1.3.3函数的最大(小)值与导数
【学习目标】
1.理解函数的最大值和最小值的概念,了解其与函数的极值的区别与联系;
2.会求可导函数()x f 在闭区间[]b a ,的最大(或最小)值.
【新知自学】 知识回顾:
1. 判别f (x 0)是极大、极小值的方法:
若0x 满足0)(0='x f ,且在0x 的两侧)(x f 的导数异号,则0x 是)(x f 的极值点,)(0x f 是极值,并且如果)(x f '在0x 两侧满足“ ”,则0x 是)(x f 的极大值点,)(0x f 是极大值;如果)(x f '在0x 两侧满足“ ”,则0x 是)(x f 的极小值点,)(0x f 是极小值. 新知梳理:
1.最值与极值的区别与联系:
⑴“最值”是整体概念,是比较_____________的函数值得出的,具有绝对性;而“极值”是个局部概念,是比较________函数值得出的,具有相对性.
⑵从个数上看,一个函数在其定义域上的最值是______的;而极值不一定唯一;
⑶函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有______个,而函数的极值可能不止一个,也可能没有一个
⑷极值只能在_____部取得,而最值可以在区间的_____处取得,有极值的未必有最值,有最值的未必有极值;极值有可能成为最值,最值只要不在端点必定是极值.
2.函数的最大值与最小值
(1)函数的最大值和最小值和最小值是一个整体性概念,最大值必是整个区间上所有函数值中的 ,最小值必须是整个区间上的所有函数值中的 .
(2)一般地,如果在区间[]b a ,上函数的图象是 ____ ,那么它必有最大值和最小值.
3.求函数()x f y =在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下:
(1)求_________________内的极值;
(2)将()x f 的各极值与 _______ 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
对点练习:
1. 函数)(x f 的定义域为),(b a ,其导函数),()(b a x f 在'内的图象如图所示,则函数)(x f 在区间),(b a 内极小值点的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
2.下列说法中正确的是( )
A.函数若在定义域内有最值和极值,则其极大值便是最大值,极小值便是最小值
B.闭区间上的连续函数一定有最值,也一定有极值
C.若函数在其定义域上有最值,则一定有极值;反之若有极值,则一定有最值
D.若函数在定区间上有最值,则最多有一个最大值,一个最小值,但若有极值,则可有多个极值
3.函数y=sinx+1在区间??
????2,2-ππ上的最小值是__________,极小值__________. 4.求函数f (x )=x 2-4x +3在区间[-1,3]内的极值和最值.
【合作探究】 典例精析:
例1. 求函数f(x)=e x (3-x 2
)在区间[2,5]上的最大值和最小值.
换成一个不单调有极值比较的情况
或扩大区间为-4—4即可
变式练习:
求函数()x x x f 2+=在区间[0,4]上的最大值与最小值.
例2.已知a 是实数,函数f(x)=x 2(x-a).
(1)若3)1(='f ,求a 的值及曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)求函数f(x)在区间[0,2]上的最大值.
增加条件a=-3/2