向量组的线性相关性 线性代数习题集

线性代数练习题 第四章 向量组的线性相关性

系 专业 班 姓名 学号 第一节 向量组及其线性组合 第二节 向量组的线性相关性

一．选择题

1．n 维向量s ααα,,, 21)(01≠α线性相关的充分必要条件是 [ D ] （A ）对于任何一组不全为零的数组都有02211=+++s s k k k ααα （B ）s ααα,,, 21中任何)(s j j ≤个向量线性相关

（C ）设),,,(s A ααα 21=，非齐次线性方程组B AX =有唯一解 （D ）设),,,(s A ααα 21=，A 的行秩 ＜ s .

2．若向量组γβα,,线性无关，向量组δβα,,线性相关，则 [ C ] （A ）α必可由δγβ,,线性表示 （B ）β必不可由δγα,,线性表示 （C ）δ必可由γβα,,线性表示 （D ）δ比不可由γβα,,线性表示 二．填空题：

1． 设T

T T ),,(,),,(,),,(0431********===ααα

则=-21αα

(1,0,1)T - =-+32123ααα (0,1,2)T

2． 设)()()(αααααα+=++-321523，其中T

),,,(31521=α，T

)10,5,1,10(2=α

T ),,,(11143-=α，则=α (1,2,3,4)T

3． 已知T

T T k ),,,(,),,,(,),,,(84120011211321---===ααα线性相关，则=k 2

4． 设向量组),,(,),,(,),,(b a c b c a 000321===ααα线性无关，则c b a ,,满足关系式

0abc ≠

三．计算题：

1． 设向量()11,1,1T

αλ=+，2(1,1,1)T αλ=+，3(1,1,1)T αλ=+，2(1,,)T

βλλ=，试问当λ为

何值时 （1）β可由321ααα,,线性表示，且表示式是唯一？

（2）β可由321ααα,,线性表示，且表示式不唯一？ （3）β不能由321ααα,,线性表示？

132123222

21110111(,,,)11111111111101110,

00(3)(12)r r r

λ

λλαααβλλλλλλλλλλλλλλλλλλ???++?? ? ?=+???→+ ? ?

? ?++??????+ ???→→-- ? ?-+--??

解因为

2

2

211

10,00(3)(12)λλλλλλλλλλλ??+

?

→-- ? ?-+--?

?

123123123(1)03,(,,,)(,,)3,

,,,;

R R λλαααβαααβααα≠≠-==且时可由线性表示且表达式唯一

123123123(2)0,(,,,)(,,)13,

,,,;R R λαααβαααβααα===<时可由线性表示但表达式不唯一

123123123(3)3,(,,,)3(,,)2,

,,.

R R λαααβαααβααα=-=≠=当时不能由线性表示

线性代数练习题 第四章 向量组的线性相关性

系 专业 班 姓名 学号 第三节 向 量 组 的 秩

一．选择题：

1．已知向量组4321αααα,,,线性无关，则下列向量组中线性无关的是 [ C ] （A ）14433221αααααααα++++,,, （B ）14433221αααααααα----,,, （C ）14433221αααααααα-+++,,, （D ）14433221αααααααα--++,,, 2．设向量β可由向量组m ααα,,, 21线性表示，但不能由向量组（Ⅰ）：121-m ααα,,, 线性表示，记向量组（Ⅱ）：βααα,,,,121-m ，则 [ B ] （A ）m α不能由（Ⅰ）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示 （B ）m α不能由（Ⅰ）线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示 （C ）m α可由（Ⅰ）线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示 （D ）m α可由（Ⅰ）线性表示，但不可由（Ⅱ）线性表示

3．设n 维向量组s ααα,,, 21的秩为3，则 [ C ] （A ）s ααα,,, 21中任意3个向量线性无关 （B ）s ααα,,, 21中无零向量

（C ）s ααα,,, 21中任意4个向量线性相关 （D ）s ααα,,, 21中任意两个向量线性无关 4．设n 维向量组s ααα,,, 21的秩为r ，则 [ C ]

（A ）若s r =，则任何n 维向量都可用s ααα,,, 21线性表示 （B ）若n s =，则任何n 维向量都可用s ααα,,, 21线性表示

（C ）若n r =，则任何n 维向量都可用s ααα,,, 21线性表示 （D ）若n s >，则n r = 二．填空题：

1．已知向量组),,,(,),,,(,),,,(25400021121321--==-=αααt 的秩为2，则t = 3 2．已知向量组),,,(43211=α，),,,(54322=α，),,,(65433=α，),,,(76544=α，则该向量组的秩为

2

2． 向量组T a ),,(131=α，T b ),,(322=α，T ),,(1213=α，T

),,(1324=α的秩为2，

则a = 2 b = 5

三．计算题：

1．设T ),,,(51131=α，T ),,,(41122=α，T ),,,(31213=α，T ),,,(92254=α，T

d ),,,(262=β

（1）试求4321αααα,,,的极大无关组

（2）d 为何值时，β可由4321αααα,,,的极大无关组线性表示，并写出表达式

134321

31351

2312343(1)5321511121

1221122(1)(,,,)11123215543954

3

91112111200100010012101210121000011120121r r r r r r r r r r r r r αααα?---?--????? ?

?

? ?=???→

?

? ? ?????

????

? ?

?

????→???→ ?

?--- ? ?

---???????→解：3241434243

12312312123123400100

0(,,)3,,,.,,,,,321232123

2121126112611261112111200145

43

0110r r r r r r r r r r R d d αααααααααααααααα-----?? ? ? ? ???

==+???? ? ? ? ????→???→

? ?-- ? ?--????4因为则线性无关，且故为的一个极大无关组.(2)()12312312341231230

0066(,,,),,3,,,,,,3212010411261002001400140

0000000244.

r d d R R αααβαααβαααααααβααα??

?

? ?

?

-??

===-????

? ?

? ?

??→

? ?---- ? ?

????-+只有时即可由的极大无关组表示.所以=

3． 已知3阶矩阵A ，3维向量x 满足32

3A x Ax A x =-，且向量组2

,,x Ax A x 线性无关。

(1) 记2

(,,)P x Ax A x =,求3阶矩阵B ,使AP PB =; (2)求 ||

A

解：

20(,,)10Ax x Ax A x ?? ?= ? ???,220(,,)01A x x Ax A x ?? ?

= ? ???

且322

03(,,)31A x Ax A x x Ax A x ??

?=-= ? ?-??

22322000(,,)(,,)(,,)103(,,)011AP A x Ax A x Ax A x A x x Ax A x x Ax A x B ?? ?

∴==== ? ?-??

又因向量组2

,,x Ax A x 线性无关,故2

(,,)P x Ax A x =可逆.

得1000000103103011011B P P -????

? ?== ? ? ? ?--????

.

(2) 1

A PBP -=,1

1

||||||||||||0A PBP P B P B --====.

线性代数练习题 第四章 向量组的线性相关性

系 专业 班 姓名 学号 第五节 向 量 空 间 综 合 练 习

一．选择题：

1．设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组中，线性无关的是 [ B, C ] （A ）133221,,αααααα-++ （B ）122312,,2αααααα+++

（C ）1332213,32,2αααααα+++ （D ）321321321553,2232,ααααααααα-++-++ 2．设矩阵A n m ?的秩=)(A R n m <，E m 为m 阶单位矩阵，下列结论中正确的是 [ B ] （A ）A 的任意m 个列向量必线性无关 （B ）A 通过初等行变换，必可以化为（E m 0）的形式 （C ）A 的任意m 阶子式不等于零 （D ）非齐次线性方程组b Ax =一定有无穷多组解 二．填空题：

1．设???

?

? ??-=40321

2221A ，三维列向量T a )1,1,(=α，已知αA 与α线性相关，则a = 1- 2．从2

R 的基???? ??=011α，???? ??-=112α到基???? ??=111β，???

? ??=212β的过渡矩阵为2312??

?--??

三．计算题：

1． 设()11111T

α=，()233

11T α=--，()32068T

α=-试用施密特正交化方

法将向量组标准正交化。 解：()111111T

βα==

()2122111[,]2222[,]

T

αββαβββ=-

=--

()313233121122[,][,]1111[,][,]

T

αβαββαββββββ=--=--

()11111111||||2

T βεβ=

= ()22212222||||4

T

βεβ==-- ()33311111||||2

T

βεβ=

=-- 2．已知3

R 的两个基为????? ??=1111a ，????? ??-=1012a ，????? ??=1013a 及 ????? ??=1211b ，????? ??=4322b ，????

? ??=3433b

求由基321,,a a a 到基321,,b b b 的过渡矩阵P 。

解：记123111(,,)100111A a a a ?? ?== ? ?-??,123123(,,)234143B b b b ?? ?

== ? ???

1

234010101P A B -??

?==- ? ?--??

如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！