第十八章 热力学与统计物理学概述

第十八章 热力学与统计物理学概述

18-1外界对一个气体系统所作的功可以用式(18-1)表示，即2

1

V V A pdV =-?

由此我们是否可以说，任何没

有体积变化的过程外界都不会对它作功？

答：错误。外界对气体系统作功可以有许多形式，如电场力作功、磁场力作功等，实际上可以把除了热的形式以外的各种传递能量的形式都归结为作功。而式：2

1

V V A pdV =-

?

只适用于一个均匀的气体系统在没

有外场作用的情况下的准静态过程。如果是非准静态过程，体积没有变化，外界也可能对系统作功。如一装有气体的容器在运动中突然停止，这时容器内气体的体积不变，但此时外界对气体有作功。

18-2能否说系统含有多少热量？为什么？

答：错误。因为：对于一个处于一定状态的系统，既不吸热，也不放热，无热量可言。而系统吸热或放热的多少都与过程有关，即热量是一个过程量，不是一个状态量，所以不能说系统含有多少热量。 18-3分别在p -V 图、p -T 图和T -V 图上画出下列过程：等体、等压、等温和绝热。

答：

18-4为什么公式pV C γ

=只有在准静态过程的条件下才成立？

答：（1）因为只有在准静态过程中，每一瞬间系统都处于平衡态，才可以使用理想气体物态方程来描述。

绝热过程

P —V 图

P —T 图

T —V 图

（2）在推导公式pV C γ

=过程中，用到绝热过程dU pdV =-也只有在准静态过程中才成立。

18-5 将20g 的氦气分别按照下面的过程，从17℃升至27℃，试分别求出在这些过程中气体系统内能的变化、吸收的热量和外界对系统作的功：(1)保持体积不变；(2)保持压强不变；(3)不与外界交换热量。

设氦气可看作理想气体，且3

2

V R C ν=。 解：(1)保持体积不变：

外界对系统不作功：0A =；

系统内能的变化为：2

3

6.23102

V U C T R T J ν?=?=?=?；

由热力学第一定律，吸收的热量为： 2

6.2310V Q U J =?=? 这表示，在系统体积不变的情况下，

外界对系统不作功，系统从外界获得的热量全部用于内能的增加。

(2)保持压强不变：

吸收的热量：()3

1.0410p p V Q C T C R T J ν=?=+?=?

系统内能的变化：2

3

6.23102

V U C T R T J ν?=?=?=?

外界对系统作功：2

4.1610p A U Q J =?-=-? 这表示，在系统保持压强不变的情况下，系统从外界获得的热量，一部分用于增加系统的内能，另一部分用于系统对外界作功。

(3)不与外界交换热量，即绝热过程：

吸收的热量：0Q =

系统内能的变化：23

6.23102

V U C T R T J ν?=?=

?=?

外界对系统作功：2

6.2310A U J =?=?这表示，在绝热条件下，系统与外界无热量交换，外界对系统所作的功全部用于内能的增加。

18-6 把标准状态下的14 g 氮气压缩至原来体积的一半，试分别求出在下列过程中气体内能的变化、传递的热量和外界对系统作的功：(1)等温过程；(2)绝热过程；(3)等压过程。设氮气可看作为理想气体，且52

V R

C ν=。

解：(1)等温压缩过程：

外界对系统所作的功：2

21

1221

ln 7.910V V V V V m dV m A pdV RT RT J M V M V =-

=-

=-=??

?

在等温过程中系统内能不变：0U ?=

传递的热量：根据热力学第一定律，有：2

7.910Q A J =-=-?这表示，在等温过程中，系统内能不变，外界对系统所作的功全部以热量的形式释放到外界。

(2)绝热压缩过程：0Q = ()221111V V V T U C T C T T C T T ??

?=?=-=-

???

根据绝热方程：11

1122

TV T V γγ--= 即：1

2112T V T V γ-??= ???

而： 1.4p V

C C γ=

=

所以：12

11219.110V V U C T J V γ-??

?? ??=-=? ? ?????

外界对系统所作的功：2

9.110A U J =?=? 这表示，在绝热压缩过程中，外界对系统所作的功，全部用于系统内能的增加。

(3)等压过程：

根据物态方程，在初态和末态分别有：11m pV RT M =

22m

pV RT M

=,

两式相除，得：

2211V T V T = 或 212111T T V V

T V --= 即：221111V T T T V ??-=- ???

所以，内能的增加为：()3221111 1.4210V V V U C T T C T J V ??

?=-=-=-?

???

; 系统获得的热量为：()3221111 1.9910p p V Q C T T C T J V ??

=-=-=-?

???

外界对系统所作的功为：()3

2

1.42 1.9910 5.710A U Q J J =?-=-+?=?

这表示，在等压过程中，系统向外界释放热量，此热量来自于外界对系统所作的功和自身内能的减小。

18-7 在标准状态下的16 g 氧气经过一绝热过程对外界作功80 J 。求末态的压强、体积和温度。设氧气

为理想气体，且52V R C ν=， 1.4

p

V

C C γ==。

解：系统对外界作功80J ，即：80A J =- 在绝热过程中系统与外界无热量交换，所以：0Q =,

根据热力学第一定律：80U A J ?==- 这表示，在绝热过程中系统降低自身的内能而对外界作功。 系统初态的温度为T 1 = 273 K ，系统内能的变化可以表示为：()21V U C T T ?=-

由此可求得末态的温度：22180273265 2.7105168.31232V

U T T k k k C ??

???-=

+=+=≈?????????

绝热方程可以写为：111122p T p T γγγγ

----=

所以，末态的压强可以求得，为： 1.4

1 1.41

52211126510.9210273T p p atm Pa T γ

γ--????

==?=? ? ?

????

末态的体积为：2

2322

1.210m RT M V m p -==? 18-8 8.0g 氧气原先的温度为27℃，体积为0.41 dm 3

，若经过绝热膨胀，体积增至4.1 dm 3

。试计算气体在该绝热膨胀过程中对外界所作的功。设氧气为理想气体，且52

V R

C ν=。

解：在绝热过程中0Q =，所以：A U =? (1)

内能的变化可以表示为：()()22121155122V T m m U C T T R T T R M M T ??

?=-=

-=- ???

(2) 在绝热过程中有：1

2112T V T V γ-??

= ?

??

(3)

将式(3)代入式(2)，得：1

2211255119.41022T V m m

U R R J M T M V γ-?????? ??=-=-=-? ? ? ?????

??

29.410A U J =?=-? 这表示，在绝热膨胀过程中，系统对外界作功是以降低自身的内能为代价的。

18-9 不可逆过程是否可以理解为不能沿反方向进行的过程？为什么？

答：不能。可逆过程是指，一个过程发生后，能够通过某种方法或某种途径，既使系统返回原状态，也使外界同时恢复原样。能够通过某种方法或某种途径，使系统返回原状态，但若对外界产生影响不能消除，是不可逆过程，并不是不能沿反方向进行的过程。

18-10 一制冷机在t 1 = 11℃和t 2= -10℃之间工作，若其循环可看作可逆卡诺循环的逆循环，问每消耗1000 J 的功可由冷库中取走多少热量？

解：可逆卡诺循环的逆循环制冷系数可以表示为：212

T Q A T T ε=

=-, 将有关数据代入上式，可以求得：263

12.5284263

ε=

=-.

每消耗1000 J 的功可从冷库中取走的热量为：4

12.51000 1.2510Q A J ε==?=?

18-11 一理想气体系统作卡诺循环，当热源温度为100℃，冷却器温度为0℃时，作净功800 J 。今若维持冷却器温度不变，提高热源温度，使净功增至1600 J ，问热源的温度为多高？效率增大多少？设这两个循环都工作在相同的两条绝热曲线之间。

解：卡诺循环的效率可以表示为：212

111

1T Q Q A T Q Q η-=-

== 由上式可解得：1112AT Q T T =

- 和 2

212

AT Q T T =-

若将1T 变为1'T ，并使2T 保持不变，从以上关系可以看到，这时2Q 变成了2'Q ，显然2'Q 可以表示为：

2

212

'''A T Q T T =

-

现在需要知道的是2Q 与2'Q 之间存在什么关系？根据题意，循环都工作在相同的两条绝热曲线之间，并保持2T 不变。从教材634页的图17-13可以看到，只要在相同的两条绝热曲线之间，并保持2T 不变，3V 和4V 都不会改变，再根据式(17-40)，2Q 必定保持不变。所以22'Q Q = 即：

22

1212

''AT A T T T T T =--

由上式可以解得：()

1212''473A T T T T k A -=

+= 原先的效率为：212731126.8%373

T T η=-

=-= 提高热源温度之后的效率为：21273

'1142.3%'473

T T η=-

=-= 效率增大量为：'15.5%ηηη?=-=

17-12 有一以理想气体为工作物质的热机，其循环如图所示。试证明其效率为：1

2

1

2

111V V p p ηγ-=--

解： CA 为等体过程，系统吸收热量()1V A C Q C T T =- 并且：

1

2

A C T p T p = BC 为等压过程，系统释放热量()2p

B

C Q C T T =- 并且：

1

2

B C T V T V = AB 为绝热过程，系统与外界无热量交换。

所以该热机的效率为：

()()122

11211111111B p B C C V A C A C T V C T T T V Q Q C T T p T p T ηγγ

????-- ? ?

-????=-=-=-=--??

??-- ? ???

?? 证毕。

18-13 证明一条绝热线与一条等温线不能有两个交点。

解 用反证法证明。

如果一条绝热线与一条等温线有两个交点，如图中的A 和B ，那么一定可以利用这两个交点之间的封闭区域作循环而连续对外界作功。在此循环中只有一个热源，即从单一热源吸热而对外界作功。每经过一个循环，系统的内能不变，根据热力学第一定律，有：Q A =-,这表示，每经过

一个循环，系统都会把从外界吸引的热量全部用于对外作功。这是违背热力学第二定律的，因而是不可能实现的。所以，一条绝热线与一条等温线不能有两个交点。

18-14热力学第二定律为什么可以有许多不同的表述？

答：热力学第二定律的每一种表述都表明了一种过程的不可逆性。开尔文表述表明了功转变为热的过程的

不可逆性，克劳修斯表述表明了热量从高温物体传向低温物体的过程的不可逆性。可以证明了这两种表述

的等效性，这也就说明了这两种不可逆过程是互相联系的，只要其中一个过程是不可逆的，另一个过程也必定是不可逆的。实际上自然界中的一切与热现象有关的过程都是互相联系的，热力学第二定律既指出了两种过程的不可逆性，也就指出了自然界中的一切与热现象有关的过程的不可逆性。

18-15把盛有1 mol 气体的容器等分为一百个小格，如果分子处于任意一个小格内的概率都相等，试计算所有分子都进入同一个小格的概率。

解：如果系统中只有1个分子，这个分子处在某个特定小格的概率为：1

1100??

???

，

如果系统中只有2个分子，这2个分子同时处在某个特定小格的概率为：2

1100??

???

，……

现在系统中有0N 个分子，这0N 个分子同时处于某个特定小格的概率为：23

24

6.02310 1.204101110100100N ?-?????

==

? ?????

18-17 1.20 kg 的水在标准状态下凝结为冰，求熵变，并对结果作简要讨论。已知水的熔解热为

513.3510J kg -??。

解 这是等温等压过程，并且水和冰在此条件下可以平衡共存，所以是可逆过程。水凝结为冰的熵变为：

31

1 1.4710Q

m S Q J K

T

T T

δλδ-?=-=-

=-=-???

?水 上式中负号来自凝结过程水要向环境释放热量。上面的计算结果表示，凝结过程水的熵是降低的。

在水的凝结过程中，环境则是吸收热量的，熵是增加的，增加量为：

311 1.4710Q

m S Q J K T

T T

δλδ-?==

==???

?环境 水和环境总体的熵为：0S S S ?=?+?=水环境 所以，水和环境总体的熵是不变的。

18-18 10.6 mol 理想气体在等温过程中，体积膨胀到原来的两倍，求熵变。

解 将等温膨胀过程视为可逆过程，这就是说系统按照可逆等温过程体积膨胀为原来的2倍，即从V 变到

2V 于是熵变为：V V C dT pdV C dT Q

dU pdV pdV

S T

T T T T

δ++?====+?

?

???

因为是等温过程，0dT =，

所以：221ln 210.68.31ln 261.1V

V V

V pdV mR dV mR

S J K T M V M

-?====??=??

? 18-19 在等压条件下将质量都是1.0 kg 、温度分别是17℃和77℃的水相混合，求熵的变化。已知水的定压比热3

1

1

4.210c J kg K

--=???。

解 混合后水的温度为：12

3202

T T T K +=

= 根据例题18-6的结果，熵变为：()2

2

12

11212

12

ln

ln 37.14T T T S S S mc mc J K TT TT -+?=?+?===?

原先温度高的那部分水在混合过程中熵减小，原先温度低的那部分水在混合过程中熵增大，而总体的熵是增大的。

18-20 自由能是如何定义的？自由能判据的物理意义是什么？

答：自由能F 定义为系统的内能减去温度与熵的乘积，即：F U TS =-

系统平衡的自由能判据：在保持系统的温度和体积不变的条件下，对于各种可能的变动，平衡态的自由能为最小。它的物理意义即，在等温、等体过程中，系统的自由能永不增加，在等温、等体条件下，不可逆过程只能沿自由能减小的方向进行。

18-21 自由焓是如何定义的？自由焓判据的物理意义是什么？

答：自由焓G 定义为系统的焓减去温度与熵的乘积，即：G H TS U pV TS =-=+-

系统平衡的自由焓判据：在保持系统的温度和压强不变的条件下，对于各种可能的变动，平衡态的自由焓为最小。它的物理意义为：在没有非膨胀功的等温、等压过程中，系统的自由焓永不增加。在等温、等压条件下，不可逆过程只能沿自由焓减小的方向进行。

18-22利用式(18-75)，说明绝热去磁可以使系统降温的基本道理。

答：式（18-75）即：

式中角标S 表示绝热过程。由于上式右边为正值，左边也必定为

正值，所以在绝热条件下减小或撤除磁场时，顺磁介质系统的温度必定相应地下降。这种降温的方法称为绝热去磁法，是获得1K 以下超低温的有效的和基本的方法。20世纪90年代初，科学家用这种方法获得了

()920.810K -?的超低温。

18-23试定性地论述：由能斯特定理可以得到绝对零度不能到达原理；如果能斯特定理不成立，必定可以通过有限次手续而到达绝对零度。

答：现在让我们来讨论如何从能斯特定理导出绝对零度不能到达原理的。如果取T 和y (如在绝热去磁法中的磁场强度H )为两个独立态参量，那么斯特定理可以表示为：()()120,0,S T y S T y ===. 这说明，当0T →时，系统的熵值是与态参量y 无关的绝对常量。若以y 为参变量画出系统的S -T 曲线，根据能斯特定理，我们可以肯定，态参量为y 1的S -T 曲线与态参量为

y 2的S -T 曲线相交于纵轴(T = 0)上的某一点。这个交点应处于纵轴的什么

位置呢？既然y 可以是任何态参量, 当温度趋于绝对零度时熵都有相同的值，那么这个所谓零点熵值就应该具有普适常量的性质。1911年普朗克提出绝对熵的概念，就是以绝对零度时的熵值为零作为熵常量的基准点，这样算得的熵就称为绝对熵。这就是说，上述两条S -T 曲线的交点应处于坐标原点，如上图所示，图中态参量y 是磁场强度H ，两条曲线分别对应于H = 0和H = H i 。系统从初态A (T 1 , H = 0 )出发，在等温条件下加磁场H i ，系统到达状态B (T 1 , H i )，然后绝热去磁，熵不变，温度下降至T 2，到达状态C (T 2 , H = 0)，以后继续重复等温加磁和绝热去磁的过程，系统的温度将逐渐下降至T 3、T 4等等。由图可见，如果这样的过程无限次地进行下去，系统的温度才会逐渐接近绝对零

度。

显然，假如能斯特定理不成立，即凝聚系统的熵在等温过程中的改变，随着绝对零度的趋近并不趋于零，也就是：()()0,0,0S H S H ≠=这时上述两条S -T 曲线不相交于纵轴的一点上，如图右所示。显然在这种情况下，经过有限次等温加磁和绝热去磁就可以使物体系统达到绝对零度。图中画出了经过三次等温加磁和绝热去磁手续就使系统的温度降

至绝对零度的情形。这表明，假如能斯特定理不成立，绝对零度不能到达原理也就不正确了。

18-24、一个粒子系统的运动状态到底用量子力学描述，还使用经典理论描述，或者用半经典理论描述，判断的依据是什么？

答：普朗克常量h(或)的量纲是[时间][能量]或[长度][动量]或[角动量]，这类物理量常称为作用量，而h(或)也称为基本作用量子。h(或)就为我们提供了一个判据：当一个物质系统的任何具有作用量纲的物理量的数值，可与h(或)相比拟时，这个物质系统是一个量子系统，应由量子力学规律来描述；当具有作用量纲的物理量用h(或)来量度数值非常大时，该系统是经典系统，可以用经典理论来描述。在还有些问题中, h(或)与具有作用量纲的物理量相比是小量，微观粒子的波动性退居次要地位，可以认为粒子近似沿着经典力学的轨道运动，从而采用半经典描述较为简便。

18-25 什么是μ空间？什么是相格？对于具有三个平动自由度的粒子，其μ空间中的相格的体积有多大？

解：按照经典力学规律，具有r 个自由度的粒子在任一时刻的力学状态可以用粒子的r 个广义坐标1q ,

2q , …, r q 和r 个广义动量1p , 2p , …, r p 在该时刻的数值来确定。以这2r 个变量作直角坐标

所构成的一个2r 维空间，称为相空间，或μ空间；粒子在任意时刻的运动状态(1q , 2q , …, r q ；1p ,

2p , …, r p )就是μ空间中的一个点，称为粒子运动状态的代表点；当粒子的运动状态在随时间变化时，

对应于代表点在μ空间中移动，描绘出的轨迹称为相轨。

根据量子力学的规律，微观粒子具有波粒二重性，不可能同时具有确定的坐标和确定的动量，坐标的不确定量q ?和动量的不确定量p ?满足不确定关系：q p h ??≈ 在量子力学中，粒子的运动状态称为量子态，量子态用波函数来描述。

在半经典描述中，既认为粒子近似地沿经典力学轨道运动，用广义坐标q 和广义动量p 来描述，同时又对这种描述加上量子力学的限制，即坐标的不确定量q ? 和动量的不确定量p ?满足上式。对于具有一个自由度的微观粒子，μ空间是以q 和p 为直角坐标的二维平面。在这个二维平面上，粒子运动状态的代表点不再是一个点，而是面积为h 的面元。这就是说，在二维μ空间中，一个面积为h 的面积元代表粒子的一个可能的运动状态。对于具有r 个自由度的微观粒子，μ空间是一个2r 维空间，粒子运动状态的代

表点变成了一个体积为r h 的体积元。这就是说，在2r 维μ空间中，一个体积为r

h 的体积元代表粒子的一个可能的运动状态。这种体积为r

h 的体积元就是相格，μ空间的一个体积为r

h 的相格对应于微观粒子的一个可能的量子态。

显然，对于具有三个平动自由度的粒子，其μ空间是一个6维空间，在这个空间中的相格的体积为3

h 。

18-26 求具有三个平动自由度的粒子，在体积V 内、动量的大小在p p dp +范围内可能的量子态数。

解：一个量子态对应体积为3

h 的一个相格，所以在x y z dxdydzdp dp dp 内的量子态数为：

3

x y z

dxdydzdp dp dp h

在体积V 内，动量在x y z dp dp dp 范围内的量子态数为：

3

x y z

Vdp dp dp h

在体积V 内，动量的大小在p p dp +、动量的方向在d θθθ+，d ???+范围内的量子态数为：

23

sin Vp d d dp

d h θθ?Ω=

在体积V 内，动量的大小在p 到p + d p 内的量子态数为：

2

2

233

4sin Vp Vp d d d dp dp h

h

π

π

πθθ?Ω=Ω==??

?

18-27 求具有三个平动自由度的粒子，在体积V 内、能量在d ε

εε+范围内可能的量子态数。

解：粒子的能量与动量的关系为：22p m

ε= 由此可以得到：2

2p m ε= , 即得：dp ε= , 将以上三式代入上题Ω的表达式：2

34Vp dp h πΩ=中，就可以得到在体积V 内、能量在d εεε+范围内

可能的量子态数为：()3122322V

m d h

πεεεεΩ=

== 18-28什么是系统的微观态和系统的宏观态？它们有什么关系？

答：系统在某时刻的微观态，就称为系统的微观态。就是指组成该系统的N 个粒子在该时刻的运动状态。对微观粒子运动状态的描述可以有量子描述，有经典描述，还有半经典描述。

系统的宏观状态就是宏观物理量具有确定值的热力学平衡态。相应于同一个宏观态，系统可以有大量的、各种不同的微观运动状态，其中的每一种就是系统的一个微观态。当系统处于一定宏观态进，其微观态仍然是不确定的，而且是在不断地变化着的，这些微观态各以一定的概率出现，成为统计方法中的偶然事件或随机事件。统计物理学认为，在一定宏观条件下，系统整体的行为和特性是大量微观粒子运动的集体表现，物理量是相应的微观物理量的统计平均值。所以，尽管系统的某一微观态的出现完全是偶然事件，而整个系统的行为和特性却是确定不变的。

18-29玻耳兹曼系统、玻色系统和费米系统是如何划分的？在计算每种系统的微观态数时，各应该考虑哪些因素？

答：玻耳兹曼系统是由可以分辨的、全同近独立的、且处于一个量子态上的粒子数不受限制的粒子所组成的。要确定该系统的微观状态，在分布给定之后，还必须确定处于各个能级l ε 上的是哪l a 个粒子，以及每个能级l ε 的l ω个量子态分别是由哪个或哪些粒子占据的。与分布{}l a 相对应的微观态数可表示为：

!!l

a BM l l

l l

N a ωΩ=

∏∏

玻色系统是由不可分辨的、全同近独立的、且处于一个量子态上的粒子数不受限制的玻色子所组成的。确定玻色系统的微观状态，归结为确定每个量子态上的粒子数，即在分布给定之后，还必须确定每个能级l ε上的l a 个粒子对 l ω个简并量子态的各种可能的占据方式。与分布{}l a 相对应的微观状态数可以表示为：

()()1!!1!l l B l

l l a a ωω+-Ω=

-∏

费米系统是由不可分辨的、全同近独立的、且受一个量子态最多只能由一个粒子占据限制的费米子所组成的。确定费米系统的微观状态，归结为确定被粒子占据的量子态，即在分布给定之后，还必须确定每个能

级 l ε上的 l ω个简并量子态中有l a 个量子态被占据的所有可能方式。与分布{}l a 相对应的微观状态数可以表示为： ()!

!!l F l l l l

a a ωωΩ=

-∏ 18-30试由玻耳兹曼分布导出麦克斯韦速度分布律。

解： 由的玻耳兹曼分布：l

l

kT

l l kT

l l

N e

a e

εεωω-

-

=

∑ (1)经如下步骤，可以得到麦克斯韦速度分布函数：

(1)在气体系统中，粒子的能量表现为它的平动动能，所以：()22

212l x y z p p p m

ε=

++ (2) (2)根据教材中公式：l

l l r

a e

h αβεμ--?=

，在半经典情况下，能级的简并度表现为相空间中的体积元l μ?内所包含的相格的数目，故有：3l l h

μ

ω?=

当气体系统的体积为V 时，在动量范围x

x x p p dp +，y y y p p dp +，z z z p p dp +，粒子可能

的量子态数应为：33x y z

l l Vdp dp dp h h

μω?=

= (3) (3)有了上面的关系我们可以对式(1)中的分母进行计算：

()

()222

13223

30

2l

x y z

p p p kT

mkT

l x y z l

V V

e

dp dp e

dp mkT h

h

εω-

++∞

∞∞-

==∑?

?? (4)

(4)将式(2)、(3)和(4)代入式(1)，并把处于能级l ε上的粒子数l a 改写为平动动量在x x x p p dp +，

y y y p p dp +，z z z p p dp +范围内的分子数dN ，于是就得到：

()22

2

3

12212x y z p p p mkT x y z dN N e

dp dp dp mkT -++??= ???

(5)

(5)将动量与速度的关系代入上式，就得到速度处于x

x x v v dv +，y y y v v dv +，z z z v v dv +范围内的

分子数，为： ()22

2

3

222x y z m v v v kT x y z m dN N e

dv dv dv kT π-++??= ???

(6) 用系统的体积V 除以上式，就得到在单位体积内，速度处于x

x x v v dv +，y y y v v dv +，z z z

v v dv +范围内的分子数为 ()22

2

3

222x y z m v v v kT x y z x y z m dn nfdv dv dv n e

dv dv dv kT π-++??== ???

, 其中：()()22

2

3

22,,2x y z m v v v kT x y z m f v v v e

kT -++??= ???

(7) 就是麦克斯韦速度分布函数。 18-31由麦克斯韦速度分布律导出麦克斯韦速率分布律。

解：引入速度空间的球坐标，立即可以由麦克斯韦速度分布函数得到麦克斯韦速率分布函数。速度空间的球坐标(),,r θ?，以体积元2

sin v dvd d θθ?代替体积元x y z dv dv dv ，并对θ和?积分，就得到在单位体积

内、速率处v v dv +范围的分子数为：()23

22

242m

v kT m dn nf v dv n e

v dv kT ππ-??== ??? 分布函数为：()23

22

242m

v kT dn m f v e

v ndv kT ππ-??== ???

这正是麦克斯韦速率分布率。 18-32 试根据麦克斯韦速率分布律，导出在玻耳兹曼系统中粒子按平动动能的分布律。

解：麦克斯韦速率分布律由速率分布函数表示，速率分布函数可以写为：

()23

22

242m

v kT dN m f v dv e v dv N kT ππ-??== ???

(1) 分子的平动动能可表示为：212mv ε=

解得：22v m

ε

= (2) 两边微分，得：22vdv d m ε= 所以：()1

212dv d m d mv

εεε-

== (3)

将式(2)和式(3)代入式(1)，就得到粒子按平动动能的分布律：())1

322

kT dN f kT e

Nd εεεε--==

18-33 根据上题得出的粒子按平动动能的分布律，求：(1)粒子的最概然平动动能；(2) 粒子的平均平动动能。

解：(1)粒子的最概然平动动能p ε 由：

0p

df d εεε

==

即得：)

113

222

1102

p

kT kT kT e e kT

εεεεεε----=??

??+-=?? ????? 简化为：11

2211

02

p

kT εεεε-=??

??+-

=?? ?????, 由此解得：12p

kT ε= (2)粒子的平均平动动能ε：(

))

3

3

2

2

kT

f d kT e

d εεεεεεε-

∞

∞

-=

?

?

利用积分公式：323024ax

x e dx a ∞-=?

得：)32323421kT kT kT ε-==??

???

18-34 求空气分子密度为海平面的一半处的高度。假设重力加速度和温度上下均匀。

解 设海平面空气分子密度为0n ，在高度为h 处，空气分子密度n 为0n 的一半，即：012

n n =

所以：0012mgh

kT

n n n e -== 由此得到：ln 2mgh kT

=

所以：ln 20.693kT RT h mg Mg

=

= 如果取空气的摩尔质量为31

2810M kg mol --=??，温度为273T k =，代入上式，得：35.7310h m =?

18-35 假设在地球引力场中只存在一种气体，其分子质量为m ，试证明分子数密度分布可以表示为：

000m m r r G

kT r r n n e

⊕??- ???

=式中0n 是离地球中心的距离为0r (大于地球的半径)处的分子数密度，G 为万有引力常

量，m ⊕为地球的质量。

解：气体分子与地球的引力势能可以表示为：p m m

G

r ε⊕=- 显然，在上式中，当r →∞时，0p

ε→，

设此处的分子数密度为'n 。根据在保守场中粒子按势能的分布公式，在r 处的分子数密度为：

''p

m m G

kT

rkT

n n e

n e

ε⊕-

== (1)

在0r r =处，0n n =，根据上式，0n 可以表示为：00'm m G r kT

n n e

⊕= 解得：00'm m G r kT

n n e

⊕-= (2)

将式(2)代入式(1)，得：00000'm m r r m m m m m m

G

G

G G kT r r r kT rkT

rkT

n n e

n e

e

n e

⊕⊕⊕⊕

??

-- ???

=== 证毕。

18-36 将由式(17-154)所表示的维恩公式，变换为由式(14-8)所表示的形式。

解 普朗克公式可以写为：()323,1kT

V d U T d c e ωωω

ωωπ=- (1)

辐射场能量密度按频率的分布为：()()3

3

5

,881

1

h hc kT

kT U T h d hc d T d V c e

e

νν

λ

νπννπλρνλ=

==-

-- (2)

其中用到了关系式：c

νλ

=

两边求导： 2

c

d d νλλ=-

因为波长与频率成反比，所以：()()T d T d λνρλρν=- (3)

将式(3)代入式(2)，得：()5

81

hc kT hc d T d e

λλ

πλρλλ

=

-或 ()5

811

hc kT hc T e

λλ

πρλ

=

- (4)

辐射场能量密度按波长的分布()T λρ与其单色辐出度()M T λ存在下面的关系：()()4c

M T T λλρ=

(5) 考虑到绝对黑体，符号()M T λ应写为()0M T λ，故有：()22

1

05

5

2111

1

hc c kT T

c hc M T e

e

λλ

λπλ

λ

=

=-- (6)

其中：2

12c hc π= 2hc c k

=

在高温下，下面的近似成立：2

1c

T

λ ,则：221c c T

T

e

e

λλ-≈

于是式(6)成为下面的形式：()2

1

03

c T

c M T e

λλλ-

=

这正是式(14-8)。

18-37 将由式(17-155)所表示的瑞利-金斯公式，变换为由式(14-9) 所表示的形式。

解 根据上面得到的公式：()2

05

211

hc kT hc M T e

λλ

πλ

=

-

考虑到低温情况下的近似：1hc kT hc

e

kT λ

λ

≈+

所以，11

hc kT kT hc

e

λ

λ

≈- 所以，可得到：()2054

22hc kT ckT

M T hc λπλπλλ

=?= 这正是式(14-9)。

热力学与统计物理第二章知识总结

§2.1内能、焓、自由能和吉布斯函数的全微分 热力学函数中的物态方程、内能和熵是基本热力学函数，不仅因为它们对应热力学状态描述第零定律、第一定律和第二定律，而且其它热力学函数也可以由这三个基本热力学函数导出。 焓：自由能： 吉布斯函数： 下面我们由热力学的基本方程(1) 即内能的全微分表达式推导焓、自由能和吉布斯函数的全微分 焓、自由能和吉布斯函数的全微分 o焓的全微分 由焓的定义式，求微分，得， 将（1）式代入上式得(2) o自由能的全微分 由得 (3) o吉布斯函数的全微分 (4)

从方程（1）（2）（3）（4）我们容易写出内能、焓、自由能和吉布斯函数的全微分dU，dH，dF，和dG独立变量分别是S，V；S，P；T，V和T，P 所以函数U（S，V），H（S，P），F（T，V），G（T，P）就是我们在§2.5将要讲到的特性函数。下面从这几个函数和它们的全微分方程来推出麦氏关系。 二、热力学（Maxwell）关系(麦克斯韦或麦氏) (1)U（S，V） 利用全微分性质（5） 用（1）式相比得（6） 再利用求偏导数的次序可以交换的性质，即 （6）式得（7） （2） H（S，P） 同（2）式相比有 由得（8） （3） F（T，V）

同（3）式相比 （9） （4） G（T，P） 同（4）式相比有 （10） （7），（8），（9），（10）式给出了热力学量的偏导数之间的关系，称为麦克斯韦（J.C.Maxwell）关系，简称麦氏关系。它是热力学参量偏导数之间的关系，利用麦氏关系，可以从以知的热力学量推导出系统的全部热力学量，可以将不能直接测量的物理量表示出来。例如，只要知道物态方程，就可以利用（9），（10）式求出熵的变化，即可求出熵函数。 §2.2麦氏关系的简单应用 证明 1. 求 选T,V为独立变量，则内能U（T,V）的全微分为 （1） 熵函数S(T,V)的全微分为( 2)

热力学与统计物理期末复习笔记1

热力学与统计物理期末 复习笔记1 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

《热力学统计物理》期末复习 一、简答题 1、写出焓、自由能、吉布斯函数的定义式及微分表达式（只考虑体积变化功） 答：焓的定义H=U+PV，焓的全微分dH=TdS+VdP； 自由能的定义F=U-TS，自由能的全微分dF=-SdT-PdV； 吉布斯函数的定义G=U-TS+PV，吉布斯函数的全微分dG=-SdT+VdP。 2、什么是近独立粒子和全同粒子描写近独立子系统平衡态分布有哪几种 答：近独立子系统指的是粒子之间的相互作用很弱，相互作用的平均能量远小于单个粒子的平均能量，因而可以忽略粒子之间的相互作用。全同粒子组成的系统就是由具有完全相同的属性（相同的质量、电荷、自旋等）的同类粒子组成的系统。描写近独立子系统平衡态分布有费米-狄拉克分布、玻色-爱因斯坦分布、玻耳兹曼分布。 3、简述平衡态统计物理的基本假设。 答：平衡态统计物理的基本假设是等概率原理。等概率原理认为，对于处于平衡状态的孤立系统，系统各个可能的微观状态出现的概率是相等的。它是统计物理的基本假设，它的正确性由它的种种推论都与客观实际相符而得到肯定。 4、什么叫特性函数请写出简单系统的特性函数。

答：马休在1869年证明，如果适当选择独立变量（称为自然变量），只要知道一个热力学函数，就可以通过求偏导数而求得均匀系统的全部热力学函数，从而把均匀系统的平衡性质完全确定。这个热力学函数称为特性函数。简单系统的特性函数有内能U=U （S 、V ），焓H=H （S 、P ），自由能F=F （T 、V ），吉布斯函数G=G （T 、P ）。 5、什么是μ空间并简单介绍粒子运动状态的经典描述。 答：为了形象的描述粒子的运动状态，用r r p p q q ,,,,11 ；共2r 个变量为直角坐标，构成一个2r 维空间，称为μ空间。粒子在某一时刻的力学运动状态()r r p p q q ,,,,11 ；可用μ空间的一个点表示。 6、试说明应用经典能量均分定理求得的理想气体的内能和热容量中哪些结论与实验不符（至少例举三项）。 答：第一、原子内的电子对气体的热容量为什么没有贡献；第二、双原子分子的振动在常温范围内为什么对热容量没有贡献；第三、低温下氢的热容量所得结果与实验不符。这些结果都要用量子理论才能解释。 7、写出玻耳兹曼关系，并据此给出熵函数的统计意义。 答：玻耳兹曼关系：S=k lnΩ 熵函数的统计意义：微观态数的多少反映系统有序程度的高低。微观态数增加就是有序程度的降低或是混乱程度增加，相应地熵增加；反之，微观态数减少就是有序程度的增加或混乱度减少，相应地熵减少。“熵是度量系统有序程度的量”有了明确定量意义。

热力学统计物理总复习知识点

热力学部分 第一章热力学的基本规律 1、热力学与统计物理学所研究的对象：由大量微观粒子组成的宏观物质系统 其中所要研究的系统可分为三类 孤立系：与其他物体既没有物质交换也没有能量交换的系统； 闭系：与外界有能量交换但没有物质交换的系统； 幵系：与外界既有能量交换又有物质交换的系统。 2、热力学系统平衡状态的四种参量：几何参量、力学参量、化学参量和电磁参量。 3、一个物理性质均匀的热力学系统称为一个相；根据相的数量，可以分为单相系和复相系。 4、热平衡定律（热力学第零定律）：如果两个物体各自与第三个物体达到热平衡，它们彼此也处在热平衡? 5、符合玻意耳定律、阿氏定律和理想气体温标的气体称为理想气体。 6、范德瓦尔斯方程是考虑了气体分子之间的相互作用力（排斥力和吸引力），对理想气体状态方程作了修正之后的实际气体的物态方程。 7、准静态过程：过程由无限靠近的平衡态组成，过程进行的每一步，系统都处于平衡态。 8、准静态过程外界对气体所作的功：dW PdV，外界对气体所作的功是个过程量。 9、绝热过程：系统状态的变化完全是机械作用或电磁作用的结果而没有受到其他影响。绝热过程中内能U是一个态函数：W U B U A 10、热力学第一定律（即能量守恒定律）表述：任何形式的能量，既不能消灭也不能创造，只能从一种形式转换成另一种形式，在转换过程中能量的总量保持恒定；热力学表达式： U B U A W Q ;微分形式：dU dQ dW 11、态函数焓H: H U pV，等压过程：H U p V，与热力学第一定律的公式一比 较即得：等压过程系统从外界吸收的热量等于态函数焓的增加量 12、焦耳定律：气体的内能只是温度的函数，与体积无关，即U U（T）o

热力学与统计物理学课后习题及解答

第一章 热力学的基本规律 1.1 试求理想气体的体胀系数α，压强系数β和等温压缩系数T k 。 解：由理想气体的物态方程为 nRT PV = 可得: 体胀系数：T P nR V T V V αp 111==??? ????= 压强系数：T V nR P T P P βV 111==??? ????= 等温压缩系数：P P nRT V P V V κT 1)(112=???? ??=??? ?????= 1.2 证明任何一种具有两个独立参量P T ，的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数T k ，根据下述积分求得：()??=dP κdT αV T ln 如果P κT αT 11==，，试求物态方程。 解： 体胀系数：p T V V α??? ????=1，等温压缩系数：T T P V V κ??? ?????=1 以P T ，为自变量，物质的物态方程为：()P T V V ,= 其全微分为：dP κV VdT αdP P V dT T V dV T T p ?=??? ????+??? ????=，dP κdT αV dV T ?= 这是以P T ，为自变量的全微分，沿任意的路线进行积分得： ()??=dP κdT αV T ln 根据题设 ，将P κT αT 1,1==，代入：???? ???=dP P dT T V 11ln 得：C p T V +=ln ln ，CT PV =，其中常数C 由实验数据可确定。 1.4 描述金属丝的几何参量是长度L ，力学参量是张力￡，物态方程是()0￡=T L f ，，，实验通常在1n p 下进行，其体积变化可以忽略。

热力学与统计物理题

《热力学与统计物理》练习题 一 简答题 1．单元复相系的平衡条件； 2．熵增原理 3．能量均分定理 4．热力学第一定律； 5．节流过程 6．热力学第二定律的克氏表述 计算题 1. 1 mol 理想气体，在C 0 27的恒温下体积发生膨胀，由20大气压准静态地变到1大气压。求气体所作的功和所吸的热。 2．求证 （a ）0??? ????U V S 3．试证明在相变中物质摩尔内能的变化为 (1)p dT u L T dp ?=- 如果一相是气相，可看作理想气体，另一相是凝聚相，试将公式简化。 4. 1 mol 范氏气体，在准静态等温过程中体积由1V 膨胀至2V ，求气体在过程中所作的功。 5．试证明，在相同的压力降落下，气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在节流过程中的 温度降落。 6．蒸汽与液相达到平衡。设蒸汽可看作理想气体，液相的比容比气相的比容小得多，可以略而不计。以 dv dT 表在维持两相平衡的条件下，蒸汽体积随温度的变化率。试证明蒸汽的两相平衡膨胀系数为

111dv L v dT T RT ???? =- ? ????? 7. 在C 0 25下，压力在0至1000atm 之间，测得水的体积为： 3623118.0660.715100.04610V p p cm mol ---=-?+??, 如果保持温度不变，将1 mol 的水从1 atm 加压至1000 atm ，求外界所作的功。 8．试讨论以平衡辐射为工作物质的卡诺循环，计算其效率。 9．在三相点附近，固态氨的饱和蒸汽压（单位为大气压）方程为 3754 ln 18.70p T =- 液态的蒸汽压方程为 3063 ln 15.16p T =- 试求三相点的温度和压力，氨的气化热和升华热，在三相点的熔解热 10. 在C 0 0和1atm 下，空气的密度为300129.0-?cm g 。空气的定压比热 11238.0--??=K g cal C p ，41.1=γ。今有327cm 的空气， (i)若维持体积不变，将空气由C 0 0加热至C 0 20，试计算所需的热量。 (ii)若维持压力不变，将空气由C 0 0加热至C 0 20，试计算所需的热量。 11．满足C pV n =的过程称为多方过程，其中常数n 为多方指数。试证，理想气体在多方过程中的热容量n C 为 V n C n n C 1 --= γ 其中/p V C C γ= 12．写出以i T,V,n 为自变量的热力学基本等式，并证明：

热力学统计物理各章重点总结..

第一章 概念 1.系统：孤立系统、闭系、开系 与其他物体既没有物质交换也没有能量交换的系统称为孤立系； 与外界没有物质交换，但有能量交换的系统称为闭系； 与外界既有物质交换，又有能量交换的系统称为开系； 2.平衡态 ~ 平衡态的特点：1.系统的各种宏观性质都不随时间变化；2.热力学的平衡状态是一种动的平衡，常称为热动平衡；3.在平衡状态下，系统宏观物理量的数值仍会发生或大或小的涨落；4.对于非孤立系，可以把系统与外界合起来看做一个复合的孤立系统，根据孤立系统平衡状态的概念推断系统是否处在平衡状态。 3.准静态过程和非准静态过程 准静态过程：进行得非常缓慢的过程，系统在过程汇总经历的每一个状态都可以看做平衡态。 非准静态过程，系统的平衡态受到破坏 4.内能、焓和熵 。 内能是状态函数。当系统的初态A和终态B给定后，内能之差就有确定值，与系统由A到达B所经历的过程无关; 表示在等压过程中系统从外界吸收的热量等于态函数焓的增加值。这是态函数焓的重要特性 克劳修斯引进态函数熵。定义: 5.热容量：等容热容量和等压热容量及比值<

定容热容量: 定压热容量: 6.循环过程和卡诺循环 循环过程（简称循环）：如果一系统由某个状态出发，经过任意一系列过程，最后回到原来的状态，这样的过程称为循环过程。系统经历一个循环后，其内能不变。 理想气体卡诺循环是以理想气体为工作物质、由两个等温过程和两个绝热过程构成的可逆循环过程。 7.。 8.可逆过程和不可逆过程 不可逆过程：如果一个过程发生后,不论用任何曲折复杂的方法都不可能使它产生的后果完全消除而使一切恢复原状。 可逆过程：如果一个过程发生后，它所产生的后果可以完全消除而令一切恢复原状。 8.自由能：F和G （ 定义态函数：自由能F，F＝U－TS 定义态函数：吉布斯函数G，G=U-TS+PV，可得GA－GB－W1 定律及推论

热力学与统计物理期末复习题

热力学统计物理 1、请给出熵、焓、自由能和吉布斯函数的定义和物理意义 解：熵的定义：S B?S A=∫dQ T ? B A dS=dQ T 沿可逆过程的热温比的积分，只取决于始、末状态，而与过程无关，与保守力作功类似。因而可认为存在一个态函数，定义为熵。 焓的定义：H=U+pV 焓的变化是系统在等压可逆过程中所吸收的热量的度量。 自由能的定义：F=U?TS 自由能的减小是在等温过程中从系统所获得的最大功。 吉布斯函数的定义：G =F+pV= U – TS + pV 在等温等压过程中，系统的吉布斯函数永不增加。也就是说，在等温等压条件下，系统中发生的不可逆过程总是朝着吉布斯函数减少的方向进行的。 2、请给出热力学第零、第一、第二、第三定律的完整表述 解：热力学第零定律：如果两个热力学系统中的每一个都与第三个热力学系统处于热平衡(温度相同)，则它们彼此也必定处于热平衡。 热力学第一定律：自然界一切物体都具有能量，能量有各种不同形式，它能从一种形式转化为另一种形式，从一个物体传递给另一个物体，在转化和传递过程中能量的总和不变。热力学第二定律： 克氏表述：不可能把热量从低温物体传到高温物体而不引起其他变化； 开氏表述：不可能从单一热源吸热使之完全变成有用的功而不引起其他变化。 热力学第三定律： 能氏定理：凝聚系的熵在等温过程中的改变随热力学温度趋于零，即lim T→0 (?S)T=0 绝对零度不能达到原理：不肯能通过有限的步骤使一个物体冷却到热力学温度的零度。通常认为，能氏定理和绝对零度不能达到原理是热力学第三定律的两种表述。 3、请给出定压热容与定容热容的定义，并推导出理想气体的定压热容与定容热容关系式： C p?C V=nR 解：定容热容： C V=(eU eT ) V 表示在体积不变的条件下能随温度的变化率； 定压热容：C p=(eU eT ) p ?p(eV eT ) P =(eH eT ) P 表示在压强不变的情况下的熵增； 对于理想气体，定容热容C V的偏导数可以写为导数，即 C V=dU dT （1） 定压热容C p的偏导数可以写为导数，即 C P=dH dT （2） 理想气体的熵为 H=U+pV=U+nRT（3） 由（1）（2）（3）式可得理想气体的定压热容与定容热容关系式： C p?C V=nR 4、分别给出体涨系数α，压强系数β和等温压缩系数κT的定义，并证明三者之间的关系：α=κTβp 解：体涨系数：α=1 V (eV eT ) P ，α 给出在压强不变的条件下，温度升高1 K所引起的物体的 体积的相对变化；

热力学与统计物理学的形成

热力学与统计物理学的形成 人们最初接触热的概念是和火分不开的。自亚里士多德以后，在西方火被看作构成宇宙万物的四大元素之一。直到16、17世纪这种观点才被三要素学说取代。这三要素指可溶性、挥发性、可燃性的相应实体。可燃性要素从物体中逃逸出来，这就是燃烧。我国古代有五行说，有隧人氏"钻木取火"的传说。"钻木取火"说明我国人民在那时已经知道了摩擦生热的现象。但是，在古代社会生产力水平很低，人们在生产和生活中对热的利用，只限于煮熟食物、照明和取暖，最多也不过利用热来冶炼和加工一些简单的金属工具。由于生产和生活没有对热提出进一步的要求，所以也就没有人对热现象进行深入的研究。 18世纪初，正是资本主义发展的初期，社会生产已有很大的发展。生产需要大量的动力，许多人开始尝试利用热获得机械功，这样一来，就开始了对热现象所进行的广泛的研究。 对热现象的定量研究，首先必须解决如何客观地表示物体的冷热程度，温度计就应运而生。虽然伽利略早在16世纪就利用气体热胀冷缩规律做成气体温度计，但这种温度计使用起来不方便，而且随外界气压变化所测得的值也不同，误差较大。1709年华伦海特制造成了第一支用酒精做测温质的实用温度计，后来这种温度计又改用水银作测温质。经改进，把水的冰点定为32度，水的沸点定为212度，就成了如今的华氏温度计。华氏温标由单位用℉表示。1742年摄尔萨斯把一标准大气压下，冰水混合物的温度定为100度，水沸点定为0度，制成另一种温标的温度计。后来根据同事施勒默尔的建议，摄尔萨斯把这个标度倒了过来，就成了现代的摄氏温标。 实用温度计诞生之后，热学的研究走上了实验科学的道路。随着研究的深入，人们开始考虑热的本质问题。 关于热的本质，在古希腊时代就有两种学说。一种认为热是一种元素，另一种学说认为热是物质运动的一种表现。热科学的实验发展以后，不少学者倾向于热是一种元素的说法，后来热的元素学说，发展成热质说。热质说认为热是一种特殊的物质，它是看不见又没有质量的热质，热质可以透入到一切物体的里面，一个物体含的热质越多，就越热；冷热不同的两个物体接触时，热质便从较热的物体流入较冷的物体；热质不能凭空地产生，也不会被消灭。热质说能够成功地解?quot;混合量热法"的规律：两个温度不同的物体，混合后达到同一温度时，如果没有热量散失，那么，温度较高的物体失去的热质，等于温度较低的物体吸收的热质。热量单位"卡"，也是根据热质说的思想产生的．"卡"这个单位现在已废弃不用了。 与热质说相对立的学说认为热是物质运动的一种表现。培根很早就根据摩擦生热的事实提出了这种学说，罗蒙诺索夫在他的论文《论热和冷的原因》里批判了当时流行的热质说，认为热是分子运动的表现。但在热质说十分流行的时代。这些观点未被人们重视。 1798年，伦福特伯爵发现制造枪管时，被切削下来的碎屑有很高的温度，而且在连续不断的工作之下，这种高温碎屑不断产生。被加工的材料和车刀温度都不高，他们包含的热质应该是极有限的，工件和碎屑温度这么高，这些热质从何而来呢？1799年戴维做了一个实验，他用钟表机件作动力，在真空中使两块冰相互摩擦，整个设备都处于－2℃的温度下，结果冰熔化了，得到2℃的水。这些事实都没有办法用热质说来说明。但在当时由于能量转换的观点没有建立起来；还无法彻底推翻热质说。 1842年，德国医生买厄发表一篇论文，提出能量守恒的学说，他认为热是一种能量，能够跟机械能互相转化。他还从空气的定压与定容比热之差，算出了热和机械功的比值。与此同时，焦耳进行了许多实验，用各种各样的方法来测定热功当量，发现结果都一致。在这一发现的基础上焦耳提出了：自然界的能量是不能毁灭的，那里消耗了机械能，总能得到相当的热，热只是能的一种形式。可惜焦耳提出这个定律时，未被大多数科学家重视。直到19世纪中叶，许多科学家先后都宣布了和焦耳相同的结论，此时，焦耳所做的

热力学与统计物理答案详解第二章的

第二章 均匀物质的热力学性质 2.1 已知在体积保持不变时，一气体的压强正比于其热力学温度. 试证明在温度保质不变时，该气体的熵随体积而增加. 解：根据题设，气体的压强可表为 (),p f V T = （1） 式中()f V 是体积V 的函数. 由自由能的全微分 dF SdT pdV =-- 得麦氏关系 .T V S p V T ??????= ? ??????? （2） 将式（1）代入，有 ().T V S p p f V V T T ?????? === ? ? ?????? （3） 由于0,0p T >>，故有0T S V ??? > ????. 这意味着，在温度保持不变时，该气体的熵随体积而增加. 2.2 设一物质的物态方程具有以下形式： (),p f V T = 试证明其内能与体积无关. 解：根据题设，物质的物态方程具有以下形式： (),p f V T = （1） 故有 ().V p f V T ???= ???? （2） 但根据式（2.2.7），有 ,T V U p T p V T ?????? =- ? ??????? （3） 所以

()0.T U Tf V p V ???=-= ???? （4） 这就是说，如果物质具有形式为（1）的物态方程，则物质的内能与体积无关，只是温度T 的函数. 2.3 求证： ()0;H S a p ???< ???? ()0.U S b V ??? > ???? 解：焓的全微分为 .dH TdS Vdp =+ （1） 令0dH =，得 0.H S V p T ???=-< ???? （2） 内能的全微分为 .dU TdS pdV =- （3） 令0dU =，得 0.U S p V T ??? => ? ??? （4） 2.4 已知0T U V ??? = ????，求证0.T U p ?? ?= ???? 解：对复合函数 (,)(,(,))U T P U T V T p = （1） 求偏导数，有 .T T T U U V p V p ?????????= ? ? ?????????? （2） 如果0T U V ??? = ????，即有 0.T U p ?? ?= ???? （3） 式（2）也可以用雅可比行列式证明：

热力学统计物理总复习知识点

热力学部分 第一章 热力学的基本规律 1、热力学与统计物理学所研究的对象：由大量微观粒子组成的宏观物质系统 其中所要研究的系统可分为三类 孤立系：与其他物体既没有物质交换也没有能量交换的系统； 闭系：与外界有能量交换但没有物质交换的系统； 开系：与外界既有能量交换又有物质交换的系统。 2、热力学系统平衡状态的四种参量：几何参量、力学参量、化学参量和电磁参量。 3、一个物理性质均匀的热力学系统称为一个相；根据相的数量，可以分为单相系和复相系。 4、热平衡定律(热力学第零定律）：如果两个物体各自与第三个物体达到热平衡，它们彼此 也处在热平衡. 5、符合玻意耳定律、阿氏定律和理想气体温标的气体称为理想气体。 6、范德瓦尔斯方程是考虑了气体分子之间的相互作用力（排斥力和吸引力）,对理想气体状 态方程作了修正之后的实际气体的物态方程。 7、准静态过程：过程由无限靠近的平衡态组成，过程进行的每一步，系统都处于平衡态。 8、准静态过程外界对气体所作的功：，外界对气体所作的功是个过程量。 9、绝热过程：系统状态的变化完全是机械作用或电磁作用的结果而没有受到其他影响。绝 热过程中内能U 是一个态函数：A B U U W -= 10、热力学第一定律（即能量守恒定律）表述：任何形式的能量，既不能消灭也不能创造， 只能从一种形式转换成另一种形式，在转换过程中能量的总量保持恒定；热力学表达式： Q W U U A B +=-；微分形式：W Q U d d d += 11、态函数焓H ：pV U H +=，等压过程：V p U H ?+?=?，与热力学第一定律的公 式一比较即得：等压过程系统从外界吸收的热量等于态函数焓的增加量。 12、焦耳定律：气体的内能只是温度的函数，与体积无关，即)(T U U =。 13．定压热容比：p p T H C ??? ????=；定容热容比：V V T U C ??? ????= 迈耶公式：nR C C V p =- 14、绝热过程的状态方程：const =γpV ；const =γ TV ；const 1 =-γγT p 。 15、卡诺循环过程由两个等温过程和两个绝热过程组成。正循环为卡诺热机，效率 211T T -=η，逆循环为卡诺制冷机，效率为2 11T T T -=η（只能用于卡诺热机）。 16、热力学第二定律：克劳修斯表述：不可能把热量从低温物体传到高温物体 而不引起其他变化（表明热传导过程是不可逆的）； 开尔文（汤姆孙）表述：不可能从单一热源吸收热量使之完全变成有用的功而不引起其 他变化（表明功变热的过程是不可逆的）； 另一种开氏表述：第二类永动机不可能造成的。 V p W d d -=

热力学与统计物理学基础

热力学与统计物理学基础 Classical Thermodynamics and Statistical Physics 课程编号：课程属性：学科基础课课时/学分：50/2.5 预修课程：高等数学 教学目的和要求： 本课程为力学学科博士研究生的学科基础课，也可为物理学以及其它应用科学研究生的选修课。 通过本课程的学习，学生不仅能掌握热力学和统计物理学的一般知识并熟练运用，而且还能系统地学习到从宏观上和微观上描述热力学系统热现象和热性质的方法。这些有助于学习和掌握其它课程，并大大开拓学生的研究思路。 内容提要： 引言 第一章热力学的基本规律 热力学系统的平衡状态及其描述，热平衡定律和温度，物态方程，热力学第一定律，热容量、焓、内能，卡诺循环，热力学第二定律，热力学第三定律。 第二章热力学基本微分方程 熵，自由能、吉布斯函数，基本热力学函数的确定，特性函数 第三章单元系的相变 热动平衡判据，开系的热力学基本方程，复相平衡条件，单元复相系的平衡性质，临界点和气液两相的转变。 第四章多元系的复相平衡和化学平衡 多元系的热力学函数和热力学方程，多元系的复相平衡条件，吉布斯相律，化学平衡条件，混合理想气体的性质，理想气体的化学平衡。 第五章统计物理学基本理论 统计规律性，概率分布，统计平均值，等概率原理，近独立粒子系统的经典统计理论。 第六章平衡态统计物理学 系统微观状态的描述，统计系综，刘维尔定律，微正则系综，正则系综，巨正则系综，正则分布对近独立粒子系统的应用，能量均分定律和理想气体比热容，实际气体的物态方程。 第七章涨落理论 涨落的准热力学方法，涨落的空间关联与时间关联，布朗运动，仪器的灵敏度，电路中的热噪声。 第八章非平衡态热力学与统计物理简介 不可逆过程与偏离平衡态的物质，昂萨格关系，波尔兹曼积分微分方程，H定理与细致平衡原理，气体的黏滞性，输运过程的动理论。 主要参考书： 1. Ashley H. Carter, Classical and Statistical Thermodynamics(热力学与统计物

云南师范大学《热力学与统计物理》期末试卷 ABC卷及答案 (优选.)

云南师范大学2010——2011学年上学期统一考试 《热力学统计物理》试卷 学院 物电学院 专业 物理类班级学号姓名 考试方式：闭卷考试时量：120分钟试卷编 号：A卷 题号一二三四总分评卷 人 得分 一 判断题（每小题2分，共20分，请在括号内打“√”或打“×”） 1、（ ）热力学是研究热运动的微观理论，统计物理学是研究热运动 的宏观理论。 2、（ ）热力学平衡态与孤立系统的熵最小、微观粒子混乱度最小以 及微观状态数最少的分布对应。 3、（ ）在等温等压系统中自由能永不减小，可逆过程自由能不变， 不可逆过程自由能增加。 4、（ ）对平衡辐射而言，物体在任何频率处的面辐射强度与吸收因数 之比对所有物体相同，是频率和温度的普适函数。 5、（ ）处于孤立状态的单元二相系，如果两相热平衡条件未能满 足，能量将从高温相传到低温相去。 程中外界对系统所作的功等于粒子分布不变时由于能级改变而引起的的内能变化。 7、（ ）玻耳兹曼分布是玻耳兹曼系统中微观状态数最多的分布，出现的 概率最大，称为最概然分布。 8、（ ）在弱简并情况下，费米气体的附加内能为负，量子统计关联使费 米子间出现等效的吸引作用。 9、（ ）出现玻色-爱因斯坦凝聚现象时，玻色系统的内能、动量、压强 和熵均为零。 10、（ ）费米气体处在绝对零度时的费米能量、费米动量和费米简并压

强和熵均为零。 二 填空题（每空2分，共20分） 1、发生二级相变时两相化学势、化学势的一级偏导数 ，但化 学势的 级偏导数发生突变。 2、普适气体常数R与阿伏伽德罗常数N0和玻耳兹曼k之间的数学关系为 。 3、孤立系统平衡的稳定性条件表示为 和 。 4、如果采用对比变量，则范氏对比方程表示为 。 5、玻耳兹曼的墓志铭用数学关系表示为 。费米 分布表示为 。 6、绝对零度下自由电子气体的内能U（0）与费米能量μ（0）之间的数 学关系为。 7、 公式在 低频段与普朗克辐射曲线相符合。 三 简述题（每小题8分，共16分） 1、简述热力学第一定律和热力学第二定律；谈谈你对节约能源、低碳 生活以及可持续发展的认识。 2、简述玻色－爱因斯坦凝聚现象；谈谈玻色－爱因斯坦凝聚现象与气- 液相变之间的差别。 四 计算题（共44分） 积分公式：

热力学与统计物理教学大纲

《热力学与统计物理》教学大纲 课程名称：《热力学与统计物理》 英文名称：Thermodynamics and statistic p hysics 课程性质：学科教育必修课 课程编号：E121015 所属院部：光电工程学院 周学时：3学时 总学时：45学时 学分：3学分 教学对象(本课程适合的专业和年级) ： 物理学专业(本科)2012级学生 预备知识： 高等数学、概率统计、普物 课程在教学计划中的地位作用： 《热力学·统计物理》课是物理专业学生的专业基础课，与理论力学、量子力学、电动力学共同构成物理专业重要的四门必修课，通常称为物理专业的四大力学课。热力学和统计物理的任务是研究热运动的规律，研究与热运动有关的物性及宏观物质系统的演化。本课程的作用是使学生掌握热力学与统计物理的基本原理和处理具体问题的一些重要方法，并初步具有用这些方法解决较简单问题的能力。 教学方法： 以板书手段为主要形式的课堂教学。在课堂教学中，教师应精心组织教学内容，注重发挥学生在教学活动中的主体作用和教师的主导作用，注重采用多种教学形式提高课程教学质量。注意在学习中调动学生积极性和创造性，注重各种教学方法的灵活应用。 教学目标与要求：

要求学生初步掌握与热现象有关的物质宏观物理性质的唯象理论和统计理论，并对二者的特点与联系有一个较全面的认识同时注重对学生逻辑思维能力的培养，强调学生物理素养的生成和提高。 课程教材：汪志诚主编. 热力学统计物理（第四版）.北京：高等教育出版社，2010年 参考书目： [1] 苏汝铿主编. 统计物理学. 上海：复旦大学出版社，2004年 [2] 王竹溪主编. 热力学简程. 北京：高等教育出版社，1964 [3] 王竹溪主编. 统计物理学导论. 北京：高等教育出版社，1956 考核形式： 考核方式为考试。综合成绩根据平时成绩和期末成绩评定，平时成绩不超过30％，期末成绩不少于70%。 编写日期：2012年5月制定 课程内容及学时分配（含教学重点、难点）： 本课程内容主要包括：热力学的基本规律麦克斯韦关系及其应用，气体的节流膨胀与绝热膨胀，基本热力学函数，特性函数，平衡辐射热力学，磁介质热力学等。热动平衡判据，开放系的热力学基本方程，多元系的复相平衡和化学平衡,吉布斯相律热力学第三定律,粒子和系统运动状态的经典描述与量子描述，等几率原理，分布与微观状态，三种统计分布热力学量的统计表式，热力学量的统计表式，理想气体的物态方程，麦克斯韦速度分布律，能量均分定理，理想气体的内能,弱简并玻色气体和费米气体，光子气体，*玻色-爱因斯坦凝聚，金属自由电子气, ,相空间，刘维尔定理，微正则分布及其热力学公式，正则分布及其热力学公式等。通过讲课、练习和实验，使学生达到各章中所提的基本要求，最终使学生掌握热力学与统计物理的基本理论和思想。 教学时数具体分配： 教学内容讲授实验/实践合计

热力学与统计物理教案

导言 一．热力学与统计物理学所研究的对象与任务相同 对象：由大量微观粒子组成的宏观物质系统。 任务：研究热运动规律及热运动对物质宏观性质的影响。 一．热力学与统计物理学的研究方法不同 1. 热力学方法—热运动的宏观理论 热力学方法是从热力学三个定律出发，通过数学演绎，得到物质的各宏观性质之间的关系、宏观物理过程进行的方向和限度等一系列理论结论。 热力学方法的优点：其结论具有高度的可靠性和普遍性。因为热力学三定律是人们从大量的观测、实验中总结出来的基本规律，并为人们长期的生产实践所证实，非常可靠。而且热力学三定律又不涉及物质的具体微观结构，它适用于一切物质系统，非常普遍。 热力学方法的局限性：由热力学不能导出具体物质的具体特性；也不能解释物质宏观性质的涨落现象；等等。 2. 统计物理学方法—热运动的微观理论 统计物理学方法是从“宏观物质系统是由大量的微观粒子所组成的”这一基本事实出发，认为宏观物理量就是相应微观量的统计平均值。 统计物理学的优点：能把热力学三个相互独立的基本规律归结于一个基本的统计原理，阐明三个定律的统计意义；可以解释涨落现象；而且在对物质的微观结构作了某些假设之后，还可以求得物质的具体特性；等等。 统计物理学的局限性：由统计物理学所得到的理论结论往往只是近似的结果，这是因为对物质的微观结构一般只能采用简化模型所致。 总之，在热现象研究中，热力学和统计物理学两者相辅相成，相互补充。 一．主要参考书 王竹溪：《热力学简程》、《统计物理学导论》 第一章热力学的基本规律 本章主要介绍热力学的基本规律以及常见的基本热力学函数。但本章的大多数内容在普通物理的《热学》课程中已经较详细学习过，在此只作一个归纳。因此，本章的各节将有所改变， 与课本不完全一致。 第一章热力学的基本规律 §热平衡定律和温度 一．热平衡定律 热平衡定律也可称之为热力学第零定律。它是建立温度概念的实验基础。 1. 热力学系统 由大量微观粒子组成的有限的宏观客体称之为热力学系统，简称为系统。热力学所研究的系统有如下三种： ⑴孤立系统：与外界没有任何相互作用的系统。 ⑵封闭系统：与外界有能量交换，但无物质交换的系统。 ⑶开放系统：与外界既有能量交换，又有物质交换的系统。 2. 平衡状态及其描述 当没有外界影响时，只要经过足够长的时间，系统将会自动趋于一个各种宏观性质不随时间变化的状态，这种状态称为平衡状态，简称为平衡态。它是一种热动平衡状态。

热力学·统计物理期末考试卷

热力学与统计物理 1. 下列关于状态函数的定义正确的是（ ）。 A ．系统的吉布斯函数是：pV TS U G +-= B ．系统的自由能是：TS U F += C ．系统的焓是：pV U H -= D ．系统的熵函数是：T Q S = 2. 以T 、p 为独立变量，特征函数为( )。 A .内能； B .焓； C .自由能； D .吉布斯函数。 3. 下列说法中正确的是（ ）。 A ．不可能把热量从高温物体传给低温物体而不引起其他变化； B ．功不可能全部转化为热而不引起其他变化； C ．不可能制造一部机器，在循环过程中把一重物升高而同时使一热库冷却； D ．可以从一热源吸收热量使它全部变成有用的功而不产生其他影响。 4. 要使一般气体满足经典极限条件，下面措施可行的是（ ）。 A .减小气体分子数密度； B .降低温度； C .选用分子质量小的气体分子； D .减小分子之间的距离。 5. 下列说法中正确的是（ ）。 A ．由费米子组成的费米系统，粒子分布不受泡利不相容原理约束； B ．由玻色子组成的玻色系统，粒子分布遵从泡利不相容原理； C ．系统宏观物理量是相应微观量的统计平均值； D ．系统各个可能的微观运动状态出现的概率是不相等的。 6. 正则分布是具有确定的（ ）的系统的分布函数。 A ．内能、体积、温度； B ．体积、粒子数、温度； C ．内能、体积、粒子数； D ．以上都不对。 二、填空题（共20分,每空2分） 1. 对于理想气体,在温度不变时,内能随体积的变化关系为=??? ????T V U 。 2. 在S 、V 不变的情形下，稳定平衡态的U 。

热力学与统计物理论文

负温度状态 姓名：王军帅学号：20105052010 化学化工学院应用化学专业 指导老师：胡付欣职称：教授 摘要：通过分析负温度概念的引入，从理论上证明负温的存在，并论证实验上负温度的实现，在进步分析了负温度系统特征的基础上，引入了种新的温度表示法，使之与人们的习惯致。 关键词：负温度;熵;能量;微观粒 Negative Temperature State Abstract：The concept of negative temperature was introduced Its existence was proved theoretically and its realization in experiment also discussed after analysis of the negative temperature system characteristic，one kind of new temperature express is used in order to consistent with the common express. Key words: negative temperature; entropy; energy; microparticle 引言 温度是热学中非常重要的一个物理量，可以说任何热力学量都与温度有关.描述物体冷热程度的物理量—开尔文温度—一般都是大于零的，由热力学第三定律可知“绝对零度是不可能达到的”，也就是说自然界的低温极限是绝对零度，即-273.16℃.以OK作为坐标原点，通常意义上的温度一般就在原点的右半轴上，其范围就是零到 值总为正。那么有没有负温度呢？左半轴是不是可以用负温度来对应呢？它表示的温度是不是更低呢？此时系统的热力学性质又将会怎么样呢？这些问题激起人们对温度的疑惑与兴趣. 1.负温度概念的引入 通常所说的温度与系统微观粒子的运动状态有关，随着温度的升高，粒子的能量也升高，粒子运动就会越激烈，无序度也会增加:在低温时，高能量粒子的数目总是少于低能量粒子的数目，所以随着温度的升高，高能量粒子数目逐渐增

热力学与统计物理重点

Ω不一定掌握，玻色 麦克斯韦 费米 玻尔兹曼 简答题 简单回答三个简答题 相空间（μ空间的解释）如何描述微观粒子运动，用相空间的一个点描述，把物理问题转几何问题 谐振子计算 考一个计算吗 能量均分定理 等概率原理（一个假设，系统的限制不能乱加孤立系统…） 玻尔兹曼分布导出能量均分：X^2贡献 理想自由单原子气体 3个维度 ，N 个粒子再乘以N ，相关计算 波色——爱因斯坦凝聚：（为何一定只有波色有：费米体系玻尔兹曼化学势不会 小于0）TC 相变温度，凝聚点， ：费米面费米面只有费米体系才有，泡利不相容原理，下面站满了，往上占，费米面就是化学势，是一个固定值。 布置的2维…（综合）一起；固体热容量爱因斯坦理论这一节的例题 所有。。 n x 、n y 、n z 三个量子数描述... ,2 ,1 ,0 ,2... ,2 ,1 ,0 ,2... ,2 ,1 ,0 ,2±±==±±==±±== z z z y y y x x x n n c p n n b p n n a p πππ 动量跟量子数之间一一对应的函数关系， 如果利用q 和p 来描述粒子的运动状态，则一个状态对应于 -空间中的一个体 积，称为一个相格。对于自由度为r 的自由粒子，该相格的大小为h r 准静态过程：是一个非常缓慢的过程。系统在过程中经历的每一个状态都可以 dQ dW dU ＋＝z y x z y x z y x dp dp dp h V dp dp dp L dn dn dn 33 2=??? ??= π222222 122 2x m m p x A m p ωε+= + =

看作平衡态。* dW=Ydy 体积有dV 的变化时，外界对系统做的功为-PdV 配分函数： 热力学性质（内能、熵、自由能） 玻尔兹曼 系统内能U,广义力Y,P=-Y ：Z y N N U ln Y lnZ ?? -=?? -=ββ 熵:定域系统熵计算： ： 不可分辨粒子熵计算： ? ?? ?????-?=ββZ N eZ Nk S ln ln 自由能为F=U-TS=。。。 理想气体的物态方程PV=nRT=Nk B T 外界所作的功体现为：粒子分布不变，能级的改变； 所吸收的热量体现为：粒子能级不变，分布的改变。 简答： 1、 什么是“最概然分布” 孤立系统: 这样的系统具有确定的粒子数N 、体积V 和总能量E 。 定域系:可以分辨 非定域的玻色子:不可分辨，每个个体量子态上的粒子数目不受限制 非定域的费米子:不可分辨，且服从Pauli 不相容原理，每个个体量子态只能有1个粒子 分布: 给出的是在每个能级上的粒子数: 能级： 1 2 3 。。。， l ，。。。 简并度： 1 2 3 。。。， l ，。。。 粒子数： 1 2 3 。。。， l ，。。。 微观状态数：分布+(既要确定在每一个能级 l 上的是哪 l 个粒子)(定域)还要 ......) ,2 ,1 ,0( ; ;=∑∑==l E N l l l l l εααΩ?=ln k S ?? ? ? ????-?=ββZ Z Nk S ln ln ∑=-ι βειιωe Z T k B 1 = β

第十八章 热力学与统计物理学概述

第十八章 热力学与统计物理学概述 18-1外界对一个气体系统所作的功可以用式(18-1)表示，即2 1 V V A pdV =-? 由此我们是否可以说，任何没 有体积变化的过程外界都不会对它作功？ 答：错误。外界对气体系统作功可以有许多形式，如电场力作功、磁场力作功等，实际上可以把除了热的形式以外的各种传递能量的形式都归结为作功。而式：2 1 V V A pdV =- ? 只适用于一个均匀的气体系统在没 有外场作用的情况下的准静态过程。如果是非准静态过程，体积没有变化，外界也可能对系统作功。如一装有气体的容器在运动中突然停止，这时容器内气体的体积不变，但此时外界对气体有作功。 18-2能否说系统含有多少热量？为什么？ 答：错误。因为：对于一个处于一定状态的系统，既不吸热，也不放热，无热量可言。而系统吸热或放热的多少都与过程有关，即热量是一个过程量，不是一个状态量，所以不能说系统含有多少热量。 18-3分别在p -V 图、p -T 图和T -V 图上画出下列过程：等体、等压、等温和绝热。 答： 18-4为什么公式pV C γ =只有在准静态过程的条件下才成立？ 答：（1）因为只有在准静态过程中，每一瞬间系统都处于平衡态，才可以使用理想气体物态方程来描述。 绝热过程 P —V 图 P —T 图 T —V 图

（2）在推导公式pV C γ =过程中，用到绝热过程dU pdV =-也只有在准静态过程中才成立。 18-5 将20g 的氦气分别按照下面的过程，从17℃升至27℃，试分别求出在这些过程中气体系统内能的变化、吸收的热量和外界对系统作的功：(1)保持体积不变；(2)保持压强不变；(3)不与外界交换热量。 设氦气可看作理想气体，且3 2 V R C ν=。 解：(1)保持体积不变： 外界对系统不作功：0A =； 系统内能的变化为：2 3 6.23102 V U C T R T J ν?=?=?=?； 由热力学第一定律，吸收的热量为： 2 6.2310V Q U J =?=? 这表示，在系统体积不变的情况下， 外界对系统不作功，系统从外界获得的热量全部用于内能的增加。 (2)保持压强不变： 吸收的热量：()3 1.0410p p V Q C T C R T J ν=?=+?=? 系统内能的变化：2 3 6.23102 V U C T R T J ν?=?=?=? 外界对系统作功：2 4.1610p A U Q J =?-=-? 这表示，在系统保持压强不变的情况下，系统从外界获得的热量，一部分用于增加系统的内能，另一部分用于系统对外界作功。 (3)不与外界交换热量，即绝热过程： 吸收的热量：0Q = 系统内能的变化：23 6.23102 V U C T R T J ν?=?= ?=?