解三角形高考大题-带答案(汇编)
解三角形高考大题，带答案
1. （宁夏17）（本小题满分12分）
如图，ACD △是等边三角形，ABC △是等腰直角三角形，
90ACB =o
∠，BD 交AC 于E ，2AB =．
（Ⅰ）求cos CAE ∠的值； （Ⅱ）求AE ．
解：（Ⅰ）因为9060150BCD =+=o
o
o
∠，
CB AC CD ==，
所以15CBE =o
∠．
所以62
cos cos(4530)4
CBE +=-=o
o
∠． ···················································· 6分 （Ⅱ）在ABE △中，2AB =， 由正弦定理
2
sin(4515)sin(9015)
AE =-+o o o o ．
故2sin 30
cos15AE =
o
o
122
624
?
=
+62=-． 12分
2. （江苏17）（14分） 某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km ，BC=10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A 、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO 、BO 、OP ，设排污管道的总长为ykm 。
（1）按下列要求写出函数关系式：
①设∠BAO=θ(rad )，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP=x (km )，将y 表示成x 的函数关系式；
（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。
【解析】：本小题考查函数的概念、
解三角形、导数等基本知识，考查数学建模能力、 抽象概括能力和解决实际问题的能力。
（1）①由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO=θ(rad )，则10
cos cos AQ OA BAO θ
=
=∠，
故10
cos OB θ
=
又1010OP tan θ=-，所以1010
1010cos cos y OA OB OP tan θθθ
=++=
++- B
A
C
D
E
B C D A
O
P
所求函数关系式为2010sin 10
(0)cos 4
y θ
π
θθ
-=
+≤≤
②若OP=x (km )，则OQ=10-x ，所以222(10)1020200OA OB x x x ==-+=-+
所求函数关系式为2220200
(010)y x x x x =+-+≤≤
（2）选择函数模型①，22
10cos cos (2010sin )(sin )10(2sin 1)
'cos cos y θθθθθθθ
-----== 令'0y =得1sin 2θ= 046
ππ
θθ≤≤∴=Q
当(0,)6πθ∈时'0y <，y 是θ的减函数；当(,)64
ππ
θ∈时'0y >，y 是θ的增函数；
所以当6πθ=时，min 1
2010210103103
2
y -?
=+=+ 此时点O 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边103
3
km 处。 3. （辽宁17）（本小题满分12分）
在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3
C π=． （Ⅰ）若ABC △的面积等于3，求a b ，； （Ⅱ）若sin 2sin B A =，求ABC △的面积． 解：（Ⅰ）由余弦定理得，2
2
4a b ab +-=， 又因为ABC △的面积等于3，所以
1
sin 32
ab C =，得4ab =． ·
······················· 4分 联立方程组2244a b ab ab ?+-=?=?
，
，解得2a =，2b =． ·············································· 6分
（Ⅱ）由正弦定理，已知条件化为2b a =， ························································· 8分
联立方程组2242a b ab b a ?+-=?=?，，
解得233a =，43
3b =．
所以ABC △的面积123
sin 23
S ab C =
=． ····················································· 12分 4．（全国Ⅰ17）（本小题满分12分）
设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且cos 3a B =，sin 4b A =． （Ⅰ）求边长a ；
（Ⅱ）若ABC △的面积10S =，求ABC △的周长l ． 解：（1）由cos 3a B =与sin 4b A =两式相除，有：
3cos cos cos cot 4sin sin sin a B a B b B B b A A b B b
====
又通过cos 3a B =知：cos 0B >， 则3cos 5B =
，4sin 5B =， 则5a =． （2）由1
sin 2
S ac B =
，得到5c =． 由222
cos 2a c b B ac
+-=，
解得：25b =， 最后1025l =+．
5．（全国Ⅱ17）（本小题满分10分） 在ABC △中，5cos 13
A =-
，3
cos 5B =．
（Ⅰ）求sin C 的值；
（Ⅱ）设5BC =，求ABC △的面积．
解：（Ⅰ）由5cos 13
A =-
，得12sin 13A =，
由3cos 5B =，得4
sin 5
B =． ··········································································· 2分
所以16
sin sin()sin cos cos sin 65
C A B A B A B =+=+=． ····································· 5分
（Ⅱ）由正弦定理得45sin 13512sin 313
BC B AC A ?
?==
=． ··········································· 8分 所以ABC △的面积1sin 2S BC AC C =???1131652365=???8
3
=． ·
···················· 10分 6. （上海17）（本题满分13分）
如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC ．小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，小区里 有两条笔直的小路AD DC ，，且拐弯处的转角为120o
．已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）．
【解法一】设该扇形的半径为r 米. 由题意，得
CD =500（米），DA =300（米），∠CDO=0
60……………………………4分 在CDO ?中，2
2
2
2cos 60,CD OD CD OD OC +-???=……………6分
1200
O
C
A