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数学必修4教学案：1.1.2 弧度制(教、学案)

1.1.2 弧度制

【教学目标】

① 了解弧度制，能进行弧度与角度的换算.

② 认识弧长公式，能进行简单应用. 对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深.

③了解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析、解决问题.

【教学重难点】

重点：了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算. 难点：弧度的概念及其与角度的关系. 【教学过程】（一）复习引入.

复习初中学习过的知识：角的度量、圆心角的度数与弧的度数及弧长的关系提出问题：

①初中的角是如何度量的？度量单位是什么？

② 1°的角是如何定义的？弧长公式是什么？

③ 角的范围是什么？如何分类的？（二）概念形成

初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒，它们是60进制，角是否可以用其它单位度量，是否可以采用10进制？

1．自学课本第7、8页.通过自学回答以下问题： (1)角的弧度制是如何引入的？

(2)为什么要引入弧度制？好处是什么？

(3)弧度是如何定义的？

(4)角度制与弧度制的区别与联系?

2．学生动手画图来探究： (1)平角、周角的弧度数

(2)角的弧度制与角的大小有关，与角所在圆的半径的大小是否有关？

(3)角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系？

3．角度制与弧度制如何换算？

3602π= rad 180π= rad

180

1π

?rad 0.01745≈rad 1rad =?)180

(

5718'≈

归纳：把角从弧度化为度的方法是：

把角从度化为弧度的方法是：

例1、把下列各角从度化为弧度： (1)0

252 （2）0

1115 (3) 0

30 (4)'3067?

解：(1)

π57 （2）π0625.0 (3) π6

(4) π375.0 变式练习：把下列各角从度化为弧度：

(1)22 o30′ （2）—210o (3)1200o 解：(1)

π8

1 （2）π67- (3)

π320

例2、把下列各角从弧度化为度：（1）3

5π (2) 3.5 (3) 2 (4)

π 解：（1）108 o (2)200.5 o (3)114.6 o (4)45 o 变式练习：把下列各角从弧度化为度：（1）

12π （2）—34π （3）103π

解：（1

）15 o （2）-240 o （3）54 o

弧度数表示弧长与半径的比,是一个实数,这样在角集合与实数集之间就建立了一个一一

对应关系.

弧度下的弧长公式和扇形面积公式弧长公式：||l

r α=?

因为||l r α=（其中l 表示α所对的弧长），所以，弧长公式为．||l r α=?

扇形面积公式：．

说明：以上公式中的α必须为弧度单位．

例3、知扇形的周长为8cm ，圆心角α为2rad ，，求该扇形的面积。

2(1) 1(2) 2

1(3) 2

l R

S R

S lR αα===(2)

;R 21

(1)S 2α=

解：因为2R+2R=8,所以R=2,S=4 变式练习：

1、半径为120mm 的圆上，有一条弧的长是144mm ，求该弧所对的圆心角的弧度数。答案：

6 2、半径变为原来的12

，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来

的 2 倍。

3、若2弧度的圆心角所对的弧长是4cm ，则这个圆心角所在的扇

形面积是 4cm 2 ． 4、以原点为圆心，半径为１的圆中，一条弦AB

所对的圆心角α 的弧度数为

2π

．

(三）课堂小结：

1、弧度制的定义；

2、弧度制与角度制的转换与区别；

3、牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并灵活运用；

（四）作业布置习题1.1A 组第7，8，9题。

（五）课后检测

1．在ABC ?中，若::3:5:7A B C ∠∠∠=，求A ，B ，C 弧度数。答案：A=5

π B=3

π C=

7π 2．直径为20cm 的滑轮，每秒钟旋转45 ，则滑轮上一点经过5

秒钟转过的弧长是多少？答案：

25π

3．选做题

如图，扇形OAB 的面积是2

4cm ，它的周长是8cm ，求扇形的中心角及弦AB 的长。答案：1sin 4,2==AB α

〖板书设计〗

1.1.2 弧度制

课前预习学案

一、预习目标：

1.了解弧度制的表示方法；

2.知道弧长公式和扇形面积公式.

二、预习内容

初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒，它们是60进制，角是否可以用其它单位度量，是否可以采用10进制？

自学课本第7、8页.通过自学回答以下问题：

1、角的弧度制是如何引入的？

2、为什么要引入弧度制？好处是什么？

3、弧度是如何定义的？

4、角度制与弧度制的区别与联系?

三、提出疑惑

1、平角、周角的弧度数？

2、角的弧度制与角的大小有关，与角所在圆的半径的大小是否有关？

3、角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系？

课内探究学案

一、学习目标

1.理解弧度制的意义；

2.能正确的应用弧度与角度之间的换算；

3.记住公式||l

α=

（l 为以.α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆半径）； 4．熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用。二、重点、难点

弧度与角度之间的换算；

弧长公式、扇形面积公式的应用。三、学习过程

（一）复习：初中时所学的角度制，是怎么规定1

角的？角度制的单位有哪些，是多少进制的？

（二）为了使用方便，我们经常会用到一种十进制的度量角的单位制——弧度制。 <我们规定> 叫做1弧度的角，用符号表示，读作。

练习：圆的半径为r ，圆弧长为2r 、3r 、2

r 的弧所对的圆心角分

别为多少？

<思考>：圆心角的弧度数与半径的大小有关吗？

由上可知：如果半径为r 的园的圆心角α所对的弧长为l ,那么，角α的弧度数的绝对值是：

，α的正负由决定。正角的弧度数是一个，负角的弧度数是一个，零角的弧度数是。

<说明>：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或rad 经常省略，

即只写一实数表示角的度量。例如：当弧长4l r π=且所对的圆心角表示负角时，这个圆心角的弧度数是 4||4l r

παπ-=-=-

=-．（三）角度与弧度的换算

3602π= rad 180π= rad 180

1π

?rad 0.01745≈rad 1rad =?)180

(

5718'≈

归纳：把角从弧度化为度的方法是：把角从度化为弧度的方法是：

例1、把下列各角从度化为弧度：

(1)0

252 （2）0

1115 (3) 0

30 (4)'3067?

变式练习：把下列各角从度化为弧度：

(1)22 o30′ （2）—210o (3)1200o

例2、把下列各角从弧度化为度：（1）35π (2) 3.5 (3) 2 (4)

变式练习：把下列各角从弧度化为度：（1）12π （2）—34π （3）10

3π

（四）弧度数表示弧长与半径的比,是一个实数,这样在角集合与实数集之间就建立了一个一一对应关系.

（五）弧度下的弧长公式和扇形面积公式

弧长公式：||l r α=?

因为||l r

α=（其中l 表示α所对的弧长），所以，弧长公式为||l r α=?．

扇形面积公式：．

说明：以上公式中的α必须为弧度单位．

(2) ;R 2

(1)S 2α=2

(1) 1

(2) 21(3) 2

l R S R S lR αα===

例3、知扇形的周长为8cm，圆心角α为2rad，，求该扇形的面积。

变式练习1、半径为120mm的圆上，有一条弧的长是144mm，求该弧所对的圆心角的弧度数。

，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来

2、半径变为原来的1

的倍。

3、若2弧度的圆心角所对的弧长是4cm，则这个圆心角所在的扇

形面积是．

4、以原点为圆心，半径为１的圆中，一条弦AB AB

所对的圆心角α

的弧度数为．

（六）课堂小结：

1、弧度制的定义；

2、弧度制与角度制的转换与区别；

3、牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并灵活运用；

（七）作业布置习题1.1A组第7，8，9题。

课后练习与提高

1．在ABC

?中，若::3:5:7

∠∠∠=，求A，B，C弧度数。

A B C

2．直径为20cm 的滑轮，每秒钟旋转45 ，则滑轮上一点经过5

秒钟转过的弧长是多少？

3．选做题

如图，扇形OAB 的面积是2

4cm ，它的周长是8cm ，求扇形的中心角及弦AB 的长。

参考答案：例1解：(1)

π57 （2）π0625.0 (3) π6

(4) π375.0 变式练习：解：(1) π8

1 （2）π67- (3) π320

例2、解：（1）108 o (2)200.5 o (3)114.6 o (4)45 o

变式练习：解：（1）15 o （2）-240 o （3）54 o

例3、解：因为2R+2R=8,所以R=2，S=4

变式练习： 1、

56，2、2，3、4cm 2 ，4、32π

课后练习与提高

1．答案：A=5π B=3π C=15

7π 2．答案：

25π

3．答案：1sin 4,2==AB α

高中数学人教B版必修4 1.1.2弧度制(1) 学案 Word版缺答案

第1页共2页 1.1.2 弧度制（1）学习要点：弧度制以及角度制与之换算关系。学习过程：（一）复习：度量角的大小第一种单位制—角度制的定义。（二）新课学习： 1．1弧度角的定义：长度等于的弧所对的圆心角称为的角。如图：∠AOB=1rad ∠AOC=2rad 周角=2πrad 1．正角的弧度数是，负角的弧度数是，零角的弧度数是 2．角α的弧度数的绝对值 α= （为弧长，r 为半径） 3．用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。三、角度制与弧度制的换算 360?= ∴180?= ∴ 1?=rad rad 01745.0180≈π '185730.571801 =≈?? ? ??=πrad 例1 把'3067 化成弧度例2 把rad π5 3化成度注意几点：1．度数与弧度数的换算也可借助“计算器”进行； 1．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad ”可以省略如：3表示3rad sin π表示πrad 角的正弦 2．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住 3．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。 o r C 2rad 1rad r 2r o A A B 正角零角负角正实数零负实数

任意角的集合实数集R 例3用弧度制表示： 1?终边在x轴上的角的集合 2?终边在y轴上的角的集合 3?终边在坐标轴上的角的集合四、课堂练习（P12 练习）五、小结：1．弧度制定义2．与弧度制的互化六、作业：见作业（61）第2页共2页

人教版高中数学必修四《弧度制》导学案

§1.1.2 弧度制 1.理解弧度制的意义，正确地进行弧度制与角度制的换算，熟记特殊角的弧度数. 2.了解角的集合与实数集R之间可以建立起一一对应关系. 3.掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，会利用弧度制、弧长公式、扇形面积公式解决某些简单的实际问题. 一、课前准备（预习教材P6~ P9，找出疑惑之处）在初中，我们常用量角器量取角的大小，那么角的大小的度量单位为什么？二、新课导学 ※探索新知问题1：什么叫角度制？问题2：角度制下扇形弧长公式是什么？扇形面积公式是什么？问题3：什么是1弧度的角？弧度制的定义是什么？问题4：弧度制与角度制之间的换算公式是怎样的？

问题5：角的集合与实数集R 之间建立了________对应关系。问题6：用弧度分别写出第一象限、第二象限、第三象限、第四象限角的集合. 问题7：回忆初中弧长公式，扇形面积公式的推导过程。回答在弧度制下的弧长公式，扇形面积公式。 ※ 典型例题例1：把下列各角进行弧度与度之间的转化（用两种不同的方法）（1） 5 3π （2）3.5 （3）252o （4）11o151 变式训练：①填表 ②若6-=α，则α为第几象限角？ ③用弧度制表示终边在y 轴上的角的集合 ___ ____. 用弧度制表示终边在第四象限的角的集合

__ _____. 例2: ①已知扇形半径为10cm,圆心角为60o，求扇形弧长和面积 ②已知扇形的周长为8cm , 圆心角为2rad,求扇形的面积变式训练（1）：一扇形的周长为20cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大，并求此扇形的最大面积. 变式训练 (2)：A=()? ??? ??∈? -+=Z k k x x k ,21π π, B=? ?? ? ?? ∈+=Z k k x x ,22π π则A 、B 之间的关系为 . ※ 动手试试 1、将下列弧度转化为角度：（1） 12π= °；（2）－87π= ° ′；（3）6 13π = °； 2、将下列角度转化为弧度：（1）36°= rad ；（2）－105°= rad ；（3）37°30′= rad ； 3、已知集合M =｛x ∣x = 2 π ? k , k ∈Z ｝，N =｛x ∣x = 2 π π± ?k , k ∈Z ｝，则（） A ．集合M 是集合N 的真子集

北师大版数学必修四：《弧度制》导学案(含解析)

第2课时弧度制 1.了解弧度制的概念及其意义,会将角度制与弧度制互相转化. 2.了解弧度制下的弧长公式和扇形公式并能应用公式解决有关问题. 3.理解角的集合与实数集R之间的一一对应关系. 自行车大链轮有48个齿,小链轮有20个齿,当大链轮转过一周时,小链轮转过的角度是多少度?多少弧度? 问题1:弧度制的定义以弧度作为单位来度量角的单位制叫作弧度制,把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角,记作1rad. 问题2:角度与弧度之间的转换 ①将角度化为弧度:360°=,180°=,1°=≈0.01745rad,n°= rad. ②将弧度化为角度:2π=,π=,1rad=()°≈57.30°=57°18',n rad=()°. 问题3:弧度制下终边相同的角的表示 (1)与任意角α终边相同的角组成的集合为,其中α为角的弧度数. (2)用弧度制表示角省掉单位“弧度”后,就使角的集合与实数集R之间建立了一种的关系,即每一个角都有的一个实数与它对应;反过来,每一个实数也都有的一个角与之对应. (3)在表示与角α终边相同的角时,要注意统一单位,应避免出现30°+2kπ或+k·360°, 即同一表达式中度量单位要. 问题4:弧长公式及扇形的面积公式 (1)弧长公式: ①弧度制:; ②角度制:. (2)扇形的面积公式:

①弧度制:; ②角度制:. 上述公式中,由α、r、l、S中的两个量可以求出另外两个量,即知二得二;使用弧度制下的弧长公式有很多优越性(如公式简单,便于记忆、应用),但是如果已知的角是以“度”为单位时,则必须先把它化成弧度后再用公式计算. 1.225°角的弧度数为(). A.B.C.D. 2.若一扇形的圆心角为72°,半径为20cm,则扇形的面积为(). A.40πcm2 B.80πcm2 C.40cm2 D.80cm2 3.半径为2的圆中,弧长为4的弧所对的圆心角是. 4.两角差为1°,两角和为1rad,求这两角的弧度数. 角度与弧度的互化 (1)把22°30'化成弧度; (2)把化成角度. 用弧度表示终边相同的角

A6-高一数学-角度制与弧度制

课程名称学生姓名___________学科_________ 年级_____________ 教师姓名___________平台_________上课时间_____________ 1.通过角度制和弧度制的对比，加强直观教学，理解弧度制的（概念、公式、定理、原理、规律） 2.通过对学生的动觉刺激，促进学生对弧度制的有效记忆 3.通过动觉对比法，引导学生建构学科知识体系，提高学生观察对比、求异创新的能力，为深入分析问题、解决问题做基础铺垫 25分钟） 1.对数函数

学生在老师的引导下标注出关键词，包括：数字字母、公式等，可以用彩色、特殊符号等。 2.知识对比 15分钟）至少有一道涉及知识间对比的题目

例1：(1)把67°30′化成弧度； (2)把－7π 12 化成角度. （3）把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角： (1)－1 500°； (2)23π 6； (3)－4. 考点：（学生写出本题涉及到对比的知识点） ____________________________________ 例2：已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？考点：（学生写出本题涉及到对比的知识点） ____________________ ________________ 至少2个例题 15分钟）练习题与例题知识点内容、难度、题型匹配 1. 将下列角按要求转化： (1)－22°30′＝________rad ； (2)8π 5 ＝________度. 札记： 2.一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数. 札记：至少2个习题 5分钟）

高中数学必修四学案 1.1.2 弧度制

1．1.2 弧度制学习目标 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换. 2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系. 3.掌握并能应用弧度制下的扇形弧长公式和面积公式．

知识点一角度制与弧度制思考1在初中学过的角度制中，1度的角是如何规定的？ [答案]周角的1 360等于1度．思考2在弧度制中，1弧度的角是如何规定的，如何表示？ [答案]把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，用符号rad表示．思考3“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？ [答案]“1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关．梳理(1)角度制和弧度制 (2)角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r. 知识点二角度制与弧度制的换算思考角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？ [答案]利用1°＝ π 180rad和1 rad＝? ? ? ? 180 π°进行弧度与角度的换算．梳理(1)角度与弧度的互化

(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系知识点三扇形的弧长及面积公式思考扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？ [答案]设扇形的半径为R，弧长为l，α为其圆心角的弧度数，则： 1．1 rad的角和1°的角大小相等．(×) 提示 1 rad的角和1°的角大小不相等，1°＝π 180rad.

2．用弧度来表示的角都是正角．( × ) 提示弧度也可表示负角，负角的弧度数是一个负数． 3．“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关．( √ ) 提示 “1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关．类型一角度与弧度的互化例1 将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π 5. [考点] 弧度制 [题点] 角度与弧度的互化解 (1)20°＝20π180＝π 9. (2)－15°＝－15π180＝－π 12. (3)7π12＝7 12×180°＝105°. (4)－11π5＝－11 5 ×180°＝－396°. 反思与感悟将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad ＝180°即可求解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以????180π°即可．跟踪训练1 (1)把下列角度化成弧度：

人教版高中数学必修4 弧度制(结)

1.1.2 弧度制重点：用弧度制表示各种角以及弧度制与角度制之间的换算. 难点：对弧度制的引入. 一、角度制与弧度制的转化同一个角，除零角之外，用“度”表示与用“弧度”表示是不同的数量.“度”不可省略，“弧度”即“rad”可省略.其换算关系以π=180°为转化点. 例1 (1)把112°30′化为弧度；(2)把－5π12化为度．【分析】先把“分”、“秒”化为“度”，再利用1°＝π180 rad ，1 rad ＝(180π )°进行相应地转化．【解】 (1)112°30′＝112.5°＝112.5×π180＝2252×π180＝5π8 ； (2)－5π12＝－(5π12×180π )°＝－75°. 【点评】以弧度为单位表示角时，常把弧度写成多少π的形式.如无特殊要求，不必把π写成小数. 二、用弧度表示角的集合角度制中的度、分、秒是六十进制，弧度制是十进制，因此弧度制使用起来比角度制方便. 例2（1）用弧度表示顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分内的角的集合（不包括边界，如下图）. （2）把-1480°写成α+2kπ（k ∈Z ）的形式，其中0≤α<2π. 【思路点拨】先用弧度制表示这个角（临界角），然后结合图形或者范围写出该角.

【解】 (1)135°＝135×π180＝3π4，225°可以看成是与－135°终边相同的角，而－135°＝－3π4 ， ∴阴影部分角的集合为： {θ|2k π－3π4<θ<2k π＋3π4 ，k ∈Z}． (2)∵－1480°＝－1480π180＝－74π9＝－10π＋16π9 ，又0≤16π9 <2π， ∴－1480°＝16π9－2×5π＝16π9 －10π. 【思维总结】在表示角的集合时，一定使用统一制度，只能用角度或弧度制中的一种，不能混用. 三、弧度制下的弧长公式和扇形面积公式在弧度制下，当圆心角为弧度时，弧长公式、扇形面积公式有更简单的形式，更利于计算. 例3 已知一扇形的圆心角是72°，半径等于20 cm ，求扇形的面积和弧长. 【思维流程】化为弧度→代入公式【解】 ∵72°＝72×π180＝2π5 (rad)， ∴l ＝αr ＝2π5 ×20＝8π(cm)． ∴S ＝12lr ＝12 ×8π×20＝80π(cm 2)．【思维总结】弧度制下与角度制下的弧长公式、扇形面积公式是等价的.

人教版高中数学版必修四学案弧度制

1.1.2 《弧度制》导学案【学习目标】 1.理解弧度制的意义； 2.能正确的应用弧度与角度之间的换算； 3.记住公式||l r α=（为以.α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆半径）； 4．熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用。【重点难点】弧度与角度之间的换算；弧长公式、扇形面积公式的应用。【学法指导】 1.了解弧度制的表示方法； 2.知道弧长公式和扇形面积公式. 【知识链接】初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒，它们是60进制，角是否可以用其它单位度量，是否可以采用10进制？自学课本第7、8页.通过自学回答以下问题： 1、角的弧度制是如何引入的？ 2、为什么要引入弧度制？好处是什么？ 3、弧度是如何定义的？ 4、角度制与弧度制的区别与联系? 三、提出疑惑 1、平角、周角的弧度数？ 2、角的弧度制与角的大小有关，与角所在圆的半径的大小是否有关？ 3、角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系？【学习过程】（一）复习：初中时所学的角度制，是怎么规定1角的？角度制的单位有哪些，是多少进制的？（二）为了使用方便，我们经常会用到一种十进制的度量角的单位制——弧度制。 <我们规定> 叫做1弧度的角，用符号表示，读作。练习：圆的半径为r ，圆弧长为2r 、3r 、2 r 的弧所对的圆心角分别为多少？ <思考>：圆心角的弧度数与半径的大小有关吗？

由上可知：如果半径为r 的园的圆心角α所对的弧长为,那么，角α的弧度数的绝对值是：，α的正负由决定。正角的弧度数是一个，负角的弧度数是一个，零角的弧度数是。 <说明>：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或rad 经常省略，即只写一实数表示角的度量。例如：当弧长4l r π=且所对的圆心角表示负角时，这个圆心角的弧度数是 4||4l r r r παπ-=- =-=-．（三）角度与弧度的换算 3602π=rad 180π=rad 1801π =?rad 0.01745≈rad 1rad =?)180 (π5718'≈ 归纳：把角从弧度化为度的方法是：把角从度化为弧度的方法是： <试一试>：一些特殊角的度数与弧度数的互相转化,请补充完整例1、把下列各角从度化为弧度： (1)0252 （2）0/1115 (3) 030 (4)'3067? 变式练习：把下列各角从度化为弧度： (1)22 o30′ （2）—210o (3)1200o

高一数学教案：4.2弧度制(一)

课题：4.2弧度制（一）教学目的： 1.理解1弧度的角、弧度制的定义. 2.掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算. 3.熟记特殊角的弧度数教学重点：使学生理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算. 教学难点：弧度的概念及其与角度的关系. 授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：讲清1弧度角的定义，使学生建立弧度的概念，理解弧度制的定义，达到突破难点之目的.通过电教手段的直观性，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性.通过周角的两种单位制的度量，得到角度与弧度的换算公式.使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是互相联系的、辩证统一的.进一步加强对辩证统一思想的理解. 教学过程：一、复习引入： 1．角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到另一位置OB ，就形成角α．旋转开始时的射线OA 叫做角α的始边，旋转终止的射线OB 叫做角α的终边，射线的端点O 叫做角α的顶点． ⑵．“正角”与“负角”“0角” 2．度量角的大小第一种单位制—角度制的定义规定周角的3601 作为1°的角，我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制，有了它，可 A B α O 2100 -1500 6600

以计算弧长，公式为 180r n l π= 3．探究 30°、60°的圆心角，半径r 为1，2，3，4，分别计算对应的弧长l ，再计算弧长与半径的比结论：圆心角不变，则比值不变，因此比值的大小只与角的大小有关，我们可以利用这个比值来度量角，这就是另一种度量角的制度——弧度制二、讲解新课： 1．定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad 读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．如下图，依次是1rad ， 2rad ， 3rad ，αrad 探究： ⑴平角、周角的弧度数，（平角=π rad 、周角=2π rad ） ⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 ⑶角α的弧度数的绝对值 r l = α（l 为弧长，r 为半径） ⑷角度制、弧度制度量角的两种不同的方法，单位、进制不同，就像度量长度一样有不同的方法，千米、米、厘米与丈、尺、寸，反映了事物本身不变，改变的是不同的观察、处理方法，因此结果就有所不同 ⑸用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同 2. 角度制与弧度制的换算： ∵ 360?=2π rad ∴180?=π rad ∴ 1?=rad rad 01745.0180 ≈π ' 185730.571801 =≈??? ??=πrad 三、讲解范例：例1 把'3067 化成弧度解： ? ?? ??=2167'3067

2019-2020学年高一数学《112 弧度制》学案.doc

1.1.2 2019-2020学年高一数学《112 弧度制》学案【教学目标】 ① 了解弧度制，能进行弧度与角度的换算. ② 认识弧长公式，能进行简单应用. 【教学重难点】重点：了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算. 难点：弧度的概念及其与角度的关系. 复习案：1.在00~360o 范围内，找出与0 510-终边相同的角，并指出它是第几象限角？新授探究案： 1.提出问题：初中的角是如何度量的？度量单位是什么？1度的角是怎样定义的呢？ 2.定义： (1)长度等于___________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作ra d 。这种以弧度为单位来度量角的制度叫做___________。 (2)正角的弧度数是一个______,负角的弧度数是一个_______,零角的弧度数是______. (3)如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l,那么，角α的弧度数的绝对值是_______. 3．角度制与弧度制如何换算？ 3602π=rad 180π=rad 180 1π=?rad 0.01745≈rad 1rad =?)180(π5718'≈ 归纳：把角从弧度化为度的方法是：把角从度化为弧度的方法是：例1(1)0252 （2）0210- (4) 01200 变式练习：把下列各角从度化为弧度： (1)22 o30′ （2）—160o (3) 0135 例2、把下列各角从弧度化为度：（1）35π (2) 3.5 (3) 2 (4) 4 π

变式练习：把下列各角从弧度化为度：（1）12π （2）—3 4π （3）103π 例3：利用弧度制证明下列关于扇形的公式： 211(1);(2);(3)22 l R s R S lR αα=== 课后练习案： 1、半径变为原来的 12 ，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的倍。 2、若2弧度的圆心角所对的弧长是4cm ，则这个圆心角所在的扇形面积是． 3. 0140_____rad = 07______8rad π= 05______6 rad π= 075____rad = 0390____rad = 06_____5rad π= 4.下列各组角中，终边相同的是（） .2,44 A k k k Z ππππ+±∈与 .,22k B k k Z πππ+∈与 2.2,33 c k k k Z ππππ-+∈与 .(21)3,D k k Z ππ+∈与

高中数学人教版必修4任意角和弧度制教学设计

1.1 任意角和弧度制 1.1.1 任意角整体设计教学分析教材首先通过实际问题的展示,引发学生的认知冲突,然后通过具体例子,将初中学过的角的概念推广到任意角,在此基础上引出终边相同的角的集合的概念.这样可以使学生在已有经验(生活经验、数学学习经验)的基础上,更好地认识任意角、象限角、终边相同的角等概念.让学生体会到把角推广到任意角的必要性,引出角的概念的推广问题.本节充分结合角和平面直角坐标系的关系,建立了象限角的概念.使得任意角的讨论有一个统一的载体.教学中要特别注意这种利用几何的直观性来研究问题的方法,引导学生善于利用数形结合的思想方法来认识问题、解决问题.让学生初步学会在平面直角坐标系中讨论任意角.能熟练写出与已知角终边相同的角的集合,是本节的一个重要任务. 学生的活动过程决定着课堂教学的成败,教学中应反复挖掘“探究”栏目及“探究”示图的过程功能,在这个过程上要不惜多花些时间,让学生进行操作与思考,自然地、更好地归纳出终边相同的角的一般形式.也就自然地理解了集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}的含义.如能借助信息技术,则可以动态表现角的终边旋转的过程,更有利于学生观察角的变化与终边位置的关系,让学生在动态的过程中体会,既要知道旋转量,又要知道旋转方向,才能准确刻画角的形成过程的道理,更好地了解任意角的深刻涵义. 三维目标 1.通过实例的展示,使学生理解角的概念推广的必要性,理解并掌握正角、负角、零角、象限角、终边相同角的概念及表示,树立运动变化的观点,并由此深刻理解推广之后的角的概念. 2.通过自主探究、合作学习,认识集合S中k、α的准确含义,明确终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无限多个,它们相差360°的整数倍.这对学生的终身发展,形成科学的世界观、价值观具有重要意义. 3.通过类比正、负数的规定,让学生认识正角、负角并体会类比、数形结合等思想方法的运用,为今后的学习与发展打下良好的基础. 重点难点教学重点:将0°—360°范围的角推广到任意角,终边相同的角的集合. 教学难点:用集合来表示终边相同的角. 课时安排 1课时教学过程导入新课图1 思路 1.(情境导入)如图1,在许多学校的门口都有摆设的一些游戏机,只要指针旋转到阴影部分即可获得高额奖品.由此发问:指针怎样旋转,旋转多少度才能赢?还有我们所熟悉

人教版高中数学高一A版必修4 弧度制

课后训练 1．若圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( ) A ．扇形面积不变 B ．扇形的圆心角不变 C ．扇形的面积增大到原来的2倍 D ．扇形的圆心角增大到原来的2倍 2．下列转化结果错误的是( ) A ．67°30′化成弧度是3π 8 B ．10π 3-化成度是－600° C ．－150°化成弧度是7π 6- D ．π 12化成度是15° 3．把11π4-表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ的值是( ) A ．3π 4- B ．π 4- C ．π 4 D ．3π 4 4．集合P ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，Q ＝{α|－4≤α≤4}，则P ∩Q ＝( ) A ． B ．{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π} C ．{α|－4≤α≤4} D ．{α|0≤α≤π} 5．用集合表示终边在阴影部分的角α的集合为( ) A ．ππ43αα?? ≤≤???? B ．π5π43αα?? ≤≤???? C ．π π2π2π,43k k k αα?? +≤≤+∈????Z

D． π5π 2π2π, 43 k k k αα ??+≤≤+∈ ???? Z 6．将钟表的分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是__________． 7．若角θ的终边与8π 5 的终边相同，则在[0,2π]内终边与角 4 θ 的终边相同的角是 __________． 8．扇形的周长是16，圆心角是2 rad，则扇形的面积是__________． 9．设两个集合M＝ ππ , 24 k x x k ?? =+∈ ?? ?? Z，N＝ π π, 4 x x k k ?? =-∈ ?? ?? Z，试判断M与 N之间的关系． 10．如图所示的圆中，已知圆心角∠AOB＝2π 3 ，半径OC与弦AB垂直，垂足为点D．若 CD的长为a，求ACB的长及其与弦AB所围成的弓形ACB的面积．

人教a版必修4学案：1.1.2弧度制(含答案)

1.1.2 弧度制自主学习知识梳理 1．角的单位制 (1)角度制：规定周角的________为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． (2)弧度制：把长度等于__________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作________． (3)角的弧度数求法：如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么l ，α，r 之间存在的关系是：__________；这里α的正负由角α的____________________决定．正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个________，零角的弧度数是______． 2 3. 我们已经学习过角度制下的弧长公式和扇形面积公式，请根据“一周角(即360°)的弧度数为2π”这一事实化简上述公式．(设半径为r ，圆心角弧度数为α)．对点讲练知识点一角度制与弧度制的换算例1 (1)把112°30′化成弧度；(2)把－7π 12 化成角度．回顾归纳将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad ＝180° 即可解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以180° π 即可．变式训练1 将下列角按要求转化： (1)300°＝________rad ；(2)－22°30′＝________rad ； (3)8π 5＝________度．知识点二利用弧度制表示终边相同的角例2 把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角：

(1)－1 500°； (2)23π 6 ； (3)－4. 回顾归纳在同一问题中，单位制度要统一．角度制与弧度制不能混用．变式训练2 将－1 485°化为2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式是________．知识点三弧长、扇形面积的有关问题例3 已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？回顾归纳灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r 的二次函数的最值问题．变式训练3 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数． 1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应． 2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad ”这一关系式．易知：度数×π 180 rad ＝弧度数，弧度数×????180π°＝度数． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度. 课时作业一、选择题 1．与30°角终边相同的角的集合是( ) A.???? ?? α|α＝k ·360°＋π6，k ∈Z B ．{α|α＝2k π＋30°，k ∈Z } C ．{α|α＝2k ·360°＋30°，k ∈Z } D.???? ?? α|α＝2k π＋π6，k ∈Z 2．集合A ＝???? ??α|α＝k π＋π2，k ∈Z 与集合B ＝{α|α＝2k π±π 2，k ∈Z }的关系是( ) A ．A ＝ B B ．A ?B C ．B ?A D ．以上都不对 3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )

北师大版高中数学必修四§3 弧度制

§3 弧度制课时目标

1．理解角度制与弧度制的概念，掌握角的不同度量制度，能对弧度和角度进行正确的变换．2．掌握并会应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式． 1．角的单位制 (1)角度制：规定周角的____________为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． (2)弧度制：把长度等于________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作________． (3)角的弧度数求法：如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么l，α，r之间存在的关系是：__________；这里α的正负由角α的______________决定．正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个______，零角的弧度数是____． 2．角度制与弧度制的换算

3设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则一、选择题 1．集合A ＝??????α|α＝k π＋π2，k ∈Z 与集合B ＝???? ??α|α＝2k π±π 2，k ∈Z 的关系是 ( ) A ．A ＝ B B ．A ?B C ．B ?A D ．以上都不对 2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．sin2 C ．2 sin 1 D ．2sin1 3．扇形周长为6cm ，面积为2cm 2 ，则其中心角的弧度数是( ) A ．1或4B ．1或2C ．2或4D ．1或5 4．已知集合A ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B 等于( ) A ．? B ．{α|－4≤α≤π} C ．{α|0≤α≤π} D ．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π} 5．把－11 4π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是( ) A ．π4 B ．－π4 C ．34π D ．－34 π 6．扇形圆心角为π 3 ，半径长为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( )

人教版高中数学必修4作业第2课时弧度制

第2课时弧度制课时目标 1.了解度量角的单位制，即角度制与弧度制． 2．理解弧度制的定义，能够对弧度和角度进行正确的换算．识记强化 1．我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，即用弧度制度量时，这样的圆心角等于1 rad. 2．弧长计算公式：l ＝|α|·r (α是圆心角的弧度数)；扇形面积公式S ＝12l ·r 或S ＝1 2 |α|·r 2(α 是弧度数且0<α<2π)． 3．角度与弧度互化度数 360° 180° 1° (180π )° 弧度数 2π π π180 1 课时作业一、选择题 1．－315°化为弧度是( ) A ．－43π B ．－5π3 C ．－7π4 D ．－76π 答案：C 解析：－315°×π180＝－7π 4 2．在半径为2 cm 的圆中，有一条弧长为π 3 cm ，它所对的圆心角为( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3 答案：A 解析：设圆心角为θ，则θ＝π32＝π 6 . 3．与角－π 6 终边相同的角是( ) A.5π6 B.π3

C.11π6 D.2π3 答案：C 解析：与角－π6终边相同的角的集合为αα＝－π6＋2k π，k ∈Z ，当k ＝1时，α＝－π 6 ＋2π ＝11π 6 ，故选C. 4．下列叙述中正确的是( ) A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧 B ．1弧度是长度为半径的弧 C ．1弧度是1度的弧与1度的角之和 D ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位答案：D 解析：由弧度的定义，知D 正确． 5．已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B 为( ) A ．? B ．{α|－4≤α≤π} C ．{α|0≤α≤π} D ．{α|－4≤α≤－π}∪{α|0≤α≤π} 答案：D 解析：求出集合A 在[－4,4]附近区域内的x 的数值，k ＝0时，0≤x ≤π；k ＝1时，4<2π≤x ≤3π；在k ＝－1时，－2π≤x ≤－π，而－2π＜－4，－π＞－4，从而求出A ∩B . 6．下列终边相同的一组角是( ) A ．k π＋π 2 与k ·90°，(k ∈Z ) B ．(2k ＋1)π与(4k ±1)π，(k ∈Z ) C ．k π＋π6与2k π±π 6，(k ∈Z ) D.k π3与k π＋π 3，(k ∈Z ) 答案：B 解析：(2k ＋1)π与(4k ±1)π，k ∈Z ，都表示π的奇数倍．二、填空题 7．在半径为2的圆中，弧长为4的弧所对的圆心角的大小是________rad. 答案：2 解析：根据弧度制的定义，知所求圆心角的大小为4 2 ＝2 rad. 8．设集合M ＝?????? αα＝k π2－π3，k ∈Z ，N ＝{α|－π<α<π}，则M ∩N ＝________. 答案：???? ??－5 6π，－π3，π6，23π 解析：由－π

高一数学教案[苏教版]弧度制教案

弧度制教学目标： 1.理解弧度制的意义； 2.能正确的应用弧度与角度之间的换算； 3.记住公式||l r α=（l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆半径）。 4．扇形面积公式及其应用，求扇形面积的最值。教学重、难点：1.弧度与角度之间的换算。 2.弧长公式、扇形面积公式的应用。教学过程：一．复习：初中时所学的角度制，是怎么规定1角的？二．新课讲解： 1．弧度角的定义：规定：练习：圆的半径为r ，圆弧长为2r 、3r 、2 r 的弧所对的圆心角分别为多少？说明：一个角的弧度由该角的大小来确定，与求比值时所取的圆的半径大小无关。思考：什么π弧度角？一个周角的弧度是多少？一个平角、直角的弧度分别又是多少？ 2．弧度的推广及角的弧度数的计算：规定：说明：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或rad 经常省略，即只写一实数表示角的度量。 3．角度与弧度的换算 3602π=rad 180π=rad 1801π =?rad 0.01745≈rad 1rad =?)180 (π5718'≈ 例题分析：例1 把'3067?化成弧度．例2 把35 πrad 化成度。

例3 用弧度制分别表示轴线角、象限角的集合。（1）终边落在x 轴的非正、非负半轴，y 轴的非正、非负半轴的角的集合。（2）第一、二、三、四象限角的弧度表示。例4 将下列各角化为2(02,)k k Z πααπ+≤<∈的形式，并判断其所在象限。（1 ）193 π；（2）315-；（3）1485-． 5．一些特殊角的度数与弧度数的对应表： 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° （练习）写出阴影部分的角的集合： 4．在角度制下，弧长公式及扇形面积公式如何表示？圆的半径为r ，圆心角为n 所对弧长为：扇形面积为： 5．弧长公式：在弧度制下，弧长公式和扇形面积公式又如何表示？ 6．扇形面积公式：扇形面积公式为：说明：①弧度制下的公式要显得简洁的多了；

人教版高中数学必修4-1.1《_弧度制》教学设计

《弧度制》教学设计一、教学目标：（一）核心素养通过本节课的学习，了解引入弧度制的必要性，理解弧度制的定义，熟练角度制与弧度制的换算，掌握并运用弧度制的弧长公式和扇形的面积公式；在类比和数学运算过程中，更好的形成弧度的概念，建立角的集合与实数集的一一对应的关系. （二）教学目标 1.“为什么”——为什么要引入弧度制，理解引入弧度制的必要性； 2.“是什么”——弧度是什么，理解弧度的定义； 3.“如何化”——如何进行弧度与角度的转化，掌握弧度与角度之间的相互转化； 4.“怎么用”——如何使用弧度制，学会使用弧度制下的新的弧长与扇形面积公式求解有关问题（三）学习重点 1．理解弧度“是什么”； 2．熟练弧度和角度之间“如何化”； 3．掌握弧度制来计算弧长和扇形面积“怎么用”；（四）学习难点 1．理解弧度“是什么”； 2．理解角的集合与实数之间一一对应的关系二、教学过程（一）课前设计 1．预习任务（1）读一读：阅读教材第6页至第11页．（2）想一想：弧度制是如何定义的？弧度制和角度制之间是如何让转化的？如何将弧度制应用于弧长公式和扇形的面积公式中？ 2．预习自测 =____________ （1）已知圆O的半径为2，弧AB的长为2，则AOB 【答案】1rad．

（2）2π rad =（）A．180° B．200° C．270° D．360° 【答案】D．（3）把50°化为弧度制（）A．50 B．5 18π C．18 5π D．9000π 【答案】B．（4）扇形的圆心角为72°，半径为5，则它的弧长为______，面积为________ 【答案】2π；5π (二)课堂设计 1．知识回顾（1）角的概念的推广；（2）终边相同的角的表示 2．问题探究探究一结合实例，引入弧度制，理解引入弧度制的必要性； ●活动结合实例，引入弧度制有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约270.4公里，但也有人回答约169英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里）显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里. 在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制.

高中数学必修四任意角与弧度制知识点汇总(教师版)

任意角与弧度制知识梳理: 一、任意角和弧度制 1、角的概念的推广定义：一条射线OA 由原来的位置，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α，记作：角α或α∠ 可以简记成α。注意：（1）“旋转”形成角，突出“旋转” （2）“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x 轴正半轴（3）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。例1、若 13590<<<αβ，求βα-和βα+的范围。（0,45）（180,270） 2、角的分类：由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。正角：按照逆时针方向转定的角。零角：没有发生任何旋转的角。负角：按照顺时针方向旋转的角。例2、（1）时针走过2小时40分，则分针转过的角度是-960 （2）将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是3 π． 3、 “象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴。角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。例1、30?；390?；-330?是第象限角 300?；-60?是第象限角 585? ； 1180?是第象限角 -2000?是第象限角。例2、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B=④（填序号）. ①{小于90°的角}②{0°～90°的角}

③ {第一象限的角}④以上都不对（2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（B ） A ．B=A∩C B ．B ∪C= C C ．A ?C D ．A=B=C 例3、写出各个象限角的集合：例4、若α是第二象限的角，试分别确定2α,2 α 的终边所在位置. 解∵α是第二象限的角， ∴k ·360°+90°＜α＜k ·360°+180°（k ∈Z ）. （1）∵2k ·360°+180°＜2α＜2k ·360°+360°（k ∈Z ）， ∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上. （2）∵k ·180°+45°＜ 2α＜k ·180°+90°（k ∈Z ），当k =2n （n ∈Z ）时， n ·360°+45°＜2 α＜n ·360°+90°；当k =2n +1（n ∈Z ）时， n ·360°+225°＜ 2α＜n ·360°+270°. ∴2 α是第一或第三象限的角. 拓展：已知α是第三象限角，问3α是哪个象限的角？ ∵α是第三象限角，∴180°+k ·360°＜α＜270°+k ·360°（k ∈Z ）， 60°+k ·120°＜3 α＜90°+k ·120°. ①当k =3m (m ∈Z )时，可得 60°+m ·360°＜ 3α＜90°+m ·360°（m ∈Z ）. 故3 α的终边在第一象限. ②当k =3m +1 (m ∈Z )时，可得 180°+m ·360°＜ 3α＜210°+m ·360°（m ∈Z ). 故3 α的终边在第三象限. ③当k =3m +2 （m ∈Z ）时，可得 300°+m ·360°＜ 3α＜330°+m ·360°（m ∈Z ）. 故3 α的终边在第四象限.