2017西城区初三二模数学试卷及答案
北京市西城区 2017 年初三二模试卷
数学2017. 6
考
生
须
知
1 ．本试卷共6 页，共五道大题，
25 道小题，满分120 分。考试时间120 分钟。2．在试
卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
、选择题 (本题共32 分，每小题4分) 下面各题均有四个选项，
其中只有一个是符合题意的．
1．
3的倒数是
1
A．
3 B．C．
1
3
D．
2．列运算中正确的
是
B． a a2a2
3．若一个多边形的内角和是
C．(ab)2 a2b2
720°，则这个多边形的边数
是
D．
2 3 5 (a ) a
4．
A．5 B ．
若x 3 y 2 0，则y x的值为
A ．8 B．6
C．7
C．5
5．列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是
6．对于一组统计数据：3，3，6，3，5，
A．中位数是6 B ．众数是3
列说法中错误．
7．
D．
的是
C．平均数是4
如图，边长为3 的正方形ABCD 绕点EF 交AD
于点H，则四边形DHFC 的面积为
C 按顺时针方向旋转30
D ．方差是1.6
°后得到正方形EFCG ，
A ．3
B
．
33
C
．
9
D
．
63
8．如图，点A，B，C 是正方体三条相邻的棱的中点，沿着A，B，C
三点所在的平面将该正方体的一个角切掉，然后将其展开，其展开
图可能是
A B C
A B C D
二、填空题 (本题共16 分，每小题4分)
3
9．函数y 3中，自变量x 的取值范围是
x2
10．若把代数式x2 8x 17化为(x h)2 k的形式，其中 h，11．如
k 为常数，则 h k =
图，在△ ABC 中，∠ ACB= 52°，点D，E 分别是AB，
AC 的中点．若点F 在线段DE 上，且∠ AFC= 90°，则∠FAE
的度数为°．
12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在第一象限，点
B 在x 轴的正半轴上，∠ OAB=90°．⊙ P1 是△ OAB 的内
切圆，且P1 的坐标为(3,1)．
(1)OA 的长为，OB 的长为；
(2)点C在OA 的延长线上，CD∥AB交x轴于点D．将⊙ P1沿水平方向向右平移2个
单位得到⊙ P2，将⊙ P2沿水平方向向右平移2 个单位得到⊙ P3，按照同样的方法
继
续操作，依次得到⊙ P4，??⊙P n．若⊙P1，⊙P2，??⊙P n均在△ OCD的内
部，且⊙ P n恰好与CD 相切，则此时OD 的长为．(用含n 的式子表示)
三、解答题 (本题共30 分，每小题5分)
1 1 0
13．计算：( ) 127 (5 )06tan 60 ．
4
14．如图，点C是线段AB 的中点，点D，E在直线AB 的同侧，
∠ECA=∠DCB，∠D=∠E．
求证：AD=BE．
2
15．已知x 3x 1 0 ，求代数式(x 2)(x 3) (2x 1)(2x 1) 4x 的值．
16．已知关于x的一元二次方程x2 7x 11 m 0 有实数根．
(1)求m 的取值范围；
(2)当m 为负整数时，求方程的两个根．
A B C D 17．列方程(组)解应用题：
水上公园的游船有两种类型，一种有4 个座位，另一种有6 个座位．这两种游船的收费标准是：一条4 座游船每小时的租金为60 元，一条6 座游船每小时的租金为100 元．某公司组织38名员工到水上公园租船游览，若每条船正好坐满，并且1 小时共花费租金600 元，求该公司分别租用4 座游船和6 座游船的数量．
18．为了解“校本课程”开展情况，某校科研室随机选取了若干学生进行问卷调查( 要求每位学生只能填写一种自己喜欢的课程) ，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计
图：
调查结果的条形统计图调查结果的扇形统计图
请根据以上信息回答下列问题：
(1) 参加问卷调查的学生共有人；
(2) 在扇形统计图中，表示“ C”的扇形的圆心角为度；
(3) 统计发现，填写“喜欢手工制作”的学生中，男生人数∶女生人数= 1∶6．如果从
所有参加问卷调查的学生中随机选取一名学生，那么这名学生是填写“喜欢手工制
作”的女生的概率为
四、解答题 (本题共20 分，每小题5分)
1 9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b的图象与x 轴交于点A( 3,0)，
4
与 y 轴交于点B ，且与正比例函数y 4x 的图象的交点为
3
(1) 求一次函数y kx b 的解析式；
(2) 若点D 在第二象限，△ DAB 是以AB 为直角边的等腰直
角三角形，直接写出点D 的坐标．
20．如图，四边形ABCD中，∠ BAD= 135°，∠BCD= 90°，AB=BC= 2，
tan∠ BDC= 6．3．
(1) 求BD 的长；
(2) 求AD 的长．
21．如图，以△ ABC 的一边 AB 为直径作⊙ O ， ⊙O 与 BC 边
的交点 D 恰好为 BC 的中点， 过点 D 作⊙O 的切线交 AC 边于点 E ．
(1) 求证： DE ⊥ AC ；
3 OF
(2) 连结 OC 交 DE 于点 F ，若 sin ABC 3 ，求 OF
的值． 4 FC
xOy 中，点 P(x,y) 经过变换 得到点 P (x,y) ，该变换记作
x ax by,
(x,y) (x,y)，其中 (a,b 为常数)．例如，当a 1，且 b 1时， y ax by
( 2,3) (1, 5) ．
(1) 当 a 1，且 b 2时， (0,1) = ； (2) 若 (1,2) (0, 2)，则 a= ， b = ；
(3) 设点 P(x,y) 是直线 y 2x 上的任意一点， 点 P 经过变换 得到点 P (x , y ) ．若点 P
与点 P 重合，求 a 和 b 的值． 五、解答题 (本题共 22分，第 23题7分，第 24题7分，第 25题 8分)
k
1 23．在平面直角坐标系 xOy 中， A ， B 两点在函数 C 1: y 1
(x 0)的图象上，
x
其中 k 1 0．AC ⊥ y 轴于点 C ，BD ⊥ x 轴于点 D ，且 AC=1． (1) 若k 1=2，则 AO 的长为 ，△BOD 的面积为 ；
(2) 如图 1，若点 B 的横坐标为 k 1，且 k 1 1，当 AO=AB 时，求 k 1的值； k
2
(3) 如图 2，OC=4，BE ⊥ y 轴于点 E ，函数 C 2:y 2
(x 0)的图象分别与线段 BE ，
x
BD 交于点 M ，N ，其中 0 k 2 k 1．将△ OMN 的面积记为 S 1 ，△ BMN 的面积记为 S 2， 若 S S 1 S 2，求 S 与 k 2的函数关系式以及 S 的最大值．
24．在△ ABC 中，AB=AC ，AD ，CE 分别平分∠ BAC 和∠ ACB ，且 AD 与 CE 交于点 M ．点
22 ．在平面直角坐标系
N 在射线AD 上，且NA=NC．过点N 作NF⊥ CE 于点G，且与AC 交于点F ，再过点F 作FH ∥CE，且与AB 交于点H ．
如图1，当∠ BAC=60°时，点M，N，G 重合．①请根据题目要求在图1 中补全图形；②连结EF，HM ，则EF 与HM 的数量关系是
(1)
(2) 如图2，当∠BAC =120 °时，求证：AF=EH ；
(3) 当∠ BAC=36 时，我们称△ABC 为“黄金三角形” ，此时BC
AC
5 1．若EH=4，
2 直接写出GM 的
图1 图2
25．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线 l和抛物线W交于A，B
两点，其中点A 是抛物线W 的顶点．当点A 在直线 l 上运动时，
抛物线W 随点A 作平移运动．在抛物线平移的过程中，线段AB
的长度保持不变．
应用上面的结论，解决下列问题：如图2，在平面直角坐标系
xOy 中，已知直线l1:y x 2．点A是直线l1上的一个动点，且点A 的
横坐标为
t ．以A 为顶点的抛物2
线C1 : y x bx c 与直线l1 的另一个交点为点B．(1) 当 t 0 时，求抛物线C1的解析式和AB 的长；
(2) 当点B 到直线OA 的距离达到最大时，直接写出此时点A 的坐标；
1
(3)过点A 作垂直于 y 轴的直线交直线l2 : y x 于点C ．以C 为顶点的抛物线
2
2
C2 : y x2 mx n与直线l2的另一个交点为点D．
①当AC⊥ BD 时，求t 的值；
②若以A，B，C，D 为顶点构成的图形是凸四边形，直接写出满足条件的t 的取值
范围．
图2 备用图
北京市西城区 2017 年初三二模
、选择题 （本题共 32 分，每小题 4分） 题号
1 2 3 4 5 6 7 8 答案
C
C
B
A
B
A
B
D
16 49
10
11
12
x2 5 64 4
5 2n+3
阅卷说明：第 12 题第一、第二个空各 1 分，第三个空 2分. 三、解答题 （本题共 30 分，每小题
5分）
13．解：原式 =4 3 3 1 6 3
=5 3 3 ．
16．解： （1） ∵关于 x 的一元二次方程 x 2
7x 11 m 0 有实数根，
2
∴
72
4(11 m) 0.
数学试卷参考答案及评分标准
2017.6
4分 5分
14．证明：∵点 C 是线段 AB 的中点，
∴ AC=BC. ??? 1分
∵∠ ECA= ∠DCB ，
∴∠ ECA+∠ ECD =∠ DCB +∠ECD ， 即∠ ACD=∠ BCE. ????
在△ ACD 和△ BCE 中，
D E, ACD BCE, AC BC,
2分
∴△ ACD ≌ △BCE. ∴AD=BE .
15．解： (x 2)(x 3) (2x 1)(2x 1) 4x
4 分 5分
22
x 2 5x 6 (4x 2
1) 4x 2分 2
3x 2
9x 7.
3分 22
∵ x 2 3x 1 0 ， 即 x 2 3x 1 ， 4分 ∴原式
3(x 2
3x) 7 3 1 7 4.
5分
1?分?
B
依题意得
4x 6y 38,
60x 100y 600. x 5, 解得
y 3.
(2) 54；
3 (3) 20
．
17
． 解
：
5
∴ m
.
4
(2) ∵ m 为负整数，
∴ m 1.
此时方程为 x 2 7x 12 0. 解得 x 1= 3，x 2= 4.
设租用 4 座游船 x 条，租用 6 座游船 y 条.
2?
分? ? 3 ?分 ? 4 分 5分 ? 1 分 18． 答
： 解：
该公司租用
(1) 80； 4 座游船 5 条， 6 座游船 3 条 .
5分 1分 四、 19
． 20 分，每小题 5 分)
4 解： (1)∵点 C( m ,4)在直线 y x 上， 3
解答题 (本题共 4
∴ 4 4m ，解得 m 3.
3 ∵点 A( 3,0)与 C(3,4)在直线 y kx b(k 0) 上，
1分
4 y= 3x
C y=kx+b
B
20． ∴
0 3k b,
4 3k b.
2 k
2
, 解得 3 b 2.
∴一次函数的解析式为 y 2x 2.
3
(2) 点 D 的坐标为 ( 2,5)或( 5,3).
阅卷说明：两个点的坐标各 1 分 .
解： (1)在 Rt △ BCD 中，∠ BCD= 90°， BC= 2，
2分
A
-3
3分 5分
∴
2 6
∴
CD 3 .
∴ CD= 6. ???????????? ∴由勾股定理得 BD= BC 2
+CD 2
= 10 . ??? 2 分 (2)如图，过点 D 作 DE ⊥AB
交 BA 延长线于点 E .
1分
tan ∠ BDC= 36
，
3分
4分 3分 5分
∵∠ BAD= 135 °，
∴∠ EAD= ∠ ADE= 45°.
∴AE=ED . ????????????????????????? 3 分
设AE=ED= x ，则AD= 2x.
2 2 2
∵DE2+BE2=BD 2，
∴ x2+(x+2)2=( 10)2. ??????????????????? 4 分解得x1= _3(舍)，x2=1 .
∴AD= 2x= 2. ?????????????????????? 5 分21．(1)证明：连接OD .
∵DE 是⊙ O 的切线，
∴DE⊥OD，即∠ ODE= 90° . ?????????????????1分
∵AB是⊙O 的直径，
∴O是AB的中点.
又∵D 是BC 的中点，.
∴ OD∥ AC .
∴∠ DEC= ∠ODE= 90 ° .
∴DE⊥AC . ???????????????????????? 2 分
(2)连接AD .
∵OD∥AC，
OF OD FC EC .
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ ADB= ∠ADC =90° . 又∵D为BC的中点，
∴AB=AC.
∵ sin∠ ABC= AD=3，
AB 4
故设AD= 3x , 则AB=AC= 4x , OD= 2x . ∵DE⊥AC，∴∠ ADC= ∠AED= 90 °.
∵∠ DAC= ∠ EAD，∴△ ADC ∽△ AED. ∴AD AC .
AE AD .
∴ AD2 AE AC.
9
∴AE x.
4
∴ EC 7x.
43分4分
22．
五、23
．
OF OD 8 FC EC
7.
解：(1) (0,1) = ( 2,2) ；
1
(2)a= 1， b= ；
2
(3) ∵点P(x,y)经过变换得到的对应点∴
(x,y) (x, y).
∵点P(x,y) 在直线y 2x 上，
∴ (x,2x) (x,2x) .
x ax 2bx,
2x ax 2bx.
即(1 a 2b)x 0,
(2 a 2b)x 0.
∵ x 为任意的实
数，
1 a 2b 0,
2 a 2b 0.
a
解得
b
3,
2
1
5分
1分
3分
P(x,y ) 与点 P重合，
4分
31
∴ a ，b .
24
解答题 (本题共22 分，第23 题7 分，
解：(1) AO 的长为5，△BOD 的面积为k1
24 题7 分，第25题8 分)
1
；
(2) ∵ A，B两点在函数C1:y k1 (x 0) 的图象上，
∴点A，B的坐标分别为(1,k1) ，(k1,1) .
∵AO=AB，
由勾股定理得AO2 1 k12，AB222
(1 k1)2 (k1 1)2，
5分
2分
3分
222 ∴ 1 k12 (1 k1)2 (k1 1)2.
解得 k1 2 3或 k1 2 3.
∴k1 2 3
(3) ∵ OC=4，
∴点A 的坐标为(1,4) .
∴ k1 4.
设点 B 的坐标为 (m, 4) ，
m
∵BE ⊥ y 轴于点 E ，BD ⊥ x 轴于点 D ， ∴四边形 ODBE 为矩形，且 S 四边形 ODBE =4
，
点 M 的纵坐标为 4 ，点 N 的横坐标为 m .
m
∵点 M ，N 在函数 C 2: y k2(x 0)的图象上，
2
x
∴点 M 的坐标为 (mk2 , 4) ，点 N 的坐标为 (m,k2) .
4 m m
其中 0 k 2 4.
∴当 k 2 2 时， S 的最大值为 1.
(2)连接 MF (如图 2).
∵AD ， CE 分别平分∠ BAC 和∠ ACB ， 且∠ BAC =120°， ∴∠ 1=∠2=60°，∠ 3=∠4.
AB=AC ， AD ⊥BC. NG ⊥EC ，
∠ MDC =∠ NGM =90 °. ∠ 4+∠6=90°，∠ 5+∠6=90°.
∠ 4= ∠ 5. ∠ 3=∠ 5.
NA=NC ，∠ 2=60 °，
△ ANC 是等边三角形 . AN=AC.
∵ S
1
k 22
k 2
4
2
(k 2 2)2
1
∴ S2= 1BM BN 1(m mk2)( 4 k2)
2 2 4 m m
2
(4 k 2)
8
∴
S=S 1 S 2 =(4 k 2 S 2 ) S 2 =4 k 2 2S 2.
2
∴ S 4
k 2 2
(4 k 2
)2
1
4
k 22
4
k
2
， 6分
24． 解： (1)补全图形见图 1，
EF 与 HM 的数量关系是 EF=HM 7分
1分
图2
在△ AFN 和△ AMC 中，
5 3,
AN AC,
2 2,
∴△ AFN≌△ AMC. ????????????????? 3 分
∴AF=AM.
∴△ AMF 是等边三角形.
∴AF=FM，∠ 7=60°.
∴∠ 7=∠ 1.
∴FM∥ AE.
∵FH∥CE，∴四边形FHEM 是平行四边形. ??????????????? 4 分
∴EH=FM.
∴ AF=EH. ????????????????? 5 分
(3) GM 的长为5 1. ?????????????????7 分
25．解：(1) ∵点A 在直线l1: y x 2上，且点A 的横坐标为0，
∴点A 的坐标为(0, 2) .
∴抛物线C1的解析式为y x2 2. ??????????? 1 分
∵点B 在直线l1 : y x 2 上，
∴设点B 的坐标为(x,x 2).
∵点B 在抛物线C1: y x2 2 上，
2 ∴ x 2 x 2 2.
解得 x 0 或 x 1.
∵点A 与点B 不重合，
∴点B 的坐标为( 1, 3). ??????????? 2 分∴由勾股定理得AB= (0 1)2 ( 2 3)2 2 . ???????? 3 分
(2) 点A 的坐标为(1, 1).
(3) ①方法一：设AC，BD 交于点E，直线l1: y x 2分别与x轴、 y轴交于点P
和Q(如图1).则点P 和点Q 的坐标分别为(2,0) ，(0, 2)
∴OP=OQ=2.
∴∠ OPQ =45°.
∵AC⊥ y 轴，
∴AC∥ x 轴.
∴∠EAB =∠OPQ =45°.
∵∠DEA =∠AEB=90°，AB = 2 ，4分
y
图1
∴EA=EB =1.
∵点A 在直线l1 : y x 2 上，且点A 的横坐标为t ，∴点A 的坐标为(t,t 2).
∴点B 的坐标为(t 1,t 3) . ∵AC∥ x 轴，
∴点C 的纵坐标为 t 2.
1
∵点C 在直线l2 : y x 上，
22
∴点C 的坐标为(2t 4,t 2) .
∴抛物线C2的解析式为y [x (2t 4)]2 (t 2) .
∵BD⊥AC，
∴点D 的横坐标为 t 1.
1
∵点D
在直线l2 : y x 上，
2 t1
∴点D 的坐标为(t 1, ) . ????????????????? 5 分2
∵点D 在抛物线C2：y [x (2t 4)]2 (t 2) 上，
t 1 2
∴ [(t 1) (2t 4)]2 (t 2) .
2
5
解得t 或 t 3.
2
∵当 t 3时，点C 与点D 重合，
5
∴t . ????????????????? 6 分2
方法二：设直线l1:y x 2与x轴交于点P，过点A作 y轴的平行线，过点B 作x 轴的平行线，交于点N.(如图2) y
则∠ ANB=90°，∠ ABN=∠ OPB.
在△ABN 中，BN=ABcos∠ABN，AN=ABsin∠ABN. ∵在抛物
线C1随顶点A 平移的过程中，
AB 的长度不变，∠ ABN 的大小不变，
∴ BN 和AN 的长度也不变，即点A 与点B 的横坐标的差
以及纵坐标的差都保持不变.
同理，点C 与点D 的横坐标的差以及纵坐标的差也保持不变
由(1)知当点A 的坐标为(0, 2) 时，点B 的坐标为( 1, 3) ，∴当点A的坐标为(t,t 2)时，点B的坐标为(t 1,t 3) . ∵AC∥ x 轴，
∴点C 的纵坐标为 t 2.
1
∵点C 在直线l2 : y x 上，
2
∴点C 的坐标为(2t 4,t 2) .
令 t 2 ，则点C 的坐标为(0,0) . ∴抛物线C2的解析式为y x2 .
1
∵点D
在直线l2 : y x 上，
22
x
∴设点D 的坐标为(x, ).
2
∵点D 在抛物线C2：y x2上，
x2
∴x .
2
1
解得x 或 x 0.
2
∵点C 与点D 不重合，
11
∴点D 的坐标为( , ).
24
11 ∴当点C 的坐标为(0,0) 时，点D 的坐标为( , ) .
24
∴当点C 的坐标为(2t 4,t 2) 时，点D 的坐标为(2t 7,t 7) . ??5分
24 ∵BD⊥AC，
7 ∴ t 1 2t .
2
5
∴t . ????????????????? 6 分2
15
② t 的取值范围是t 或 t 5. ?????????????8 分
4
说明：设直线l1与l2交于点M.随着点A从左向右运动，从点D与点M 重合，