相律例题

指出下列各体系的独立组分数和自由度数为多少？

1）NH4Cl（s）部分分解为NH3（g）和HCl(g) ;2）上述体系中再额外加入少量的NH3（g）;3）NH4HS 和任意量的NH3（g）,H2S（g）混合达平衡; 4) C(s)

与CO，CO2（g）,O2（g）在700℃达平衡

解：1）S=3因为NH4Cl（s）= NH3（g）+ HCl(g)且P NH3 = P HCl，故：R = 1，

R/ = 1，所以C = S-R-R/ =1 P = 2 所以f = C－P+2 =1

2）S = 3 R = 1 因NH3（g）为任意量，故R/= 0所以C = S–R –R/=2 P = 2，所以f = C－P +2 = 2

3）S = 3 因存在反应 NH4HS（S）= NH3(g) + H2S (g)，故R = 1因NH3，H2S为任意量故R/ = 0所以C = S–R–R/ = 2 P =2 ，则f = C–P+2 =2

4) S = 4，存在反应 C（s）+O2（g）= CO2（g）①

2C（s）+ O2（g）= 2CO(g) ②

2CO(g) + O2(g) = 2CO2 (g) ③

但反应①可由②和③得到，故R = 2；无浓度限制条件故R/ = 0，所以C = S–R–R/ = 2，P = 2 则 f / = C–P+1(限定温度，求条件自由度)

习题3-2 CaCO3（s）在高温下分解为Ca O（s）和CO2（g）,

(1)若在定压的CO2气体中将CaCO3（s）加热,实验证明在加热过程中，在一定温度范围内CaCO3不会分解

（2）若保持CaCO3，Ca O混合物不发生变化，根据相律解释上述事实。

解：（1）C = S = 2（CaCO3和CO2），p = 2，又因CO2 压力一定，所以f / = C－P+1 = 1 这一个自由度表示温度T可在一定范围内变化，而不出现Ca O，即CaCO3不会分解

（2）当CO2 压力确定不变，且CaCO3（s）和Ca O（s）共存时，C = S－R = 3－1 =2，P = 3 则f / = C－P＋1 = 0即此时温度T也不能变化。也就是说只有T、p都不变时CaCO3与Ca O（s）才能共存

矩阵典型习题解析

2 矩阵 矩阵是学好线性代数这门课程的基础，而对于初学者来讲，对于矩阵的理解是尤为的重要；许多学生在最初的学习过程中感觉矩阵很难，这也是因为对矩阵所表示的内涵模糊的缘故。其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系的时候，我们才会发现，原来用矩阵来表示这些“繁琐”的事物来是多么的奇妙！于是当我们对矩阵产生无比的兴奋时，那么一切问题都会变得那么的简单! 2.1 知识要点解析 2.1.1 矩阵的概念 1．矩阵的定义 由m×n 个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij 组成的m 行n 列的矩形数表 mn m m n n a a a a a a a a a A 21 22221 11211 称为m×n 矩阵，记为n m ij a A )( 2．特殊矩阵 （1）方阵：行数与列数相等的矩阵； （2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下） 三角阵； （3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵； （4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵； （5）单位矩阵：主对角线上元素全是1的对角阵，记为E ； （6）零矩阵：元素全为零的矩阵。 3．矩阵的相等 设mn ij mn ij b B a A )(; )( 若 ),,2,1;,,2,1(n j m i b a ij ij ，则称A 与B 相等，记为A=B 。 2.1.2 矩阵的运算

1．加法 （1）定义：设mn ij mn ij b B A A )(,)( ，则mn ij ij b a B A C )( （2）运算规律 ① A+B=B+A ； ②（A+B ）+C =A +（B+C ） ③ A+O=A ④ A +（-A ）=0， –A 是A 的负矩阵 2．数与矩阵的乘法 （1）定义：设,)(mn ij a A k 为常数，则mn ij ka kA )( （2）运算规律 ① K (A+B ) =KA+KB , ② (K+L )A =KA+LA , ③ (KL ) A = K (LA ) 3．矩阵的乘法 （1）定义：设.)(,)(np ij mn ij b B a A 则 ,)(mp ij C C AB 其中 n k kj ik ij b a C 1 （2）运算规律 ①)()(BC A C AB ；②AC AB C B A )( ③CA BA A C B )( （3）方阵的幂 ①定义：A n ij a )( ，则K k A A A ②运算规律：n m n m A A A ；mn n m A A )( （4）矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。 ①BA AB ②;00,0 B A AB 或不能推出 ③k k k B A AB )( 4．矩阵的转置 （1）定义：设矩阵A =mn ij a )(，将A 的行与列的元素位置交换，称为矩阵A 的转置，记为nm a A ji T )( ， （2）运算规律 ①;)(A A T T ②T T T B A B A )(； ③;)(T T KA kA ④T T T A B AB )(。

四种命题典型例题

四种命题·典型例题 能力素质 [ ] 分析条件及结论同时否定，位置不变． 答选D． 例2 设原命题为：“对顶角相等”，把它写成“若p则q”形式为________．它的逆命题为________，否命题为________，逆否命题为________．分析只要确定了“p”和“q”，则四种命题形式都好写了． 解若两个角是对顶角，则两个角相等；若两个角相等，则这两个角是对顶角；若两个角不是对顶点，则这两个角不相等；若两个角不相等，则这两个角不是对顶角． 例3 “若P＝{x|x|＜1}，则0∈P”的等价命题是________． 分析等价命题可以是多个，我们这里是确定命题的逆否命题． ≠{x||x|＜1}” 例4 分别写出命题“若x2＋y2＝0，则x、y全为0”的逆命题、否命题 和逆否命题． 分析根据命题的四种形式的结构确定． 解逆命题：若x、y全为0，则x2＋y2＝0； 否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为0； 逆否命题：若x、y不全为0，则x2＋y2≠0． 说明：“x、y全为0”的否定不要写成“x、y全不为0”，应当是“x，y 不全为0”，这要特别小心． 例5 有下列四个命题： ①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题； ②“相似三角形的周长相等”的否命题； ③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题； [ ] A．①②B．②③ C．①③D．③④ 分析应用相应知识分别验证． 解写出相应命题并判定真假 ①“若x，y互为倒数，则xy＝1”为真命题； ②“不相似三角形周长不相等”为假命题； ③“若方程x2－2bx＋b2＋b＝0没有实根，则b＞－1”为真命题； 选C．

圆柱相贯线三视图完

一、 新课导入（5分钟） 通过上一章节，组合体的组成是将基本基本集合体通过叠加、挖切或者平面相交（截交线）等方式组合在一起。 在组合体零件中会有这样的组合：两个立体相互贯穿，产生相贯线 【分析】： 相贯线是由两个立体相互贯穿而产生的，那么，在我们生活当中以哪些物体上会出现相贯线？它的形状是怎样的？ 【引导】：引导学生得到结论： ★各种阀体、管件的三通、四通、各种栏杆、健身器材等，这些物体表面上都会有相贯线的存在。 ★相贯线为一条封闭的空间曲线。 二、 讲授新课（32分钟） 1． 相贯线的概念和性质 导入新课。 先同析 注意：不准确的地方，不直接否定，通过其他同学的补充发言予以充实和纠正。启发、引导侧

两个几何体相交，其表面交线称为 相贯线。 相贯线的性质： （1）相贯线是两相交立体表面共有点的集合，也是两相交立体表面的分界线； （2）一般情况下，相贯线是封闭的空间曲线，特殊时是平面曲线或直线。 2． 不同直径两圆柱正交相贯的画法 求相贯线的实质即是求它们表面的共有点，然后依次光滑地连接即为相贯线。 方法：积聚性和表面取点法。 作图方法（1）求特殊点； （2）求一般点； （3）顺次光滑连接各点，即得相贯线的正面投影。 注意：示整个画图过程。 在中，讲解第二、三步内容。 增加课堂练习，加强学生的动手能力。 在课堂练习的同时，请同学们认真问题，并把该问题做为下节课的提问。让因，然后学们找到答案。

阐明优缺点：画相贯线时取的点在其余两个视图上的位置比较精确，但是，因为是手工连接各点，使得相贯线不光滑、美观。 【任务一】： 绘制圆柱正交相贯，按照刚教给同学们的方法学生自己做一下。 【巡视】： 看学生们掌握得如何，在巡视的过程中加以指导。 【思考】：（约2分钟） 如果两相贯的圆柱直径都较大时，我们该怎么办？ 在特殊点的基础上再取四个点。 3、简化画法： 国家标准规定，允许采用简化画法作出相贯线的投影，即以圆弧代替 非圆曲线。 注：仅限两圆柱直径相差较大，且正交情况 阐明优缺点：相贯线非常光滑、美观，但是，相贯线的形状为近似画出。 用课件演示 在学生们画图的同时，巡视、指导。 先让同学们自己分析原因，然后启发、引导同学们找到答案。

初二数学 几何证明初步经典练习题 含答案

初二数学几何证明初步经典练习题含答案 集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]

几何证明初步练习题 1、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°． 推理过程： ○1 作CM ∥AB ，则∠A= ，∠B= ，∵∠ACB +∠1+∠2=1800 （ ，∴∠A+∠B+∠ACB=1800． ○2 作MN ∥BC ，则∠2= ，∠3= ，∵∠1+∠2+∠3=1800 ，∴∠BAC+∠B+∠C=1800． 2．求证：在一个三角形中，至少有一个内角大于或者等于60°。 3、.如图，在△ABC 中，∠C ＞∠B,求证：AB ＞AC 。 4. 已知，如图，AE 5. 已知：如图，EF ∥AD ，∠1 =∠2. 求证：∠AGD ＋∠BAC = 180°. 反证法经典例题 6.求证:两条直线相交有且只有一个交点. 7.如图，在平面内，AB 是L 的斜线，CD 是L 的垂线。 求证：AB 与CD 必定相交。 8.2 一．角平分线－－轴对称 9、已知在ΔABC 中，Ｅ为ＢＣ的中点，AD 平分BAC ∠，BD ⊥AD 于D ．AB ＝9，ＡＣ＝ 13求ＤＥ的长 第9题图 第10题图 第11题图 分析：延长ＢＤ交ＡＣ于Ｆ．可得ΔABD ≌ΔAFD ．则BD ＝DF ．又BE ＝EC ，即D Ｅ为ΔBCF 的中位线．∴DE=12FC=12 (AC-AB)=2． 10、已知在ΔABC 中，108A ∠=，AB ＝AC ，BD 平分ABC ∠．求证：BC ＝AB ＋CD ． 分析：在ＢＣ上截取ＢＥ＝ＢＡ，连接ＤＥ．可得ΔBAD ≌ΔBED ．由已知可得： 18ABD DBE ∠=∠=，108A BED ∠=∠=，36C ABC ∠=∠=．∴72DEC EDC ∠=∠=，∴ CD ＝CE ，∴BC ＝AB ＋CD ． 11、如图，ΔABC 中，Ｅ是BC 边上的中点，DE ⊥BC 于E ，交BAC ∠的平分线AD 于 D ，过D 作DM ⊥AB 于Ｍ，作DN ⊥ＡC 于N ．求证：BM ＝CN ． 分析：连接DB 与DC ．∵DE 垂直平分BC ，∴DB ＝DC ．易证ΔAMD ≌ΔAND ． ∴有DM ＝DN ．∴ΔBMD ≌ΔCND （ＨＬ）．∴BM ＝CN ． 二、旋转 12、如图，已知在正方形ABCD 中，Ｅ在BC 上，Ｆ在DC 上，BE ＋DF ＝EF ． 求证：45EAF ∠=． C B A D E F D A B C B A E D N M B D A C

机械制图相贯线习题讲课教案

2 根据主、俯视图选择正确的左视图（）。 3 已知圆柱被平面截切后的正面投影及水平投影正确的侧面投影应是（） 5 两形体的表面彼此相交称为（）。 A 叠加 B 相接 C 相切 D 相贯 6 已知带有圆孔的球体的四组投影，正确的一组是（）。7已知物体的主、俯视图，正确的左视图是（）

9 下面四组视图中正确的一组是。（） A B C D 10 根据主、俯视图，选择错误的左视图。（） 11 选择正确的断面图（） 12选择正确的齿轮画法。（） (A) (B) (C) (D) 13根据主、俯视图选择正确的左视图。（） 14根据主、俯视图选择正确的左视图。（） 15 选择正确的视图。（） 19选择正确的视图。（）

20根据主、俯视图选择正确的左视图。（） 21根据主、俯视图选择正确的左视图（） 22 根据主、俯视图选择正确的左视图（）23 根据主、俯视图选择正确的左视图（） 24 根据主、俯视图选择正确的左视图（） 25选择正确的左视图_______________

26选择正确的左视图_______________ 27选择正确的左视图_______________ 28 选择正确的左视图_______________ 29选择正确的左视图 30根据主、俯视图选择正确的左视图。 （）

32根据主、俯视图选择正确的左视图。 （） A．（a）B．（b）C．（c）D．（d） 34已知一立体的主视图和俯视图，关于它的左视图，哪一种判断是正 确的？（） 36．已知一立体的轴测图，按箭头所指的方向的视图是 A．（a）B．（b）C．（c）D．（d） 37．已知物体的主视图，选择正确的左视图。 （）

不等式证明方法专项+典型例题

不等式证明方法专项+典型例题 不等式的证明是数学证题中的难点，其原因是证明无固定的程序可循，方法多样，技巧性强。 1、比较法（作差法） 在比较两个实数a 和b 的大小时，可借助b a -的符号来判断。步骤一般为：作差——变形——判断（正号、负号、零）。变形时常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化积、应用已知定理、公式等。 例1、已知：0>a ，0>b ，求证：ab b a ≥+。 2、分析法（逆推法） 从要证明的结论出发，一步一步地推导，最后达到命题的已知条件（可明显成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推导过程都必须可逆。 例2、求证：15175+>+。 3、综合法 证题时，从已知条件入手，经过逐步的逻辑推导，运用已知的定义、定理、公式等，最终达到要证结论，这是一种常用的方法。 例3、已知：a ，b 同号，求证：2≥+b a 。 4、作商法（作比法） 在证题时，一般在a ，b 均为正数时，借助 1>b a 或1> b a ，求证：a b b a b a b a >。

a b b a b a b a >。 5、反证法 先假设要证明的结论不对，由此经过合理的逻辑推导得出矛盾，从而否定假设，导出结论的正确性，达到证题的目的。 例5、已知0>>b a ，n 是大于1的整数，求证：n n b a >。 6、迭合法（降元法） 把所要证明的结论先分解为几个较简单部分，分别证明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性质，使原不等式获证。 例6、已知：122221=+++n a a a ，12 2221=+++n b b b ，求证：12211≤+++n n b a b a b a 。 证明：因为122221=+++n a a a ，12 2221=+++n b b b ， 所以原不等式获证。 7、放缩法（增减法、加强不等式法） 在证题过程中，根据不等式的传递性，常采用舍去一些正项（或负项）而使不等式的各项之和变小（或变大），或把和（或积）里的各项换以较大（或较小）的数，或在分式中扩大（或缩小）分式中的分子（或分母），从而达到证明的目的。值得注意的是“放”、“缩”得当，不要过头。常用方法为：改变分子（分母）放缩法、拆补放缩法、编组放缩法、寻找“中介量”放缩法。 例7、求证：01.09999531

相贯线及画法举例

一、概述 两立体表面的交线称为相贯线，见图5-14a和b所示的三通管和盖。三通管是由水平横放的圆筒与垂直竖放的带孔圆锥台组合而成。盖是由水平横放的圆筒与垂直竖放的带孔圆锥台、圆筒组合而成。它们的表面（外表面或内表面）相交，均出现了箭头所指的相贯线，在画该类零件的投影图时，必然涉及绘制相贯线的投影问题。 讨论两立体相交的问题，主要是讨论如何求相贯线。工程图上画出两立体相贯线的意义，在于用它来完善、清晰地表达出零件各部分的形状和相对位置，为准确地制造该零件提供条件。 （一）相贯线的性质 由于组成相贯体的各立体的形状、大小和相对位置的不同，相贯线也表现为不同的形状，但任何两立体表面相交的相贯线都具有下列基本性质： 1.共有性 相贯线是两相交立体表面的共有线，也是两立体表面的分界线，相贯线上的点一定是两相交立体表面的共有点。 2.封闭性 由于形体具有一定的空间范围，所以相贯线一般都是封闭的。在特殊情况下还可能是不封闭的，如图5-15c所示。 3.相贯线的形状

平面立体与平面立体相交，其相贯线为封闭的空间折线或平面折线。平面立体与曲面立体相交，其相贯线为由若干平面曲线或平面曲线和直线结合而成的封闭的空间的几何形。应该指出：由于平面立体与平面立体相交或平面立体与曲面立体相交，都可以理解为平面与平面立体或平面与曲面立体相交的截交情况，因此，相贯的主要形式是曲面立体与曲面立体相交。最常见的曲面立体是回转体。两回转体相交，其相贯线一般情况下是封闭的空间曲线（如图5-15a），特殊情况下是平面曲线（如图5-15 b）或由直线和平面曲线组成（如图5-15c ）. (二)求相贯线的方法、步骤 求画两回转体的相贯线，就是要求出相贯线上一系列的共有点。求共有点的方法有：面上取点法、辅助平面法和辅助同心球面法。具体作图步骤为： （1）找出一系列的特殊点（特殊点包括：极限位置点、转向点、可见性分界点）； （2）求出一般点； （3）判别可见性； （4）顺次连接各点的同面投影； （5）整理轮廓线。 二、相贯线的作图方法

截交线与相贯线习题

第五节截交线与相贯线 截交线和相贯线是立体表面常见的两种表面交线，立体被平面截切，表面就会产生截交线，两立体相交，表面就产生相贯线，二者有共同点，也有不同点。 一、截交线的特性及画法 【考纲要求】 1、掌握特殊位置平面截断棱柱和棱锥的截交线画法； 2、掌握特殊位置平面截断圆柱、圆锥、圆球的截交线画法； 3、掌握简单的同轴回转体的截交线画法； 【要点精讲】 （一）截交线的定义：由平面截断基本体所形成的表面交线称为截交线。 （二）截交线的特性： 1、任何基本体的截交线都是一个封闭的平面图形（平面体是平面多边形，曲面体是平面曲线或由平面曲线与直线共同组成的图形）； 2、截交线是截平面与基本体表面的共有线，截交线上的每一点都是截平面与基本体表面的共有点（共有点的集合）。 （三）求截交线的方法： ①积聚性求点法；②辅助（素）线法；③辅助平面法。 （四）求截交线的步骤： 1、确定被截断的基本体的几何形状； 2、判断截平面的截断基本体的位置（回转体判别截平面与轴线的相对位置 3、想象截交线的空间形状； 4、分析截平面与投影面的相对位置，弄清截交线的投影特性； 5、判别截交线的可见性，确定求截交线的方法； 6、将求得的各点连接，画出其三面投影。 （五）平面体的特殊截交线及画法： 1、特性：平面体的截交线都是由直线所组成的封闭的平面多边形。多边形的各个顶点是棱线与截平面的交点，多边形的每一条边是棱面与截平面的交线。 2、画法：求平面体截交线的方法主要是用积聚性求点法和辅助线法。画平面体的截交线就是求出截平面与平面体上各被截棱线的交点（即平面多边形的各个顶点），然后依次连接即得截交线。根据截交线是截平面与基本体表面的共有线，截交线上的点也是截平面与基本体表面的共有点，我们所要求掌握的是特殊位置平面截切平面立体的截交线，我们可以利用积聚性求点法或辅助平面法，求出截平面与平面立体的各棱线的交点，然后依次连接，也就求出了截交线。 例如图5-1所示，先根据截交线具有积聚性投影的正面投影和具有收缩性的水平投影确定出截平面与六棱柱棱线的六个交点（截交线平面多边形的六个顶点），再利用积聚性求点法求出其侧面投影。再如图5-2所示，根据截交线具有积聚性的正面投影取点，再利用积聚性求点法求出其水平投影和侧面投影。 以上是单一截平面截断平面体所形成的截交线，当多个截平面截断平面体时，可以看成是多个截平面分别截断而组合形成的截交线，分别求出其投影，但要注意截交线的具体形状和截平面交界处的情况。

异面直线典型例题

典型例题一 例1 若b a //，A c b = ，则a ，c 的位置关系是（ ）． A ．异面直线 B ．相交直线 C ．平行直线 D ．相交直线或异面直线 分析：判断两条直线的位置关系，可以通过观察满足已知条件的模型或图形而得出正确结论． 解：如图所示，在正方体1111D C B A ABCD -中，设a B A =11，b AB =，则b a //． 若设c B B =1，则a 与c 相交．若设c BC =，则a 与c 异面． 故选D ． 说明：利用具体模型或图形解决问题的方法既直观又易于理解．一般以正方体、四面体等为具体模型．例如，a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 的位置 b 异面，b ， c 异面，则 关系是相交、平行或异面．类似地；a ， a ，c 的位置关系是平行、相交或异 面．这些都可以用正方 体模型来判断． 典型例题二 例2 已知直线a 和点A ，α?A ，求证：过点A 有且只有一条直线和a 平行． 分析：“有且只有”的含义表明既有又惟一，因而这里要证明的有两个方面，即存在性和惟一性． 存在性，即证明满足条件的对象是存在的，它常用构造法（即找到满足条件的对象来证明）；惟一性，即证明满足条件的对象只有．．一个，换句话说，说是不存在第二个满足条件的对象．

因此，这是否定性．．．命题，常用反证法． 证明：（1）存在性． ∵ a A ?，∴ a 和A 可确定一个平面α， 由平面几何知识知，在α内存在着过点A 和a 平行的直线． （2）惟一性 假设在空间过点A 有两条直线b 和c 满足a b //和a c //．根据公理4，必有c b //与 A c b = 矛盾， ∴ 过点A 有一条且只有一条直线和a 平行． 说明：对于证明“有且只有”这类问题，一定要注意证明它的存在性和惟一性． 典型例题三 例3 如图所示，设E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且 λ==AD AH AB AE ，μ==CD CG CB CF ，求证： （1）当μλ=时，四边形EFGH 是平行四边形； （2）当μλ≠时，四边形EFGH 是梯形． 分析：只需利用空间等角定理证明FG EH //即可． 证明：连结BD ， 在ABD ?中，λ==AD AH AB AE ，∴ BD EH //，且BD EH λ=． 在CBD ?中，μ==CD CG CB CF ，∴ BD FG //，且BD FG μ=． ∴ FG EH //， ∴ 顶点E ，F ，G ，H 在由EH 和FG 确定的平面内． （1）当μλ=时，FG EH =，故四边形EFGH 为平行四边形； （2）当μλ≠时，FG EH ≠，故四边形EFGH 是梯形． 说明：显然，课本第11页的例题就是本题（2）的特殊情况．

初二数学 几何证明初步经典练习题 含答案

几何证明初步练习题 1、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°． 推理过程： ○1 作CM ∥AB ，则∠A= ，∠B= ，∵∠ACB +∠1+∠2=1800（ ，∴∠A+∠B+∠ ACB=1800． ○ 2 作MN ∥BC ，则∠2= ，∠3= ，∵∠1+∠2+∠3=1800，∴∠BAC+∠B+∠C=1800． 2．求证：在一个三角形中，至少有一个内角大于或者等于60°。 3、.如图，在△ABC 中，∠C ＞∠B,求证：AB ＞AC 。 4. 已知，如图，AE 5. 已知：如图，EF ∥AD ，∠1 =∠2. 求证：∠AGD ＋∠BAC = 180°. 反证法经典例题 6.求证:两条直线相交有且只有一个交点. 7.如图，在平面内，AB 是L 的斜线，CD 是L 的垂线。 求证：AB 与CD 必定相交。 8.2 一．角平分线－－轴对称 9、已知在ΔABC 中，Ｅ为ＢＣ的中点，AD 平分BAC ∠，BD ⊥AD 于D ．AB ＝9，ＡＣ＝ 13求ＤＥ的长 第9题图 第10题图 第11题图 分析：延长ＢＤ交ＡＣ于Ｆ．可得ΔABD ≌ΔAFD ．则BD ＝DF ．又BE ＝EC ，即D Ｅ为Δ BCF 的中位线．∴DE=12FC=12 (AC-AB)=2． 10、已知在ΔABC 中，108A ∠=，AB ＝AC ，BD 平分ABC ∠．求证：BC ＝AB ＋CD ． 分析：在ＢＣ上截取ＢＥ＝ＢＡ，连接ＤＥ．可得ΔBAD ≌ΔBED ．由已知可得： 18ABD DBE ∠=∠=，108A BED ∠=∠=，36C ABC ∠=∠=．∴72DEC EDC ∠=∠=，∴CD ＝CE ，∴BC ＝AB ＋CD ． 11、如图，ΔABC 中，Ｅ是BC 边上的中点，DE ⊥BC 于E ，交BAC ∠的平分线AD 于D ， 过D 作DM ⊥AB 于Ｍ，作DN ⊥ＡC 于N ．求证：BM ＝CN ． 分析：连接DB 与DC ．∵DE 垂直平分BC ，∴DB ＝DC ．易证ΔAMD ≌ΔAND ． ∴有DM ＝DN ．∴ΔBMD ≌ΔCND （ＨＬ）．∴BM ＝CN ． 二、旋转 12、如图，已知在正方形ABCD 中，Ｅ在BC 上，Ｆ在DC 上，BE ＋DF ＝EF ． 求证：45EAF ∠=． C B A D E F D A B C B A E D N M B D A C

2反证法与数学归纳法

（三）、反证法 反证法证明的主要步骤是：第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。 【典型例题】 例1、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a, b, c > 0 例2、设0 < a, b, c < 1，求证：(1 - a)b, (1 - b)c, (1 - c)a,不可能同时大于41 例3、.已知a 、b 、c 是互不相等的非零实数.求证：三个方程ax 2+2bx +c =0，bx 2+2cx +a =0，cx 2+2ax +b =0至少有一个方程有两个相异实根. 【巩固练习】 1.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为( ) A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数 B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数 C ．a ，b ，c 都是奇数 D ．a ，b ，c 都是偶数 2.设a ，b ，c 是不全相等的正数，给出下列判断：①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0； ②a ＞b ，a ＜b 及a ＝b 中至少有一个成立；③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立， 其中正确判断的个数为( )A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3.若x 、y 、z 均为实数，且a =x 2－2y + 2π，b =y 2－2z +3π，c =z 2－2x +6 π，求证a 、b 、c 中至少有一个大于零. 4.若下列方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0， x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0, x 2＋2ax －2a ＝0至少有一个方程有实根。试求实数a 的取值范围。

反证法解答题专项练习30题(有答案)ok

反证法解答题专项练习30题（有答案） 1．求证：在△ABC中至多有两个角大于或等于60°． 2．设a、b、c都是实数，考虑如下3个命题： ①若a2+ab+c＞0，且c＞1，则0＜b＜2； ②若c＞1且0＜b＜2，则a2+ab+c＞0； ③若0＜b＜2，且a2+ab+c＞0，则c＞1． 试判断哪些命题是正确的，哪些是不正确的，对你认为正确的命题给出证明；你认为不正确的命题，用反例予以否定． 3．用反证法证明“三角形的三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°” 证明：假设所求证的结论不成立，即 ∠A _________ 60°，∠B _________ 60°，∠C _________ 60°， 则∠A+∠B+∠C＞_________ ． 这与_________ 相矛盾． ∴_________ 不成立． ∴_________ ． 4．用反证法证明（填空）： 两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1+∠2=180°． 求证：l1_________ l2 证明：假设l1_________ l2，即l1与l2交与相交于一点P． 则∠1+∠2+∠P _________ 180°_________ 所以∠1+∠2 _________ 180°，这与_________ 矛盾，故_________ 不成立． 所以_________ ．

5．完形填空： 已知：如图，直线a、b被c所截；∠1、∠2是同位角，且∠1≠∠2， 求证：a不平行b． 证明：假设_________ ， 则_________ ，（两直线平行，同位角相等） 这与_________ 相矛盾，所以_________ 不成立， 故a不平行b． 6．求证：在△ABC中，∠B≠∠C，则AB≠AC（提示：反证法） 7．用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角． 8．反证法证明：如果实数a、b满足a2+b2=0，那么a=0且b=0． 9．如图，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内的一点，且∠APB＞∠APC，求证：PB＜PC（反证法） 10．证明已知△ABC中不能有两个钝角．

相贯线的性质与画法教案

课题：1、相贯线的性质 2、相贯线的画法 3、相贯线的特殊情况 课堂类型：讲授 教学目的：1、介绍相贯线的概念 2、讲解相贯线的两个基本性质 3、讲解两个曲面立体相贯的相贯线的投影 教学要求：1、了解相贯线的两个基本性质 2、熟练掌握求曲面立体相贯线的方法，即求两个曲面立体表面上共有点的投影，然后把 各点的同名投影依次光滑连接起来 教学重点：利用立体投影的积聚性求作两个圆柱体相贯的相贯线的画法 教学难点：相贯线上特殊点的确定 教具：模型：圆柱与圆柱相贯的模型、圆柱垂直开孔形成相贯线的模型、空心圆柱与空心圆柱相贯的模型 教学方法：两个曲面立体相贯线的实质就是求它们表面的共有点。作图时，依次求出特殊点和一般点，判别其可见性，然后将各点光滑连接起来，即得相贯线。作图校繁琐，注重演示说 明。 教学过程： 一、复习旧课 复习圆柱体、圆锥体、圆球体截割的截交线的作图方法。 二、引入新课题 两个基本体相交（或称相贯），表面产生的交线称为相贯线。本次课主要学习曲面立体的相贯线。 三、教学内容 （一）相贯线的性质 1、相贯线的概念 两个基本体相交（或称相贯），表面产生的交线称为相贯线。本节只讨论最为常见的两个曲面立体相交的问题。 2、相贯线的性质： （1）相贯线是两个曲面立体表面的共有线，也是两个曲面立体表面的分界线。相贯线上的点是两个曲面立体表面的共有点。

（2）两个曲面立体的相贯线一般为封闭的空间曲线，特殊情况下可能是平面曲线或直线。 求两个曲面立体相贯线的实质就是求它们表面的共有点。作图时，依次求出特殊点和一般点，判别其可见性，然后将各点光滑连接起来，即得相贯线。 （二）相贯线的画法 两个相交的曲面立体中，如果其中一个是柱面立体（常见的是圆柱面），且其轴线垂直于某投影面时，相贯线在该投影面上的投影一定积聚在柱面投影上，相贯线的其余投影可用表面取点法求出。 1、讲解例题（例3－8）如图3－21（a）所示，求正交两圆柱体的相贯线。 分析：两圆柱体的轴线正交，且分别垂直于水平面和侧面。相贯线在水平面上的投影积聚在小圆柱水平投影的圆周上，在侧面上的投影积聚在大圆柱侧面投影的圆周上,故只需求作相贯线的正面投影。出示模型辅助讲解。 （a）立体图（b） 图3－21 正交两圆柱的相贯线 边画图边讲解作图方法与步骤。 2、相贯线的近似画法 相贯线的作图步骤较多，如对相贯线的准确性无特殊要求，当两圆柱垂直正交且直径有相差时，可采用圆弧代替相贯线的近似画法。如图3－22所示，垂直正交两圆柱的相贯线可用大圆柱的D/2为半径作圆弧来代替。

四种命题典型例题

四种命题·典型例题 能力素质 例命题“若＝，则与成反比例关系”的否命题是1 y x y k x [ ] A y x y B y kx x y C x y y ．若≠ ，则与成正比例关系．若≠，则与成反比例关系．若与不成反比例关系，则≠k x k x D y x y ．若≠，则与不成反比例关系k x 分析 条件及结论同时否定，位置不变． 答 选D ． 例2 设原命题为：“对顶角相等”，把它写成“若p 则q ”形式为________．它的逆命题为________，否命题为________，逆否命题为________． 分析 只要确定了“p ”和“q ”，则四种命题形式都好写了． 解 若两个角是对顶角，则两个角相等；若两个角相等，则这两个角是对顶角；若两个角不是对顶点，则这两个角不相等；若两个角不相等，则这两个角不是对顶角． 例3 “若P ＝{x |x|＜1}，则0∈P ”的等价命题是________． 分析 等价命题可以是多个，我们这里是确定命题的逆否命题． 解原命题的等价命题可以是其逆否命题，所以填“若，则 0P p ≠{x||x|＜1}” 例4 分别写出命题“若x 2＋y 2＝0，则x 、y 全为0”的逆命题、否命题和逆否命题． 分析 根据命题的四种形式的结构确定． 解 逆命题：若x 、y 全为0，则x 2＋y 2＝0； 否命题：若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为0； 逆否命题：若x 、y 不全为0，则x 2＋y 2≠0． 说明：“x 、y 全为0”的否定不要写成“x 、y 全不为0”，应当是“x ，y

不全为0”，这要特别小心． 例5 有下列四个命题： ①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题； ②“相似三角形的周长相等”的否命题； ③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题； A B B A B ④“若∪＝，则”的逆否命题，其中真命题是 [ ] A．①②B．②③ C．①③D．③④ 分析应用相应知识分别验证． 解写出相应命题并判定真假 ①“若x，y互为倒数，则xy＝1”为真命题； ②“不相似三角形周长不相等”为假命题； ③“若方程x2－2bx＋b2＋b＝0没有实根，则b＞－1”为真命题； 选C． 点击思维 例6 以下列命题为原命题，分别写出它们的逆命题，否命题和逆否命题． ①内接于圆的四边形的对角互补； ②已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d； 分析首先应当把原命题改写成“若p则q”形式，再设法构造其余的三种形式命题． 解对①：原命题：“若四边形内接于圆，则它的对角互补”； 逆命题：“若四边形对角互补，则它必内接于某圆”； 否命题：“若四边形不内接于圆，则它的对角不互补”； 逆否命题：“若四边形的对角不互补，则它不内接于圆”． 对②：原命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d”，其中“已知a、b、c、d是实数”是大前提，“a＝b，c＝d”是条件，“a＋c ＝b＋d”是结论．所以： 逆命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d”； 否命题：“已知a、b、c、d是实数，若a≠b或c≠d，则a＋c≠b＋d”(注意“a＝b，c＝d”的否定是“a≠b或c≠d”只需要至少有一个不等即可)； 逆否命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c≠b＋d则a≠b或c≠d”．逆否命题还可以写成：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c≠b＋d则a＝b，c＝d两个等式至少有一个不成立” 说明：要注意大前题的处理．试一试：写出命题“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc”的逆命题，否命题，逆否命题，并分别判定其真假．

相贯线的画法

课题：相贯线画法 淄博信息工程学学校王立新 教学目标： 知识目标：①等径与不等径时相贯线的画法； ②相贯线的表面取点法与简化画法。 能力目标：学生通过对相贯线画法的学习与理解，在实际现场中知道如何运用所学知识进行看图与画图; 继续加强学生的动手、动脑能力。 扩展目标：采用启发、引导、赏识教育的教学方法，围绕所学知识，扩展学生的思维，培养学生分析问题、解决问题的能力。 教学重点和难点： 重点：1、等径与不等径时相贯线的画法。 2、相贯线的表面取点法与简化画法。 难点：综合地运用所学知识，掌握正确地画出相贯线的方法。 课前分析： 学生： 现在职校生普遍存在年龄较小、基础较差，对机加工十分陌生的特点，所以，在授课时应采用“赏识教育法”，多鼓励，多肯定，发挥学生的主观能动性，让学生主动地去思考、去探求；在概念的基础上去分析、理解教材内容；尽可能地多利用多媒体、教具模型、实物，采用讲、练结合，多启发、引导学生，抓住知识点，帮助学生建立理论与实际相结合的思维模式，进而更准确地理解理论、利用理论，使学有所用。 教材： 本节课主要讲述利用表面取点法画相贯线以及相贯线的简化画法。授课内容多以分析视图为主，非常抽象，比较枯燥，所以要借助实体模型帮助学生理解相贯线，建立相贯线的概念，且本次课的内容对学生如何掌握正确地画出相贯线起到至关重要的理论指导作用，所以，授课时要多与学生互动，多提问，多思考，在多媒体课件和CAXA现场绘图的辅助下，启发、引导学生逐步理解教材内容，为学生在相贯线的画法训练中打下良好、扎实的基础。 一、组织教学（1分钟） 二、复习提问（4分钟）

1．两个实体叠加在一起时，在交界处会出现有线或无线两种情况。 ①在什么情况下不画出交线？ 当两个实体表面平齐（共面），交界处无线； 当两个实体表面相切，在相切处无线。 ②在什么情况下要画出交线？ 除去以上两种情况，即两实体表面相交，要在相交处画出交线。 2．如果我们给平面与平面或平面与曲面相交产生的交线起个名字的话，应该称之为什么？截交线。 3．我们在本章第一节学习了这样一个定义：两个立体相互贯穿而产生的交线，我们称之为什么？相贯线。 三、讲授新课（30分钟） 1．不同直径两圆柱正交相贯的画法（20分钟） 【分析】：我们知道：相贯线是由两个立体相互贯穿而产生的，那么，在我们生活当中以哪些物体上会出现相贯线？它的形状是怎样的？ 【引导】：引导学生得到结论： ★各种阀体、管件的三通、四通、各种栏杆、健身器材等，这些物体表面上都会有相贯线的存在。 ★相贯线为一条封闭的空间曲线。 ①表面取点法： 第一步：通过圆柱表面上的四个特殊点确定相贯线的范围。 演示课件，并在黑板上进行作图：

反证法之几何证明专题

反证法之几何证明专题 例1．已知：AB、CD是⊙O内非直径的两弦（如图1），求证AB与CD不能互相平分。 （1） 证明：假设AB与CD互相平分于点M、则由已知条件AB、CD均非⊙O直径，可判定M不是圆心O，连结OA、OB、OM。 ∵OA＝OB，M是AB中点 ∴OM⊥AB（等腰三角形底边上的中线垂直于底边） 同理可得： OM⊥CD，从而过点M有两条直线AB、CD都垂直于OM 这与已知的定理相矛盾。 故AB与CD不能互相平分。 例2．已知：在四边形ABCD中，M、N分别是AB、DC的中点， 且MN＝（AD＋BC）。 求证：AD∥BC

（2） 证明：假设AD BC，连结ABD，并设P是BD的中点，再连结MP、PN。 在△ABD中 ∵BM＝MA，BP＝PD ∴MP AD，同理可证PN BC 从而MP＋PN＝（AD＋BC）① 这时，BD的中点不在MN上 若不然，则由MN∥AD，MN∥BC，得AD∥BC与假设AD BC矛盾， 于是M、P、N三点不共线。 从而MP＋PN＞MN② 由①、②得（AD＋BC）＞MN，这与已知条件MN＝（AD＋BC） 相矛盾， 故假设AD BC不成立，所以AD∥BC。 练习 1．求证：三角形中至少有一个角不大于60°。 2．求证：一直线的垂线与斜线必相交。 3. 已知：设m，n分别为直线l的垂线和斜线（如图），垂足为A，斜足为B 求证：m和n必相交。

3．在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于H，求证：AD 与 BE不能被点H互相平分。 4．求证：直线与圆最多只有两个交点。 5．求证：等腰三角形的底角必为锐角。 已知：△ABC中，AB＝AC 求证：∠B、∠C必为锐角。 参考答案： 1．证明：假设△ABC中的∠A、∠B、∠C都大于60° 则∠A＋∠B＋∠C＞3×60°＝180°

高中数学反证法测试题(含答案)

高中数学反证法测试题(含答案) 一、选择题 1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是() A．有一个解 B．有两个解 C．至少有三个解 D．至少有两个解 [答案] C [解析]在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n＋1个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”，故应选C. 2．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为() A．a、b、c都是奇数 B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数 C．a、b、c都是偶数 D．a、b、c中至少有两个偶数 [答案] B [解析]a，b，c三个数的奇、偶性有以下几种情况：①全是奇数；②有两个奇数，一个偶数；③有一个奇数，两个偶数； ④三个偶数．因为要否定②，所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”．故应选B. 3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60”时，反设正确的是()

A．假设三内角都不大于60 B．假设三内角都大于60 C．假设三内角至多有一个大于60 D．假设三内角至多有两个大于60 [答案] B [解析]“至少有一个不大于”的否定是“都大于60”．故应选B. 4．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c ＝0(a0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是() A．假设a，b，c都是偶数 B．假设a、b，c都不是偶数 C．假设a，b，c至多有一个偶数 D．假设a，b，c至多有两个偶数 [答案] B [解析]“至少有一个”反设词应为“没有一个”，也就是说本题应假设为a，b，c都不是偶数． 5．命题“△ABC中，若B，则ab”的结论的否定应该是() A．ab B．ab C．a＝b D．ab

2019高中数学反证法例题精品教育.doc

高中数学反证法例题 高中数学反证法例题一 选择题 1.否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( ) A.有一个解 B.有两个解 C.至少有三个解 D.至少有两个解 [答案] C [解析] 在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n+1个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”，故应选C. 2.否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为( ) A.a、b、c都是奇数 B.a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数 C.a、b、c都是偶数 D.a、b、c中至少有两个偶数 [答案] B [解析] a，b，c三个数的奇、偶性有以下几种情况：①全是奇数;②有两个奇数，一个偶数;③有一个奇数，两个

偶数;④三个偶数.因为要否定②，所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”.故应选B. 3.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是( ) A.假设三内角都不大于60° B.假设三内角都大于60° C.假设三内角至多有一个大于60° D.假设三内角至多有两个大于60° [答案] B [解析] “至少有一个不大于”的否定是“都大于 60°”.故应选B. 4.用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是( ) A.假设a，b，c都是偶数 B.假设a、b，c都不是偶数 C.假设a，b，c至多有一个偶数 D.假设a，b，c至多有两个偶数 [答案] B [解析] “至少有一个”反设词应为“没有一个”，也就是说本题应假设为a，b，c都不是偶数. 5.命题“△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”

高一数学四种命题经典例题

例命题“若＝，则与成反比例关系”的否命题是1 y x y k x [ ] A y x y B y kx x y C x y y ．若≠ ，则与成正比例关系．若≠，则与成反比例关系．若与不成反比例关系，则≠k x k x D y x y ．若≠，则与不成反比例关系k x 分析 条件及结论同时否定，位置不变． 答 选D ． 例2 设原命题为：“对顶角相等”，把它写成“若p 则q ”形式为________．它的逆命题为________，否命题为________，逆否命题为________． 分析 只要确定了“p ”和“q ”，则四种命题形式都好写了． 解 若两个角是对顶角，则两个角相等；若两个角相等，则这两个角是对顶角；若两个角不是对顶点，则这两个角不相等；若两个角不相等，则这两个角不是对顶角． 例3 “若P ＝{x |x|＜1}，则0∈P ”的等价命题是________． 分析 等价命题可以是多个，我们这里是确定命题的逆否命题． 解原命题的等价命题可以是其逆否命题，所以填“若，则 0P p ≠{x||x|＜1}” 例4 分别写出命题“若x 2＋y 2＝0，则x 、y 全为0”的逆命题、否命题和逆否命题．

分析根据命题的四种形式的结构确定． 解逆命题：若x、y全为0，则x2＋y2＝0； 否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为0； 逆否命题：若x、y不全为0，则x2＋y2≠0． 说明：“x、y全为0”的否定不要写成“x、y全不为0”，应当是“x，y不全为0”，这要特别小心． 例5有下列四个命题： ①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题； ②“相似三角形的周长相等”的否命题； ③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题； ④“若∪＝，则”的逆否命题，其中真命题是 A B B A B [ ] A．①②B．②③ C．①③D．③④ 分析应用相应知识分别验证． 解写出相应命题并判定真假 ①“若x，y互为倒数，则xy＝1”为真命题； ②“不相似三角形周长不相等”为假命题； ③“若方程x2－2bx＋b2＋b＝0没有实根，则b＞－1”为真命题；