第7章习题解
第七章
7-1 应用并联管段阻抗计算式时，应满足什么条件？
答：需要满足的条件是：并联管段的因流动造成的压力损失相等。按照管网的能量平衡，并联管段所组成的闭合回路（如图a），或添加虚拟管段后形成闭合回路（如图b），满足如下关系：
，为管段流动损失，为沿闭合回路方向的重力作用力，为沿闭合回路方向的全压动力。因，若闭合回路的重力作用力及输入的全压作用力，则有
可导出并联管段的阻抗计算式：
。
7-2 什么是液体管网的水压图？简述绘制水压图的基本步骤。
答:在液体管网中，将各节点的测压管水头高度顺次连接起来形成的线，称为水压曲线；水压曲线与管路中心线、水平距离坐标轴以及表示水压高度的纵轴组成的图形称为水压图。绘制水压图的步骤是：
（1）选取适当的水压基准面；
（2）确定液体管网系统的定压点（压力基准点）及其测压管水头高度；
（3）根据水力计算结果，沿液体循环流动方向，顺次确定各管段起止点的测压管水头高度；（4）顺次连接各点的测压管水头的顶端，即可获得系统的水压图。
7-3 什么是管网的静水压线？确定室外集中供热热水管网静水压线要考虑哪些主要因素？
答：静水压线是管网的循环水泵停止工作时，管路上各点的测压管水头连接线，根据连通器原理，它应是一条水平的直线。静水压线的高度必须满足下列的技术要求：
（1）与热水网路直接连接的供暖用户系统内，底层散热器所承受的静水压力应不超过散热器的承压能力；
（2）热水网路及与它直接连接的供暖用户系统内，不会出现汽化或倒空。
7-4 在气体管网的压力分布图中，吸入段和压出段各有什么显著特征？
答：吸入段的特征主要是：（1）吸入段的全压和静压均为负值，在风机入口负压最大，风管的连接处如果不严密，会有管外气体渗入；（2）在吸入管段中静压绝对值为全压绝对值与动压值之和；（3）当管网系统中只有吸入管段时，风机的风压应等于吸入管网的阻力及出口动压损失之和。
压出段的特征主要是：（1）压出段的全压和为正值，在风机出口全压最大；（2）压出段的静压一般为正值，此种情况下，全压的绝对值为静压绝对值和动压绝对值之和，但在管段截面积很
小的断面，由于动压上升，也可能出现静压为负的情况，此时动压的绝对值等于静压和全压绝对值之和。
另外，在吸入段和压出段，全压均是沿程下降的，而在风机的进出口处全压的绝对值达到最大。静压的绝对值一般亦达到最大，如接口不严密，渗漏将很严重，既降低了风机的性能，也增加了管网内外掺混形成气体污染的可能性。
7-5 什么是调节阀的工作流量特性？在串联管道中，怎样才能使调节阀的工作流量特性接近理性流量特性？
答：调节阀的工作流量特性是指调节阀在前后压差随负荷变化的工作条件下，调节阀的相对开度与相对流量之间的关系。在串联管路中，调节阀全开时阀前后压差与系统总压差的比值称为阀权度，阀权度值的范围是0~1，其值越接近1，调节阀的工作流量特性与理想流量特性越接近。7-6 对于有串联管路的调节阀，阀权度对其性能有何影响？阀权度越大越好，这种说法是否正确？
答：有串联管路的调节阀，其工作流量特性将偏离理想流量特性。当管道阻抗为零时，阀权度
S V=1，系统的总压差全部降落在调节阀上，调节阀的工作特性与理想特性是一致的；随着管道阻抗增大，S V值减小，使系统降落在调节阀上的压力损失相对减小，调节阀全开时的流量将减小；理想流量特性为直线特性的调节阀，当S v<0.3时，其工作流量特性曲线严重偏离理想流量特性，而近似快开特性；而对于等百分比流量特性，当S v<0.3后，其工作流量特性虽然也严重偏离理想特性而变成近似直线特性，仍然有较好的调节作用，但此时可调范围已显著减小。从上述分析可知，必须使调节阀压降在系统压降中占有一定的比例，才能保证调节阀具有较好的调节性能，因此一般不希望S v<0.3。另一方面，从经济观点出发，希望调节阀全开时的压降尽可能小一些，这样可以减小管网压力损失，节省运行能耗。一般在设计中S v＝0.3～0.5是较合适的。
7-7 选择直通调节阀的流量特性应考虑哪些因素？
答：主要考虑如下两方面的因素。一是调节系统的特性。在建筑环境与设备工程领域，调节阀经常用来调节热交换器的流量进而调节换热量，因此往往需要考虑阀门的流量特性与热交换器静特性综合后的整体特性；一是调节阀的阀权度，因为阀权度将影响调节阀的工作流量特性偏移理想特性的程度。
7-8 试分析阀门流通能力的物理意义。阀门的流通能力与其两端的压差有关吗？
答：调节阀门流通能力的定义式是：,式中为调节阀前后的压差，为流体的密度，为调节阀的接管面积，为调节阀在某一开度下的阻力系数。因此，调节阀门流通能力的物理意义是：阀门两端作用某一规定压差时，单位时间流过某一流体密度的流量，它与其两端的压差无关，取决于阀门的构造形式与尺寸，并与开度有关，因此，通常流通能力是指阀门全开时的流通能力。
7-9 简述管网水力稳定性的概念。提高管网水力稳定性的主要途径是什么？
答：管网中各个管段或用户，在其它管段或用户的流量改变时，保持本身流量不变的能力，称其
为管网的水力稳定性。通常用管段或用户规定流量和工况变动后可能达到的最大流量
的比值来衡量管网的水力稳定性，即。
因，可见提高管网水力稳定性的主要方法是相对地减小网路干管的压降，或相对地增大用户系统的压降。
7-10 什么是水力失调？怎样克服水力失调？
答：管网中的管段实际流量与设计流量不一致，称为水力失调。水力失调的原因主要是：1）管网中的动力源提供的能量与设计不符，包括两个方面，一是动力源的实际工作参数与设计参数不符，一是管网的设计动力与在设计流量下的动力需求不符，即管网的动力源匹配不合理；2）管网的流动阻力特性发生变化，即管网阻抗与设计值不符。
要克服管网的水力失调，必须首先使管网在各管段流量为设计值时，管网能够满足能量平衡，即所有环路中的动力与流动阻力相平衡，这里的动力和阻力既包括管网内部的因素，也包括环境对管网的作用（如重力作用力因素等），另外，由于实际运行条件的变化（如管网安装状况、管道及设备的变化、用户流量调整等）使管路阻抗发生变化，需要能够采取恰当的调节措施，使管网所有环路在提供的动力与各管段流量为要求值时的阻力相平衡。
7-11 有哪些技术措施，可以增加和减小热水采暖管网的流量？说出这些办法的优缺点。
答：增加热水采暖管网流量的措施主要有：1）更换更大的管径，或开大管网中的阀门开度，这样可以减小管网的阻抗，从而增大流量。更换更大的管径需要增加材料和工程改造费用，在可能的条件下开大管网中的阀门开度则简单易行。上述方法可以降低管网能耗。2）更换流量和压头更大的循环水泵，或提高水泵的转速。更换更大的循环水泵需要增加投资和运行能耗费用，并要占用更大的水泵房空间，而提高水泵转速的前提是水泵原来的转速低于其额定转速，且转速提高后也不能超过其额定转速，以免发生电机超载的危险。
管段1-2 3-4 4-6 4-5
流量（m3/h）5000 5000 2000 3000
阻力（Pa）100 150 200 200
管径（mm）700 700 400 500
（1）求该管网的特性曲线；（2）为该管网选择风机；（3）求风机的工况点，并绘制管网在风机工作时的压力分布图；（4）求当送风口5关闭时风机的工况点并绘制此时管网的压力分布图；（5）送风口5关闭后，送风口6的实际风量是多少？要使其得到设计风量，该如何调节？
习题图7-1
解：（1）根据计算出各管段的阻抗，见习题7-12表1。4-6和4-5管段并联阻抗为：
kg/m7，则管网总阻抗为233.28kg/m7。据此可绘制管网特性曲线，见习题7-12图1。
习题7-12表1
管段阻抗（kg/m7）51.84 77.76 648 288
风机工作时各管段风量（m3/h）6000 6000 2400 3600
风机工作时各管段阻力（Pa）144 216 288 288
习题7-12图1
（2）根据该管网的风量和风压需求，选择T4-72NO.5A型普通离心风机，额定转速1450r/min。其性能曲线见习题7-12图1。它与（1）中求出的管网特性曲线（图中虚线）的交点为风机的工况点，可以求出风机的工作风量为6000 m3/h，输出全压为648Pa。此时各管段的实际流量
见习题7-12表1。其中，管段4-5和4-6的流量分配按计算。按照计算出各管段的实际压力损失，见习题7-12表1，绘制压力分布图，见习题7-12图2。
习题7-12图2
（3）送风口5关闭后，管网的总阻抗为777.6 kg/m7，作此时管网特性曲线，见习题7-12图1中细实线。此时风口6的实际风量为3750 m3/h。欲使其风量为设计风量2000 m3/h，
可调整风机转速至r/min。
管段1-2 3-4 4-6 4-5
流量（kg/h）5000 5000 2000 3000
阻力（kPa）15 15 25 25
求该管网水泵要求的扬程并绘制水压图。水龙头出水要求有2m的剩余水头。
习题图7-2
解：该管网水泵要求的扬程按管路1-2-3-4-6 计算。
实际工程中选择水泵时还应根据工程情况考虑10%~20%的安全余量，以保证在实际条件与计算条件发生偏差时仍能满足要求。以水泵轴线标高为基准面，绘制水压图如下。
7-14 习题图3是一个室内热水采暖管网。水力计算结果见下表：
管段1-2 2-3 3-4 4-5 2-5 5-6
流量（kg/h）6000 3000 3000 3000 3000 6000
阻力（Pa）25000 15000 35000 15000 65000 30000 管径（mm）50 32 32 32 25 50
习题图7-3
（1）求该管网的特性曲线；
（2）为该管网选择水泵、求水泵的工况点，并绘制管网在水泵工作时的压力分布图；
（3）求当3-4之间的阀门关闭时水泵的工况点并绘制此时管网的压力分布图；
（4）3-4之间的阀门关闭后，2-5之间的用户的实际流量是多少？要使其得到设计流量，该如何调节？
解：（1）根据计算各管段阻抗，其中流量的单位为t/h，的单位为mH2O，管段阻抗单位为mH2O/(t/h)2。结果填入计算表1；按照管段的串并联关系，计算管网系统得总阻抗，见计算表1。
阻抗计算(mH2O/(t/h)2) 计算表1
管段1-2 2-3 3-4 4-5 2-5 5-6
管段阻抗0.0709 0.1701 0.3968 0.1701 0.7370 0.0850
2-3，3-4，4-5串联阻抗0.7370
2-3-4-5与2-5并联阻抗0.1842
系统总阻抗0.3401
因此，此管网的管网特性曲线方程为，其中流量的单位为t/h。绘出曲线如图习题7-14解答图1中曲线I。
（2）该管网设计总流量6t/h，总阻力12mH2O。选择IRG40-100型离心式管道热水泵，其性能参数如下表：
流量(t/h) 扬程(mH2O) 转速(r/min) 功率(kW) 电机功率(kW)
4.4 13.2
2900 0.33
0.55
6.3 12.5 0.4
8.3 11.3 0.48
将水泵的特性曲线绘制在7-14解答图1中，即曲线II，它与管网特性曲线I的交点a为水泵的工况点。由图可知，水泵输出流量为6.10 t/h，扬程为12.6mH2O。管段3-4和管段2-5的流量均为3.05 t/h，计算出各管段阻力见下表：
管段1-2 2-3 3-4 4-5 2-5 5-6
流量(t/h) 6.10 3.05 3.05 3.05 3.05 6.10
阻抗（mH2O/(t/h)2）0.0709 0.1701 0.3968 0.1701 0.7370 0.0850
阻力(mH2O) 2.6 1.6 3.7 1.6 6.8 3.2
以水泵轴线为压力0-0基准高度线。膨胀水箱与管网的联结点6为定压点，水头值为7mH2O，根据各管段的阻力和水泵的工作扬程，可计算出各节点的水头，见下表：
节点 1 2 3 4 5 6
1 19.6 17.0 15.4 11.7 10.
2 7.0
水压图如图习题7-14解答图2所示。
（3）3-4管段上的阀门关闭，此时系统的总阻抗为0.8929 mH2O/(t/h)2，管网特性曲线见
7-14解答图1曲线III。水泵工况点为b，输出流量为3.86 t/h，水泵扬程13.3 mH2O。各管段阻力与节点压力计算结果见下表。水压图如图习题7-14解答图3所示。
管段编号管段阻力（mH2O）节点编号节点压力（mH2O）
1-2 1.1 1 20.3
2-5 11.0 2 19.3
5-6 1.3 5 8.3
6-1 0.0 6 7.0
习题7-14解答图1
习题7-14解答图2 习题7-14解答图3
（4）3-4管段上的阀门关闭后，2-5之间的用户流量为3.86 t/h。欲使该用户保持设计流量3 t/h，可以关小2-5管段上的阀门，将管网阻抗增加至1.4950 mH2O/(t/h)2，此时水泵扬程
位13.5 mH2O；或调节水泵的转速，此时应使水泵工作在t/h的竖直线与管网特性曲线III的交点c。c与b为相似工况点，因此可根据相似关系式计算得出水泵的转速：
r/min
此时水泵扬程为8.0 mH2O。
7-15 如习题图7-4，在设计流量Q I=Q II=Q III=100 m3/h时，阻力△P AA1=△P A1A2=△P A2A3=20kPa；△P B3B2=△P B2B1=△P B1B=20kPa；△P A3B3=80kPa。
（1）画出此管网的压力分布图；
（2）用户II开大阀2，将流量Q II增加到150 m3/h。此时△P A2B2 =100kPa，这时管网的压力分布图将怎样变化？并请计算I、III的水力失调度；
（3）计算用户III的水力稳定性，提出增大用户水力稳定性的措施。
习题图7-4
习题7-15解答图
解：（1）压力分布图如习题7-15解答图（a）所示。
（2）根据各管段压降和流量，用计算各管段阻抗，见下表。A2-B2管段的阀门开度发生了变化，其阻抗相应发生变化，采用调节阀门后的压降和流量计算；其余各管段阻抗不发生变化，可采用原来的流量与压降计算。结果见下表。
管段压降Pa 流量m3/h 阻抗Pa·(m3/h) -1
A-A1 20000 300 0.222
A1-A2 20000 200 0.5
A2-A3 20000 100 2
A1-B1 160000 100 16
A2-B2100000150 4.444
A3-B3 80000 100 8
B3-B2 20000 100 2
B2-B1 20000 200 0.5
B1-B 20000 300 0.222
管网水力工况计算见下表：
用户III流量m3/h 91.29
150
用户II流量m3/h
已知
A1-A2和B2-B1压降Pa 58219.46
A1-B1压降Pa 158219.46 用户I流量m3/h 99.44
总流量m3/h 340.73
A-A1和B1-B压降Pa 51598.37
总压降Pa 209817.83 压力分布图如习题7-15解答图（b）所示。
用户I的水力失调度
用户III的水力失调度
（3）用户III的水力稳定性。提高用户水力稳定性的主要方法是相对地增大网路干管的管径，以减小网路干管的压降；或相对地增大用户系统的压降。适当地增大靠近动力装置的网路干管的直径，对提高网路的水力稳定性效果更为显著；为了增大用户系统的压降，可采用安装高阻力小管径阀门等措施。在运行时，应尽可能将网路干管上的阀门开大，而把剩余作用压差消耗在用户系统上。
7-16 如习题图7-5所示的管网，在设计流量Q I=Q II=Q III=240 m3/h时，各管段的流动阻力为：△H AA1=△H A1A2=△H A2A3=5 mH2O；△H B3B2=△H B2B1=△H B1B=5 mH2O，△H AB＝10 mH2O，△H A3B3＝10 mH2O。水泵转速为1450r/min，性能参数见表a：
习题图7-5
参数序号 1 2 3 流量（m3/h）500 720 900
扬程（mH2O）54.5 50 42
效率（％）72 80 80
（1）由于负荷减小，三个用户均关小自己的阀门，将流量降低到167 m
工况点，计算其消耗的功率。这时，各个用户支路的阻抗分别增加了多少？计算阀门上的功率损耗。
（2）若用户阀门开度不变，依靠水泵变频调小转速来满足用户的流量需求（三个用户均为167 m3/h），求此时水泵的转速和消耗的功率。
（3）如果控制水泵进出口的压差恒定（P2-P1=50mH2O）来控制水泵的转速以满足用户的流量需求（三个用户均为167 m3/h），此时各个用户仍需调小阀门。试求水泵此时的转速和消耗的功率，并计算因各个用户关小阀门增加的功率损耗。
（4）根据（1）～（3）的计算结果，你能得到什么样的启示？
解：（1）此时管网系统的总流量为500 m3/h。水泵的性能曲线不变，因此，水泵的工况点应
调整到习题7-16解答图中的b点，水泵输出扬程应为54.5 mH2O，则管网系统的总阻抗
管网特性曲线为图中曲线II。水泵消耗的功率
kW
根据设计流量和压降，可计算出各管段的设计阻抗，列于表1。各干管不进行调节，阻抗不变，可按照调节后的流量计算出用户支路调节后各干管的压降，列于表1。支路A3B3的压降等于调
节后系统总压降-干管A-A3压降-干管B3-B压降-干管B-A压降。同理依次计算支路A2B2、支路A1B1的压降，列于表1。根据用户支路调节后的流量和压降，可计算出调节后的阻抗和阻抗的增量，见表1。
管段阻抗计算表1
管段
设计
压降
mH2O
设计
流量
m3/h
设计阻抗
mH2O/( m3/h)2
调节后流
量
m3/h
调节后压
降
mH2O
调节后阻抗
mH2O/( m3/h)
2
阻抗增加值
mH2O/( m3/h)2
A-A1 5 720 9.64506E-06 500 2.41 未调节0
A1-A2 5 480 2.17014E-05 333 2.41 未调节0
A2-A3 5 240 8.68056E-05 167 2.42 未调节0
A1-B1 30 240 5.20833E-04 167 44.85 0.001608331 1.08750E-03 A2-B2 20 240 3.47222E-04 167 40.04 0.001435757 1.08854E-03 A3-B3 10 240 1.73611E-04 167 35.20 0.001262146 1.08854E-03 B3-B2 5 240 8.68056E-05 167 2.42 未调节0
B2-B1 5 480 2.17014E-05 333 2.41 未调节0
B1-B 5 720 9.64506E-06 500 2.41 未调节0
B-A 10 720 1.92901E-05 500 4.82 未调节0
管网在设计状况下的阻抗是
设计状况下的管网特性曲线为图中曲线I。如果用户的阀门不调节，管网工作在500 m3/h的流量时，需要的扬程是24.1 mH2O，即图中c点，该点与a点为相似工况点，效率近似相等。因此阀门上的功率损耗为：
kW
（2）若用户阀门开度不变，依靠水泵变频调小转速来满足用户的流量需求，此时管网工作在500 m3/h，需要的扬程是24.1 mH2O，即图中c点，c点与a点为相似工况点，应用相似律关系式，转速应为：
r/min
功率应为：
kW
（3）如果控制水泵进出口的压差恒定（P2-P1=50mH2O）来控制水泵的转速，此时水泵工作
的扬程应为50mH2O、流量为500 m3/h，即应工作在图中d点。过d点作相似工况曲线，
与管网特性曲线III重合，与水泵性能曲线交点e与d为相似工况点，应用相似律关系式，水泵此时的转速：
r/min
水泵此时的功率
kW
阀门上的功率损耗 kW
（4）通过以上计算，我们发现，当不调节水泵、仅管网通过关小阀门减小流量，阀门上的功率损耗最大；保持水泵输出压差不变、调整水泵的转速以减小流量的方法，阀门上的功率损耗稍小，水泵节电效果不明显；如果能够保持阀门开度不变、减小水泵的转速以调小流量，水泵的节电效果最明显，但应注意，这种情况下，各用户的流量比例保持与设计流量下的比例一致。
习题7-16解答图
7-17 确定某蒸汽管路VP型单座直通调节阀的口径。阀前蒸汽绝对压力为Pa，回水绝对
压力为Pa，所需最大加热量为174.16kW。VP型单座直通调节阀的主要参数见表b。解：查水蒸气表可得绝对压力为4×105Pa下水蒸汽的饱和温度为143.62℃，汽化潜热为
。
现计算其流量
∴，调节阀出口的绝对压力应为
，对应密度
故最大流通能力
查表b可知，可选择公称直径25mm，阀座直径26mm的阀门，流通能力。
7-18 为某空调机组表冷器的冷水管路选择VP型直通单座调节阀，并进行开度和可调比验算。支路的压差为5mH2O，最大水流量为10m3/h，最小水量为3 m3/h。
VP型单座直通调节阀主要参数表表b
公称直径（mm）阀座直径
（mm）
流通能力
C
最大行程
（mm）
流量特性
公称压力
（MPa）
允许压差
（MPa）
工作温度
（℃）
20 10
12
15
20
1.2
2
3.2
5
10
直线、
等百分比
1.6
4.0
6.4
≥1.35
普通型：
-20~200
（铸铁）
散热型：
25 26 8 16 0.8 -40~450
（铸钢）
-60~450
（铸不锈钢）
长颈型
-250~60
32 32 12 16 0.55
40 40 20 25 0.5
50 50 32 25 0.3
65 66 50 40 0.3
80 80 80 40 0.2
100 100 120 40 0.12
125 125 200 60 0.12
150 150 280 60 0.08
200 200 450 60 0.05
解：
1）采用流量特型为直线型的调节阀，S V=0.5
2）计算流通能力
阀门全开时的压差Pa
查表，选择公称直径40mm的阀门，流通能力。
3）开度验算，最大流量时
最小流量时
4）可调比验算
实际最大流量与最小流量之比为10/3=3.33，可调比满足要求。
你若许我此生缘，
陪我聆听清风，我愿回你这世情，共赴天涯海角，
心守一人，
相伴一世，
择一城终，
白首不相离！
必修五解三角形常考题型非常全面
必修五解三角形常考题型 1.1正弦定理和余弦定理 1.1.1正弦定理 【典型题剖析】 考察点1：利用正弦定理解三角形 例1 在V ABC 中，已知A:B:C=1:2:3,求a :b :c. 【点拨】 本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。 解：::1:2:3,A . ,,, 6 3 2 1::sin :sin :sin sin :sin :sin :1 2.6 3 2 2A B C B C A B C a b A B C ππ π π π π π =++=∴= = = ∴=== =Q 而 【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。 例2在ABC 中，已知 ，C=30°，求a+b 的取值范围。 【点拨】 此题可先运用正弦定理将a+b 表示为某个角的三角函数，然后再求解。 解：∵C=30°， ，∴由正弦定理得： sin sin sin a b c A B C === ∴ )sin （150°-A ）. ∴ )[sinA+sin(150° )·2sin75°·cos(75° -A)= 2 cos(75°-A) ① 当75°-A=0°，即A=75°时，a+b 取得最大值 2 ； ② ∵A=180°-(C+B)=150°-B,∴A ＜150°，∴0°＜A ＜150°, ∴-75°＜75°-A ＜75°，∴cos75°＜cos(75°-A)≤1， ∴＞ 2 cos75° = 2 × 4 . 综合①②可得a+b 的取值范围为 ,8+ 考察点2：利用正弦定理判断三角形形状 例3在△ABC 中，2 a ·tanB=2 b ·tanA ，判断三角形ABC 的形状。 【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断△ABC 的形状。
线性代数第3章_线性方程组习题解答
习题3 3-1．求下列齐次线性方程组的通解： （1）?? ? ??=--=--=+-087305302z y x z y x z y x . 解 对系数矩阵施行行初等变换，得 ???? ? ??-----?→?????? ??-----=144072021 1873153211A )(000720211阶梯形矩阵B =???? ? ??-?→? ??? ?? ??-?→?0002720211)(000271021101行最简形矩阵C =????? ? ???→? ， 与原方程组同解的齐次线性方程组为 ??? ??? ?=+=+02702 11 z y z x ， 即 ??? ??? ?-=-=z y z x 272 11（其中z 是自由未知量）， 令1=z ，得到方程组的一个基础解系 T )1,2 7,211(-- =ξ, 所以，方程组的通解为
,)1,2 7,211(T k k -- =ξk 为任意常数． （2）??? ??=+++=+++=++++0 86530543207224321 432154321x x x x x x x x x x x x x . 解 对系数矩阵施行行初等变换，得 ???? ? ??--?→?????? ??=21202014101072211086530543272211A )(7000014101072211阶梯形矩阵B =????? ??-?→? ???? ? ??-?→?70000141010211201 )(100000101001201行最简形矩阵C =???? ? ???→?， 与原方程组同解的齐次线性方程组为 ??? ??==+=++00 025 42431x x x x x x ， 即 ??? ??=-=--=025 4 2431x x x x x x （其中43,x x 是自由未知量）， 令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T ，得到方程组的一个基础解系 T )0,0,1,0,2(1-=ξ，T )0,1,0,1,1(2--=ξ， 所以，方程组的通解为
五年级解方程练习题180题(有答案)(2)
五年级解方程180题有答案(1) (0.5+x)+x=9.8 - 2 (12) X+8.3=10.7 (2) 2(X+X+0.5)=9.8 (13) 15x = 3 (3) 25000+x=6x (14) 3x -8= 16 (4) 3200=440+5X+X (15) 3x+9=27 (5) X-0.8X=6 (16) 18(x-2)=270 (6)12x-8x=4.8 (17) 12x=300-4x (7) 7.5+2X=15 (18) 7x+5.3=7.4 (8)1.2x=81.6 (19) 3x - 5=4.8 (7) x+5.6=9.4 (25) 0.5x+8=43 (10)x-0.7x=3.6 (26) 6x-3x=18 (11)91 - x = 1.3 (27) 7(6.5+x)=87.5
(28) 0.273 - x=0.35 (40) 20-9x=2 (29) 1.8x=0.972 (41) x+19.8=25.8 (30) x - 0.756=90 (42) 5.6x=33.6 (31) 0.1(x+6)=3.3 X 0.4 (43) 9.8-x=3.8 (32) (27.5-3.5) - x=4 (44) 75.6 - x=12.6 (33) 9x-40=5 (45) 5x+12.5=32.3 (34) x - 5+9=21 (46) 5(x+8)=102 (35) 48-27+5x=31 (47) x+3x+10=70 (36) 10.5+x+21=56 (48) 3(x+3)=50-x+3 (37) x+2x+18=78 (49) 5x+15=60 (38) (200-x) - 5=30 (50) 3.5-5x=2 (39) (x-140) - 70=4 (51) 0.3 X 7+4x=12.5
解三角形的必备知识和典型例题及习题
解三角形的必备知识和典型例题及习题 一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。 （1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。 （1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a 2＝ b 2＋ c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3．三角形的面积公式： （1）?S ＝ 21ah a ＝21bh b ＝2 1ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）?S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型： （1）两类正弦定理解三角形的问题： 第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题： 第1、已知三边求三角. 第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 5．三角形中的三角变换 三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。
解方程练习题【经典】
解方程测试题 请使用任意方法解下列方程，带*的必须检验。 9.3x=32.2 32x=73.1 131×x=25 99.3x=85 75.9÷x=20.6 x+68.2=54.6 x×95.6=6.7 119×x=98.3 77x=92.3 x×44.2=130 x÷75.3=94.7 42.2-x=71.7 125+x=102 89x=10 x×90.1=9.5 42.2+x=96 56-x=99.0 115÷x=34.2 54.5+x=50.1 133x=50.2 x+27.7=39.7 28.5-x=52.3 x×31.3=6.8 50.4x=108 49.1x=50.5 x×94.9=79 x+44.2=84.8 x×31.3=148 21.5x=77 35x=26.5 24.5×x=3.9 26.2x=65.4 105x=14.7 x÷17=77.8 x×83.1=19.4 29.0-x=17.6 12.6x=81.1 145x=98.6 7.0x=18.3 x+8=21.5 69.7x=106 20.8+x=20 84.7x=28.5 x-78.5=23 41x=60.3 59.6x=96.6 24.3x=30 54x=96 108x=25.2 68-x=40.5 x÷65.5=148 60x=82.1
x÷60.6=83 2.0+x=76.3 x×2=138 12x=36.0 77.2x=73.1 x-100.2=81.0 67×x=48.1 145+x=20.9 64.9x=96.7 65.2÷x=44.5 35.4+x=67.0 x-98=3.5 34.7+x=60.1 78.6x=49.3 x+14=98.0 x-129=88 x+48=31.9 34x=42.7 75+x=53 72.0x=107 43x=17.9 74.2+x=71 68x=9.8 121x=39.7 x+69.3=25.6 10.5x=45.0 96.7×x=66.6 50.9÷x=79.9 x÷74=68 65+x=148 x÷88.5=27 35.6÷x=39.4 60.0x=92.5 87.1x=24.8 x×72.8=34.2 63.9x=23 x÷23.4=99.6 143x=36.4 98x=61.0 x-31.4=21 x-91.3=18.9 x×66=3.0 39.8×x=16.7 27.0÷x=9.3 7.3×x=32.6 8.8x=17.7 94.5x=28.3 x-10.5=84.8 x×44.8=83 101-x=9.8 74.1x=29.2 7×x=91 79.6÷x=124 51.4-x=43 52.4x=72.6 60.0-x=33
解三角形典型例题
1．正弦定理和余弦定理 在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则 2.S △ABC ＝2ab sin C ＝2bc sin A ＝2ac sin B ＝4R ＝2(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r . 1.在△ABC 中，A >B ?a >b ?sin A >sin B ?cos A 3 线性方程组 3、1 知识要点解析(关于线性方程组的常用表达形式) 3.1.1 基本概念 1、方程组1111221n 1211222 2n 2m11m22mn m x x b x x b x x b a a a a a a a a a +++=??+++=? *???++ +=? 称为含n 个未知量m 个方程的线性方程组, i)倘若12m b ,b ,....,b 不全为零,则该线性方程组称为非齐次线性方程组; ii)若12m b =b = =b 0=,则该线性方程组就就是齐次线性方程组, 这时,我们也把该方程组称为1111221n 1211222 2n 2m11m22mn m x x x x x x a a a a a a a a a ++ +=??+++=? ???++ +=?c c c 的导出组, (其中12m c ,c ,...c 不全为零) 2、记1111 1221 n m x b x b ,x ,b x b n m mn a a A a a ???? ?? ? ? ? ? ?== ? ? ? ? ? ??? ???? = 则线性方程组(*)又可以表示为矩阵形式 x b A =** 3、又若记 1j 2j j mj ,j 1,2, n a a a α?? ? ? == ? ? ??? 则上述方程游客一写成向量形式 1122n n x x x b. ααα++ +=***。 同时,为了方便,我们记(,b)A A =,称为线性方程组(*)的增广矩阵。 3.1.2 线性方程组解的判断 1、齐次线性方程组x 0A =,(n=线性方程组中未知量的个数 对于齐次线性方程组,它就是一定有解的(至少零就就是它的解), i)那么,当r n A =秩()=时,有唯一零解; ii)当r n A =秩()<时,又非零解,且线性无关解向量的个数为n-r 、 2、非齐次线性方程组x b A = ()<() ()=()=n, ()=()()=() 五年级解方程练习题 方程：含有未知数的等式叫做方程。 方程的解：使方程成立的未知数的值叫做方程的解。解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 解方程的依据：1. 等式性质（等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立； 等式两边同时乘以或除以同一个数，等式仍然成立。） 2. 加减乘除法的变形。 加法：加数1+加数2=和 加数1=和–加数2 加数2=和–加数1 减法：被减数–减数=差 被减数=差+减数 减数=被减数–差 乘法：乘数1×乘数2 =积 乘数1=积÷乘数2 乘数2=积÷乘数1 除法：被除数÷除数= 商 被除数=商×除数 除数=被除数÷商 一、解方程： 20x-50=50 28+6 x =88 32-22 x =10 24-3 x =3 10 x ×（5+1）=60 99 x =100- x 36÷x=18 x÷6=12 56-2 x =20 4y+2=6 x+32=76 3x+6=18 16+8x=40 2x-8=8 4x-3×9=29 二、解方程： 8x-3x=105 x-6×5=42+2x 2x+5=7 ÷ 3 2（x+3）=10 12x-9x=9 6x+18=48 56x-50x=30 5x=15（x-5）78-5x=28 32y-29y=3 5（x+5）=15 89 – 9x =80 100-20x=20+30x 55x-25x=60 76y÷ 75=1 23y÷23=23 4x-20=0 80y+20=100-20y 53x-90=16 2x+9x=11 12（y-1）=24 80÷5x=100 7x÷8=6 65x+35=100 19y+y=40 25-5x=15 1. 解：cos cos cos ,sin cos sin cos sin cos a A b B c C A A B B C C +=+= sin 2sin 2sin 2,2sin()cos()2sin cos A B C A B A B C C +=+-= cos()cos(),2cos cos 0A B A B A B -=-+= cos 0A =或cos 0B =，得2A π=或2B π= 所以△ABC 是直角三角形。 2. 证明：将ac b c a B 2cos 222-+=，bc a c b A 2cos 2 22-+=代入右边 得右边22222222 22()222a c b b c a a b c abc abc ab +-+--=-= 22a b a b ab b a -==-=左边， ∴)cos cos (a A b B c a b b a -=- 3．证明：∵△AB C 是锐角三角形，∴,2A B π+>即022A B ππ>>-> ∴sin sin()2 A B π >-，即sin cos A B >；同理sin cos B C >；sin cos C A > ∴C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++ 4.解：∵2,a c b +=∴sin sin 2sin A C B +=，即2sin cos 4sin cos 2222 A C A C B B +-=， ∴1sin cos 222B A C -==0,22 B π<<∴cos 2B = ∴sin 2sin cos 22244B B B ==?=839 5解：22222222sin()sin cos sin ,sin()cos sin sin a b A B a A B A a b A B b A B B ++===-- cos sin ,sin 2sin 2,222cos sin B A A B A B A B A B π===+=或2 ∴等腰或直角三角形 6解：2sin sin 2sin sin )sin ,R A A R C C b B ?-?=- 222sin sin )sin ,,a A c C b B a c b -=--=- 线性方程组 1. 用消元法解方程组?????? ?=- +-+=-- + - =-+-+ =- -+-5 2522220 21 22325 4 321 53 2 154321 5 4321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x . 解: 方程组的增广矩阵 : ????? ???????---------→????????????---------→????????????---------420200110100112430211321312630202530112430211321512522110112121111211321? ??? ????? ???--------→60000 0110100112430211321,可知,系数矩阵的秩为3,增广矩阵的秩为4,系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩,从而方程组无解. 2. 讨论λ为何值时,方程组??? ??=++ = + +=++2 3 2 1 3 2 1 321 1 λλλλλx x x x x x x x x 有唯一解、无解和有无穷多解。 解：将方程组的增广矩阵进行初等行变换，变为行阶梯矩阵。 ()() ()()B A =??? ? ???? ? ?+------→→???? ????? ?→?? ??? ?????=22 2 2211210 1101 111 1 11111 1 1 1 111λλλλλλλ λλλ λλλλλλλ λλ λΛ于是，当2,1-≠λ时，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，都等于3，等于未知量的个数，此 时方程组有唯一解;2 )1(,21,213 321++-=+=++- =λλλλλx x x 当2-=λ时，系数矩阵的秩为2，增广矩阵的秩为3，此时方程组无解； 当1=λ时，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，都等于1，小于未知量的个数，此时方程组有无穷多解，即3211x x x --=，其中32,x x 为自由未知量。 一、知识梳理 1．内角和定理：在ABC ?中，A B C ++=π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C - 面积公式: 111 sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ?= == 在三角形中大边对大角，反之亦然. 2．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. 形式一：R C c B b A a 2sin sin sin === (解三角形的重要工具) 形式二： ?? ? ??===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 (边角转化的重要工具) 形式三：::sin :sin :sin a b c A B C = 形式四： sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R = == 3.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.. 形式一：2 2 2 2cos a b c bc A =+- 2 2 2 2cos b c a ca B =+- 222 2cos c a b ab C =+-(解三角形的重要工具) 形式二： 222cos 2b c a A bc +-= 222cos 2a c b B ac +-= 222 cos 2a b c C ab +-= 二、方法归纳 (1)已知两角A 、B 与一边a ,由A +B +C =π及sin sin sin a b c A B C == ，可求出角C ，再求b 、c . (2)已知两边b 、c 与其夹角A ，由a 2=b 2+c 2 -2b c cosA ，求出a ，再由余弦定理，求出角B 、C . (3)已知三边a 、b 、c ，由余弦定理可求出角A 、B 、C . (4)已知两边a 、b 及其中一边的对角A ，由正弦定理sin sin a b A B = ，求出另一边b 的对角B ，由C =π-(A +B )，求出c ，再由sin sin a c A C =求出C ，而通过sin sin a b A B = 求B 时，可能出一解，两解或无解的情况 a = b sinA 有一解 b >a >b sinA 有两解 a ≥b 有一解 a >b 有一解 三、课堂精讲例题 问题一：利用正弦定理解三角形 一、基本练习： x+4=10 x-12=34 8x=96 4x－３０＝０８.3x－２x＝６３x÷10 = 5.2 二、提高练习： 3x+ 7x +10 = 90 3（x - 12）+ 23 = 35 7x－8＝2x＋27 5x -18 = 3–2x （7x - 4）+3（x - 2）= 2x +6 三、列方程解应用题： 1、食堂运来150千克大米，比运来的面粉的3倍少30千克。食堂运来面粉多少千克？ 2、李师傅买来72米布，正好做20件大人衣服和16件儿童衣服。每件大人衣服用2.4米，每件儿童衣服用布多少米？ 综合练习 1、80÷x＝20 2、12x＋8x－12＝28 3、3（2x－1）＋10=37 4、1.6x＋3.4x－x－5＝27 5、2（3x－4）＋（4－x）＝4x 6、3（x+2）÷5=（x+2） 7、（3x＋5）÷2＝（5x－9）÷3 0.7(x＋0.9)=42 1.3x＋2.4×3=12.4x＋(3－0.5)=127.4－(x－2.1)=6 1、果园里有52棵桃树，有6行梨树，梨树比桃树多20棵。平均每行梨树有多少棵？ 2、一块三角形地的面积是840平方米，底是140米，高是多少米？ 能力升级题 1、7（4－x）＝9（x－4） 2、128－5(2x+3)=73 3、1.7x＋4.8＋0.3x＝7.8 4、x÷0.24＝100 5、 3（x +1 ）÷（2x – 4）= 6 1、一辆时速是50千米的汽车，需要多少时间才能追上2小时前开出的一辆时速为40千米汽车？(列方程解答) 2、学校举行书画竞赛,四、五年级共有75人获奖,其中五年级获奖人山数是四年级的1.5倍,四、五年级各有多少同学获奖? (列方程解答) 线性方程组解的结构（解法） 一、齐次线性方程组的解法 【定义】 r (A )= r 1．设向量组123,,ααα线性无关，向量1β可由123,,ααα线性表示，而向量2β不能由123,,ααα线性表示，则对于任意常数k ,必有（ ）A (A) 12312,,,k αααββ+线性无关； （B ）12312,,,k αααββ+线性相关; ( C) 12312,,,k αααββ+线性无关； (D) 12312,,,k αααββ+线性相关 2．n 维向量组)1(,,,21n s s ≤≤ααα 线性无关的充要条件是 （ D ） (A) 存在一组不全为零的s k k k ,,21 ,使得02211=+++s s k k k ααα (B) s ααα ,,21 中的任何两个向量都线性无关 (C) s ααα ,,21 中存在一个向量，它不能被其余向量线性表示 (D) s ααα ,,21 中的任何一个向量都不能被其余向量线性表示 3. （1）若两个向量组等价，则它们所含向量的个数相同； （2）若向量组}{21r ααα，，， 线性无关，1+r α可由r ααα ,21,线性表出，则向量组}{121+r ααα，，， 也线性无关； （3）设}{21r ααα，，， 线性无关，则}{121-r ααα，，， 也线性无关； （4）}{21r ααα，，， 线性相关，则r α一定可由121,-r ααα ，线性表出；以上说法正确的有（ A ）个。 A .1 个 B .2 个 C ．3 个 D .4个 4．向量组A :12,,,n ααα 与B :12,,,m βββ 等价的充要条件为（ C ）. A .()()R A R B =； B .()R A n =且()R B m =； C ．()()(,)R A R B R A B ==； D .m n = 5．讨论a ，b 取什么值时，下面方程组有解，对有解的情形，求出一般解。 1234123423412341322235433x x x x x x x x a x x x x x x x b +++=??+++=??++=??+++=?。 答案：a ＝0，b ＝2有解；其他无解。 (-2,3,0,0)’+k1(1,-2,1,0)’+k2(1,-2,0,1)’ 6．试就k 的取值情况讨论以下线性方程组的解,并在有无穷的解时求出通解: 课程设计阶段性报告 班级：学号：姓名：申报等级： 题目：线性方程组求解 1.题目要求：输入是N（N<256）元线性方程组Ax=B，输出是方程组的解，也可能无解或有多组解。可以用高斯消去法求解，也可以采用其它方法。 2.设计内容描述：将线性方程组做成增广矩阵，对增广矩阵进行变换然后采用高斯消元法消去元素，从而得到上三角矩阵，再对得到的上三角矩阵进行回代操作，即可以得到方程组的解。 3.编译环境及子函数介绍：我使用Dev-C++环境编译的，调用uptrbk() FindMax()和ExchangeRow(),uptrbk是上三角变换函数，FindMax()用于找出列向量中绝对值最大项的标号，ExchangeRow()用于交换两行 4. 程序源代码： #include //交换矩阵中的两行 void ExchangeRow(int p,int j,double *A,int N) { int i=0; double C=0.0; for(i=0;i 知识回顾: 4、理解定理 (1) 正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即 存在正数 k 使 a ksinA ， ________________ ， c ksinC ； （2）」 b J 等价于 ______________________ sin A sin B sin C (3) 正弦定理的基本作用为: 正弦、余弦定理 1、直角三角形中，角与边的等式关系：在 Rt ABC 中，设 BC=a ，AG=b , AB=c , 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有 -sin A ，- sin B ，又sinC 1 -，从而在直角三 c c c 角形ABC 中，-?- sin A b sin B c si nC 2、当 ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是CD 根据任意角三角函数的定义, 有 CD=asinB bsinA ，则 一- b ，同理可得一 sin A sin B sin C b sin B 从而」- sin A b sin B c sin C 3、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的 ____ 的比相等，即旦 sin A b sin B c sin C c b a c sin C sin B ' sin A sin C ① 已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如 a bsinA ； b sin B ② 已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值， 如 sin A a sin B ； sinC . b (4) 一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作 解三角形? 5、知识拓展 6、 勾股定理： ___________________________________ 7、 余弦定理：三角形中 __________ 平方等于 _______________________ 减去 _____________ ______________ 的两倍，即a 2 b 2 8、余弦定理的推论: cosC ____________________________ 。 9、在 ABC 中，若a 2 b 2 c 2,则 ______________________ ，反之成立; 典型例题: a b sin A sin B c si nC 2R ，其中2R 为外接圆直径. c 2 cosA cosB 线性方程组练习题 §1 向量的线性关系 1．判断下列向量组是否线性无关： （1）????? ??-11 2，????? ??-840，????? ??-311； （2）??????? ??01014，??????? ??1521，??????? ??1202，?????? ? ??7024。 2．讨论下面向量组的线性相关性： ???????? ??12211，???????? ??-15120，???????? ??-141b a 。 3．设????? ??=1111a ，????? ??=3211a ，???? ? ??=t 311a 。 （1）问当t 为何值时，321,,a a a 线性相关？ （2）问当t 为何值时，321,,a a a 线性无关？ （3）当321,,a a a 线性相关时，问3a 是否可以由1a ，2a 线性表示？若能，写出具体表达式。 4．设有向量组 ??????? ??+=11111t a ，??????? ??+=22222t a ，??????? ??+=33333t a ，?????? ? ??+=t 44444a 。 问：（1）当t 为何值时，4321,,,a a a a 线性相关？ （2）当t 为何值时，4321,,,a a a a 线性无关？ 5．设321,,a a a 线性无关，问当参数l ，m 满足何种关系时，12a a -l ，23a a -m ，31a a -也线性无关？ 6．设m a a a ,,,21 线性无关，作 211a a b +=，322a a b +=，…，m m m a a b +=--11，1a a b +=m m 。 判别m b b b ,,,21 的线性相关性。 7．设21,a a 线性无关，b a b a ++21,线性相关，问b 能否由21,a a 线性表示？ 8．设321,,a a a 线性相关，432,,a a a 线性无关。问： （1）1a 能否由32,a a 线性表示； （2）4a 能否由321,,a a a 线性表示。 9．若T k k ),,0(2=b 能由T k )1,1,1(1+=a ，T k )1,1,1(2+=a ，T k )1,1,1(3+=a 唯一 四年级解方程典型练习题 练习一 【知识要点】学会解含有三步运算的简易方程。 2、口算下面各题。 3.4a－a= a－0.3a= 3.1x－ 1.7x= 0.3x＋3.5x＋x= 15b－4.7b= 6.7t－t= 32x－4x x－0.5x－0.04x= 3、解方程。 2x＋0.4x=48(并检验) 8x－ x=14.7 35x＋13x=9.6 4、列出方程，并求出方程的解。 ①x的7倍比52多25。②x的9倍减去x的5倍，等于24.4。 ①0.3乘以14的积比x的3倍少0.6。②x的5倍比3个7.2小3.4。 ③一个数的3倍加上它本身 2、苹果：x千克 梨子：比苹果多270千克 求苹果、梨子各多少千克？ 3、两个数的和是144，较小数除较大数，商是3，求这两个数各是多少？ 练习二 1、解方程 0.52×5－4x=0.6 0.7(x＋0.9)=42 1.3x＋2.4×3=12.4 x＋(3－0.5)=12 7.4－(x－2.1)=6 5(x＋3)=35 x＋3.7x＋2=16.1 14x＋3x－1.2x=158 5x＋34=3x ＋54 【拓展训练】 1、在下面□里填上适当的数，使每个方程的解都是x=2。 □＋5x=25 5x－□=7.3 2.3x×□ =92 2.9x÷□=0.58 2、列方程应用题。 ①果园里有苹果树270棵，比梨树的3倍少30棵，梨树有多少棵？ ②王阿姨买空11个暖瓶，付了200元，找回35元，每个暖瓶多少元？ ③一个长方形的周长是35米，长是12.5米，它的宽是多少米？ 练习三 1、①学校有老师x人，学生人数是老师的20倍，20x表 示，20x＋x表示。 ②一本故事书的价钱是x元，一本字典的价钱是一本故事书的2.5倍。一本字典元，3本故事书和2本字典一共 是元。 ③甲数是x，乙数是甲数的3倍，甲乙两数的和是。 ④如果x=2是方程3x＋4a=22的解，则a= 。 2、解方程。 5x＋2x=1.4＋0.07 6x－3x=6÷5 x－13.4＋ 5.2=1.57 0.4×25－3.5x=6.5 7x＋3×1.4x=0.2×56 5×(3－2x)=2.4×5 七年级解方程练习题 1、依据下列解方程的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形 依据． 解：原方程可变形为（） 去分母，得3（3x+5）=2（2x﹣1）．（） 去括号，得9x+15=4x﹣2．（） （），得9x﹣4x=﹣15﹣2．（） 合并，得5x=﹣17．（） （），得x=．（） 5（x﹣5）+2x=﹣4 6（x﹣5）=﹣24 5（x+8）﹣5=6（2x﹣7） 7、=﹣1 ﹣=1 1﹣3（8﹣x）=﹣2（15﹣2x） 5（x+8）=6（2x﹣7）+5 4（2x+3）=8（1﹣x）﹣5（x﹣2） = ﹣2 ﹣2= 12（2﹣3x ）=4x +4 ﹣1= 2﹣ =x ﹣ ﹣1= x － 27 x =43 2x + 25 = 35 70%x + 20%x = 3.6 x ×5 3=20×4 1 25% + 10x = 5 4 x - 15%x = 68 x ＋83x ＝121 5x －3× 21 5 ＝75 32 x ÷41＝12 6x ＋5 =13.4 3x =8 3 x ÷7 2=16 7 x ＋8 7x =4 3 4x －6×3 2=2 125 ÷x =3 10 53 x = 72 25 98 x = 6 1×51 16 x ÷ 356=4526 ×25 13 4x －3 ×9 = 29 21x + 61 x = 4 103 x －21×32=4 204 1=+x x 8)6.2(2=-x 6x ＋5 =13.4 25 x -13 x =3 10 4x －6＝38 5x =19 15 x ＋25%x =90 218 x =15 4 x ÷54 =28 15 32x ÷41 =12 x －37 x = 89 53x =7225 98x =61×51 16 中小学1对1课外辅导专家 文成教育学科辅导教案讲义 授课对象 授课教师 徐老师 授课时间 3月11日 授课题目 解三角形复习总结 课 型 复习课 使用教具 人教版教材 教学目标 熟练掌握三角形六元素之间的关系，会解三角形 教学重点和难 点 灵活解斜三角形 参考教材 人教版必修5第一章 教学流程及授课详案 解三角形的必备知识和典型例题及详解 一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。 （1）三边之间的关系：a 2 ＋b 2 ＝c 2 。（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝ c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。 （1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a 2＝ b 2＋ c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3．三角形的面积公式： （1）?S ＝ 21ah a ＝21bh b ＝2 1 ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）；3线性方程组典型习题解析
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