三角函数周期题库
三角函数周期的求法
高中数学涉及到函数周期的问题，学生往往感到比较困难。以下
是有关三角函数周期的几种求法。
1．定义法：
定义：一般地ｙ＝c ，对于函数，如果存在一个不为零的常数，
使得当取定义域内的每一个值时，
ｆ（ｘ＋T ）＝ｆ（ｘ）
都成立，那么就把函数ｙ＝ｆ(ｘ)叫做周期函数；不为零的常数叫做这个函数的周期。对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小的正周期。下面我们谈到三角函数的周期时，一般指的是三角函数折最小正周期。
例1．求函数y=3sin （3
32π+x ）的周期 解：∵y=f （x ）=3sin （332π+x ）=3sin （3
32π+x +2π） =3sin （3232ππ++x ）=3sin[3)3(32ππ++x ]
= f （x+3π）
这就是说，当自变量由ｘ增加到x+3π，且必增加到x+3π时，函
数值重复出现。
∴函数y=3sin （332π
+x ）的周期是T=3π。 例2：求f （x ）=sin 6x+cos 6x 的周期
解∵f （x+2π）= sin 6（x+2π）+ cos 6（x+2π）
= cos 6x +sin 6x= f （x ）
∴f （x ）=sin 6x+cos 6x 的周期为T=2π
例3：求f （x ）=x
x x x 3cos cos 3sin sin ++的周期 解：∵f （x+π）=
)cos()cos()(3sin )sin(ππππ++++++x x x x
=
x
cox x x 3cos 3sin sin ---- =x x x x 3cos cos 3sin sin ++ = f （x ）
∴求f （x ）=x
x x x 3cos cos 3sin sin ++的周期：T=π 2．公式法：
（1）如果所求周期函数可化为y=Asin （?ω+x ）、y=Acos （?ω+x ）、
ｙ＝tg （?ω+x ）形成（其中A 、ω、
?为常数，且A ≠0、ω
＞0、?∈R ），则可知道它们的周期分别是：ωπ
2、ωπ
2、ω
π
。 例4：求函数y=1-sinx+3cosx 的周期
解：∵y=1-2（21 sinx-
23cosx ） =1-2（cos 3πsinx-sin 3π cosx ）
=1-2sin （x-3
π）
这里ω=1 ∴周期T=2π
例5：求：y=2（
23sinx-21cos3x ）-1 解：∵y=2（23sinx-21cos3x ）-1 =2sin （3x-6π）-1
这里ω=3 ∴周期为T=
32π 例6：求y=tg （1+
53x π）的周期 解：这里ω=53π，∴周期为：T=π/53π=35
（2）如果f （x ）是二次或高次的形式的周期函数，可以把它化
成sin ωx 、cos ωx 、tg ωx 的形式，再确定它的周期。
例7：求f （x ）=sinx ·cosx 的周期
解：∵f （x ）=sinx ·cosx=2
1sin2x
这里ω=3，∴f （x ）=sinx ·cosx 的周期为T=π
例8：求f （x ）=sin 2x 的周期
解：∵f （x ）=sin 2x=22cos 1x - 而cos2x 的周期为π，∴f （x ）=sin 2x 的周期为T=π
注：以上二题可以运用定义求出周期。
例9：求y=sin 6ωx+ cos 6ωx 的周期
解：原函数次数较高，应先进降次变形，再求周期。
∵y=sin 6ωx+ cos 6ωx
=（sin 2ωx+ cos 2ωx ）（sin 4ωx-sin 2ωx ·cos 2ωx+ cos 4ωx ）
=( sin 2ωx+ cos 2ωx)2-3 sin 2ωx ·cos 2ωx
=1-3 sin 2ωx ·cos 2ωx
=1-4
3
sin 22ωx =85+83cos4ωx 而cos4ωx 的周期为T=ωπ42=ω
π2, ∴y= sin 6ωx+ cos 6ωx 的周期为T=ω
π2 例10：函数y=3sin 2x-23sinx ·cosx+5cos 2x 的周期。
解：利用三角恒等式对函数进行恒等变形，再求周期。
∵y=3sin2x-23sinx ·cosx+5cos 2x =3-23sinx ·cosx+2cos 2x =3-3sin2x+cos2x+1
=4+2(2
1cos2x-23sin2x =4+2cos(2x+3π
)
∴y=3sin 2x-23sinx ·cosx+5cos 2x 的周期为T=
ππ=2
2 3．定理法： 如果f(x)是几个周期函数代数和形式的，即是：函数
f(x)=f 1(x)+f 2(x)，而f 1(x)的周期为T 1, f 2(x)的周期为T 2，则f(x)
的周期为T=P 2T 1=P 1T 2，其中P 1、P 2∈N ，且（P 1、P 2）=1 事实上，由2
121P P T T =（既约分数），得T= P 2T 1=P 1T 2 ∵f （x+ P 1T 2）=f 1（x+ P 1T 2）+f 2（x+ P 1T 2）
=f 1（x+ P 2T 1）+ f 2（x+ P 1T 2）
= f 1（x ）+ f 2（x ）
=f （x ）
∴P 1T 2是f （x ）的周期，同理P 2T 1也是函数f （x ）的周期。
例11：求函数y=tg6x+ctg8x 的周期。
解：∵y=tg6x 的周期为T 1=6π，tg8x 的周期为T 2=8
π
由P 1T 2= P 2T 1，得21T T =21P P =34，取P 1=4，P 2=3 ∴y=tg6x+ctg8x 的周期为T= P 1T 2=2
π。 例12：求函数y=sin2x+sin3x 的周期
解：∵sin2x 的周期为T 1=π，sin3x 的周期为T 2=
3
2π 而21T T =23，即是T=2T 1=3T 2， ∴y=sin2x+sin3x 的周期为T=2T 1=2π
例13：求函数y=cos 3x +sin 4
x 的周期 的恒等式，即对于自变量x 取定义域
内的每个值时，上式都成立．
2、根据公式求周期
对于函数B x A y ++=)sin(?ω或B x A y ++=)cos(?ω的周期公式是|
|2ωπ=T ， 对于函数B x A y ++=)tan(?ω或B x y ++=)cot(?ω的周期公式是|
|ωπ=T ． 例3 求函数)6
23sin(3π-=x y 的周期 解： 3
422ππ==T ．
3、把三角函数表达式化为一角一函数的形式，再利用公式求周期
例4 求函数x x x y 2sin 2cos sin 32-=的周期 解：12cos 2sin 3sin 2cos sin 322
-+=-=x x x x x y 1)62sin(21)2cos 212sin 23(2-+=-+=πx x x
? ππ==22T ．
例5 已知函数),3
cos 3(sin 3sin )(x x x x f +=求周期 解：≧32sin 21)32cos 1(213cos 3sin 3sin )(2x x x x x x f +-=+= )4
32sin(2221)32cos 32(sin 2121
π-+=-+=x x x ? ππ332
2==T ．
4、遇到绝对值时，可利用公式
2||a a =, 化去绝对值符号再求周期
例6 求函数 |cos |x y =的周期
解：≧ 22cos 1cos |cos |2x
x x y +===
? ππ==22T ．
例7 求函数|cos ||sin |x x y +=的周期 解：≧()x x x x x x y 2s i 1|2s i |1|c o s
||s i n ||c o s ||s i n |22+=+=+=+=
)4cos 1(21124cos 11x x -+=-+= ? 函数|cos ||s in |x x y +=的最小正周期 242ππ==T ．
5、若函数)()()(21x f x f x f y k +++= ，且)(,),(),(21x f x f x f k ，
都是周期函数，且最小正周期分别为k T T T ,,21，如果找到一个正常数T , 使k k T n T n T n T ==== 2211，
(k
n n n ,,,21 均为正整数且互质)，则T 就是
)()()(21x f x f x f y k
+++= 的最小正周期． 例8 求函数x x y 2
1cos sin +=的周期 解：≧ x sin 的最小正周期是π21
=T ， x 21cos 的最小正周期是π42=T ．
? 函数y 的周期2211T n T n T == ，把21T T ，代入得
21 4 2n n ππ=，即212n n =，
因为2
1,n n 为正整数且互质， 所以
1 ,22
1==n n ． 函数x x y 21cos sin +=的周期ππ4221
1=?==T n T ． 例9 求函数x x y 4
3cos 32sin +=的周期
函数的周期性
--函数的周期性不仅存在于三角函数中，在其它函数或者数列中"突然"出现的周期性问题更能考查你的功底和灵活性，本讲重点复习一般函数的周期性问题
一.明确复习目标
1.理解函数周期性的概念，会用定义判定函数的周期；
2.理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系，会运用函
数的周期性处理一些简单问题。
二、建构知识网络
1.函数的周期性定义：
若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的
2.若T是周期，则k〃T（k≠0,k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最
小正周期。
周期函数并非所都有最小正周期。如常函数f(x)=C；
3.若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)=f(x－a),则2a
为函数f(x)的周期。
（若f(x)满足f(a+x)=f(a－x)则f(x)的图象以x=a为图象的对
称轴，应注意二者的区别)
4.若函数f(x)图象有两条对称轴x=a和x=b，（a 是f（x）的一个周期 5.若函数f(x)图象有两个对称中心（a，0），（b，0）（a 则2（b-a）是f（x）的一个周期。(证一证) 6.若函数f（x）有一条对称轴x=a和一个对称中心（b，0） （a 举例:y=sinx,等. 三.双基题目练练手 1.f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(1)=0，则方 程f(x)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （） A．5 B．4 C．3 D．2 2.若函数y=f(x)是周期为2的奇函数，且当x∈(0,1)时 f(x)=x+1，则f(π)的值为 （） A．π-5 B.5-π C.4-π D. π-4 3. 是偶函数，且为奇函数，则f(1992)= 4.设存在常数p>0,使，则的一个周期是，f(px)的一个 正周期是； 5.数列中 简答精讲：1、B；2、A；3、993；因（-1，0）是中心，x=0 是对称轴，则周期是4；4、，；5、；由已知，周期为 6。 四.经典例题做一做 【例1】已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x∈(0,1)时，f(x)=x+1.求f(x)在(1,2)上的解析式。 解法1：（从解析式入手，由奇偶性结合周期性，将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上。） ≧x∈(1,2), 则-x∈(-2,-1), ?2-x∈(0,1), ≧T=2,是偶函数 ?f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x+1=3-x. x∈(1,2). 解法2（从图象入手也可解决，且较直观）f(x)=f(x+2) 如图：x∈(0,1), f(x)=x+1.≧是偶函数 ?x∈(-1,0)时f(x)=f(-x)=-x+1. 又周期为2，x∈(1,2)时x-2∈（-1，0） ?f(x)=f(x-2)=-(x-2)+1=3-x. 提炼方法：1.解题体现了化归转化的思想,即把未知的(1,2)上 向已知的(0,1)上转化; 2.用好数形结合,对解题很有帮助. 【例2】f(x)的定义域是R，且f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x),若 f(0)=2008,求f(2008)的值。 解： 周期为8， 法二：依次计算f(2、4、6、8)知周期为8，须再验证。 方法提炼： 1.求周期只需要弄出一个常数; 2.注意既得关系式的连续使用. 【例3】若函数在R上是奇函数，且在上是增函数，且. ①求的周期； ②证明f(x)的图象关于点(2k,0) 中心对称;关于直线x=2k+1 轴对称, (k∈Z ); ③讨论f(x)在(1,2)上的单调性； 解: ①由已知f(x)=－f(x+2)=f(x+2+2)=f(x+4),故周期T=4. ②设P(x,y)是图象上任意一点,则y=f(x),且P关于点(2k,0)对 称的点为P1(4k-x,-y).P关于直线x=2k+1对称的点为 P2(4k+2-x,y). ≧f(4k-x)=f(-x)=-f(x)=-y,?点P1在图象上,图象关于点(2k,0) 对称. 又f(x)是奇函数,f(x+2)=-f(x)=f(-x) ?f(4k+2-x)=f(2-x)=f(x)=y, ?点P2在图象上,图象关于直线 2k+1对称. ③设1 ≧f(x)在(-1,0)上递增, ?f(2-x1) 又f(x+2)=-f(x)=f(-x) ?f(2-x1)=f(x1), f(2-x2)=f(x2). (*)为f(x2) 提炼方法：总结解周期性、单调性及图象对称性的方法。【研究.欣赏】已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数.又知y=f(x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x=2时函数取得 最小值-5. ①证明：；②求的解析式； ③求在上的解析式. 解：≧是以为周期的周期函数，且在[-1,1]上是奇函数，?， ?. ②当时，由题意可设， 由得，?， ?. ③≧是奇函数，?， 又知在上是一次函数，?可设，而， ?，?当时，， 从而时，，故时，. ?当时，有，?. 当时，， ? ?. 五．提炼总结以为师 1.函数的周期性及有关概念; 2.用周期的定义求函数的周期; 3.函数的周期性与图象的对称性之间的关系; 同步练习2．7 函数的周期性 【选择题】 1.f（x）是定义在R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f （－）的值为 A.0 B. C.T D.－ 2.（2004天津）定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数.若f（x）的最小正周期是π，且当x∈［0，］时， f（x）=sinx，则f（）的值为 A.－ B. C.－ D. 【填空题】 3.设是定义在上，以2为周期的周期函数，且为偶函数， 在区间[2，3]上，= ,则= 4.已知函数f(x)是偶函数，且等式f(4+x)＝f(4-x)，对一切实 数x成立，写出f(x)的一个最小正周 5.对任意x∈R，f(x)=f(x-1)+f(x+1)且f(0)=6,f(4)=3,则f(69)= 6.设f(x)定义在R上的偶函数，且，又当x∈(0，3]时，f(x)=2x， 则f(2007)= 。 答案提示：1、A；由f（）=f（－+T）=f（－）=－f（），知f（）=0.（或取特殊函数f（x）=sinx） 2、D；f（）=f（－2π）=f（－）=f（）=sin = . 3、; 4、8； 5、f(x-1)=f(x)-f(x+1),? f(x)=f(x+1)-f(x+2)=f(x+2)-f(x+3)-f(x+2)= -f(x+3) ?f(x)= -f(x+3)=f(x+6) .周期是6；f(69)=f(3)=f(-3)= -f(-3+3)= -6 6、，周期T=6，F(2007)=f(3)=6 【解答题】 7.设函数f(x)的最小正周期为2002，并且f(1001+x)=f(1001 －x)对一切x∈R均成立，试讨论f(x)的奇偶性. 解: ≧周期是2002, ?f(2002+x)=f(x), 又由f(1001+x)=f(1001－x)得f(2002-x)=f(x) ?对任意的x都有f(x)=f(2002-x)=f(-x),f(x)是偶函数. 8.设f(x)为定义在实数集上周期为2的函数，且为偶函数， 已知x∈[2,3]时f(x)=x，求x∈[-2,0]时f(x)的解析式。 分析：由T=2可得x∈[-2,-1]和x∈[0,1]时的解析式；再由奇 偶性可得[-1，0]上的解析式。 解：因为函数f(x)是T=2的周期函数，所以f(x+2)=f(x). 又由于f(x)为偶函数，故 所以解析式为 9.设f(x)是定义在（-≦，+≦）上的函数，对一切x∈R均有f(x)+f(x+2)=0，当-1 函数f(x)的解析式。 思路分析：≧f(x)+f(x+2)=0 ?f(x)=-f(x+2) ≧该式对一切x∈R成立， ?以x-2代x得：f(x-2)=-f[(x-2)+2]=-f(x) 当1 ?f(x)=-f(x-2)=-2x+5，?f(x)=-2x+5（1 评注：在化归过程中，一方面要转化自变量到已知解析式的定义域，另一方面要保持对应的函数值有一定关系。在化归 过程中还体现了整体思想。 10.（2005广东）设函数在上满足，f(7-x)=f(7+x)，且在 闭区间［0，7］上，只有f(1)=f(3)=0。 （Ⅰ）试判断函数y=f(x)的奇偶性； （Ⅱ）试求方程f(x)=0在闭区间［-2005，2005］上的根的个 数，并证明你的结论． 解：由得即 由已知易得，所以，而，从而且 故函数是非奇非偶函数; (II)由 ,从而知函数的周期为 当时，，由已知，又，则 ?当时，只有 ?方程=0在一个周期内只有两个解 而函数在闭区间［-2005，2005］共含有401个周期，所以方程=0在闭区间［-2005，2005］共含有802个解【探索题】对于k∈Z，用Ik表示区间(2k-1，2k+1］。已知x ∈Ik时，f(x)＝(x-2k)2， (1)当k∈N*时,求集合Mk＝｛a｜使方程f(x)＝ax在Ik上有 两个不相等的实根的a的值｝ (2)并讨论f(x)的周期性。 解：y＝f(x)图像就是将y＝x2(x∈（-1，1］）向右平移2k个 单位所得，其中k∈N 设y1＝f(x),y2＝ax，由集合Mk可知，若a∈M，则函数y1＝f(x)与y2＝ax图像有两个交点，即当x＝2k+1时，0＜y2 ≤1 ?0＜a≤ ?Mk＝｛a｜0＜a≤，k∈N｝，即Mk＝(0，］ 对任意 ， 所以f(x)是2为周期的周期函数。 思路点拔：化简集合，弄清图像变换规律，数形结合求解； 周期性的的讨论注要是看你运用定义的意识和能力 函数f(x)〒ｇ(x)最小正周期的求法 若f(x)和ｇ(x)是三角函数，求f(x)〒ｇ(x)的最小正周期没有统一的方法，往往因题而异，现介绍几种方法： 一、定义法 例1求函数y＝｜sin x｜＋｜cos x｜的最小正周期. 解:≧)(x f＝｜sin x｜＋｜cos x｜ ＝｜－sin x｜＋｜cos x｜ π)｜＋｜sin(x＋ ＝｜cos(x＋ 2 π)｜ 2 π)｜＋｜cos(x＋ ＝｜sin(x＋ 2 2π )｜ ＝)2 (π+x f 对定义域内的每一个x ，当x 增加到x ＋2 π时，函数值重复出现，因此函数的最小正周期是2 π. 二、公式法 这类题目是通过三角函数的恒等变形， 转化为一个角的一种函数的形式，用公式去 求，其中正余弦函数求最小正周期的公式为 T ＝||2ωπ，正余切函数T ＝| |ωπ． 例2求函数y ＝cot x －tan x 的最小正周 期. 解：y ＝ x x x x tan tan 1tan tan 12-=-＝2〃x x x 2cot 2tan 2tan 12=- ?T ＝2 π 三、最小公倍数法 设f (x )与ｇ(x )是定义在公共集合上的 两个三角周期函数，T 1、T 2分别是它们的周 期，且T 1≠T 2，则f (x )〒ｇ(x )的最小正周 期T 1、T 2的最小公倍数，分数的最小公倍数＝分母的最大公约数分子的最小公倍数2 121 ,,T T T T 例3求函数y ＝sin3x ＋cos5x 的最小正 周期. 例4求y ＝sin3x ＋tan 52 x 的最小正周期. ?y ＝sin3x ＋tan 52 x 的最小正周期是10 π. 四、图象法 例5求y ＝｜ sin x ｜的最小正周期. 解：由y ＝｜sin x ｜的图象： 可知y ＝｜sin x ｜的周期T ＝π. 第7招：函数的周期性 一.周期函数的定义： 设函数y=f(x)的定义域为D ，若存在常 数T ≠0，使得对一切x ∈D ，且x+T ∈D 时都有f(x+T)=f(x)，则称y=f(x)为D 上的周期函数，非零常数T 叫这个函数的周期。 二.常见结论 (约定a>0) （1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ； （2）()()f x a f x +=－，或()(f x a f x +=－a 或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ，或1()() f x a f x +=-(()0)f x ≠,则)(x f 的周期T=2a ； 例1：设()f x 是定义在R 上的奇函数，(4)()f x f x +=－且(3)f =5，则(21f =－______________，(2005)f =______________ 答：5，－5 例2：设()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足 1(2)() f x f x +=，当0≤x ≤1，()f x =2x ，则(7.5) f =______________ 答：1 例3：设()f x 是定义在R 上的奇函数，且 (2)(2)f x f x -=+， (1)f = 2，则(2f f +=______________ 答：－2 (3))0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ； (4))()(1)()()(2 12 121x f x f x f x f x x f -+=+且1212 ()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =?≠<-<，或()()f x a f x +=-－a 则)(x f 的周期T=4a ； (5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ；