江苏省高考数学模拟考试试题(含答案)
江苏省高考数学模拟考试试题（含答案）
数学Ⅰ
参考公式：
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{
}
{}
11,022
<<-=<-=x x N x x x M , 则M 与N 的并集．．N M Y = ▲ .
2．设复数()0>+=a i a z ，若2=z z ,则正实数a 的值为 ▲ .
3．某电视台对一节目的喜爱程度进行网络调查，共有12000人参与调查，喜爱、一般、不 喜爱的人分别为6000人、5000人、1000 人，为进一步了解被调查人的具体想法，现利 用分层抽样的方法抽取60人，则抽取不喜爱的人数为 ▲ .
4．某校志愿者小组有2名男生和1名女生，现从中任选2人参加活动，则 女生入选的概率是 ▲ .
5．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ▲ .
6．若双曲线()0,012222>>=-b a b
y a x 的离心率为2.则其两条渐近线所成的锐
角为 ▲ .
7．设三棱锥ABC P -的体积为1V ，点N M ,分别满足2=，NC PN =，记三棱锥
BMN A -的体积为2V ，则
1
2
V V = ▲ . 8．在ABC ?中，角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 若
c a c
a b
B A 2,sin sin =+=则A cos = ▲ .
9．已知数列{}{
}n n b a 、满足,log 2n n a b =且数列{}n b 是等差数列.若9,2103==b b ,则数列 {}n a 的前n 项和n S = ▲ .
10．若函数()()θ+=x x f 2sin 关于直线4
π
=
x 对称，则θ的最小正值．．．．
为 ▲ . 11．若存在．．
实数()4,0∈x ，使不等式01623
<+-ax x 成立，则实数a 的取值范围是 ▲ . 12．在锐角ABC △中，已知AH 是BC 边上的高，且满足AC AB AH 3231+=,则AB
AC
的取 值范围是 ▲ .
13．设函数()x
b ax x x f 222
?+-=，若函数()x f y =与函数()()x f f y =都有零点，且它
们的零点完全相同，则实数a 的取值范围是 ▲ .
14．若圆()16:2
2
1=+-y m x C 与圆()16:2
2
2=+-y n x C 相交，点P 为其在x 轴下方的交点，
且8-=mn ，则点P 到直线01=-+y x 距离的最大值为 ▲ .
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）
若sin cos 22x x m ??= ???u r ，
，cos 22x x n ??
= ???
r
，设()2f x m n =?-u r r ．
（1）求函数()f x 在[]π，0上的单调减区间；
（2）在△ABC ，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若)()(B f A f =，b a 2=，求B sin 的值．
16．（本小题满分14分）
如图，在三棱柱111C B A ABC -中，AC AA =1，11AC B A ⊥，设O 为AC 1与A 1C 的交点，点P 为BC 的中点． 求证：（1）OP ∥平面ABB 1A 1；
（2）平面1ACC ⊥平面OCP ．
17．（本小题满分14分）
如图1是淋浴房示意图，它的底座是由正方形截去一角得到，这一角是一个与正方形两邻边相切的圆的
4
1
圆弧（如图2），现已知正方形的边长是1米，设该底座的面积为S 平方米，周长为l 米（周长是指图．．．．．2．的实线部分．．．．．
），圆的半径为r 米.设计的理想要求是面积S 尽可能大，周长l 尽可能小.但显然S 、l 都是关于r 的减函数，于是设l
S
r f =
)(，当)(r f 的值越大，满意度就越高.试问r 为何值时，该淋浴房底座的满意度最高？（解答时．．．π以．3．代入运算．．．．
）．
18．（本小题满分16分）
如图，A 、B 为椭圆C ：12
22=+y a
x 短轴的上、下顶点，P 为直线l ：2=y 上一动点，连接
P A 并延长交椭圆于点M ，连接PB 交椭圆于点N .已知直线MA ，MB 的斜率之积恒为2
1-
． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）求直线MN 与x 轴平行，求直线MN 的方程；
（3）求四边形AMBN 面积的最大值，并求对应的点P 的坐标．
19．（本小题满分16分）
已知数列{}n a 满足121+=-+n a a n n ．
（1）若数列{}n a 的首项为1a ，其中301< （2）若n a 是公差为d （d >0）的等差数列{}n b 的前n 项和，求1a 的值； （3）若1a =1，22-=a ，且数列{}1-2n a 单调递增，数列{}n a 2单调递减，求数列{}n a 的通项公式． 20．（本小满分16分） 设函数x e x x f ) ()(?= ，) (ln )(x x x g ?= ，其中)(x ?恒不为0. （1）设2 )(x x =?，求函数)(x f 在1=x 处的切线方程； （2）若0x 是函数)(x f 与)(x g 的公共极值点，求证：0x 存在且唯一； （3）设b ax x +=)(?，是否存在实数a ，b ，使得0)()(<'?'x g x f 在()∞+， 0上恒成立？若存在，请求出实数a ，b 满足的条件；若不存在，请说明理由． 数学Ⅱ(附加题) 21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 直线l 经矩阵M=???θθsin cos ? ? ? -θθcos sin （其中()πθ，0∈）作用变换后得到直线x y l 2:='，若直线l 与直线l '垂直，求θ的值. B.[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程112x y t ?=-+???=-?， （t 为参数）．以坐标原点为极 点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=，设P 为上动点， 求直线l 被曲线C 截得的弦长． C ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分） 若实数a b c ，，满足243a b c ++=，求111123a b c +++++的最小值． 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22.（本小题满分10分） 已知某高校综合评价有两步：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试.只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格.现有A ，B ，C 三名学生报名参加该高校的综合评价，假设A ，B ，C 三位学生材料初审合格的概率分别是 31，21，41；面试合格的概率分别是21，31，3 2 . （1）求A ，B 两位考生有且只有一位考生获得录取资格的概率； （2）记随机变量X 为A ，B ，C 三位同学获得该高校综合评价录取资格的人数，求X 的概率 分布与数学期望. 23.（本小题满分10分） 设集合{}n T n ,,3,2,1???=（其中*∈≥N n n ,3），将n T 的所有3元子集（含有3个元素的子集） 中的最小元素的和记为n S . （1）求3S ，4S ，5S 的值； （2）试求n S 的表达式. 参考答案 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1. ()1,2- 2. 1 3. 5 4. 23 5. 13 6. 3 π 7. 1 6 8. 64 9.21n - 10. 2π 11. ()6,+∞ 12. 22?? ? ??? 13. (]2,0- 14. 52 2 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. 解 ： （ 1 ） 21()cos sin =sin +22223x x x f x m n x x x π??=?-++ ?? ?u r r ， .............4分 当32+ 22 3 2k x k k Z π π πππ+≤≤+ ∈，时函数()f x 单调递减，即722,66 k x k k Z ππ ππ+≤≤+∈, 又 因 为 [0,] x π∈，所 以 函 数 ()f x 在 [0,] π上的减区间为 [,]6 π π ...............6分（2）由()()f A f B =得 sin +sin +33A B ππ??? ?= ? ???? ?，又2a b =,所以A B >，所以+++=33A B πππ， 得 += 3 A B π ， ..... ......8分 由 2a b =及正弦定理得sin 2sin A B =,所以 sin 2sin 3B B π?? -= ??? ,即 sin cos cos sin 2sin 33 B B B π π -=， 解 得 cos B B ， ...........12分 又22sin +cos =1B B ，得23 sin = 28 B ,又因为,所以sin =14B ...........14分 sin 0B >16．证明：（1）因为在平行四边形11ACC A 中，O 为1AC 与1A C 的交点，所以O 为1A C 的中点， 又 因 为 点 P 为BC 的中点，所以 OP ∥1A B ， ...............4分 又 OP ?平面 11 ABB A ， 1A B ? 平面 11 ABB A ，所以OP ∥平面 11ABB A . ...............6分 （ 2）由（1）知 OP ∥ 1A B ，又 11 A B AC ⊥，所以 1AC OP ⊥, ...............8分 在平行四边形11ACC A 中1AA AC =，所以四边形11ACC A 为菱形，所以 11AC A C ⊥, ............10分 又 1,OP A C ? 平面OCP ，且 1 OP AC O =I ,所以 1AC ⊥ 平面 OCP , ............12分 又 1AC ? 平面 1AC C ，所以平面 1AC C ⊥ 平面 OCP ． ............14分 17．解：周长11 22(1)2442 l r r r π=+-+?=-， 面 积 22211 1()144 S r r r π=--=-， (4) 分 所以 2 21 144()1 2(8)42 r r f r r r --==--， (0,1)r ∈， …………6分 令8r x -= ，则224(8)4(8)30()16()16222x x x f r x x x ----===-+≤- ……… …10分 当且仅当60 x x =时， 即x =()f r 最大， 此时8r =- …………13分 答 ： 当 8r =-时，该淋浴房的满意度最 高. …………14分 18．解：（1）由椭圆22 2:1x C y a +=，所以(0,1)A ，(0,1)B -，设00(,)M x y ， 则 0000111 2 y y x x -+?=-， …………2分 所以2 200112 y x =-，又220021x y a +=，解得2 2a =， 所以椭圆的方程为 2 212 x y +=. …………4分 （2）设(,2)P t ，当0t =时，0M N x x ==，不符题意，所以0t ≠， 所以1 PA k t =，直线PA 的方程为：1 1y x t =+， 即x ty t =-， …………6分 代入椭圆方程得到 2 2()12 ty t y -+=，即222(1)2(1)0t y y -+-=， 解 得 1 A y =， 22 22 M t y t -=+，同理 2 21818N t y t -=+， …………8分 因直线MN 与x 轴平行，所以2222218218t t t t --=++，解得2 6t =，12 M y =， 所 以 直 线 MN 的方程为 1 2 y = . …………10分 （3）由（2）222112M t x t t -=++，解得242M t x t -=+，同理21218 N t x t =+， …………12分 所以四边形AMBN 的面积224121 2()2218 M N t t S x x t t = ?+=+++， 根据对称性，不妨设0t >，则3224241216(6) 2182036 t t t t S t t t t +=+=++++， …………14分 所以22266 161636620()8t t t t S t t t t + + =?=? ++++ ，设(6m t m t =+≥， 则211161616=16888m S m m m =? =?≤?++ 当且仅当6 t t = 即t =，所以四边形AMBN 面积的最大值 为，此时 点 (2)P . …………16分 19．（1）因121n n a a n +-=+，所以213a a -=±，即213a a =±， 又 103a <<，且前三项是公比小于0的等比数列，所以 2130a a =-<， …………2分 325a a -=±，即3250a a =+>，所以312a a =+ 所 以 2111(3)(2) a a a -=+，解得 19 8 a = . …………4分 （ 2 ） 因 n a 是等差数列 {} n b 的前 n 项和，所以 1121n n n a a b n ++-==+， …………6分 又 111 n b b dn dn a +=+=+，所以 121dn a n +=+， …………8分 当121dn a n +=--时，1(2)10d n a +++=，所以2d =-，不符题意； 当 121 dn a n +=+时， 1(2)10 d n a -+-=，所以 2 d =， 11a =. …………10分 （3）因为数列{}21n a -单调递增，所以...531<<>>a a a ； 又因为21a a >，