幂函数复习讲义绝对经典整理
例1.定义在R 上的函数)x (f 满足)x (f )4x (f =+，当6x 2≤≤时，,n )2
1
()x (f |m x |+=- 31)4(f =．
(1) 求n m ,的值；
(2) 比较)m log (f 3与)n log (f 3的大小．
例2．方程lgx+x=3的解所在区间为（ ）
A ．(0，1)
B ．(1，2)
C ．(2，3)
D ．(3，+∞)
例3.设a ＞0, f (x)＝x x e
a a e -是R 上的奇函数. (1) 求a 的值;
(2) 试判断f (x )的反函数f
－1 (x)的奇偶性与单调性.
例4. 是否存在实数a, 使函数f (x )＝)x ax (log 2a -在区间]4 ,2[上是增函数 如果存在,
说明a 可以取哪些值; 如果不存在, 请说明理由.
例5．定义在R 上的单调函数f(x)满足f(3)=log 23且对任意x ，y ∈R 都有f(x+y)=f(x)+f(y)．
(1)求证f(x)为奇函数；
(2)若f(k ·3x )+f(3x -9x -2)＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．
1.若函数1x y a b =+-（0>a ，且1≠a ）的图像经过二、三、四象限，则一定有（ ）
A.01a <<且0b >
B.1a >且0b >
C.01a <<且0b <
D.1a >且0b <
2.函数2()log f x x =的图像是（ ）
3.方程lg lg(3)1x x ++=的解x =_______.
4.3128x y ==，则11______x y
-=. 5若103x =，104y =，则210x y -=________.
6已知函数2log ,0()2,0x x x f x x >?=?
≤?，若1()2f a =，则______a =. .
（1）x y =；（2）2
1
x y =；（3）2x y =；（4）1-=x y ；（5）3x y =．
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；
（3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴． 规律1：在第一象限，作直线)1(>=a a x ，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．
规律2：幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线x y =对称．
定义域 、值域 、奇偶性 、 单调性 、 定点。
1．942--=a a x y 是偶函数，且在),0(+∞是减函数，则整数a 的值是 ．
2．函数1
2(0.58)x y -=-的定义域是 ．
3．函数2223()(1)m
m f x m m x --=--是幂函数，且在(0,)x ∈+∞上是减函数，则实数m =______. 1、 数1
2y x --=的定义域是 （ ）
A [0，+∞]
B （—∞，0）
C （0，+∞）
D R
2、 数23y x =的图象是 （ ）
3、 下列函数中是偶函数的是 （ ）
A 3y x
=- B 2,(3,3]y x x =∈- C 23y x =- D 22(1)1y x =-+ 4、 幂函数35m y x -=，其中m ∈N ，且在（0，+∞）上是减函数，又()()f x f x -=，则m=
A 0
B 1
C 2
D 3 （ ）
5、若幂函数a
y x =的图象在0 A a<1 B a>1 C 0 D a<0 （ ） 6、 列结论中正确的个数有 （ ） （1）幂函数的图象一定过原点 （2） 当a<0时.,幂函数a y x =是减函数， （3）当a>0时，幂函数a y x =是增函数 （4）函数22y x =既是二次函数，又是幂函数 A 0 B 1 C 2 D 3 7、若x ∈（8，10）得 （ ） A 2x-18 B 2 C 18-2x D -2 8、 个数133()4a --=，143()4b --=，143()2 c --=的大小顺序是 （ ） A c 9等于 （ ） A 10、已知62()log x f x =，那么(8)f = （ ） A 43 B 8 C 18 D 12 11、若幂函数()f x 存在反函数1()f x -，且反函数的图象经过则()f x 的表达式为 A 3()f x x = B 3()f x x -= C 13()f x x = D 1 3()f x x -= （ ） 12、若21031lg ,log m n == ，则65log 等于 （ ） A 21m n m ++ B 1mn m - C 1m n m +- D 1mn m + 二、填空题(每题5分，共25分) 13、函数1 3 22(1)(4)y x x --=-+-的定义域是 14、设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2 3()f x x =，则(8)f = 15、若1144(1)(22)a a +>-，则实数a 的取值范围是 16、方程222x x +=的解的个数是 17、函数2()3 x f x x +=+的对称中心是 ，在区间 是 函数 三、解答题(每题9分，共27分) 20、求函数4222log log x x y =在144 x ≤≤的最值，并给出最值时对应的x 的值。 例1．已知函数()()2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ： （1） 是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次 函数； 例2．比较大小： （1）1 122 1.5,1.7 （2）33( 1.2),( 1.25)--（3）1125.25,5.26,5.26---（4）30.530.5,3,log 0.5 一、 分类讨论的思想 例3．已知幂函数223m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，求m 的值． 例4、设函数f （x ）＝x 3 ， （1）求它的反函数； （填 “增”或“减”） （2）分别求出f －1（x ）＝f （x ），f －1（x ）＞f （x ），f －1 （x ）＜f （x ）的实数x 的范围． 例5、求函数y ＝52x ＋2x 5 1＋4（x ≥－32）值域． 二、数形结合的思想 例1 已知点在幂函数()f x 的图象上，点124??- ???，，在幂函数()g x 的图象上． 问当x 为何值时有：（１）()()f x g x >；（２）()()f x g x =；（３）()()f x g x < 例2 函数1224(42) (1)y mx x m m mx -=++++-+的定义域是全体实数，则实数m 的取值范围是（ ）． 例3 已知函数223()()m m f x x m -++=∈Z 为偶函数，且(3)(5)f f <，求m 的值，并确定()f x 的解析式． 例4 已知函数2 ()f x x =，设函数()[()](21)()1g x qf f x q f x =-+-+，问是否存在实数(0)q q <，使得()g x 在区间(]4--，∞是减函数，且在区间(40)-，上是增函数若存在，请求出来；若不存在，请说明理由． 例5 讨论函数2221()k k y k k x --=+在0x >时随着x 的增大其函数值的变化情况． 例1 若11(1) (32)m m --+<-，试求实数m 的取值范围． 例2 例2 若33(1)(32)m m +<-，试求实数m 的取值范围． 例3 例3若1122(1)(32)m m +<-，试求实数m 的取值范围． 例4 例4 若44(1)(32)m m +<-，试求实数m 的取值范围． 例1、下列结论中，正确的是( ) A．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1) B．幂函数的图象可以出现在第四象限 C．当幂指数α取1,3，1 2 时，幂函数y＝xα是增函数 D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数 解析当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不通过原点，故选项A 不正确；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα (α∈R)，y>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B不正确；而当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但它在定义域上不是减函数． 答案C 例2、已知幂函数f(x)＝(t3－t＋1)x 1 5 (7＋3t－2t2) (t∈Z)是偶函数且在(0，＋ ∞)上为增函数，求实数t的值． 分析关于幂函数y＝xα(α∈R，α≠0)的奇偶性问题，设p q (|p|、|q|互 质)，当q为偶数时，p必为奇数，y＝x p q 是非奇非偶函数；当q是奇数时，y＝ x p q 的奇偶性与p的值相对应． 解∵f(x)是幂函数，∴t3－t＋1＝1， ∴t＝－1,1或0. 当t＝0时，f(x)＝x 7 5 是奇函数； 当t＝－1时，f(x)＝x 2 5 是偶函数； 当t＝1时，f(x)＝x 8 5 是偶函数，且 2 5 和 8 5 都大于0，在(0，＋∞)上为增函数． 故t ＝1且f (x )＝x 85或t ＝－1且f (x )＝x 2 5 . 点评 如果题中有参数出现，一定要注意对参数的分类讨论，尤其对题中的条件 t ∈Z 给予足够的重视． 例3、如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( ) A ．-1 《简单的幂函数》说课稿 （一课时） 各位专家、同仁，你们好！ 今天，我说课的题目是《普通高中课程标准实验教材·数学1（北师大版）》 《简单的幂函数》一节。现我就教材、教法、学法、教学程序、评价、板书等六方面进行陈述，望各位专家、同仁不吝赐教。 一、说教材： 教材分析：《简单的幂函数》》是高中数学模块一第二章函数第五节内容。函数教学是贯穿整个高中数学课程始终的主线，而且这条线延伸到大学的数学之中。学生在高中阶段应掌握那些基本函数模型呢？这就是简单的幂函数、指数函数和对数函数、三角函数。而在这几种函数中，学生最熟悉就是幂函数，因为他们在初中已熟悉这些幂函数的图像与性质，高中只需在它们的基础上明确幂函数的概念，进而研究幂函数的性质，在此初高中知识衔接自然，过度流畅, 符合学生认知规律。 幂函数作为一个基本初等函数，它的重要性在高中教学与大学教学中均能得以体现。例如：在选修2的导数中《标准》明确要求能根据导数的定义求出的导数.高等数学中，利用泰勒公式可以把具有任意阶导数的函数用多项式函数来近似表示，这就是建立在正整数指数幂函数的基础之上。 高一学生最熟悉是幂函数，就函数性质而言，最难掌握的也是幂函数的性质。因为中作为一个任意实数时，函数图像和性质很难把握，因而高中阶段只局限在五种幂函数。 函数的奇偶性与单调性、周期性称为函数的三大性质，其中最本质的是函数的单调性。奇偶性主要体现函数的图像的对称特征，应用之中三性是分不开的。例如：奇函数在区间上递增且最小值为5，则在上有最___值为____.幂函数的单调性将在第三章最后一节与指数函数和对数函数就增长情况进行比较。可利用计算工具或实际事例比较指数函数、对数函数、幂函数的增长差异，体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。 根据以上分析结合课程标准确定教学目标、重难点如下： 1、教学目标： 1）知识与技能目标:了解指数是整数的简单幂函数的概念;能够通过观察图像总结简单幂函数的简单性质；会利用定义证明简单函数的奇偶性. 2）过程与方法: 体会利用奇偶性画函数图象和研究函数的方法. 3）能力与价值:培养学生从特殊归纳出一般的意识,培养利用图象研究函数奇偶性的能力;引导学生发现数学中的对称美，让学生在识图与画图中获得学习的快乐。 2、教学重点：幂函数的概念、奇偶函数的概念的归纳。 高一数学期末复习幂函数、指数函数和对数函数 1、若函数x a a a y ?+-=)33(2是指数函数，则有 （ ） A 、21==a a 或 B 、1=a C 、2=a D 、10≠>a a 且 2、下列所给出的函数中，是幂函数的是 （ ） A ．3x y -= B ．3-=x y C ．32x y = D ．13-=x y 3、1．指数式b c =a （b >0，b ≠1）所对应的对数式是 （ ） A ．log c a =b B ．log c b =a C ．log a b =c D ．log b a =c 4、若210,5100==b a ，则b a +2= （ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 5、若0≠xy ，那么等式y xy y x 2432-=成立的条件是 （ ） A 、0,0>>y x B 、0,0<>y x C 、0,0> 一、选择题（每小题4分，共计40分） 1．下列各式中成立的一项是 （ ） A ．71 7 7)(m n m n = B ． 33 39= C ．4 343 3 )(y x y x +=+ D ．31243)3(-=- 2．化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 （ ） A ．a 9- B ．a - C ．a 6 D ．2 9a 3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确．．． 的是 （ ） A ．f (x +y )=f(x )·f (y ) B ．) () (y f x f y x f =-） （ C ．)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D ．)()]([· )]([)]([+∈=N n y f x f xy f n n n 4．函数2 10 ) 2()5(--+-=x x y （ ） A ．}2,5|{≠≠x x x B ．}2|{>x x C ．}5|{>x x D ．}552|{>< §5 简单的幂函数 整体设计 教学分析 教材从整数指数的幂函数自然引入，给出定义后，也只是推广到其他整数指数的情况，但是要指出x 为其他实数时仍有意义，留待第三章解决．对于函数的奇偶性，虽然给出了一般定义，但是应该知道，教材重在从图上看出图像的对称性，着重从对称的角度应用这一性质，也就是说，对奇偶性的要求是低的，习题不需要过难，要循序渐进． 值得注意的是尽量用信息技术画幂函数的图像，通过它们的图像，让学生自己归纳出它们的性质． 三维目标 1．了解指数是整数的简单幂函数的概念，巩固画函数图像的方法，培养学生识图和画图的能力． 2．会利用定义证明简单函数的奇偶性，提高学生的逻辑思维能力． 3．了解利用奇偶性画函数图像和研究函数的方法，培养学生分析问题和解决问题的能力． 重点难点 教学重点是幂函数的概念，奇函数和偶函数的概念． 教学难点是判断函数的奇偶性． 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.(1)如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积S ＝a 2，这里S 是a 的函数． (2)如果正方体的边长为a ，那么正方体的体积V ＝a 3，这里V 是a 的函数． (3)如果正方形场地面积为S ，那么正方形的边长a ＝S 12 ，这里a 是S 的函数． 以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？(右边是指数式，且底数都是变量) 这只是我们生活中常用到的一类函数的几个具体代表，如果让你给它们起一个名字的话，你将会给它们起个什么名字呢？(变量在底数位置，解析式右边都是幂的形式) 思路 2.我们已经熟悉正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数，这一节课我们再学习一种新的函数——幂函数，教师板书引出课题． 推进新课 新知探究 提出问题 ①给出下列函数，y ＝x ，y ＝12 x ，y ＝x 2，y ＝x －1，y ＝x 3，考察这些解析式的特点. ②根据①，如果让我们起一个名字的话，你将会给它们起个什么名字呢？请给出一个一般性的结论. ③函数y ＝x ，y ＝ 1x 的图像对称性有什么共同点？ ④函数y ＝x ，y ＝1x 的解析式满足f －x ＝－f x 吗？ ⑤函数y ＝x 2 ，y ＝|x |的图像对称性有什么共同点？ ⑥函数y ＝x 2，y ＝|x |的解析式满足f －x ＝f x 吗？ 活动：①主要看函数的变量的位置和解析式的形式． ②总结出解析式的共性后，类比前面的式子，起出一个名字． 幂函数 知识点 一、幂函数的定义 一般地，形如y x α =（R x ∈）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数.如1 12 3 4 ,,y x y x y x -===等 都是幂函数 二、幂函数的图像 幂函数n y x =随着n 的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握n y x =，当11 2,1,,,323 n =±±± 的图像和性质，列表如下． ① 它们都过点()1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限． ② 11 ,,1,2,332a =时，幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数． ③ 1 ,1,22 a =---时，幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数． ④ 任何两个幂函数最多有三个公共点． 三、幂函数基本性质 （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数 （3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数. 四、解题方法总结 1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论； 2．对于幂函数y ＝α x ，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象 限，其次确定曲线的类型，即α＜0，0＜α＜1和α＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意α＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即α＞0（α≠1）时图象是抛物线型；α＜0时图象是双曲线型；α＞1时图象是竖直抛物线型；0＜α＜1时图象是横卧抛物线型． 典型题 类型一、求函数解析式 例1.已知幂函数2 223 (1)m m y m m x --=--，当(0)x ∈+， ∞时为减函数，则幂函数y =__________． 类型二、比较幂函数值大小 例2.比较下列各组数的大小. (1)4 3 3.14 -与43 π - (2)35 (- 与35 (- (3）比较0.5 0.8 ，0.5 0.9，0.5 0.9 -的大小 类型三、求参数的范围 §2.3幂函数（教案） 教学目标： 知识与技能通过具体实例了解幂函数的概念，掌握幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用。 过程与方法能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，研究幂函数的图象和性质；培养学生数形结合、分类讨论的思想，以及分析归纳的能力。 情感、态度、价值观体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性，培养学生合作交流的意识。教学重点： 重点从五个具体幂函数图象中认识幂函数的一些性质。 难点画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律。 =的图象的规律。 教学关键：揭示出幂函数y xα 教学准备：多媒体课件，几何画板。 教学方式：引导教学法、探索讨论法、多媒体教学法。 学法指导：操作实验、自主探索、合作交流。 教学程序与环节设计： 材料二：幂函数的图象变化规律归纳 ∞）都有定义，并且图象都经过点 板书设计： 幂函数 1、幂函数的定义例2 例4 2、幂函数的图象与性质 教案说明： （1）本节课的教学内容，课本中虽然只有3页，但内容丰富。课本通过几个特殊幂函数的图象类比归纳，得到图象都通过点(1,1)。 （2）本节是新课标新增加的内容，教材不仅仅学习有关幂函数图象与性质的问题，还包含着教会学生通过观察和思考，得到有关幂函数的一些知识的问题。 （3）有意识地将新知识的学习和研究方法渗透到教学过程之中，通过教学过程的设计，将这部分内容适当展开，重新组合，使知识的传授和能力的培养有机地结合到一起。 （4）利用几何画板方便地研究出幂函数的图象，充分展示由幂指数的变化引起幂函数图象的变化的内部规律。这样学生就容易从所举函数的个性中归纳出共性来，从而在整体上对幂函数的图象与性质有较深刻的了解。 经典例题透析 类型一、求函数解析式 例1.已知幕函数y = (nr-m-])x,,,2-2m~3,当xw(0, + 8)时为减函数，则幕函数y二___________________ . 解析：由于丁 =(加2—血—1)#宀2心为幕函数， 所以m2— \ = \,解得m = 2 ,或m = —\. 当ni = 2时，nr -2m-3 = -3 , y = x~3在(0, + 8)上为减函数； 当m = -l时，/7?2-2m-3 = 0, y = %° =1(x^0)在(0, + ?)上为常数函数，不合题意，舍去. 故所求幕函数为y = x-3. 总结升华：求慕函数的解析式，一般用待定系数法，弄明白需函数的定义是关键. 类型二、比较幕函数值大小 例2.比较下列各组数的大小. 4 4 _ 3 _ 3 (1)3」4万与兀了；(2)(-近门与(-73)^. 4 4_4 解：⑴由于幕函数y = ?亍(x>0)单调递减且3」4 <龙，???3.14万 > 兀了. _3 (2)由于y =兀5这个幕函数是奇函数.???f (-x) =-f (x) —_ 3 _ 3 _ 3 _ 3 _ _因此，(一血门二一(血)V,(―巧)V =—(內)V ,而y = (x>0)单调递减，且血 3 3 3 3 3 3 ???(血戸 >"门即(一血门v( 总结升华. (1)各题中的两个数都是“同指数”的幕，因此可看作是同一个幕函数的两个不同的函数值，从而可根据幕函数的单调性做出判断. (2)题(2)中，我们是利用幕函数的奇偶性，先把底数化为正数的幕解决的问题.当然，若直接利用x<0 上幕函数的单调性解决问题也是可以的. 举一反三 【变式一】比较O.805, O.905, 0.9皿的大小. 思路点拨:先利用幕函数)=兀"的增减性比较0?8°5与0.9°"的大小，再根据幕函数的图象比较0.9°"与0.9七5的大小. 解：y = x Q-5^.(0, + oo)上单调递增，且0.8 v 0.9 , .?,0.805 <0.905. 作出函数y = X05与歹=兀七5在第一象限内的图彖， 易知0.严< 0.9心. 幂函数练习题及答案 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内(每小题5分，共50分). 1.下列函数中既是偶函数又是(,)-∞0上是增函数的是??( ) A ．y x =43? B.y x =32 C ．y x =-2 ? D.y x =- 14 ２．函数2 -=x y 在区间]2,2 1 [ 上的最大值是???( ） Ａ. 4 1 ?Ｂ．1-?Ｃ．4 D.4- 3.下列所给出的函数中，是幂函数的是? ?( ） A.3 x y -=?Ｂ．3 -=x y ? C.3 2x y =?Ｄ．13 -=x y 4.函数3 4x y =的图象是? ( ） Ａ． B. Ｃ． D ． 5．下列命题中正确的是? ? ( ) Ａ.当0=α 时函数αx y =的图象是一条直线 B.幂函数的图象都经过(０，0)和(1，1）点 C.若幂函数αx y =是奇函数,则α x y =是定义域上的增函数 D.幂函数的图象不可能出现在第四象限 ６.函数3 x y =和3 1x y =图象满足 ? （ ) A.关于原点对称 Ｂ．关于x 轴对称 C ．关于y 轴对称 ? D.关于直线x y =对称 7． 函数R x x x y ∈=|,|,满足 ( ） A.是奇函数又是减函数 B.是偶函数又是增函数 C.是奇函数又是增函数 ?D ．是偶函数又是减函数 8．函数 2422-+=x x y 的单调递减区间是 ( ） A ．]6,(--∞ ? B ．),6[+∞- C.]1,(--∞ ? D.),1[+∞- 9. 如图１—9所示，幂函数α x y =在第一象限的图象，比较1,,,,,04321αααα的大小（ ) Ａ．102431<<<<<αααα Ｂ．104321<<<<<αααα Ｃ.134210αααα<<<<< D ．142310αααα<<<<< １0． 对于幂函数5 4 )(x x f =,若210x x <<，则 )2( 21x x f +，2 ) ()(21x f x f +大小关系是( ) A.)2( 21x x f +>2)()(21x f x f + ?Ｂ. )2(21x x f +<2) ()(21x f x f + C ． )2( 21x x f +=2 ) ()(21x f x f + ? D. 无法确定 二、填空题：请把答案填在题中横线上(每小题6分,共2４分). １１．函数y x =- 3 2 的定义域是 . 12．的解析式是?? . 1３．9 42 --=a a x y 是偶函数，且在),0(+∞是减函数,则整数a 的值是 . 1４．幂函数),*,,,()1(互质n m N k n m x y m n k ∈=-图象在一、二象限，不过原点，则n m k ,,的奇偶性为 ． 三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤（共76分) . 1５．（1２分)比较下列各组中两个值大小 （１)06072088089611 611 53 53 ..(.)(.).与；（）与-- 1α 3α 4α 2α 5.简单的幂函数 一、教材的地位和作用： 《简单的幂函数》北师大版必修1第2章第5节的内容。是对学生学习了正、反比例函数和二次函数2x y 及其他们的图像和性质的基础上来研究的，是这些特殊函数等在解析式的形式上共有特征的推广，本节突出幂函数从特殊到一般的推广，同时要研究函数的另外一个重要的性质奇偶性，是继函数单调性之后的又一重要的性质，是函数性质的延续和深化，通过本节课的学习，学生将建立幂函数这一函数模型，并能用系统的眼光看待以前已经接触过的函数，因而本节课更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合提升，为后续学习做了铺垫。 二、教学目标： （1）知识与技能目标： ①理解幂函数的概念 ②通过几个幂函数的图象，理解函数奇偶性的概念 ③会利用定义判定、证明简单函数的奇偶性，了解利用奇偶性画函数图 像的方法 （2）过程与方法目标： ①通过幂函数解析式共性的观察、培养学生抽象概括和画图与识图能力。 ②使学生进一步体会数形结合、转化的思想。 ③培养学生从特殊归纳出一般的意识，培养学生利用图像研究函数奇偶 性的能力。 （3）情感态度与价值观 ①通过熟悉的例子消除陌生感引出幂函数的概念，从而引起学生注意，激 发学生的学习兴趣。 ②利用多媒体，了解幂函数图象的变化规律，使学生认识到现代技术在数 学认知过程中的作用，从而激发学生的学习欲望。 三、教学重难点 教学重点：幂函数的概念、奇偶函数的概念，突出待定系数法 教学难点：简单幂函数的概念；定义法判断函数的奇偶性 四、教法学法与教具 本节主要采用“发现法”教学。通过观察函数解析式及函数图像，借助多媒 体全方位的审视，由特殊到一般、直观到抽象进行教学，同时也解决时间上的矛 盾,突破了难点。辅助以启发式、演示法教学，通过优化组合，以期达到最佳教 学效果。 教具：多媒体 五、教学过程 教学程序主要分为五个环节： 1、温故知新，引入新课:x y =,x y 1=,2x y = 开门见山 问题：这三个函数解析式从结构上看有什么共同的特点吗？ 这时，学生观察可能有些困难，教师提示，可以改变形式，上述函数式变成：121 1y x y x y x x -====，，，（这个教师可直接给出，说明一下，在后面指数函数将详尽讲解） 设计意图： 就近区域的理论，可以使学生利用已有知识与经验，同化 和索引出当前学习的新知识，这样获取的知识，易保持，且易于迁移到陌生 的问题情境中。由实例得出本课新的知识点。 2、新课讲授： 多媒体展示引入课题：（1）简单的幂函数 归纳幂函数的概念： 如果一个函数，底数是自变量x ,指数是常量α，即αx y =，这样的函数称 为幂函数。 注意：①系数是1 ② 底数就是x 练习1：下列函数是幂函数的为：( ) ①m ax y =(,a m 为非零常数，且1a ≠ );②1-=x y +2x ;③n x y =;④3)2(-=x y . A ． ①③④ B.③ C.③④ D.都不是 练习2：若函数22)33()(x a a x f --=是幂函数，则a 值为 设计意图：①进一步辨析幂函数概念及形式上的特征; 系数是1；底数为x 而 二次函数与幂函数 1．求二次函数的解析式． 2．求二次函数的值域与最值． 3．利用幂函数的图象和性质分析解决有关问题． 【复习指导】 本节复习时，应从“数”与“形”两个角度来把握二次函数和幂函数的图象和性质，重点解决二次函数在闭区间上的最值问题，此类问题经常与其它知识结合命题，应注重分类讨论思想与数形结合思想的综合应用． 基础梳理 1．二次函数的基本知识 (1)函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)叫做二次函数，它的定义域是R . (2)二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x ＝ －b 2a ，顶点坐标是? ?? ?? －b 2a ， 4ac －b 2 4a . ①当a ＞0时，抛物线开口向上，函数在? ????－∞，－b 2a 上递减，在?????? －b 2a ，＋∞上递增，当x ＝－b 2a 时，f (x )min ＝4ac －b 2 4a ； ②当a ＜0时，抛物线开口向下，函数在? ????－∞，－b 2a 上递增，在?????? －b 2a ，＋∞上递减，当x ＝－b 2a 时，f (x )max ＝4ac －b 2 4a . ③二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)当Δ＝b 2－4ac ＞0时，图象与x 轴有两个交点M 1(x 1,0)、M 2(x 2,0)，|M 1M 2|＝|x 1－x 2|＝Δ |a | . (3)二次函数的解析式的三种形式： ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋h (a ≠0)； ③两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 2．幂函数 高三数学专题复习总结-(幂函数)经典 1 / 1 2 高三数学专题复习 （幂函数）经典 1．设? ????? --∈3,2,1,21,1,2α，则使幂函数a y x =为奇函数且在(0,)+∞上单调递增的a 值的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．设11,0,,1,2,32a ? ?∈-???? ，则使函数a y x =的定义域为R 且为奇函数的所有a 的值有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．对于幂函数f(x)=45x ，若0＜x 1＜x 2，则12( )2x x f +，12()()2 f x f x +的大小关系是( ) A. 12( )2x x f +＞12()()2f x f x + B. 12()2x x f +＜12()()2 f x f x + C. 12()2x x f +=12()()2 f x f x + D. 无法确定 4．设函数y ＝x 3与21()2x y -=的图像的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3) D ．(3，4) 5．下列说法正确的是( ) A ．幂函数的图像恒过(0,0)点 B ．指数函数的图像恒过(1,0)点 C ．对数函数的图像恒在y 轴右侧 D ．幂函数的图像恒在x 轴上方 6．若0>>n m ，则下列结论正确的是（ ） A. 22m n < B. 22 m n < C. n m 22log log > D. 11m n > 7．若函数32)32()(-+=m x m x f 是幂函数，则m 的值为（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 8．幂函数y f x =()的图象经过点1 42 (,)，则(2)f （ ） A. 14 B. 12 - 9．幂函数35m y x -=，其中m N ∈，且在(0,)+∞上是减函数，又()()f x f x -=， 则m =（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 10．已知幂函数()m f x x =的图象经过点（4，2），则(16)f =（ ） 5 简单的幂函数 教学目标： 1．了解指数是整数的幂函数的概念; 2．学会利用定义证明简单函数的奇偶性,了解用函数的奇偶性画函数图象和研究函数的方法； 3．培养学生从特殊归纳出一般的意识，培养学生利用图像研究函数奇偶性的能力。 重点难点： 1．教学重点：幂函数的概念，奇偶函数的概念 . 2．教学难点：幂函数图像性质，研究函数奇偶性。 教学过程： 一、情景引入 (1)如果张红买了每千克1元的蔬菜x 千克,那么她需要支付y x = (2)如果正方形的边长为x ,那么正方形的面积2y x = (3)如果立方体的边长为x ,那么立方体的体积3y x = (4)如果正方形的面积为x ，那么正方形的边长y = (5)如果某人x 秒内骑车行进1千米那么他骑车的平均速度1 y x = 以上问题中的函数有什么共同特征？ y x = 2y x = 3y x = y =12 ()y x = 1 y x = 1()y x -= 答：底数是自变量x,只是指数不同. 二、知识探究 1、幂函数的定义：如果一个函数，底数是自变量x ,指数是常量,即y x α=（α是常数)，这样的函数叫幂函数. 具体特点:①底数是自变量 ②指数是常量 ③x α的系数是1 判一判：判断下列函数是否为幂函数. (1)m y ax = 2(2)y x x =+ 3n y x =（） 5(4)(2)y x =- 2 (5)2 y x = 21 (6)y x = 仅(3)⑹是幂函数 2、画出函数3y x =的图像，讨论其图像特征（单调性、对称性等） 解：列表： 描点连线： 图像特征: ⑴单调性: 在R 上是增加的 ⑵对称性: 函数图像关于原点对称 并且对任意x , ()()()3 3f x x x f x -=-=-=- 即()()f x f x -=-，像这样的函数叫作奇函数 奇函数的特点： ⑴定义域关于原点对称 ⑵对于定义域中的任意的x ，都有()()f x f x -=- ３、观察函数()2f x x =，讨论图像特征 函数图像关于y 轴对称，并且对任意x , ()()()2 2f x x x f x -=-== 2.3幂函数教学设计 教材分析： 幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数。幂函数模型在生活中是比较常见的，学习时结合生活中的具体实例来引出常见的幂函数。组织学生画出他们的图象，根据图象观察、总结这几个常见幂函数的性质。对于幂函数只需重点掌握这五个函数的图象和性质。学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆，因此在引出幂函数的概念之后，可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析。学生已经有了学习指数函数和对数函数的学习经历，这为学习幂函数做好了方法上的准备。因此，学习过程中，引入幂函数的概念之后，尝试放手让学生自己进行合作探究学习。 教学目标 知识与技能：通过实例，了解幂函数的概念，结合函数的图像，了解他们的变化情况，掌握研究一般幂函数的方法和思想. 过程与方法：使学生通过观察函数的图像来总结性质，并通过已学的知识对总结出的性质进行解释，从而达到对任一幂函数性质的分析 情感、态度、价值观：通过引导学生主动参与作图，分析图像的过程，培养学生的探索精神，在研究函数的变化过程中渗透辩证唯物主义观点。 重难点 重点：从五个具体幂函数中认识并总结幂函数的性质 难点: 画出幂函数的图象并概括其性质，体会变化规律 教学方法与手段 借助多媒体，探究+反思+总结 教学基本流程 从实例观察引入课题→构建幂函数的概念→画出代表性函数图像→探索简单的幂函数性质→总结一般性研究方法→应用举例和课堂练习→小结与作业 教学过程设计： （一）实例观察，引入新课 (1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要支付p＝w元，这里 p是w的函数； 幂函数、二次函数 考纲解读 1.结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x ，y ＝x 1 2的图象解决简单的幂函数问题； 2.用待定系数法求二次函数解析式，结合图象解决二次函数问题； 3.用二次函数、方程、不等式之间的关系解决综合问题． [基础梳理] 1．幂函数 (1)定义：一般地，函数y ＝x α叫作幂函数，其中底数x 是自变量，α是常数． (2)幂函数的图象比较： 2．二次函数 (1)解析式： 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)． 两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． (2)图象与性质： (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) [三基自测] 1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点????12，2 2，则k ＋α＝( ) A.1 2 B ．1 C.32 D ．2 答案：C 2．已知函数f (x )＝x 2＋4ax 在区间(－∞，6)内单调递减，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥3 B ．a ≤3 C ．a <－3 D ．a ≤－3 答案：D 3．幂函数f (x )＝xa 2－10a ＋23(a ∈Z )为偶函数，且f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，则a 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案：C 4．(必修1·第一章复习参考题改编)若g (x )＝x 2＋ax ＋b ，则g (2)与1 2[g (1)＋g (3)]的大小关 系为________． 答案：g (2)<1 2 [g (1)＋g (3)] 5．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)函数y ＝x 2＋1 x 的增区间为__________． 答案：? ?? ??132，＋∞ [考点例题] 考点一 幂函数的图象和性质|易错突破 [例1] (1)已知幂函数f (x )＝，若f (a ＋1) 《幂函数》教案 教学目标 知识与技能 通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用． 过程与方法 能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函 数的图象和性质． 情感、态度、价值观 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性． 教学重点 重点 从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质． 难点 画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律． 教学程序与环节设计： 教学过程 环节 教学内容设计 师生双边互动 创设情境 组织探究 尝试练习 巩固反思 作业回馈 课外活动 问题引入． 幂函数的图象和性质． 幂函数性质的初步应用． 复述幂函数的图象规律及性质． 幂函数性质的初步应用． 利用图形计算器或计算机探索一般幂函数的图象规律． 创设情境 阅读教材P90的具体实例（1）~（5），思考下列 问题： 1．它们的对应法则分别是什么？ 2．以上问题中的函数有什么共同特征？ （答案） 1．（1）乘以1；（2）求平方；（3）求立方；（4） 开方；（5）取倒数（或求－1次方）． 2．上述问题中涉及到的函数，都是形如αx y= 的函数，其中x是自变量，是α常数． 生：独立思考完成引 例． 师：引导学生分析归纳 概括得出结论． 师生：共同辨析这种新 函数与指数函数的异 同． 组织探究 材料一：幂函数定义及其图象． 一般地，形如 α x y=) (R a∈ 的函数称为幂函数，其中α为常数． 下面我们举例学习这类函数的一些性质． 作出下列函数的图象： （1）x y=；（2）2 1 x y=；（3）2x y=； （4）1- =x y；（5）3x y=． [解] ○1列表（略） ○2图象 师：说明： 幂函数的定义来 自于实践，它同指数函 数、对数函数一样，也 是基本初等函数，同样 也是一种“形式定义” 的函数，引导学生注意 辨析． 生：利用所学知识和方 法尝试作出五个具体 幂函数的图象，观察所 图象，体会幂函数的变 化规律． 师：引导学生应用画函 数的性质画图象，如： 定义域、奇偶性． 师生共同分析，强调画 图象易犯的错误． 环节教学内容设计师生双边互动 幂函数的概念 例1、下列结论中，正确的是( ) A．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1) B．幂函数的图象可以出现在第四象限 C．当幂指数α取1,3，1 2 时，幂函数y＝xα是增函数 D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数 解析当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不通过原点，故选项A不正确；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα (α∈R)，y>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B不正确；而当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但它在定义域上不是减函数．答案 C 例2、已知幂函数f(x)＝(t3－t＋1)x 1 5 (7＋3t－2t2) (t∈Z)是偶函数且在(0，＋ ∞)上为增函数，数t的值． 分析关于幂函数y＝xα (α∈R，α≠0)的奇偶性问题，设p q (|p|、|q|互 质)，当q为偶数时，p必为奇数，y＝x p q 是非奇非偶函数；当q是奇数时，y＝ x p q 的奇偶性与p的值相对应． 解∵f(x)是幂函数，∴t3－t＋1＝1， ∴t＝－1,1或0. 当t＝0时，f(x)＝x 7 5 是奇函数； 当t＝－1时，f(x)＝x 2 5 是偶函数； 当t＝1时，f(x)＝x 8 5 是偶函数，且 2 5 和 8 5 都大于0，在(0，＋∞)上为增函数． 故t＝1且f(x)＝x 8 5 或t＝－1且f(x)＝x 2 5 . 点评如果题中有参数出现，一定要注意对参数的分类讨论，尤其对题中的条件t∈Z给予足够的重视． 例3、如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限的图象，则( ) A ．-1 2.3.幂函数教学设计 【教学分析】 幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数.学生已经有了学习指数函数和对数函数的图象和性质的学习经历，幂函数概念的引入以及图象和性质的研究便水到渠成.因此，学习过程中，引入幂函数的概念之后，尝试放手让学生自己进行合作探究学习.本节通过实例，让学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型，通过研究2 11 32,,,,x y x y x y x y x y =====-等函数的性质和图象，让学生认识到幂指数大于零和小于零两种情形下，幂函数的共性：当幂指数0>α时，幂函数的图象都经过点()0,0和()1,1，且在第一象限内函数单调递增；当幂指数0<α时，幂函数的图象都经过点()1,1，且在第一象限单调递减且以两坐标轴为渐近线.在方法上，我们应注意从特殊到一般地去进行类比研究幂函数的性质，并注意与指数函数进行对比学习. 将幂函数限定为五个具体函数，通过研究它们来了解幂函数的性质.其中，学生在初中已经学习了1 2 ,,-===x y x y x y 等三个简单的幂函数，对它们的图像和性质已经有了一定的感性认识.现在明确提出幂函数的概念，有助于学生形成完整的知识结构.学生已经了解了函数的基本概念、性质和图象，研究了两个特殊函数：指数函数和对数函数，对研究函数已经有了基本思路和方法.因此，教材安排学习幂函数，除内容本身外，掌握研究函数的一般思想方法是另一目的，另外，应让学生了解利用信息技术来探索函数图象及性质是一个重要途径. 学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆，因此在引出幂函数的概念之后，可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析. 【课前准备】 1.教师准备：PPT 课件，几何画板《幂函数》导学案. 2.学生准备：课前预习幂函数定义，完成导学案1,2，并画出1 2 ,,x y x y x y ===的图象. 【教学目标】 1.知识与技能 （1）通过实例，了解幂函数的概念. （2）通过具体实例了解几个常见幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用. （3）学会研究函数图象和性质的一般方法和思想. 幂函数经典例题(答案) A ．-1 作出函数y=x2和y=3 1x 的图象(如右图所示)，易得x<0或x>1. 例5、函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，求f (x )的解析式． 分析 解答本题可严格根据幂函数的定义形式列方程求出m ，再由单调性确定m . 解 根据幂函数定义得 m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1， 当m ＝2时，f (x )＝x 3在(0，＋∞)上是增函数； 当m ＝－1时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故f (x )＝x 3. 点评 幂函数y ＝x α (α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．对本例来说，还要根据单调性验根，以免增根． 变式 已知y ＝(m 2＋2m －2)x 1 m 2－1 ＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值． 解 由题意得??? m 2＋2m －2＝1 m 2 －1≠0 2n －3＝0 ， 解得? ???? m ＝－3n ＝3 2， 所以m ＝－3，n ＝32 . 例6、比较下列各组中两个数的大小： （1）5 3 5.1，5 37.1；（2）0.71.5 ，0.61.5 ；（3）3 2) 2.1(－ －，3 2) 25.1(－ －．幂函数经典例题
《简单的幂函数》说课稿
指对幂函数经典练习题
指数函数、对数函数、幂函数练习题大全
示范教案{§5简单的幂函数}
幂函数知识点及典型题
幂函数新授课教案
幂函数的典型例题.doc
幂函数练习题及答案
2016年高中北师大版数学必修一教案教学设计：2.5简单的幂函数
次函数与幂函数典型例题
高三数学专题复习总结-(幂函数)经典
2.5简单的幂函数(北师大版教案)
幂函数教学设计
高中数学幂函数考点及经典例题题型突破
《幂函数》教案
幂函数经典例题(问题详解)
人教版高一数学必修一教案：幂函数
幂函数经典例题(答案)
- (北师大版)简单的幂函数课件
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- 北师大版数学必修一《简单的幂函数》参考课件
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- 简单的幂函数 ppt(北师大版)(必修1)
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- 2.5简单的幂函数
- 2-5简单的幂函数
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