二次函数与一元二次方程(讲义及答案)
二次函数与一元二次方程（讲义）
课前预习
1.学习一次函数与二元一次方程（组）的关系时，有以下结论：两个一次函数交点的坐标即为对应的二元一次方程组的解．
如：已知方程组3302360y x y x -+=??+-=?的解为431
x y ?=???=?，则一次函数
y =3x -3与332
y x =-+的交点P 的坐标是________．请思考：一元二次方程20ax bx c ++=的根，可否看作是二次函数2y ax bx c =++与x 轴交点的横坐标，即方程组
20
y ax bx c y ?=++?=?的解中x 的值.2.两函数值比大小主要是借助数形结合，通过找交点、画直线、定左右来确定取值范围．比如：
（1）如图所示，函数y 1=|x |和21433
y x =+的图象相交于(-1，1)，(2，2)两点．当y 1＞y 2时，x 的取值范围是（）
A ．x ＜-1
B ．-1＜x ＜2
C ．x ＞2
D ．x ＜-1或x ＞
2（2）如图，函数11k y x =
与22y k x =的图象相交于点A (1，2)和点B ，当y 1＜y 2时，x 的取值范围是（）A ．x ＞1
B ．-1＜x ＜0
C ．-1＜x ＜0或x ＞1
D ．x ＜-1或0＜x ＜
1
知识点睛
___________是研究函数、方程、不等式等的一种重要手段．1.方程的根是对应的两个____________交点的___________．特别地，一元二次方程ax 2+bx +c =0的根是二次函数________的图象与________交点的横坐标，当0Δ>时，二次函数图象与x 轴有________个交点；当0Δ=时，与x 轴有_____个交点；当<0Δ时，与x 轴______交点．
2.函数间求交点坐标，函数值比大小等问题通常是借助数形结合，以构造的方法将函数问题转化为方程问题解决． 精讲精练
1.如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴分别交于A (-1，0)，B (3，0)两点，与y 轴交于点C (0，-3)，一次函数3y x =-的图象与抛物线交于B ，C 两点．（1）一元二次方程ax 2+bx +c =0的根为______________．当ax 2+bx +c ＞0时，x 的取值范围为______________．当ax 2+bx +c ≤0时，x 的取值范围为______________．（2）方程23ax bx c x ++=-的根为_______________．当___________时，一次函数值大于二次函数值．
（3）该二次函数的表达式为__________________．
2.（1）一元二次方程-x 2+8x -12=3的根为_____________，直
线y =3与抛物线y =-x 2+8x -12的交点坐标为________，不等式-x 2+8x -12＞3的解集为_______________．
（2）直线y =2x -1与抛物线y =x 2-x +1的交点坐标为________，不等式x 2-x +1≥2x -1的解集为_________________．
（3）若二次函数的图象经过点A (4，0)，B (-2，0)，C (0，4)，则该二次函数的表达式为________________．
3.已知二次函数22y x x m =++的图象C 1与x 轴有且只有一个交点，则m 的值为______；若二次函数22y x x m =++的图象与坐标轴有三个交点，则m 的取值范围为_________；若22y x x m =++的函数值总为正数，则图象顶点在第____象限，m 的取值范围是_________．
4.若二次函数2(1)2y m x x =-+的图象与直线1y x =-没有交点，则m 的取值范围是________
．
求两个函数的交点坐标就是求对应方程组的解．
5.如图，二次函数2y ax bx =+与反比例函数k y x
=-的图象交于一点P ，那么关于x 的方程20k ax bx x
++=的解为________；若一元二次方程20ax bx m ++=有实数根，则m 的取值范围为__________．
6.用“描点法”画二次函数2y ax bx c =++的图象时，列了如下
表格：x
…-2-1012…y …3430-5…根据表格上的信息回答问题：一元二次方程25ax bx c ++=-的解为_____________．
7.设一元二次方程(1)(2)x x m --=（0m >）的两根分别为α，
β，且αβ<，则α，β满足（
）A ．12
αβ<<
αβ<<
于A (x 1，0)，B (x 2，0)两点，且12x x <，则实数x 1，x 2，m ，n 的大小关系为_______________________．
9.若关于x 的一元二次方程(2)(3)x x m --=有实数根12x x ，，
且12x x ≠，有下列结论：①1223x x ==，；②14
m >-；③二次函数12()()y x x x x m =--+的图象与x 轴交点的坐标为(2，
0)和(3，0)．其中正确的是__________．
10.已知抛物线y =x 2-(4m +1)x +2m -1与x 轴交于两点，如果有一
个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，并且抛
物线与y 轴的交点在点(0，12
-)的下方，那么m 的取值范围是_____________．
11.已知抛物线y =x 2+bx +c 的对称轴为直线x =1，若关于x 的一元
二次方程x 2-bx -c =0在-3＜x ＜2的范围内有解，则c 的取值范围是（
）A ．c ≥-1B ．-1≤c ＜3C ．3＜c ＜8D ．-1≤c ＜812.函数2y x x m =-+（0m >）的图象如图所示，如果x a =时
0y <，那么1x a =-时，函数值（）
A ．0
y D ．y m
=13.已知二次函数215
y x x =-+-，当自变量x 取m 时，对应的函数值大于0，当自变量x 分别取m -1，m +1时，对应的函数值分别为y 1，y 2，则y 1_____0，y 2_____0．（选填“＞”“＜”）
14.已知二次函数2y x bx c =++，当x ≤1时，总有y ≥0，当1≤x ≤3
时，总有y ≤0，那么c 的取值范围是_______________．
【参考答案】 课前预习1.
4(1)3，；可以．2.（1）D （2）C 知识点睛数形结合
1.
函数图象；横坐标；y =ax 2+bx +c ；x 轴；两；一；无 精讲精练
1.（1）x 1=-1，x 2=3；x ＜-1或x ＞3；-1≤x ≤3；
（2）x 1=0，x 2=3；0＜x ＜3；（3）y =x 2-2x -32.（1）x 1=3，x 2=5；(3，3)，(5，3)；3＜x ＜5；（2）(1，1)，(2，3)；x ≤1或x ≥2；
（3）2142
y x x =-++3.1；m ＜1且m ≠0；二；m ＞14.5
4
m >5.143
x =-；m ≤36.x 1=2，x 2=-47.D
8.m ＜x 1＜x 2＜n 9.②③10.1164
m <<11.D
12.C
13.＜；＜
14.
c ≥3