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点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用

点差法公式在双曲线中点

弦问题中的妙用

Prepared on 22 November 2020

点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用

广西南宁外国语学校隆光诚（邮政编码530007）

圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。

若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。本文就双曲线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。

定理在双曲线122

22=-b

y a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两

点，点

),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2

00a b x y k MN =

?. 证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有???????=-=-)2(.1)1(,122

2222

1221 b y a x b

y a x )2()1(-，得.022

122

1=---b

y a x x

又.22,0

0021211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=

同理可证，在双曲线122

22=-b

x a y （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于

M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则

00b

a x y k MN =?.

典题妙解

例1 已知双曲线13

=-x y C ，过点)1,2(P 作直线l 交双曲线C 于A 、B 两点. （1）求弦AB 的中点M 的轨迹；

（2）若P 恰为弦AB 的中点，求直线l 的方程. 解：（1）,3,122==b a 焦点在y 轴上.

设点M 的坐标为),(y x ，由22b a x y k AB =?得：3

21=?--x y x y ，

整理得：.032322=+--y x y x

∴所求的轨迹方程为.032322=+--y x y x

（2） P 恰为弦AB 的中点，

∴由2200b

a x y k AB =?得：,3121=?AB k 即.32

=AB k

∴直线l 的方程为)2(3

1-=

-x y ，即.0132=--y x 例2 已知双曲线22:22=-y x C 与点).2,1(P

（1）斜率为k 且过点P 的直线l 与C 有两个公共点，求k 的取值范围；（2）是否存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P （3）试判断以)1,1(Q 为中点的弦是否存在.

解：（1）直线l 的方程为)1(2-=-x k y ，即.2k kx y -+=

由???=--+=.

22,22

2y x k kx y 得.064)2(2)2(2

222=+-+---k k x k k x k 直线l 与C 有两个公共点，

∴得?????+----=?≠-.

0)64)(2(4)2(4,022

2222 k k k k k k 解之得：k ＜2

且.2±≠k

∴k 的取值范围是).2

,2()2,2()2,( ---∞

（2）双曲线的标准方程为.2,1,12

222

==∴=-b a y x 设存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ，则由22

00a b x y k AB =

?得：.1,22=∴=?k k 由（1）可知，1=k 时，直线l 与C 有两个公共点，

∴存在这样的弦.这时直线l 的方程为.1+=x y

（3）设以)1,1(Q 为中点的弦存在，则由2

00a b x y k AB =

?得：.2,21=∴=?k k 由（1）可知，2=k 时，直线l 与C 没有两个公共点，

∴设以)1,1(Q 为中点的弦不存在.

例3 过点)0,2(-M 作直线l 交双曲线1:22=-y x C 于A 、B 两点，已知

+=（O 为坐标原点），求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.

解：在双曲线1:22=-y x C 中，122==b a ，焦点在x 轴上.设弦AB 的中点为Q . 由平行四边形法则知：OQ OP 2=，即Q 是线段OP 的中点.

设点P 的坐标为),(y x ，则点Q 的坐标为??

??2,2y x .

由222

2a b x y k AB =?得：14222=?+=?+x y

x y x y x y

，

整理得：.0422=+-x y x

配方得：

4)2(2

2=-+y x . ∴点P 的轨迹方程是

4)2(2

2=-+y x ，它是中心为)0,2(-，对称轴分别为x 轴和直线02=+x 的双曲线.

例4. 设双曲线C 的中心在原点，以抛物线4322-=x y 的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线．（Ⅰ）试求双曲线C 的方程；

（Ⅱ）设直线:21l y x =+与双曲线C 交于,A B 两点，求AB ；

（Ⅲ）对于直线1:+=kx y l ，是否存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C

的交点,A B 关于直线4:'+=ax y l (a 为常数)对称，若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由．

解：（Ⅰ）由24y =-得)3

2(322-

=x y ，

∴3=p ，抛物线的顶点是)0,3

，准线是3

3223=

=x . ∴在双曲线C 中，????

???

==.

321,322c

a c . ∴.1,3122==

b a

∴双曲线

C 的方程为1322=-y x .

（Ⅱ）由??

?=-+=.

13,

122

2y x x y 得：0242=++x x .

设),(),,(2211y x B y x A ，则2,42121=-=+x x x x .

∴102]24)4)[(21(]4))[(1(||22212212=?--+=-++=x x x x k AB .

（Ⅲ）假设存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点,A B 关于直线'l 对称，则'l 是线段AB 的垂直平分线. 因而k

a 1-=，从而41:'+-=x k

y l . 设线段AB 的中点为),(00y x P . 由

00a

b x y k AB =?得：

x y k ，

∴003x ky =.…………………………………………①

由41

00+?-=x k

y 得：k x ky 400+-=.…………………………………………………②

由①、②得：3,00==y k x .

由100+=kx y 得：132+=k ，∴2±=k .

又由???+==-.

1,1322kx y y x 得：.022)3(22=++-kx x k

直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两点， ∴)3(8422--=?k k ＞0，即2k ＜6，且32≠k .

∴符合题意的k 的值存在，2±=k .

金指点睛

1. (03全国)已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ，直线1-=x y 与其相交于

M 、N 两点，MN 的中点的横坐标为3

，则此双曲线的方程为（） A.14322=-y x B. 13422=-y x C. 12522=-y x D. 15

2=-y x 2.（02江苏）设A 、B 是双曲线12

=-y x 上两点，点)2,1(N 是线段AB 的中点. （1）求直线AB 的方程；

（2）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆，为什么

3. 已知双曲线1322

=-y x ，过点)2

,21(--P 作直线l 交双曲线于A 、B 两点. （1）求弦AB 的中点M 的轨迹;

（2）若点P 恰好是弦AB 的中点，求直线l 的方程和弦AB 的长.

4、双曲线C 的中心在原点，并以椭圆

113

252

2=+y x 的焦点为焦点，以抛物线x y 322-=的准线为右准线.

（1）求双曲线C 的方程；

（2）设直线)0(3:≠+=k kx y l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，使A 、B 两点关于直线

)0(6:'≠+=m mx y l 对称，求k 的值.

参考答案

1. 解：在直线1-=x y 中，1=k ，32-=x 时，35

-=y . 由2200a b x y k MN =

?得22253235

1a b ==--

?. 又由?????==+=72522222c b a a b 得5,222==b a .

故答案选D.

2. 解：（1）2,12

==b a ，焦点在x 上. 由22

00a

b x y k AB =?得：22=?AB k ，∴1=AB k .

∴所求的直线AB 方程为)1(12-?=-x y ，即01=+-y x .

（2）设直线CD 的方程为0=++m y x ，点)2,1(N 在直线CD 上， ∴021=++m ，3-=m .

∴直线CD 的方程为03=-+y x .

又设弦CD 的中点为),(y x M ，由22a b x y k CD

=?得：21=?-x

，即x y 2-=. 由???-==-+.

03x y y x 得6,3=-=y x . ∴点M 的坐标为)6,3(-.

又由??

??=-=+-.12,0122y x y x 得)4,3(),0,1(B A -.

由两点间的距离公式可知：102||||||||====MD MC MB MA . 故A 、B 、C 、D 四点到点M 的距离相等，即A 、B 、C 、D 四点共圆. 3. 解：（1）3,122==b a ，焦点在x 上. 设点M 的坐标为),(y x .

若直线l 的的斜率不存在，则x l ⊥轴，这时直线l 与双曲线没有公共点，不合题意，故直线l 的的斜率存在.

由22a

b x y k AB =?得：

123=?++

x y x y ，整理，得：0332622=-+-y x y x .

∴点M 的轨迹方程为0332622=-+-y x y x .

（2）由22

00a

b x y k AB =?得：32123

=--

?AB k ，∴1=AB k .

∴所求的直线l 方程为)2

(123+?=+x y ，即1-=x y .

由??

???-==-

.1,132

2x y y x 得022=-+x x ，解之得：1,221=-=x x .

4. 解：（1）在椭圆

113

252

2=+y x 中，32,13,522=-===b a c b a ，

∴焦点为)0,32(),0,32(21F F -.

在抛物线x y 322-=中，3=p ，∴准线为2

x . ∴在双曲线中，2

32=c a . 从而.3,3==b a ∴所求双曲线C 的方程为19

2=-y x . （2）直线'l 是弦AB 的垂直平分线，∴k m 1-=，从而61

:'+?-=x k

y l . 设弦AB 的中点为),(00y x P .

由22

00a b x y k AB =?得：

300=?x y k ，∴003x ky =.…………………………………………① 由61

00+?-=x k

y 得：k x ky 600+-=.…………………………………………………②

由①、②得：2

,2300==y k x

又 300+=kx y ，

∴

32329+?=k

k ，即12=k . ∴1±=k . 由?????+==-

.3,1932

2kx y y x 得.0186)3(22=++-kx x k 直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，

∴)3(723622--=?k k ＞0，即2k ＜6，且32≠k . ∴1±=k 符合题意.

故k 的值为1±.