高中数学必修5解三角形教案

第2章 解三角形

2.1.1 正弦定理

教学要求：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题.

教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用.

教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数. 教学过程： 一、复习准备：

1. 讨论：在直角三角形中，边角关系有哪些？（三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数）如何解直角三角形？那么斜三角形怎么办？

2. 由已知的边和角求出未知的边和角，称为解三角形. 已学习过任意三角形的哪些边角关系？（内角和、大边对大角） 是否可以把边、角关系准确量化？ →引入课题：正弦定理 二、讲授新课：

1. 教学正弦定理的推导：

①特殊情况：直角三角形中的正弦定理： sin A =

c a sin B =c

b

sin C =1 即c =sin sin sin a b c

A B C

==

. ② 能否推广到斜三角形？ （先研究锐角三角形，再探究钝角三角形） 当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据三角函数的定义，有sin sin CD a B b A ==,则sin sin a b

A B

=

. 同理，sin sin a c A C =（思考如何作高？），从而

sin sin sin a b c

A B C

==

. ③*其它证法：证明一：（等积法）在任意斜△ABC 当中S △ABC =

111

sin sin sin 222

ab C ac B bc A ==. 两边同除以12abc 即得：sin a A =sin b B =sin c C

.

证明二：（外接圆法）如图所示，∠A ＝∠D ，∴2sin sin a a

CD R A D

===， 同理

sin b B =2R ，sin c C

＝2R .

证明三：（向量法）过A 作单位向量j r 垂直于AC u u u r ，由AC u u u r +CB u u u r =AB u u u

r 边同乘以

单位向量j r

得…..

④ 正弦定理的文字语言、符号语言，及基本应用：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值. 2. 教学例题：

① 出示例1：在?ABC 中，已知045A =，060B =，42a =cm ，解三角形. 分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范格式 → 小结：已知两角一边

② 出示例2：045,2,,ABC c A a b B C ?===中，求和.

分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范格式 → 小结：已知两边及一边对角

③ 练习：060,1,,ABC b B c a A C ?===中，求和.

在?ABC 中，已知10a =cm ，14b =cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）

④ 讨论：已知两边和其中一边的对角解三角形时，如何判断解的数量？

3. 小结：正弦定理的探索过程；正弦定理的两类应用；已知两边及一边对角的讨论. 三、巩固练习：

1.已知?ABC 中，∠A =60°，a =，求sin sin sin a b c

A B C

++++.

2. 作业：教材P5 练习1 (2)，2题.

2.1.2 余弦定理（一）

教学要求：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题. 教学重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用. 教学难点：向量方法证明余弦定理. 教学过程： 一、复习准备：

1. 提问：正弦定理的文字语言？ 符号语言？基本应用？

2. 练习：在△ABC 中，已知10c =，A =45?，C =30?，解此三角形. →变式

3. 讨论：已知两边及夹角，如何求出此角的对边？ 二、讲授新课：

1. 教学余弦定理的推导：

① 如图在ABC ?中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b .

∵AC AB BC =+u u u r u u u r u u u r ，

∴()()AC AC AB BC AB BC ?=+?+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

222AB AB BC BC =+?+u u u r u u u r u u u r u u u r

22

2||||cos(180)AB AB BC B BC =+?-+o

u u u r u u u r u u u r u u u r 222cos c ac B a =-+.

即2222cos b c a ac B =+-，→

② 试证：2222cos a b c bc A =+-，2222cos c a b ab C =+-.

③ 提出余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.

用符号语言表示2222cos a b c bc A =+-，…等； → 基本应用：已知两边及夹角

④ 讨论：已知三边，如何求三角？

→ 余弦定理的推论：222

cos 2b c a A bc

+-=，…等.

⑤ 思考：勾股定理与余弦定理之间的关系？ 2. 教学例题：

① 出示例1：在?ABC

中，已知=a

c 060=B ，求b 及A . 分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范求b

→ 讨论：如何求A ？（两种方法）

（答案：b =060A =） → 小结：已知两边及夹角

②在?ABC 中，已知13a cm =，8b cm =，16c cm =，解三角形.

分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 分三组练习 → 小结：已知两角一边

3. 练习：

① 在ΔABC 中，已知a ＝7，b ＝10，c ＝6，求A 、B 和C .

② 在ΔABC 中，已知a ＝2，b ＝3，C ＝82°，解这个三角形.

4. 小结：余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；

余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边.

三、巩固练习：

1. 在?ABC 中，若222a b c bc =++，求角A . （答案：A =1200）

2. 三角形ABC 中，A ＝120°，b ＝3，c ＝5，解三角形. → 变式：求sin B sin C ；sin B ＋sin C .

3. 作业：教材P8 练习1、2（1）题.

2.1 .3 正弦定理和余弦定理（练习）

教学要求：进一步熟悉正、余弦定理内容，能熟练运用余弦定理、正弦定理解答有关问题，如判断三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式. 教学重点：熟练运用定理.

教学难点：应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化. 教学过程： 一、复习准备：

1. 写出正弦定理、余弦定理及推论等公式.

2. 讨论各公式所求解的三角形类型. 二、讲授新课：

1. 教学三角形的解的讨论：

① 出示例1：在△ABC 中，已知下列条件，解三角形. (i ) A ＝

6π，a ＝25，b ＝

50； (ii ) A ＝6

π，a ＝

b ＝

50； (iii ) A ＝

6π，a

＝b ＝

50 (iiii ) A ＝6

π，a ＝50，b ＝

50.

分两组练习→ 讨论：解的个数情况为何会发生变化？

② 用如下图示分析解的情况. （A 为锐角时）

② 练习：在△ABC 中，已知下列条件，判断三角形的解的情况. (i ) A ＝

23π，a ＝25，b ＝

； (ii ) A ＝23

π，a ＝25，b ＝

10 例1.根据下列条件，判断解三角形的情况

(1) a ＝20，b ＝28，A ＝120°.无解 (2)a ＝28，b ＝20，A ＝45°；一解 (3)c ＝54，b ＝39，C ＝115°；一解 (4) b ＝11，a ＝20，B ＝30°；两解

2. 教学正弦定理与余弦定理的活用：

已知边a,b 和∠A

有两个解

仅有一个解无解

CH=bsinA

① 出示例2：在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C =6∶5∶4，求最大角的余弦.

分析：已知条件可以如何转化？→ 引入参数k ，设三边后利用余弦定理求角.

② 出示例3：在ΔABC 中，已知a ＝7，b ＝10，c ＝6，判断三角形的类型. 分析：由三角形的什么知识可以判别？ → 求最大角余弦，由符号进行判断

结论：活用余弦定理，得到：=+???>+???<+??222222222是直角是直角三角形

是钝角是钝角三角形是锐角a b c A ABC a b c A ABC a b c A ?是锐角三角形

ABC

③ 出示例4：已知△ABC 中，cos cos b C c B =，试判断△ABC 的形状. 分析：如何将边角关系中的边化为角？ → 再思考：又如何将角化为边？

3. 小结：三角形解的情况的讨论；判断三角形类型；边角关系如何互化.

三、巩固练习：

1. 已知a 、b 为△ABC 的边，A 、B 分别是a 、b 的对角，且sin 2sin 3A B =，

求a b

b

+的值

2. 在△ABC 中，sin A :sin B :sin C ＝4:5:6，则cos A :cos B :cos C ＝ .

3. 作业：

2.2三角形中的几何计算

一、 设疑自探

正弦定理、余弦定理是两个重要的定理，在解决与三角形有关的几何计算问题中有着广泛的应用。

对于本节课你想了解哪些内容？

（1）怎样运用正弦定理、余弦定理处理三角形中的计算问题？ （2）处理三角形中的计算问题应该注意哪些问题？ 二、解疑合探

.

.453095||的长求，，

，，中，形例一：如图所示，在梯BD ADB BCA AC AB BC AD ABCD ?=∠?=∠==

A D

B C

2

8135601410,=?=∠?=∠==⊥BC BC BCD BDA AB AD CD AD ABCD 答案：的长。，求，，，中，在四边形例二：如图所示，已知

D C

A B 面积的最大值。

）求四边形（的函数；表示成的面积试将四边形）若（的两侧。

与圆心分别在且点角形为边作等边三以上半圆上的一个动点，是圆，点上，的延长线

在直径，点的半径是圆例三：如图所示，已知OPDC y OPDC POB PC D PCD PC O P BC AB C O 2,1,11θθ=∠=

的取值范围。

求于交的平分线

，底角中，底边如图所示，在等腰例五BD D AC BD B BC ABC ,1:=?

.

23

2

,

12

cos 22,

45202

cos 12cos 42

12

cos 42cos

22sin

cos 2cos sin 2cos

2sin 2)

2

3

sin(sin ,

)

2

3180sin(1

sin ,sin sin 2

3

18022180,

2180,2），的取值范围为（即中，由正弦定理，得在解：BD ABC ABC

ABC ABC 。

ABC ABC ABC

ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC

BD ABC ABC

BD BDC BC C BD BCD ABC

ABC ABC ABD A BDC ABC A C ABC ∴<∠<∴?<∠

∠=

-∠∠=

∠?∠+∠?∠∠?∠=

∠∠=

∴∠-?=∠∠=?∠-?=∠+∠-?=∠+∠=∠∠-?=∠∴∠=∠ΘΘ 四、运用拓展

3

3

11334949322016601==

=?==?=??r R BC ABC BC S AB A ABC ABC ，，答案：径。的外接圆和内切圆的半及，求，，中，）在（

）

，的取值范围是（答案：的取值范围。

求的对边，且分别是内角中，在21,

2,,,,)2(a

b

a b

A B C B A c b a ABC =?

§3 解三角形的实际应用举例

教学目标

1、掌握正弦定理、余弦定理，并能运用它们解斜三角形。

2、能够运用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。

3、培养和提高分析、解决问题的能力。 教学重点难点

1、正弦定理与余弦定理及其综合应用。

2、利用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。 教学过程 一、复习引入 1、正弦定理：

2sin sin sin a b c

R A B C

=== 2、余弦定理：,cos 22

2

2

A bc c b a -+=?bc

a c

b A 2cos 2

22-+=

,cos 22

2

2

B ca a c b -+=?ca

b a

c B 2cos 2

22-+=

C ab b a c cos 22

2

2

-+=，?ab

c b a C 2cos 2

22-+=

二、例题讲解

引例：我军有A 、B 两个小岛相距10海里，敌军在C 岛，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，为提高炮弹命中率，须计算B 岛和C 岛间的距离，请你算算看。 解：060=A 075=B ∴045=C

由正弦定理知

045

sin 10

60sin =BC 6545

sin 60sin 100

==?BC 海里

750

600

C

B

A

例1．如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC 的长度（如图）．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B 与车厢支点A 之间的距离为1.95m ，AB 与水平线之间的夹角为/02060，AC 长为1.40m ，计算BC 的长（保留三个有效数字）．

分析：这个问题就是在ABC ?中，已知AB=1.95m ，AC=1.4m,

求BC 的长，由于已知的两边和它们的夹角，所以可 根据余弦定理求出BC 。 解：由余弦定理，得

答：顶杠BC 长约为1.89m.

解斜三角形理论应用于实际问题应注意： 1、认真分析题意，弄清已知元素和未知元素。

2、要明确题目中一些名词、术语的意义。如视角，仰角，俯角，方位角等等。

3、动手画出示意图，利用几何图形的性质，将已知和未知集中到一个三角形中解决。

练1.如图,一艘船以32海里/时的速度向正北航行,在A 处看灯塔S 在船的北偏东020, 30分钟后航行到B 处,在B 处看灯塔S 在船的北偏东

065方向上,求灯塔S 和B 处的距离.（保留到0.1）

解：16=AB

由正弦定理知

020sin 45sin BS

AB =

'

2066'20660?=?+?=∠BAC A AC AB AC AB BC cos 2222

?-+=)(89.1571

.3'2066cos 40.195.1240.195.122m BC ≈∴=????-+=D C

B

A

1.40m

1.95m

6020/

600

?S

B A

1150

450

650200

7.745

sin 20sin 100

≈=BS 海里 答：灯塔S 和B 处的距离约为7.7海里

例2.测量高度问题

如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB ，从与烟囱底部在同一水平直线上的C ，D 两处，测得烟囱的仰角分别是045=α和0

60=β, Ｃ、Ｄ间的距离是12m.已知测角仪器高1.5m.求烟囱的高。

图中给出了怎样的一个几何图形？已知什么，求什么？ 分析：因为B A AA AB 11+=，又m AA 5.11=

所以只要求出B A 1即可 解：在11D BC ?中，

0001112060180=-=∠C BD ，00011154560=-=∠BD C

由正弦定理得：

1

11

1111sin sin C BD BC BD C D C ∠=∠

m BD C C BD D C BC )66218(15

sin 120sin 12sin sin 0

1111111+==∠∠= 从而： m BC B A 392.2836182

2

11≈+==

因此：m AA B A AB 89.29892.295.1392.2811≈=+≈+= 答：烟囱的高约为m 89.29

练习：在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角060=α，在塔底C 处测得点A 的俯角0

45=β，已知铁塔BC 部分高32米，求山高CD 。

解：在△ABC 中，∠ABC=30°， ∠ACB =135°，

∴∠CAB =180°－(∠ACB+∠ABC) =180°－(135°+30°)=15°

A 1α

βD 1C 1D

C

B

A

?

32

β=450

α=600

D

C

B

A

又BC=32, 由正弦定理

ABC

AC

BAC BC ∠=

∠sin sin 得：m BAC ABC BC AC )26(164

2

61615

sin 30sin 32sin sin 0

+=-==∠∠=

课堂小结

1、本节课通过举例说明了解斜三角形在实际中的一些应用。 掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法。

2、在分析问题解决问题的过程中关键要分析题意，分清已知与所求，根据题意画出示意图，并正确运用正弦定理和余弦定理解题。

3、在解实际问题的过程中，贯穿了数学建模的思想，其流程 图可表示为：

解三角形

检验（答）

正弦定理余弦定理综合应用

一、知识梳理

1．内角和定理：在ABC ?中，A B C ++=

π；sin()A B +=sin C ；

cos()A B +=cos C -

面积公式: 在三角形中大边对大

角，反之亦然.

2．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.

形式一：R

C c

B b A a 2sin sin sin === (解三角形的重要工具)

形式二：

??

?

??===C R c B R b A

R a sin 2sin 2sin 2 (边角转化的重要工具)

形式三：

形式四：

3.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边

与它们夹角的余弦的积的两倍.. 形式一：

2222cos a b c bc A =+- 2222cos b c a ca B =+-

2222cos c a b ab C =+-(解三角形的重要工具)

形式二：

二、方法归纳

(1)已知两角A 、B 与一边a ,由A +B +C =π及，可求出角C ，再求b 、c .

(2)已知两边b 、c 与其夹角A ，由a 2=b 2+c 2

-2b c cosA ，求出a ，再由余

弦定理，求出角B 、C .

(3)已知三边a 、b 、c ，由余弦定理可求出角A 、B 、C .

(4)已知两边a 、b 及其中一边的对角A ，由正弦定理，求

出另一边b 的对角B ，由C =π-(A +B )，求出c ，再由求出C ，

而通过求B 时，可能出一解，两解或无解的情况

111

sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B

?===::sin :sin :sin a b c A B C

=sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R =

==222cos 2b c a A bc +-=222cos 2a c b B ac +-=222

cos 2a b c C ab +-=

sin sin sin a b c

A B C ==

sin sin a b

A B =

sin sin a c

A C =

sin sin a b

A B =

a =

b sinA 有一解 b >a >b sinA 有两解 a ≥b 有一解 a >b 有一解

三、课堂精讲例题

问题一：利用正弦定理解三角形 【例1】在ABC ?中，若5b =，4B π∠=

,1sin 3

A =，则a =

.3

【例2】在△ABC 中，已知a =3,b =2,B=45°,求A 、C 和c .

【适时导练】

1.（1）△ABC 中，a =8,B=60°,C=75°,求b ; （2）△ABC 中，B=30°, b =4,c=8,求C 、A 、a. .

问题二：利用余弦定理解三角形

【例3】设ABC ?的内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、.已知1=a ，

2=b ，4

1cos =

C . （Ⅰ）求ABC ?的周长；（Ⅱ）求()C A -cos 的值.

【例4】（2010重庆文数） 设的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、

c ,且3+3-3=4b c .

(Ⅰ) 求sinA 的值；(Ⅱ)求

的值.

【适时导练】

2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A ，B ，C 的对边，且

C B cos cos =-c

a b

+2.

（1）求角B 的大小；（2）若b =13，a +c =4，求△ABC 的面积.

问题三：正弦定理余弦定理综合应用

【例5】（2011山东文数）在?ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，

ABC ?2b 2c 2

a 2sin()sin()

441cos 2A B C A

ππ

+++-

c ．已知．

（I ）求的值； （II ）若cosB=，?ABC 的周长为5，求b 的

长。

【例6】（2009全国卷Ⅰ理）在中，内角A 、B 、C 的对边长分别为、

、，已知，且 求b

3． 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且8 sin 22

B C

+－2 cos 2A ＝7．

（1）求角A 的大小；（2）若a

＝b ＋c ＝3，求b 和c 的值．

问题四：三角恒等变形

【例7】（08重庆） 设ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ，且A=

60o ，c=3b.求：

（Ⅰ）a

c 的值；（Ⅱ）cotB +cot C 的值.

4.（2009江西卷理）△中，所对的边分别为，

,.

（1）求；（2）若,求.

问题五：判断三角形形状

【例8】在△ABC 中，在ABC ?中，a,b,c 分别是角A 、B 、C 所对的边，bcosA ＝a cosB ，试判断ABC ?三角形的形状.

【例9】. 在△ABC 中，在ABC ?中，a,b,c 分别是角A 、B 、C 所对的边，

cos A-2cos C 2c-a

=cos B b sin sin C A

1

4ABC ?a b c 222a c b -=sin cos 3cos sin ,A C A C =ABC ,,A B C ,,a b c sin sin tan cos cos A B

C A B

+=

+sin()cos B A C -=,A C 33ABC S ?=+,a c

若

cosA cosB ＝b

a

，

【适时导练】

5.在△ABC 中，若2cosBsinA ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ） A .等腰直角三角形 B .直角三角形 C .等腰三角形 D .等边三角形

6.在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果（a 2+b 2）sin （A -B ）=（a 2-b 2

）sin （A +B ），判断三角形的形状.

问题六：与其他知识综合

【例10】已知向量(,),(,),0a c b a c b a =+=--?=且m n m n ，其中A ，B ，C 是△ABC 的内角，a ,b ,c 分别是角A ，B ，C 的对边.（1）求角C 的大小；（2）求sin sin A B +的取值范围.

7（2009浙江文）在中，角所对的边分别为，且满足

，． （I ）求的面积； （II ）若，求的值．

问题7：三角实际应用

【例11】 要测量对岸A 、B 两点之间的距离，选取相距3 km 的C 、D 两点，并测得∠ACB =75°，∠BCD =45°，∠ADC =30°，∠ADB =45°，求A 、B 之间的距离.

ABC ?,,A B C ,,a b c 25

cos 2A =

3AB AC ?=u u u r u u u r ABC ?1c =a

数学必修五第一单元检测 解三角形

第一章解三角形 一、选择题 1．已知A，B两地的距离为10 km，B，C两地的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地的距离为()． A．10 km B．10km C．10km D．10km 2．在△ABC中，若＝＝，则△ABC是()． A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 3．三角形三边长为a，b，c，且满足关系式(a＋b＋c)(a＋b－c) ＝3ab，则c边的对角等于()． A．15° B．45° C．60° D．120° 4．在△ABC中，三个内角∠A，∠B，∠C所对的边分别 为a，b，c，且a∶b∶c＝1∶∶2，则sin A∶sin B∶sin C＝()．A．∶2∶1 B．2∶∶1 C．1∶2∶ D．1∶∶2 5．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则()． A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形 B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形 C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形 D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形 6．在△ABC中，a＝2，b＝2，∠B＝45°，则∠A为()． A．30°或150°B．60°C．60°或 120°D．30°

7．在△ABC中，关于x的方程(1＋x2)sin A＋2x sin B＋(1－x2)sin C ＝0有两个不等的实根，则A为()． A．锐角 B．直角 C．钝 角 D．不存在 8．在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则边AC上的高为()．A． B． C． D．3 9．在△ABC中，＝c2，sin A·sin B＝，则△ABC 一定是()． A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 10．根据下列条件解三角形：①∠B＝30°，a＝14，b＝7；②∠B＝60°，a＝10，b＝9．那么，下面判断正确的是()． A．①只有一解，②也只有一解． B．①有两解，②也有两解． C．①有两解，②只有一解． D．①只有一解，②有两解． 二、填空题 11．在△ABC中，a，b分别是∠A和∠B所对的边，若a＝，b＝1，∠B＝30°，则∠A的值是． 12．在△ABC中，已知sin B sin C＝cos2，则此三角形是__________三角形． 13．已知a，b，c是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，S是△ABC的面积．若a＝4， b＝5，S＝5，求c的长度 ． 14．△ABC中，a＋b＝10，而cos C是方程2x2－3x－2＝0的一个根，求△ABC周长的最小值 ． 15．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且满足sin A∶sin B∶sin C＝2∶5∶6．若△ABC 的面积为，则△ABC的周长为________________．

人教版高一必修五解三角形单元试题及答案

高一必修5 解三角形单元测试题 1．在△ABC 中，sinA=sinB ，则必有 （ ） A ．A=B B ．A ≠B C ．A=B 或A=C －B D ．A+B= 2 π 2．在△ABC 中，2cosBsinA=sinC ，则△ABC 是 （ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形 3．在ABC ?中，若 b B a A cos sin =，则B 的值为 （ ） A ． 30 B ． 45 C ． 60 D ． 90 4．在ABC ?中，bc c b a ++=2 2 2 ，则角A 等于 （ ） A ．60° B ．45° C ．120° D ．30° 5．在△ABC 中，b =， ，C=600，则A 等于 （ ） A ．1500 B ．750 C ．1050 D ．750或1050 6．在△ABC 中，A:B:C=1:2:3，则a:b:c 等于 （ ） A ．1:2:3 B ．3:2:1 C ． 2: D ． 7．△ABC 中，a=2，A=300，C=450，则S △ABC = （ ） A B ． C 1 D ．11)2 8．在ABC ?中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则acosB+bcosA 等于 （ ） A ． 2 b a + B ． b C ． c D ．a 9．设m 、m ＋1、m ＋2是钝角三角形的三边长，则实数m 的取值范围是 （ ） A ．0＜m ＜3 B ．1＜m ＜3 C ．3＜m ＜4 D ．4＜m ＜6 10．在△ABC 中，已知a=x ， A=450，如果利用正弦定理解这个三角形有两个解， 则x 的取值范围为 （ ） A ． B ．22 D ．x<2 11．已知△ABC 中，A=600， ，c=4，那么sinC= ； 12．已知△ABC 中，b=3， B=300，则a= ； 13．在△ABC 中，|AB |＝3，||＝2，AB 与的夹角为60°，则|AB -|＝____ __； 15．在ABC ?中，5=a ， 105=B ， 15=C ，则此三角形的最大边的长为__________；

高中数学的必修五解三角形知识点归纳

解三角形 一.三角形中的基本关系： (1)sin()sin ,A B C += cos()cos ,A B C +=- tan()tan ,A B C +=- (2)sin cos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C +++=== (3)a>b 则Ａ＞Ｂ则sinA>sinB,反之也成立 二.正弦定理： 2sin sin sin a b c R C ===A B ．R 为C ?AB 的外接圆的半径） 正弦定理的变形公式： ①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． 两类正弦定理解三角形的问题：

①已知两角和任意一边求其他的两边及一角. ②已知两边和其中一边的对角，求其他边角. (对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、无解）) 三．余弦定理： 222 2cos a b c bc =+-A 222 2cos b a c ac =+-B 222 2cos c a b ab C =+-． 注意：经常与完全平方公式与均值不等式联系 推论： 222 cos 2b c a bc +-A = 222 cos 2a c b ac +-B = 2 2 2 cos 2a b c C ab +-= ．

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解三角形 【知识要点】 1.正弦定理： a ＝ b ＝ c ＝ 2R(2R 为△ ABC 外接圆的直径 )． sin A sin B sin C 变形： a＝ 2Rsin A， b＝ 2Rsin B， c＝ 2Rsin C. a b c sin A＝2R， sin B＝2R， sin C＝2R. 2．余弦定理： a2＝ b2＋ c2－ 2bccos A， b2＝ a2＋ c2－ 2accos B， c2＝ a2＋ b2－ 2abcos C. 推论： cos A＝b2＋ c2－ a2 a2＋ c2－ b2 ， cos C＝ a2＋ b2－ c2 . 2bc ，cos B＝2ac 2ab 3.三角形面积公式：S 1 ab sin C 1 bc sin A 1 ac sin B 2 2 2 4．三角形中的常用结论 (1)三角形内角和定理：A＋ B＋ C＝π , sin A B sin C, cos A BcosC (2)A>B>C? a>b>c? sin A>sin B>sin C. 5.仰角和俯角 __________ 的角叫仰角，在水平线 ______ 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线 的角叫俯角 ( 如图① ) ． 6．方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 7．方向角 相对于某一方向的水平角( 如图③ ) ． B 点的方位角为α(如图②) ． 图③ (1)北偏东α°：指北方向向东旋转α °到达目标方向． (2)东北方向：指北偏东 45°或东偏北 45°. (3)其他方向角类似．

一、选择题： 1. 在△ ABC中， a＝ 10，B=60°,C=45°, 则 c 等于（） A．10 3B．10 3 1 C． 3 1 D．10 3 2. 在△ ABC中， b= 3，c=3， B=300，则 a 等于 （）A ． 3 B ．12 3 C ．3或 2 3 D ．2 3. 已知△ ABC 的周长为9 ，且 sin A : sin B : sin C 3 : 2 : 4 ，则 cosC 的值为 （） A． 1 B．1 C ． 2 ． 2 4 4 3 D 3 4. 在△ ABC 中， bcosA=acosB，则三角形为（） A. 直角三角形 B.锐角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 5．在 ABC 中，已知(a c)(a c) b(b c) ，则A为（）A． 30 0 B ．45 0 C ．60 0 D ．120 6. △中， 45 o ，C 60 o c 1，则最短边的边长等于（） ABC B ， A 6 B 6 C 1 D 3 3 2 2 2 7. 长为 5、 7、8 的三角形的最大角与最小角之和为（） A 90 ° B 120 ° C 135 ° D 150 ° 8. △ ABC中， a b c ，则△一定是（） cos A cos B cosC ABC A 直角三角形 B 钝角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形 9. △ ABC中， b 8 ， c 8 3 ，S V ABC 16 3 ，则 A 等于（）A 30o B 60o C 30o或150o D 60o或 120o 10. 在△ ABC 中， a2 2 2 ，则 A 等于（） =b +c +bc A.60° B.45° C.120 D.30° 11. 在△ ABC 中， a=2， A=30° ,C=45°，则△ ABC 的面积 S△ABC等于（） A. B.2 C. +1 D. ( +1) 12. 已知△ ABC的三边长 a 3, b 5, c 6 ，则△ABC的面积为（） A．14B． 2 14C．15D．2 15

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（数学5必修）第一章：解三角形 [基础训练A 组] 一、选择题 1．在△ABC 中，若0 30,6,90===B a C ，则b c -等于（ ） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32- 2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ） A ．A sin B ．A cos C ．A tan D ． A tan 1 3．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为（ ） A ．2 B ． 2 3 C ．3 D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ） A ．006030或 B ．006045或 C ．0060120或 D ．0015030或 6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．0150 二、填空题 1．在Rt △ABC 中，090C =，则B A sin sin 的最大值是_______________。 2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,2 2 2 _________。 3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,20 _________。 4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则C =_____________。 5．在△ABC 中，,26-= AB 030C =，则AC BC +的最大值是________。 三、解答题 1． 在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？

高中数学必修五第一章《解三角形》知识点知识讲解

高中数学必修五第一章《解三角形》知识 点

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b

(完整版)必修五-解三角形-题型归纳

构成三角形个数问题 1在 ABC 中，已知a x,b 2,B 45°，如果三角形有两解，则x 的取值范围是( ) A. 2 x 2\f2 B. X 2 血 C . V2 x 2 D. 0x2 2 ?如果满足 ABC 60 , AC 12 , BC k 的厶ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是 3.在 ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ） A* CJ = S J fr = 10^ A = 45" E ? 口 = 60 r ￡* = S1 B = 6（T * C. a — 7 > ￡> = 5 ? A - &0= D ? 口二 14# 6 - 20 , -4-45"心 求边长问题 A. 5 B 5?在△ ABC 中, a 1,B 450, S ABC 2，则 b = _________________ 三. 求夹角问题 6.在 ABC 中， ABC -, AB 2,BC 3，则 sin BAC （） 4 10 10 3 10 5 A. 10 B 5 C 10 D 5 7 .在厶ABC 中，角A , B , C 所对的边分别a,b,C,S 为表示△ ABC 的面积，若 4.在 ABC 中，角 A, B,C 所对边 a,b,c ，若 a 3,C 1200 , ABC 的面积S 15 3 4

1 2 2 2 acosB bcosA csinC, S -(b c a )，则/ B=() 4 A. 90° B . 60° C . 45° D . 30° 四.求面积问题 &已知△ ABC中，内角A，B, C所对的边长分别为a,b,c.若a 2bcosA, B -,c 1，则 3 △ ABC的面积等于( ) 书书书书 A B------ B ■ C i D i +11 8 6 4 2 A 9.锐角ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知cos2C j (i)求sinC的值； (n)当a 2, 2si nA si nC时，求b的长及| ABC的面积. 10?如图，在四边形ABCD 中，AB 3,BC 7J3,CD 14, BD 7, BAD 120 (1 )求AD边的长; (2)求ABC的面积.

高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳

高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b，则90C <；③若2 2 2 a b c +<，则90C >． 11、三角形的四心： 垂心——三角形的三边上的高相交于一点 重心——三角形三条中线的相交于一点（重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1） 外心——三角形三边垂直平分线相交于一点（外心到三顶点距离相等） 内心——三角形三内角的平分线相交于一点（内心到三边距离相等） 12 、请同学们自己复习巩固三角函数中 诱导公式及辅助角公式（和差角、倍角等） 。

数学必修5解三角形,正弦,余弦知识点和练习题

解三角形 1．正弦定理: 2sin sin sin a b c R A B C ===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =. 2．余弦定理： 222222 2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ?=+-?=+-??=+-? 或 222222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ?+-=?? +-?=???+-= ?? . 3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角. 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 5．解题中利用ABC ?中A B C π++=，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sin cos ,cos sin ,tan cot A B C A B C A B C +++===.、 1、ΔABC 中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B 等于 （ ） A ．60° B ．60°或120° C ．30°或150° D ．120° 2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是 （ ） A ．a=1,b=2 ,c=3 B ．a=1,b=2 ,∠A=30° C ．a=1,b=2,∠A=100° C ．b=c=1, ∠B=45°

完整word版,人教版必修五“解三角形”精选难题及其答案

人教版必修五“解三角形”精选难题及其答案 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 锐角△ABC 中，已知a =√3，A =π 3，则b 2+c 2+3bc 的取值范围是( ) A. (5，15] B. (7，15] C. (7，11] D. (11，15] 2. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sinA =2sinBcosC ，则△ABC 的形状为( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 3. 在△ABC 中，∠A =60°，b =1，S △ABC =√3，则 a?2b+c sinA?2sinB+sinC 的值等于 ( ) A. 2√39 3 B. 263 √3 C. 8 3√3 D. 2√3 4. 在△ABC 中，有正弦定理：a sinA =b sinB =c sinC =定值，这个定值就是△ABC 的外接圆 的直径.如图2所示，△DEF 中，已知DE =DF ，点M 在直线EF 上从左到右运动(点 M 不与E 、F 重合)，对于M 的每一个位置，记△DEM 的外接圆面积与△DMF 的外接圆面积的比值为λ，那么( ) A. λ先变小再变大 B. 仅当M 为线段EF 的中点时，λ取得最大值 C. λ先变大再变小 D. λ是一个定值 5. 已知三角形ABC 中，AB =AC ，AC 边上的中线长为3，当三角形ABC 的面积最大 时，AB 的长为( ) A. 2√5 B. 3√6 C. 2√6 D. 3√5 6. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边， b = c ，且满足sinB sinA =1?cosB cosA .若 点O 是△ABC 外一点，∠AOB =θ(0<θ<π)，OA =2OB =2，平面四边形OACB 面积的最大值是( ) A. 8+5√34 B. 4+5√34 C. 3 D. 4+5√32 7. 在△ABC 中，a =1，b =x ，∠A =30°，则使△ABC 有两解的x 的范围是( ) A. (1，2√3 3 ) B. (1，+∞) C. (2√3 3 ，2) D. (1，2) 8. △ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若AB ????? +AC ????? =2AO ????? ，且|OA ????? |=|AC ????? |，则△ABC 的面积为( ) A. √3 B. √32 C. 2√3 D. 1 9. 在△ABC 中，若sinBsinC =cos 2A 2，则△ABC 是( )

必修5第一章《解三角形》全章教案

数学5 第一章 解三角形 课题: §1．1．1 正弦定理 授课类型：新授课 ●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课 [探索研究] (图1．1-1) 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==, A 则 sin sin sin a b c c A B C = = = b c 从而在直角三角形ABC 中， sin sin sin a b c A B C = = C a B (图1．1-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = ， C 同理可得 sin sin c b C B = ， b a

人教版高中数学必修五《第一章 解三角形》单元测试

必修五第一章测试题 班级： 组名： 姓名： 设计人：连秀明 审核人：魏帅举 领导审批： 一 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知△ABC 中，30A =，105C =，8b =，则等于 （ ） A 4 B 2. △ABC 中，45B =，60C =，1c =，则最短边的边长等于 （ ） A 3 B 2 C 1 2 D 2 3.长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( ) A 90° B 120° C 135° D 150° 4.△ABC 中，cos cos cos a b c A B C == ，则△ABC 一定是 （ ） A 直角三角形 B 钝角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形 5.△ABC 中，60B =，2 b a c =，则△ABC 一定是 （ ） A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形 6.△ABC 中，∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC ( ) A 有 一个解 B 有两个解 C 无解 D 不能确定 7. △ABC 中，8b = ，c = ，ABC S =A ∠等于 （ ） A 30 B 60 C 30或150 D 60或 120 8.△ABC 中，若60A = ，a =sin sin sin a b c A B C +-+-等于 （ ） A 2 B 1 2 9. △ABC 中，:1:2A B =，C 的平分线CD 把三角形面积分成3:2两部分，则cos A =（ ） A 13 B 12 C 34 D 0 10.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 （ ） A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 由增加的长度决定 11 在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（ ）

必修5-解三角形知识点归纳总结

第一章 解三角形 一.正弦定理： 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外 接圆的直径，即 R C c B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． 2）化边为角：C B A c b a sin :sin :sin ::=； ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a = 3）化边为角：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4）化角为边： ;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin c a C A = 5）化角为边： R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； 例：已知角B,C,a ， 解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。 例：已知边a,b,A, 解法：由正弦定理B A b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ，再使用正弦定理C A c a sin sin =求出c 边 4.△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则 ①A b a sin <时，B 无解； ②A b a sin =或b a ≥时，B 有一个解； ③b a A b <

必修五解三角形练习题

一．选择题（共10小题） 1．在△ABC中，sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的（） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 2．在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若这样的△ABC有两个，则实数x的取值范围是（） A．（2，+∞）B．（0，2）C．（2，2）D．（，2） 3．在锐角△ABC中，若C=2B，则的范围（） A．B．C．（0，2）D． 4．在△ABC中，下列等式恒成立的是（） A．csinA=asinB B．bcosA=acosB C．asinA=bsinB D．asinB=bsinA 5．已知在△ABC中，若αcosA+bcosB=ccosC，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形或钝角三角形B．以a或b为斜边的直角三角形C．以c为斜边的直角三角形D．等边三角形 6．在△ABC中，若cosAsinB+cos（B+C）sinC=0，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形 C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形 7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且=，则∠B为（） A．B．C．D． 8．在△ABC中，已知sinA=2sinBcosC，则该三角形的形状是（） A．等边三角形B．直角三角形 C．等腰三角形D．等腰直角三角形 9．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，，b=1，则角B 等于（） A．B．C．D．或

10．在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若此三角形有两解，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜2 C．D． 二．填空题（共1小题） 11．（文）在△ABC中，∠A=60°，b=1，△ABC的面积为，则 的值为． 三．解答题（共7小题） 12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=，cos2A ﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB （1）求角C的大小； （2）求△ABC的面积的最大值． 13．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知bccosA=3，△ABC的面积为2． （Ⅰ）求cosA的值； （Ⅱ）若a=2，求b+c的值． 14．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且=． （1）求角B的大小； （2）△ABC的外接圆半径是，求三角形周长的范围．

高中数学必修五第一章解三角形知识点归纳与测试卷.doc

第十二讲 解三角形 1 、三角形三角关系： A+B+C=180 °； C=180 °— (A+B) ； 3 、三角形中的基本关系： sin( A B) sin C , cos( A B) cosC , tan(A B) tanC , sin A B cos C ,cos A B sin C , tan A B cot C 2 2 2 2 2 2 4 、正弦定理：在 C 中， a 、 b 、 c 分别为角 、 、 C 的对边， R 为 C 的外接圆的半 径，则有 a b c 2R ． sin sin C sin 5 、正弦定理的变形公式： ①化角为边： a 2Rsin ， b 2Rsin ， c 2R sin C ； ②化边为角： sin a ， sin b c ； ， sin C 2R 2R 2R ③ a : b: c sin :sin :sin C ；④ a b c a b c ． sin sin sin C sin sin sin C 7 、余弦定理：在 C 中，有 a 2 2 c 2 2bc cos 等，变形： cos b 2 c 2 a 2 b 等， 2bc 8 、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。②已知三边求角） 9 、三角形面积公式： 1 1 1 S C bc sin ab sin Cac sin ． 2 2 2 10 、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形 式或角的形式设 a 、 b 、 c 是 C 的角 、 、 C 的对边，则： ①若 a 2 b 2 c 2 ，则 C 90o ；②若 a 2 b 2 c 2 ，则 C 90o ；③若 a 2 b 2 c 2 ，则 C 90o ． 11 、三角形的四心： 垂心——三角形的三边上的高相交于一点

高二数学必修五解三角形教案

高二数学必修五第一章解三角形教案） （一）教学目标 1．知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 2 . 过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。（二）教学重、难点重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。（三）学法与教学用具学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系：，接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。教学用具：直尺、投影仪、计算器（四）教学设想 [创设情景] 如图1．1-1，固定 ABC的边CB及 B，使边AC绕着顶点C转动。 A 思考： C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB的长度随着其对角 C的大小的增大而增大。能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B [探索研究] (图1．1-1) 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，，又 , A 则 b c 从而在直角三角形ABC中， C a B (图1．1-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当 ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD= ,则， C 同理可得， b a 从而 A c B (图1．1-3) 思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。（证法二）：过

必修五-解三角形-题型归纳

一． 构成三角形个数问题 1．在ABC ?中，已知,2,45a x b B === ，如果三角形有两解，则x 的取值范围是（ ） A ．． D.02x << 2．如果满足 60=∠ABC ，12=AC ，k BC =的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是__________． 3．在ABC ?中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ） 二． 求边长问题 4．在ABC ?中，角,,A B C 所对边,,a b c ，若03,120a C ==，ABC ?的面积则c =（ ） A ．5 B ．6 C ．7 5．在△ABC 中，01,45,2ABC a B S ?===，则b =_______________. 三． 求夹角问题 6．在ABC ?中，，则=∠BAC sin （ ） A

7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别S c b a ,,,为表示△ABC 的面积，若 ,sin cos cos C c A b B a =+ B=( ) A ．90° B ．60° C ．45° D ．30° 四． 求面积问题 8．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为c b a ,,.若2cos ,,13 a b A B c π ===，则 △ABC 的面积等于 （ ） 9．锐角ABC ?中，角C B A 、、的对边分别是c b a 、、，已知 （Ⅰ）求C sin 的值； （Ⅱ）当2=a ，C A sin sin 2=时，求b 的长及ABC ?的面积． 10．如图，在四边形ABCD 中， （1）求AD 边的长； （2）求ABC ?的面积．

必修五解三角形题型归纳

一. 构成三角形个数问题 1在ABC中，已知a x,b 2,B 45°，如果三角形有两解，则x的取值范围是（ ） A. 2 x 2 2 B. x 2,2 C . 2 x 2 D. 0x2 2 ?如果满足ABC 60 , AC 12 , BC k的厶ABC恰有一个，那么k的取值范围是 3.在ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（） A* CJ =S J =J = 45=B. a = 60 ；b -= 81； B = = 60°+J C” a —7 > b —5j八眇 D ?。二14 , b - 20, "4亍二. 求边长问题 4.在ABC 中，角A, B,C所对边a,b,c，若a 3,C1200,ABC的面积S 15血4 则c() A. 5 B .6 C . V39D7 5.在△ ABC 中，a1,B 450,S ABC 2，则b = 三. 求夹角冋题 6.在ABC中，ABC -,AB4V2, BC 3，则sin BAC( ) v'10V103^10<5 A. 10 B5 C . 10D5

7 .在厶ABC 中，角A , B , C 所对的边分别a,b,C,S 为表示△ ABC 的面积，若 1 2 2 2 bcosA csinC, S (b c a )，则/ B=( 4 B . 60° C . 45° D . 30° 四. 求面积问题 &已知△ ABC 中，内角A , B, C 所对的边长分别为 a,b,c .若 a ZbcosAB -， c 1 ，则 △ ABC 的面积等于 ( ) g 6 4 2 9.锐角 ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、 1 c ,已知 cos2C - 4 ([)求 sinC 的值； (□)当 a 2, 2si nA si nC 时，求 b 的长及 ABC 的面积. 10?如图，在四边形 ABCD 中，AB 3,BC 7.3,CD 14, BD 7, BAD 120 a cosB A. 90° (1 )求AD 边的长； (2)求ABC 的面积.

高中数学必修五解三角形知识点

必修五不等式 1、0a b a b ->?>；0a b a b -=?=；0a b a b -?<； ②,a b b c a c >>?>； ③a b a c b c >?+>+； ④,0a b c ac bc >>?>，,0a b c ac bc >>?+>+； ⑥0,0a b c d ac bd >>>>?>； ⑦()0,1n n a b a b n n >>?>∈N >； ⑧)0,1a b n n >>?>∈N >． 小结：代数式的大小比较或证明通常用作差比较法：作差、化积（商）、判断、结论。 在字母比较的选择或填空题中，常采用特值法验证。 3、一元二次不等式解法： （1）化成标准式：2 0,(0)ax bx c a ++>>；（2）求出对应的一元二次方程的根； （3）画出对应的二次函数的图象； （4）根据不等号方向取出相应的解集。 线性规划问题： 1．了解线性约束条件、目标函数、可行域、可行解、最优解 2．线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题． 3．解线性规划实际问题的步骤： （1）将数据列成表格；（2）列出约束条件与目标函数；（3）根据求最值方法：①画：画可行域；②移：移与目标函数一致的平行直线；③求：求最值点坐标；④答；求最值； （4）验证。 两类主要的目标函数的几何意义: ①z ax by =+-----直线的截距；②22()()z x a y b =-+------两点的距离或圆的半径； 4、均值定理： 若0a >，0b >，则a b +≥，即2a b +≥． ()20,02a b ab a b +??≤>> ???； 2a b +称为正数a 、b a 、b 的几何平均数． 5、均值定理的应用：设x 、y 都为正数，则有 ⑴若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值24s ． ⑵若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值． 注意：在应用的时候，必须注意“一正二定三等”三个条件同时成立。