高等数学下册试卷及答案
高等数学下册试卷及答案
一、填空题（每小题3分，共计24分）
1、 z =
)
0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= . 2、二重积分??
≤++1
||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 .
3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值
为 .
4、设曲线L 的参数方程表示为),
()()(βαψ?≤≤?
?
?==x t y t x 则弧长元素=ds .
5、设曲面∑为
92
2=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++??
∑
ds y x )122（ .
6、微分方程x y
x
y dx dy tan
+=的通解为 . 7、方程04)
4(=-y y 的通解为 . 8、级数∑
∞
=+1)1(1n n n 的和为 .
二、选择题（每小题2分，共计16分）
1、二元函数),(y x f z =在)
,(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在)
,(00y x 处连续；
（B ）
)
,(y x f x '，
)
,(y x f y '在
)
,(00y x 的某邻域内存在；
（C ） y
y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当
0)()(2
2→?+?y x 时，是无穷小；
（D ）0)()(),(),(lim 2
200000
0=?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x .
2、设
),
()(x y
xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 .
3、设Ω：,0,12
2
2
≥≤++z z y x 则三重积分
???Ω
=zdV
I 等于（ ）
（A ）4
???20
20
1
3cos sin π
π
???θdr
r d d ；
（B ）
???20
1
2sin π
π??θdr
r d d ；
（C ）
???ππ
???θ20
2
1
3cos sin dr
r d d ； （D ）
?
??ππ???θ20
1
3cos sin dr
r d d .
4、球面22224a z y x =++与柱面
ax y x 222=+所围成的立体体积V=（ ） （A ）??
-20
cos 20
2244π
θθa dr
r a d ； （B ）??
-2
cos 202244π
θθa dr r a r d ； （C ）
??
-20
cos 20
2248π
θθa dr
r a r d ；
（D ）
??
--22
cos 20
224π
πθθa dr
r a r d .
5、设有界闭区域D 由分段光滑曲线L 所围成，L 取正向，函数),(),,(y x Q y x P 在D 上具有一阶连续
偏导数，则
?=+L
Qdy Pdx )
(
（A ）
????-??D
dxdy x Q y P )(
； （B ）????-??D dxdy x P y Q )(；
（C ）????-??D
dxdy y Q x P )(
； （D ）????-??D dxdy y P x Q )(.
6、下列说法中错误的是（ ）
（A ） 方程
022
=+''+'''y x y y x 是三阶微分方程； （B ） 方程x y dx dy x dx dy y
sin =+是一阶微分方程； （C ） 方程
0)3()2(22232=+++dy y x y dx xy x 是全微分方程； （D ） 方程x y x dx dy 22
1=
+是伯努利方程. 7、已知曲线)(x y y =经过原点，且在原点处的切线与直线062=++y x 平行，而)(x y 满足微分方
程052=+'-''y y y ，则曲线的方程为=y （ ）
（A ）x e x 2sin -； （B ）)2cos 2(sin x x e x -； （C ）)2sin 2(cos x x e x -； （D ）x e x 2sin .
8、设0
lim =∞→n n nu , 则∑∞
=1n n
u
（ ）
（A ）收敛； （B ）发散； （C ）不一定； （D ）绝对收敛. 三、求解下列问题（共计15分）
1、（7分）设g f ,均为连续可微函数.)(),,(xy x g v xy x f u +==，
求y u x u ????,.
2、（8分）设
?
+-=t
x t
x dz
z f t x u )(),(，求t u x u ????,
.
四、求解下列问题（共计15分）.
1、计算=I ?
?-20
2
2
x
y dy
e dx .（7分）
2、计算
???Ω
+=dV
y x I )(22，其中Ω是由
x 21,222===+z z z y 及所围成的空间闭区域（8分）. 五、（13分）计算
?
+
+-=L y x ydx
xdy I 22，其中L 是xoy 面上的任一条无重点且分段光滑不经过原点)
0,0(O 的封闭曲线的逆时针方向.
六、（9分）设对任意)(,,x f y x 满足方程
)()(1)
()()(y f x f y f x f y x f -+=
+，且)0(f '存在，求)(x f .
七、（8分）求级数∑∞
=++--1
1
212)2()1(n n n
n x 的收敛区间.
高等数学（下册）考试试卷（二）
一、填空题（每小题3分，共计24分）
1、设z y x z y x 32)32sin(2-+=-+，则=
??+??y z x z .
2、=+-→→xy
xy y x 93lim 00 .
3、设
??
=20
2),(x x
dy
y x f dx I ，交换积分次序后，=I .
4、设)(u f 为可微函数，且,0)0(=f 则
??
≤+→=
++
2
22)(1
lim 223
t y x t d y x f t σπ .
5、设L 为取正向的圆周
422=+y x ，则曲线积分 ?
=
-++L
x x dy x ye dx ye y )2()1( .
6、设→
→
→
+++++=k xy z j xz y i yz x )()()(2
2
2
，则=div .
7、通解为x
x e c e c y 221-+=的微分方程是 .
8、设
??
?<<<≤--=π
πx x x f 0,10,1)(，则它的Fourier 展开式中的
=
n a .
二、选择题（每小题2分，共计16分）.
1、设函数??
???=+≠++=0
,00,),(22224
22
y x y x y
x xy y x f ,则在点（0，0）处（ ） （A ）连续且偏导数存在； （B ）连续但偏导数不存在； （C ）不连续但偏导数存在； （D ）不连续且偏导数不存在. 2、设),(y x u 在平面有界区域D 上具有二阶连续偏导数，且满足
02≠???y x u 及 +??22x u 022=??y u ，
则（ ）
（A ）最大值点和最小值点必定都在D 的内部； （B ）最大值点和最小值点必定都在D 的边界上；
（C ）最大值点在D 的内部，最小值点在D 的边界上； （D ）最小值点在D 的内部，最大值点在D 的边界上. 3、设平面区域D ：1)1()2(2
2
≤-+-y x ，若??+=D
d y x I σ
21)(，
??+=D
d y x I σ
32)(
则有（ ）
（A ）21I I <； （B ） 21I I =； （C ）21I I >； （D ）不能比较. 4、设Ω是由曲面1,,===x x y xy z 及0=z 所围成的空间区域，则
???Ω
dxdydz z xy 32 =（ ）
（A ）3611； （B ）3621； （C ）3631 ； （D ）3641
.
5、设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为?
?
?==)()(t y t x ψ? )(βα≤≤t ，其中)(),(t t ψ?在],[βα上具有一阶连续导数，且0)()(22≠'+'t t ψ?， 则曲线积分?=
L ds y x f ),(（ ）
(A)
?β
α
ψ?dt
t t f ))(),((； (B)
?'+'α
β
ψ?ψ?dt t t t t f )()())(),((22 ；
(C) ?'+'β
α
ψ?ψ?dt
t t t t f )()())(),((22； (D)?α
β
ψ?dt t t f ))(),((.
6、设∑是取外侧的单位球面
12
22=++z y x ， 则曲面积分 ??∑
++zdxdy
ydzdx xdydz =（ ）
(A) 0 ； (B) π2 ； (C)π ； (D)π4.
7、下列方程中，设21,y y 是它的解，可以推知21y y +也是它的解的方程是（ ）
(A) 0)()(=++'x q y x p y ； (B) 0)()(=+'+''y x q y x p y ；
(C) )()()(x f y x q y x p y =+'+''； (D) 0)()(=+'+''x q y x p y .
8、设级数∑∞
=1
n n
a
为一交错级数，则（ ）
(A)该级数必收敛； (B)该级数必发散；
(C)该级数可能收敛也可能发散； (D)若
)
0(0→→n a n ，则必收敛.
三、求解下列问题（共计15分）
1、（8分）求函数
)ln(2
2z y x u ++=在点A （0，1，0）沿A 指向点B （3，-2，2）
的方向的方向导数.
2、（7分）求函数
)4(),(2
y x y x y x f --=在由直线0,0,6===+x y y x 所围成的闭区域D 上的最大值和最小值.
四、求解下列问题（共计15分）
1、（7分）计算
???
Ω
+++=3)1(z y x dv
I ，其中Ω是由0,0,0===z y x 及1=++z y x 所围成的立体
域.
2、（8分）设)(x f 为连续函数，定义
???Ω
++=dv
y x f z t F )]([)(222，
其中{
}2
2
2
,0|),,(t y x h z z y x ≤+≤≤=Ω，求dt dF
. 五、求解下列问题（15分） 1、（8分）求
?-+-=L
x x dy
m y e dx my y e I )cos ()sin (，其中L 是从A （a ，0）经2
x ax y -=到
O （0，0）的弧. 2、（7分）计算
??∑
++=dxdy
z dzdx y dydz x I 222，其中∑是
)0(2
22a z z y x ≤≤=+ 的外侧. 六、（15分）设函数)(x ?具有连续的二阶导数，并使曲线积分
?
'++-'L
x dy
x ydx xe x x )(])(2)(3[2???与路径无关，求函数)(x ?.
高等数学（下册）考试试卷（三）
一、填空题（每小题3分，共计24分）
1、设?=yz
xz
t dt
e u 2
， 则=??z u .
2、函数)2sin(),(y x xy y x f ++=在点（0，0）处沿)2,1(=的方向导数
)
0,0(l
f ??= .
3、设Ω为曲面0,12
2=--=z y x z 所围成的立体，如果将三重积分
???Ω
=dv
z y x f I ),,(化为先对z
再对y 最后对x 三次积分，则I= .
4、设),(y x f 为连续函数，则=
I ??=
+
→D t d y x f t σπ),(1
lim 2
，其中2
22:t y x D ≤+.
5、?=+L
ds y x )(22 ，其中222:a y x L =+.
6、设Ω是一空间有界区域，其边界曲面Ω?是由有限块分片光滑的曲面所组成，如果函数
),,(z y x P ，),,(z y x Q ，),,(z y x R 在Ω上具有一阶连续偏导数，则三重积分与第二型曲面积分之
间有关系式： ， 该关系式称为 公式.
7、微分方程96962+-=+'-''x x y y y 的特解可设为=*
y . 8、若级数∑∞
=--11)1(n p
n n 发散，则p .
二、选择题（每小题2分，共计16分）
1、设),(b a f x '存在，则x b x a f b a x f x )
,(),(lim
0--+→=（ ）
（A ）),(b a f x '；（B ）0；（C ）2),(b a f x '；（D ）21
)
,(b a f x '.
2、设2
y
x z =，结论正确的是（ ）
（A ）022>???-???x y z y x z ； （B ）0
22=???-???x y z
y x z ；
（C ）022
y x z .
3、若),(y x f 为关于x 的奇函数，积分域D 关于y 轴对称，对称部分记为21,D D ，),(y x f 在D 上连
续，则
??=
D
d y x f σ),(（ ）
（A ）0；（B ）2??1
),(D d y x f σ
；（C ）4??1
),(D d y x f σ
； (D)2??2
),(D d y x f σ
.
4、设Ω：2
2
2
2
R z y x ≤++，则
???Ω
+dxdydz
y x
)(22
=（ ）
（A ）538R π； （B ）534R π； （C ）5158R π； （D ）51516R
π.
5、设在xoy 面内有一分布着质量的曲线L ，在点),(y x 处的线密度为),(y x ρ，则曲线弧Ｌ的重心的x
坐标x 为（ ）
（Ａ）x =?L ds
y x x M
),(1
ρ； （B ）x =?L dx y x x M ),(1
ρ；
（C ）x =?L ds y x x ),(ρ； （D ）x =?L xds M 1
, 其中M 为曲线弧Ｌ的质量.
６、设∑为柱面
12
2=+y x 和1,0,0===z y x 在第一卦限所围成部分的外侧，则 曲面积分
??∑
++ydxdz x xzdydz zdxdy y 22＝（ ）
（A ）0； （B ）4π-
； （C ）245π； （D ）4π.
７、方程)(2x f y y ='-''的特解可设为（ ）
（A ）A ，若1)(=x f ； （B ）x Ae ，若x e x f =)(；
（C ）E Dx Cx Bx Ax ++++2
34，若x x x f 2)(2-=； （D ）)5cos 5sin (x B x A x +，若x x f 5sin )(=.
８、设
??
?≤<<≤--=ππx x x f 010,
1)(，则它的Fourier 展开式中的n a 等于（ ） （A ）]
)1(1[2n n --π； （B ）0； （C ）πn 1； （D ）πn 4.
三、（１２分）设
t
t x f y ),,(=为由方程 0),,(=t y x F 确定的y x ,的函数，其中F f ,具有一阶连续偏
导数，求
dx dy
.
四、（８分）在椭圆
442
2=+y x 上求一点，使其到直线0632=-+y x 的距离最短. 五、（８分）求圆柱面y y x 22
2=+被锥面22y x z +=和平面0=z 割下部分的面积Ａ.
六、（１２分）计算??∑=xyzdxdy I ，其中∑为球面
12
22=++z y x 的0,0≥≥y x 部分 的外侧.
七、（10分）设x
x d x df 2sin 1)(cos )
(cos +=，求)(x f .
八、（10分）将函数
)1ln()(3
2x x x x f +++=展开成x 的幂级数.
高等数学（下册）考试试卷（四）
一、填空题（每小题3分，共计24分）
1、由方程
22
22=+++z y x xyz 所确定的隐函数),(y x z z =在点（1，0，-1）处的全微分
=dz .
2、椭球面
632222=++z y x 在点（1，1，1 ）处的切平面方程是 . 3、设D 是由曲线2,2
+==x y x y 所围成，则二重积分
??=
+=D
dxdy x I )1(2 .
4、设Ω是由
4,0,42
2===+z z y x 所围成的立体域，则三重积分 ???Ω
+=dv
y x I )(22= .
5、设∑是曲面22y x z +=介于1,0==z z 之间的部分，则曲面积分
??∑
=
+=ds y x I )(22 .
6、???
?=++=++=
22222z y x a z y x ds x .
7、已知曲线)(x y y =上点M(0,4)处的切线垂直于直线052=+-y x ，且)(x y 满足微分方程
02=+'+''y y y ，则此曲线的方程是 .
8、设)(x f 是周期T=π2的函数，则)(x f 的Fourier 系数为 .
二、选择题（每小题2分，共计16分）
1、函数xy
x y
z +=arcsin 的定义域是（ ）
（A ）{}0,|),(≠≤x y x y x ； （B ）
{}
0,|),(≠≥x y x y x ；
（C ）
{}0,0|),(≠≥≥x y x y x {}0,0|),(≠≤≤x y x y x Y ；
（D ）{}{}0,0|),(0,0|),(<<>>y x y x y x y x Y .
2、已知曲面224y x z --=在点P 处的切平面平行于平面0122=-++z y x ，则点P 的坐标是
（ ）
（A ）（1，-1，2）； （B ）（-1，1，2）；（C ）（1，1，2）； （D ）（-1，-1，2）.
3、若积分域D 是由曲线2x y =及2
2x y -=所围成，则??D
d y x f σ
),(=（ ）
（A ）
??--2
2211),(x x dy y x f dx ； （B ）
?
?--2
2211
),(x
x dy
y x f dx ；
（C ）
?
?
-y y
dx
y x f dy 210
),(； （D ）
??
--1
1
2),(2
2
dx
y x f dy x x .
4、设;0,:22221≥≤++Ωz R z y x
0,0,0,:2
2222≥≥≥≤++Ωz y x R z y x ， 则有（ ） （A ）
??????ΩΩ=1
2
4xdv
xdv ； （B ）
??????ΩΩ=1
2
4ydv
ydv ；
（C ）
??????ΩΩ=1
2
4xyzdv
xyzdv ； （D ）
??????ΩΩ=1
2
4zdv
zdv .
5、设∑为由曲面
2
2y x z +=及平面1=z 所围成的立体的表面，则曲面积分
??∑
+ds y x )(22=
（ ）
（A ）π221+； （B ）2π
； （C ）π22； （D ）0 . ６、设∑是球面2222a z y x =++表面外侧，则曲面积分
??∑
++dxdy
z dzdx y dydz x 3
33＝（ ）
（A ）3512a π； （B ）5512a π； （C ）554a π； （D ）5
512a π-.
７、一曲线过点(e,1)，且在此曲线上任一点),(y x M 的法线斜率
x y x x
x k ln ln +-
=，则此曲线方程为（ ）
（A ）)ln(ln x x e x y +=
； （B ）x x e x
y ln +=；
（C ）)ln(ln x x ex y +=； （D ）)
ln(ln x e x
y +=.
８、幂级数∑∞
=+1
)1(n n
x
n 的收敛区间为（ ）
（A ）（-1，1）； （B ）),(+∞-∞； （C ）（-1，1）； （D ）[-1，1].
三、（１０分）已知函数
)
()(x y
xg y x yf u +=，其中g f ,具有二阶连续导数，求 y x u y
x
u x ???+??222的值. 四、（１０分）证明：曲面
)0(3
>=c c xyz 上任意点处的切平面与三坐标面所围成立体的体积为一定值.
五、（１４分）求抛物面224y x z ++=的切平面π，使得π与该抛物面间并介于柱面
1)1(22=+-y x 内部的部分的体积为最小.
六、（１０分）计算
?-++=L
x x dy
x y e dx y y e I )cos ()sin (，其中Ｌ为2
4x y --=由Ａ（２，
０）至Ｂ（－２，０）的那一弧段.
七、（８分）求解微分方程
2
12
y y y '-+
''=0 .
八、（８分）求幂级数∑
∞
=1n n
n x 的和函数)(x S .
高等数学（下册）考试试卷（五）
一、填空题（每小题3分，共计24分）
1、设),(y x f z =是由方程
0=+----x
y z xe x y z 所确定的二元函数，则 =dz .
２、曲线?
?
?=-+-=-++0453203222z y x x z y x 在点（１，１，１）处的切线方程是 .
３、设Ω是由
1222≤++z y x ，则三重积分???Ω
dv
e z
＝ .
４、设)(x f 为连续函数，m a ,是常数且0>a ，将二次积分
?
??-a y
x a m dx
x f e dy 0
)()(
化为定积分为 .
５、曲线积分
?+)
(AB L Qdy
Pdx 与积分路径)(AB L 无关的充要条件为 .
６、设∑为2
22y x a z --=，则??
∑
=++ds z y x )(2
22 .
７、方程x
e y y 23=+'的通解为 .
８、设级数∑∞
=1n n
a
收敛，∑∞
=1n n
b
发散，则级数∑∞
=+1
)
(n n n
b a
必是 .
二、选择题（每小题2分，共计16分）
１、设??
???=≠+=)
0,0(),(,0)0,0(),(,),(2
22y x y x y
x y
x y x f ，在点（０，０）处，
下列结论（ ）成立.
（Ａ）有极限，且极限不为0； （Ｂ）不连续； （Ｃ）
)0,0()0,0(='='y x f f ； （Ｄ）可微.
２、设函数),(y x f z =有222=??y f
，且1)0,(=x f ，x x f y =')0,(，则),(y x f =（ ）
（Ａ）21y xy +-； （Ｂ）21y xy ++； （Ｃ）221y y x +-； （Ｄ）2
21y y x ++.
３、设Ｄ：412
2≤+≤y x ，f 在D 上连续，则??+D
d y x f σ
)(
22在极坐标系中等于（ ）
（Ａ）
dr
r rf ?2
1)(2π； （Ｂ）
dr
r rf ?2
1
2)(2π；
（Ｃ）
??-10
220
2]
)()([2dr r f r dr r f r π； （Ｄ）
??-10
22
2
]
)()([2dr r rf dr r rf π.
４、设Ω是由0,0,0===z y x 及12=++z y x 所围成，则三重积分
???Ω
=)
(
),,(dv z y x xf
（Ａ）
?
?
?---y x y
dy
z y x xf dz dx 210
210
10
),,(；
（Ｂ）
?
??--y
x dz
z y x xf dy dx 210
10
10),,(； （Ｃ）
?
?
?---y x x
dz
z y x xf dy dx 210
210
10
),,(；
（Ｄ）
???
10
1
10
),,(dz
z y x xf dy dx .
５、设∑是由1,11,0,0,0======z y x z y x 所围立体表面的外侧，则曲面积分 ??∑=++)
(
zdxdy ydzdx xdydz
（Ａ）0； （Ｂ）1； （Ｃ）3； （Ｄ）2. ６、以下四结论正确的是（ ）
（Ａ）
???≤++=++2
2225
22234)(a z y x a dv z y x π；
（Ｂ） ()
;
44222
2
222
a ds z y x
a z y x
π=++??=++
（Ｃ）
??
=++=++外侧
22224
2224)(a z y x a dxdy z y x π；
（Ｄ） 以上三结论均错误.
７、设)(x g 具有一阶连续导数，1)0(=g .并设曲线积分?-L
dy
x g xdx x yg )(tan )( 与积分路径
无关，则
?=-)
4,4()
0,0()
()(tan )(π
πdy x g xdx x yg
（Ａ）π22； （Ｂ）π22-； （Ｃ）π82； （Ｄ）π82-. ８、级数∑∞
=---11
12)1(n n n 的和等于（ ）
（Ａ）2/3；（Ｂ）1/3； （Ｃ）1； （Ｄ）3/2.
三、求解下列问题（共计１５分）
１、（８分）设,z
y
x u =求y u x u ????,z u ??.
２、（７分）设
)
,(z y y x f u =，f 具有连续偏导数，求du . 四、求解下列问题（共计１５分）
１、（８分）计算??
++=D d y f x f y bf x af I σ)()()
()(，其中2
22:R y x D ≤+.
２、（７分）计算???Ω+++=dv z y x I )1(，其中2
222:R z y x ≤++Ω.
五、（１５分）确定常数λ，使得在右半平面0>x 上，
?
+-+L
dy
y x x dx y x xy λλ)()(224224与积分路径无关，并求其一个原函数),(y x u .
六、（８分）将函数3
)1(1)(x x
x f -+=
展开为x 的幂级数. 七、（７分）求解方程096=+'-''y y y .
高等数学（下册）考试试卷（一）参考答案
一、1、当10<a 时，
12
2≥+y x ； 2、负号； 3、
23;110????-+=D
y
e e y dx dy d σ； 4、dt
t t )()(22ψ?'+'；
5、180π；
6、
Cx x y
=sin
；
7、
x
x
e C e C x C x C y 2423212sin 2cos -
+++=； 8、1；
二、1、D ； 2、D ； 3、C ； 4、B ； 5、D ； 6、B ； 7、A ； 8、C ；
三、1、21f y f x u '
+'=??；)(xy x g x y u +'=??；
2、)()(t x f t x f x u --+=??；)()(t x f t x f t u -++=??；
四、1、)1(21420200220222-----===?????e dy ye dx e dy dy e dx y y y x y ；
2、??
??
??=
+=
π
π
πθθ202
021202
2132233142r dz r dr d dz r dr d I
柱面坐标
；
五、令2222,y x x Q y x y P +=+-=则
x Q
y x x y y P ??=+-=??2
2222)(，)0,0(),(≠y x ； 于是①当L 所围成的区域D 中不含O （0，0）时，x Q y P ????,
在D 内连续.所以由Green 公式得：
I=0；②当L 所围成的区域D 中含O （0，0）时，
x Q y P ????,在D 内除O （0，0）外都连续，此时作曲线+l 为
)10(222<<=+εεy x ，逆时针方向，并假设*D 为+L 及-l 所围成区域，则 π
ε2)(2
22*=+??-??+=+-=????????=+++-++++y x D l l L l l L dxdy y P
x Q Green I 公式
六、由所给条件易得：
0)0()0(1)
0(2)0(2
=?-=
f f f f
又x x f x x f x f x ?-?+='→?)
()(lim
)(0 =x x f x f x f x f x f x ?-?-?+→?)
()()(1)
()(lim 0 x f x f x f x f x f x ?-???-+=→?)
0()()()(1)(1lim 20
)](1)[0(2x f f +'= 即 )0()(1)
(2
f x f x f '=+' c x f x f +?'=∴)0()(arctan 即 ])0(tan[)(c x f x f +'= 又 0)0(=f 即Z k k c ∈=,π ))0(tan()(x f x f '=∴
七、令t x =-2，考虑级数∑∞
=++-1
1
212)1(n n n
n t Θ2
1
23
21232lim t n t n t n n n =++++∞→ ∴当
12
1 当 1 当1-=t 即1=x 时，级数∑∞ =++-1 1 121 )1(n n n 收敛； 当1=t 即3=x 时，级数∑∞ =+-1 121 )1(n n n 收敛； ∴级数的半径为R=1，收敛区间为[1，3]. 高等数学（下册）考试试卷（二）参考答案 一、1、1； 2、-1/6； 3、 ???? +20 2 /42 22 /),(),(y y y dx y x f dy dx y x f dy ； 4、)0(32 f '； 5、π8-； 6、)(2z y x ++； 7、02=-' +''y y y ； 8、0； 二、1、C ； 2、B ； 3、A ； 4、D ； 5、C ； 6、D ； 7、B ； 8、C ； 三、1、函数 )ln(2 2z y x u ++=在点A （1，0，1）处可微，且 ) 1,0,1(2 21z y x x u A ++= ??2/1=； 1) 1,0,1(2 2 2 2 =+? ++= ??z y y z y x y u A ； 2 /11) 1,0,1(2 2 2 2 =+?++= ??z y z z y x z u A 而),1,2,2(-==所以 ) 31,32,32(-=οl ,故在A 点沿=方向导数为： =??A l u A x u ??αcos ?+A y u ??βcos ?+A z u ??γcos ? . 2/131 21)32(03221=?+-?+?= 2、由???? ?=--==-+--='0)24(0)1()4(22y x x f xy y x xy f y x 得D 内的驻点为),1,2(0M 且4)1,2(=f ， 又0)0,(,0),0(==x f y f 而当0,0,6≥≥=+y x y x 时，)60(122),(2 3≤≤-=x x x y x f 令 0)122(2 3='-x x 得4,021==x x 于是相应2,621==y y 且.64)2,4(,0)6,0(-==f f ),(y x f ∴在D 上的最大值为4)1,2(=f ，最小值为.64)2,4(-=f 四、1、Ω的联立不等式组为??? ??--≤≤-≤≤≤≤Ωy x z x y x 101010: 所以?? ? ---++++=1 010103)1(x y x z y x dz dy dx I ??--++=x dy y x dx 10210]41 )1(1[21 ?- =--+=101652ln 21)4311(2 1dx x x 2、在柱面坐标系中 ? ??+=π θ20 002 2 )]([)(t h rdz r f z dr d t F ?+=t dr r h r r hf 0 32 ]31)([2π 所以 ]31)([232t h t t hf dt dF +=π] 31 )([222h t f ht +=π 五、1、连接→ OA ，由Green 公式得： ? ? ? -+=OA OA L I ? ? -=+OA OA L ??= ≥≤+++-0 ,220 )cos cos (y ax y x x x Green dxdy m y e y e 公式 281 a m π= 2、作辅助曲面???≤+=∑2 22 1:a y x a z ，上侧，则由Gauss 公式得： ?? ∑ =I +??∑1 ?? ∑-1 =?? ??∑∑+∑-1 1 =??? ??≤≤≤+≤+- ++a z z y x a y x dxdy a dxdydz z y x 0,2 2222 22)(2 = ??? ≤+-a z y x a zdxdy dz 4 2 222π 4 04321 2a a dz z a πππ-=-=? 六、由题意得：)()(2)(32x xe x x x ???''=+-' 即x xe x x x 2)(2)(3)(=+'-''??? 特征方程0232 =+-r r ，特征根2,121==r r 对应齐次方程的通解为：x x e c e c y 221+= 又因为2=λ是特征根.故其特解可设为：x e B Ax x y 2*)(+= 代入方程并整理得： 1 ,2 1 -== B A 即 x e x x y 2*)2(21 -= 故所求函数为： x x x e x x e c e c x 2221)2(2 1 )(-++=? 高等数学（下册）考试试卷（三）参考答案 一、1、2 222z x z y xe ye -； 2、5； 3、???------1 111102 22 2),,(x x y x dz z y x f dy dx ； 4、 3 25);0,0(a f π、； 6、 ?????+ Ω?Ω++=??+??+??Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z R y Q x P )(， Gauss 公式； 7、C Bx Ax ++2 8、0≤P . 二、1、C ； 2、B ； 3、A ； 4、C ； 5、A ； 6、D ； 7、B ； 8、B 三、由于 dt t x f dx t x f dy t x ),(),('+'=， ='+'+'dt F dy F dx F t y x 由上两式消去dt ，即得： y t t x t t x F f F F f F f dx dy ' '+'''-'?'= 四、设),(y x 为椭圆 442 2=+y x 上任一点，则该点到直线0632=-+y x 的距离为 13326y x d --= ；令 )44()326(2 22-++--=y x y x L λ，于是由： ? ?? ??=-+==+---==+---=04408)326(60 2)326(422y x L y y x L x y x L y x λλλ 得条件驻点： ) 53,58(),53,58(),53,58(),53,38(4321----M M M M 依题意，椭圆到直线一定有最短距离存在，其中 1313 13 3261 min = --= M y x d 即为所求. 五、曲线?????=++=y y x y x z 22222在yoz 面上的 投影为?? ?=≤≤=0)0(22x z y y z 于是所割下部分在yoz 面上的投影域为： ???? ?≤≤≤≤y z y D yz 2020:， y 由图形的对称性，所求面积为第一卦限部分的两倍 σd z x y x A yz D ????+??+=22)()( 12 x ?? ?? =-=-=yz D y y y dz dy y y dydz 21 20 2 2 8 2222 六、将∑分为上半部分2211:y x z --=∑和下半部分2 221:y x z ---=∑， 21,∑∑在面 xoy 上的投影域都为： ,0,0,1:22≥≥≤+y x y x D xy 于是： ???? ∑--=1 221dxdy y x xyzdxdy xy D 151 1cos sin 2 01 022= ?-?= ??ρρρθθρθπ d d 极坐标 ； ????∑=----=2151))(1(2 2dxdy y x xy xyzdxdy xy D ， ?? ??∑∑+=∴2 1 I =152 七、因为x x d x df 2sin 1)(cos ) (cos ==，即 x x f 2 sin 1)(cos +=' 所以2 2)(x x f -=' c x x x f +-=∴331 2)( 八、 )1ln()1ln()]1)(1ln[()(2 2x x x x x f +++=++=Θ 又] 1,1(,)1()1ln(11-∈-=+∑∞ =-u u n u n n n ∴∑∑∞ =∞=---∈-+-=11211] 1,1(,)1()1()(n n n n n n x x n x n x f ∑∞ =--∈+-=11] 1,1(),1()1(n n n n x x x n 高等数学（下册）考试试卷（四）参考答案 一、1、dy dx 2-；2、632=++z y x ； 3、20153 ； 4、π32； 5、π 22； 6、332a π； 7、x e x y -+=)2(2； 8、 ?- = π π πdx x f a 22) (1 0； Λ Λ,,2,1cos )(1 n k kxdx x f a k ==?- π ππ Λ Λ,,2,1sin )(1 n k kxdx x f b k == ?- π ππ 二、1、C ； 2、C ； 3、A ； 4、D ； 5、A ； 6、B ； 7、A ； 8、C 三、) ()()(x y g x y x y g y x f x u '-+'=??Θ )()()(12222x y g x y x y g x y y x f y x u '+'-''=??∴)(32x y g x y ''+ = )(1y x f y '')(32x y g x y ''+ )(1)(1)(22x y g x x y g x y x f y x y x u '-'+''-=???)(2x y g x y ''- )(2y x f y x ''-=) (2x y g x y ''- 故0 222=???+??y x u y x u x 四、设),,(000z y x M 是曲面03 =-=c xyz F 上的任意点，则3000c z y x =， 在该点处的法向量为： ='''=M z y x F F F ),,(,(00z y ,00x z )00y x , (03x c =,03y c )0 3 z c )1,1,1(0003z y x c = 于是曲面在M 点处的切平面方程为：)(100x x x -+)(100y y y -+)(100z z z -=0 即03x x +03y y +03z z =1 因而该切平面与三坐标面所围成的立体的体积为： 300000029 2933361c z y x z y x V ==??= 这是一个定值，故命题得证. 五、由于介于抛物面224y x z ++=，柱面 1)1(2 2=+-y x 及平面0=z 之间的立体体积为定值，所以只要介于切平面π，柱面1)1(2 2=+-y x 及平面0=z 之间的立体体积V 为最大即可. 设π与2 24y x z ++=切于点),,(000z y x P ，则π的法向量为 )1,2,2(00-=y x n ，且2 02004y x z ++=，切平面方程为：0)()(2)(200000=---+-z z y y y x x x 即 2 2000422y x y y x x z --++= 于是? ??- ≤+---++= 22 2 020001 )1()4sin 2cos 222π π ρ θρθρρσd y x y x zd V y x （极坐标 ) 42(2 0200y x x --+=π 则由?????? ?-=??=-=??0 00020)22(y y V x x V ππ，得驻点（1，0） 且. 5,50)0,1(==z V π 由于实际问题有解，而驻点唯一，所以当切点为（1，0，5）时，题中所求体积为最小.此时的切平面π 为：32+=x z 六、联接，并设由L 及所围成的区域为D ，则 ??? ? ? ? ? ------=-+=+D x x BA BA L BA BA L dxdy y e y e Green I 0 )1cos 1cos (公式 π π4221 22=??= 七、令)(y z y ='，则 dy dz z y =''，于是原方程可化为：0 122 =-+z y dy dz z 即012=-+y dy dz ，其通解为2112 1)1(-=?=--y c e c z dy y 21)1(-=∴y c dx dy 即dx c y dy 12)1(=- 故原方程通解为：2 11 1c x c y +- = 八、易求得该幂级数的收敛区间为).1,1(- )1,1(-∈?x ，令∑∞ ==1)(n n n x x S ，则)()(1'='∑∞=n n n x x S x x n n -= =∑∞ =-11 1 1 注意到0)0(=S ，=∴)(x S ??--=-='x x x x dx dx x S 00)1ln(1)( 高等数学（下册）考试试卷（五）参考答案 一、1、x y z x y z xe dy xe dx ----+++1)1(；2、1191161--=-=-z y x ；3、π2；4、?--a x a m dx x a x f e 0) ())((； 5、对任意闭曲线l ，?=+l Qdy Pdx 0或x Q y P ??=??或),,(y x u ?使得Qdy Pdx du +=； 6、4 2a π； 7、x x e ce y 2351+=-； 8、发散 二、1、C ； 2、B ； 3、A ； 4、C ； 5、C ； 6、B ； 7、D ； 8、A 三、1、1-=??z y z x y x u ；x z y x y u z y z ln 1-=??；y x x y z u z y z ln ln ?=?? 2、22212111f z y z u f z f y x y u f y x u '-=??'+'-=??'=??Θ =??+??+??= ∴dz z u dy y u dx x u du dz f z y dy f z f y x dx f y 222121)1(1'-'+'-+'. 四、1、因为积分域D 关于x y =对称，所以 σ σd x f y f x bf y af d y f x f y bf x af I D D ???? ++=++=)()() ()()()()()( 故] )()()()()()()()([21σσd x f y f x bf y af d y f x f y bf x af I D D ????+++++= = ??+=+D R b a d b a 2 )(21)(21πσ； 2、 ?????????Ω Ω Ω ++++++=yzdV dV z y x dV z y x I 2)1(2)(222 + ???Ω ydV 2???Ω +zdV 2???Ω +dV 因为Ω关于三个坐标轴都对称，而z y x zx yz xy 2,2,2,2,2,2都（至少）关于某个变量为奇函数，故以这些项为被积函数的三重积分都等于0.于是： dV dV z y x I ??????ΩΩ+++=)(2223 234 3R dV z π+=???Ω ) 1(34 346233202 222R R R dxdy z dz z R y x R +=+=???-≤+ππ. 五、令λ λ )(,)(224 2 24 y x x Q y x xy P +-=+= 则 124224)(4)(2-+++=??λλλy x xy y x x y P ，1 24524)(4)(2-+-+-=??λλλy x x y x x x Q 由已知条件得y P x Q ??=??，即有 0)1)((2 4=++λy x ，所以1-=λ 所求的一个原函数为 ： dy y x x dx y x xy y x u y x 242 ) ,()0,1(242),(+-+=? ??-=+-=y x x y dy y x x dx 02242 1arctan 0 六、易知2 333)1(1 )1(2)1()1(2)1(1x x x x x x ---=---=-+ 又)11(11 0<<-=-∑∞ =x x x n n ∑∞ =-='-=-∴1 1 2 )11()1(1n n nx x x ∑∑∞ =-∞=-+=-='-=-1122 2 3)1()1())1(1()1(1n n n n nx n x n n x x -+=-+∴∑∞ =-113 )1()1(1n n nx n x x ∑∞ =-1 1 n n nx ∑∞ =-=1 1 2n n x n ， 其中 )11(<<-x 七、方程的特征方程为：0962 =+-r r ，其特征根为321==r r ， 故方程的通解为：x e x c c y 321)(+= 高等数学（下册）试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示 为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ； 1 第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 （本大题共16小题，总计80分） （本小题5分） 3 求极限 lim 一3x - x 2 2x 3 （本小题5分） 求 X 2 2 dx. （1 x ） （本小题5分） （本小题5分） 设函数y y （x ）由方程y 5 in y 2 x 6 所确定，求鱼. dx （本小题5分） 求函数y 2e x e x 的极值 （本小题5分） 2 2 2 2 求极限lim & ° （2x ° （3x ° 辿」 x （10x 1）（11x 1） （本小题5分） cos2x d x. sin xcosx 二、解答下列各题 （本大题共2小题，总计14分） 3 . ---------- 求 x . 1 xdx . 5 sin x , 2—dx. 0 8 sin 2 x （本小题5分） 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、 15、 16、 x 2的单调区间 设 x(t) e kt (3cos 4sin t), 求 dx . 12x 16 9x 2 12x .1 arcs in x 求极限 limarctan x x （本小题5分） 求—^dx. 1 x （本小题5分） 求—x .1 t 2 dt . dx 0 （本小题5分） 求 cot 6 x esc 4 xdx. （本小题5分） 求-1 1 , 求 cos dx. x x 5分） ［曲2确定了函数y es int 5分） （本小题 设 x y （本小 y(x),求乎 dx （本大题6分） 设f （x ） x （x 1）（ x 2）（ x 3）,证明f （x ） 0有且仅有三个实根 一学期期末高数考试（答案） 、解答下列各题 （本大题共16小题，总计77分） 1、（本小题3分） lim 」^ x 2 12x 18 2、（本小题3分） (1 2 1 d(1 x ) 2 (1 x 2)2 1 1 2 1 x 2 3、（本小题3分） 故 limarctan x 4、（本小题3分） dx dx 」 dx dx 1 x x In 1 x c. 5、 (本小题3分) 原式 2x 1 x 4 6、 (本小题4分) .6 4 cot x csc xdx cot 6 x(1 cot 2 x)d(cot x) 1、（本小题7分） 某农场需建一个面积为 512平方米的矩形的晒谷场，一边可用原来的石条围 另三边需砌新石条围沿 2、（本小题7分） 2 求由曲线y -和y 2 三、解答下列各题 ，问晒谷场的长和宽各为多少时,才能使材料最省? 3 —所围成的平面图形绕 ox 轴旋转所得的旋转体的 8 沿， 体积. 解:原式 lim x 2 6x 3x 2~ 2 12 18x 12 c. 因为 arctanx —而 limarcsin 2 x .1 x arcs in x 一、填空题（共21分 每小题3分） 1．曲线???=+=0 12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122++=y x z ． 2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线?? ???+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为2π． 3．设函数22232),,(z y x z y x f ++=，则=)1,1,1(grad f }6,4,2{． 4．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0． 5．设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=, 0,10,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于21π +． 6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 C xy =． 7．写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式x axe y =*． 二、解答题（共18分 每小题6分） 1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线???=+-+=-+-0 2032z y x z y x 的平面方程． 解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,11 11121=--=k j i n (4分) 所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面 )(222y x z +-=及22y x z +=所围成的区域． 解： πθ20 ,10 ,2 :2 ≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分) ???Ωv z y x f d ),,(???-=221020d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分) 3．计算二重积分??+-=D y x y x e I d d )(22，其中闭区域.4:22≤+y x D 解 ??-=2020d d 2r r e I r πθ??-- =-20220)(d d 212r e r πθ?-?-=202d 221r e π)1(4--=e π 三、解答题（共35分 每题7分） 1．设v ue z =，而22y x u +=，xy v =，求z d ． 解：)2(232y y x x e y ue x e x v v z x u u z x z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (3分) )2(223xy x y e x ue y e y v v z y u u z y z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分) 2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z 所确定，求y z x z ????,． 解：令xyz e z y x F z -=),,(， (2分) 则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F z z -= (5分) xy e yz F F x z z z x -=-=??， xy e xz F F y z z z y -=-=??． (7分) 3．计算曲线积分 ?+-L y x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有 向弧段． 解：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格林 公式 ????+--=+-OA D L y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分) ππ=-? =022 (7分) 4．设曲线积分?++L x y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关，其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ， 《 高等数学》 一.选择题 1.当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（） A)、x y =B)、x y sin =C)、x y cos 1-=D)、1-=x e y 2.函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3.下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、 (( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4.下列各式正确的是（） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+?D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5.下列等式不正确的是（）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =???????B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=???? ??? C ）、()()x f dx x f dx d x a =???????D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6.0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7.设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（） 《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()() 2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）. 高等数学II 试题 一、填空题（每小题3分，共计15分） 1．设(,)z f x y =由方程xz xy yz e -+=确定，则 z x ?= ? 。 2．函数 23 2u xy z xyz =-+在点0(0,1,2)P --沿方向l = 的方向导数最大。 3．L 为圆周2 2 4x y +=，计算对弧长的曲线积分?+L ds y x 22= 。 4．已知曲线23 ,,x t y t z t ===上点P 处的切线平行于平面22x y z ++=，则点P 的坐标为 或 。 5．设()f x 是周期为2的周期函数，它在区间(1, 1]-的定义为 210()01x f x x x -<≤?=? <≤?，则()f x 的傅里叶级数在1x =收敛于 。 二、解答下列各题（每小题7分，共35分） 1．设) ,(y x f 连续，交换二次积分 1 201(,)x I dx f x y dy -=??的积分顺序。 2．计算二重积分D ，其中D 是由y 轴及圆周22 (1)1x y +-=所 围成的在第一象限内的区域。 3．设Ω是由球面z =z =围成的区域，试将三重 积分 222()I f x y z dxdydz Ω =++???化为球坐标系下的三次积分。 4．设曲线积分[()]()x L f x e ydx f x dy --?与路径无关，其中()f x 具有一阶连 续导数，且(0)1f =，求()f x 。 5．求微分方程2x y y y e -'''-+=的通解。 三、(10分)计算曲面积分 2 y dzdx zdxdy ∑ +??，其中∑是球面 2224(0)x y z z ++=≥的上侧。 四、(10分)计算三重积分()x y z dxdydz Ω ++???，其中Ω由2 2z x y =+与1 z =围成的区域。 五、(10分)求22 1z x y =++在1y x =-下的极值。 六、(10分)求有抛物面22 1z x y =--与平面0z =所围立体的表面积。 四川理工学院试卷（2007至2008学年第一学期） 课程名称： 高等数学(上)(A 卷) 命题教师： 杨 勇 适用班级： 理工科本科 考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 注意事项： 1、 满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否 则视为废卷。 3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。 4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷 分别一同交回，否则不给分。 试 题 一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分） 1. =--→1 ) 1sin(lim 21x x x ( C ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D) 2 1 2.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e x x )(? --为( B ) (A) c e F x +)(； (B) c e F x +--)(； (C) c e F x +-)(； (D ) c x e F x +-) ( 3.下列广义积分中 ( D )是收敛的. (A) ? +∞ ∞ -xdx sin ； (B)dx x ? -111 ； (C) dx x x ?+∞ ∞-+2 1； (D)?∞-0dx e x 。 4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( B ) (A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导； (C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则? x a dt t f )(在[]b a ,上一定可导。 5. 设函数=)(x f n n x x 211lim ++∞→ ，则下列结论正确的为( D ) (A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x 二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分） 1. 极限=-+→x x x 1 1lim 20 _0____. 2. 曲线? ??=+=3 2 1t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程x xe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22 )2(2 1+- ，则该方程的通解为 . 4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22 ) (lim 2=-→x x f x ，则_____)2(='f 5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。 6．曲线23 3 2 x y =上相应于x 从3到8的一段弧长为 . 三、设0→x 时，)(22 c bx ax e x ++-是比2 x 高阶的无穷小，求常数c b a ,,的值（6分） 《高等数学》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin 第二学期期末考试试卷 一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量()1,1,4r a =-,()3,4,0r b =,则以r a ,r b 为边的平行四边形的面积等于. 2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ?? ??? 处 的切平面方程是. 3. 交换积分次序()22 0,x dx f x y dy = ??. 4. 对于级数11 n n a ∞ =∑（a ＞0），当a 满足条件 时收敛. 5. 函数1 2y x =-展开成x 的幂级数为 . 二、 单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面20x z -=的位置是 （ ） （A ）通过y 轴 （B ）通过x 轴 （C ）垂直于y 轴 （D ）平行于xoz 平面 2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数 ()00,x f x y '，()00,y f x y ',是函数在该点可微分的 （ ） （A ）充要条件 （B ）充分但非必要条件 （C ）必要但非充分条件 （D ）既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z e y x y =+，则10 x y dz ===（ ） （A ）e （B ）()e dx dy + （C ）1()e dx dy -+ （D ）()x e dx dy + 4. 若级数()11n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛， 则此级数在2x =处（ ） （A ）敛散性不确定 （B ）发散 （C ）条件收敛 （D ）绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是（ ） （A ）212 1x y e =- （B ）212 1x y e -=- （C ）212 x y Ce -= （D ）212 1x y Ce =- 三、(本题满分8分) 设平面通过点()3,1,2-，而且通过直线43521 x y z -+==， 求该平面方程． 四、(本题满分8分) 设(),z f xy x y =+，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数， 试求z x ??和2z x y ???． 五、(本题满分8分) 计算三重积分y zdxdydz Ω =???， 其中 (){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤． 六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分L ?， 高等数学试题及答案文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208] 《 高等数学 》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A)、必要条件 B)、充分条件 C)、充要条件 D)、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、2arctan 1dx dx x x =+? D ）、211 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=????? ?'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、C bx bx x +-sin cos B ）、C bx bx x +-cos cos 高等数学下册试题 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（ A ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9 解 ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}， |AB |= 5)1(20222=-++. 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ） A ）{-1,1,5}. B ） {-1,-1,5}. C ） {1,-1,5}. D ）{-1,-1,6}. 解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; （ A ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k 解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k . 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（C ） A ）2π B ）4π C ）3 π D ）π 解 由公式（6-21）有 2 1112)1(211)1(1221cos 2222222 121= ++?-++?-+?+?= ??= n n n n α， 因此，所求夹角 32 1 arccos π α= =． 5. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0 C ）x+y+1=0 D ）01=-+y x ． 解 由于平面平行于z 轴，因此可设这平面的方程为 0=++D By Ax 因为平面过1M 、2M 两点，所以有 ?? ?=+-=+020D B A D A 解得D B D A -=-=,，以此代入所设方程并约去)0(≠D D ，便得到所求的 平面方程 01=-+y x 6．微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。 高等数学（下）模拟试卷一 一、填空题（每空3分，共15分） （1）函数 11z x y x y =+ +-的定义域为 （2）已知函数 arctan y z x =，则z x ?= ? （3）交换积分次序， 2 220 (,)y y dy f x y dx ? ? ＝ （4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? （5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为 二、选择题（每空3分，共15分） （1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=?? --+=?，平面π为4220x y z -+-=，则（） A.L 平行于πB.L 在π上C.L 垂直于πD.L 与π斜交 （2）设是由方程 222 2xyz x y z +++=确定，则在点(1,0,1)-处的dz =（） dx dy +2dx dy +22dx dy +2dx dy -（3）已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5 z =所围成的闭区域，将 2 2()x y dv Ω +???在柱面坐标系下化成三次积分为（） 22 5 3 d r dr dz πθ? ??. 24 5 3 d r dr dz πθ? ?? 22 5 3 50 2r d r dr dz πθ? ??. 22 5 20 d r dr dz π θ? ?? （4）已知幂级数，则其收敛半径（） 2112 2（5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y * =（） ()x ax b xe +()x ax b ce ++()x ax b cxe ++ 三、计算题（每题8分，共48分） 1、 求过直线1L :1231 01x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z +-==的平面方程 2、 已知 22 (,)z f xy x y =，求z x ??，z y ?? 3、 设 22{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求 2 D x dxdy ?? 4、 求函数 22 (,)(2)x f x y e x y y =++的极值 得分 阅卷人 高等数学上模拟试卷和 答案 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】 北京语言大学网络教育学院 《高等数学（上）》模拟试卷 注意： 1.试卷保密，考生不得将试卷带出考场或撕页，否则成绩作废。请监考老师负责监督。 2.请各位考生注意考试纪律，考试作弊全部成绩以零分计算。 3.本试卷满分100分，答题时间为90分钟。 4.本试卷试题为客观题，请按要求填涂答题卡，所有答案必须填涂在答题卡上，答在试题卷上不给分。 一、【单项选择题】(本大题共100小题，每小题4分，共400分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在答题卷相应题号处。 1、函数)1lg(2++=x x y 是（ ）。 [A] 奇函数 [B] 偶函数 [C] 既奇又偶函数 [D] 非奇非偶函数 2、极限=--→9 3 lim 23x x x （ ）。 [A] 0 [B] 6 1 [C] 1 [D] ∞ 3、设c x x x x f +=?ln d )(，则=)(x f （ ）。 [A] 1ln +x [B] x ln [C] x [D] x x ln 4、 ?-=+01 d 13x x （ ）。 [A] 6 5 [B] 6 5- [C] 2 3- [D] 2 3 5、由曲线22,y x x y ==所围成平面图形的面积=S （ ）。 [A] 1 [B] 2 1 [C] 3 1 [D] 4 1 6、函数x x y cos sin +=是（ ）。 [A] 奇函数 [B] 偶函数 [C] 既奇又偶函数 [D] 非奇非偶函数 7、设函数?????=≠=00 3sin )(x a x x x x f ，在0=x 处连续，则a 等于（ ）。 [A] 1- [B] 1 [C] 2 [D] 3 浙江农林大学 2016 - 2017 学年第 一 学期期中考试 课程名称： 高等数学Ｉ 课程类别： 必修 考试方式： 闭卷 注意事项：1、本试卷满分100分。 2、考试时间 120分钟。 一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的选项填在题后的括号内。每小题3分，共21分） 1．下列各式正确的是： ( ) A. sin lim 1x x x →+∞= B. 0sin lim 0x x x →= C. 1lim 1x x e x →+∞??+=- ??? D. 1lim 1x x e x →+∞ ?? += ??? 2. 当0x +→ ( ) 1 B. ln C. 1- 1-3. 设()f x 在x a =的某邻域有定义，则它在该点处可导的一个充分条件是：( ) A.1lim ()()h h f a f a h →+∞?? +-???? 存在 B. 0(2)()lim h f a h f a h h →+-+存在 C. 0 ()()lim 2h f a h f a h h →+--存在 D. 0()() lim h f a f a h h →--存在 学院： 专业班级： 姓名： 学号： 装 订 线 内 不 要 答 题 4. 函数33y x x =-在区间[0,1]上的最小值是： ( ) A. 0 B. 没有 C. 2 D. 29 - 5. 函数21y x =-在区间[1,1]-上应用罗尔定理时，所得到的中值ξ= ( ) A. 0 B. 1 C. 1- D. 2 6．设函数2 ()(1)0 ax e x f x b x x ?≤=?->?处处可导，那么： ( ) A ．1a b == B ．2,1a b =-=- C ．0,1a b == D ．1,0a b == 7. 设x a =为函数()y f x =的极值点，则下列论述正确的是 ( ) A ．'()0f a = B ．()0f a = C ．''()0f a = D ．以上都不对 二、填空题（每小题3分，共21分） 1. 极限232)sin (1cos lim x x x x x +-+∞→= . 2 ．极限lim n →∞ ?? +L =. 3.设函数f (x )=2310 22 2 x x x x a x ?+-≠? -??=?在点x =2处连续，则a = . 4. 函数()sin x f x x = 的间断点为 . 5. 函数22ln y x x =-的单调减区间为 . 6. 设函数ln y =dy = . 7．椭圆曲线cos sin x a t y b t =??=? 在4t π =相应的点处的切线方程为 . 高等数学下册试题库及答案 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 的模是：（ A ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9 解 ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}， ||= 5)1(20222=-++. 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ） A ）{-1,1,5}. B ） {-1,-1,5}. C ） {1,-1,5}. D ）{-1,-1,6}. 解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; （ A ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k 解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k . 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（C ） A ）2π B ）4π C ）3π D ）π 解 由公式（6-21）有 21112)1(211)1(1221cos 2 22222212 1=++?-++?-+?+?=??=n n n n α， 因此，所求夹角321 arccos π α==． 5. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0 C ）x+y+1=0 D ）01=-+y x ． 解 由于平面平行于z 轴，因此可设这平面的方程为 0=++D By Ax 因为平面过1M 、2M 两点，所以有 ???=+-=+020D B A D A 解得D B D A -=-=,，以此代入所设方程并约去)0(≠D D ，便得到所求的平面方程 01=-+y x 6．微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。 《高等数学》试题30 考试日期：2004年7月14日 星期三 考试时间：120 分钟 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin 第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分) 求极限 lim x x x x x x →-+-+-2332121629124 2、(本小题5分) .d )1(22x x x ?+求 3、(本小题5分) 求极限lim arctan arcsin x x x →∞?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) ．求dt t dx d x ?+2 021 6、(本小题5分) ??.d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) ．求?ππ 2 1 21cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),22 9、(本小题5分) ． 求dx x x ?+3 01 10、(本小题5分) 求函数 的单调区间y x x =+-422 11、(本小题5分) ．求? π +2 02sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) ．，求设 dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分) .d cos sin 12cos x x x x ? +求 二、解答下列各题 (本大题共2小题，总计14分) 高等数学（下册）考试试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2 >+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示 为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） 高等数学上模拟试卷和答 案 Prepared on 22 November 2020 北京语言大学网络教育学院 《高等数学（上）》模拟试卷 注意： 1.试卷保密，考生不得将试卷带出考场或撕页，否则成绩作废。请监考老师负责监督。 2.请各位考生注意考试纪律，考试作弊全部成绩以零分计算。 3.本试卷满分100分，答题时间为90分钟。 4.本试卷试题为客观题，请按要求填涂答题卡，所有答案必须填涂在答题卡上，答在试题卷上不给分。 一、【单项选择题】(本大题共100小题，每小题4分，共400分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在答题卷相应题号处。 1、函数)1lg(2++=x x y 是（ ）。 [A] 奇函数 [B] 偶函数 [C] 既奇又偶函数 [D] 非奇非偶函数 2、极限=--→9 3 lim 23x x x （ ）。 [A] 0 [B] 6 1 [C] 1 [D] ∞ 3、设c x x x x f +=?ln d )(，则=)(x f （ ）。 [A] 1ln +x [B] x ln [C] x [D] x x ln 4、 ?-=+01 d 13x x （ ）。 [A] 6 5 [B] 6 5- [C] 23- [D] 2 3 5、由曲线22,y x x y ==所围成平面图形的面积=S （ ）。 [A] 1 [B] 2 1 [C] 3 1 [D] 4 1 6、函数x x y cos sin +=是（ ）。 [A] 奇函数 [B] 偶函数 [C] 既奇又偶函数 [D] 非奇非偶函数 7、设函数?????=≠=00 3sin )(x a x x x x f ，在0=x 处连续，则a 等于（ ）。 [A] 1- [B] 1 [C] 2 [D] 3 8、函数12+=x y 在区间]2,2[-上是（ ）。 [A] 单调增加 [B] 单调减少 [C] 先单调增加再单调减少 [D] 先单调减少再单调增加高等数学下册试题及答案解析word版本
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