 的函数关系，最后根据图形特点得出取值范围；

（3）存在2种情况，一种是点P 在梯形内，一种是在梯形外，分别根y 的值求出x 的值，然后根据梯形面积求解即可．【详解】

（1）如下图，过点D 作BC 的垂线，交BC 于点H

∵∠C=45°，DH ⊥BC ∴△DHC 是等腰直角三角形 ∵四边形ABCD 是梯形，∠B=90° ∴四边形ABHD 是矩形，∴DH=AB=8 ∴HC=8 ∴BH=BC －HC=6 ∴AD=6

（2）如下图，过点P 作EF 的垂线，交EF 于点Q ，反向延长交BC 于点R ，DH 与EF 交于点G

∵EF ∥AD,∴EF ∥BC ∴∠EFP=∠C=45° ∵EP ⊥PF

∴△EPF 是等腰直角三角形

同理,还可得△NPM 和△DGF 也是等腰直角三角形 ∵AE=x

∴DG=x=GF,∴EF=AD+GF=6+x ∵PQ ⊥EF,∴PQ=QE=QF ∴PQ=

()1

x + 同理，PR=

y ∵AB=8，∴EB=8－x ∵EB=QR ∴8－x=

()11622

x y ++ 化简得：y=－3x+10 ∵y ＞0，∴x ＜

当点N 与点B 重合时，x 可取得最小值

则BC=NM+MC=NM+EF=－3x+10+614x +=，解得x=1

∴1≤x ＜

103

（3）情况一：点P 在梯形ABCD 内，即（2）中的图形 ∵MN=2，即y=2，代入（2）中的关系式可得：x=83

=AE ∴188176662339

ABCD S ??=

?++?= ???梯形情况二：点P 在梯形ABCD 外，图形如下：

与（2）相同，可得y=3x －10 则当y=2时，x=4，即AE=4 ∴()1

6644322

ABCD S =?++?=梯形【点睛】

本题考查了等腰直角三角形、矩形的性质，难点在于第（2）问中确定x 的取值范围，需要一定的空间想象能力．

4．A

解析：（1）

O 半径为

4；（2）①458AM =；②详见解析；③当

1251017

x <<时，有2220ND DM -<成立．【解析】【分析】

（1）如下图，在Rt △ABH 中，先求得AH 的值，设OA=r ，在Rt △OBH 中，利用勾股定理可求得r 的长；

（2）①如下图，在Rt BCN ，可求得BN 的长，然后在矩形NBHD 中，求得AD 的值，最后利用cos ∠MAD 求得AM ；

②如下图，同过证AMN NFC △∽△可得结论；

③如下图，通过转换，先得出222ND DM -=22AM MB DM ?这个等式，然后利用

sin 5

DM MAD AM ∠=

=，设AM=x ，可得到关于x 的方程，进而求出x 的取值范围．【详解】

解：（1）如图1，连接OB ，

∵AH 过圆心O ，∴AH BC ⊥， ∵AB AC =，∴1

BH CH BC ==

=，在Rt ABH △中，221068AH =-=，

设半径OA OB r ==，则8OH r =-，在Rt OBH 中，2

(8)6r r -+=，解得254r =

，即O 半径为254

．（2）①如图2，连接CN

在平行四边形CDEB 中，DE BC ∥，∴ENB NBC ∠=∠． ∵BN DE ⊥，即90ENB ∠=?，∴90NBC ∠=?． ∴CN 是

O 的直径．25

CN r ==

． ∴在Rt BCN 中，22

BN CN BC =-=

． ∵四边形CDEB 是平行四边形，NB ⊥BH ，DH ⊥BH ∴四边形NBHD 是矩形， ∴72DH BN ==

，6ND BH ==，∴79822

AD AH DH =-=-=． ∴在Rt ADM △中，4cos 5AD AH MAD AM AB ∠===，∴45

AM =， ②如图3，连接AN ，CN ，

浙教版初中数学中考培优题(含答案)

1、在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分面积是1.28 ㎡,已知床单的长是2 m ，宽是1.2 m ，求花边的宽度. 解：设花边的宽度是x m. ()()28.122.122=--x x 028.06.12=+-x x ()36.08.02 =-x 2.01=x ，4.12=x （舍去）答：花边的宽度是0.2 m. 2、某商场将进货价为30元的台灯以 40 元售出，平均每月能售出600个。调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个。 ⑴ 为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？ ⑵ 台灯的售价应定为多少时销售利润最大？解：⑴ 设台灯的售价为x 元，(x ≥40)根据题意得 [(600－10×(x －40))](x －30)＝10000 解得：x 1＝80 x 2＝50 当x ＝80时进台灯数为600－10×(x －40)＝200 当x ＝50时 600－10×(x －40)＝500 ⑵ 设台灯的售价定为x 元时，销售利润最大，利润为y y ＝［600－10（x －40）］·（x －30）答：⑴ 台灯的售价为80元，进台灯数为200个，台灯的售价为50元时，进台灯数为500个。 ⑵ 3、学校有若干个房间分配给九年级（1）班的男生住宿，已知该班男生不足50人。若每间住4人，则余15人无住处；若每间住6人，则恰有一间不空也不满（其余均住满），那么该班男生人数是多少？解：设有x 间，每间住4人，4x 人，15人无处住所以有4x +15人每间住6人，则恰有一间不空也不满所以x -1间住6(x -1)=6x -6人还有4x +15-6x +6＝-2x ＋21人不空也不满所以0＜-2x +21＜6 -6＜2x -21＜0 15＜2x ＜21 7.5＜x ＜10.5 所以x =8, x =9, x =10 不到50人一共4x +15＜50 所以x =8 所以应该是4×8+15=47人

初三数学培优辅导专题

1、从正面观察下图所示的两个物体，看到的是（） A . B. C. D. 2、已知：如图，AD ∥EF ，∠1＝∠2．求证：AB ∥DG ． 3、如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为x 米．（1）用含x 的式子表示横向甬道的面积；（2）当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；（3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米.如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？

1、计算：0 060cos 160sin 30tan -+= 2、甲、乙两同学从A 地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B 地，他们离出发地的距离s （千米）和行驶时间t （小时）之间的函数关系的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：( ) （1）他们都行驶了18千米；（2）甲在途中停留了0.5小时；（3）乙比甲晚出发了0.5小时；（4）相遇后，甲的速度小于乙的速度；（5）甲、乙两人同时到达目的地。其中，符合图象描述的说法有 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 3、正方形ABCD 中，P 为AB 上一点，连接CP ，过B 作BE ⊥CP 于E 。（1）如图1，连接DE ，过E 作EF ⊥DE 交BC 于F ，求证：BP=BF 。（2）如图2，连接AE ，分别以AE 、BE 为直角边作等腰直角三角形AEG 、BEF ，连接DF ，求证：AG ⊥DF 图1 图2 P

初中数学不等式与不等式组提高题与常考题和培优题(含解析)-

初中数学不等式与不等式组提高题与常考题和培优题(含解析)- -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

初中数学不等式与不等式组提高题与常考题和培优题(含解析) 一．选择题（共13小题） 1．已知a＞b，下列关系式中一定正确的是（） A．a2＜b2B．2a＜2b C．a+2＜b+2 D．﹣a＜﹣b 2．不等式2x+3＞3x+2的解集在数轴上表示正确的是（） A．B．C． D． 3．若关于x的不等式3﹣x＞a的解集为x＜4，则关于m的不等式2m+3a＜1的解为（） A．m＜2 B．m＞1 C．m＞﹣2 D．m＜﹣1 4．关于x的不等式x﹣b≥0恰有两个负整数解，则b的取值范围是（）A．﹣3＜b＜﹣2 B．﹣3＜b≤﹣2 C．﹣3≤b≤﹣2 D．﹣3≤b＜﹣2 5．不等式组的最小整数解是（） A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．3 6．已知点P（1﹣2a，a+3）在第二象限，则a的取值范围是（） A．a＜﹣3 B．a＞C．﹣＜a＜3 D．﹣3＜a＜ 7．不等式组的整数解的个数是（） A．4 B．5 C．6 D．无数个 8．已知且﹣1＜x﹣y＜0，则k的取值范围为（） A．﹣1＜k＜﹣B．＜k＜1 C．0＜k＜1 D．0＜k＜ 9．不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（） A．B． C．D．

10．当0＜x＜1时，x2、x、的大小顺序是（） A．x2 B．＜x＜x2C．＜x D．x＜x2＜ 11．三个连续正整数的和小于39，这样的正整数中，最大一组的和是（）A．39 B．36 C．35 D．34 12．“一方有难，八方支援”，雅安芦山4?20地震后，某单位为一中学捐赠了一批新桌椅，学校组织初一年级200名学生搬桌椅．规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬一张桌子，每人限搬一次，最多可搬桌椅（一桌一椅为一套）的套数为（） A．60 B．70 C．80 D．90 13．运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否＞95”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是（） A．x≥11 B．11≤x＜23 C．11＜x≤23 D．x≤23 二．填空题（共12小题） 14．不等式组的解集是． 15．不等式5x﹣3＜3x+5的所有正整数解的和是． 16．若关于x的不等式3m﹣2x＜5的解集是x＞3，则实数m的值为．17．若不等式x＜2的解集都能使关于x的一次不等式（a﹣3）x＜a+5成立，则a的取值范围是． 18．若关于x的一元一次不等式组有解，则a的取值范围是．19．在实数范围内规定新运算“△”，其规则是：a△b=2a﹣b．已知不等式x△k ≥1的解集在数轴上如图表示，则k的取值范围是．

中考数学总复习培优专题精选经典题

初三数学中考总复习培优资料一一、选择题（本大题共有12小题，每小题2分，共24分.） 1．-2的绝对值是 A ．-2 B ．- 12 C ．2 D ．12 2．下列运算正确的是 A ．x 2+ x 3= x 5 B ．x 4·x 2= x 6 C ．x 6÷x 2 = x 3 D ．( x 2)3 = x 8 3．下面四个几何体中，俯视图为四边形的是 4．已知a -b =1，则代数式2a -2b -3的值是 A ．-1 B ．1 C ．-5 D ．5 5．若⊙O 1、⊙O 2的半径分别为4和6，圆心距O 1O 2=8，则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是 A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．外离 6．对于反比例函数y =1 x ，下列说法正确的是 A ．图象经过点（1，-1） B ．图象位于第二、四象限 C ．图象是中心对称图形 D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大 7．某市6月上旬前5天的最高气温如下（单位：℃）：28，29，31，29，32．对这组数据，下列说法正确的是 A ．平均数为30 B ．众数为29 C ．中位数为31 D ．极差为5 8．小亮从家步行到公交车站台，等公交车去学校. 折线表示小亮的行程s (km)与所花时间t (min)之间的函数关系. 下列说法错误．．的是 A ．他离家8km 共用了30min B ．他等公交车时间为6min C ．他步行的速度是100m/min D ．公交车的速度是350m/min 9．一元二次方程x x 22 =的根是（） A ．2=x B ．0=x C ．2,021==x x D ．2,021-==x x 10．如图，将一个可以自由旋转的转盘等分成甲、乙、丙、丁四个扇形区域，若指针固定不变，转动这个转盘一次（如果指针指在等分线上，那么重新转动，直至指针指在某个扇形区域内为止），则指针指在甲区域内的概率是（） A ．1 B ． 21 C ．31 D ．4 1 A B C D （第8题图）

七年级数学竞赛培优(含解析)专题24 相交线与平行线

专题24 相交线与平行线阅读与思考在同一平面内，两条不同直线有两种位置关系：相交或平行. 当两条直线相交或两条直线分别与第三条直线相交，就产生对顶角、同位角、内错角、同旁内角等位置关系角，善于从相交线中识别出以上不同名称的角是解相关问题的基础，把握对顶角有公共顶点，而同位角、内错角、同旁内角没有公共顶点且有一条边在截线上，这是识图的关键．两直线平行的判定方法和重要性质是我们研究平行线问题的主要依据． 1．平行线的判定 (1)同位角相等、内错角相等，或同旁内角互补，两直线平行； (2)平行于同一直线的两条直线平行； (3)在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行． 2．平行线的性质 (1)过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行； (2)两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补； (3)如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么它和另一条也垂直. 熟悉以下基本图形：例题与求解【例1】 (1) 如图①，AB ∥DE ，∠ABC ＝0 80，∠CDE ＝0 140，则∠BCD ＝__________. （安徽省中考试题） (2) 如图②，已知直线AB ∥CD ，∠C ＝0 115，∠A ＝0 25，则∠E ＝___________. （浙江省杭州市中考试题）

图② A 解题思路：作平行线，运用内错角、同旁内角的特征进行求解. 【例2】如图，平行直线AB ，CD 与相交直线EF ，GH 相交，图中的同旁内角共有( )． A ．4对 B ．8对 C ．12对 D ．16对（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：每一个“三线八角”基本图形都有两对同旁内角，从对原图进行分解入手． C D B 例2题图例3题图【例3】如图，在△ABC 中，CE ⊥AB 于E ，DF ⊥AB 于F ，AC //ED ，CE 是∠ACB 的平分线，求证：∠EDF ＝∠BDF . （天津市竞赛试题）解题思路：综合运用垂直定义、角平分线、平行线的判定与性质，由于图形复杂，因此，证明前注意分解图形．【例4】如图，已知AB ∥CD ，∠EAF ＝ 41∠EAB ，∠FCF ＝41∠ECD .求证：∠AFC ＝4 3 ∠AEC . （湖北省武汉市竞赛试题） D E C A B 图1

初三数学圆的专项培优练习题(含答案)

初三数学圆的专项培优练习题(含答案) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

初三数学圆的专项培优练习题（含答案） 1．如图1，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是EB的中点，则下列结论不成立的是（） A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE 图一图二图三2．如图2，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（） A．4 B．33C．6 D．23 3．四个命题： ①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分； ②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等； ③点P（1,2）关于原点的对称点坐标为（－1，－2）； ④两圆的半径分别是3和4，圆心距为d，若两圆有公共点，则1

A．19° B．38° C．52° D．76° 图四图五 6．如图五，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD=6，且AE：BE =1：3，则AB= ．7．已知AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．（1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小；（2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小． 8．如图，AB为的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q。在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由。

(完整版)初一数学培优专题讲义

初一数学基础知识讲义第一讲和绝对值有关的问题一、知识结构框图：数二、绝对值的意义： (1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 (2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数； ③零的绝对值是零。也可以写成： () () () ||0 a a a a a a ? ?? =? ? - ?? 当为正数当为0 当为负数说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。三、典型例题例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（A ）A．-3a B． 2c－a C．2a－2b D． b

解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a 分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想，由a 、b 、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>，那么y x z y z x --+++ 的值（ C ） A ．是正数 B ．是负数 C ．是零 D ．不能确定符号解：由题意，x 、y 、z 在数轴上的位置如图所示：所以分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x 、y 、z 三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。解：设甲数为x ，乙数为y 由题意得：y x 3=，（1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧：若x 在原点左侧，y 在原点右侧，即 x<0，y>0，则 4y=8 ，所以y=2 ,x= -6 若x 在原点右侧，y 在原点左侧，即 x>0，y<0，则 -4y=8 ，所以y=-2,x=6 （2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧：若x 、y 在原点左侧，即 x<0，y<0，则 -2y=8 ，所以y=-4,x=-12 若x 、y 在原点右侧，即 x>0，y>0，则 2y=8 ，所以y=4,x=12 例4．（整体的思想）方程x x -=-20082008 的解的个数是（ D ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个分析：这道题我们用整体的思想解决。将x-2008看成一个整体，问题即转化为求方程a a -=的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为D 。例5．（非负性）已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值． ()()()()()() 1111 112220072007ab a b a b a b ++++++++++L 0)()(=--+-+=--+++y x z y z x y x z y z x

中考数学初中数学旋转(大题培优)及详细答案

中考数学初中数学旋转(大题培优)及详细答案一、旋转 1．已知正方形ABCD 的边长为4，一个以点A 为顶点的45°角绕点A 旋转，角的两边分别与BC 、DC 的延长线交于点E 、F ，连接EF ，设CE ＝a ，CF ＝b ．（1）如图1，当a ＝42时，求b 的值；（2）当a ＝4时，在图2中画出相应的图形并求出b 的值；（3）如图3，请直接写出∠EAF 绕点A 旋转的过程中a 、b 满足的关系式．【答案】（1）422）b ＝8；（3）ab ＝32．【解析】试题分析：（1）由正方形ABCD 的边长为4，可得AC ＝2 ，∠ACB ＝45°．再CE ＝a ＝2∠CAE ＝∠AEC ，从而可得∠CAF 的度数，既而可得 b=AC ；（2）通过证明△ACF ∽△ECA ，即可得；（3）通过证明△ACF ∽△ECA ，即可得. 试题解析：（1）∵正方形ABCD 的边长为4，∴AC ＝2，∠ACB ＝45°． ∵CE ＝a ＝2∴∠CAE ＝∠AEC ＝ 452 ? ＝22.5°，∴∠CAF ＝∠EAF －∠CAE ＝22.5°，∴∠AFC ＝∠ACD －∠CAF ＝22.5°，∴∠CAF ＝∠AFC ，∴b=AC ＝CF ＝42 （2）∵∠FAE ＝45°，∠ACB ＝45°，∴∠FAC ＋∠CAE ＝45°，∠CAE ＋∠AEC ＝45°，∴∠FAC ＝∠AEC ．又∵∠ACF ＝∠ECA ＝135°，∴△ACF ∽△ECA ，∴AC CF EC CA =，∴42442 =∴CF ＝8，即b ＝8．（3）ab ＝32．提示：由（2）知可证△ACF ∽△ECA ，∴∴ AC CF EC CA =，∴4242 =，∴ab ＝32． 2．（探索发现）如图，ABC ?是等边三角形，点D 为BC 边上一个动点，将ACD ?绕点A 逆时针旋转 60?得到AEF ?，连接CE .小明在探索这个问题时发现四边形ABCE 是菱形. 小明是这样想的：

初三数学中考培优试题

初三数学中考培优试题一．解答题： 1．如图，矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴的负半轴上，且OD=10，OB=8，将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合（1）直接写出点A、B的坐标：A（_________，_________）、B（_________，_________）；（2）若抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，则这条抛物线的解析式是_________；（3）若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，作MN⊥x轴于点N，问是否存在点M，使△AMN与△ACD相似？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，说明理由；（4）当≤x≤7时，在抛物线上存在点P，使△ABP得面积最大，求△ABP面积的最大值． 2．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点．将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转90°，得到线段AB．过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D．运动时间为t秒．（1）当点B与点D重合时，求t的值；（2）设△BCD的面积为S，当t为何值时，S=？（3）连接MB，当MB∥OA时，如果抛物线y=ax2﹣10ax的顶点在△ABM内部（不包括边），求a的取值范围．

3．如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．（1）“抛物线三角形”一定是_________三角形；（2）若抛物线y=﹣x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；（3）如图，△OAB是抛物线y=﹣x2+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O 为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由． 4．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3交y轴于点C，直线l为抛物线的对称轴，点P在第三象限且为抛物线的顶点．P到x轴的距离为，到y轴的距离为1．点C关于直线l的对称点为 A，连接AC交直线l于B．（1）求抛物线的表达式；（2）直线y=x+m与抛物线在第一象限内交于点D，与y轴交于点F，连接BD交y轴于点E，且DE：BE=4：1．求直线y=x+m的表达式；（3）若N为平面直角坐标系内的点，在直线y=x+m上是否存在点M，使得以点O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

专题27 数形结合——初中数学培优

专题27 数形结合阅读与思考数学研究的对象是现实世界中的数量关系与空间形式，简单地说就是“数”与“形”，对现实世界的事物，我们既可以从“数”的角度来研究，也可以从“形”的角度来探讨，我们在研究“数”的性质时，离不开“形”；而在探讨“形”的性质时，也可以借助于“数”．我们把这种由数量关系来研究图形性质，或由图形的性质来探讨数量关系，即这种“数”与“形”的相互转化的解决数学问题的思想叫作数形结合思想. 数形结合有下列若干途径： 1．借助于平面直角坐标系解代数问题； 2．借助于图形、图表解代数问题； 3．借助于方程（组）或不等式（组）解几何问题； 4．借助于函数解几何问题. 现代心理学表明：人脑左半球主要具有言语的、分析的、逻辑的、抽象思维的功能；右半球主要具有非言语的、综合的、直观的、音乐的、几何图形识别的形象思维的功能．要有效地获得知识，则需要两个半球的协同工作，数形结合分析问题有利于发挥左、右大脑半球的协作功能. 代数表达及其运算，全面、精确、入微，克服了几何直观的许多局限性，正因为如此，笛卡尔创立了解析几何，用代数方法统一处理几何问题．从而成为现代数学的先驱．几何问题代数化乃是数学的一大进步．例题与求解【例l 】设1342222+-+++= x x x x y ，则y 的最小值为___________.（罗马尼亚竞赛试题）解题思路：若想求出被开方式的最小值，则顾此失彼．()()921122+-+++= x x y ＝ ()()()()2222302101-+-+-++x x ，于是问题转化为：在x 轴上求一点C (x ，0)，使它到两点A （－1，1）和B (2，3)的距离之和（即CA ＋CB ）最小. 【例2】直角三角形的两条直角边之长为整数，它的周长是x 厘米，面积是x 平方厘米，这样的直角三角形 ( ) A ．不存在 B ．至多1个 C ．有4个 D ．有2个（黄冈市竞赛试题）解题思路：由题意可得若干关系式，若此关系式无解，则可推知满足题设要求的直角三角形不存在；若此关系式有解，则可推知这样的直角三角形存在，且根据解的个数，可确定此直角三角形的个数．

初中数学培优教材勾股定理专题(附答案_全面、精选)

初中数学勾股定理培优教材一、探索勾股定理【知识点1】勾股定理定理容：在RT △中，勾股定理的应用：在RT△中，知两边求第三边，关键在于确定斜边或直角典型题型 1、对勾股定理的理解（1）已知直角三角形的两条直角边长分别为a, b，斜边长c，则下列关于a,b,c的关系不成立的是（） A、c2- a2=b2 B、c2- b2=a2 C、a2- c2=b2 D、a2+b2= c2 （2）在直角三角形中，∠A=90°，则下列各式中不成立的是（） A、BC2- AB2=AC2 B、BC2- AC2=AB2 C、AB2+AC2= BC2 D、AC2+BC2= AB2 2、应用勾股定理求边长（3）已知在直角三角形ABC中，AB=10 cm, BC=8 cm, 求AC的长. （4）在直角△中，若两直角边长为a、b，且满足，则该直角三角形的斜边长为． 3、利用勾股定理求面积（5）已知以直角△的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积为25π，16π，求另一个半圆的面积。（6）如图（1），图中的数字代表正方形的面积，则正方形A的面积为。（7）如图（2），三角形中未知边x与y的长度分别是x=,y=。（8）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8，则AB的长为（） A、6 B、8 C、10 D、12 （9）在直线l上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S S 12 、、 S S S S S S 341234 、，则+++=_____________。【知识点2】勾股定理的验证推导勾股定理的关键在于找面积相等，由面积之间的等量关系并结合图形利用代数式恒等变形进行推导。（等积法）拼图法推导一般步骤：拼出图形---找出图形面积的表达式---恒等变形—推出勾股定理。（10）用四个相同的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c）按图拼法。问题：你能用两种方法表示下图的面积吗？对比两种不同的表示方法，你发现了什么？（11）用两个完全相同的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c）按下图拼法，论证勾股定理：

初中数学平面直角坐标系提高题与常考题和培优题(含解析)-

初中数学直角坐标系提高题与常考题和培优题（含解析）一?选择题（共12小题） 1 ?已知点P （x+3, x - 4）在x 轴上，则x 的值为（） A. 3 B.- 3 C . — 4 D . 4 2?如图，在平面直角坐标系中，点 P 的坐标为（） ! >1 「 F - r i 斗 :: \0 1 :户 '1 4 L ■ ■ ■ ■ ■ 4 N A. (3,— 2) B. ( — 2, 3) C. (— 3, 2) D. (2,— 3) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4. 已知点A （— 1, 0）和点B （1, 2）,将线段AB 平移至A B',点A 于点A 对应, 若点A 的坐标为（1,— 3）,则点B 的坐标为（） A. (3, 0) B. (3,— 3) C. (3,— 1) D. (— 1, 3) 5. 对于任意实数 m 点P (m- 2, 9 — 3m )不可能在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7.如图，正五边形ABCD 放入某平面直角坐标系后，若顶点 A , B , C, D 的坐标 3.已知点P （0, m 在y 轴的负半轴上，贝U 点 M ( — m — m+1 在( 6.如图为A B 、C 三点在坐标平面上的位置图.若 A 、 B 、 C 的x 坐标的数字总和为 a , y 坐标的数字总和为 b ,则a — b 之值为何? 3 D .

分别是(0, a), ( —3, 2), (b, m), (c , m ,则点E的坐标是( )

若将线段AB 平移至AB ,则 a+b 的 A. (6,— 4) B. (5, 2) C. (- 3,— 6) D. (- 3, 4) 10.如图，将△ PQR 向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则顶点 11.在平面直角坐标系xOy 中，对于点P (a , b )和点Q(a , b ), 给出下列定 (3,— 2) 8?如图，A , B 的坐标为(2, 0), (0, 1), D. 5

初中数学平行四边形提高题与常考题和培优题(含解析)

数学平行四边形提高题与常考题和培优题(含解析) 一．选择题（共12小题） 1．如图，DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F，则下列结论正确的是（） A．EF=CF B．EF=DE C．CF＜BD D．EF＞DE 2．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（） A．7 B．8 C．9 D．10 3．如图，在△ABC中，AB=4，BC=6，DE、DF是△ABC的中位线，则四边形BEDF 的周长是（） A．5 B．7 C．8 D．10 4．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE=30°，DF=4，则BF的长为（）

A．4 B．8 C．2 D．4 5．如图，将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E，若AB=8，AD=3，则图中阴影部分的周长为（） A．11 B．16 C．19 D．22 6．如图，在?ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE+AF的值等于（） A．2 B．3 C．4 D．6 7．如图，平行四边形ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为（） A．3cm B．4cm C．5cm D．8cm 8．如图，在?ABCD中，AB=12，AD=8，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点E，CG⊥BE，垂足为G，若EF=2，则线段CG的长为（）

九年级数学培优专题

九上考点复习专题 1、如图，△ABC 的高CF 、BG 相交于点H ，分别延长CF 、BG 与△ABC 外接圆交于D 、 E 两点，则下列结论：①AD=AE ；②AH=AE ；③若DE 为△ABC 的外接圆的直径，则BC=AE.其中正确的是（） A 、① B 、①② C 、②③ D 、①②③ 2、如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2，O 、H 分别为边AB 、AC 的中点，将△ABC 绕点B 逆时针旋转120°到△A 1BC 1的位置，则整个旋转过程中OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为___________. 3、如图，已知点E 在Rt △ABC 的斜边AB 上，以AE 为直径的⊙O 与直角边BC 相切于点D 。（1）求证：AD 平分∠BAC ；（2）若BD=2BE=4，求AC 。 4、如图，已知AB=4为⊙O 的直径，弦C D ⊥AB 且CD 过AO 的中点。（1）如图1，求线段CD 的长度；（2）如图2，P 为优弧CD 上一动点，Q 为△ACP 的内心，当Q 点恰好在线段CD 上时，求DQ 的长度；（3）如图3，点M 与点O 关于直线AC 对称，当点P 在优弧AC 上运动时，试求 2 2 2PM PC PA 的值。 A H C B C 1 B 1 A 1 O 1 A B C D E H F G A B C D O E B C D O A B C D O A B C D O A P Q M P

5、如图，AB 为直径，PB 为切线，点C 在⊙O 上，PO 交⊙O 于D ，AC∥OP。（1）求证：PC 为⊙O 的切线。（2）过D 点作DE⊥AB，E 为垂足，连AD 交BC 于G ，CG=3，DE=4 （3）在（2）下，求半径。 6、如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，AC=2，AD=1，F 为BE 的中点。（1）如图1，当边AD 与边AB 重合时，连接DF ，求证：DF ⊥CF ；（2）如图2，若∠BAE=135°，求CF 的长；（3）将△ADE 绕点A 旋转一周，求点F 运动路径的长。 7、在直角坐标系中，M 为x 轴正半轴上一点，⊙M 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 、D 两点，P 为AB 延长线上一点（不含B 点），连接PC 交⊙M 于Q 点，连接DQ ，若A （-1,0），C （0，3）。（1）如图，求圆心M 的坐标；（2）如图，过B 点作B H ⊥DQ 于H 点，当P 点运动时，线段CQ 、QH 、DH 有何数量关系，证明你的结论；（3）如图，R 为⊙M 的直径DF 延长线上一个动点（不包括F 点），过B 、F 、R 三点作 ⊙N ，CF 交⊙N 于T ，当R 点在DF 的延长线上运动时，FT-FR 的值是否变化？请说明理由。 D C B A F E D C B A F E

初三数学中考培优试题

2013级初三数学中考培优试题一．解答题： 1．如图，矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴的负半轴上，且OD=10，OB=8，将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合（1）直接写出点A、B的坐标：A（_________，_________）、B（_________，_________）；（2）若抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，则这条抛物线的解析式是_________；（3）若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，作MN⊥x轴于点N，问是否存在点M，使△AMN与△ACD相似？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，说明理由；（4）当≤x≤7时，在抛物线上存在点P，使△ABP得面积最大，求△ABP面积的最大值． 2．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点．将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转90°，得到线段AB．过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D．运动时间为t秒．（1）当点B与点D重合时，求t的值；（2）设△BCD的面积为S，当t为何值时，S=？（3）连接MB，当MB∥OA时，如果抛物线y=ax2﹣10ax的顶点在△ABM内部（不包括边），求a的取值范围．

初三数学培优试题(含答案)

初三数学培优试题一学校：班级：姓名：分数：一．选择题 1、下列函数：① 3y x =-，②21y x =-，③() 1 0y x x =-<，④223y x x =-++ 其中y 的值随x 值的增大而增大的函数有（）（A ）4个（B ）3个（C ）2个（D ）1个 2．（2018济南，9，4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点都在方格线的格点上，将△ABC 绕点P 顺时针方向旋转90°，得到△A ′B ′C ′，则点P 的坐标为（） A ．（0，4） B ．（1，1） C ．（1，2） D ．（2，1） x y –1–2–3–41 2 34 1 234 567B C A A' C 'B' O 3、按下面的程序计算，若开始输入x 的值为正数，最后输出的结果为656，则满足条件的x 的不同值最多有（）（A ）2个（B ）3个（C ）4个（D ）5个

4、已知关于x 的不等式组1 2 x a x a ->-?? -或2a <- （B ）25a -≤≤ （C ）25a -<< （D ）5a ≥或 2a ≤- 5、如图所示，已知点A 是半圆上一个三等分点，点B 是AN 的中点，点P 是半径ON 上的动点。若O 的半径长为，则AP BP +的最小值为（）（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ） 6．（3分）如图，矩形ABCD 中，E 是AB 的中点，将△BCE 沿CE 翻折，点B 落在点F 处，tan ∠DCE=．设AB=x ，△ABF 的面积为y ，则y 与x 的函数图象大致为（） A ． B ． C ． D ． B A

八年级(上)数学培优专题_如何做几何证明题(含答案)

如何做几何证明题【知识精读】 1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。 3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。【分类解析】 1、证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。例1. 已知：如图1所示，?ABC 中，∠=?===C AC BC AD DB AE CF 90，，，。求证：DE ＝DF C F B A E D 图1

分析：由?ABC 是等腰直角三角形可知，∠=∠=?A B 45，由D 是AB 中点，可考虑连结CD ，易得CD AD =，∠=?DCF 45。从而不难发现??DCF DAE ? 证明：连结CD AC BC A B ACB AD DB CD BD AD DCB B A AE CF A DCB AD CD =∴∠=∠∠=?=∴==∠=∠=∠=∠=∠=90，，，， ∴?∴=??A D E CDF DE DF 说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD ，因为CD 既是斜边上的中线，又是底边上的中线。本题亦可延长ED 到G ，使DG ＝DE ，连结BG ，证?EFG 是等腰直角三角形。有兴趣的同学不妨一试。例2. 已知：如图2所示，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AE ＝CF 。求证：∠E ＝∠F D B C F E A 图2 证明：连结AC 在?ABC 和?CDA 中， AB CD BC AD AC CA ABC CDA SSS B D AB CD AE CF BE DF ===∴?∴∠=∠==∴=，，，??() 在?BCE 和?DAF 中，

2019中考数学培优试题

2019级初三数学中考培优试题一．解答题： 1．如图，矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴的负半轴上，且OD=10，OB=8，将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合（1）直接写出点A、B的坐标：A（_________，_________）、B（_________，_________）；（2）若抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，则这条抛物线的解析式是_________；（3）若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，作MN⊥x轴于点N，问是否存在点M，使△AMN与△ACD相似？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，说明理由；（4）当≤x≤7时，在抛物线上存在点P，使△ABP得面积最大，求△ABP面积的最大值． 2．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点．将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转90°，得到线段AB．过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D．运动时间为t秒．（1）当点B与点D重合时，求t的值；（2）设△BCD的面积为S，当t为何值时，S=？（3）连接MB，当MB∥OA时，如果抛物线y=ax2﹣10ax的顶点在△ABM内部（不包括边），求a的取值范围．

初三数学培优练习题(含答案)

C A B D 初三数学培优练习题13 1、自然数4、5、5、x 、y 从小到大排列后，其中位数．．．为4，如果这组数据唯一．．的众数是5,那么，所有满足条件的x 、y 中，y x +的最大值是（）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 2、两个相同的瓶子装满酒精溶液，在一个瓶子中酒精与水的容积之比是:1p ，而在另一个瓶子中是:1q ，若把两瓶溶液混合在一起，混合液中的酒精与水的容积之比是（） A ．2 p q + B ．22 p q p q ++ C ． 2pq p q + D ． 22 p q pq p q ++++ 3．由325x y a x y a x y a m -=+??+=??>??>?得a>－3,则m 的取值范围是（） A m>－3 B m ≥－3 C m ≤－3 D m<－3 4、在ABC ?中，b CA c AB a BC ===,,。且a 、b 、c 满足：2382-=-b a ，34102-=-c b ， 762=-a c 。则=+B A sin sin 2 （） A ．1 B ． 5 7 C ．2 D ．512 5．将一副三角板如下图摆放在一起，连结AD ，则ADB ∠的正切值为( ) A 1 B 1 C 6．给出下列四个命题：（1）如果某圆锥的侧面展开图是半圆，则其轴截面一定是等边三角形；（2）若点A 在直线y =2x -3上，且点A 到两坐标轴的距离相等，则点A 在第一或第四象限；（3）半径为5的圆中，弦AB=8，则圆周上到直线AB 的距离为2的点共有四个；（4）若A （a ，m ）、B （a –1，n ）(a >0)在反比例函数x y 4 = 的图象上，则m y 2 D y 1与y 2的大小不能确定

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