x
，则下列关系式恒成立的是 (A)
1
1112
2+>+y x (B) )1ln()1ln(2
2+>+y x (C) y x sin sin > (D) 33y x > ，排除A,B ，对于C ，sin x 是周期函数，排除C 。
6.直线x y 4=与曲线2
x y =在第一象限内围成的封闭图形的面积为
（A ）22（B ）24（C ）2（D ）4
7.为了研究某药厂的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为
舒张压/kPa
频率 / 组距0.360.240.160.0817
16
15
14
13
12
（A ）6 （B ）8 （C ） 12（D ）18
8.已知函数()12+-=x x f ,()kx x g =.若方程()()x g x f
=有两个不相等的实根，则实
数k 的取值范围是
（A ）），（21
0（B ）），（12
1（C ）），（21（D ）），（∞+2
9.已知y x,满足的约束条件?
?
?≥≤0,3-y -2x 0,
1-y -x 当目标函数0)b 0,by(a ax z >>+=在该约束
条件下取得最小值52时，2
2a b +的最小值为
（A ）5（B ）4（C ）5（D ）2
10.已知0b 0,a >>,椭圆1C 的方程为1x 2222=+b y a ，双曲线2C 的方程为1x 22
22=-b
y a ，1C 与
2C 的离心率之积为
2
3
，则2C 的渐近线方程为 （A ）02x =±y （B ）02=±y x （C ）02y x =±（D ）0y 2x =±
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，答案须填在题中横线上。
11.执行下面的程序框图，若输入的x 的值为1，
则输出的n 的值为 。
12.在ABC V 中，已知tan AB AC A ?=uu u r uu u r ，当6
A π
=时，ABC V 的面积为 。
13.三棱锥P ABC -中，,D E 分别为,PB PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，
P ABC -的体积为2V ，则
1
2
V V = 。
14.若4
6b ax x ??+ ??
?的展开式中3x 项的系数为20，则22
a b +的最小值为 。
15.已知函数()()y f x x R =∈，对函数()()y g x x I =∈，定义()g x 关于()f x 的“对称函数”为函数()()y h x x I =∈，()y h x =满足：对任意x I ∈，两个点()()()()
,,,x h x x g x 关于点()()
,x f x 对称，若()h x 是()24g x x =
-关于()3f x x b =+的“对称函数”，且
()()h x g x >恒成立，则实数b 的取值范围是
三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤。
16.（本小题满分12分）
B 1
C 1
D 1
A 1D
C
B M
A
已知向量()(),cos 2,sin 2,a m x b x n ==，函数()f x a b =?，且()y f x =的图像过 点,312π??
???和点2,23π??
- ???
. （I ）求,m n 的值；
（II ）将()y f x =的图像向左平移()0??π<<个单位后得到函数()y g x =的图像，若
()y g x =图像上各最高点到点()0,3的距离的最小值为1，求()y g x =的单调递增区间.
17.（本小题满分12分）
如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，60,DAB ∠=22AB CD ==，M 是线段AB 的中点. （I ）求证：111//C M A ADD 平面； （II ）若1CD 垂直于平面ABCD 且1=3CD ，求平面11C D M 和平面
ABCD 所成的角（锐角）的余弦值.
18.（本小题满分12分）
乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分.如图，甲上有两个不相交的区域,A B ，乙被划分为两个不相交的区域,C D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在C 上的概率为
15，在D 上的概率为3
5
.假设共有两次来球且落在,A B 上各一次，小明的两次回球互不影响.求：
（I ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； （II ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望.
B
A C
D
19.(本小题满分12分）
已知等差数列}{n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列。 （I ）求数列}{n a 的通项公式； （II ）令n b =,4)1(1
1
+--n n n a a n
求数列}{n b 的前n 项和n T 。
20.( 本小题满分13分）
设函数())ln 2
(2x x
k x e x f x +-=（k 为常数， 2.71828
e =是自然对数的底数）
（I ）当0k ≤时，求函数()f x 的单调区间；
（II ）若函数()f x 在()0,2内存在两个极值点，求k 的取值范围。
21.（本小题满分14分）
已知抛物线）＞0(2:2
p px y C =的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|FA FD =，当点A 的横坐标为3时，
ADF 为正三角形。
（I ）求C 的方程；
（II ）若直线l l //1，且1l 和C 有且只有一个公共点E ，
（i ）证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；
（ii ）ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由。
2014年全国统一高考（山东）理科数学试题 答案与解析
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。
1． 答案：D ；解析：
a i -与2bi +互为共轭复数，
()()22
2
2,124434a b a bi i i i i
∴==∴+=+=++=+
2．答案：C ；解析：
[][][)
12212132,0,21,41,3x x x x y x y A B -<∴-<-<∴-<<=∈∴∈∴?=Q Q
3．答案：C 解析：
()
2
2log 10x ->
2log 1x ∴>或2log 1x ∴<-
2x ∴> 或102
x ∴<>
。
4．答案：A
5.解析：
,01x y a a a x y
<<<∴>Q
6．答案：D ；解析：
34x x =Q ，()()()324422x x x x x x x -=-=+-Q
第一象限
()2
3
2
4
1428404
x x x
x -=-
=-=?
7．答案：C ；解析：
第一组与第二组频率之和为0.24+0.16=0.4
200.450÷=
500.3618
18612
?=-=
8．答案：B ；解析：
画出()f x 的图象最低点是()2,1，()g x kx =过原点和()2,1时斜率最小为
1
2
，斜率最大时()g x 的斜率与()1f x x =-的斜率一致。
9．答案：B ；解析：
10
230x y x y --≤??
--≥?
求得交点为()2,1，则225a b +=，即圆心()0,0到直线2250a b +-=的距离的平方2
2
25245??== ? ?
??
。
10．答案：A ；解析：
()222
2
1222222
222
44
2
44
124344
2
2
c a b e a a c a b e a a a b e e a b a b a -==
+==
-∴==∴=∴
=±
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，答案须填在题中横线上。
11．答案：3；解析：
根据判断条件0342
≤+-x x ，得31≤≤x ，
输入1=x
第一次判断后循环，11,21=+==+=n n x x 第二次判断后循环，21,31=+==+=n n x x 第三次判断后循环，31,41=+==+=n n x x 第四次判断不满足条件，退出循环，输出3=n
12．答案：
6
1
；解析： 由条件可知A A cb AC AB tan cos ==?， 当6
π
=A ，,32=
bc 6
1sin 21==?A bc S ABC
13．答案：
4
1
；解析： 分别过C E ,向平面做高21,h h ，由E 为PC 的中点得2
121=h h ， 由D 为PB 的中点得ABP ABD S S ??=21，所以4
13131:2121=?=?=??h S h S V V ABP ABD
14．答案：2；解析：
将6
2
)(x
b
ax +展开，得到r
r r r r x b a C T 312661--+=，令3,3312==-r r 得. 由203336=b a C ，得1=ab ，所以222
2
=≥+ab b a .
15．答案：102>b ；解析：
根据图像分析得，当b x x f +=3)(与24)(x x g -=在第二象限相切时，
102=b ，由)()(x g x h >恒成立得102>b
三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）已知x n x m b a x f 2cos 2sin )(+=?=，
)(x f 过点)2,3
2(
),3,12
(
-π
π
36cos 6sin )12(=+=∴π
ππn m f
23
4cos 34sin )32(-=+=πππn m f ??????
?-=--=+∴2
2
12332321n m 解得???==13n m
（Ⅱ）)6
2sin(22cos 2sin 3)(π
+
=+=x x x x f
)(x f 左移?后得到)6
22sin(2)(π
?+
+=x x g
设)(x g 的对称轴为0x x =，112
0=+=x d 解得00=x
2)0(=∴g ，解得6
π
?=
x x x x g 2cos 2)2
2sin(2)63
2sin(2)(=+=+
+
=∴π
π
π
z k k x k ∈≤≤+-∴,222πππ
z k k x k ∈≤≤+-
,2
πππ
)(x f ∴的单调增区间为z k k k ∈+-
],,2
[πππ
17.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）连接1AD
1111D C B A ABCD - 为四棱柱，11//D C CD ∴ 11D C CD =
又M 为AB 的中点，1=∴AM AM //CD ∴,AM CD =
11//D C AM ∴,11D C AM = 11D AMC ∴为平行四边形 11//MC AD ∴
又111ADD A M C 平面? 111A D D A AD 平面?
111//ADD A AD 平面∴
（Ⅱ）方法一：11//B A AB 1111//D C B A
共面与面1111D ABC M C D ∴
作AB CN ⊥,连接N D 1 则NC D 1∠即为所求二面角
在ABCD 中，
60,2,1=∠==DAB AB DC 2
3=
∴CN
在CN D Rt 1?中，31=CD ,23=CN 2
151=∴N D 方法二：作AB CP ⊥于p 点
以C 为原点，CD 为x 轴，CP 为y 轴，1CD 为z 轴建立空间坐标系，
)0,23
,21(),3,0,0(),3,0,1(11M D C -∴
)3,2
3
,21(),0,0,1(111-==∴M D D C
设平面M D C 11的法向量为),,(111z y x n =
???
??=-+=∴0323
2
101111z y x x )1,2,0(1=∴n 显然平面ABCD 的法向量为)0,0,1(2=n
55
5
1,cos 2
12121==
?>=
<∴n n n n n n 显然二面角为锐角，
所以平面M D C 11和平面ABCD 所成角的余弦值为
5
5
55
15
32
1523
cos 11====∠∴N D NC CN D
18.（本小题满分12分） 解：（I ）设恰有一次的落点在乙上这一事件为A
10
354615165)(=?+?=A P
（II ）643210，，，，，的可能取值为
ξ
101
5121)6(,301151315321)4(152
51615121)3(,515331)2(61
53615131)1(,3015161)0(=
?===?+?===
?+?===?===
?+?===?==ξξξξξξP P P P P P 的分布列为ξ∴
ξ
1
2
3
4
6
P
30
1
6
1
5
1 15
2 30
11 10
1
30
9110163011415235126113010)(=?+?+?+?+?+?
=∴ξE 其数学期望为
19.(本小题满分12分）
解：（I ）,64,2,,2141211d a S d a S a S d +=+===
412
2421,,S S S S S S =∴成等比
解得12,11-=∴=n a a n （II ）)1
21
121()1(4)
1(111
++--=-=-+-n n a a n b n n n n n
)
1
21
121()121321()7151()5131()311(++---+-+-+++-+=n n n n T n n 为偶数时，当1
221211+=+-=∴n n
n T n
)
1
21
121()121321()7151()5131()311(++-+-+---+++-+=n n n n T n n 为奇数时，当1
22
21211++=++=∴n n n T n
???????+++=∴为奇数为偶数n n n n n n
T n ,1
222,1
22
20.( 本小题满分13分）
()()()）。
的取值范围为（综上则）令（单调递增。时，当单调递减；时，当则令时，当）解：（2
e ,e e :e
k 1k ln 0k ln k e k ln g 2
e k 0k 2e 2g ,0k e )2(g 0
1)0(g ,0k 1)0(g k
ln x ,k e k e )x (g kx e x g 2)x (f ),2(x )x (f )2,0(x 2
x ,0)x (f 0
kx e 0,kx 0k )
0x (x )kx e )(2x ()x
1
x 2(k x xe 2x e )x (f 12
k ln 22
2
'
'x x
'
x 'x 3
x 2
4x 2x '
>∴>∴<-=<
∴>-=>-=>=<-===∴-=-=+∞∈∈∴==>-∴≤≤>--=+---?=
21.（本小题满分14分）
2
4),4(),2
,1(
104y 4
,)
0,1(),0,1(),,)(2418)
(1822
32-32120002002
2
002
000002-=
--=∴=????=+-=∴+-==
-=+=∴===∴+=y y k y y A y y E y b x y b x y C l b
x y y l y x y k l x D F y x A i x
y C C l p p p p
p AE 只有一个交点与的方程为设直线的斜率直线（设）（的方程为：意。只有一个交点，不合题与时，经检验直线当舍或：）由抛物线第二定义得解：（
