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2011中考试题分类汇总：平行四边形·矩形·菱形·正方形解答题与答案(2012中考必备_共22页)

（2012中考必备）

平行四边形·矩形·菱形·正方形解答题与答案

1. （2011浙江省舟山，23，10分）以四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连结这四个点，得四边形EFGH ．

（1）如图1，当四边形ABCD 为正方形时，我们发现四边形EFGH 是正方形；如图2，当四边形ABCD 为矩形时，请判断：四边形EFGH 的形状（不要求证明）；

（2）如图3，当四边形ABCD 为一般平行四边形时，设∠ADC =α（0°＜α＜90°），

① 试用含α的代数式表示∠HAE ；② 求证：HE =HG ；③ 四边形EFGH 是什么四边形？并说明理由．

2. （2011安徽，23，14分）如图，正方形ABCD 的四个顶点分别在四条平行线1l 、2l 、3l 、4l 上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为1h 、2h 、3h （1h ＞0，2h ＞0，3h ＞0）．

（1）求证：1h =3h ；

（2）设正方形ABCD 的面积为S ，求证：S=21221)(h h h ++；

（3）若12

321=+h h ，当1h 变化时，说明正方形ABCD 的面积S 随1h 的变化情况．

3. （2011福建福州，21，12分）已知,矩形ABCD 中,4AB cm =,8BC cm =,AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ,垂足为O .

(1)如图10-1,连接AF 、CE .求证四边形AFCE 为菱形,并求AF 的长；

(2)如图10-2,动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发,沿AFB ?和CDE ?各边匀速运动一周.即点P 自A →F →B →A 停止,点Q 自C →D →E →C 停止.在运动过程中,

①已知点P 的速度为每秒5cm ,点Q 的速度为每秒4cm ,运动时间为t 秒,当A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t 的值.

②若点P 、Q 的运动路程分别为a 、b (单位:cm ,0ab ≠),已知A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形,求a 与b 满足的数量关系式.

A B C D E F

图10-1 O 图10-2 A

B C D E F P Q 备用图 A

B C D E F P

4. （2011广东广州市，18，9分）如图4，AC 是菱形ABCD 的对角线，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，且AE =AF ．求证：△ACE ≌△ACF ．

5. （2011山东滨州，24，10分）如图，在△ABC 中，点O 是AC 边上（端点除外）的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC .设MN 交∠BCA 的平分线于点E ,交∠BCA 的外角平分线于点F ，连接AE 、AF 。那么当点O 运动到何下时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论。

6. （2011山东济宁，22，8分）数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图1，正方形ABCD 的边长为

12，P 为边BC 延长线上的一点，E 为DP 的中点，DP 的垂直平分线交边DC 于M ，交边AB 的延

长线于N .当6CP =时，EM 与EN 的比值是多少？

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过E 作直线平行于BC 交DC ，AB 分别于F ，G ，如

图2，则可得：DF DE FC EP

=，因为DE EP =，所以DF FC =.可求出EF 和EG 的值，进而可求得EM 与EN 的比值.(1) 请按照小明的思路写出求解过程.

(2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了DP MN =的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如果正

确，请给予证明；如果不正确，请说明理由.

第6题图

7. （2011山东威海，24，11分）如图，ABCD 是一张矩形纸片，AD =BC =1,AB =CD =5．在矩形ABCD 的边AB 上取一点M ，在CD 上取一点N ，将纸片沿MN 折叠，使MB 与D N 交于点K ，得到△MNK ．

（1）若∠1=70°，求∠MNK 的度数．

（2）△MNK 的面积能否小于12

？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由．（3）如何折叠能够使△MNK 的面积最大？请你探究可能出现的情况，求出最大值．

（第5题图） F E N

M O C B A

A B

C D

F 图4

8. （2011山东烟台，24,10分）已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，CD ⊥AD ，AD 2＋CD 2＝2AB 2．

（1）求证：AB ＝BC ；（2）当BE ⊥AD 于E 时，试证明：BE ＝AE ＋

CD ．

9. (2011 浙江湖州，22，8) 如图已知E 、F 分别是□ABCD 的边BC 、AD 上的点，且BE=DF ．

(1) 求证：四边形AECF 是平行四边形；

(2) 若BC ＝10，∠BAC ＝90°，且四边形AECF 是菱形，求BE 的长．

D A E

B C

第9题图第10题图第11题图

10．（2011宁波市，23，8分）如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边ABCD 的中点，BD 是对角线，过A

点作AGDB 交CB 的延长线于点G ．

（1）求证：DE ∥BF ；（2）若∠G ＝90，求证四边形DEBF 是菱形．

11. （2011浙江衢州，22,10分）如图，ABC ?中，AD 是边BC 上的中线，过点A 作AE BC ，过点D 作,DE AB DE 与AC AE 、分别交于点O 、点E ，连接EC

求证：（1）AD EC =;

（2）当Rt BAC ∠=∠时，求证：四边形ADCE 是菱形；

（3）在（2）的条件下，若AB AO =，求tan OAD ∠的值.

12. （2011浙江省嘉兴，23，12分）以四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连结这四个点，得四边形EFGH ．

（1）如图1，当四边形ABCD 为正方形时，我们发现四边形EFGH 是正方形；如图2，当四边形ABCD 为矩形时，请判断：四边形EFGH 的形状（不要求证明）；

（2）如图3，当四边形ABCD 为一般平行四边形时，设∠ADC =α（0°＜α＜90°），

① 试用含α的代数式表示∠HAE ；② 求证：HE =HG ；③ 四边形EFGH 是什么四边形？并说明理由．

A B C

D H

G （第23题图2） E B F G D

H A C （第23题图3）

（第23题图1） A

B C D H

G A B

C D

到△A 1C 1D 1．

(1)证明：△A 1AD 1≌△CC 1B ；

(2)若∠ACB ＝30°，试问当点C 1在线段AC 上的什么位置时，四边形ABC 1D 1是菱形. （直接写出答案）

第13题图第14题图

14. （2011甘肃兰州，27，12分）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD （AD>AB ），将纸片折叠一次，使点A 与点C 重合，再展开，折痕EF 交AD 边于点E ，交BC 边于点F ，分别连结AF 和CE 。

（1）求证：四边形AFCE 是菱形；

（2）若AE=10cm ，△ABF 的面积为24cm 2，求△ABF 的周长；

（3）在线段AC 上是否存在一点P ，使得2AE 2=AC ·AP ？若存在，请说明点P 的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由。

15. （2011广东株洲，23，8分）如图，矩形ABCD 中，点P 是线段AD 上一动点，O 为BD 的中点， PO 的

延长线交BC 于Q.（1）求证： OP=OQ ；

（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P 从点A 出发，以1厘米/秒的速度向D 运动（不与D 重合）.设点P 运动时间为t 秒，请用t 表示PD 的长；并求t 为何值时，四边形PBQD 是菱形．

16. （2011江苏苏州，28,9分）（本题满分9分）如图①，小慧同学吧一个正三角形纸片（即△OAB ）放在直线l 1上，OA 边与直线l 1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A 按顺时针方向旋转120°，此时点O 运动到了点O 1处，点B 运动到了点B 1处；小慧又将三角形纸片AO 1B 1绕B 1点按顺时针方向旋转120°，点A 运动到了点A 1处，点O 1运动到了点O 2处（即顶点O 经过上述两次旋转到达O 2处）.

小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点O 运动所形成的图形是两段圆弧，即弧OO 1

和弧O 1O 2，顶点O 所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两端圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形AOO 1的面积、△AO 1B 1的面积和扇形B 1O 1O 2的面积之和.

小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC 放在直线l 2上，OA 边与直线l 2重合，然后将正方形纸片绕着顶点A 按顺时针方向旋转90°，此时点O 运动到了点O 1处（即点B 处），点C 运动到了点C 1处，点B 运动到了点B 1处；小慧又将正方形纸片AO 1C 1B 1绕B 1点按顺时针方向旋转90°，……，按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：

问题①：若正方形纸片OABC 按上述方法经过3次旋转，求顶点O 经过的路程，并求顶点O 在此运

动过程中所形成的图形与直线l 2围成图形的面积；若正方形OABC 按上述方法经过5次旋转，求顶点O 经过的路程；

A B C D

E F O

问题②：正方形纸片OABC 按上述方法经过多少次旋转，顶点O 经过的路程是

22041 π？请你解答上述两个问题

17. （2011江苏泰州，24，10分）如图，四边形ABCD 是矩形，直线L 垂直平分线段AC ，垂足为O ，直线L 分别与线段A D 、CB 的延长线交于点E 、F ．

（1）△ABC 与△FOA 相似吗？为什么？

（2）试判定四边形AFCE 的形状，并说明理由． l O A F E C B D y O P

D C

x B A

第17题图第18题图

18. （2011江苏泰州，28，12分）在平面直角坐标系xoy 中，边长为a （a 为大于0的常数）的正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点P ，顶点A 在x 轴正半轴上运动，顶点B 在y 轴正半轴上运动（x 轴的正半轴、y 轴的正半轴都不包含原点O ），顶点C 、D 都在第一象限．

（1）当∠BAO =45°时，求点P 的坐标;

(2)求证：无论点A 在x 轴正半轴上、点B 在y 轴正半轴上怎样运动，点P 都在∠AOB 的平分线上；

（3）设点P 到x 轴的距离为h ，试确定h 的取值范围，并说明理由．

19. （2011山东济宁，17， 5分）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作直线EF ⊥BD ，分别交AD 、BC 于点E 和点F ，求证：四边形BEDF 是菱形．

F E D

B A

20．（2011山东聊城，25，12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝8cm，点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EF G的面积为S（cm2）．

（1）当t＝1秒时，S的值是多少？

（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围．

（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．

第20题图第21题图

21.（2011山东潍坊，18，8分）已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是

射线AB上任意一点，过P点分别做直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F.

（1）如图1，当P点在线段AB上时，求PE+PF的值；

（2）如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求P E－PF的值.

22.（2011四川广安，23，8分）如图5所示，在菱形ABCD中，∠ABC= 60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE=

23. (2011江苏南京，21，7分)如图，将□ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．

⑴求证：△ABF≌△ECF

⑵若∠AFC=2∠D，连接AC、BE．求证：四边形ABEC是矩形．

B C

24. （2011江苏南通，26，10分）（本体满分10分）

已知：如图1，O 为正方形ABCD 的中心，分别延长OA 到点F ，OD 到点E ，使OF ＝2OA ，OE ＝2OD ，连结EF ，将△FOE 绕点O 逆时针旋转α角得到△''F OE （如图2）.

（1）探究AE ′与BF'的数量关系，并给予证明；

（2）当α＝30°时，求证：△AOE ′为直角三角形.

第24题图底5题图

25. （2011山东临沂，22，7分）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 、CD 分别是△ABC 两个外角的平分线．在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝90°，＝2CD ，对角线AC 与BD 相交于点O ，线段OA ，OB 的中点分别为点E ，F

（1）求证：AC ＝AD ；（2）若∠B ＝60°，求证：四边形ABCD 是菱形；

26. （2011山东临沂，25，11分)如图1，奖三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点E 与正方形ABCD 的顶点A 重合，三角板的一边交CD 于点F ，另一边交CB 的延长线于点G ．

（1）求证：EF ＝EG ；

（2）如图2，移动三角板，使顶点E 始终在正方形ABCD 的对角线AC 上，其他条件不变．（1）中的

结论是否仍然成立？若成立，情给予证明；若不成立，请说明理由；

（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD ”改为“矩形ABCD ”，且使三角板的一边经过点B ，其

他条件不变，若AB ＝a,BC ＝b ，求EG

EF 的值．[来源:学科网ZXXK]

图1 图2 图3

27. （2011上海，23，12分）如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ＝DC ，过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，并延长DE 至F ，使EF ＝DE ．联结BF 、CF 、AC ．

（1）求证：四边形ABFC 是平行四边形；（2）如果DE 2＝BE ·CE ，求证四边形ABFC 是矩形． A B D

C E

28. （2011四川乐山20，10分）如图，E 、F 分别是矩形ABCD 的对角线AC 和BD 上的点，且AE=DF 。求证：BE=CF

第28题图第29题图第30题图

29. （2011湖南衡阳，26，10分）如图，在矩形ABCD 中，AD =4，AB =m (m ＞4)，点P 是AB 边上的任意一点（不与A 、B 重合），连结PD ，过点P 作PQ ⊥PD ，交直线BC 于点Q ．

(1)当m =10时，是否存在点P 使得点Q 与点C 重合？若存在，求出此时AP 的长；若不存在说明理由；

(2)连结AC ，若PQ ∥AC ,求线段BQ 的长（用含m 的代数式表示）

(3)若△PQD 为等腰三角形，求以P 、Q 、C 、D 为顶点的四边形的面积S 与m 之间的函数关系式，并

写出m 的取值范围．

30. （2011贵州贵阳，18，10分）

如图，点E 是正方形ABCD 内一点，△CDE 是等边三角形，连接EB 、EA ，延长BE 交边AD 于点F ．

（1）求证：△ADE ≌△BCE ；（5分）（2）求∠AFB 的度数．（5分）

31. （2011广东肇庆，20，7分）如图，在正方形ABCD 中，E 为对角线AC 上一点，连接EB 、ED ．

（1）求证：△BEC ≌△DEC ；（2）延长BE 交AD 于点F ，若∠DEB ＝ 140?，求∠AFE 的度数．

第310题图第32题图第33题图

32. （2011广东肇庆，22，8分）如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，DE ∥AC ，CE ∥BD ．

（1）求证：四边形OCED 是菱形；

（2）若∠ACB ＝30?，菱形OCED 的面积为38，求AC 的长．

33. （2011湖北襄阳，25，10分)

如图9，点P 是正方形ABCD 边AB 上一点（不与点A ，B 重合），连接PD 并将线段PD 绕点P 顺时

针方向旋转90°得到线段PE ，PE 交边BC 于点F ，连接BE ，DF .

（1）求证：∠ADP ＝∠EPB ；

（2）求∠CBE 的度数；

（3）当AB

AP 的值等于多少时，△PFD ∽△BFP ？并说明理由. A

C D E O

A B C D E F

34. （2011湖南永州，25，10分）探究问题：

⑴方法感悟：如图①，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF ，求证DE+BF=EF ．感悟解题方法，并完成下列填空：

将△ADE 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG ，此时AB 与AD 重合，由旋转可得：

AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，

因此，点G ，B ，F 在同一条直线上．∵∠EAF=45° ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．

∵∠1=∠2， ∴∠1+∠3=45°．即∠GAF=∠_________．又AG=AE ，AF=AF ∴△GAF ≌_______． ∴_________=EF ，故DE+BF=EF ．

⑵方法迁移：如图②，将ABC Rt ?沿斜边翻折得到△ADC ，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且

∠EAF=2

1∠DAB ．试猜想DE ，BF ，EF 之间有何数量关系，并证明你的猜想． ⑶问题拓展：如图③，在四边形ABCD 中，AB=AD ，E ，F 分别为DC,BC 上的点，满足DAB EAF ∠=∠2

1,试猜想当∠B 与∠D 满足什么关系时，可使得DE+BF=EF ．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．

35. （2011江苏盐城，27，12分）情境观察：将矩形ABCD 纸片沿对角线AC 剪开，得到△ABC 和△A′C ′D ，如图1所示.将△A′C ′D 的顶点A′与点A 重合，并绕点A 按逆时针方向旋转，使点D 、A (A′)、B 在同一条直线上，如图2所示．观察图2可知：与BC 相等的线段是，∠CAC ′= °．

问题探究：如图3，△ABC 中，AG ⊥BC 于点G ，以A 为直角顶点，分别以AB 、AC 为直角边，向△ABC

外作等腰Rt △ABE 和等腰Rt △ACF ，过点E 、F 作射线GA 的垂线，垂足分别为P 、Q . 试探究EP 与FQ 之间的数量关系，并证明你的结论. E F D C

A （第25题）③ E F D C

B A （第25题）② A B

C E

G P Q

图1 图2

C'A'B A D C A B C D B

D A (A')C'

321G E F D C B A

（第25题）①

拓展延伸

如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H.若AB=k AE，AC=k AF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.

第35题（图4）第36题

36. (20011江苏镇江,23,7分)已知:如图,在梯形ABCD中A B∥CD,BC=CD,AD⊥BD,E为AB中点,

求证:四边形BCDE是菱形.

37. (20011江苏镇江,25,6分)已知:如图1,图形①满足:AD=AB,MD=MB,∠A=72°, ∠M=144°.图形②与图形①恰好拼成一个菱形(如图2).记作AB的长度为a,BM的长度为b.

(1)图中①中∠B=___度,图中②中∠E=____度.[来源:学.科.网]

(2)小明有两种纸片各若干张,其中一种纸片的形状及大小与图形①相同,这咱纸片称为“风筝一号”另一种纸片的形状及大小与图形②相同,这种纸片称为“飞镖一号”.

①小明仅有“,风筝一号”纸片拼成一个边长为b的正十边形,需要这种纸片____张;

②小明用若干张“风筝一号”和“飞镖一号”纸片拼成一个“大风筝”(如图3),其中

∠P=72°, ∠Q=144°,PI=PJ=a+b,IQ=JQ.庄股你在图穷匕见中画出拼接线并保留画图痕迹.(本题中均为无重叠、无缝隙拼接)

38.（2011贵州安顺，25，10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE．

⑴说明四边形ACEF是平行四边形；

⑵当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．

第38题图

39. （2011河北，23，9分）如图12，四边形ABCD 是正方形，点E,K 分别在BC,AB 上，点G 在BA 的延长线上，且CE=BK=AG.

(1)求证：①DE=EG;

②D E ⊥EG ；

（2）尺规作图：以线段DE ，DG 为边作出正方形DEFG （要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）；

（3）连接（2）中的KF ，猜想并写出四边形CEFK 是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想；

（4）当n 1 CB CE 时，请直接写出DEFG

ABCD S S 正方形正方形的值. 图12B C

D G

E K

40. （2011湖南湘潭市，24，8分）（本题满分8分）

两个全等的直角三角形重叠放在直线l 上，如图⑴，AB=6cm ，BC=8cm ，

∠ABC=90°，将Rt △ABC 在直线l 上左右平移，如图⑵所示.

⑴ 求证：四边形ACFD 是平行四边形;

⑵ 怎样移动Rt △ABC ，使得四边形ACFD 为菱形;

⑶ 将Rt △ABC 向左平移cm 4，求四边形DHCF 的面积.

41. （2011湖北荆州，19，7分）（本题满分7分）如图，P 是矩形ABCD 下方一点，将△PCD 绕P 点顺时针旋转60°后恰好D 点与A 点重合，得到△PEA ，连接EB ，问△ABE 是什么特殊三角形？请说明理由.

B A P E

l 图(1) A(D) B(E)

C(F) D

l 图(2) F E C B A H

矩形、菱形与正方形解答题

1. 【答案】（1）四边形EFGH 是正方形． (2) ①∠HAE=90°＋a ．

在□ABCD 中，AB ∥CD ，∴∠BAD=180°－∠ADC=180°－a ；

∵△HAD 和△EAB 都是等腰直角三角形，∴∠HAD=∠EAB=45°，

∴∠HAE=360°－∠HAD －∠EAB －∠BAD ＝360°－45°－45°－（180°－a ）＝90°＋a ．

②∵△AEB 和△DGC 都是等腰直角三角形，∴AE=22AB ，DG=22

CD ，在□ABCD 中，AB=CD ，∴AE=DG ，∵△HAD 和△GDC 都是等腰直角三角形，

∴∠DHA=∠CDG= 45°，∴∠HDG=∠HAD ＋∠ADC ＋∠CDG ＝90°＋a ＝∠HAE ．

∵△HAD 是等腰直角三角形，∴HA=HD ，∴△HAE ≌△HDG ，∴HE=HG ．[来源:学科网ZXXK]

③四边形EFGH 是正方形．

由②同理可得：GH=GF ，FG=FE ，∵HE=HG （已证），∴GH=GF =FG=FE ，∴四边形EFGH 是菱形；∵△HAE ≌△HDG （已证），∴∠DHG=∠AHE ，又∵∠AHD=∠AHG ＋∠DHG=90°，∴∠EHG=∠AHG ＋∠AHE ＝90°，∴四边形EFGH 是正方形．

2. 【答案】（1）过A 点作AF ⊥l 3分别交l 2、l 3于点E 、F ，过C 点作CG ⊥l 3交l 3于点G ，

∵l 2∥l 3，∴∠2 =∠3，∵∠1+∠2=90°，∠4+∠3=90°，∴∠1=∠4，又∵∠BEA=∠DGC =90°, BA=DC ，∴△BEA ≌△DGC ，∴AE =CG ，即1h =3h ；

（2）∵∠FAD+∠3=90°，∠4+∠3=90°，∴∠FAD =∠4，又∵∠AFD=∠DGC =90°, AD=DC ，∴△AFD ≌△DGC ，∴DF =CG ，∵AD 2=AF 2+FD 2，∴S=2

1221)(h h h ++；

(3)由题意，得12321h h -=，所以

又??????-?02

31011h h ，解得0＜h 1＜32 ∴当0＜h 1＜52时，S 随h 1的增大而减小；当h 1=52时，S 取得最小值54；当52＜h 1＜3

2时，S 随h 1的增大而增大.

3. 【答案】(1)证明:①∵四边形ABCD 是矩形∴AD ∥BC ∴CAD ACB ∠=∠,AEF CFE ∠=∠

∵EF 垂直平分AC ,垂足为O ∴OA OC =∴AOE ?≌COF ?∴OE OF = ∴四边形AFCE 为平行四边形又∵EF AC ⊥∴四边形AFCE 为菱形

②设菱形的边长AF CF xcm ==,则(8)BF x cm =- 在Rt ABF ?中,4AB cm =

由勾股定理得2224(8)x x +-=,解得5x =∴5AF cm =

(2)①显然当P 点在AF 上时,Q 点在CD 上,此时A 、C 、P 、Q 四点不可能构成平行四边形;同理P 点在AB 上时,Q 点在DE 或CE 上,也不能构成平行四边形.因此只有当P 点在BF 上、Q 点在ED 上时, 才能构成平行四边形∴以A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时,PC QA =

∵点P 的速度为每秒5cm ,点Q 的速度为每秒4cm ,运动时间为t 秒∴5PC t =,124QA t =-

∴5124t t =-,解得

43t =∴以A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时,43t =秒.

分三种情况:i)如图1,当P 点在AF 上、Q 点在CE 上时,AP CQ =,即12a b =-,得12a b +=

ii)如图2,当P 点在BF 上、Q 点在DE 上时,AQ CP =, 即12b a -=,得12a b +=

iii)如图3,当P 点在AB 上、Q 点在CD 上时,AP CQ =,即12a b -=,得12a b +=

综上所述,a 与b 满足的数量关系式是12a b +=(0)ab ≠

4. 【答案】∵四边形ABCD 为菱形∴∠BAC=∠DAC 又∵AE=AF ，AC=AC ∴△ACE ≌△ACF （SAS ）

5. 【答案】当点O 运动到AC 的中点（或OA=OC ）时，四边形AECF 是矩形

证明：∵CE 平分∠BCA,∴∠1=∠2，又∵MN ∥BC, ∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴EO=CO.

同理，FO=CO6分∴EO=FO 又OA=OC, ∴四边形AECF 是平行四边形

又∵∠1=∠2，∠4=∠5，∴∠1+∠5=∠2+∠4.又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°∴∠2+∠4=90°分

∴四边形AECF 是矩形

6. （1）解：过E 作直线平行于BC 交DC ，AB 分别于点F ，G ，则DF DE FC EP =，EM EF EN EG =，12GF BC ==.∵DE EP =，∴DF FC =.∴116322

EF CP ==?=，12315EG GF EF =+=+=.∴31155

EM EF EN EG ===. （2）证明：作M H ∥BC 交AB 于点H ，

则MH CB CD ==，90MHN ∠=?.∵1809090DCP ∠=?-?=?，

∴DCP MHN ∠=∠.∵90MNH CMN DME CDP ∠=∠=∠=?-∠，90DPC CDP ∠=?-∠，

∴DPC MNH ∠=∠.∴DPC MNH ???.∴DP MN =.

7. ∴AM ∥DN ，∴∠KNM =∠1．∵∠KMN =∠1，∴∠KNM =∠KMN ．

∵∠1=70°，∴∠KNM =∠KMN =70°．∴∠MNK =40°．

（2）不能．过M 点作ME ⊥DN ，垂足为点E ，则ME =AD =1,由（1）

知∠KNM =∠KMN ．∴MK =NK ．又MK ≥ME ,∴NK ≥1．∴1122MNK S NK ME ?=

?≥．∴△MNK 的面积最小值为12，不可能小于12

．（3）分两种情况：情况一：将矩形纸片对折，使点B 与点D 重合，此时点K 也与点D 重合．

设MK =MD =x ，则AM =5-x ，由勾股定理，得2221(5)x x +-=,

解得， 2.6x =．即 2.6MD ND ==． ∴11 2.6 1.32

MNK ACK S S ??==??=．（情况一）情况二：将矩形纸片沿对角线AC 对折，此时折痕为AC ．

设MK =AK = CK =x ，则DK =5-x ，同理可得

即 2.6MK NK ==．∴11 2.6 1.32

MNK ACK S S ??==??=． A B C D E F P Q A B C

D E F P Q

A B D E F P Q C A

B C D E F P

Q 图1 图2 图3

8.（1）证明：连接AC ，∵∠ABC ＝90°，∴AB 2＋BC 2＝AC 2.∵CD ⊥AD ，∴AD 2＋CD 2＝AC 2.∵AD 2＋CD 2＝2AB 2，∴AB 2＋BC 2＝2AB 2，∴AB ＝BC .（2）证明：过C 作CF ⊥BE 于F .∵BE ⊥AD ，∴四边形CDEF 是矩形.∴CD ＝EF .∵∠ABE ＋∠BAE ＝90°，∠ABE ＋∠CBF ＝90°，∴∠BAE ＝∠CBF ，∴△BAE ≌△CBF . ∴AE ＝BF .∴BE ＝BF ＋EF ＝AE ＋CD .

9.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，且AD=BC ，∴AF ∥EC ，∵BE=DF ， ∴AF=EC ，∴四边形AECF 是平行四边形.

（2）∵四边形AECF 是，∴AE ＝CE ，∴∠1＝∠2，∵∠BAC ＝90°，∴∠3＝∠90°－∠2，∠4＝∠90°

－∠1，∴∠3＝∠4，∴AE ＝BE ，∴BE ＝AE ＝CE ＝12

BC ＝5. 10．解：（1）□ABCD 中，A B ∥CD ，AB ＝CD

∵E 、F 分别为AB 、CD 的中点∴DF ＝12DC ，BE ＝12

AB ∴DF ∥BE ，DF ＝BE ∴四边形DEBF 为平行四边形∴DE ∥BF

(2)证明：∵AG ∥BD ∴∠G ＝∠DBC ＝90°∴?DBC 为直角三角形

又∵F 为边CD 的中点．∴BF ＝12

DC ＝DF 又∵四边形DEBF 为平行四边形∴四边形DEBF 是菱形 11.证明：（1）解法1∵DE ∥AB ，AE ∥BC ， ∴四边形ABDE 是平行四边形，∴AE ∥BD ，且AE=BD 又∵AD 是BC 边上的中线， ∴BD=CD ∴AE ∥CD ，且AE=CD ∴四边形ADCE 是平行四边形 ∴AD=CE

解法2 证明：∵DE ∥AB ，AE ∥BC ∴四边形ABDE 是平行四边形，∠B=∠EDC ∴AB=DE

又∵AD 是BC 边上的中线∴BD=CD ∴△ABD ≌△EDC(SAS) ∴AD=EC

(2)解法1∵∠BAC=Rt ∠，AD 上斜边BC 上的中线，∴AD=BD=CD 又∵四边形ADCE 是平行四边形 ∴四边形ADCE 是菱形

解法2∵DE ∥AB ，∠BAC=Rt ∠，∴DE ⊥AC 又∵四边形ADCE 是平行四边形∴四边形ADCE 是菱形解法3∵∠BAC=Rt ∠，AD 是斜边BC 上的中线，∴AD=BD=CD 又∵AD=EC ∴AD=CD=CE=AE

∴四边形ADCE 是菱形

(3)解法1∵四边形ADCE 是菱形∴AO=CO ，∠ADO=90°,又∵BD=CD ∴OD 是△ABC 的中位线，则AB 21OD = ∵AB=AO ∴AO 2

1OD =∴在Rt △AOD 中，21OA OD OAD tan ==∠ 解法2∵四边形ADCE 是菱形∴AO=CO=

AC 21，AD=CD ，∠AOD=90°，∵AB=AO ∴AB=AC 2

1 ∴在Rt △ABC 中，2

1AC AB ACB tan ==∠ ∵AD=CD ， ∴∠DAC=∠DCA ∴21ACB tan OAD tan =∠=∠ 13. 【答案】∵矩形ABCD ∴BC=AD,BC ∥AD ∴∠DAC=∠ACB

∵把△ACD 沿CA 方向平移得到△A 1C 1D 1．∴∠A 1=∠DAC,A 1D 1=AD,AA 1=CC 1

∴∠A 1=∠ACB ，A 1D 1=CB 。∴△A 1AD 1≌△CC 1B （SAS ）。当C 1在AC 中点时四边形ABC 1D 1是菱形，

14. 【答案】（1）由折叠可知EF ⊥AC ，AO=CO ∵AD ∥BC ∴∠EAO=∠FCO ，∠AEO=∠CFO

∴△AOE ≌△COF ∴EO=FO ∴四边形AFCE 是菱形。

（2）由（1）得AF=AE=10设AB=a ，BF=b ，得a 2+b 2=100 ①，ab =48 ②

①+2×②得 (a +b )2=196，得a +b =14（另一负值舍去）∴△ABF 的周长为24cm

（3）存在，过点E 作AD 的垂线交AC 于点P ，则点P 符合题意。

证明：∵∠AEP=∠AOE=90°，∠EAP=∠OAE ∴△AOE ∽△AEP ∴AO AE AE AP

=，得AE 2=AO ·AP 即2AE 2=2AO ·AP 又AC=2AO ∴2AE 2=AC ·AP 15. 【答案】（1）证明：

四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ， ∴∠PDO=∠QBO ，又OB=OD ，∠POD=∠QOB ， ∴△POD ≌△QOB ∴OP=OQ 。

（2）解法一： PD=8-t ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A=90°，

∵AD=8cm ，AB=6cm ，∴BD=10cm ，∴OD=5cm.

当四边形PBQD 是菱形时， PQ ⊥BD ，∴∠POD=∠A ，又∠ODP=∠ADB ，

∴△ODP ∽△ADB ，∴OD AD PD BD =，即58810t =-，解得74t =,即运动时间为74

秒时，四边形PBQD 是菱形. 解法二：PD=8-t 当四边形PBQD 是菱形时，PB=PD=(8-t)cm ，

∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A=90°，在RT △ABP 中，AB=6cm ，

∴222AP AB BP +=， ∴2226(8)t t +=-，解得74t =,即运动时间为74

秒时，四边形PBQD 是菱形. 16. 【答案】解问题①：如图，正方形纸片OABC 经过3次旋转，顶点O 运动所形成的图形是三段弧，即弧OO 1、弧O 1O 2以及弧O 2O 3，∴顶点O 运动过程中经过的路程为πππ)2

21(1802902180190+=??+???.

顶点O 在此运动过程中所形成的图形与直线l 2围成图形的面积为

112

12360)2(90236019022???+??+???ππ=1+π. 正方形OABC 经过5次旋转，顶点O 经过的路程为πππ)2

223(1802903180190+=??+???. 问题②：∵方形OABC 经过4次旋转，顶点O 经过的路程为

πππ)221(1802902180190+=??+???∴222041+π=20×)2

21(+π+21π.

17. 【答案】(1)相似.由直线L 垂直平分线段AC ，所以AF=FC ，∴∠FAC=∠ACF ，又∵∠ABC=∠AOF=90°，∴△ABC ∽FOA ．

（2）四边形AFCE 是菱形。理由：∵AE ∥CF ，∴∠EAO=∠FCO ，又∵AO ＝CO ，∠AOE=∠COF ，∴△AO E ≌△COF ，∴AE=CF ，又AE ∥CF ，∴四边形AFCE 为平行四边形，又AF=FC ，所以平行四边形AFCE 为菱形．

18. 【答案】解：（1）当∠BAO =45°时，∠PAO =90°，在Rt ⊿AOB 中，OA ＝22AB ＝a 2

2，在Rt ⊿APB 中，PA ＝22AB ＝a 22。∴点P 的坐标为（a 22，a 2

2）（2）过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线垂足分别为M 、N ，则有∠PMA =∠PNB =∠NPM =∠B PA =90°，∴∠MPA =∠NPB ，又PA ＝PB ，∴△PAM ≌△PBN ，∴PM=PN ，于是，点P 都在∠AOB 的平分线上；

（3）2a ＜h ≤a 2

2。当点B 与点O 重合时，点P 到AB 的距离为2a ，然后顶点A 在x 轴正半轴上向左运动，顶点B 在y 轴正半轴上向上运动时，点P 到AB 的距离逐渐增大，当∠BAO =45°时，PA ⊥x 轴，这时点P 到AB 的距离最大为a 2

2，然后又逐渐减小到2a ，∵x 轴的正半轴、y 轴的正半轴都不包含原点O ，∴点P 到x 轴的距离的取值范围是

2a ＜h ≤a 22。 19. 【答案】证明：∵四边形ABCD 是菱形，

∴AD ∥BC ，OB =OD ，∴∠EDO =∠FBO ，∠OED =∠OFB ，∴△OED ≌△OFB ，

∴DE =BF ，又∵DE ∥BF ，∴四边形BEDF 是平行四边形，∵EF ⊥BD ，∴四边形BEDF 是菱形．

20．【答案】（1）如图甲，当t ＝1秒时，AE ＝2，EB ＝10，BF ＝4，FC ＝4，C G ＝2，由S ＝S 梯形E G C G －S EBF －S FC G ＝21(10＋2)×8－21×10×4－2

1×4×2＝24

(2)如图（甲），当0≤t≤2时，点E 、F 、G 分别在AB 、BC 、CD 上移动，此时AE ＝2t ，EB ＝12－2t ，BF ＝4t ，FC ＝8－4t ，S ＝8t 2－32t ＋48（0≤t≤2）

（3）如图乙，当点F 追上点G 时，4t ＝2t ＝8，解得t ＝4，当2＜t≤4时，CF ＝4t －8，C G ＝2t ，F G ＝C G －CF ＝8－2t ，即S ＝－8t ＋32(2＜t≤4)，

(3)如图（甲），当点F 在矩形的边BC 上移动时，0≤t≤2，在EFF 和FC G 中，B ＝C ＝90，，①若CG

BF FC EB =，即t t 4212=-，解得t ＝2，又t ＝2满足0≤t≤2，所以当t ＝2时△EBF ∽△G CF ②若BF EB =，即

t t t t 4842212-=-，解得t ＝23，又t ＝23满足0≤t≤2，所以当t ＝23时△EBF ∽△G CF ，综上知，当t ＝32或2

3时，以点E 、B 、F 为顶点的三角形与以F 、C 、G 为顶点的三角形相似 21.【解】（1）∵四边形ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD .∵PF ⊥BD ，∴PF //AC ，同理PE //BD .

∴四边形PFOE 为矩形，故PE =OF .又∵∠PBF =45°，∴PF =BF .

∴PE +PF =OF +FB =OB =2

cos 452a a ?=.

（2）∵四边形ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD .∵PF ⊥BD ，∴PF //AC ，同理PE //BD .

∴四边形PFOE 为矩形，故PE =OF .又∵∠PBF =45°，∴PF =BF .

∴PE －PF =OF －BF = OB =2

cos 452a a ?=.

22.证明：∵ABCD 是菱形，∠ABC = 60°∴BC=AC=AD 又∵DE ∥AC ∴ACED 为平行四边形

∴CE=AD=BC DE=AC ∴DE=CE=BC ∴DE =12

BE 23. 【答案】证明：⑴∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD,AB=CD ．∴∠ABF=∠ECF.

∵EC=DC, ∴AB=EC ．

在△ABF 和△ECF 中，∵∠ABF=∠ECF ，∠AFB=∠EFC ，AB=EC ，

∴⊿ABF ≌⊿ECF ．

（2）解法一：∵AB=EC ，AB ∥EC ，∴四边形ABEC 是平行四边形．∴AF=EF ， BF=CF ． ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠ABC=∠D ，又∵∠AFC=2∠D ，∴∠AFC=2∠ABC ．

∵∠AFC=∠ABF+∠BAF ，∴∠ABF=∠BAF ．∴FA=FB ．

∴FA=FE=FB=FC, ∴AE=BC ．∴□ABEC 是矩形．

解法二：∵AB=EC ，AB ∥EC ，∴四边形ABEC 是平行四边形．

∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠D=∠BCE ．

又∵∠AFC=2∠D ，∴∠AFC=2∠BCE ，

∵∠AFC=∠FCE+∠FEC ，∴∠FCE=∠FEC ．∴∠D=∠FEC ．∴AE=AD ．

又∵CE=DC ，∴AC ⊥DE ．即∠ACE=90°．

∴□ABEC 是矩形．

24. 【答案】（1）AE ′＝BF

证明：如图2，∵在正方形ABCD 中， AC ⊥BD ∴∠''F OE ＝∠AOD ＝∠AOB ＝90°

即∠AO E ′＋∠AOF ′＝∠BOF ′＋∠AOF ′∴∠AOE ′＝∠BOF ′

又∵OA ＝OB ＝OD ，OE ′＝2OD ，OF ′＝2OA ∴OE ′＝OF ′∴△OAE ′≌△OBF ′∴AE ′＝BF

（2）作△AOE ′的中线AM ，如图3. 则OE ′＝2OM ＝2OD ＝2OA ∴OA ＝OM

∵α＝30° ∴∠AOM ＝60° ∴△AOM 为等边三角形∴ MA ＝MO ＝ME ′，∠'AE M ＝∠'E AM

又∵∠'AE M ＋∠'E AM ＝∠AMO 即2∠'AE M ＝60°∴∠'AE M ＝30°∴∠'AE M ＋∠AOE ′＝30°＋60°＝90°∴△AOE ′为直角三角形.

25. 【解】（1）证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠BCA ，∴∠EAC ＝∠B ＋∠BCA ＝2∠B ，

∵AD 平分∠FAC ，∴∠FAD ＝∠B ，∴AD ∥BC ，∴∠D ＝∠DCE ，∵CD 平分∠ACE ，

∴∠ACD ＝∠DCE ，∴∠D ＝∠ACD ， ∴AC ＝AD ；

（2）证明：∵∠B ＝60°，∴∠ACB ＝60°，∠FAC ＝∠ACE ＝120°，

∴∠DCE ＝∠B ＝60°，∵AD ∥BC ，∴四边形ABCD 为平行四边形，

又由（1）知AC ＝AD ，∴AB ＝AD ，∴四边形ABCD 是菱形．

26.（1）证明：∵∠GEB ＋∠BEF ＝90°，∠DEF ＋∠BEF ＝90°，∴∠DEF ＝GEB ，

又∵ED ＝BE ，∴Rt △FED ≌Rt △GEB ， ∴EF ＝EG ．

(2)成立．证明：如图，过点E 分别作BC 、CD 的垂线，垂足分别为H 、I ，

则EH ＝EI ，∠HEI ＝90°， ∵∠GEH ＋∠HEF ＝90°，∠IEF ＋∠HEF ＝90°，

∴∠IEF ＝∠GEH ，∴Rt △FEI ≌Rt △GEH,∴EF ＝EG ．

(3)解：如图，过点E 分别作BC 、CD 的垂线，垂足分别为M 、N ，

则∠MEN ＝90°，EM ∥AB ，EN ∥AD, ∴AB EM ＝CA CE ＝AD

EN ， ∴EN

EM ＝AD AB ＝b a , ∵∠GEM ＋∠MEF ＝90°，∠FEN ＋∠MEF ＝90°， ∴∠FEN ＝∠GEM ，∴Rt △FEN ∽Rt △GEM, ∴EG EF ＝EM

EN ＝a b ． 27. 【答案】（1）连接BD ．∵DE ⊥BC ，EF =DE ，∴BD =BF ，CD =CF ．

∵在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB =DC ，∴四边形ABCD 是等腰梯形．∴BD =AC ．

∴AC =BF ，AB =CF ．∴四边形ABFC 是平行四边形．

（2）∵DE 2 =BE ·CE ，EF =DE ，∴EF 2 =BE ·CE ．∴EF CE BE EF

．又∵DE ⊥BC ，∴∠CEF =∠FEB =90°．∴△CEF ∽△FEB ．∴∠CFE =∠FBE ．

∵∠FBE +∠BFE =90°，∴∠CFE +∠BFE =90°．即∠BFC =90°．

由（1）知四边形ABFC 是平行四边形，∴证四边形ABFC 是矩形．

28. 【答案】

证明：∵四边形ABCD 为矩形 ∴OA=OB=OC=OD AB=CD ∵AE=DF ∴OE=OF

F E

B A

在ΔBOE 与ΔCOF 中， ??

???=∠=∠=OF OE COF BOE OC OB ∴ΔBOE ≌ΔCOF(SAS) ∴BE=CF

29. 【解】(1) 假设当m =10时，存在点P 使得点Q 与点C 重合（如下图），

∵PQ ⊥PD ∴∠DPC =90°，∴∠APD ＋∠BPC =90°，

又∠ADP ＋∠APD =90°，∴∠BPC =∠ADP ，

又∠B =∠A =90°，∴△PBC ∽△DAP ，∴

PB BC DA AP =， ∴1044AP AP

-=，∴2AP =或8，∴存在点P 使得点Q 与点C 重合，出此时AP 的长2 或8． (2) 如下图，∵PQ ∥AC ，∴∠BPQ =∠BAC ，∵∠BPQ =∠ADP ，∴∠BAC =∠ADP ，又∠B =∠DAP =90°，∴△ABC ∽△DAP ，∴

AB BC DA AP =，即44m AP =，∴16AP m =．

∵PQ ∥AC ，∴∠BPQ =∠BAC ，∵∠B =∠B ，∴△PBQ ∽△ABC ，

PB BQ AB BC =，即164m BQ m m -=， ∴2

164BQ m =-． (3)由已知 PQ ⊥PD ，所以只有当DP =PQ 时，△PQD 为等腰三角形（如图），

∴∠BPQ =∠ADP ，又∠B =∠A =90°，∴△PBQ ≌△DAP ，∴PB =DA =4，AP =BQ =4m -，

∴以P 、Q 、C 、D 为顶点的四边形的面积S 与m 之间的函数关系式为：S 四边形PQCD = S 矩形ABCD －S △DAP －S △QBP =1122DA AB DA AP PB BQ ?-??-??=()()114444422

m m m -??--??-=16（4＜m ≤8）． 30.【答案】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ADC =∠BCD =90°，AD =BC ．

∵△CDE 是等边三角形，∴∠CDE =∠DCE =60°，DE =CE ． ∵∠ADC =∠BCD =90°，∠CDE =∠DCE =60°，∴∠ADE =∠BCE =30°．

∵AD =BC ，∠ADE =∠BCE ，DE =CE ，∴△ADE ≌△BCE ．

（2）∵△ADE ≌△BCE ，∴AE =BE ，∴∠BAE =∠ABE ．

∵∠BAE +∠DAE =90°，∠ABE +∠AFB =90°，∠BAE =∠ABE ，

∴∠DAE =∠AFB ．∵AD =CD =DE ，∴∠DAE =∠DEA ．∵∠ADE =30°，∴∠DAE =75°，∴∠AFB =75°．

31. 【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形 ∴CD ＝CB ，

∵AC 是正方形的对角线 ∴∠DCA ＝∠BCA 又 CE ＝ CE ∴△BEC ≌△DEC

(2）∵∠DEB ＝ 140?由△BEC ≌△DEC 可得∠DEC ＝∠BEC ＝140?÷2＝70?，

∴∠AEF ＝∠BEC ＝70?，又∵AC 是正方形的对角线， ∠DAB ＝90? ∴∠DAC ＝∠BAC ＝90?÷2＝45?，在△AEF 中，∠AFE ＝180?— 70?— 45?＝65?

∵四边形ABCD 是矩形 ∴ AO ＝OC ＝BO ＝OD ∴四边形OCED 是菱形．

（2）∵∠ACB ＝30° ∴∠DCO ＝ 90°— 30°＝ 60°又∵OD ＝ OC ， ∴△OCD 是等边三角形过D 作DF ⊥OC 于F ，则CF ＝

21OC ，设CF ＝x ，则OC ＝ 2x ，AC ＝4x 在Rt △DFC 中，tan 60°＝FC

DF ∴DF ＝FC ? tan 60°x 3= 由已知菱形OCED 的面积为38得OC ? DF ＝38，即3832=?x x ，

解得 x ＝2， ∴ AC ＝4?2＝8

33. 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形∴∠A ＝∠PBC ＝90°，AB ＝AD ，∴∠ADP ＋∠APD ＝90°∵∠DPE ＝90° ∴∠APD ＋∠EPB ＝90°∴∠ADP ＝∠EPB .

（2）过点E 作EG ⊥AB 交AB 的延长线于点G ，则∠EGP ＝∠A ＝90° ······ 3分

G P F E D C B A Q

P H

B C E F G N

又∵∠ADP ＝∠EPB ，PD ＝PE ，∴△PAD ≌△EGP 第35题图

∴EG ＝AP ，AD ＝AB ＝PG ，∴AP ＝EG ＝BG ∴∠CBE ＝∠EBG ＝45°.

（3）方法一：当2

1=AB AP 时，△PFE ∽△BFP . ∵∠ADP ＝∠FPB ，∠A ＝∠PBF ，∴△ADP ∽△BPF

设AD ＝AB ＝a ，则AP ＝PB ＝a 21，∴BF ＝BP ·a AD AP 4

1= ∴a AP AD PD 2522=+=，a BF PB PF 4

522=+=∴55==PF BF PD PB 又∵∠DPF ＝∠PBF ＝90°，∴△ADP ∽△BFP

方法二：假设△ADP ∽△BFP ，则PF

BF PD PB =.∵∠ADP ＝∠FPB ，∠A ＝∠PBF ，∴△ADP ∽△BPF ∴BF AP PF PD =，∴BF AP BF PB =∴PB ＝AP ， ∴当2

1=AB AP 时，△PFE ∽△BFP. ···· 10分 34.【答案】⑴EAF 、△EAF 、GF ．⑵DE+BF=EF ，理由如下：

假设∠BAD 的度数为m ，将△ADE 绕点A 顺时针旋转?m 得到△ABG ，此时AB 与AD 重合，由旋转可得：AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，

1113

21G E F D C

B A

（第34题）②解得图 A

D E

图 F