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相似三角形中的辅助线

在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或实行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：

一、作平行线

例1. 如图，的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE，DE延长

线与BC延长线相交于F，求证：

A C

证明：过点C作CG//FD交AB于G

F 小结：本题关键在于AD＝AE这个条件怎样使用。由这道题还能够增加一种证明线段相等的方法：相似、成比例。

例2. 如图，△ABC中，AB

分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。

不相似，因而要通过两组三角形相似，使用中间比代换得到，为构造相似三

角形，需添加平行线。

方法一：过E作EM//AB，交BC于点M，则△EMC∽△ABC（两角对应相等，两三角形相似）。

方法二：如图，过D作DN//EC交BC于N

二、作垂线

3. 如图从 ABCD 顶点C 向AB 和AD 的延长线引垂线CE 和CF ，垂足分别为E 、F ，求证：2

AC AF AD AE AB =?+?。

又 BCM ADN ??? ∴ AN=CM

∴ 2

)(AC CM AM AC AF AD AE AB =+=?+?

三、作延长线

例5. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，若∠BCD 的平分线CH ⊥AB 于点H ，BH=3AH ，且四边形AHCD 的面积为21，求△HBC 的面积。

分析：因为问题涉及四边形AHCD ，所以可构造相似三角形。把问题转化为相似三角形的面积比而加以解决。解：延长BA 、CD 交于点P ∵CH ⊥AB ，CD 平分∠BCD ∴CB=CP ，且BH=PH ∵BH=3AH ∴PA ：AB=1：2 ∴PA ：PB=1：3 ∵AD ∥BC ∴△PAD ∽△PBC

∴

例6. 如图，Rt ?ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，E 为CD 的中点，AE 的延长线交BC 于F ，FG ⊥AB 于G ，求证：FG 2

=CF ?BF

解析：欲证式即

BF FG = 由“三点定形”，ΔBFG 与ΔCFG 会相似吗？显然不可能。（因为ΔBFG 为Rt Δ），但由E 为CD 的中点，∴可设法构造一个与ΔBFG 相似的三角形来求解。

不妨延长GF 与AC 的延长线交于H

则

EC FH

ED FG AE AF =

= ∴EC

FH ED FG = 又ED=EC ∴FG=FH 又易证Rt ΔCFH ∽Rt ΔGFB ∴

FG CF =

∴FG ·FH=CF ·BF ∵FG=FH ∴FG 2=CF ·BF 四、作中线

例7 如图，ABC ?中，AB ⊥AC ，AE ⊥BC 于E ，D 在AC 边上，若BD=DC=EC=1，求AC 。

解：取BC 的中点M ，连AM ∵ AB ⊥AC ∴ AM=CM ∴ ∠1=∠C

又 BD=DC ∴ DCB DBC ∠=∠ ∴ DBC C ∠=∠=∠1 ∴ MAC ?∽DBC ? ∴ BC AC DC MC =

又 DC=1 MC=2

BC ∴ 22

BC DC BC MC AC =?=

（1）

又 AEC Rt ?∽BAC Rt ? 又 ∵ EC=1 ∴ BC BC CE AC =?=2

（2）由（1）（2）得，42

AC AC =

∴ 32=AC 小结：利用等腰三角形有公共底角，则这两个三角形相似，取BC 中点M ，构造MAC ?与DBC ?相似是解题关键

综合练习题

1、在△ABC 中，D 为AC 上的一点，E 为CB 延长线上的一点，BE=AD ，DE 交AB 于F 。求证：EF ×BC=AC ×DF

2、ABC ?中，?=∠90ACB ，AC=BC ，P 是AB 上一点，Q 是PC 上一点（不是中点），MN 过Q 且MN ⊥CP ，交AC 、BC 于M 、N ，求证：CN CM PB PA ::=。

3、. 理由？（用三种解法）

1、证明：

过D 作DG ∥BC 交AB 于G ，则△DFG 和△EFB 相似，∴DG DF

BE EF

∵BE ＝AD,∴DG DF AD EF = ①由DG ∥BC 可得△ADG 和△ACB 相似，∴DG AD BC AC = ∴DG BC

AD AC

②由①②得，DF BC

EF AC

=∴EF ×BC ＝AC ×DF 2、证明：

过P 作PE ⊥AC 于E ，PF ⊥CB 于F ，则CEPF 为矩形∴ PF =//EC ∵ ?=∠=∠45B A ∴ AEP Rt ?∽PFB Rt ?∴ PF PE PB AP ::= ∵ EC=PF ∴

PF PE PB PA ==（1）在ECP ?和CNM ?中：CP ⊥MN 于Q ∴ ?=∠+∠90QNC QCN 又 ∵

?=∠+∠90QCM QCN ∴ CNQ MCQ ∠=∠ ∴ PEC Rt ?∽MCN Rt ? ∴

CN EC CM EP = 即 CN

EC EP =

（2）由（1）（2）得CN CM PB PA = 3、

方法一：如图（1），设BC 中点为E ，连接AE 。

图（1）

方法二：如图（2），在DA 上截取DE=DC

图（2）

在△BED 与△BCD 中，

方法三：如图（3），过B 作BE ⊥BC 于B ，交CA 的延长线于E 。

AB AC C ABC C E ABC ABE E ABE AB AE AB AC AE AC =?∠=∠∠+∠=∠+∠=?

??∠=∠?==??

???=9090 图（3）

相似三角形添加辅助线的方法举例有答案新

相似三角形添加辅助线的方法举例例1：已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ．求证： BC 2 ＝2CD ·AC ．例2．已知梯形ABCD 中，BC AD //，AD BC 3=，E 是腰AB 上的一点，连结CE （1）如果AB CE ⊥ ，CD AB =，AE BE 3=，求B ∠的度数；（2）设BC E ?和四边形AECD 的面积分别为1S 和2S ，且2132S S =，试求 AE BE 的值例3．如图4-1，已知平行四边ABCD 中，E 是AB 的中点， AD AF 31= ，连E 、F 交AC 于G ．求AG ：AC 的值．例4、如图4—5，B 为AC 的中点，E 为BD 的中点，则AF ：AE=___________. 例5、如图4-7，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O 点，E 为AB 延长线上一点，OE 交BC 于F ，若AB=a ，BC=b ，BE=c ，求BF 的长．例6、已知在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线．求证：CD BD AC AB = ．相似三角形添加辅助线的方法举例答案例1：已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ．求证： BC 2 ＝2CD ·AC ．分析：欲证 BC 2＝2CD ·AC ，只需证 BC AC CD BC = 2．但因为结论中有“2”，无法直接找到它们所在的相似三角形，因此需要结合图形特点及结论形式，通过添加辅助线，对其中某一线段进行倍、分变形，构造出单一线段后，再证明三角形相似．由“2”所放的位置不同，证法也不同．证法一（构造2CD ）：如图，在AC 截取DE ＝DC ， ∵BD ⊥AC 于D ， ∴BD 是线段CE 的垂直平分线， ∴BC=BE ，∴∠C=∠BEC ，又∵ AB ＝AC ， ∴∠C=∠ABC ． ∴ △BCE ∽△ACB ． ∴ BC AC CE BC =， ∴BC AC CD BC =2 ∴BC 2 ＝2CD ·AC ．证法二（构造2AC ）：如图，在CA 的延长线上截取AE ＝AC ，连结BE ， ∵ AB ＝AC ， ∴ AB ＝AC=AE ． ∴∠EBC=90°，又∵BD ⊥AC ． ∴∠EBC=∠BDC=∠EDB=90°， B C B C E B C

〖数学专题〗北师大版九年级数学上专题(十一)含答案：相似三角形中的辅助线作法归类

思维特训(十一)相似三角形中的辅助线作法归类在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段，或得出等角、等边，从而为证明三角形相似或进行有关的计算找到等量关系．作辅助线的方法主要有以下几种： (1)作平行线构造“A”型或“X”型相似；(2)作平行线转换线段比；(3)作垂直证明相似．图11－S－1 类型一作平行线构造“A”型或“X”型相似 1．如图11－S－2，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB 延长线上一点，OE交BC于点F，若AB＝a，BC＝b，BE＝c，求BF的长．图11－S－2 2．如图11－S－3，在△ABC中，AD为BC边上的中线，CF为任一直线，CF交AD 于点E，交AB于点F. 求证：AE DE＝ 2AF BF.

图11－S －3 3．在一节数学课上，老师出示了这样一个问题让学生探究：如图11－S －4，在△ABC 中，D 是BA 延长线上一动点，点F 在BC 上，且CF BF ＝1 2 ，连接DF 交AC 于点E . (1)如图①，当E 恰为DF 的中点时，请求出AD AB 的值； (2)如图②，当DE EF ＝a (a ＞0)时，请求出AD AB 的值(用含a 的代数式表示)．思考片刻后，同学们纷纷表达自己的想法：甲：过点F 作FG ∥AB 交AC 于点G ，构造相似三角形解决问题；乙：过点F 作FG ∥AC 交AB 于点G ，构造相似三角形解决问题；丙：过点D 作DG ∥BC 交CA 的延长线于点G ，构造相似三角形解决问题．老师说：“这三位同学的想法都可以”．请参考上面某一种想法，完成第(1)问的求解过程，并直接写出第(2)问中AD AB 的值．图11－S －4

相似三角形添加辅助线的方法举例(有答案)

创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* 相似三角形添加辅助线的方法举例例1：已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ．求证： BC 2＝2CD ·AC ．例2．已知梯形ABCD 中，BC AD //，AD BC 3=，E 是腰AB 上的一点，连结CE （1）如果AB CE ⊥，CD AB =，AE BE 3=，求B ∠的度数；（2）设BCE ?和四边形AECD 的面积分别为1S 和2S ，且2132S S =，试求AE BE 的值例3．如图4-1，已知平行四边ABCD 中，E 是AB 的中点， AD AF 31= ，连E 、F 交 B C D

AC 于G ．求AG ：AC 的值．例4、如图4—5，B 为AC 的中点，E 为BD 的中点，则AF ：AE=___________. 例5、如图4-7，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O 点，E 为AB 延长线上一点，OE 交BC 于F ，若AB=a ，BC=b ，BE=c ，求BF 的长．例6、已知在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线．求证： CD BD AC AB ．

相似三角形添加辅助线的方法举例答案例1：已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ．求证： BC 2＝2CD ·AC ．分析：欲证 BC 2＝2CD ·AC ，只需证 BC AC CD BC 2．但因为结论中有“2”，无法直接找到它们所在的相似三角形，因此需要结合图形特点及结论形式，通过添加辅助线，对其中某一线段进行倍、分变形，构造出单一线段后，再证明三角形相似．由“2”所放的位置不同，证法也不同．证法一（构造2CD ）：如图，在AC 截取DE ＝DC ，创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* ∵BD ⊥AC 于D ， ∴BD 是线段CE 的垂直平分线， ∴BC=BE ，∴∠C=∠BEC ，又∵ AB ＝AC ， ∴∠C=∠ABC ． ∴ △BCE ∽△ACB ． D E B C D

相似三角形之常用辅助线

相似三角形之常用辅助线在与相似有关得几何证明、计算得过程中 ,常常需要通过相似三角形,研究两条线段之间得比例关系,或者转移线段或角。而有些时候,这样得相似三角形在问题中,并不就是十分明显、因此,我们需要通过添加辅助线,构造相似三角形,进而证明所需得结论。专题一、添加平行线构造“Ａ"“X”型定理:平行于三角形一边得直线与其它两边(或两边延长线)相交,所构成得三角形与原三角形相似。定理得基本图形: 例1、平行四边形AＢCD中,E为ＡＢ中点,AF:ＦD＝1:2,求ＡＧ:GＣ变式练习: 已知在△ABC中,AD就是∠BAＣ得平分线.求证:、(本题有多种解法,多想想) 例2、如图,直线交△AＢＣ得BC,ＡＢ两边于D,E,与ＣA延长线交于F,若==2,求BE:EＡ得比值、变式练习:如图,直线交△ABC得ＢC,ＡＢ两边于D,E,与CA延长线交于F,若错误!= 错误!=2,求BＥ:E Ａ得比值。例3、BE=AD,求证:EF·BC＝AC·DF 变式1、如图,△ABＣ中,AB

(完整版)相似三角形中几种常见的辅助线作法(有辅助线)

相似三角形中几种常见的辅助线作法在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：一、添加平行线构造“A ”“X ”型例1：如图，D 是△ABC 的BC 边上的点，BD ：DC=2：1，E 是AD 的中点，求：BE ：EF 的值. 解法一：过点D 作CA 的平行线交BF 于点P ，则 ∴PE=EF BP=2PF=4EF 所以BE=5EF ∴BE ：EF=5：1. 解法二：过点D 作BF 的平行线交AC 于点Q ， ∴BE ：EF=5：1. 解法三：过点E 作BC 的平行线交AC 于点S ，解法四：过点E 作AC 的平行线交BC 于点T ， ∵BD=2DC ∴ ∴BE ：EF=5：1. 变式：如图，D 是△ABC 的BC 边上的点，BD ：DC=2：1，E 是AD 的中点, 连结BE 并延长交AC 于F, 求AF ：CF 的值. 解法一：过点D 作CA 的平行线交BF 于点P ，解法二：过点D 作BF 的平行线交AC 于点Q ，解法三：过点E 作BC 的平行线交AC 于点S ，解法四：过点E 作AC 的平行线交BC 于点T ，， 1==AE DE FE PE ,2==DC BD PF BP ，则2==EA DA EF DQ ,3==DC BC DQ BF ， EF EF EF EF DQ EF BF BE 563=-=-=-=，则DC CT DT 2 1 ==；TC BT EF BE =， DC BT 2 5=

例2：如图，在△ABC的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE， DE延长线与BC延长线相交于F ，求证：（证明：过点C作CG//FD交AB于G）例3：如图，△ABC中，AB

相似三角形之常用辅助线

相似三角形之常用辅助线在与相似有关的几何证明、计算的过程中，常常需要通过相似三角形，研究两条线段之间的比例关系，或者转移线段或角。而有些时候，这样的相似三角形在问题中，并不是十分明显。因此，我们需要通过添加辅助线，构造相似三角形，进而证明所需的结论。专题一、添加平行线构造“A ”“X ”型定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．定理的基本图形：例1、平行四边形ABCD 中，E 为AB 中点，AF ：FD ＝1：2，求AG ：GC 变式练习：已知在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线．求证：．（本题有多种解法，多想想）例2、如图，直线交△ABC 的BC,AB 两边于D,E,与CA 延长线交于F,若 DC BD ＝FA FC =2,求BE:EA 的比值. 变式练习：如图，直线交△ABC 的BC,AB 两边于D,E,与CA 延长线交于F,若BD DC ＝ FE ED =2,求BE:EA 的比值. 例3、BE ＝AD ，求证：EF ·BC ＝AC ·DF 变式1、如图，△ABC 中，AB

相似三角形添加辅助线的方法举例(有答案)

相似三角形添加辅助线得方法举例例１:已知:如图,△ABC中,AＢ＝AC,BD⊥AC于D. 求证: BＣ2＝2CD·AC、例2.已知梯形中,,,就是腰上得一点,连结 (1)如果,,,求得度数; (２)设与四边形得面积分别为与,且,试求得值例3。如图４-1,已知平行四边ABCD中,E就是AB得中点,,连E、Ｆ交AC于G.求ＡＧ:ＡC得值. 例4、如图4—5,B为AC得中点,E为BD得中点,则AＦ:AE=_＿＿___＿____。例5、如图４—7,已知平行四边形ＡＢＣD中,对角线ＡC、ＢＤ交于O点,E为AB延长线上一点,OE交BＣ于F,若AＢ=a,ＢＣ=b,ＢE＝c,求BF得长. 例6、已知在△ＡBC中,ＡＤ就是∠BAC得平分线、求证:.

相似三角形添加辅助线得方法举例答案例１: 已知:如图,△A ＢC 中,A Ｂ=AC,BD ⊥AC 于D. 求证: B Ｃ2＝２ＣD ·AC. 分析:欲证ＢC 2＝２ＣD ·ＡC,只需证.但因为结论中有“２”,无法直接找到它们所在得相似三角形,因此需要结合图形特点及结论形式,通过添加辅助线,对其中某一线段进行倍、分变形,构造出单一线段后,再证明三角形相似.由“2”所放得位置不同,证法也不同、证法一(构造2C Ｄ):如图,在ＡＣ截取ＤE ＝D Ｃ, ∵BD ⊥AC 于D, ∴B Ｄ就是线段ＣE 得垂直平分线, ∴ＢC ＝ＢE,∴∠C ＝∠B ＥC, 又∵ ＡB ＝AC, ∴∠C ＝∠A ＢC. ∴ △BCE ∽△ACB. ∴, ∴ ∴BC ２＝2C Ｄ·A Ｃ. 证法二(构造2AC):如图,在ＣＡ得延长线上截取AE=AC,连结BE, ∵ AB=ＡC, ∴ AB=ＡC=AE. ∴∠E ＢＣ=９0°, 又∵BD ⊥ＡC 。 ∴∠EBC=∠BD Ｃ=∠EDB=90°, ∴∠E=∠DBC, ∴△EB Ｃ∽△BDC ∴即 ∴B Ｃ２ =2CD ·AC 。证法三(构造) :如图,取ＢC 得中点Ｅ,连结A Ｅ,则EC=、又∵AB=AC, ∴AE ⊥BC,∠AC Ｅ=∠C ∴∠AEC=∠BD Ｃ＝90° ∴△ACE ∽△BCD 、 ∴即. ∴ＢC ２＝2CD ·A Ｃ、证法四(构造):如图,取B Ｃ中点Ｅ,连结ＤE,则CE= . ∵BD ⊥AC,∴ＢE=ＥC=EB, ∴∠EDC ＝∠C 又∵A Ｂ=AC,∴∠ABC=∠C, ∴△ＡBC ∽△ED Ｃ、 ∴J 即。 ∴BC 2=2ＣＤ·AC. 说明:此题充分展示了添加辅助线,构造相似形得方法与技巧.在解题中方法要灵活,思路要开阔. 例2。已知梯形中,,,就是腰上得一点,连结 (1)如果,,,求得度数; (２)设与四边形得面积分别为与,且,试求得值 (1)设,则 E

相似三角形中的辅助线及动点问题(经典题型)

第2讲相似三角形中的辅助线及动点在解相似三角形问题时，常需要作辅助线来沟通已知条件和未知条件，在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：、作平行线例1.如图，.VABC 的AB 边和AC 边上各取一点 ” BF BD 求证： CF CE 例2.如图，△ ABC 中，AB

例4.如图从—ABCD 顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，垂足分别为E、F，求证: 2 AB AE AD AF =AC2。三、作延长线例5.如图，在梯形ABCD中，AD // BC,若/ BCD的平分线CH丄AB于点H , BH=3AH，且四边形AHCD的面积为21,求厶HBC的面积。例6?如图，https://www.wendangku.net/doc/718596086.html,BC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC 于F, FG _ AB于G, 求证：FG2=CF *BF

四、作中线例 7 如图，. ：ABC 中，AB 丄AC , AE 丄 BC 于 E , D 在 AC 边上，若 BD=DC=EC=1，求 AC 。 2、如图，正方形 ABCD 勺边长为2, AE = EB MN= 1,线段MN 的两端在CB CD 上滑动，当CM 为何值时，△ AED 与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似？动点题型 1、如图正方形ABCD 的边长为2, AE=EB ，线段MN 的两端点分别在 MN=1，当CM 为何值时厶AED 与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似？ CB 、CD 上滑动，且 u c D N C

相似三角形中的辅助线归纳总结

相似三角形中的辅助线在解相似三角形问题时，常需要作辅助线来沟通已知条件和未知条件，在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：一、作平行线例1. 如图，?ABC 的AB 边和AC 边上各取一点D 和E ，且使AD ＝AE ，DE 延长线与BC 延长线相交于F ，求证： BF CF BD CE = B D A C F E 证明：过点C 作CG//FD 交AB 于G F ∴ = AD AG AE AC 又 AD AE =，∴=AG AC ∴=DG CE GC DF //，∴= BD DG BF CF ∴= BD CE BF CF 小结：本题关键在于AD ＝AE 这个条件怎样使用。由这道题还可以增加一种证明线段相等的方法：相似、成比例。例2. 如图，△ABC 中，AB

分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。欲证，需证，而这四条线段所在的两个三角形显然AB DF AC EF AB AC EF DF ?=?=不相似，因而要通过两组三角形相似，运用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加平行线。方法一：过E 作EM//AB ，交BC 于点M ，则△EMC ∽△ABC （两角对应相等，两三角形相似）。 ∴ =?=?EM AB EC AC EM AC AB EC 即， ∴= AB AC EM EC 同理可得??EMF DBF ~ ∴ =EF DF EM BD ，又， BD EC EM EC EM BD =∴= （为中间比），EM BD ∴=AB AC EF DF ， ∴?=?AB DF AC EF 方法二：如图，过D 作DN//EC 交BC 于N

中考相似三角形之常用辅助线

中考相似三角形之常用辅助线 Revised on November 25, 2020

相似三角形添加辅助线的方法举例(有规范标准答案).docx

.\ 相似三角形添加辅助线的方法举例例1：已知：如图，△ ABC 中， AB＝ AC， BD⊥ AC 于 D．求证： BC2＝ 2CD· AC． A D B C 例 2．已知梯形ABCD 中， AD // BC ， BC 3AD ， E 是腰 AB 上的一点，连结CE （ 1）如果CE AB ， AB CD ， BE 3AE ，求 B 的度数；（ 2）设BCE 和四边形 AECD 的面积分别为S1和 S2，且 2S13S2，试求BE 的值AE 例 3．如图 4-1，已知平行四边 AF 1 AD ABCD中， E 是 AB 的中点，3，连E、F交AC于G．求AG：AC 的值．

.\例4、如图 4—5， B 为 AC 的中点， E 为 BD 的中点，则 AF：AE=___________. 例 5、如图 4-7，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC、 BD 交于 O 点， E 为 AB 延长线上一点，OE 交 BC 于F，若 AB=a， BC=b， BE=c，求 BF 的长． AB BD 例 6、已知在△ ABC 中， AD 是∠ BAC的平分线．求证：AC CD ．

相似三角形添加辅助线的方法举例答案例 1：已知：如图，△ ABC 中， AB ＝ AC ， BD ⊥ AC 于 D ．求证： BC 2＝ 2CD · AC ．分析：欲证 BC 2 ＝ 2CD ·AC ，只需证 BC AC ．但因为结论中有“ 2”，无法 2CD BC 直接找到它们所在的相似三角形，因此需要结合图形特点及结论形式，通过添加辅助线，对其中某一线段进行倍、分变形，构造出单一线段后，再证明三角形相似．由 “ 2”所放的位置不同，证法也不同．证法一（构造 2CD ）：如图，在 AC 截取 DE ＝ DC ， ∵ BD ⊥ AC 于 D ， ∴ BD 是线段 CE 的垂直平分线， ∴ BC=BE ，∴∠ C=∠ BEC ，又∵ AB ＝ AC ， ∴∠ C=∠ ABC ． ∴ △BCE ∽△ ACB ． ∴ BC AC ， ∴ BC AC B CE BC 2CD BC ∴ BC 2＝ 2CD · AC ．证法二（构造 2AC ）：如图，在 CA 的延长线上截取 AE ＝ AC ，连结 BE ， ∵ AB ＝ AC ， ∴ AB ＝ AC=AE ． ∴∠ EBC=90°，又∵ BD ⊥ AC ． ∴∠ EBC=∠ BDC=∠ EDB=90°， ∴∠ E=∠ DBC ， ∴△ EBC ∽△ BDC ∴ BC CE 即 BC 2 AC CD BC CD BC ∴ BC 2＝ 2CD · AC ． 1 BC ）：如图，取 1 BC ．证法三（构造 BC 的中点 E ，连结 AE ，则 EC= 2 2 又∵ AB=AC ， ∴ AE ⊥BC ，∠ ACE=∠ C ∴∠ AEC=∠ BDC=90° ∴△ ACE ∽△ BCD ． .\ A D B C A E D C E A D B C A ∴ CE 1 BC AC ． D AC 即 2 B E C CD BC CD BC ∴ BC 2＝2CD · AC ． A 证法四（构造 1 1 BC ． BC ）：如图，取 BC 中点 E ，连结 DE ，则 CE= 2 2 ∵ BD ⊥ AC ，∴ BE=EC=EB ， ∴∠ EDC=∠ C 又∵ AB=AC ，∴∠ ABC=∠ C ， ∴△ ABC ∽△ EDC ． D B E C

相似三角形中添加辅助线问题

相似三角形中添加辅助线问题培优（张老师）（一）遇燕尾，作平行，构造字一般行。 1、BE ＝AD ，求证：EF ·BC ＝AC ·DF （二）遇梯形，延长腰，构成A 字瞧一瞧。 1题图 2、梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CH 平分∠BCD ，BH ＝3AH ，四边形AHCD 的面积为21，求△HBC 的面积。 2题图（三）遇平分，作等腰，三线合一要记牢。 3、AC ⊥BC ，AE ⊥DE ，2∠ADE ＝∠B ，AC ：BC ＝3：1，求AE ：DG 3题图（四）直角多，垂线作，再难题目你能做。 4、平行四边形ABCD 中，CE ⊥AE ，CF ⊥AF ，求证：AB ·AE ＋AD ·AF ＝AC 2 4题图四、巩固练习：（做题目，看情况，灵活运用最恰当。） 1、BD ：DC ＝2：1，E 为AD 中点，求①BE ：EF ②AF ：FC 1题图 2题图 2、平行四边形ABCD 中，E 为AB 中点，AF ：FD ＝1：2，求AG ：GC H D C B A G E D C B A A B C D E F F E D C B A G F E D C B A E D C B A

3、D 为BC 中点，求证：AF ：BF ＝AE ：EC 3题图 4、AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，FG ⊥AB ，E 为CD 中点，求证：FG 2 ＝CF ·BF 4题图 5题图 5、AB ＝AC ，AD 为中线，CF ∥AB ，求证：BP 2 ＝PE ·PF 6、AD 平分∠BAC ，EF 垂直平分AD ，求证：ED 2 ＝EB ·EC 6题图 7、矩形ABCD 中，E 为AD 中点，EF ⊥EC ，求证：△AEF ∽△ECF 7题图 8题图 8、AB ＝AC ，AB ⊥BC ，AD 为中线，BE ⊥AD ，求证：①AE ＝2EC ②∠AEB ＝∠CED 9、∠BAC ＝90°，AE ⊥BC ，BD ＝DC ＝EC ＝1，求AC 的长 9题图 A B C D E F P A B C D E F A B C D E F A B C D E F P A B C D E P A B C D E A B C D E F G

相似三角形---构造相似辅助线(1)双垂直模型.

构造相似辅助线（1）——双垂直模型 6.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，1)，正比例函数y=kx 的图象与线段OA的夹角是45°，求这个正比例函数的表达式． 7.在△ABC中，AB=，AC=4，BC=2，以AB为边在C点的异侧作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．

8.在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点．求证：MC：NC=AP：PB． 9.如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y 轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折B点落在D 点的位置，且AD交y轴于点E．那么D点的坐标为（） A. B. C. D.

10..已知，如图，直线y=﹣2x＋2与坐标轴交于A、B两点．以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD，使得矩形的两边之比为1﹕2。求C、D两点的坐标。

6.答案：解：分两种情况第一种情况，图象经过第一、三象限过点A作AB⊥OA，交待求直线于点B，过点A作平行于y轴的直线交x轴于点C，过点B作BD⊥AC则由上可知：＝90°由双垂直模型知：△OCA∽△ADB ∴ ∵A（2，1），＝45°∴OC＝2，AC＝1，AO＝AB ∴AD＝OC＝2，BD＝AC＝1 ∴D点坐标为（2，3）∴B点坐标为（1，3） ∴此时正比例函数表达式为：y＝3x 第二种情况，图象经过第二、四象限过点A作AB⊥OA，交待求直线于点B，过点A作平行于x轴的直线交y轴于点C，过点B作BD⊥AC 则由上可知：＝90°由双垂直模型知：△OCA∽△ADB ∴

(完整版)相似三角形中的辅助线专题训练

相似三角形中的辅助线专题训练一、基本图形：二、基本方法：证相似，实不难，A字字仔细看；如没有，辅助线，各种情况常相见。三、实例演习：（一）遇燕尾，作平行，构造字一般行。 1、BE＝AD，求证：EF·BC＝AC·DF （二）遇梯形，延长腰，构成A字瞧一瞧。 2、梯形ABCD中，AD∥BC，CH平分∠BCD，BH＝3AH，四边形AHCD的面积为21，求△HBC的面积。（三）遇平分，作等腰，三线合一要记牢。 3、AC⊥BC，AE⊥DE，2∠ADE＝∠B，AC：BC＝3：1，求AE：DG （四）直角多，垂线作，再难题目你能做。 4、平行四边形ABCD中，CE⊥AE，CF⊥AF，求证：AB·AE＋AD·AF＝AC2 H D C B A E D C B A G E D C B A A B C D E F

四、巩固练习：（做题目，看情况，灵活运用最恰当。） 1、BD ：DC ＝2：1，E 为AD 中点，求①BE ：EF ②AF ：FC 2、平行四边形ABCD 中，E 为AB 中点，AF ：FD ＝1：2，求AG ：GC 3、D 为BC 中点，求证：AF ：BF ＝AE ：EC 4、AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，FG ⊥AB ，E 为CD 中点，求证：FG 2＝CF ·BF 5、AB ＝AC ，AD 为中线，CF ∥AB ，求证：BP 2＝PE ·PF 6、AD 平分∠BAC ，EF 垂直平分AD ，求证：ED 2＝EB ·EC 7、矩形ABCD 中，E 为AD 中点，EF ⊥EC ，求证：△AEF ∽△ECF 8、AB ＝AC ，AB ⊥BC ，AD 为中线，BE ⊥AD ，求证：①AE ＝2EC ②∠AEB ＝∠CED 9、∠BAC ＝90°，AE ⊥BC ，BD ＝DC ＝EC ＝1，求AC 的长 10、AB ＝AC ，BD 为高，求证：BC 2＝2AC ·CD F E D C B A G F E D C B A A B C D E F A B C D E F G P A B C E F A B C D E F A B C D E F P A B C D E P A B C D A B C D P A B C D E

中考数学压轴题常见辅助线整理

一、添辅助线有二种情况： 1、按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。 2、按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。举例如下：（1）平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线（2）等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。

（4）直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。（5）三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。（6）全等三角形：全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线（7）相似三角形：相似三角形有平行线型（带平行线的相似三角形），相交线型，旋转型；当出现相比线段重叠在一直线上时（中点可看成比为1）可添加平行线得平行线型相似

相似三角形中的辅助线

相似三角形中的辅助线在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或实行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：一、作平行线例1. 如图，的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE，DE延长线与BC延长线相交于F，求证： B D A C E F 证明：过点C作CG//FD交AB于G F 小结：本题关键在于AD＝AE这个条件怎样使用。由这道题还能够增加一种证明线段相等的方法：相似、成比例。例2. 如图，△ABC中，AB

分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。不相似，因而要通过两组三角形相似，使用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加平行线。方法一：过E作EM//AB，交BC于点M，则△EMC∽△ABC（两角对应相等，两三角形相似）。方法二：如图，过D作DN//EC交BC于N

二、作垂线 3. 如图从 ABCD 顶点C 向AB 和AD 的延长线引垂线CE 和CF ，垂足分别为E 、F ，求证：2 AC AF AD AE AB =?+?。

又 BCM ADN ??? ∴ AN=CM ∴ 2 )(AC CM AM AC AF AD AE AB =+=?+? 三、作延长线例5. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，若∠BCD 的平分线CH ⊥AB 于点H ，BH=3AH ，且四边形AHCD 的面积为21，求△HBC 的面积。分析：因为问题涉及四边形AHCD ，所以可构造相似三角形。把问题转化为相似三角形的面积比而加以解决。解：延长BA 、CD 交于点P ∵CH ⊥AB ，CD 平分∠BCD ∴CB=CP ，且BH=PH ∵BH=3AH ∴PA ：AB=1：2 ∴PA ：PB=1：3 ∵AD ∥BC ∴△PAD ∽△PBC

相似三角形考点分析(三) 相似中常用的辅助线作法

相似三角形考点分析（三）相似中常用的辅助线作法一、添加平行线构造“A ”“X ”型定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．定理的基本图形：例1、平行四边形ABCD 中，E 为AB 中点，AF ：FD ＝1：2，求AG ：GC 变式练习：已知在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线．求证：．（本题有多种解法，多想想） G F E D C B A G F E D C B A CD BD AC AB

例2、如图，直线交△ABC 的BC,AB 两边于D,E,与CA 延长线交于F,若 DC BD ＝FA FC =2,求BE:EA 的比值. 变式练习：如图，直线交△ABC 的BC,AB 两边于D,E,与CA 延长线交于F,若BD DC ＝ FE ED =2,求BE:EA 的比值. 例3、BE ＝AD ，求证：EF ·BC ＝AC ·DF 变式、如图，△ABC 中，AB

变式：如图，21==DE AE CD BD ，求BF AF 。（试用多种方法解）说明：此题充分展示了添加辅助线，构造相似形的方法和技巧．在解题中方法要灵活，思路要开阔．总结：（1）遇燕尾，作平行，构造字一般行。（2）引平行线应注意以下几点： 1）选点：一般选已知（或求证）中线段的比的前项或后项，在同一直线的线段的端点作为引平行线的点。 2）引平行线时尽量使较多已知线段、求证线段成比例。二、作垂线构造相似直角三角形一、基本图形例1、如图，中，，，那么吗？试说明?ABC AB AC BD AC BC CA CD =⊥=?2 2理由？（用多种解法） v A A A A

相似三角形中的辅助线及动点问题(经典题型)

第2讲相似三角形中的辅助线及动点在解相似三角形问题时，常需要作辅助线来沟通已知条件和未知条件，在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：一、作平行线例1. 如图，?A B C 的AB 边和AC 边上各取一点D 和E ，且使AD ＝AE ，DE 延长线与BC 延长线相交于F ，求证：BF CF BD CE = 例2. 如图，△ABC 中，AB

相似三角形中的辅助线及动点问题(经典题型)

例 4. 如图从ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，垂足分别为E、F，求证： 2 AB= + ?。 ? AC AE AF AD 三、作延长线例5. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，若∠BCD的平分线CH⊥AB于点H，BH=3AH，且四边形AHCD的面积为21，求△HBC的面积。例6. 如图，Rt?ABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FG⊥AB于G，求证：FG2=CF?BF

四、作中线中，AB⊥AC，AE⊥BC于E，D在AC边上，若BD=DC=EC=1，求AC。例7 如图，ABC 动点题型 1、如图正方形ABCD的边长为2，AE=EB，线段MN的两端点分别在CB、CD上滑动，且MN=1，当CM为何值时△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似？ 2、如图，正方形ABCD的边长为2，AE＝EB，MN＝1，线段MN的两端在CB、CD上滑动，当CM为何值时，△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似？