分母有理化
分母有理化 专题学习
对于根式的运算，要将其结果转化为最简二次根式，但对于部分根式，
怎么化成最简？
（要求分母不带根号）． 探索归纳 我们把这种通过适当的变形化去代数式分母中根号的运算叫“有理化分母”。在根式运算及把一个根式化成最简分式时，都要将分母有理化。对于上题，我们看到分母只有一项，
A
或 【例1
【例2】
= 上面我们处理的是分母为一项的，如果分母有两项呢？
【例3
理解：分母有理化的目的是把分母从无理数化为有理数。
像上面这种类型的式子分母有理化，我们一般依据平方差公式22()()a b a b a b +-=-，若式子里才出现a b +，则我们要将式子配凑a b -；同理若式子里才出现a b -，则我们要将式子配凑a b +。
归纳：A
B 型：b a c +
练习：将下列式子分母有理化
， ，
【例4】（广州）已知1,a =
b =,a 与b 的关系是（ ） A ．a b = B ．1ab = C ．a b =- D ．1ab =-
分析：∵1
b == ∴a b = ★ ★拓展练习
1.（杭州）已知a =2b =2c =，则a 、b 、c 的大小关系为
2.（盐城）比较大小：a =b = a b
综合练习
1.（天津）
x =1x x -的值等于
2.(01125-??- ???
3（荆门）化简
4（烟台）已知
a =2121a a a -+-的值 5（桂林）观察下列分母有理化的计算:
1,
=
=
=
=……，
从计算结果中找出规律利用规律计算: )
1
2007+=
练习：阅读下列解题过程：
2====；
=== 请回答下列问题：
（1
= ；
（2）利用上面所提供的解法，请化简：
10++的值
（1）83
8-
（2）xy 4y 22
(3).()326+÷
(4) ()632÷+
（5）272
3
（62）a 10a 5
（7）252
5+-
（8）13232-+
(9)100991431321211++++++++
（10）325
（11）125
（12）53
(13.)()()102321273-++-+--
（14）
185 （15） 2723 （16）
(17). ()()2021233632918-+-++--
中考数学试题解析9分母有理化二次根式化简(含答案)
(分母有理化、二次根式化简 一、选择题 1. （2011?台湾17，4分）计算 6 3 125412 9? ÷ 之值为何（ ） A 、 12 3 B 、 63 C 、33 D 、 4 3 3 考点：二次根式的乘除法。 分析：把分式化为乘法的形式，相互约分从而解得． 解答：解：原式=63541212 9? ? =6 3． 故选B ． 点评：本题考查了二次根式的乘除法，把分式化为乘法的形式，互相约分而得． 2. （2011?贺州）下列计算正确的是（ ） A 、=﹣3 B 、（）2=3 C 、=±3 D 、+= 考点：二次根式的混合运算。 专题：计算题。 分析：根据二次根式的性质进行计算，找出计算正确的即可． 解答：解：A 、=3，此选项错误； B 、（）2=3，此选项正确； C 、=3，此选项错误；
D、+=+，此选项错误． 故选B． 点评：本题考查了二次根式的混合运算．解题的关键是注意开方的结果是≥0的数． 3.（2011黑龙江大庆，3，3分）对任意实数a，则下列等式一定成立的是（） A、a=a B、2a=－a C、2a=±a D、2a＝a 考点：二次根式的性质与化简。 专题：计算题。 分析：根据二次根式的化简、算术平方根等概念分别判断． 解答：解：A、a为负数时，没有意义，故本选项错误； B、a为正数时不成立，故本选项错误； C、=|a|，故本选项错误． D、故本选项正确． 故选D． 点评：本题考查了二次根式的化简与性质，正确理解二次根式有意义的条件、算术平方根的计算等知识点是解答问题的关键． 4.（2011，台湾省，17,5分）下列何者是方程式（﹣1）x=12的解？（） A、3 B、6 C、2﹣1 D、3+3 考点：二次根式的混合运算；解一元一次方程。 专题：计算题。 分析：方程两边同除以（﹣1），再分母有理化即可． 解答：解：方程（﹣1）x=12，两边同除以（﹣1），得x=，
分母有理化试题
分母有理化试题 1．将它分母有理化： 1 ————————- √￣2+√￣3+√￣6 分两步做，第1步分子分母同乘√2+√3-√6，得 原式=（√2+√3-√6）/（2√6-1）， 第1步分子分母同乘2√6+1，得 原式=（√2+√3-√6）（2√6-1）/23 =（7√2+5√3-√6-12）/23. 2.化简:2/(√5-√3) 解：原式=2（√5+√3)/(√5+√3)(√5-√3) =2(√5+√3)/[(√5)2-(√3)2] =2(√5+√3)/(5-3) =2(√5+√3)/2 =√5+√3 这里用了(a+b)(a-b)=a2-b2的公式，明白了吗？ 因为在2/根号5减根号3分母有理化的过程中，需分子、分母同乘根号5加根号3，原来分母为根号5减根号3 根号5减根号3*根号5加根号3＝根号5平方-根号3平方＝5-3＝2。这里应用的是平方差公式 a^2-b^2=（a+b)*(a-b)
分母有理化的一种巧解 把分母中的根号化去，叫做分母有理化。分母有理化有如下两种基本类型： A ： a a b a a a b a b = ?= 或 b a b a c b a b a b a c b a c ±±= ±?±±?= ± B ： b a b a c b a b a b a c b a c ±= ±?= ±2)() )(()( 或 b a b a c b a b a b a c b a c -= ±?= ±) () )(()( 举例：1. 5 525 5525 2= ??= 2. b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a -+=--?-=-?--?-= --)()()(222222 3. b a b a b a b a b a b a b a -=-?+-?-= +-) ()()()( 法二： b a b a b a b a b a b a b a b a -=++-= +-= +-) )(()()(2 2 4. 5 2 33631829318) 223()223()223(632 2363-= --= -?+-?= + 上述1、2两道例题属于A 种基本类型，解题比较容易。而3、4两道例题属于B 种基本类型，计算起来有点难度。下面我们来探求对B 种基本类型的分母有理化的一种解法。
专题06 分母有理化(解析版)
专题06 分母有理化 1.分母有理化的概念： 把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 2.常见类型： 常见类型一：a a b a a a b a b =??=． 常见类型二：b a b a c b a b a b a c b a c --=-+-?=+)())(() (． 其中，我们称n n a 1-是n a 的“有理化因子”，b a -是b a +的“有理化因子”．分母有理化的关键是找到分母的“有理化因子”． 3.有理化因式的概念： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。 注：二次根式的有理化因式不是唯一的，它们可以相差一个倍数。 4.熟记一些常见的有理化因式： a 的有理化因式是a ； b n a +的有理化因式是b n a -； b a +的有理化因式是b a -； b n a m +的有理化因式是b n a m -； 33b a ±的有理化因式是32332b ab a + 。 专题知识点概述
5.分母有理化十法 分母有理化是一种极其重要的恒等变形，它广泛应用于根式的计算和化简，除掌握基本方法外，需根据不同题的特点，灵活应用解法，讲求技巧，以达化难为易，化繁为简的目的。 通常有约分法、通分法、平方法、配方法、拆解法等十种方法。 【例题1】计算3212 3212 ++-+- 【答案】见解析。 【解析】先通分，找准分子公因数。 原式22)2()31(3 213212-+-+-++?= 2 6)13(2132 2-=-=+= 【对点练习】计算)b b a a ( ab a ab 2b a b 2a b 4a +÷+++--- 【答案】见解析。 【解析】设y b ,x a ==，则 b a y x y y 2x y x xy )y x (x )y x (y 2x )y 2x )(y 2x ()y y x x (xy x xy 2y x y 2x y 4x y b ,x a 22 2222222 2+=+=-+=+?++---+=+÷+++---===原式 【例题2】将352 -分母有理化 例题解析与对点练习
知识点094--分母有理化(填空题)
一、填空题（共82小题） 1、（2009?上海）分母有理化：= ． 考点：分母有理化。 分析：根据分母有理化的方法，分子、分母同乘以． 解答：解：==． 点评：本题比较容易，考查分母有理化的方法． 2、（2008?上海）化简：= 2+ ． 考点：分母有理化。 分析：本题只需将原式分母有理化即可． 解答：解：==2+． 点评：本题考查的是二次根式的分母有理化，找出分母的有理化因式是解答此类问题的关键． 3、（2008?贵港）观察下列等式：，， ，…请你从上述等式中找出规律，并利用这一规律计算： = 2006 ． 考点：分母有理化。 专题：规律型。 分析：所求代数式第一个括号内可由已知的信息化简为： +…+=，然后利用平方差公式计算． 解答：解：∵，，，… ∴原式=（+…+）（） =（）（） =2008﹣2 =2006． 故本题答案为：2006． 点评：解答此类题目的关键是认真观察题中式子的特点，找出其中的抵消规律． 4、（2007?厦门）计算= ． 考点：分母有理化。 专题：计算题。 分析：运用二次根式的乘法法则，将分子的二次根式化为积的形式，约分，比较简便． 解答：解：原式==． 点评：主要考查了二次根式的化简和二次根式的运算法则． 注意最简二次根式的条件是：
①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中不含能开得尽方的因数因式． 上述两个条件同时具备（缺一不可）的二次根式叫最简二次根式． 5、（2006?厦门）计算：（）0+?（）﹣1= 2 ． 考点：分母有理化；零指数幂；负整数指数幂。 分析：按照实数的运算法则依次计算，注意（）0=1，（）﹣1=．考查知识点：负指数幂、零指数幂、二次根式的化简． 解答：解：（）0+?（）﹣1=1+?=1+1=2． 点评：传统的小杂烩计算题，涉及知识：负指数为正指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1；二次根式的化简． 6、（2006?黄冈）化简：= ． 考点：分母有理化。 专题：计算题。 分析：根据最简二次根式的方法求解即可． 解答：解：==，故填． 点评：本题主要考查了二次根式的化简方法． 7、（2004?郑州）计算：= ． 考点：分母有理化；负整数指数幂。 分析：按照实数的运算法则依次计算，=2，将分母有理化． 解答：解：原式=2+=2+﹣2=． 故本题答案为：． 点评：涉及知识：数的负指数幂，二次根式的分母有理化． 8、（2002?浙江）分母有理化：= ． 考点：分母有理化。 分析：分子分母同乘以有理化因式2﹣． 解答：解：==2﹣． 点评：要将+中的根号去掉，要用平方差公式（+）（﹣）=a﹣b． 9、（2004?江西）化简：= 1﹣ ． 考点：分母有理化。 分析：由于5=，将分子提，与分母约分即可．
大学数学经典求极限方法(最全)
求极限的各种方法 1．约去零因子求极限 例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限 例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方； (2) ???? ??? =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1ΛΛ
3．分子(母)有理化求极限 例3：求极限)13(lim 22+-++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 01 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030 +-+-=+-+→→ 41 sin tan lim 21sin tan lim sin 1tan 11 lim 30300 =-=-+++=→→→x x x x x x x x x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限 两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ，第 一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。 例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 +，最后凑指数部分。 【解】22 21212112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→
分母有理化教案
《分母有理化》教学设计 一、教材分析 《分母有理化》是北师大版八年级上册第二章第六节的第二课时，是“数与代数”的重要内容，是学习二次根式运算的依据。一方面，它是在了解了勾股定理，学习了平方根基础之上对实数的进一步深入。另一方面，又为学习二次根式的加减法、一元二次方程、二次函数、三角函数等知识奠定基础。因此有承上启下的作用。 二、学情分析 学生已学习了分解因数和平方差公式，进而又学习了二次根式的乘除法及二次根式的化简公式，学生掌握的基础知识和基本技能良好，但是做题速度和正确率有待提高。 三、教学目标 1．知识与技能 （1）理解最简二次根式的概念。 （2）掌握二次根式的分母有理化。 2．过程与方法 通过对最简二次根式的概念学习，提高学生对概念学习的理解能力和自主学习能力、归纳表达能力。 3．情感和态度目标 （1）通过二次根式的分母有理化，培养学生的运算能力，让学生经历合作探究、归纳比较等数学活动，感受学习数学的乐趣。 （2）通过学习分母有理化与除法的关系向学生渗透转化的数学思想，知道数学来源于生活。 四、重点与难点 教学重点：化简二次根式、分母有理化的方法 教学难点：分母有理化的技巧、正确进行分母有理化 五、教学策略与手段 学生是学习的主体，教师是学生学习的组织者、参与者、合作者。所以在教学过程中把自主权、话语权留给学生；结合“自主学习、小组合作、当堂训练、及时巩固”的模式利用学案为载体，让学生乐学会学。并进行一部分的练习，使其掌握应用。 六、课前准备 学生课前自学、教师准备学案教案以及课件 七、教学过程
1.旧知回顾、引入新知 师：谁还记得二次根式混合运算的步骤、运算顺序、互为有理化因式呢？ （1）（先乘除，后加减）． （2）（有括号，先去括号；不宜先进行括号内的运算）． （3）辨别有理化因式： 举例题 师：非常好！那如果在计算中分母是无理数该怎么办呢？又如果分母是两个二次根式的和，应该怎样化简？ 举例题 2．合作探究 师：好现在小组讨论看看你们是如何解决这些问题的。你们会用什么方法为什么这么做？ 3．交流展示 师：我看大家都讨论出结果了，谁来给大家说说你们组是怎么做的。 小组代表发言 4．归纳总结 师：我们知道把分母中的根号化去，使分母变成有理数，就做分母有理化。我们一起来看下下面的式子 x+)(x- y)=x-y（课件展示） (y 等号左边两个含有二次根式代数式相乘，它们的积有什么特征？ 师：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的非零代数式互为有理化因式. x+)与(x- y)互为有理化因师：如x与x互为有理化因式，(y 式。 提问：-2x可以是x的有理化因式吗？为什么？ 填空：x的有理化因式可以是
分母有理化
分母有理化导学案 学习目标： 1、 理解有理化因式的概念 2、 能对分母中含有二次根式的式子进行化简． 学习重点： 1、熟练进行分母有理化； 2、会找有理化因式。 学习过程： 一、课前预习 1、化简二次根式达到的要求： （1）被开方数中不能含有因式； （2）被开方数中不含； （3）分母中不含有 。这也最简二次根式的条件。 2、化简： （1 （2） 2 147431?÷ 3、填空 （1）=2)2( （2）=-+)32)(32( （3）=2)3( （4）=-+)12)(12( 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的乘积 ，我们就说这两个代数式互为有理化因式。例如，与551212-+与互为有理化因式。你还能举出一些互为有理化因式的例子来吗？试试看。 方法总结： （1）最简二次根式a 的有理化因式是a 。 （2）式子b a +的有理化因式是b a -，式子b a -的有理化因式是b a + （3）式子b a +的有理化因式是b a -，式子b a -的有理化因式是b a + （4）式子b n a +的有理化因式是b n a -，式子b n a -的有理化因式是b n a + 二、自主学习 1、请写出下列各式的有理化因式
问题：怎么进一步化简呢？ 三、合作探究 1、阅读下列运算过程： ， 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化” ．．．．．．． 。 利用上述方法化简： = （2 = （3= （4= 2、阅读下列分母有理化的运算过程： 121 212)12)(12() 12(1121 -=--=-+-?=+523===- 仿照上述方法化简： = ；= = ；= 小结： 化简一个式子时，如果分母是二次根式的形式，采用分子、分母同乘以分母有理化因式的方法，将分母进行化简。 3==5==
精编分母有理化及其应用
分母有理化 一、【知识点梳理】 1．分母有理化 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 2．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下： ① a = b a- 与b a-等分别互为有理化因式。 ② 两项二次根式：利用平方差公式来确定。如a a 分别互为有理化因式。 3．分母有理化的方法与步骤： （1）先将分子、分母化成最简二次根式； （2）将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； （3）最后结果必须化成最简二次根式或有理式。 二、【典型例题】 例1.找出下列各式的有理化因式 例2.把下列各式分母有理化 ( 1( 2 例3.把下列各式分母有理化： （1 （3（4 例4.计算 (1) ? 2(6)) a x a >
例5.（1 ）已知x = y =，求221010x xy y ++的值 （2 + ，其中2a = 2b = 例6. 已知，则a _________ 三、【随堂检测】 A 组 1．找出下列各式的有理化因式 (4) 2．把下列各式分母有理化 ( 1 ( 2 ( 3 ( 4 3. 已知：a = b =a 与b 的关系为（ ） A 、a b = B 、1ab = C 、1ab =- D 、a b =- 4. 2 =________ _; 5．计算 ( 1 ( 2+ (1)5
((2211(3) 22+ 6．比较大小： （1 （2）与，与，与的大小，猜想 与的大小.并证明你的猜想 7. 计算：0(3)1 -+ ． 8．已知 x = y =，求1111x y +--的值. 9．已知12a = ，12b =，求代数式225a ab b -+的值。 10. 已知a ＝21212-+-a a a －a a a a -+-2212的值．
分母有理化专项练习题
分母有理化专项练习题 1、【知识链接】 （1）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代 数式相互叫做有理化因式．例如：的有理化因式是；1-的有理化因式是 1+． （2）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的． 【知识运用】 （1）填空：2的有理化因式是______ ；a+的有理化因式是______ ；--的有理化因式是______ ． （2）把下列各式的分母有理化： ①；②． 2、阅读下列材料，然后解答问题：在化简二次根式时，有时会碰到形如、这一类式子，通常可以这样进行化简 方法一：== ===-1．这种化简步骤叫分母有理化． 方法二：还可以用下面方法化简 ====-1． 请用上面的两种方法化简． 3、观察下列一组式的变形过程，然后回答问题： 例1：====-1． 例2：=-，=-，=-
利用以上结论解答以下问题： （1）= ______ （2）应用上面的结论，求下列式子的值． +++…+ （3）拓展提高，求下列式子的值． +++…+． 4、观察下列运算 ①由（）（）=1，得=； ②由（）（）=1，得=； ③由（）（）=1，得=； ④由（）（）=1，得=； … （1）通过观察，将你发现的规律用含有n 的式子表示出来． （2）利用你发现的规律 ，计算： +…+． 5、观察下列等式： ①==-1； ②==； ③==-；… 回答下列问题： （1）利用你观察到的规律：化简：= ______ ； （2）计算：+++…+．
分母有理化方法集锦
吕广军 二次根式分母有理化是初中代数的重要内容，也是同学们的难点，本文介绍几种有理化方法。供同学们学习时参考。 一. 常规基本法 例1. 化简 解：原式 评注：这是最基本最常用的方法，解法的关键是准确判断分母的有理化因式。 二. 分解约简法 例2. 化简 解：原式 评注：分母提取“公因式”后可直接约分，避免分母有理化，从而简化运算。 例3. 化简 解：原式 评注：由于的有理化因式可能为零，所以不能将分子分母同乘以；若分两种情况讨论又比较繁琐。注意到本题的结构特征，故改用“分解因式”约简的方法，达到分母有理化而又避免讨论。 例4. 化简
解： 评注：注意到7可分拆为4+3，与可配成，从而与分母约分而获得巧解，避繁就简。 例5. 化简. 解：原式 评注：把1转化为，再用平方差公式“因式分解”即能约分。 三. 巧用通分法 例6. 化简 解：原式 评注：注意到本题两“项”互为倒数，且分母互为有理化因式的结构特征，故采用直接通分，同时又达到了分母有理化的效果，使化简更为简捷。 四. 裂项约简法 例7. 化简 解：原式 评注：裂项是本题的关键，做题时要善于观察、分析，找到解题最佳途径。
例8. 化简 解：将原式分子、分母颠倒后就转化为例6。 故原式 评注：本题解法中，先计算原式的倒数，明显方便多了。 五. 等比性质法 例9. 化简 解： 评注：若用常规方法，分子、分母同乘以分母的有理化因式则计算比较繁杂且易出错，注意到本题的结构特征，可用等比性质巧解。
从前面的例子可以看出，函数 y sin(),A x x R ω?=+∈ 及函数 y cos(),A x x R ω?=+∈ （其中A ，ω，? 为常数，且A ≠0，0ω>）的周期仅与自变量的系数有关。那么，如何用自变量的系数表示上述函数的周期呢？ 事实上，令z x ω?=+,那么x R ∈必须并且只需x R ∈，且函数sin ,y A z z R =∈的周期都是2π，由于 )()(2z 2x 2x π?ω πω?πω+++=++=， 所以自变量x 只要并且至少要增加到 2x πω +，函数值才能重复出现，即 2T πω =
分母有理化
分母有理化 分母有理化(fēn mǔ yǒu lǐ huà）(Rationalize the denominator），又称"有理化分母"，指的是在二次根式中分母原为无理数，而将该分母化为有理数的过程，也就是将分母中的根号化去。 概述 由于在初中、高中阶段，最后的二次根式结果要求分母不含根号，故分母有理化成为初中学生学习和使用的一种重要方法。 将分母有理化，会使根式的运算变得简便。 常规方法 下面介绍两种分母有理化的常规方法，基本思路是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号。 1分母是一个单项式 例如二次根式 ，下面将之分母有理化： 分子分母同时乘以√2,分母变为2，分子变为2√2，约分后，分数值为√2。在这里我们想办法把√2化为有理数，只要变为它的平方即可。 2分母是一个多项式 再举一个分母是多项式的例子，如 ，下面将之分母有理化：
思路仍然是将分子分母同乘相同数。这里使用平方差公式,同时乘上√2+1，分子变为2√2+2，分数值为2√2+2，再约分即可。也就是说，为了有理化多项式的分母，原来分母是减号，我们乘上一个数字相同但用加号连接的式子，再用平方差公式。 此方法可应用到根式大小比较中去。 3特殊方法 下面有一些特殊的方法供参考！ 分解约简法 将 分母有理化： 这里我们将分母分解因式后提取出来，这样避免采用平方差公式分解。这种方法较适用于分子分母含有公因式时。 配方约简法 将 分母有理化： 这里我们将分子化成平方式，然后利用完全平方公式配方，再和分母约分，这样避免采用平方差公式分解。 注意事项： 下面举一个含参数的二次根式：将 分母有理化：
专题06 分母有理化(原卷版)
专题06 分母有理化 1.分母有理化的概念： 把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 2.常见类型： 常见类型一：a a b a a a b a b =??=． 常见类型二：b a b a c b a b a b a c b a c --=-+-?=+)())(() (． 其中，我们称n n a 1-是n a 的“有理化因子”，b a -是b a +的“有理化因子”．分母有理化的关键是 找到分母的“有理化因子”． 3.有理化因式的概念： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。 注：二次根式的有理化因式不是唯一的，它们可以相差一个倍数。 4.熟记一些常见的有理化因式： a 的有理化因式是a ； b n a +的有理化因式是b n a -； b a +的有理化因式是b a -； b n a m +的有理化因式是b n a m -； 33b a ±的有理化因式是32332b ab a + 。 专题知识点概述
5.分母有理化十法 分母有理化是一种极其重要的恒等变形，它广泛应用于根式的计算和化简，除掌握基本方法外，需根据不同题的特点，灵活应用解法，讲求技巧，以达化难为易，化繁为简的目的。 通常有约分法、通分法、平方法、配方法、拆解法等十种方法。 【例题1】计算3212 3212 ++-+- 【对点练习】计算)b b a a (ab a ab 2b a b 2a b 4a +÷+++--- 【例题2】将352 -分母有理化 【对点练习】已知5322 y ,5322x ++=-+=，求222 2y xy 2x y x ++的值。 1.将下列各式分母有理化 （1）21 ； （2）121 +。 2.计算6 31254129 ?÷之值为何（ ） A.123 B.63 C.33 D. 433 3. 下列何者是方程式（﹣1）x=12的解？（ ） 例题解析与对点练习 专题点对点强化训练
分母有理化专题
《分母有理化》专题 班级 姓名 经验是由痛苦中萃取出来的。 【分母有理化定义】把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 分母有理化的方法与步骤： （1）先将分子、分母化成最简二次根式； （2）将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； （3）最后结果必须化成最简二次根式或有理式。 【例题】 例1 .将下列各式分母有理化 63=_________ 323=_________ 18 2 =_____ ___ 6 12=___ ___ 例2.把下列各式分母有理化 2 31- 1 32- 2 32+ 2 32+ 2 31- 1 51+ (1 (2(3
( 6 例3.把下列各式分母有理化： （1 （3 （4 【归纳】有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下： a = b a- 与b a-等分别互为有理化因式。 ②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如a 与a ，
例4.计算 (1) ? 例5.（1）已知 x =，y =，求22 1010x xy y ++的值 （2 ，其中2a =+2b = 例6. 已知，则a _________ 例7.
【当堂训练】 1. 已知：a =， b = ，则a 与b 的关系为（ ） A 、a b = B 、1ab = C 、1ab =- D 、a b =- 2. (1)=_________; (2) =_________. 3．计算 (1 + (2 ((2 2 1 1 (3) 22+ 4.化简，再求值： 22 112( )2y x y x y x xy y -÷-+++，其中,23+=x 23-=y