(新)高中数学极坐标与参数方程大题(详解)

参数方程极坐标系 解答题

Ⅰ ）写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程．

Ⅱ）过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线，交 l 于点 A ，求|PA|的最大值与最小值． 参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系． 坐标系和参数方程．

（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取 x=2cosθ、y=3sinθ得曲线 C 的参数方程，直接消掉参数 t 得直线 l

的普通 方程；

（Ⅱ）设曲线 C 上任意一点 P （ 2cosθ， 3sinθ）．由点到直线的距离公式得到 P 到直线 l 的距离，除以

sin30°进一步得到 |PA|，化积后由三角函数的范围求得

对于直线 l ：

由① 得： t=x ﹣2，代入 ② 并整理得： 2x+y ﹣6=0； （Ⅱ ）设曲线 C 上任意一点 P （ 2cosθ， 3sinθ）．

其中 α为锐角．

当 sin （ θ+α）=﹣1时， |PA|取得最大值，最大值为

当 sin （ θ+α）=1 时， |PA|取得最小值，最小值为

本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．

2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与 x 轴的正半轴重合，直线 l 的极坐标方程为：

，曲线 C 的参数方程为：

（ α为参数）．

（ I ）写出直线 l 的直角坐标方程；

（ Ⅱ ）求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值． 考点 ： 参数方程化成普通方程．

1．

已知曲线 C ： + =1，直线 t 为参数）

考点： 专题 ： 解答：

y=3sin θ， 故曲线 C 的参数方程为 ，（ θ为参数）． |PA|的最大值与最小值．

．

．

． ．

点评：

解：（ Ⅰ）对于曲线 C ：

=1，可令 x=2cos θ

P 到直线 l 的距离

专题：坐标系和参数方程．

分析：（1）首先，将直线的极坐标方程中消去参数，化为直角坐标方程即可；

（2）首先，化简曲线C 的参数方程，然后，根据直线与圆的位置关系进行转化求解．

得

（x ﹣ 2） 2

+y 2

=4 ，

它表示一个以（ 2，0）为圆心，以 2 为半径的圆， 圆心到直线的距离为：

d= ，

本题重点考查了直线的极坐标方程、曲线的参数方程、及其之间的互化等知识，属于中档题．

1）化 C 1，C 2 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

最小值．

考点 ： 圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程． 专题 ： 计算题；压轴题；转化思想．

分析： （1）分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的普通方程，即可得到曲线

C 1 表示一个圆；曲线 C 2 表示

一个椭圆；

（2）把 t 的值代入曲线 C 1的参数方程得点 P 的坐标，然后把直线的参数方程化为普通方程，根据曲线 C 2的 参数方程设出 Q 的坐标， 利用中点坐标公式表示出 M 的坐标， 利用点到直线的距离公式表示出 M 到已知直线 的距离，利用两角差的正弦函数公式化简后，利用正弦函数的值域即可得到距离的最小值．

解答：

把 C 2：

焦点在 x 轴上，长半轴为 8，短半轴为 3 的椭圆；

（2）把 t= 代入到曲线 C 1的参数方程得： P （﹣ 4，4），

解答：

解：（ 1） ∵直线 l 的极坐标方程为：

ρ( sinθ﹣

，

=，

=，

（2）根据曲线 C 的参数方程为： α为参数）．

∴曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值

=．

点评： 3．已知曲线 C 1：

t 为参数），C 2： θ为参数）．

2）若 C 1 上的点 P 对应的参数为 t= ，Q 为 C 2上的动点，求 PQ 中点 M 到直线 C 3：

（t 为参数）距离的

解：（ 1）把曲线 C 1：

t 为参数）化为普通方程得：

22

x+4)2+(y ﹣3) 2=1，

所以此曲线表示的曲线为圆心（﹣ 4， 3），半径 =1，所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点，

cosθ∴x ﹣ y+1=0 ．

θ为参数） 化为普通方程

得：

把直线 C 3： （t 为参数）化为普通方程得： x ﹣ 2y ﹣7=0，

设Q 的坐标为 Q （8cos θ，3sin θ），故 M （﹣ 2+4cos θ， 2+ sin θ）

所以 M 到直线的距离 d= = ，（其中 sinα= ，cosα= ） 从而当 cosθ= ， sinθ= ﹣ 时，d 取得最小值

．

点评： 此题考查学生理解并运用直线和圆的参数方程解决数学问题， 灵活运用点到直线的距离公式及中点坐标公式化 简求

值，是一道综合题．

4．在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆 C 的极坐标方程为

，直线 l 的参数方程为

（ t 为参数），直线 l 和圆 C 交于 A ， B 两点， P 是圆 C

上不同于 A ， B 的任意一点． （Ⅰ）求圆心的极坐标； （Ⅱ）求 △PAB 面积的最大值．

∴圆心到直线 l 的距离 ，

点 P 直线 AB 距离的最大值为

考点： 专题 ：

参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方

程． Ⅰ ）由圆 C 的极坐标方程为

，化为 ρ2

=

，把

代入即可得出．

（II ）把直线的参数方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离 可得 |AB|=2 ，利用三角形的面积计算公式即可得出．

d ，再利用弦长公式

解答：

解：（ Ⅰ ）由圆 C 的极坐标方程为

，化为 ρ2

=

代入可得：圆 C 的普通方程为 ∴圆心坐标为（ x 2

+y 2

﹣ 2x+2y=0 ，即（ x ﹣1）2

+（y+1）2

=2．

∴圆心极坐标为

1，﹣ 1）， ；

Ⅱ ）由直线 l

的参数方程 t 为参数），把 t=x 代入 y=﹣1+2 t 可得直线 l 的普通方程：

=

=

∴|AB|=2

=

．

本题考查了把直线的参数方程化为普通方程、极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式、三 角形

的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

5．在平面直角坐标系 xoy 中，椭圆的参数方程为 为参数）．以 o 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极 坐标系，直线的

极坐标方程为 ．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．

考点：椭圆的参数方程；椭圆的应用．

专题 ： 计算题；压轴题． 分析：

由题意椭圆的参数方程为 为参数），直线的极坐标方程为 ．将椭

圆和直线先化为一般方程坐标，然后再计算椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．

解答： 解：将 化为普通方程为 （4 分）

点 到直线的距离

（6分） （ 分）

所以椭圆上点到直线距离的最大值为 ，最小值为 ．（10 分）

点评： 此题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程 进

行求解，这也是每年高考必考的热点问题．

考点： 参数方程化成普通方

专题 ： 计算题；直线与圆；坐标系和参数方程．

分析： （1）将曲线 C 化为普通方程，将直线的参数方程化为标准形式，利用弦心距半径半弦长满足的勾股定

理，即 可求弦长．

点评： 6．在直角坐标系 xoy 中，直线 I 的参数方程为 坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρ= cos（θ+ ）． （1）求直线 I 被曲线 C 所截得的弦长； （2）若 M （ x ， y ）是曲线 C 上的动点，求 x+y 的最大值． t 为参数），若以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极

解答：

解：（ 1）直线 I 的参数方程为

t 为参数），消去 t

可得，3x+4y+1=0 ；

由于ρ= cos（θ+ ）= （），

（2）运用圆的参数方程，设出M ，再由两角和的正弦公式化简，运用正弦函数的值域即可得到最大值．

2 2 2

即有 ρ2=ρcosθ﹣ ρsinθ，则有 x 2+y 2

﹣x+y=0 ，

其圆心为（

由于 θ∈R ，则 x+y 的最大值为 1．

点评： 本题考查参数方程化为标准方程，极坐标方程化为直角坐标方程，考查参数的几何意义及运用，考查学生的计 算

能力，属于中档题．

7．选修 4﹣ 4：参数方程选讲

已知平面直角坐标系 xOy ，以 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系， P 点的极坐标为 ，曲

线 C 的极坐标方程为 ．

（Ⅰ）写出点 P 的直角坐标及曲线 C 的普通方程； （Ⅱ）若 Q 为C 上的动点，求 PQ 中点 M 到直线 l ：

（t 为参数）距离的最小值．

参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程． 坐标系和参数方程． 1）利用 x= ρcosθ， y= ρsinθ即可得出；

2）利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可得出，

， ，

﹣ ），半径为

r =

圆心到直线的距离 d= = ， =2 故弦长为 2

=；

2）可设圆的参数方程为： θ为参数），

则设 M （ 则 x+y= ，

，

=sin （

），

考点专

题分

解

答：

解 （1）∵P 点的极坐标为

∴点 P 的直角坐

标 把 ρ2

=x 2

+y 2

， y=ρsinθ代入

可得 ，即

）

，

=3，

∴ 曲线C 的直角坐标方程为

θ为参数），直线 l 的普通方程为 x ﹣ 2y ﹣7=0

设 ，则线段 PQ 的中点 那么点 M 到直线 l 的距离

∴点 M 到直线 l 的最小距离为 ．

点 本题考查了极坐标与直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、三角函数的 评： 单调性等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力，属于中档题．

标系．

（Ⅰ）求圆 C 的极坐标方程；

可得普通方程：直线 l ，射线 OM

P ．

2）曲线 C 的参数方程为

8．在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程

φ为参数） ．以 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐

Ⅱ）直线 l 的极坐标方程是 ρ（sinθ+

）=3 ，射线 OM ：

θ= 与圆 C 的交点为 O ，P ，与直线 l 的交点为

Q ，求线段 PQ 的长．

考点： 专题 ： 分析：

简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关

系． I ）圆 C 的参数方程 φ为参数）．消去参数可得： （ x ﹣ 1） 2+y 2=1．把 x= ρcosθ， y= ρsinθ代入

解答：

化简即可得到此圆的极坐标方程．

II ）由直线 l 的极坐标方程是 ρ（sinθ+ ）=3 ，射线 OM ： ．可得普通方程： 直线 l ，

射线 OM ．分别与圆的方程联立解得交点，再利用两点间的距离公式即可得出．

把 x= ρcosθ， y= ρsinθ代入化简得： ρ=2cosθ，即为此圆的极坐标方

程．

（II ）如图所示，由直线 l 的极坐标方程是 ρ（ sinθ+ ）=3 ，射线 OM ： 解：（ I ）圆 C 的参数方程

φ为参数）．消去参数可得： （x ﹣1） 2+y 2=1．

θ=

联立

，解得

，解得

，即 Q ．

联立

或

1）求曲线 C 1 的普通方程与曲线 C 2的直角坐标方程；

2）设 P 为曲线 C 1上的动点，求点 P 到 C 2上点的距离的最小值，并求此时点 P 的坐标．

考点： 简单曲线的极坐标方程．

专题 ： 坐标系和参数方程． 分析：

（1）由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程，利用直角坐标和极坐标的互x=ρcosθ、y=ρsinθ，把极坐标方程化为直角坐标方程．

到直线 x+y ﹣ 8=0 的距离为

，可得 d 的最小值，以及此时的 α的值，从而求得点

P

的坐标．

解答：

即曲线 C 1 的普通方程为： 由曲线 C 2：

得：

即 ρsinθ+ρcosθ=8，所以 x+y ﹣ 8=0， 即曲线 C 2 的直角坐标方程为： x+y ﹣8=0． （2）由（ 1）知椭圆 C 1与直线 C 2无公共点，椭圆上的点

点评：

识与基本方法，属于中档题．

两点间的距离公式等基础知

9．在直角坐标系 立极坐标系，曲线

xoy 中，曲线 C 1 的参数方程为

C

2 的极坐标方程为 ρsin ( θ+ =4 ． α为参数），以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴，建

2）求得椭圆上的点 解：（ 1）由曲线 C 1：

可得 ，两式两边平方相加得：

到直线 x+y ﹣ 8=0 的距离为

所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。

∴当

时， d 的最小值为 ，此时点 P 的坐标为 ．

点评： 本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，正弦函数的值 域，

属于基础题．

∴ 圆 C 的直角坐标方程为 ，

II ）∵直线 l 的普通方程为 ， 圆心 C 到直线 l 距离是

∴直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是

（10 分）

本题考查点的极坐标和直角坐标的互化， 能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，

坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．

11．在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立坐标系，直线 l 的参数方程为

，（t 为参数），

曲

线C 1的方程为 ρ（ρ﹣4sinθ）=12，定点 A （ 6， 0），点 P 是曲线 C 1上的动点， Q 为 AP 的中点． （1）求点 Q 的轨迹 C 2的直角坐标方程；

（2）直线 l 与直线 C 2交于 A ，B 两点，若 |AB|≥2 ，求实数 a 的取值范围．

考点 ： 简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程． 专题 ： 坐标系和参数方程．

分析：

（1）首先，将曲线 C 1 化为直角坐标方程，然后，根据中点坐标公式，建立关系，从而确定点 直角坐

标方程；

（2）首先，将直线方程化为普通方程，然后，根据距离关系，确定取值范围．

解答： 解：（ 1）根据题意，得

曲线 C 1 的直角坐标方程为： x 2+y 2

﹣ 4y=12，

考点： 简单曲线的极坐标方程． 专题 ： 计算题．

分析： （I ）先利用三角函数的和角公式展开圆 C 的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即

利用

ρcosθ=x ， ρsinθ=y ， ρ2=x 2+y 2

，进行代换即得圆 C 的直角坐标方程，从而得到圆心 C 的直角坐标． （II ）欲求切线长的最小值，转化为求直线 l 上的点到圆心的距离的最小值，故先在直角坐标

Ⅱ）由直线 l

上的点向圆 C 引切线，求切线长的最小值．

解答：

解：（I ）∵

，∴ ，

10．已知直线 Ⅰ）求圆心

l 的参数方程

是

C 的直角坐 5 分）

点评： 体会在极坐标系和平面直角

Q 的轨迹 C 2 的

ρ=2cos

（ θ+ ）．

， ∴圆心直角坐标为

设点 P （x ′，y ′）， Q （x ，y ）， 根据中点坐标公式，得

，代入x 2+y 2﹣4y=12，

得点 Q 的轨迹 C 2 的直角坐标方程为： （x ﹣3）2

+（y ﹣1） 2

=4， （2）直线 l 的普通方程为： y=ax ，根据题意，得

解得实数 a 的取值范围为： [0 ， ] ．

点评： 本题重点考查了圆的极坐标方程、 直线的参数方程， 直线与圆的位置关系等知识， 考查比较综合， 属于中档题，

解题关键是准确运用直线和圆的特定方程求解．

12．在直角坐标系 xoy 中以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系． 圆 C 1，直线 C 2 的极坐标方程分别为 ρ=4sin θ，ρcos （ ） =2 ．

（Ⅰ）求 C 1与 C 2交点的极坐标；

Ⅱ）设P 为 C 1的圆心， Q 为 C 1与 C 2交点连线的中点， b 的值．

考点 ： 点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程． 专题 ： 压轴题；直线与圆．

分析： （I ）先将圆 C 1，直线 C 2 化成直角坐标方程，再联立方程组解出它们交点的直角坐标，最后化成极坐标即可；

（II ）由（I ）得， P 与 Q 点的坐标分别为（ 0，2），（1，3），从而直线 PQ 的直角坐标方程为 x ﹣y+2=0 ，由参 数方程可得 y= x ﹣ +1，从而构造关于 a ，b 的方程组，解得 a ，b 的值．

解答： 解：（ I ）圆 C 1，直线 C 2 的直角坐标方程分别为 x 2

+（y ﹣2）2

=4，x+y ﹣4=0

，

已知直线 PQ 的参数方程

t ∈R 为参数），求 a

∴

解得 a=﹣ 1，b=2．

点评： 本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程、把参数方程化为普通方程的方法，方程思想的应用，属

于基础 题．

13．在直角坐标系 xOy 中， l 是过定点 P （4， 2）且倾斜角为 非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线

（Ⅰ）

（Ⅱ）

α的直线；在极坐标系 C 的极坐标方程为 ρ=4cos θ 写

出直线 l 的参数方程，并将曲线 C 的方程化为直角坐标方程； 若曲线 C 与

直线相交于不同的两点 M 、N ，求 |PM|+|PN|的取值范围．

以坐标原点 O 为极点，

x 轴

解答：

解：（ I ）直线 l 的参数方程为

t 为参数）．

曲线 C 的极坐标方程 ρ=4cosθ可化为 ρ2

=4 ρcosθ．

把 x=ρcosθ，y=ρsinθ代入曲线 C 的极坐标方程可得 x 2+y 2

=4x ，即（ x ﹣2）

II ）把直线 l 的参数方程为 ∵曲线 C 与直线相交于不同的两点 M 、N ，

2

∴△=16（ sin α+cos α） ﹣16> 0， ∴sin αcos α>0，又 α∈[0 ，π）， ∴．

又

t

1+t 2=﹣ 4( sin α+cos α)，

点评： t 为参数）代入圆的方程可得： 22

+y =4． 2

t

+4( sin α+cos α)

∴|PM|+|PN|=|t 1|+|t 2|=|t 1+t 2|=4|sin α+cos α|=

，

∴ ∴|PM|+|PN|的取值范围是 本题考查了直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线

与圆相交弦长问题，属于中档题．

（II ）由（I ）得， P 与Q 点的坐标分别为（ 0，2），（1，3）， 故直线 PQ 的直角坐标方程为 x ﹣ y+2=0 ， 由参数方程可得 y= x ﹣ +1，

得

，

∴C 1与 C 2 交点的极坐标为（ 4， ）

． ．

14．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为系，⊙ C 的极坐标方程为

ρ=2 sin θ．

（Ⅰ）写出⊙C 的直角坐标方程；

Ⅱ）P为直线l 上一动点，当P到圆心C的

距离最小时，求P 的直角坐标．

，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标

考点：专题：点的极坐标和直角坐标的互

化．

I）由⊙C 的极坐标方程为ρ=2 sinθ．化为ρ2=2 ，把代入即可得出；．

解答：（II ）设P

函数的性质即可得出．

解：（I）由⊙C 的极坐标方

程为∴ρ2=2 ，化为

配方为

，又C

ρ=2 sin

θ． x2+y2= ，

=3．

点评：

．利用两点之间的距离公式可得|PC|= ，再利用二次

II ）设P ，又C ．

=

因此当t=0 时，|PC|取得最小值2 ．此时P（3，0）．本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参

数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

≥2 ，

15．已知曲线C1 的极坐标方程为ρ=6cosθ，曲线C2 的极坐标方

程为

（Ⅰ）把曲线C1，C2 的极坐标方程转化为直角坐标方程；（Ⅱ ）

求弦AB 的长度．

θ= （p∈R），曲线C1，C2相交于A，B 两点．

考点：简单曲线的极坐标方程．

专题：计算题．

分析：（Ⅰ ）利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用C1 的直角坐标方程．

（Ⅱ ）利用直角坐标方程的形式，先求出圆

心（

2 2 2

ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得曲线C2 及曲线

长度．

解：（Ⅰ）曲线C2：（p∈R）

表示直线y=x，

曲线C1：ρ=6cosθ，即

ρ2=6ρcosθ 所以x2+y2=6x 即（x﹣3）2+y 2=9 t 为参数）

∴|PC|

=

Ⅱ）∵圆心（3，0）到直线的距离

r=3 所以弦长AB= = ．

∴弦AB 的长度．

点评：本小题主要考查圆和直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，

基本方法，属于基础题．

16．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，

直线

圆C 的参数方程

为

θ为参数，r>

0）

Ⅰ ）求圆心C 的极坐标；

∵圆C 上的点到直线l 的最大距离为3，

本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，点到直

线距离公式、三角变换等内容．

放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！

以及利用圆的几何性质计算圆心到直线的距等

Ⅱ ）当r 为何值时，圆C 上的点到直线l 的最大距离为3 ．

考点：

专

题：

解答：

简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系．

计算题．

（1）利用两角差的余弦公式及极坐标与直角坐标的互化公式可得直线本

关系，

消去θ可得曲线C 的普通方程，得出圆心的直角坐标后再化面极坐标即

可．（2）由点到直线的距离公式、两角和的正弦公式，及正弦函数的有

界性求得点最后列出关于r的方程即可求出r 值．

解：（1）由ρsin（θ+ ）= ，得

l 的普通方程；利用同角三角函数的基

ρ( cosθ+sin θ) =1，∴直线l：x+y ﹣1=0．

P到直线l 的距离的最大值，

得C ：圆心（﹣，﹣）．

∴圆心C 的极坐标（1，）．

2）在圆C：的圆心到直线l 的距离为：

，圆C 上的点到直线l 的最大距离为3．

点评：

l 的极坐标方程

∴．

17．选修 4﹣ 4：坐标系与参数方程

在直角坐标 xOy 中，圆 C 1： x 2+y 2=4，圆 C 2：（x ﹣2）2+y 2

=4． （Ⅰ）在以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆 C 1，C 2 的极坐标方程，并求出圆 C 1，C 2 的交点

坐标（用极坐标表示） ；

（Ⅱ）求圆 C 1与 C 2的公共弦的参数方程． 考点 ： 简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程． 专题 ： 计算题；压轴题．

分析：

（I ）利用 ，以及 x 2+y 2=ρ2

，直接写出圆 C 1，C 2 的极坐标方程，求出圆 C 1，C 2 的交点极坐标， 然后求出直角坐标

（用坐标表示） ；

（II ）解法一：求出两个圆的直角坐标，直接写出圆 C 1与 C 2的公共弦的参数方程． 解法二利用直角坐标与极坐标的关系求出 ，然后求出圆 C 1与 C 2的公共弦的参数方程．

解答： 2 2 2

解：（ I ）由

，x +y =ρ，

可知圆 ，的极坐标方程为 ρ=2，

本题考查简单曲线的极坐标方程，直线的参数方程的求法，极坐标与直角坐标的互化，考查计算能力．

圆 ，即 的极坐标方程为 ρ=4cos θ，

解

得：

ρ=2 ，

（II ）解法一：由

得圆 C 1， C 2的交点的直角坐标（ 1， ），（1，

故圆 C 1，C 2 的公共弦的参数方程为 （或圆 C 1，C 2 的公共弦的参数方程为 ）

（解法二）将 x=1 代入 得 ρcosθ=1

从而 于

是圆 C 1，C 2 的公共弦的参数方程为

点评： 故圆 C 1，C 2 的交点坐标（ 2， ），（2， ）．

高中数学选修4-4极坐标与参数方程练习题

极坐标与参数方程单元练习1 一、选择题（每小题5分，共25分） 1、已知点M 的极坐标为?? ? ??35π，，下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是（ ）。 A. B. C. D. ?? ? ? ? -355π， 2、直线：3x-4y-9=0与圆：? ??==θθ sin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( ) A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心 3、在参数方程? ??+=+=θθ sin cos t b y t a x （t 为参数）所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为t 1、 t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（ ） 4、曲线的参数方程为???-=+=1 2 32 2t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、双曲线的一支 C 、圆 D 、射线 5、实数x 、y 满足3x 2 ＋2y 2 =6x ，则x 2 ＋y 2 的最大值为（ ） A 、 27 B 、4 C 、2 9 D 、5 二、填空题（每小题5分，共30分） 1、点()22-， 的极坐标为 。 2、若A ，B ?? ? ? ? -64π， ，则|AB|=___________，___________。（其中O 是极点） 3、极点到直线()cos sin 3ρθθ+=________ _____。 4、极坐标方程2sin 2cos 0ρθθ-?=表示的曲线是_______ _____。 5、圆锥曲线()为参数θθ θ ?? ?==sec 3tan 2y x 的准线方程是 。

6、直线l 过点()5,10M ，倾斜角是 3 π ，且与直线032=--y x 交于M ，则0MM 的长为 。 三、解答题（第1题14分，第2题16分，第3题15分；共45分） 1、求圆心为C ，半径为3的圆的极坐标方程。 2、已知直线l 经过点P(1,1),倾斜角6 π α=， （1）写出直线l 的参数方程。 （2）设l 与圆42 2=+y x 相交与两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积。 3、求椭圆14 92 2=+y x ）之间距离的最小值，与定点（上一点01P 。 极坐标与参数方程单元练习1参考答案 【试题答案】一、选择题：1、D 2、D 3、B 4、D 5、B 二、填空题：1、??? ? ?-422π， 或写成?? ? ? ? 4722π，。 2、5，6。 3、。 4、()2 2sin 2cos 02y x ρθρθ-==，即，它表示抛物线。 5、13 13 9±=y 。6、3610+。 三、解答题 1、1、如下图，设圆上任一点为P （ ），则((((2366 OP POA OA π ρθ=∠=- =?=，， ((((cos Rt OAP OP OA POA ?=?∠中， 6cos 6πρθ? ?∴=- ???而点O )32,0(π A )6 ,0(π符合 2、解：（1）直线的参数方程是是参数）t t y t x (;211,23 1??? ????+=+= （2）因为点A,B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2,则点A,B 的坐标分别为 ),211,231(11t t A ++ )2 1 1,231(22t t B ++ 以直线L 的参数方程代入圆的方程42 2 =+y x 整理得到02)13(2=-++t t ① 因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2。所以|PA|·|PB|= |t 1t 2|＝|－2|＝2。 3、（先设出点P 的坐标，建立有关距离的函数关系）

最新高中数学参数方程大题(带答案)精选

参数方程极坐标系 解答题 1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数） （Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程． （Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值． +=1 ， ， 的距离为 则 取得最小值，最小值为 2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为： ，曲线C的参数方程为：（α为参数）． （I）写出直线l的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值． 的极坐标方程为： cos= ∴

y+1=0 （ d= 的距离的最大值． 3．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）． （1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值． ：（化为普通方程得：+ t=代入到曲线 sin =，），﹣

4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为 ，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C 上不同于A，B的任意一点． （Ⅰ）求圆心的极坐标； （Ⅱ）求△PAB面积的最大值． 的极坐标方程为，把 ，利用三角形的面积计算公式即可得出． 的极坐标方程为，化为= 把 ∴圆心极坐标为； （t ， = 距离的最大值为 5．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值． 由题意椭圆的参数方程为为参数）直线的极坐标方程为

极坐标与参数方程题型三：最值问题

极坐标与参数方程题型二：最值问题 13.在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. (1) 求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程； (2) 设为曲线上的动点，求点到上点的距离的最小值，并求此时点的坐标. 14、已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：? ????x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)． (1)写出曲线C 的参数方程、直线l 的普通方程； (2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值． 15、以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程； （2）若点()y x P ,在该圆上，求y x +的最大值和最小值．

16、已知曲线C 的极坐标方程θρsin 2=，直线l 的参数方程)(22223为参数t t y t x ??? ????=+=， 以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系； （1）求曲线l C 与直线的直角坐标方程. （2）若M 、N 分别为曲线l C 与直线上的两个动点，求||MN 的最小值. 17、已知直线l 的参数方程为1212 x t y ?=????=+??（t 为参数），曲线C 的参数方程为 2cos sin x y θθ =+??=?（θ为参数）。（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为(4, )3π，判断点P 与直线l 的位置关系；（2）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求点Q 到直线l 的距离的最小值与最大值。 18、以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l 的参数方程为???=+=α αsin cos 1t y t x (t 为参数，πα<<0)，曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=． （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，当α变化时，求AB 的最小值．

高中数学直线参数方程测试题

三直线的参数方程 （课前部分） 编写者: 【学习目标】 理解直线的参数式方程以及明确它的形式特征，明确参数t 的几何意思。 【学习重点】 直线的参数式方程以及参数t 的几何意义。 【学习难点】 理解直线的参数方程中t 的几何意义. 【学法指导】通过探究直线上两点间的距离及利用向量的有关知识，让学生积极、主动地参与观察，分析、进而得出直线的参数式方程，培养了学生运用类比法的数学思想方法解决问题 通过本节课的学习，不仅要让学生学会知识，更重要的是由学会变为会学，让学生在探究活动中，自主探究知识，逐步掌握自主获得知识的学习方法。 【复习回顾】 1 、我们知道经过平面内的定点M0（x0,y 0）及斜率k 应用直线方程的点斜式就可以写出直线方程，那么你认为有几种办法能确定斜率k 值呢？ 2 、直线方程的方向向量如何确定？平面向量的共线定理是什么？ 3 、数轴上两点对应的数分别为t1,t 2 ,则两点间的距离是什么？ 【自主学习】 大家都知道，当我们把平面向量中所有的单位向量的起点放在坐标原点，那么他们的终点的轨迹是以坐标原点为圆心的单位圆。那么你能写出一个倾斜角为α的直线的一个方向单位向量吗？ 已知直线上定点M 0，M 是直线上的任意一点，当M 移动时，M0M 发生了哪些变化？与直线L 的单位方向向量e 之间什么关系？ 设直线l的倾斜角为，定点M 0、动点M 的坐标 分别为M0（x0,y0）、M （x,y） 如何用e和M 0的坐标表示直线上任意一点M的坐标？ 通过对上面的问题的分析，你认为用哪个几何条件来建立参数方程比较好？又应当怎样选择参数呢？请同学们自己动手推导一下直线的参数方程的标准式，对比教材P35 的推导过程. 请同学们进一步思考直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？每一个量的几何意义又是什么？形式上有什么要求？ 根据直线的参数方程的公式请大家写出经过点M0（－2,3），倾斜角为30°的直线L 的参数方程？ 通过这个方程请大家求出：（1）当t=1 时对应的点P1的坐标。（2）当t= -1 时对应的点P2的坐标。（3）当t=0 时对应的点P3的坐标。（4）求出直线L 上与点M0相距为 2 的点的坐标。 画图找到这些点，做好标注！ 有人说t>0 时，t 表示向量M 0M 的长度，你同意吗？t<0 时又如何呢？通过对以上的分析你能总结出参数t 的几何意义吗？如有困难参看教材P36例 1 的上面部分。 由于直线的倾斜角α [0 ，），所以这个方向单位向量很特别，方向如何？请同学们自己动手 画出图形，写出这个向量e 的坐标。 当你竭尽全力，时间自会主持公道1

最新高考数学解题技巧-极坐标与参数方程

2018高考数学解题技巧 解答题模板3：极坐标与参数方程 1、 题型与考点（1）{极坐标与普通方程的互相转化 极坐标与直角坐标的互相转化 （2） {参数方程与普通方程互化参数方程与直角坐标方程互化 (3) {利用参数方程求值域参数方程的几何意义 2、【知识汇编】 参数方程：直线参数方程：00cos ()sin x x t t y y t θθ=+??=+?为参数 00(,)x y 为直线上的定点， t 为直线上任一点(,)x y 到定 点00(,)x y 的数量； 圆锥曲线参数方程：圆的参数方程：cos ()sin x a r y b r θθθ=+?? =+?为参数(a,b)为圆心，r 为半径； 椭圆22221x y a b +=的参数方程是cos ()sin x a y b θθθ=??=? 为参数； 双曲线2222-1x y a b =的参数方程是sec ()tan x a y b φθφ=??=? 为参数； 抛物线22y px =的参数方程是2 2()2x pt t y pt ?=?=?为参数 极坐标与直角坐标互化公式： 若以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，点P 的极坐标为(,)ρθ，直角坐标为(,)x y ， 则cos x ρθ=, sin y ρθ=, 222x y ρ=+, tan y x θ=。 解题方法及步骤 （1）、参数方程与普通方程的互化 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程(),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标） 例1、方程?????+=-=--t t t t y x 2 222（t 为参数）表示的曲线是（ ） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆 解析：注意到2t t 与2t -互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t 的项，4)22()22(2222-=+--=---t t t t y x ，即有422=+y x ，又注意到 02>t ，222222=?≥+--t t t t ，即

高中数学选修4-4-极坐标与参数方程-知识点与题型

一、极坐标系 1．极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2 题型一 极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P 的极坐标为，则点P 的直角坐标为 （ ） A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，1） D.（-1，-1） 2、设点的直角坐标为，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点的极坐标为（ ） A ． B ． C ． D ． 3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1 D ．ρsin θ＝1 5．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________． 6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π 4 (ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标． 题型二 极坐标方程的应用 由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解．

极坐标与参数方程含答案(经典39题)(整理版)

高考极坐标参数方程(经典39题) 1．在极坐标系中，以点(2,)2 C π 为圆心，半径为3的圆C 与直线:() 3 l R π θρ= ∈交于,A B 两点. （1）求圆C 及直线l 的普通方程. （2）求弦长AB . 2．在极坐标系中，曲线2 :sin 2cos L ρθθ=，过点A （5，α） （α为锐角且3tan 4α= ）作平行于()4 R π θρ=∈的直线l ，且l 与曲线L 分别交于B ，C 两点. (Ⅰ)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直 角坐标系，写出曲线L 和直线l 的普通方程； (Ⅱ)求|BC|的长. 3．在极坐标系中，点M 坐标是)2 , 3(π ，曲线C 的方程为)4 sin(22π θρ+ =；以 极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ?的值． 4．已知直线l 的参数方程是)(24222 2 是参数t t y t x ??? ??? ?+== ，圆C 的极坐标方程为 )4 cos(2π θρ+=． （1）求圆心C 的直角坐标； （2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．

5．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t t y t a x ,3?? ?=+=.在极坐标 系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为θρcos 4=. （Ⅰ）求圆C 在直角坐标系中的方程； （Ⅱ）若圆C 与直线l 相切，求实数a 的值. 6．在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为 (2, ) 3π ，半径r=1，P 在圆C 上运 动。 （I ）求圆C 的极坐标方程； （II ）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴）中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方程。 7．在极坐标系中，极点为坐标原点O ，已知圆C 的圆心坐标为 ) 4,2(C π，半径为2，直线l 的极坐标方程为22)4sin(= θ+πρ. （1）求圆C 的极坐标方程； （2）若圆C 和直线l 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长. 8．平面直角坐标系中，将曲线? ? ?==ααsin cos 4y x （α为参数）上的每一点纵坐标不变， 横坐标变为原来的一半，然后整个图象向右平移1个单位，最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到曲线1C ．以坐标原点为极点，x 的非负半轴为极轴，建立的极坐标中的曲线2C 的方程为θρsin 4=，求1C 和2C 公共弦的长度．

高中数学全参数方程知识点大全

高考复习之参数方程 一、考纲要求 1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程. 2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点. 二、知识结构 1.直线的参数方程 (1)标准式 过点Po(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是 ? ? ?+=+=a t y y a t x x sin cos 00 (t 为参数) (2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α= a b 的直线的参数方程是 ?? ?+=+=bt y y at x x 00(t 不参数) ② 在一般式②中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义，若a 2 +b 2 =1,②即为标准式，此 时， ｜ t ｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；若a 2+b 2 ≠1，则动点P 到定点P 0的距离是 22b a +｜t ｜. 直线参数方程的应用 设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ? ??+=+=a t y y a t x x sin cos 00 （t 为参数） 若P 1、P 2是l 上的两点，它们所对应的参数分别为t 1,t 2，则 (1)P 1、P 2两点的坐标分别是 (x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α) (x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α)； (2)｜P 1P 2｜=｜t 1-t 2｜; (3)线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ，则 t= 2 2 1t t + 中点P 到定点P 0的距离｜PP 0｜=｜t ｜=｜2 2 1t t +｜ (4)若P 0为线段P 1P 2的中点，则 t 1+t 2=0.

极坐标与参数方程题型和方法归纳

极坐标与参数方程题型和方法归纳

极坐标与参数方程题型和方法归纳 题型一：极坐标（方程）与直角坐标（方程）的相互转化，参数方程与普通方程相互转化，极坐标方程与参数方程相互转化。方法如下： {22222 cos sin tan (0x y x y x y y x x ραρα ρρθ==?=++??=≠+?? ???????→ ←???????或(1)极坐标方程直角坐标方程 2 2 1θθ=????????????→←????????????消参（代入法、加减法、sin +cos 等）圆、椭圆、直线的参数方程 (2)参数方程直角坐标方程 ??→??→←??←?? (3)参数方程直角坐标方程(普通方程)极坐标方程 1、已知直线l 的参数方程为 11233x t y t ? =+? ? ?=? （t 为参数） 以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的方程为2sin 3cos 0 θρθ=. （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）写出直线 l 与曲线C 交点的一个极坐标. 题型二：三个常用的参数方程及其应用 （1）圆 222 ()()x a y b r -+-=的参数方程是：

cos sin ()x a r y b r θ θθ =+?? =+?为参数 （2）椭圆 22 221(0,0,)x y a b a b a b +=>>≠的参数方程是： cos ,()sin x a y b θ θθ=?? =? 为参数 （3）过定点0 (,)P x y 倾斜角为α的直线l 的标准参数方程为： 00cos ,()sin x x t t y y t α α =+?? =+?为参数 对（3）注意： P 点所对应的参数为0 t =，记直线 l 上任意两点,A B 所对应的参数分别为1 2 ,t t ，则① 12 AB t t =-,② 1212121212,0 ,0 t t t t PA PA t t t t t t ?+?>?+=+=? -? ）以坐标原点O 为极点， 以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为cos 24 πρθ??+=- ?? ? （Ⅰ）设P 是曲线C 上的一个动点，当2a =时，求点P 到直线l 的距离的最小值；

高考极坐标与参数方程大题题型汇总(附详细答案)

高考极坐标与参数方程大题题型汇总 1．在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ? ?? =+??=?为参数） ．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程； （2）直线l 的极坐标方程是 C 的交点为 O 、P ,与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 解:(1)圆C 的普通方程是22(1)1x y -+=，又cos ,sin x y ρθρθ==; 所以圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=. ---5分 (2)设11(,)ρθ为点P 的极坐标，则有 设22(,)ρθ为点Q 的极坐标，则有 由于12θθ=，所以，所以线段PQ 的长为2. 2．已知直线l 的参数方程为431x t a y t =-+??=-? （t 为参数），在直角坐标系xOy 中，以O 点为极 点， x 轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，设圆M 的方程为 26sin 8 ρρθ-=-． （1）求圆M 的直角坐标方程； （2）若直线l 截圆M a 的值． 解：（1）∵2 222268(36si )n 81x y y x y ρρθ+--=-?=-?+-=， ∴圆M 的直角坐标方程为2 2 (3)1x y +-=；(5分）

（2）把直线l的参数方程 4 31 x t a y t =-+ ? ? =- ? （t为参数）化为普通方程得：34340 x y a +-+=， ∵直线l截圆M所得弦长 为，且圆M的圆心(0,3) M到直线l的距 离 |163|19 522 a d a - ===?=或 37 6 a=，∴ 37 6 a=或 9 2 a=．(10分）3．已知曲线C的参数方程为 ?? ? ? ? + = + = α α sin 5 1 cos 5 2 y x (α为参数)，以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系。 （1）求曲线c的极坐标方程 （2）若直线l的极坐标方程为 ρ (sinθ+cosθ)=1，求直线l被曲线c截得的弦长。 解：(1)∵曲线c的参数方程为 ?? ? ? ? + = + = α α sin 5 1 cos 5 2 y x (α为参数) ∴曲线c的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=5 将? ? ? = = θ ρ θ ρ sin cos y x 代入并化简得： ρ =4cosθ+2sinθ 即曲线c的极坐标方程为 ρ =4cosθ+2sinθ (2)∵l的直角坐标方程为x+y-1=0 ∴圆心c到直线l的距离为d=2 2 =2∴弦长为22 5-=23 4．已知曲线C： 2 21 9 x y += ，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 sin() 4 π ρθ-= （1）写出曲线C的参数方程，直线l的直角坐标方程； （2）设P是曲线C上任一点，求P到直线l的距离的最大值.

高中数学极坐标与参数方程试题精选(8套)选修4-4

极坐标与参数方程单元练习3 一．选择题（每题5分共60分） 1．设椭圆的参数方程为()πθθ θ ≤≤?? ?==0sin cos b y a x ，()1 1 ,y x M ，()2 2 ,y x N 是椭圆上两点，M ，N 对应的参数为2 1 ,θθ且21 x x <，则 A ．21 θθ < B ．21θθ> C ．21θθ≥ D ．21θθ≤ 2.直线：3x-4y-9=0与圆：?? ?==θ θ sin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( ) A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心 3.经过点M(1，5)且倾斜角为3 π的直线，以定点M 到动 点P 的位移t 为参数的参数方程是( ) A.???????-=+=t y t x 235211 B. ???????+=-=t y t x 235211 C. ???????-=-=t y t x 235211 D. ??? ????+=+=t y t x 235211 4.参数方程????? -=+ =2 1y t t x (t 为参数)所表示的曲线是 ( ) A.一条射线 B.两条射线 C.一条直线 D.两条直线

5．若动点(x ,y )在曲线1422 2=+b y x (b >0)上变化，则 x 22y 的最大值为 (A) ?????≥<<+)4(2)40(442b b b b ； (B) ?????≥<<+)2(2) 20(442 b b b b ；(C) 442+b (D) 2b 。 6．实数x 、y 满足3x 2＋2y 2=6x ，则x 2＋y 2的最大值为（ ） A 、2 7 B 、4 C 、2 9 D 、5 7．曲线的参数方程为???-=+=1 2 32 2t y t x (t 是参数)，则曲线是 A 、线段 B 、双曲线的一支 C 、圆 D 、射线 8． 已知动园： ),,(0sin 2cos 222是参数是正常数θθθb ，a b a by ax y x ≠=--+，则圆心的 轨迹是 A 、直线 B 、圆 C 、抛物线的一部分 D 、椭圆

最新极坐标参数方程题型归纳--7种

极坐标与参数方程(高考真题)题型归纳 一、极坐标方程与直角坐标方程的互化 1.(2015·广东理，14)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ????θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ????22，7π 4，则点A 到直线l 的距离为________． [立意与点拨] 本题考查极坐标与平面直角坐标的互化、点到直线的距离，属于容易题．解答本题先进行极直互化，再求距离． 二、参数方程与直角坐标方程的互化 【解析】椭圆方程为：14622=+y x ，因为1cos sin 2 2=+x x ，令???==α αcos 2sin 6y x ，则有 X+2y=αsin 6+αcos 4=()?α++sin 166,最大值22，最小值22- 三、根据条件求直线和圆的极坐标方程 四、求曲线的交点及交点距离 4．(2015·湖北高考)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C 的参数方程为? ??x ＝t －1t ， y ＝t ＋ 1t (t 为参数)，l 与C 相交于A ，B 两点，则|AB |＝________． 【解析】 直线l 的极坐标方程ρ(sin θ－3cos θ)＝0化为直角坐标方程为3x －y ＝0，曲线C 的参 数方程? ??x ＝t －1t ，y ＝t ＋ 1t 两式经过平方相减，化为普通方程为y 2－x 2＝4，联立? ??? ?3x －y ＝0，y 2－x 2＝4 解得???x ＝－22，y ＝－322或? ??x ＝2 2， y ＝32 2 . 所以点A ????－22，－322，B ???? 22，322. 所以|AB |＝ ????－22－222＋??? ?－322－3222＝2 5.

高考数学参数方程大题

高考数学参数方程大题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高三最后一题 1、以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，设点A 的极坐标为)6 ,2(π ，直线l 过点A 且与极轴成角 为 3π，圆C 的极坐标方程为)4 cos(2πθρ-=． （1）写出直线l 参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； （2）设直线l 与曲线圆C 交于B 、C 两点，求AC AB .的值． 【答案】（1）直线l C 的直角坐标方程为02222=--+y x y x ；（2 2、已知曲线C 的参数方程为31x y α α ?=+??=+??（α为参数），以直角坐标系原点 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹． （2）若直线的极坐标方程为1 sin cos θθρ -= ，求直线被曲线C 截得的弦长． 【答案】（1）6cos 2sin ρθθ=+（2 3、在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为t t y t x (22522 5??? ??? ?+=+ -=为参数），若以 O 点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 θρcos 4=。 （1）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程； （2）将曲线C 上各点的横坐标缩短为原来的 2 1 ，再将所得曲线向左平移1个单位，得到曲线1C ，求曲线1C 上的点到直线l 的距离的最小值 【答案】（1）() 422 2 =+-y x ，052=+-y x （2 ）

高中数学 《参数方程的概念》教案 新人教A版选修4-4

参数方程 目标点击： 1．理解参数方程的概念，了解某些参数的几何意义和物理意义； 2．熟悉参数方程与普通方程之间的联系和区别，掌握他们的互化法则； 3．会选择最常见的参数，建立最简单的参数方程，能够根据条件求出直线、圆锥曲线等常用曲线的一些参数方程并了解其参数的几何意义； 4．灵活运用常见曲线的参数方程解决有关的问题. 基础知识点击： 1、曲线的参数方程 在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变数t 的函数，?? ?==)()(t g y t f x (1) 并且对于t 的每一个允许值，由方程组(1)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程组(1)叫做这条曲线的参数方程. 联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数. 2、求曲线的参数方程 求曲线参数方程一般程序： (1) 设点：建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点M 的坐标； (2) 选参：选择合适的参数； (3) 表示：依据题设、参数的几何或物理意义，建立参数与x ，y 的关系 式，并由此分别解出用参数表示的x 、y 的表达式. (4) 结论：用参数方程的形式表示曲线的方程 3、曲线的普通方程 相对与参数方程来说，把直接确定曲线C 上任一点的坐标（x,y ）的方程F （x,y ）＝0叫做曲线C 的普通方程. 4、参数方程的几个基本问题 (1) 消去参数，把参数方程化为普通方程. (2) 由普通方程化为参数方程. (3) 利用参数求点的轨迹方程. (4) 常见曲线的参数方程. 5、几种常见曲线的参数方程 (1) 直线的参数方程 (ⅰ)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线的参数方程是 ? ??+=+=αα s i n c o s 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,) 为直线上任意一点. (ⅱ)过点P 0(00,y x )，斜率为a b k =的直线的参数方程是 ???+=+=bt y y at x x 00 （t 为参数） （2）圆的参数方程

高中数学选修4-4-极坐标与参数方程-知识点与题型

选做题部分 极坐标系与参数方程 一、极坐标系 1．极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2．极坐标与直角坐标的互化 点M 直角坐标(x ，y ) 极坐标(ρ，θ) 互化公式 题型一 极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P 的极坐标为)4 ,2(π ，则点P 的直角坐标为 （ ） A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，1） D.（-1，-1） 2、设点P 的直角坐标为(3,3)-，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系(02)θπ≤<，则点P 的极坐标为（ ） A ．3(32, )4π B ．5(32,)4π- C ．5(3,)4π D ．3(3,)4 π- 3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1 D ．ρsin θ＝1 5．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________． 6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π 4 (ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标．

高考数学参数方程所有经典类型

高考数学参数方程所有经典类型（必刷题） 1．极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为 极轴.已知直线l 的参数方程为1222 x t y ?=+????=??（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为 2sin 8cos ρθθ=. （Ⅰ）求C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求弦长||AB . 2．已知直线l 经过点1 (,1)2P ，倾斜角α＝6 π，圆C 的极坐标方程为)4πρθ=-. (1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； (2)设l 与圆C 相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积． 3．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C ：cos sin θθ=??=? x y （θ为参数），将1C 上的所有 和2倍后得到曲线2C ．以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：sin )4ρθθ+=． （1）试写出曲线1C 的极坐标方程与曲线2C 的参数方程； （2）在曲线2C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最小，并求此最小值． 4．在直角坐标系xoy 中，直线l 的方程为40x y -+=，曲线C 的参数方程为

x 3cos y sin ααα ?=??=??（为参数）． (1)已知在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为(4,)2π ，判断点P 与直线l 的位置关系； (2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值． 5．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐V 标方程为πcos =13ρθ? ?- ??? ，M ，N 分别为曲线C 与x 轴、y 轴的交点． （1）写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； （2）求直线OM 的极坐标方程． 6．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线 （为参数），（为参数）． （1）化 的方程为普通方程； （2）若上的点P 对应的参数为为上的动点，求中点到直线 （为参数）距离的最小值．

极坐标与参数方程题型及解题方法

Ⅰ复习提问 1、 极坐标系和直角坐标系有什么区别？学校老师课堂如何讲解极坐标参数方程的？ 2、 如何把极坐标系转化为直角坐标系？ 答：将极坐标的极点O 作为直角坐标系的原点，将极坐标的极轴作为直角坐标系x 轴的正半轴。如果点P 在直角坐标系下的坐标为（x ，y ），在极坐标系下的坐标为),(θρ, 则有下列关系成立： ρθρ θy sin x cos = = 3、 参数方程{ cos sin x r y r θθ ==表示什么曲线？ 4、 圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程是什么？ 5、 极坐标系的定义是什么？ 答：取一个定点O ，称为极点，作一水平射线Ox ，称为极轴，在Ox 上规定单位长度，这样就组成了一个极坐标系设OP=ρ，又∠xOP=θ. ρ和θ的值确定了，则P 点的位置就 确定了。ρ叫做P 点的极半径，θ叫做P 点的极角，),(θρ叫做P 点的极坐标（规定ρ写在前，θ写在后）。显然，每一对实数),(θρ决定平面上一个点的位置 6、参数方程的意义是什么？

Ⅱ 题型与方法归纳 1、 题型与考点（1） { 极坐标与普通方程的互相转化极坐标与直角坐标的互相转化 （2） { 参数方程与普通方程互化 参数方程与直角坐标方程互化 (3) { 利用参数方程求值域参数方程的几何意义 2、解题方法及步骤 （1）、参数方程与普通方程的互化 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程 (),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向 线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标） 例1、方程2222 t t t t x t y --?=-? ?=+??（为参数）表示的曲线是（ ） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆 解析：注意到2t t 与2t -互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t 的项，()() 2 2 2222224t t t t x y ---=--+=-， 即有22 4y x -=，又注意到 202222t t t y ->+≥=≥，，即，可见与以上参数方程等价的普通方程为 2242y x y -=≥（）.显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B

极坐标与参数方程经典练习题含答案详解

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．曲线25()12x t t y t =-+?? =-?为参数与坐标轴的交点是（ ）． A ．21(0,)(,0)5 2 、 B ．11(0,)(,0)5 2 、 C ．(0,4)(8,0)-、 D ．5(0,)(8,0)9 、 2．把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是（ ）． A ．1 21 2x t y t -?=???=? B ．sin 1sin x t y t =???=?? C ．cos 1cos x t y t =???=?? D ．tan 1tan x t y t =???=?? 3．若直线的参数方程为12()23x t t y t =+?? =-?为参数，则直线的斜率为（ ）． A ． 23 B ．23- C ．32 D ．32 - 4．点(1,2)在圆18cos 8sin x y θ θ =-+?? =?的（ ）． A ．内部 B ．外部 C ．圆上 D ．与θ的值有关 5．参数方程为1()2 x t t t y ? =+ ???=?为参数表示的曲线是（ ）． A ．一条直线 B ．两条直线 C ．一条射线 D ．两条射线 6．两圆???+=+-=θθsin 24cos 23y x 与???==θ θ sin 3cos 3y x 的位置关系是（ ）． A ．内切 B ．外切 C ．相离 D ．内含 7．与参数方程为()21x t t y t ?=?? =-??为参数等价的普通方程为（ ）． A ．22 14y x += B ．221(01)4 y x x +=≤≤ C ．22 1(02)4y x y +=≤≤ D ．221(01,02)4 y x x y +=≤≤≤≤

极坐标与参数方程知识点及题型归纳总结

极坐标与参数方程知识点及题型归纳总结 知识点精讲 一、极坐标系 在平面上取一个定点O ，由点O 出发的一条射线Ox 、一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系.点O 称为极点，Ox 称为极轴.平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ (弧度制)来刻画(如图16-31和图16-32所示). 这两个实数组成的有序实数对(,)ρθ称为点M 的极坐标. ρ称为极径，θ称为极角. 二、极坐标与直角坐标的互化 设M 为平面上的一点，其直角坐标为(,)x y ，极坐标为(,)ρθ，由图16-31和图16-32可知，下面的关系式成立: cos sin x y ρθρθ=??=?或222 tan (0) x y y x x ρθ?=+? ?=≠?? （对0ρ<也成立）. 三、极坐标的几何意义 r ρ=——表示以O 为圆心，r 为半径的圆； 0θθ=——表示过原点(极点)倾斜角为0θ的直线，0(0)θθρ=≥为射线； 2cos a ρθ=表示以(,0)a 为圆心过O 点的圆. (可化直角坐标: 2 2cos a ρρθ=2 2 2x y ax ?+=2 2 2 ()x a y a ?-+=.) 四、直线的参数方程 直线的参数方程可以从其普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为 00()y y k x x -=-，其中tan (k αα=为直线的倾斜角)，代人点斜式方程: 00sin ()()cos 2 y y x x απ αα-= -≠,即00cos sin x x y y αα--=. 记上式的比值为t ,整理后得00cos t sin x x t y y αα =+??=+?,2π α=也成立，故直线的参数方程为