矢量三重积

矢量三重积ax(bxc)恒等式的证明

矢量三重积 ax(bxc) 恒等式的证明The vector triple product 公式: a x ( b x c ) = (a· c)b - (a·b)c

证:

设有空间任意三矢量:a,b,c (见下面的图)

将 b与c放在直角坐标的 xy 平面,并将b与x轴重合.或者矢量不动,将坐标架任意旋转及移动,

然后将xy平面贴合到b,c两矢量构成的平面,且将x轴与b重合, 人坐在坐标架上来观察.

假设,三矢量表示如下:

将c分解为两个分量, 则因 bx i Xcx i=0 , 故有bxc=(0,0,bxcy) ---右手定则

式左LHS (left hand side):

将a分为三个分量:ax i,ay j, az k , 因已知b x c=bxcy k ,

再将 a的三个分矢量分别与bxcy k求矢量积,按照右手定则,其中有az k Xbxcy k=0

最后得:

式右RHS (right hand side):

证明完毕.

注:式左将a分为ax,ay,az三个分量,分量本身也是矢量,再分别按照右手法则决定各自的叉积及其方向即可.

注意相同方向的两矢量之矢量积为0. .如图,最下面的浅蓝色虚线所示为分量,实线为分量之和.

式右为两项纯量乘矢量, 然后相减,其中 x坐标有axbxcx- axbxcx=0, 所以,最后得到各坐标值的代数和就是式中

那样,同样代表图中浅蓝色虚线为分量,实线为其合成矢量.

又:b=bx j

符号: X 英文读 cross 台湾人是按照英文念的,中文有人读:" 叉" ,符号本身像个交叉(十字)的意思,矢量积,外积,向量积,都是它.

圆点,英文读 dot , 中文就读"点", 点积,内积,数量积,纯量积,标量积都是它了.

另一个公式: (axb)xc=(a.c)b-(b.c)a 将a,b放在xy平面,再将a与x轴重合....再按照上述方法,自己试一试.

第五节 矢量的混合积与二重矢积

定理 三矢量a 、 b 、 c 共面的充分必要条件是它们的混合积)(c b a ??=0，也即 03 21321321 =c c c b b b a a a 证 因为),cos()(c b a c b a c b a ??=?? 若0)(=??c b a ，则只有0=a 或0=?c b 或0),cos(=?c b a 10若0=a ，则a, b, c 共面； 20若0=?c b ，则 b, c 共线，即a, b, c 共面； 30若0),cos(=?c b a ，则2 πθ=，即a 垂直于c b ?，也即a, b, c 共面. 反之亦然. 图7-28

如果a , b , c 共面，将它们的起点移到一起，并以三矢量为棱作成一个平行六面体，如图7-28所示. 若当a 与c b ?的夹角为锐角，)2 0(π θ<≤ 由),cos()(c b a c b a c b a ??=?? 其中c b ?等于平行六面体的底面面积. c b a c b a a ?=?)(),cos(，即a 在c b ?上的投影, 也即，)cos(c b a,a ?等于这个平行六面体的高.得)(c b a ??等于平行六面体的体积. 若a 与c b ?的夹角为钝角， )2 (πθπ≤<0),cos(

常用地一些矢量运算公式

常用的一些矢量运算公式 1.三重标量积 如a ，b 和c 是三个矢量，组合 ()a b c ??叫做他们的三重标量积。三重标量积等于这三 个矢量为棱边所作的平行六面体体积。在直角坐标系中，设坐标轴向的三个单位矢量标记为 (),,i j k ，令三个矢量的分量记为()()1 2 3 1 2 3 ,,,,,a a a a b b b b 及()1 2 3 ,,c c c c 则有 ( )() 123123123123 123123 c c c i jk a b c a a a c i c j c k a a a b b b b b b ??=?++= 因此，三重标量积必有如下关系式： ()()()a b c b c a c a b ??=??=??即有循环法则成立，这就是说不改变三重标量积中三个矢量顺序的组合，其结果相等。 2.三重矢量积 如a ，b 和c 是三个矢量，组合 ( ) a b c ??叫做他们的三重标量积，因有 ()()()a b c a c b c b a ??=-??=?? 故有中心法则成立，这就是说只有改变中间矢量时，三重标量积符号才改变。三重标量积有一个重要的性质（证略）:() ()()a b c a b c a c b ??=-?+? （1-209） 将矢量作重新排列又有：()()() a b c b a c b a c ?=??+? （1-210） 3.算子（ a ? ） ? 是哈密顿算子，它是一个矢量算子。（ a ? ）则是一个标量算子，将它作用于标量φ ，即 ()a φ?是φ在a 方向的变化速率的a 倍。如以无穷小的位置矢量 d r 代替以上矢量a ，则 ()dr φ ?是φ在位移方向 d r 的变化率的 d r 倍，即 d φ 。 () ()d dr dr φφφ=?=? 若将 () dr ?作用于矢量v ，则 ()dr v ?就是v 再位移方向 d r 变化率的 d r 倍，既为速度矢量 的全微分() dv dr v =? 应 用 三 重 矢 量 积 公 式 （ 1-209 ） ()()() 00()()()() a b a b a b b a a b b a a b ???=???+???=??-??-??+??

矢量计算题

矢量的基本知识和运算法则 1．矢量和标量的不同点在于：矢量除了有大小之外，还有方向，矢量A 记做A ，其大小等于A 矢量的图示：通常用一条带有箭头的线段来表示，（线段的长度表示大小，箭头表示方向）如图5－1所示。 两个矢量相等的条件是：大小相等，方向相同。如图5－2所示。两矢量的夹角定义为两矢量所构成的小于或等于1800的角。在一般问题中（除非特别指明），矢量的始点位置不关重要的，在进行矢量运算时可将矢量平移。 2．矢量的加减法运算遵从平行四边形法则或三角形法则。 对三个以上的矢量相加，通常使用多边形法则。 3．矢量A 与数量K 相乘时，其结果仍是一个矢量。所得矢量的大小等于原矢量大小乘以，所得矢量的方向：当K ＞0时，与原矢量方向相同；当K<0 时，与原矢量方向相反 如动量()mV 、冲量()F t ??都是矢量，其方向分别与矢量V 和F 矢量相同。动量的变化量()m V ?也是矢量，其方向与V ?相同。 矢量A 与数量K 相除，可以看成A 矢量乘以数量 1K ，如加速度1F a F m m ==?，方向与F 相同。 4．矢量A 与矢量B 相乘 一种乘法叫做两矢量的数量积（又叫点积），用AB ?表示，乘得的积是标量，大小等于两矢量的大小与两矢量夹角余弦的积。即：c o s A B A B θ?=。如：功是力F 与位移S 的数量积，是标量。c o s W F S F S θ=?= 另一种乘法运算是两矢量的矢量积（又叫叉积），用A B ?表示，矢量积A B C ?=还是一个矢量，其大小等于两矢量的大小和两矢量夹角的正弦的乘积。sin C A B θ=?，即矢量C 的大小等于两矢量A 和B 为邻边的平行四边形的面积，矢量C 的方向垂直于矢量A 和B 所决定的平面，指向用“右手螺旋法则”来确定，如图5－5（甲）或（乙）所示。 A B B A ?≠?，A B ?与B A ?大小相等，方向相反。 如力矩M 等于力F 和矢径r 两矢量的矢量积，力矩M r F =?，大小为sin M Fr θ=。带电粒子所受的磁场力（即洛仑兹力）F qV B =?，大小为sin F q vB θ=?（若是负电荷受力方向与此相反） 例5－1为什么说匀速园周运动既不是匀速运动，也不是匀变速运动？物体在运动过程中合外力是否做功？ 解：因为速度和加速度都是矢量，在图5－6所示的圆周上任意取两点A 、B ，虽然,A B A B v v a a ==，但方向不同，由矢量相等的条件可知：A B v v ≠，A B a a ≠，因此匀速园周运动既不是匀速运动，也不是匀变速运动。

1.4向量的向量积,向量的混合积

本节重点: 2 1.4.1向量积 § 1.4 向量的向量积、向量的混合积 1。向量的向量积及其运算律、坐标运算 ?向量的混合积及其运算律、坐标运算 物理学中研究刚体转动问题时， 亠冃 T 向量m ,它的模等于这个力的大小| ,并且向量O H , 与力作用线的平面 “力矩”是一重要概念；所谓一个力/关于定点O 的力矩，指的是 也可以不使用垂足 H 。我们在f 作用线上任取一点 R 。 与从O 到这个力作用线所引垂直线段 OH 之积，它垂直于通过 O T c T ,m ｝。但是，要获得力矩 m , 如图以r 记向量OR 。则m 垂直于r , f 。且/ , f , m 组成一个右手标架｛ O ；OH , f', T f , m 仍组成一个右手标架｛ O ; 由于 而 故丨m | = | T T T r , f , m }。 OH = OR sin / ORH / ORH = n —Z ( r , f )(或/ 我们把由 f | |OH | = |f' | | ?I f | sin Z ( r , f 得出m 的方法推广到一般向量， a , b 为两不共线非零向量，作一向量 b 垂直且a , b , c 组成一个右手标架｛ o ; T r T r , r | sin ( n - Z ( r , f ) 141 定义设 积，它的方向与a , (或叫外积),记作 T T c = a x T T 系 1: | a x b T 就产生一种新的运算。 c ,其模等于a , b 之模与a , b 夹角正弦之 则c 称为a , b 的向量积 T T b , c }, T b ] T T a , b 为邻边的平行四边形的面积。 T T a x b = 0。 等于以 T 系2:两向量a , b 共线充要条件为 由定义可以 推出向量积的运算规律。 1.4.2定理向量积满足下述运算律 T T T T b x a =—(a x b ) T T T T T 入 a x b = a x 入 b =入(a x b ) 证:(1)若a , b 共线,则等式显然成立。今设 T T T T 及各自的模均未改变，故|b x a | = |a x b T T T T T T —f —f b 次序时，a , b 的夹角 与b ,因此a x b 与b x a 是共线向量，且按顺序 T 标架｛o ; a , T T T a , b 不共线，则当交换a , T T T T T 。又根据向量积定义， a x b 与b x a 都同时垂直于a TTTTTT T T a , b , a x b 和b , a , b x a 都分别构成右手 从而得 (2) 不妨设 当入＞0时, TTT TTTT TTTT b , a x b },{ o ; b , a , b x a }所以 a x b 与 b x a 方向相反。 T T T T a x b = -( b x a ) T T 入工0且a , b 不共线 TT TTTT TT 入a 与a 同向，故入a x b 与a x b 同向，又与入(a x b )同向， 、., T T T T T T 另一方面 | 入 a x b | = | 入 a | | b | sin Z (入 a , b ) T T T =| 入 | |a | | b | sin Z (入 a T T T T b )) T T =| 入 | |a | | b | sin Z ( a , b ) =| 入(a x b ) | ,

数量积向量积混合积

第三节 数量积 向量积 混合积 分布图示 ★ 两向量的数量积 ★ 数量积的运算 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 向量积概念的引入 ★ 向量积的定义 ★ 向量积的运算 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 向量的混合积 ★ 混合积的几何意义 ★ 例11 ★ 例12 ★ 例13 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题8-3 ★ 返回 内容要点 一、两向量的数量积 定义1设有向量a 、b ，它们的夹角为θ，乘积θcos ||||b a 称为向量a 与b 的数量积（或称为内积、点积），记为b a ?，即 θcos ||||b a b a =?. 根据数量积的定义，可以推得： （1） b j a a j b b a a b Pr ||Pr ||==?; （2） 2 ||a a a =?; （3） 设a 、b 为两非零向量，则 b a ⊥的充分必要条件是 0=?b a . 数量积满足下列运算规律： （1）交换律 ;a b b a ?=? （2）分配律 ;)(c b c a c b a ?+?=?+ （3）结合律 )()()(b a b a b a λλλ?=?=?,（λ为实数）. 二、两向量的向量积 定义2 若由向量a 与b 所确定的一个向量c 满足下列条件： （1）c 的方向既垂直于a 又垂直于b , c 的指向按右手规则从a 转向b 来确定（图

8-3-4）； （2）c 的模 θsin ||||||b a c =，(其中θ为a 与b 的夹角)， 则称向量c 为向量a 与b 的向量积（或称外积、叉积），记为 b a c ?=. 根据向量积的定义，即可推得 （1）0 =?a a ； （2）设a 、b 为两非零向量，则 b a //的充分必要条件是 0=?b a . 向量积满足下列运算规律: （1）;a b b a ?-=? （2）分配律 ;)(c b c a c b a ?+?=?+ （3）结合律 )()()(b a b a b a λλλ?=?=?,（λ为实数）. 三、向量的混合积 例题选讲 两向量的数量积 例1(E01) 已知},2,2,1{},4,1,1{-=-=b a 求 (1) ;b a ? (2) a 与b 的夹角θ; (3) a 与b 上的投影. 解 (1) b a ?2)4()2(111?-+-?+?=.9-= (2) 222222cos z y x z y x z z y y x x b b b a a a b a b a b a ++++++= θ,2 1- = ∴.4 3π θ= (3) ,Pr ||a j b b a b =?.3| |Pr -=?=∴a b a a j b 例2 证明向量c 与向量a c b b c a )()(?-?垂直. 证 c a c b b c a ??-?])()[(])()[(c a c b c b c a ??-??=])[(c a c a c b ?-??=,0= ∴.])()[(c a c b b c a ⊥?-?

矢量积

§8 两矢量的矢量积 定义1 设矢量c 是由两个矢量a 与b 按下列方式定出：c 的模 |c |=|a ||b |sin θ , 其中θ 为a 与b 间的夹角；c 的方向垂直于a 与b 所决定的平面, c 的指向按右手规则从a 转向b 来确定，我们把这样的矢量c 叫做矢量a 与b 的矢量积, 记作a ?b , 即 c =a ?b . 从定义知矢量积有下列性质： (1) a ?a =0 (2) 对于两个非零矢量a ，b , 如果a ?b =0, 则a //b ；反之, 如果a //b , 则a ?b = 0. 定理1 两矢量a 与b 共线的充要条件是a ?b =0. 证 当a 与b 共线时，由于sin(a 、b )=0，所以|a ?b |=|a ||b | sin(a 、b )=0，从而a ?b =0；反之，当a ?b =0时，由定义知，a =0 ，或b =0，或a //b ，因零矢可看成与任矢量都共线，所以总有a //b ，即a 与b 共线. 定理2 矢量积满足下面的运算律: (1) 交换律 a ?b =-b ?a ， (2) 分配律 (a +b )?c =a ?c +b ?c ， (3) 数因子的结合律 (λa )?b =a ?(λb )=λ(a ?b ) (λ为数). 证 （略）. 定理3 设a = a x i + a y j + a z k , b = b x i + b y j + b z k ，则 a ?b =(a y b z -a z b y )i +(a z b x -a x b z )j + （a x b y -a y b x ）k . 证 由矢量积的运算律可得 a ? b =(a x i +a y j +a z k )?(b x i +b y j +b z k ) =a x b x i ?i +a x b y i ?j +a x b z i ?k +a y b x j ?i +a y b y j ?j +a y b z j ?k +a z b x k ?i +a z b y k ? +a z b z k ?k . 由于 i ?i =j ?j =k ?k =0, i ?j =k , j ?k =i , k ?i =j , 所以 a ?b =(a y b z -a z b y )i +(a z b x -a x b z )j +（a x b y -a y b x ）k . 为了邦助记忆, 利用三阶行列式符号, 上式可写成 z y x z y x b b b a a a k j i b a =?=a y b z i +a z b x j +a x b y k -a y b x k -a x b z j -a z b y i =(a y b z -a z b y )i +(a z b x -a x b z )j +(a x b y -a y b x )k . . 例1 设a =(2, 1, -1), b =(1, -1, 2), 计算a ?b . 解 211112--=?k j i b a 2i -j -2k -k -4j -i =i -5j -3k . 例2 已知三角形ABC 的顶点分别是A (1, 2, 3)、B (3, 4, 5)、C (2, 4, 7), 求三角形ABC 的面积. 解 根据向量积的定义, 可知三角形ABC 的面积 →→→→ ||21sin ||||21AC AB A AC AB S ABC ?=∠=?. 由于→AB =(2, 2, 2), → AC =(1, 2, 4), 因此 →→421222k j i =?AC AB =4i -6j +2k . 于是 142)6(421|264|21222=+-+=+-=?k j i ABC S .

§1.9三矢量的混合积

§1.9三矢量的混合积 一、概念 定义给定空间的三个矢量，如果先做前两个矢量与的矢性积，再做所得 的矢量与第三个矢量的数性积，最后得到的这个数叫做三矢量, , 的混合积，记 做 (?)?或(,,)或(). 二、性质 定理1. 三个不共面矢量, , 的混合积的绝对值等于以, ,为棱的平行六面 体的体积V，并且当, , 构成右手系时混合积是正数；当, , 构成左手系时，混合积是负数，也就是有 () = εV ，当, , 是右手系时ε=1；当, , 是左手系时ε= -1. 证明：平行六面体的底面是以, 为边的平行四边形，面积为S=∣?∣，它的高∣OH∣=h,它的体积 V = S h （如图1-26）. 而 () = (?)?=∣?∣∣∣cosθ = S h =V（, , 构成右手标架）， 或 () = (?)?=∣?∣∣∣cos（－ θ） =－S h=－V（, , 构成右手标架）. 定理2. 三矢量, , 共面的充要条件是 ( )=0. 证明：当与共线即?=时，或=时，显然, , 共面且有 ()=0. 下面假设与不共线且≠： 如果()=0，即(?)?=0，则(?)⊥，又根据矢性积的定义知(?)⊥， (?)⊥，所以三矢量, , 共面. 反过来，如果, , 共面，那么由(?)⊥， (?)⊥知(?)⊥，于是 (?)?=0，即()=0. 定理3. 轮换混合积的三个因子，并不改变它的值，对调任何两个因子要改变混合积符号，即 ()=()=()= -()= -()= -(). 证明：当, , 共面时，显然成立；当, , 不共面时，轮换混合积的三个因 子或对调任何两个因子，混合积的绝对值都等于以, ,为棱的平行六面体的体积. 而 轮换, , 的顺序不会改变左（右）手系，因而混合积不变；而对调任何两个因子，将左（右）手系变为右（左）手系，所以混合积要改变符号. 推论.(?)?= ?(?). 证明：(?)?=()=()=(×)?=?(?).

浅谈向量混合积的应用

浅谈向量混合积的应用 摘要 向量代数在数学学习过程中有着很重要的作用，本文重点列举了向量的混合积在微分 几何、立体几何、空间解析几何及数学分析等方面的应用，从而体现了向量的混合积应用的广泛性. 关键词 向量；混合积 向量的混合积在实际应用中在不同的方面都有着广泛的作用，下面就混合积 在各领域的运用予以举例说明. 混合积的定义 给定空间的三个矢量→ →→c b a ,,，如果先做前两个矢量→ →b a 和的失性积，再做所得的矢量与第三个矢量→ c 的数性积，最后得到的这个数叫做三矢量 → →→c b a ,,的混合积，记做→→→??c b a )(或),,(→→→c b a 或).(→ →→c b a 性质1三个不共面矢量→→→c b a ,,的混合积的绝对值等于以→ →→c b a ,,为棱的平行六面体的体积V ，并且当→ →→c b a ,,构成右手系时混合积是正数；当→ →→c b a ,,构成左手系时，混合积是负数，也就是有 ,)(V c b a ε=→ →→ 当→→→c b a ,,是右手系时;1=ε当→ →→c b a ,,是左手系时.1-=ε 性质2 三矢量→ →→c b a ,,共面的充要条件是.0),,(=→ →→c b a 性质 3 轮换混合积的三个因子，并不改变它的值，对调任何两个因子要改变乘积符号，即 ).()()()()()(→ →→→ →→→ →→→ →→→ →→→ →→-=-=-===b c a a b c c a b b a c a c b c b a 推论 →→→??c b a )(=).(→ →→??c b a 性质 3 如果,,,333222111→ →→→→→→→→→→→++=++=++=k Z j Y i X c k Z j Y i X b k Z j Y i X a 那么 .)(3 3 3 222 111Z Y X Z Y X Z Y X c b a =→ →→ 一、在微分几何中的应用 引理 1 向量函数→ )(t r 具有固定长的充要条件是对于t 的每个值，→ ')(t r 都与 → )(t r 垂直.

§2 数量积 矢量积 混合积

489 §2 数量积 矢量积 混合积 2.1 两矢量的数量积 在物理学中，设物体在力F 的作用下沿直线从点1M 移动到2M ，即取得位移12s M M =，力与位移的夹角为,θ即),(=θ，则力F 所做的功为 ||||cos W F s θ=??。 这里功是一个数量，它由力与位移所唯一确定。一般地，两个矢量a 与b 可 唯一确定数值),cos(b a ，于是有： 定义2.1 设有矢量a 与b ，称数),cos(b a 为矢量a 与b 的数量积，记为 ?，即? ),cos(。 两矢量的数量积有称为两矢量的点积或内积。零矢量与任何矢量的数量积为零；a 与a 数量积也记为2 ，即2 ＝a a ? ),cos( 。 由数量积的定义知，物体在力F 作用下沿直线取得位移s 所做的功W ，就是力F 与位移s 的数量积，即W ?=。 数量积有下列运算规律： (1) ?=?； (交换率) (2) ()()() λλλ?=?=?； (结合率) (3) ()?+?=+?。 (分配率) 例2.1 设矢量a 与b 的夹角为 ,3 π||2,||3,a b ==求?。

490 解： ? =),cos(b a ＝33 cos 32=??π 。 例2.2 设0a b c ++=，||1,||2,||3,a b c === 求?+?+?。 解： 由0a b c ++= 得： ()++?＝+2 a ?+0=?， ()++?＝?++2 0=?， ()++?＝c a ?+c b ?+02 =。 将以上三式相加并代入||1,||2,||3,a b c === 得： () 142-=?+?+? 所以?+?+7-=?。 下面我们来推导数量积的坐标表示。 设 k a j a i a a z y x ++=，k b j b i b b z y x ++=，根据数量积的运算规律，得 b a ?x y z x y z a i a j a k b i b j b k ()()x x y z y x y z a i b i b j b k a j b i b j b k ()z x y z a k b i b j b k x x x y x z y x y y y z a b i i a b i j a b i k a b j i a b j j a b j k z x z y z z a b k i a b k j a b k k ， 因为i j k 都是单位向量，知1=?=?=?k k j j i i ；又因为i j k 是互相垂直的， 有0=?=?=?=?=?=?k i i k j k k j i j j i ，所以 b a ?=z z y y x x b a b a b a ++。 (2.1) 这就是数量积的坐标表示。 再者，前已知b a ?=θcos b a ，可见θcos b a =z z y y x x b a b a b a ++，那么，当a 与b 都不是零向量时，有θcos =b a b a ?，即得两向量夹角余弦的坐标表示：

两矢量的矢量积

§8 两矢量的矢量积 定义1 设矢量c是由两个矢量a与b按下列方式定出：c的模 |c|=|a||b|sin θ, 其中θ为a与b间的夹角；c的方向垂直于a与b所决定的平面, c的指向按右手规则从a转向b来确定，我们把这样的矢量c叫做矢量a与b的矢量积, 记作a?b, 即 c=a?b. 从定义知矢量积有下列性质： (1) a?a=0 (2) 对于两个非零矢量a，b, 如果a?b=0, 则a//b；反之, 如果a//b, 则a?b =0. 定理1两矢量a与b共线的充要条件是a?b=0. 证当a与b共线时，由于sin(a、b)=0，所以|a?b|=|a||b| sin(a、b)=0，从而a?b=0；反之，当a?b=0时，由定义知，a =0，或b =0，或a//b，因零矢可看成与任矢量都共线，所以总有a//b，即a与b共线. 定理2矢量积满足下面的运算律: (1) 交换律a?b=-b?a， (2) 分配律 (a+b)?c=a?c+b?c， (3) 数因子的结合律(λa)?b=a?(λb)=λ(a?b) (λ为数). 证（略）. 定理3 设a = a x i +a y j +a z k, b = b x i +b y j +b z k， 则 a?b=(a y b z-a z b y)i+(a z b x-a x b z)j+ （a x b y-a y b x）k. 证由矢量积的运算律可得 a?b=(a x i+a y j+a z k)?(b x i+b y j +b z k) =a x b x i?i+a x b y i?j +a x b z i?k +a y b x j?i+a y b y j?j+a y b z j?k

§1 矢量的基本知识和运算法则

§1 矢量的基本知识和运算法则 1．矢量和标量的不同点在于：矢量除了有大小之外，还有方向，矢量A 记做A ，其大小等于A 矢量的图示：通常用一条带有箭头的线段来表示，（线段的长度表示大小，箭头表示方向）如图5－1所示。 两个矢量相等的条件是：大小相等，方向相同。如图5－2所示。两矢量的夹角定义为两矢量所构成的小于或等于1800的角。在一般问题中（除非特别指明），矢量的始点位置不关重要的，在进行矢量运算时可将矢量平移。 2．矢量的加减法运算遵从平行四边形法则或三角形法则。 对三个以上的矢量相加，通常使用多边形法则。 10N F 图5－1 A /A /A A /A A /A A = /A A ≠ /A A =- 图5－ 2 C A B A B C += C A B ()A B A B C -=+-= C A B A B C += A B C A B C -= 图5－ 3 A B C D E A B C D E +++= A B C D E B D A C E +++= 图5－4

3．矢量A 与数量K 相乘时，其结果仍是一个矢量。所得矢量的大小等于原矢量大小乘以，所得矢量的方向：当K ＞0时，与原矢量方向相同；当K<0 时，与原矢量方向相反 如动量() mV 、冲量() F t ??都是矢量，其方向分别与矢量V 和F 矢量相同。动量的变化量() m V ?也是矢量，其方向与V ?相同。 矢量A 与数量K 相除，可以看成A 矢量乘以数量 1K ，如加速度1 F a F m m = =?，方向与F 相同。 4．矢量A 与矢量B 相乘 一种乘法叫做两矢量的数量积（又叫点积），用A B ?表示，乘得的积是标量，大小等于两矢量的大小与两矢量夹角余弦的积。即：cos A B AB θ?=。如：功是力F 与位移S 的数量积，是标量。cos W F S FS θ=?= 另一种乘法运算是两矢量的矢量积（又叫叉积），用A B ?表示，矢量积A B C ?=还是一个矢量，其大小等于两矢量的大小和两矢量夹角的正弦的乘积。 sin C A B θ=?，即矢量C 的大小等于两矢量A 和B 为邻边的平行四边形的面积， 矢量C 的方向垂直于矢量A 和B 所决定的平面，指向用“右手螺旋法则”来确定，如图5－5（甲）或（乙）所示。 注意：A B B A ?≠?，A B ?与B A ?大小相等，方向相反。 如力矩M 等于力F 和矢径r 两矢量的矢量积，力矩M r F =?，大小为

常用的一些矢量运算公式

常用的一些矢量运算公式

常用的一些矢量运算公式 1.三重标量积 如a ，b 和c 是三个矢量，组合 ()a b c ??叫做他们的三重标量积。三重标量积等于这三个矢量为棱边所作的平行六面体体积。在直角坐标系中，设坐标轴向的三个单位矢量标记为(),,i j k ，令三个矢量的分量记为 ()() 123123,,,,,a a a a b b b b 及 () 123,,c c c c 则有 ( )() 123123123123 123 123 c c c i jk a b c a a a c i c j c k a a a b b b b b b ??=?++= 因此，三重标量积必有如下关系式： ()()()a b c b c a c a b ??=??=??即有循环法则成立，这就是说 不改变三重标量积中三个矢量顺序的组合，其结果相等。 2.三重矢量积 如a ，b 和c 是三个矢量，组合 ()a b c ??叫做他们的三重标量积，因有 ()()()a b c a c b c b a ??=-??=?? 故有中心法则成立，这就是说只有改变中间矢量时，三重标量积符号才改变。三重标量积有一个重要的性质（证略）:( )()()a b c a b c a c b ??=-?+? （1-209）

将矢量作重新排列又有：()()( )a b c b a c b a c ?=??+? （1-210） 3.算子（a ? ） ?是哈密顿算子，它是一个矢量算子。（a ? ）则是 一个标量算子，将它作用于标量φ，即()a φ?是φ 在a 方向的变化速率的a 倍。如以无穷小的位置矢量 d r 代替以上矢量a ，则 ()dr φ ?是φ在位移方向d r 的变化率的d r 倍，即d φ。 () ()d dr dr φφφ=?=? 若将()dr ?作用于矢量v ，则()dr v ?就是v 再位移方向d r 变化率的d r 倍，既为速度矢量的全微分()dv dr v =? 应用三重矢量积公式（1-209） ()()() 00()()()() a b a b a b b a a b b a a b ???=???+???=??-??-??+?? 应用三重矢量积公式（1-210）又有 ()()() 00()()()()a b a b a b a b a b b a b a ??=??+??=???+?+???+?? 将以上两式结合（相减）后可得 () {() }1 ()()()()()2 a b a b a b b a a b b a a b ?= ??-???-???-???-??+?? 一个重要的特例，令 a b v ==，因 () v v ???=则有 21 ()() 2v v v v v ?=?-??? 4.算子? 的应用 令φ是标量，a 是矢量，;a b 为并矢量，则有

向量内积、外积和混合积

向量内积、外积和混合积 1 点乘 1.1 定义 点乘，也叫向量的内积、数量积。两个向量的点乘结果是一个标量，不妨假定向量为a b 、，则点乘大小为： cos ,a b a b a b =<> 令cos ,a b θ<>= ，则[]0,θπ∈。 1.2 坐标表示 设a =（x1,y1,z1）,b =（x2,y2,z2），则： 121212a b x x y y z z =++ 1.3 几何意义 点乘的几何意义是：是一条边向另一条边的投影乘以另一条边的长度。 1.4 应用 （1）计算两个矢量的夹角，取值范围为[]0,θπ∈。这里有两个特殊值，当点乘为零时，则表示两个向量垂直；点乘取最大值（等于两个向量模的乘积）时，表示两个向量平行；（非零向量） （2）如果两个矢量均为单位矢量（即模为1），则点乘结果表示夹角余弦； （3）如果其中一个矢量是单位矢量，则点乘结果表示非单位矢量在单位矢量方向上的投影； （4）从视点到多边形任意一个顶点的矢量与多边形的法向量的点积的符号（>0）多边形在视点背面看不到应 删除。（<0）多边形在视点的正面能看到。 （5）求平面外一点到平面的距离。从该点向平面上的点画一条矢量再与平面的法向量点乘求的绝对值。 （6）方向角与方向余弦。方向角定义为非零向量与坐标轴正向的夹角。设于x, y, z 轴的夹角分别为,,αβγ，则： 222cos ,cos ,cos cos cos cos y x z a a a a a a αβγαβγ ===++ 如果是单位向量，则()0cos ,cos ,cos a αβγ= 。 2 叉乘 2.1 定义 叉乘，也叫向量的外积、向量积。两个向量叉乘的结果仍为一向量，不妨设为c （x3,y3,z3）。向量c 的方向与a,b 所在的平面垂直，且方向要用“右手法则”判断（用右手的四指先表示向量a 的方向，然后手指朝着手心的方向摆动到向量b 的方向，大拇指所指的方向就是向量c 的方向）。大小为： sin ,c a b a b =<> 令sin ,a b θ<>= ，则[]/2,/2θππ∈-，指的是a 到b 的夹角，具有方向性。 2.2 坐标表示 c =（x3,y3,z3）=（y1z2-z1y2, z1x2-x1z2, x1y2-y1x2），矩阵表示为

矢量三重积

矢量三重积ax(bxc)恒等式的证明 矢量三重积 ax(bxc) 恒等式的证明The vector triple product 公式: a x ( b x c ) = (a· c)b - (a·b)c 证: 设有空间任意三矢量:a,b,c (见下面的图)

将 b与c放在直角坐标的 xy 平面,并将b与x轴重合.或者矢量不动,将坐标架任意旋转及移动, 然后将xy平面贴合到b,c两矢量构成的平面,且将x轴与b重合, 人坐在坐标架上来观察. 假设,三矢量表示如下: 将c分解为两个分量, 则因 bx i Xcx i=0 , 故有bxc=(0,0,bxcy) ---右手定则 式左LHS (left hand side): 将a分为三个分量:ax i,ay j, az k , 因已知b x c=bxcy k , 再将 a的三个分矢量分别与bxcy k求矢量积,按照右手定则,其中有az k Xbxcy k=0 最后得: 式右RHS (right hand side): 证明完毕.

注:式左将a分为ax,ay,az三个分量,分量本身也是矢量,再分别按照右手法则决定各自的叉积及其方向即可. 注意相同方向的两矢量之矢量积为0. .如图,最下面的浅蓝色虚线所示为分量,实线为分量之和. 式右为两项纯量乘矢量, 然后相减,其中 x坐标有axbxcx- axbxcx=0, 所以,最后得到各坐标值的代数和就是式中 那样,同样代表图中浅蓝色虚线为分量,实线为其合成矢量. 又:b=bx j 符号: X 英文读 cross 台湾人是按照英文念的,中文有人读:" 叉" ,符号本身像个交叉(十字)的意思,矢量积,外积,向量积,都是它. 圆点,英文读 dot , 中文就读"点", 点积,内积,数量积,纯量积,标量积都是它了. 另一个公式: (axb)xc=(a.c)b-(b.c)a 将a,b放在xy平面,再将a与x轴重合....再按照上述方法,自己试一试.

三矢量的混合积

§9 三矢量的混合积 定义 1 给定空间的三个矢量a b c ，我们()a b c ? 叫做三矢量,,a b c 的混合积，记做(,,)a b c 或()abc . 定理1 三个不共面矢量,,a b c 的混合积的绝对值等于以,,a b c 为棱的平行六面体的体积V ，并且当,,a b c 构成右手系时混合积为正；当,,a b c 构成左手系时混合积为负. 证 由于矢量,,a b c 不共面，所以把它们归结到共同的试始点O 可构成以,,a b c 为棱的平行六面体，它的 底面是以,a b 为边的平行四边形，面积为S a b =? ，它的高为OH h = ，体积是V Sh =. 根据数性积的定义()cos cos a b c a b c S c θθ ?=?= ， 其中θ是a b ? 与c 的夹角. 当,,a b c 构成右手系时，02πθ≤≤，cos h c θ= ，因而可得 ()a b c sh V ?== . 当,,a b c 构成左手系时，2πθπ≤≤，cos()cos h c c πθθ =-=- ，因而可得 ()a b c sh V ?=-=- . 定理2 三矢量,,a b c 共面的充要条件是()0abc = . 证 若三矢量,,a b c 共面，由定理1.9.1知|()|0a b c sh V ?=== ，所以|()|0abc = ，从而()0abc = . 反过来，如果()0abc = ，即()a b c ? ，那么根据定理1.7.1有()a b c ?⊥ ，另一方面，有矢性积的定义知(),()a b a a b b ?⊥?⊥ ，所以,,a b c 共面. 定理3 轮换混合积的三个因子，并不改变它的值；对调任何俩因子要改变混合积符号，即 ()()()()()()abc bca cab bac cba acb ===-=-=- . 证 当,,a b c 共面时，定理显然成立；当,,a b c 不共面时，混合积的绝对值等于以,,a b c 为棱的平行六面 体的体积V ，又因轮换,,a b c 的顺序时，不改变左右手系，因而混合积不变，而对调任意两个之间的顺序时， 将右手系变为左，而左变右，所以混合积变号. 推论1 ()()a b c a b c ?=? . 定理4 设111a x i y j z k =++ ，222b x i y j z k =++ ，333c x i y j z k =++ ，那么 1 112 223 3 3()x y z abc x y z x y z = . 证 由矢量的矢性积的计算知 111 11 12 2222 2y z z x x y a b i j k y z z x x y ?= ++ ， 再根据矢量的数性积得

空间矢量算法计算

啊一直以来对SVPWM原理和实现方法困惑颇多，无奈现有资料或是模糊不清，或是错误百出。经查阅众多书籍论文，长期积累总结，去伪存真，总算对其略窥门径。未敢私藏，故公之于众。其中难免有误，请大家指正，谢谢！ 此文的讲解是非常清楚，但是还是存在一些错误，本人做了一些修正，为了更好的理解整个推导过程，对部分过程进行分解，并加入加入7段和5段时调制区别。 1 空间电压矢量调制 SVPWM 技术 SVPWM是近年发展的一种比较新颖的控制方法，是由三相功率逆变器的六个功率开关元件组成的特定开关模式产生的脉宽调制波，能够使输出电流波形尽可能接近于理想的正弦波形。空间电压矢量PWM与传统的正弦PWM不同，它是从三相输出电压的整体效果出发，着眼于如何使电机获得理想圆形磁链轨迹。 SVPWM技术与SPWM相比较，绕组电流波形的谐波成分小，使得电机转矩脉动降低，旋转磁场更逼近圆形，而且使直流母线电压的利用率有了很大提高，且更易于实现数字化。下面将对该算法进行详细分析阐述。 SVPWM基本原理 SVPWM 的理论基础是平均值等效原理，即在一个开关周期内通过对基本电压矢量加以组合，使其平均值与给定电压矢量相等。在某个时刻，电压矢量旋转到某个区域中，可由组成这个区域的两个相邻的非零矢量和零矢量在时间上的不同组合来得到。两个矢量的作用时间在一个采样周期内分多次施加，从而控制各个电压矢量的作用时间，使电压空间矢量接近按圆轨迹旋转，通过逆变器的不同开关状态所产生的实际磁通去逼近理想磁通圆，并由两者的比较结果来决定逆变器的开关状态，从而形成PWM 波形。逆变电路如图 2-8 示。 设直流母线侧电压为Udc，逆变器输出的三相相电压为UA、UB、UC，其分别加在空间上互差120°的三相平面静止坐标系上，可以定义三个电压空间矢量 UA(t)、UB(t)、UC(t)，它们的方向始终在各相的轴线上，而大小则随时间按正弦规律做变化，时间相位互差120°。假设Um为相电压有效值，f为电源频率，则有： （2-27） 其中，，则三相电压空间矢量相加的合成空间矢量 U(t)就可以表示为： （2-28） 可见 U(t)是一个旋转的空间矢量，它的幅值为相电压峰值的倍，Um为相电压峰值，且以角频率ω=2πf按逆时针方向匀速旋转的空间矢量，而空间矢量 U(t)在三相坐标轴（a，b，c）上的投影就是对称的三相正弦量。 图 2-8 逆变电路 由于逆变器三相桥臂共有6个开关管，为了研究各相上下桥臂不同开关组合时逆变器输出的空间电压矢量，特定义开关函数 Sx ( x = a、b、c) 为： （2-30） (Sa、Sb、Sc)的全部可能组合共有八个，包括6个非零矢量 Ul(001)、U2(010)、U3(011)、U4(100)、U5(101)、U6(110)、和两个零矢量U0(000)、U7(111)，下面以其中一种开关组合为例分析，假设Sx ( x= a、b、c)= (100)，此时 （2-30）求解上述方程可得：Uan=2Ud /3、UbN=-U d/3、UcN=-Ud /3。同理可计算出其它各种组合下的空间电压矢量，列表如下：

矢量计算

如图I-1，a×b是a和b垂直的矢量，其数值等于absinφ,即等于由a和b构成的平行四边形的面积。 但ccosθ等于图中所示的平行六面体的高，因此c?(a×b)等于由这三个矢量构成的平行六面体的体积。同理a?(b×c)和b?(c×a)都等于同一个体积。又因为a×b = ? b×a，所以c?(b×a) = ? c?(a×b)。总括起来，混合积有如下性质： （I.1） 上式表明，把三个矢量按循环次序轮换，其积不变；若只把两矢量对调，其积差一负号。 （2）三矢量的矢积 a×b是与a和b都垂直的一个矢量d，而c×d是与d垂直的一个矢量f，因此f必在a和b构成的平面上，即可表为a和b的线性组合。用矢积的分量表示可以直接算出结果。令 先算f的x分量f1： 同样可算出f2和f3，结果是

（I.2） 把c和(a×b)对调，矢积差一负号，由上式得 （I.3） 由公式和可得规则：把括号外的矢量与括号内较远的矢量点乘起来，所得的项为正号，另一项为符号。 2. 散度、旋度和梯度 （1）矢量场f (x,y,z)的散度 设闭合曲面S围着体积ΔV。当ΔV→0时，f对S的通量与ΔV之比的极限称f为的散度 （I.4） （2）矢量场f (x,y,z)的旋度 设闭合曲线L围着面积ΔS。当ΔS→0时，f对L的通量与ΔS之比的极限称f为的散度 （I.5） 上式可以写作，当ΔS→0时， （I.5a） （3）标量场φ(x,y,z)的梯度 设沿线元dl上，标量场φ(x,y,z)的数值改变dφ.dφ/dl称为φ(x,y,z)的梯度沿dl方向的分量 （I.6） 上式可以写作， （I.6a） （4）积分变换式 由上述定义可得积分变换式 （I.7）