济南市2012届高考数学3月模拟文

山东省济南市2012届高三3月高考模拟考试

数学（文史类）

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页.满分150分.考试时间120分钟.考试结束后将答题卡交回. 注意事项：

1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.

2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.

3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.

4. 填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：

柱体体积公式：V=Sh ，其中S 为柱体底面的面积，h 为柱体的高.

第Ⅰ卷(共60分)

一、 选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合U ={1,2，3，4，5，6，7},A ={1,2,4},B ={1,3,5}，则A ∩U B = A. {2,4,6} B. {1,3,5} C. {3,5} D. {2,4}

2. 直线1l :kx -y -3=0和2l :x +(2k +3)y -2=0互相垂直，则k = A. -3 B. -2 C. -1

2或-1

D.

1

2

或1 3. 复数5

5i 12i

+的虚部是高考资源网

A. -1

B. 1

C. i

D. -i

4. 若a ＞b ＞0，则下列不等式不．

成立的是

A. a b +<

B. 1

12

2

a b > C. ln a ＞ln b D. 0.30.3a b < 5. 某程序的框图如图所示，则运行该程序后输出的B 的值是 A. 5 B. 11 C. 23

D. 47

6. 已知α为锐角，cos α=55，则tan π24α??+ ???

= A. -3

B. - 17

C. -

43

D. -7 7. 若实数x ,y

满足条件 ，目标函数z =x +y ,则

A. z max =0

B. z max =

5

2

C. z min =

52

D. z max =3

8. 若一个螺栓的底面是正六边形，它的主视图和俯视图如图所 示，则它的体积是

π

π

+3π

9. 已知函数f (x )= ,若0x 是y =()f x 的 第8题图

零点，且0＜t ＜0x ,则f(t)

A. 恒小于0

B. 恒大于0

C. 等于0

D. 不大于0

10. 设α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α内的两条

不同直线，l 1,l 2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是

A. m ∥1l 且n ∥2l

B. m ∥β且n ∥2l

C. m ∥β且n ∥β

D. m ∥β且1l ∥α

11. 设函数y =f (x )与函数y =g (x )的图象如右图所示，则

函数y =f (x ) ·g (x )的图象可能是 第11题图

12. 下列命题：① 若函数2

()23f x x x =-+,x ∈［-2,0］的最小值为2；② 线性回归方程

对应的直线???y

bx a =+至少经过其样本数据点(1x ,1y ),(2x ,2y ),…,(n x ,n y )中的一个点；③ 命题p :?x ∈R ，使得210x x ++<则?p :? x ∈R ,均有x 2

+x +1≥0；④ 若x 1，x 2，…，

x 10的平均数为a ，方差为b ，则x 1+5，x 2+5，…，x 10+5的平均数为a +5,方差为b +25.其中，错误．．

命题的个数为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

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32x x -21log (0)3x x x ??

-> ???

（x ≤0）

x +2y -5≤0 2x +y -4≤0

x ≥0

y ≥1

第5题图

π

数学（文史类）

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

注意事项：

1. 第Ⅱ卷共2页, 所有题目的答案考生须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答;不能写在试卷上; 如需改动，先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效.作图时,可用2B 铅笔，要字体工整，笔迹清晰.在草稿纸上答题无效.考试结束后将答题卡上交.

2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚，密封线内答题无效. 二、 填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.

13. 在△ABC 中，sin 2

C sin A sin B +sin 2

B ，a b ，则角

C = .

14. 在等比数列{a n }中，a n ＞0(n ∈N ﹡

),且a 6-a 4=24,a 3a 5=64,则{a n }的前6项和是高考资源网

.

15. 过双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段

OF (O 为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为 .

16. 观察下列等式

1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 ……

照此规律，第n 个等式为 .

三、 解答题：本大题共6个小题.共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分12分)

已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5=35，a 5和a 7的等差中项为13. (Ⅰ) 求a n 及S n ； (Ⅱ) 令2

41

n n b a =

-(n ∈N ﹡

)，求数列{b n }的前n 项和T n . 18. (本小题满分12分)

已知向量m =(2cos ωx ，-1)，n =(sin ωx -cos ωx ，2)，函数f (x )= m ·n

+3的周期为π.

(Ⅰ) 求正数ω； (Ⅱ) 若函数f (x )的图像向左平移

π8

，

倍，得到函数g (x )的图像，求函数g (x )的单调增区间.

19. (本小题满分12分)

山东省《体育高考方案》于2012年2月份公布，方案要求

以学校为单位进行体育测试，某校对高三1班同学按照高考测试项目按百分制进行了预备测试，并对50分以上的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若90～100分数段的人数为2人. (Ⅰ) 请估计一下这组数据的平均数M ；

(Ⅱ) 现根据初赛成绩从第一组和第五组(从低分段到高分段依次

为第一组、第二组、…、第五组)中任意选出两人，形成一个小组.若选出的两人成绩差大于20，则称这两人为“帮扶组”，试求选出的两人为“帮扶组”的概率.

20. (本小题满分12分)

如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面ABC 为正三角形，M 、N 、

G 分别是棱CC 1、AB 、BC 的中点.且CC 1

AC .

(Ⅰ) 求证：CN //平面 AMB 1；

(Ⅱ) 求证：B 1M ⊥平面AMG .

21. (本小题满分12分) 第20题图

济南市“两会”召开前，某政协委员针对自己提出的“环保提案”对某处的环境状况进

行了实地调研.据测定，该处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源的距离成反比，比例常数为k (k ＞0).现已知相距36 km 的A ，B 两家化工厂(污染源)的污染强度分别为正数a ,b ，它们连线上任意一点C 处的污染指数y 等于两化工厂对该处的污染指数之和.设

AC =x (km).

(Ⅰ) 试将y 表示为x 的函数；

(Ⅱ) 若a =1时，y 在x =6处取得最小值，试求b 的值.

22. (本小题满分14分)

已知中心在原点O ，焦点F 1、F 2在x 轴上的椭圆E 经过点C (2, 2),且抛物线y 2

= 的

焦点为F 1. (Ⅰ) 求椭圆E 的方程；

(Ⅱ) 垂直于OC 的直线l 与椭圆E 交于A 、B 两点，当以AB 为直径的圆P 与y 轴相切时，

求直线l 的方程和圆P 的方程.

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数学（文史类）参考答案

一、 选择题

1. D

2. A

3. B

4. A

5. C

6. B

7. D

8. C

9. B 10. A 11. A 12. D 二、 填空题 13.

π6

16. n +(n +1)+(n +2)+…+(3n -2)=(2n -1)2

三、 解答题

17. 解：(Ⅰ) 设等差数列{a n }的公差为d ，因为S 5=5a 3=35，a 5+a 7=26，高考资源网

第19题图

所以有1127

21026

a d a d +=??

+=?,…………………………………………………………………2分

解得a 1=3,d =2，…………………………………………………………………4分 所以a n =3+2(n -1)=2n +1；S n =3n +

(1)

2

n n -×2=n 2+2n.………………………6分 （Ⅱ） 由（Ⅰ）知a n =2n +1，所以b n =

2

41n a -= 1(1)

n n +…………………………8分 =

11

1

n n -

+，……………………………………………………………… 10分 所以T n = 1111

1111223111n n n n n ??????-

+-++-=-= ? ? ?

+++??????

….……12分 18. 解：（Ⅰ）

f (x )=(2cos ωx ,-1)·(sin ωx -cos ωx ,2)+3……………………………………………1分

=2cos ωx (sin ωx -cos ωx )+1………………………………………………………

2分

=2sin ωx cos ωx -2cos 2

ωx +1 (3)

分

=sin2ωx -cos2ωx (4)

分

sin 24x πω??

-

??

?

.................................................................. 5分 ∵T =π,且ω>0，∴ω=1. (6)

分

（ Ⅱ） 由（Ⅰ）知：f (x

sin π24x ?

?

-

??

?

…………………………………… 7分 g (x

sin ππ284x ??

??+

- ???????

=2sin2x …………………………………9分

∴2k π-

π2≤2x ≤2k π+π

2，k ∈Z ；……………………………………………10分 ∴k π- π4≤x ≤k π+ π

4

，k ∈Z ； (11)

分 ∴函数g (x )的单调增区间为πππ,π+44k k ?

?

-

???

?

，k ∈Z.……………………12分 19. 解：（Ⅰ） 由频率分布直方图可知：50～60分的频率为0.1，60～70分的频率为0.25，

70～80分的频率为0.45，80～90分的频率为0.15，90～100分的频率为

0.05；…………………………………………………………………… 2分

∴这组数据的平均数M=55×0.1+65×0.25+75×0.45+85×0.15+95×0.05=73

（分）…………………………………………………………………………………4分（Ⅱ）∵90～100分数段的人数为2人，频率为0.05；

∴参加测试的总人数为

2

0.05

=40人，…………………………………… 5分

∴50～60分数段的人数为40×0.1=4人，………………………………… 6分设第一组50～60分数段的同学为A1,A2,A3,A4；第五组90～100分数段的同学为B1,B2…………………………………………………………………… 7分则从中选出两人的选法有：

(A1，A2)，(A1，A3),(A1，A4),(A1，B1),(A1，B2),(A2，A3),(A2，A4),(A2，B1),(A2，B2),(A3，A4),(A3，B1),(A3，B2),(A4，B1),(A4，B2),(B1，B2)，共15种；………………………………………………………………………………………9分其中两人成绩差大于20的选法有：(A1,B1)，(A1,B2)，(A2,B1),(A2,B2),

(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2)共8种 (11)

分

则选出的两人为“帮扶组”的概率为P=

8

15

……………………………… 12分

20. 解：（Ⅰ）设AB1的中点为P，连结NP、MP……………… 1分

∵CM 1

2

AA1，NP

1

2

AA1，∴CM NP，…2分

∴CNPM是平行四边形，∴CN∥MP……………3分

∵CN?平面AMB1，MP?平面AMB1，∴CN∥平

面AMB1……………………………………………4分

（Ⅱ）∵CC1⊥平面ABC，∴平面CC1B1B⊥平面ABC，

∵AG⊥BC，∴AG⊥平面CC1B1B，∴B1M⊥AG.…

………………………………………………………6分

∵CC1⊥平面ABC，平面A1B1C1∥平面ABC，∴CC1⊥

AC，CC1⊥B1C，第20题图

设：AC=2a,则CC1 a

在Rt△MCA中，AM=…………………………… 8分

同理，B1M a…………………………………………………………… 9分∵BB1∥CC1，∴BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AB，

∴AB1==，

∴AM 2

+B 1M 2

=21AB ，∴B 1M ⊥AM ，………………………………………10分

又AG ∩AM =A ，∴B 1M ⊥平面AMG..………………………………………12分

21. 解：（Ⅰ） 设点C 受A 污染源污染指数为

ka x ，点C 受B 污染源污染指数为36kb

x

-，其中k 为比例系数，且k ＞0. ………………………………………………2分

从而点C 处污染指数(036)36ka kb y x x x =

+<<-………………………4分 （Ⅱ） 因为a =1，所以，36k kb

y x x

=+-，……………………………………… 5分

y ′=221(36)b

k x x ?

?-

+??-??

，…………………………………………………7分 令y ′=0，得

x =

9分

当x ∈

?

?时，函数单调递减；当x ∈?

+∞??时，函数单调递增.

∴当

x =

11分

又此时x =6，解得b =25，经验证符合题意.

所以，污染源B 的污染强度b 的值为25…………………………………12分

22. 解：（Ⅰ） 设椭圆E 的方程为22

221(0)x y a b a b

+=>>，…………………………… 1分

则

22

44

1a b +=，①………………………………………………………… 2分

∵抛物线2y =-的焦点为F 1

∴c =

②………………………………………………………………3分

又a 2

=b 2

+c 2

③

由①、②、③得a 2=12，b 2

=6……………………………………………… 5分

所以椭圆E 的方程为

22

1126

x y +=………………………………………… 6分 （Ⅱ） 依题意，直线OC 斜率为1，由此设直线l 的方程为y =-x +m ，………… 7分

代入椭圆E 方程，得3x 2-4mx +2m 2

-12=0. ………………………………… 8分

由Δ=16m 2-12(2m 2-12)=8(18-m 2)，得m 2

＜18. ………………………………9分

记A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则x 1+x 2=43

m

，x 1x 2=22123m -………………10分

圆P 的圆心为1212,2

2x x y y ++??

???，

半径12||r x x =

-=…………………………1分 当圆P 与y 轴相切时，12

2

x x r +=，则2x 1x 2=212()4x x +，

即222(212)439

m m -=

，m 2

=9＜18，m =±3………………………………12分 当m =3时，直线l 方程为y =-x +3，此时，x 1+x 2=4，圆心为(2，1)，半径为2，

圆P 的方程为(x -2)2+(y -1)2

=4；……………………………………………13分 同理，当m =-3时，直线l 方程为y =-x -3，

圆P 的方程为(x +2)2+(y +1)2

=4…………………………………………… 14 分