22.3三角形的中位线(听课)改

相似三角形知识点梳理

相似三角形知识点大总结 知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2 比例线段的相关概念 （1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是 n m b a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。 （2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称 比例线段． 注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：a d c b =． ②()a c a b c d b d ==在比例式 ：：中， a 、d 叫比例外项， b 、 c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、 d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2 b ad =。 （3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =?，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点， （4）其中AB AC 215-=≈0.618AB ．即AC BC AB AC == 简记为：1 2 长短＝＝全长 注：黄金三角形：顶角是360 的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0） （1） 基本性质： ①bc ad d c b a =?=::；②2 ::a b b c b a c =?=?． 注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除 了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=． （2） 更比性质(交换比例的内项或外项)： ()() ()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=?? ?=??， 交换内项，交换外项． 同时交换内外项 （3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d b d a c =?=． （4）合、分比性质：a c a b c d b d b d ±±=?=． 注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间

三角形中位线定理 知识讲解

三角形中位线定理 【学习目标】 1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理． 2. 掌握中点四边形的形成规律. 【要点梳理】 要点一、三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个 小三角形的周长为原三角形周长的1 2 ，每个小三角形的面积为原三角形 面积的1 4 . （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 要点二、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 【典型例题】 类型一、三角形的中位线 1、（优质试题?北京）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN． （1）求证：BM=MN； （2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长． 【思路点拨】（1）根据三角形中位线定理得MN=AD，根据直角三角形斜边中线定理得BM=AC，由此即可证明．

三角形中位线说课稿

《三角形中位线》 《三角形的中位线》，本课题选自北师大版八年级数学下第六章第三节。下面我从四个方面来说我这节课的教学。 一、教材分析 1、地位和作用： 本节教材是八年级数学下册三角形的中位线定理内容。三角形中位线是三角形中重要的线段，三角形中位线定理是一个重要性质定理，它是前面已学过的平行线、全等三角形、平行四边形等知识内容的应用和深化，对进一步学习非常有用，尤其是在判定两直线平行和论证线段倍分关系时常常用到。在三角形中位线定理的证明及应用中，处处渗透了化归思想，它是一种重要的思想方法，无论在今后的学习还是在科学研究中都有着重要的作用，它对拓展学生的思维有着积极的意义。 2、教材处理： 课本中三角形中位线定理是单刀直入地以探索式推理这种方法提出的，定理以这种方式出现，学生接受起来会感觉突然、生硬。在实际教学中，我采取先让学生经过实验、观察、猜想、归纳、得出结论，然后经推理论证，最后总结形成定理的方式，这样提出的知识具有亲和力，更容易为学生接受和认可。在定理证明中，讲解了多种证法，强化思维过程的教学，开发学生的智力。在教学中增加了变式训练，以培养学生的发散思维。 3、学情分析： （1）学生已学习了中心对称图形及其性质，这是探索、学习三角形中位线及其性质的基础知识； （2）初中阶段的学生已具备一定的操作、归纳、推理和论证能力。

4、重点和难点： 【设计意图】；三角形中位线定理是解决有关线与线的平行及线段倍分问题的重要理论依据之一，在教材中占有重要地位，依据教学大纲的要求、教材内容以及学生的认知基础，我确定了本节课的重点。 重点是：三角形中位线定理及其应用； 【设计意图】：从学生知识掌握的现状分析来看，如何适当添加辅助线、如何利用化归思想来解决问题，是学生学习的困难所在，因此本节教学难点。 难点是：三角形中位线定理的证明及应用。 二、教学目标的确定 数学教学的根本任务在于发展学生的数学思维，教学时，应注意知识的形成、解题思路的探索过程、解题方法和规律的概括过程，使学生在这些过程中展开思维，从而发展他们的能力、优化个性品质。根据教学大纲要求结合教材内容和学生现状，本节课确定以下目标： 1、知识目标：①理解三角形中位线的概念②掌握三角形中位线定理③初步学会用三角形中位线定理解决一些简单问题. 2、能力目标：①培养学生实验观察、分析探究、归纳总结、推理论证的能力②培养学生运用化归方法解决问题的能力③培养学生发散思维及创新学习能力 3、情感目标：①培养学生科学分析的态度和积极的探索精神②激发学生学习的积极性，提高学生学习数学的兴趣 三、教法和学法 【设计意图】：教学过程也是学生的认识过程，没有学生参与的教学活动几乎是无效或低效的教学活动。初中学生由于年龄，实践经验等方面的限制，思维正处在具体向抽象过渡的时期，在行为上具有好

典中点图形的相似专训3 三角形中位线的应用

典中点图形的相似专训3 三角形中位线的应用 ?名师点金? 三角形中位线定理有着广泛的应用,可以用来证明或求解许多问题,但我们往往不能直接利用这个定理,要仔细观察图形中与定理有关的基本图形,特别是涉及与中点有关的条件时,要通过巧妙添辅助线构造三角形中位线。 应用1：利用三角形中位线进行证明 类型1：证相等关系 1.如图,在四边形ABCD 中,对角线AC=BD,E,F 分别为AB,CD 的中点,点O 为AC,BD 的交点,G,H 为EF 与BD,AC 的交点.求证:OG=OH 。 类型2：证倍分关系 2.如图,在平行四边形ABCD 中,BD 为对角线,点E,F 分别是AB,BC 的中点,连结EF,交BD 于M 点。 求证:(1)BM=41BD;(2)ME=MF 类型3：证不等关系 3.如图,M,N 是四边形ABCD 的边BC,AD 的中点,且AB 与CD 不平行.求证:MN< 2 1(AB+CD)。

类型4：证位置关系 4.如图,自△ABC的顶点A向∠ABC和∠ACB的平分线作垂线,垂足分别为D,E,连结DE。求证:DE∥BC。 应用2：利用三角形中位线探究多边形形状 5.顺次连结对角线相等的四边形各边中点,所得四边形是( ) A.矩形 B.平行四边形 C.菱形 D.任意四边形 6.顺次连结正方形各边中点所得的四边形一定是（） A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 7.D,E分别是不等边三角形ABC(即AB≠BC≠AC)的边AB,AC的中点.O是△ABC所在平面上的动点,连 结OB,OC,点G,F分别是OB,OC的中点,顺次连结点D,G,F,E.如图,当点O在△ABC的内部时,试判断四边形DGFE的形状,并说明理由。 应用3：利用三角形中位线求值 8.如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD+BC=8,且AD:BC=3:7,E,F分别是BD,AC的中点,求EF的长。

初中几何中三角形中位线定理的应用

初中几何中三角形中位线定理的应用 三角形中位线定理在初中教材体系中是一个很重要的定理，学好本节内容将有助于梯形中位线定理乃至整个平面几何知识的学习。它具有两个方面的特性：（1）平行于第三边，这是位置关系； （2）等于第三边的一半，这是数量关系。就第一个特性而言，中位线定理与平行线等分线段定理中的推论2（经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边）存在着互逆关系。我们利用这两个特性，能证明（求解）许多几何问题，以下举例说明它的具体应用。 一、证明问题 1、证明角相等关系 例1、已知：如图在四边形ABCD 中 对角线AC=BD ，E 、F 分别为AB 、CD 中点，点O 为AC ，BD 的交点，M 、N 为EF 与BD ，AC 的交点。求证：OM=ON 分析：证明OM=ON 可转化成证明 ∠OMN=∠ONM ，由于E 、F 为AB 、CD 的中点这时只要取AD 中点H 作出△ABD 与 △ACD 的中位线，即可得到EH=21BD ,HF=21AC,因为AC=BD,从而 得到EH=HF 所以∠HEF=∠HFE,因为 EH//BD, FH//AC 所以∠HEF=∠OMN, ∠HFE=∠ANM 从而得到∠DMF=∠ANM 这样要求证问题就解决了。 证明：取AD 中点H 并分别连结EH 、HF ，即EF 与FH 分别为△ABD 与△DAC 的中位线。 ∴EH=21BD ，EH//BD ，HF=21AC ，FH//AC (三角形中位线定理) 而 AC=BD ，∴EH=HF ，∴∠HEF=∠HFE 又∵EH//BD ，HF//AC ，∴∠HEF=∠ DMF ，∠HFE=∠ANM ∴∠DMF=∠ANM ，∴OM=ON 例2、如图、四边ABCD 中，AB=CD ， M 、N 分别为AD 、BC 的中点，EF ⊥MN

九年级相似三角形知识点总结

图形的相似 知识点总结 知识点一 1.相似图形：把具有相同形状的图形称为相似图形。 2.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边成比例。 知识点二：比例线段 1.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即d c b a =（或a ：b=c ： d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 （注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位） 2.比例性质的基本性质: bc ad d c b a =?= （两外项的积等于两内项积） 3.更比性质(交换比例的内项或外项)： ()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=???=?=???=??， 交换内项，交换外项．同时交换内外项 4.合比性质：d d c b b a d c b a ±=±?=（分子加（减）分母,分母不变） 5.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.） 如果)0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ΛΛ，那么b a n f d b m e c a =++++++++ΛΛ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零． 知识点三：黄金分割 1. 定义：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果AC BC AB AC =，即AC 2=AB×BC，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比。其

三角形的中位线

三角形的中位线（一） 一、教学目的和要求 使学生了解三角形中位线的定义，掌握三角形中位线性质定理的证明和应用。 通过定理的证明进一步培养学生的逻辑推理能力。 二、教学重点和难点 重点：掌握三角形中位线定义，及性质定理的证明。 难点：证题中正确添加辅助线。 三、教学过程 （一）复习、引入 提问： 1、平行线等分线段定理的内容 2、叙述定理的两个推论（画图示意） 练习：见图1 AD 是ABC ?中BC 边上的中线，E 为AD 的中点，连结BE 并延长交AC 于F ，若AF=2，求AC 的长。 A B D C 图1 过D 点作BF 的平行线交AC 于M ，因为BD=DC ，AE=ED ，利用平行线等分线段定理推论2，可得AF=FM=MC ，所以AC=6。 如果我们将平行线等分线段定理推论2的条件、结论交换一下，是否成立？ 已知：D 、E 是ABC ?中AB 、AC 边的中点，则DE//BC 。这就是我们今天将要研究的课题。 （二）新课 定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 DE 叫做ABC ?的中位线。 注意： 1. 中位线是线段，它的端点是三角形两边的中点。 2. 中位线与中线都是三角形的重要线段，它们端点位置不同，是两个不同的概念。 每个三角形有三条中位线。 下面我们研究三角形的中位线与第三边的数量及位置关系。 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 已知：如图2，ABC ?中，AD=DB ，AE=EC 求证：BC DE BC DE 2 1,//=

图2 分析：证明一条线段是第二条线段的一半，可将第一条线段倍长，证明等于第二条线段；也可将第二条线段取中点，证明其一半等于第一条线段。这里我们用第一种方法。 证明：延长DE到F使EF=DE，连结CF 在中 四边形DBCF是平行四边形。 DE//BC 小结：到目前为止，在我们学过的定理中，结论存在一条线段等于另一条线段一半的有哪些？ 1. 直角三角形中，角所对直角边等于斜边的一半。 2. 直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半。 3. 三角形中位线定理。 例1已知：如图3，中，，D、E、F分别是BC、AB、CA边的中点，求证：AD=EF C D F A E B 图3 分析：要证AD=EF，我们先要结合图形认识线段AD、EF在图形的位置就会很容易找到解决问题的方法。 AD是斜边BC的中线，所以，EF是的中位线，所以。

三角形的中位线说课稿

三角形的中位线说课稿 高明初中张君玲 尊敬的各位评委、各位老师： 你们好：今天我说课的课题是《三角形的中位线》，本课题选自人教版八年级数学下册第十八章第三节的第一课时。 下面我从设计理念、教材分析与处理、教学方法手段、教学程序等方面对本课的设计进行说明 一、设计理念： 义务教育阶段的数学应体现基础性、普及性和发展性，所以我的设计理念是引导学生进行探究式的学习活动，通过动手操作，发现规律，把自主探索作为数学学习数学的重要方式，让学生个性得到发展，让学生认识到数学的应用性，乐于投入数学学习中。 二、《教材分析与处理》（板书） （板书）1、教材的地位及作用：本课是以平行四边形的有关知识定理和平行线等分线段定理为基础引出中位线的概念，进而探索研究它的性质，最后利用性质定理进行有关的论证和计算步步衔接，层层深入，形成知识的链条。学好本课不仅为下节梯形中位线打下良好的基础，做好了铺垫而且为今后证明线段平行和线段倍分关系提供了重要的方法和依据。可见，三角形中位线在整个知识体系中占有相当重要的作用，起到承上启下的作用。 另外。本课是通过探究推理得到定理的，所以通过本课教学，对探究数学问题能力的培养及创新思维训练也有着十分重要的作用。 2、教学目标（板书） 知识目标：理解三角形中位线的概念，掌握三角形中位线定理，会运用定理进行论证和计算。 能力目标：通过定理证明，培养学生思维的广阔性，渗透对比转化的思想。 情感目标：通过教学，培养主动探险究精神与合作意识。 3、重点、难点（板书） 通过分析可见，三角形中位线定理是三角形的重要性质定理，在教学中起着承上启下的作用。是今后解决问题的重要依据，有着广泛的应用。因此，确定本课的重点为“三角形中位线定理及应用”。 由于本节证明定理的关键是恰当地引辅助线，构造平行四边形，况且学生对辅助线的引法、规律还不得要领，不易发现理解，因此，我确定本课的教学难点为“三角形中位线定理的证明”。 4、教材处理（板书） ①课后第2小题改编后作为引例，以调动学生探究问题的积极性，同时遵循理了论联系实际的原则。②补充定理的多种证法，分散教学难点，培养学

相似三角形压轴题精选

相似三角形压轴题精选（中位线与位似） 一．选择题（共9小题） 1．（2014?漳州模拟）△ABC的三边长分别为a、b、c，三条中位线组成第一个中点三角形，第一个中点三角形的．C D． 第3题第4题第5题 4．（2012?烟台）如图是跷跷板示意图，横板AB绕中点O上下转动，立柱OC与地面垂直，设B点的最大高度为h1．若将横板AB换成横板A′B′，且A′B′=2AB，O仍为A′B′的中点，设B′点的最大高度为h2，则下列结论正确的 h ．cm cm D．cm 第6题第7题 7．（铜仁地区）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB=6，BC=10， 到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…，如此进行下去，得到四边形A n B n C n D n．下列结论正确的有（） ①四边形A2B2C2D2是矩形；②四边形A4B4C4D4是菱形； ③四边形A5B5C5D5的周长是④四边形A n B n C n D n的面积是．

2 第8题 第9题 9．（2013?青岛）如图，△ABO 缩小后变为△A ′B ′O ，其中A 、B 的对应点分别为A ′、B ′点A 、B 、A ′、B ′均在图中 ， 第10题 第11题 第12题 10．（2013?鞍山）如图，D 是△ABC 内一点，BD ⊥CD ，AD=6，BD=4，CD=3，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、BD 的中点，则四边形EFGH 的周长是 _________ ． 11．（2013?乌鲁木齐）如图，△ABC 中，AD 是中线，AE 是角平分线，CF ⊥AE 于F ，AB=5，AC=2，则DF 的长为 _________ ． 12．（2012 ?枣庄）如图所示，DE 为△ABC 的中位线，点F 在DE 上，且∠AFB=90°，若AB=5，BC=8，则EF 的长为 _________ ． 13．（2012?铁岭）如图，点E 、F 、G 、H 分别为菱形A 1B 1C 1D 1各边的中点，连接A 1F 、B 1G 、C 1H 、D 1E 得四边形A 2B 2C 2D 2，以此类推得四边形A 3B 3C 3D 3…，若菱形A 1B 1C 1D 1的面积为S ，则四边形A n B n C n D n 的面积为 _________ ． 第13题 第14题 14．（2012?惠安县质检）如图，△ABC 的面积为1，分别取AC 、BC 两边的中点A 1、B 1，则四边形A 1ABB 1的面积为，再分别取A 1C 、B 1C 的中点A 2、B 2，A 2C 、B 2C 的中点A 3、B 3，依次取下去…，则： （1）线段AB 与A 4B 4的数量关系是 _________ ； （2）四边形A 5A 4B 4B 5的面积为 _________ ． 15．（2010?翔安区模拟）如图，DE 是△ABC 的中位线，M 是DE 的中点，CM 的延长线交AB 于N ，那么S △DMN ：S 四边形ANME = _________ ．

三角形的中位线

第十八章平行四边形 18.1.2 平行四边形的判定 第3课时三角形的中位线 学习目标：1.理解三角形中位线的概念，掌握三角形的中位线定理； 2.能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题. 重点：理解三角形中位线的概念，掌握三角形的中位线定理. 难点：能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题. 一、知识回顾 1.平行四边形的性质和判定有哪些？ 边：①AB∥CD,AD____BC ②AB=CD,AD____BC 平行四边形ABCD ③AB∥CD,AB_____CD 角：∠BAD____∠BCD，∠ ABC____∠ADC 对角线：AO____CO,DO____BO 一、要点探究 探究点1：三角形的中位线定理 概念学习三角形中位线：连接三角形两边中点的线段. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE. 则线段DE就称为△ABC的中位线. 想一想 1.一个三角形有几条中位线？你能在△ABC中画出它所有 的中位线吗？ 2.三角形的中位线与中线有什么区别？ 猜一猜如图，DE是△ABC的中位线，DE与BC有怎样的位置关系，又有 怎样的数量关系？ 猜想：三角形的中位线________三角形的第三边且 ________第三边的________． 量一量度量一下你手中的三角形，看看是否有同样的结论？ 证一证如图，在△ABC中，点D,E分别是AB,AC边的中点. 1 . 2 DE BC DE BC 求证：∥， 分析： 课堂探究 自主学习 教学备注 学生在课前 完成自主学 习部分 配套PPT讲 授 1.情景引入 （见幻灯片 3-4） 2.探究点1新 知讲授 （见幻灯片 5-18） 性质 判定 教学备注 2.探究点1新 知讲授 （见幻灯片 5-18）倍长DE至F DF与AC互相平分 构造全等 三角形 角、边 相等 平行四 边形 线段相 等、平行

三角形中位线精美说课稿【免费】

三角形的中位线说课稿 佛说：“前世的五百次回眸才能换得今生的一次擦肩而过。”我想我上辈子应该是回了很多次头才能有幸与各位评委和老师相遇在这样一个阳光明媚的午后，这样美好的时刻我会以最俊秀的字迹镌刻在心。 我是2号选手，我说课的题目是三角形的中位线。接下来我将从以下几个方面来说我对这堂课的设计和理解。 一、教材分析 三角形的中位线选自北京师范大学出版社出版的八年级数学下册第六章第三节。与人教版相比，北师大版的数学贯彻了素质教育的思想，重视学生能力的培养和理论联系实际素质的提高，这节课也不例外，教材对有关内容采用了边探索边证明这种“合二为一”的处理方式，更注重让学生经历“探索-猜想-验证”的过程，达到学生发现并掌握知识的结果。 三角形中位线是三角形中重要的线段，三角形中位线定理是一个重要性质定理，它是前面已学过的平行线、全等三角形、平行四边形等知识内容的应用和深化，又是以后的几何推理、证明中不可或缺的知识财富。在三角形中位线定理的证明及应用中，处处渗透了化归思想，它在今后的学习中有着重要的作用，并能拓展学生的数学思维。 二、学情分析 本班学生两极分化比较严重，总体能较快的接受新知识，对于本章平行四边形的性质和判定掌握较好，但知识迁移能力处于弱势，数学思想方法的灵活运用也有待提高。因此，本节课着眼于基础，注重能力的培养，积极引导学生首先通过实际操作获得结论，然后借助于平行四边形的有关知识进行探索和证明，使学生的优势得以发挥，劣势得以改进，从而提高学生的整体水平。 三、目标分析 （一）根据教学大纲要求结合教材内容和学生现状，本节课确定以下目标：（1）知识目标： ①理解三角形中位线的概念； ②掌握三角形中位线定理； ③初步学会用三角形中位线定理解决一些简单问题。 （2）能力目标： ①培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；

(完整版)人教版八年级下三角形中位线定理

知识点回顾（笔记） 证一证 如图，在△ABC 中，点D,E 分别是AB,AC 边的中点. 1 .2 DE BC DE BC =求证：∥， 证法1：证明：延长DE 到F ，使EF=DE ．连接AF 、CF 、DC ． ∵AE=EC ，DE=EF ， ∴四边形ADCF 是_______________． ∴CF ∥AD ,CF=AD ， ∴CF_____BD ,CF_____BD ， ∴四边形BCFD 是____________ ∴DF_____BC ,DF_______BC ， 12 DE DF =又∵， ∴DE_____BC ,DE=______BC. 证法2：证明：延长DE 到F ，使EF=DE ．连接FC ． ∵∠AED=∠CEF ，AE=CE ， ∴△ADE_____△CFE ．（全等） ∴∠ADE=∠_____,AD=_______, ∴CF______AD,∴BD______CF. ∴四边形BCFD 是___________________. ∴DF_______BC. 12DE DF =又∵， ∴DE_____BC ,DE=______BC.

类型1 三角形中位线的定理及运用 例1如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，求AC的长. 例2 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度数． 类型2中位线辅助线的构造 例3如图，在△ABC中，AB＝AC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BD＝AB，求证：CD＝2CE. 例4. 如图，在△ABC中，AB=AC，CD是AB边上的中线，延长AB到点E，使BE=AB，连接CE．求 证：CD= CE。

第六讲---相似三角形的中位线及其应用培优辅导(三)

第六讲 相似三角形(三) -------三角形的中位线及其应用 一、知识点梳理： 1、三角形的中位线定义：连结三角形两边中点的线段. 三角形中位线定理： ①三角形的中位线于第三边（位置关系） ②三角形的中位线等于（数量关系） 符号语言：∵DE 是△ABC 的中位线（或AD=BD,AE=CE) ∴DE // 2、 三角形的重心： 三角形重心的性质： 基础巩固 1、如图△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，已知DE=5，则BC 的长为 2、如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 平分∠BAC ，DE ∥AC 交AB 于E ，则S △EBD ：S △ABC = 3、若△ABC 的面积是8cm 2，则它的三条中位线围成的三角形的面积是 4、△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，三条中位线组成第一个中点三角形，第一个中点三角形的三条中位线又组成第二个中点三角形，以此类推，求第2009中点三角形的周长为（ ） A ． B ． C ． D ． 5、如图，小红作出了边长为1的第1个正△A 1B 1C 1，算出了正△A 1B 1C 1的面积，然后分别取△A 1B 1C 1三边的中点A 2，B 2，C 2，作出了第2个正△A 2B 2C 2，算出了正△A 2B 2C 2的面积，用同样的方法，作出了第3个正△A 3B 3C 3，算出了正△A 3B 3C 3的面积…，由此可得，第2014个正△A 2014B 2014C 2014的面积是（ ） A ． B ． C ． D ． 3、梯形的中位线定义：连结梯形中点的线段. 梯形中位线定理： 梯形的中位线 B

3、中点四边形： 对角线的四边形的中点四边形是菱形 对角线的四边形的中点四边形是矩形 对角线的四边形的中点四边形是正方形 对角线的四边形的中点四边形是平行四边形 (1) 顺次连接四边形各边中点所得的四边形是. (2) 顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是. (3) 顺次连接矩形各边中点所得的四边形是. (4) 顺次连接菱形各边中点所得的四边形是. (5) 顺次连接正方形各边中点所得的四边形是 基础巩固1、顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所得图形一定是（）A．矩形B．直角梯形C．菱形D．正方形 2、顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形满足条件的是（） ①平行四边形②菱形③等腰梯形④对角线互相垂直的四边形 A.①③ B.②③ C.③④ D.②④ 3、顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是 A.菱形 B.对角线互相垂直的四边形 C.矩形 D.对角线相等的四边形 4、若梯形中位线的长是高的2倍，面积是18cm2，则这个梯形的高等于（） （A）62cm （B）6cm （C）32cm （D） 二、专题讲解：常规辅助线的添加 方法一、【利用角平分线+垂直、必有等腰三角形】 例题1：如图，△ABC中，CD平分∠ACB，AD⊥CD，垂足为D点，点E为AB的中点. （1）求证：DE∥BC； （2）求证：DE=（BC-AC）/2 B A

三角形的中位线经典练习题及其答案

三角形的中位线练习题及其答案 1．连结三角形___________的线段叫做三角形的中位线． 2．三角形的中位线______于第三边，并且等于_______． 3．一个三角形的中位线有_________条． 4.如图△ABC 中，D 、E 分别是AB 、 AC 的中点，则线段CD 是△ABC 的＿＿＿， 线段DE 是△ABC ＿＿＿＿＿＿＿ 5、如图，D 、E 、F 分别是△ABC 各边的中点 （1）如果EF ＝4cm ，那么BC ＝＿＿cm 如果AB ＝10cm ，那么DF ＝＿＿＿cm （2）中线AD 与中位线EF 的关系是＿＿＿ 6．如图1所示，EF 是△ABC 的中位线，若BC=8cm ，则EF=_______cm ． (1) (2) (3) (4) 7．三角形的三边长分别是3cm ，5cm ，6cm ，则连结三边中点所围成的三角形的周长是_________cm ． 8．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=?5，?BC=?12，?则连结两条直角边中点的线段长为_______． 9．若三角形的三条中位线长分别为2cm ，3cm ，4cm ，则原三角形的周长为（ ） A ．4.5cm B ．18cm C ．9cm D ．36cm 10．如图2所示，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A ，B 的点C ，找到AC ，BC 的中点D ，E ，并且测出DE 的长为10m ，则A ，B 间的距离为（ ） A ．15m B ．25m C ．30m D ．20m 11．已知△ABC 的周长为1，连结△ABC 的三边中点构成第二个三角形，?再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2010个三角形的周长是（ ） A 、 20081 B 、20091 C 、220081 D 、2 20091 12．如图3所示，已知四边形ABCD ，R ，P 分别是DC ，BC 上的点，E ，F 分别是AP ，RP 的中点，当点P 在BC 上 从点B 向点C 移动而点R 不动时， 那么下列结论成立的是（ ） A ．线段EF 的长逐渐增大 B ．线段EF 的长逐渐减少 C ．线段EF 的长不变 D ．线段EF 的长不能确定 13．如图4,在△ABC 中，E ，D ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF?的周长是（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．40 14．如图所示，□ ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AE=EB ，求证：OE ∥BC ．

三角形中位线定理说课稿

三角形中位线定理说课稿 一．教材分析 1．地位和作用： 本节教材是八年级数学下册三角形的中位线定理内容。三角形中位线是三角形中重要的线段，三角形中位线定理是一个重要性质定理，它是前面已学过的平行线、全等三角形、平行四边形等知识内容的应用和深化，对进一步学习非常有用，尤其是在判定两直线平行和论证线段倍分关系时常常用到。在三角形中位线定理的证明及应用中，处处渗透了化归思想，它是一种重要的思想方法，无论在今后的学习还是在科学研究中都有着重要的作用，它对拓展学生的思维有着积极的意义。 2.教材处理： 课本中三角形中位线定理是单刀直入地以探索式推理这种方法提出的，定理以这种方式出现，学生接受起来会感觉突然、生硬。在实际教学中，我采取先让学生经过实验、观察、猜想、归纳、得出结论，然后经推理论证，最后总结形成定理的方式，这样提出的知识具有亲和力，更容易为学生接受和认可。在定理证明中，讲解了多种证法，强化思维过程的教学，开发学生的智力。在教学中增加了变式训练，以培养学生的发散思维。 3.重点和难点： 重点是：三角形中位线定理及其应用； 【设计意图】；三角形中位线定理是解决有关线与线的平行及线段倍分问题的重要理论依据之一，在教材中占有重要地位，依据教学大纲的要求、教材内容以及学生的认知基础，我确定了本节课的重点 难点是：三角形中位线定理的证明及应用。 【设计意图】：从学生知识掌握的现状分析来看，如何适当添加辅助线、如何利用化归思想来解决问题，是学生学习的困难所在，因此本节教学难点. 二．教学目标的确定 数学教学的根本任务在于发展学生的数学思维，教学时，应注意知识的形成、解题思路的探索过程、解题方法和规律的概括过程，使学生在这些过程中展开思维，从而发展他们的能力、优化个性品质。根据教学大纲要求结合教材内容和学生现状，本节课确定以下目标： 1．知识目标：①理解三角形中位线的概念②掌握三角形中位线定理③初步学会用三角形中位线定理解决一些简单问题. 2．能力目标：①培养学生实验观察、分析探究、归纳总结、推理论证的能力②培养学生运用化归方法解决问题的能力③培养学生发散思维及创新学习能力 3．情感目标：①培养学生科学分析的态度和积极的探索精神②激发学生学习的积极性，提高学生学习数学的兴趣 三．教法和学法

相似三角形基础练习(一)

相似三角形基础练习（一） 一、填空题 1、放大镜中的四边形与原四边形 关系。 2、观察下列图形中，形状相同的是 。 3、幻灯片上的一个六边形和投放到银幕上的六边形是 关系。 4、ABC ?∽///C B A ?，其中 60=∠B ， 70/=∠C ，则=∠A 。 5、两个正五边形的边长分别为b a 、，它们相似吗？ ， 理由 。 6、将一个等腰三角形缩小，使原三角形的边长是缩小后的三角形对应边的3倍，则缩小前后对应边的比为 。 7、两个三角形相似，其中一个三角形两个内角分别为006040 、，那么另一个三角形最 大内角的度数为 。 8、如图，ADE ?∽ABC ?， 若2.153===DE EC AE ，，，则=BC 。 9、若上题图，ABC ?∽53==?AB AD ADE ，，，则=BC DE ： 。 二、选择题 10、下列各组图形中相似的是（ ） A 、①②③ B 、②③④ C 、①③④ D 、①②④ 11、下列说法中正确的是：所有的（ ）都相似。 A 、菱形 B 、矩形 C 、正方形 D 、梯形 12、下列各组图形中，一定相似的是（ ） A 、对应边成比例的两个三角形 B 、由三角形的中位线所得的两个三角形 C 、等腰梯形中位线所分成的两个等腰梯形 D 、有一个角对应相等的平行四边形 13、在ABC ?和///C B A ?中， 72684068 //=∠=∠=∠=∠C A B A ，，，这两个三角形（ ） A 、既全等又相似 B 、相似 C 、全等 D 、无法确定 14、下列说法中正确的是（ ） （1）相似三角形一定全等 （2）不相似的三角形一定不全等 （3）全等的三角形不一定是相似三角形 （4）全等的三角形一定是相似三角形 A 、（1）（2） B 、（2）（3） C 、（2）（4） D 、（3）（4）

三角形的中位线经典习题类型大全

第 1 页 共 2 页 1 三角形的中位线综合练习题 姓名 例1如图1，在△ABC 中，AC>AB ，M 为BC 的中点．AD 是∠BAC 的平分线，若CF ⊥AD 交AD 的延长线于F .求证： ()1 2MF AC AB = - . F E D C B A 图1 图2 图3 图4 图5 例2. 如图2，在四边形ABCD 中，E 、F 分别为AC 、BD 的中点，则EF 与AB +CD 的关系是 ( ) A .2EF AB CD =+ B. 2EF AB CD >+ C. 2EF AB CD <+ D. 不确定 例3. 如图5，AB ∥CD ，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，且AB=a ,CD=b ，则EF 的长为 . 4．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=?5，?BC=?12，?则连结两条直角边中点的线段长为_______． 5．若三角形的三条中位线长分别为2cm ，3cm ，4cm ，则原三角形的周长为（ ） A ．4.5cm B ．18cm C ．9cm D ．36cm 6．已知△ABC 的周长为1，连结△ABC 的三边中点构成第二个三角形，?再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2010个三角形的周长是（ ） A 、 20081 B 、20091 C 、220081 D 、2 20091 7．如图4所示，已知四边形ABCD ，R ，P 分别是DC ，BC 上的点，E ，F 分别是AP ，RP 的中点，当点P 在BC 上从 点B 向点C 移动而点R 不动时， 那么下列结论成立的是（ ） A ．线段EF 的长逐渐增大 B ．线段EF 的长逐渐减少 C ．线段EF 的长不变 D ．线段EF 的长不能确定 8．如图5,在△ABC 中， E ，D ， F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF?的周长是（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．40 9.顺次连接一个四边形的各边中点，得到一个菱形，这个四边形一定是（ ） A.平行四边形 B.菱形 C 、矩形 D.对角线相等的四边形 10.已知：如图，DE 是△ABC 的中位线，AF 是BC 边上的中线， 求证：DE 与AF 互相平分 11．如图所示，在△ABC 中，点D 在BC 上且CD=CA ，CF 平分∠ACB ，AE=EB ，求证：EF= 1 2 BD ． 12．如图所示，已知在□ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，求证：MN ∥BC ． 13.如图，点E ，F ，G ，H 分别是CD ，BC ，AB ，DA 的中点。 求证：四边形EFGH 是平行四边形。 F E D B H G F E D C B A

相似三角形经典练习题

相似三角形经典练习题 一．选择题（共9小题） 1．在直角三角形中，两直角边分别为3和4，则这个三角形的斜边与斜边上的高的比为（） A．B．C．D． 2．如图，在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，若S△CAD=3S△ABD，则AB：AC等于（） A．1：3 B．1：4 C．1：D．1：2 3．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，△ADE和四边形BCED 的面积分别记为S1，S2，那么的值为（） A．B．C．D． 4．如图，?ABCD中，Q是CD上的点，AQ交BD于点P，交BC的延长线于点R，若DQ：CQ=4：3，则AP：PR=（） A．4：3B．4：7C．3：4D．3：7 5．如图，△ADE∽△ACB，其中∠AED=∠B，那么能成立的比例式是（）

A． B． C． D． 6．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（） A．B．C．D． 7．如图，△ABC，AB=12，AC=15，D为AB上一点，且AD=AB，在AC上取一点E，使以A、D、E为顶点的三角形与ABC相似，则AE等于（） A．B．10 C．或10 D．以上答案都不对 8．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（） A． B． C． D．

9．如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，将△ABC沿DE折叠，使点C落在AB边上的C′处，并且C′D∥BC，则CD的长是（） A．B．C．D． 二．填空题（共11小题） 10．a=4，b=9，则a、b的比例中项是． 11．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则下列说法正确的有（填序号）．①AC?BC=AB?CD；②AC2=AD?DB；③BC2=BD?BA；④CD2=AD?DB． 12．如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于D，AC=8，BC=6，则AD=． 13．如图，DE∥AC，BE：EC=2：1，AC=12，则DE=． 14．如图，平行四边形ABCD中，E是BD上一点，AE的延长线与BC的延长线交于F，与CD交于G，若AE=4，EG=3，则EF=． 15．如图，在平行四边形ABCD中，M、N为AB的三等分点，DM、DN分别交

三角形的中位线知识、方法总结

三角形的中位线济宁附中李涛 1.定义 三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 如图：DE是△ABC的中位线。 符号语言 说明：（1）一个三角形有3条中位线 （2）定义有双重性：即是性质，也是判定 （3）注意与三角形中线的区别：要把三角形的中位线与三角形的中线区分开．三角形中线是连结一顶点和它对边的中点，而三角形中位线是连结三角 形两边中点的并且与底边平行且等于底边一半的的线段． 2.三角形中位线性质定理 定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半 符号语言：（重点，书上记了） 说明：（1）作用：证明平行关系，倍分关系；转移线段，转移角。 （2）常用辅助线：见中点，构造中位线。 （3）分离基本图形：全等，平行四边形 证明（转化思想，常用辅助线） 证明1： 如图，延长DE 到F，使EF=DE ，连结CF.-------（中线加倍，构造全等） ∵DE=EF ∠AED=∠CEF AE=EC ∴△ADE ≌△CFE（SAS） ∴AD=FC ∠A=∠ECF ∴AB∥FC 又∵AD=DB ∴BD∥CF，BD=CF ∴四边形BCFD是平行四边形

∴DE∥BC 且DE=1/2BC 证明2： 如图，延长DE 到F，使EF=DE ，连结CF、DC、AF ∵AE=CE DE=EF ∴四边形ADCF为平行四边形 ∴AD∥CF,AD=CF ∵AD=BD ∴BD∥CF,BD=CF ∴四边形BCFD为平行四边形 ∴BC∥DF,BC=DF ∴DE∥BC 且DE=1/2BC 中位线的应用： （1）中点三角形 定义：中点三角形就是把一个三角形的三边中点顺次 连接起来的一个新三角形. 性质：（1）这个新三角形的各个边长分别是原来三角形三 边长的一半且分别平行，角的度数与原三角形分别相等，4个三角形都全等（2）中点三角形周长是原三角形的周长一半。 （3）中点三角形面积是原三角形面积的四分之一。 补充：中点三角形与原三角形不仅相似，而且位似。 （2）中点四边形 定义：依次连接任意四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。 中点四边形的形状与原四边形的对角线的数量和位置关系有关。 性质（1）不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是 平行四边形。 证明：连接AC,BD-----------（连对角线，构造中位线） ∵E,H,G,F是边AB,AD,DC,BC中点 ∴EH,GF是△ABD,BCD的中位线 ∴EH=1/2BD,GF=1/2BD,EH//BD,GF//BD ∴EH平行等于GF ∴EFGH是平行四边形