同济大学(高等数学)_第六篇_多元微积分学

第六篇 多元微积分学

第九章 多元函数微分学及其应用

我们以前学习的函数只有一个自变量，这种函数我们称为一元函数．一元函数的微积分解决了很多初等数学无法解决的问题．但是，在实际问题中往往牵扯到多方面的因素，解决这类问题必须引进多元函数．本章将在一元函数微分学的基础上，讨论多元函数的微分及其应用．从一元函数的情形推广到二元函数时会产生一些新的问题，而从二元函数推广到二元以上的多元函数则可以类推．通过本章的学习，学生要掌握多元函数微分学的基本原理以及解决几何、经济与管理、工程等领域的实际问题的具体方法.

第1节 多元函数的基本概念

1.1 平面点集

为了介绍二元函数的概念，有必要介绍一些关于平面点集的知识，在一元函数微积分中，区间的概念是很重要的，大部分问题是在区间上讨论的．在平面上，与区间这一概念相对应的概念是邻域．

1.1.1 邻域

设000(,)P x y 是xOy 平面上的一定点，δ是某一正数，与点000(,)P x y 的距离小于δ的点(,)P x y 的全体，称为点000(,)P x y 的

δ邻域，记为0(,)δU P ，即 {}

00(,)U P P P P δδ=<,

亦即 {

}

0(,)(,U P x y δδ=<．

0(,)δU P 在几何上表示以000(,)P x y 为中心，

δ为半径的圆的内部(不含圆周)． 上述邻域0(,)δU P 去掉中心000(,)P x y 后，称为000(,)P x y 的去心邻域，记作o

0(,)U P

δ． {}

o

0(,)(,)0U P x y δδ=<<.

如果不需要强调邻域的半径δ，则用0()U P 表示点000(,)P x y 的邻域，用o

0()U P

表示000(,)P x y 的去心邻域．

1.1.2 区域

下面用邻域来描述平面上的点与点集之间的关系．

设E 是xOy 平面上的一个点集，P 是xOy 平面上的一点，则P 与E 的关系有以下三种情形：

(1) 内点：如果存在P 的某个邻域()U P ，使得()?U P E ，则称点P 为E 的内点．

(2) 外点：如果存在P 的某个邻域()U P ，使得()=? U P E ，则称P 为E 的外点． (3) 边界点：如果在点P 的任何邻域内，既有属于E 的点，也有不属于E 的点，则称点P 为E 的边界点．E 的边界点的集合称为E 的边界，记作?E ．

例如：点集(){}2

21,|01=

<+

y ，除圆心与圆周上各点之外圆的内部的点都是

1E 的内点，圆外部的点都是1E 的外点，圆心及圆周上的点为1E 的边界点；又如平面点集

(){}2,|1=+≥E x y x y ，直线上方的点都是2E 的内点，直线下方的点都是2E 的外点，直

线上的点都是2E 的边界点(图9—1)．

图9—1 显然，点集E 的内点一定属于E ；点集E 的外点一定不属于E ；E 的边界点可能属于E ，也可能不属于E ．

如果点集E 的每一点都是E 的内点，则称E 为开集，点集(){}

2

21,|01=<+

y 是开集，(){}2,|1=

+≥E x y x y 不是开集．

设E 是开集，如果对于E 中的任何两点，都可用完全含于E 的折线连接起来，则称开集E 是连通集(图9—2) ．点集E 1和E 2都是连通的，点集(){}3,|0=>E x y xy 不是连通的

(图9—2)．

图9—2

连通的开集称为开区域(开域)．

从几何上看，开区域是连成一片的且不包括边界的平面点集．如E 1是开区域．开区域是数轴上的开区间这一概念在平面上的推广．

开区域E 连同它的边界E ?构成的点集，称为闭区域(闭域)，记作E (即=E E E +?)． 闭区域是数轴上的闭区间这一概念在平面上的推广．如E 2及(){}

2

24,|1=+≤E x y x

y 都是闭域，而(){}2

25,|12=

≤+

y 既非闭域，又非开域．闭域是连成一片的且包

含边界的平面点集．

本书把开区域与闭区域统称为区域．

如果区域E 可包含在以原点为中心的某个圆内，即存在正数r ，使(),E U O r ?，则称E 为有界区域，否则，称E 为无界区域．例如E 1是有界区域，E 2是无界区域．

记E 是平面上的一个点集，P 是平面上的一个点．如果点P 的任一邻域内总有无限多个点属于点集E ，则称P 为E 的聚点．显然，E 的内点一定是E 的聚点，此外，E 的边界点也可能是E 的聚点．例如，设(){}2

26,|01=

<+≤E x y x

y ，那么点()0,0既是6E 的边界

点又是6E 的聚点，但6E 的这个聚点不属于6E ；又如，圆周2

2

1x y +=上的每个点既是6E 的边界点，也是6E 的聚点，而这些聚点都属于6E ．由此可见，点集E 的聚点可以属于E ，也可以不属于E ．再如点()7111111=1,1(,)(,),,(

),2233

，，E n n ?

?

???

?

，原点()0,0是它的聚点，7E 中的每一个点都不是聚点．

1.1.3 n 维空间R n

一般地，由n 元有序实数组()12,,,n x x x 的全体组成的集合称为n 维空间，记作R n ．即

(){}12,,,|,1,2,,n n i R x x x x R i n =∈= ．

n 元有序数组()12,,,n x x x 称为n 维空间中的一个点，数x i 称为该点的第i 个坐标．

类似地规定，n 维空间中任意两点()12,,,n P x x x 与()12,,,n Q x x x 之间的距离为

PQ =

前面关于平面点集的一系列概念，均可推广到n 维空间中去，例如，0

∈n

P R ，δ是某一正数，则点0P 的δ邻域为

(){}00|,,n U P P PP P R δδ=<∈．

以邻域为基础，还可以定义n 维空间中内点、边界点、区域等一系列概念．

1.2 多元函数的概念 1.

2.1 n 元函数的定义

定义1 设D 是n

R 中的一个非空点集，如果存在一个对应法则f , 使得对于D 中的每一个点()12,,,n P x x x ，都能由f 唯一地确定一个实数y ，则称f 为定义在D 上的n 元函数，记为

()()1212,,,,,,,n n y f x x x x x x D =∈ ．

其中12,,,n x x x 叫做自变量，y 叫做因变量，点集D 叫做函数的定义域，常记作()D f ．

取定()12,,,n x x x D ∈ ，对应的()12,,,n f x x x 叫做()12,,,n x x x 所对应的函数值．全体函数值的集合叫做函数f 的值域，常记为()f D ［或()R f ］，即

()()()(){}1212|,,,,,,,n n f D y y f x x x x x x D f ==∈ ．

当n =1时，D 为实数轴上的一个点集，可得一元函数的定义，即一元函数一般记作

(),,y f x x D D R =∈?；当n =2时，D 为xOy 平面上的一个点集，可得二元函数的定义，

即二元函数一般记作()()2

,,,,z f x y x y D D R =∈?，若记(),P x y =，则也记作

()z f P =．

二元及二元以上的函数统称为多元函数．多元函数的概念与一元函数一样，包含对应法则和定义域这两个要素．

多元函数的定义域的求法，与一元函数类似．若函数的自变量具有某种实际意义，则根据它的实际意义来决定其取值范围，从而确定函数的定义域. 对一般的用解析式表示的函数，使表达式有意义的自变量的取值范围，就是函数的定义域．

例1 在生产中，设产量Y 与投入资金K 和劳动力L 之间的关系为

Y AK L αβ=（其中,,A αβ均为正常数)．

这是以K ，L 为自变量的二元函数，在西方经济学中称为生产函数．该函数的定义域为

(){},|0,0K L K L >>．

例2 求函数(

)ln z y x =-D ，并画出D 的图形．

解 要使函数的解析式有意义，必须满足

220,0,10,y x x x y ->??

≥?

?-->?

即(){}2

2,|0,,1D x y x x y x

y =

≥<+<,如图9—3划斜线的部分．

图9—3 图9—4

1.2.2. 二元函数的几何表示

设函数(),=z f x y 的定义域为平面区域D ，对于D 中的任意一点(),P x y ，对应一确定的函数值()()

,=z z f x y ．这样便得到一个三元有序数组(),,x y z ，相应地在空间可得到一点(),,M x y z ．当点P 在D 内变动时，相应的点M 就在空间中变动，当点P 取遍整个定义域D 时，点M 就在空间描绘出一张曲面S (图9—4)．其中

()()(){},,|,,,S x y z z f x y x y D ==∈．

而函数的定义域D 就是曲面S 在xO y 面上的投影区域．

例如z ax by c =++表示一平面；z =1的上半

球面．

1.3二元函数的极限

二元函数的极限概念是一元函数极限概念的推广．二元函数的极限可表述为

定义1 设二元函数()z f P =的定义域是某平面区域D ，P 0为D 的一个聚点，当D 中的点P 以任何方式无限趋于Ｐ0时，函数值f (P )无限趋于某一常数A ，则称A 是函数()f P 当P 趋于P 0时的(二重)极限．记为

lim ()P P f P A →=或()0()f P A P P →→，

此时也称当0→P P 时()f P 的极限存在， 否则称()f P 的极限不存在．若0P 点的坐标为00(,)x y ，P 点的坐标为(),x y ，则上式又可写为

()()

00,lim (,),→=x y x y f x y A 或 f (x , y )→A （x →x ０，y →y ０）

． 类似于一元函数，()f P 无限趋于A 可用()f P A ε-<来刻画，点(),P P x y =无限

趋于0000(,)P P x y =可用0

P P δ=刻画，因此，二元函数的极限也

可如下定义．

定义2 设二元函数()(,)z f P f x y ==的定义域为D ，000(,)P x y 是D 的一个聚点，A 为常数．若对任给的正数ε，不论ε多小，总存在0δ>，当(,)P x y D ∈，

且

0P P δ=<时，总有

(),f P A ε-<

则称A 为()z f P =当0P P →时的(二重)极限．

注 ①定义中要求0P 是定义域D 的聚点，

是为了保证在P 0的任何邻域内都有D 中的点． ②注意到平面上的点P 趋近于0P 的方式可以多种多样：P 可以从四面八方趋于0P ，也可以沿曲线或点列趋于0P ．定义1指出：只有当P 以任何方式趋近于0P ，相应的()f P 都

趋近于同一常数A 时，才称A 为()f P 当0P P →时的极限．如果(,)P x y 以某些特殊方式(如沿某几条直线或几条曲线)趋于000(,)P x y 时，即使函数值()f P 趋于同一常数A ，我们也不能由此断定函数的极限存在．但是反过来，当P 在D 内沿不同的路径趋于0P 时，()f P 趋于不同的值，则可以断定函数的极限不存在．

③二元函数极限有与一元函数极限相似的运算性质和法则，这里不再一一叙述．

例3 设22

22

22,0,(,)0,0,xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=?

判断极限()()

,0,0lim (,)→x y f x y 是否存在?

解 当(,)P x y 沿x 轴趋于(0,0)时，有y =0，于是

()()

22

,0,00

lim (,)lim

00→→===+x y x y f x y x ；

当(,)P x y 沿y 轴趋于(0,0)时，有x =0，于是

()()

22

,0,000

lim (,)lim

00→→===+x y y x f x y y ．

但不能因为(,)P x y 以上述两种特殊方式趋于(0,0)时的极限存在且相等，就断定所考察的二重极限存在．

因为当(,)P x y 沿直线()0=≠y kx k )趋于(0,0)时，有

()()

2222,0,00lim

(,)lim (1)1→→===++x y x y kx

kx k

f x y k x k

， 这个极限值随k 不同而变化，故()()

,0,0lim (,)→x y f x y 不存在．

例4 求下列函数的极限：

(1) ()(

,0,0lim →x y ；(2)

()()2

22

,0,0lim

→+x y xy x y ； (3)()(

,0,0ln 1lim →+x y xy 解 (1)

(

)()()(

()(,0,0,0,0,0,01

lim

lim lim 4→→→==-=-x y x y x y ．

(2)当0,0→→x y 时，220x y +≠，有22

2x y xy +≥．

这时，函数

22

xy

x y +有界，而y 是当x →0且y →0时的无穷小，根据无穷小量与有界函

数的乘积仍为无穷小量，得

()()2

22

,0,0lim 0→=+x y xy x y ． (3)

()(

(

)((

)(,0,0,0,0,0,0ln 1lim

lim

lim

1→→→+=

=

=x y x y x y xy ．

从例4可看到求二元函数极限的很多方法与一元函数相同．

1.4 二元函数的连续性

类似于一元函数的连续性定义，我们用二元函数的极限概念来定义二元函数的连续性． 定义3 设二元函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某邻域内有定义，如果

()()

()00,0,0lim

.(,)→=x y f x y f x y ,

则称函数(,)f x y 在点000(,)P x y 处连续，000(,)P x y 称为(,)f x y 的连续点；否则称(,)f x y 在000(,)P x y 处间断(不连续)，000(,)P x y 称为(,)f x y 的间断点．

与一元函数相仿，二元函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处连续，必须满足三个条件：①函数在点000(,)P x y 有定义；②函数在000(,)P x y 处的极限存在；③函数在000(,)P x y 处的极限与000(,)P x y 处的函数值相等，只要三条中有一条不满足，函数在000(,)P x y 处就不连续．

由例3可知，2222

22,0,(,)0,0,

xy

x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=?

在(0,0)处间断；函数1z x y =+在直线

0x y +=上每一点处间断．

如果(,)f x y 在平面区域D 内每一点处都连续，则称(,)f x y 在区域D 内连续，也称

(,)f x y 是D 内的连续函数，记为()(,)f x y C D ∈．在区域D 上连续函数的图形是一张既

没有“洞”也没有“裂缝”的曲面．

一元函数中关于极限的运算法则对于多元函数仍适用，故二元连续函数经过四则运算后仍为二元连续函数(在商的情形要求分母不为零)；二元连续函数的复合函数也是连续函数．

与一元初等函数类似，二元初等函数是可用含,x y 的一个解析式所表示的函数，而这个式子是由常数、x 的基本初等函数、y 的基本初等函数经过有限次四则运算及复合所构成的，例如()sin x y +,

22xy x y +,arcsin x

y

等都是二元初等函数．二元初等函数在其定义域的区域

内处处连续．

与闭区间上一元连续函数的性质相类似，有界闭区域上的连续函数有如下性质．

性质1(最值定理) 若(,)f x y 在有界闭区域D 上连续，则(,)f x y 在D 上必取得最大值与最小值．

推论 若(,)f x y 在有界闭区域D 上连续，则(,)f x y 在D 上有界．

性质2 (介值定理) 若(,)f x y 在有界闭区域D 上连续，M 和m 分别是(,)f x y 在D 上的最大值与最小值，则对于介于M 与m 之间的任意一个数C ，必存在一点00(,)x y D ∈,使得00(,)f x y C =．

以上关于二元函数的极限与连续性的概念及有界闭区域上连续函数的性质，可类推到三元以上的函数中去．

习题9—1

1．判断下列平面点集哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点组成的点集和边界.

(1) (){},|0,0≠≠x y x y ； (2) (){}2

2,|14<+≤x y x

y ；

(3)

(){}2

,|>x y y x ．

2．求下列函数的定义域，并画出其示意图：

(1)z =； (2)1ln()z x y =-；

(3)=

z

(4)=u ．

3．设函数()32,23f x y x xy y =-+，求 (1)()2,3f -; (2)12,

f x y ??

???

； (3) (),f x y x y +-. 4．讨论下列函数在点()0,0处的极限是否存在： (1) 24

xy z x y

=

+； (2)x y

z x y +=-． 5．求下列极限： (1)

()(),0,0sin lim

→x y xy x ； (2)()()22,0,11lim →-+x y xy

x y ；

(3)

()(

,1,0ln lim

→+y x y x e ； (4)

(

)()

,0,0lim

→x y ．

6．证明：二元函数()22

220,,0,0.+≠=+=?

x y f x y x y 在()0,0点连续．

7．设二元函数()()11sin sin ,0,,0,0.?

+≠?

=??=?

x y xy x y f x y xy ，试判断(),f x y 在点()0,0处

的连续性．

8．函数2222+=-y x

z y x

在何处是间断的？

第2节 偏导数与全微分

2.1 偏导数的概念 2.1.1 偏导数的定义 在研究一元函数时，我们从研究函数的变化率引入了导数概念．由于二元函数的自变量有两个，关于某点处函数的变化率问题相当复杂，因此我们不能笼统地讲二元函数在某点的变化率．在这一节，我们考虑二元函数关于某一个自变量的变化率，这就是偏导数的概念．

设函数(),z f x y =在点()00,x y 的某邻域内有定义，x 在0x 有改变量()0x x ??≠，而

0y y =保持不变，这时函数的改变量为

()()0000,,x z f x x y f x y ?=+- ，

x z ?称为函数(),f x y 在()00,x y 处关于x 的偏改变量(或偏增量)．类似地可定义(),f x y 关于y 的偏增量为

()()0000,,y z f x y y f x y ?=+- ．

有了偏增量的概念，下面给出偏导数的定义．

定义1 设函数(),z f x y =在()00,x y 的某邻域内有定义，如果

000000(,)(,)

lim

lim x x x z f x x y f x y x x ?→?→?+?-=??

存在，则称此极限值为函数(),z f x y =在()00,x y 处关于x 的偏导数,并称函数(),z f x y =在点()00,x y 处关于x 可偏导．记作

0000

00,

,,(,).======????x x x x y y y y x x x

y y x z

f z f x y x

x

类似地，可定义函数(),z f x y =在点()00,x y 处关于自变量y 的偏导数为

00000

(,)(,)

lim

lim

y y y z f x y y f x y y

y

?→?→?+?-=??，

记作

0000

00,

,,(,).======????x x x x y y y y x x y

y y y z f z f x y y

y

如果函数(),z f x y =在区域D 内每一点(),x y 处的偏导数都存在，即

(,)(,)

(,)lim

x x f x x y f x y f x y x

?→+?-=?

(,)(,)

(,)lim

y y f x y y f x y f x y y

?→+?-=?

存在，则上述两个偏导数还是关于x ，y 的二元函数，分别称为z 对x ，y 的偏导函数(简称为偏导数)．并记作

,,,(,)(,)或或或，????????x y x y z z f f

z z f x y f x y x y x y

． 不难看出，(),z f x y =在()00,x y 关于x 的偏导数00(,)x f x y 就是偏导函数(,)x f x y 在

()00,x y 处的函数值，而00(,)y f x y 就是偏导函数(,)y f x y 在()00,x y 处的函数值．

由于偏导数是将二元函数中的一个自变量固定不变，只让另一个自变量变化，相应的偏增量与另一个自变量的增量的比值的极限；因此，求偏导数问题仍然是求一元函数的导数问题．求

f x ??时，把y 看做常量，将(),z f x y =看做x 的一元函数对x 求导；求f

y

??时，把x 看做常量，将(),z f x y =看做y 的一元函数对y 求导．

三元及三元以上的多元函数的偏导数，完全可以类似地定义和计算，这里就不讨论了． 例1 求函数()sin +xy

z x y e =在点()1,1-处的偏导数．

解 将y 看成常量，对x 求导得

e [cos()sin()]xy z

x y y x y x

?=+++?； 将x 看成常量，对y 求导得

e [cos()sin()]xy z

x y x x y y

?=+++?． 再将1,1x y ==-代入上式得

11111

1

e ,

e x x y y z z x

y

--===-=-??==??．

例2 求函数2

2

ln 4z x y y x =++的偏导数．

解

22z y xy x x

?=+?，22ln z

x y x y ?=+?． 例3 设()0,1y

z x

x x =>≠，求证：

12ln x z z

z y x x y

??+=?? ．

证 因为

1y z yx x -?=?，ln y z x x y

?=?， 所以

111ln 2ln ln y y

y y x z z x yx x x x x z y x x y y x

-??+=+=+=?? ． 例4 求函数()

2sin x

u x y e =+-的偏导数．

解 将y 和z 看做常量，对x 求导得

()2cos z u

x y e x

?=+-?， 同样可得

()22cos x u

y x y e y

?=+-?，()2cos z z u e x y e z ?=-+-?． 2.1.2 二元函数偏导数的几何意义

由于偏导数实质上就是一元函数的导数，而一元函数的导数在几何上表示曲线上切线的斜率，因此，二元函数的偏导数也有类似的几何意义．

设(),z f x y =在点()00,x y 处的偏导数存在，由于00(,)x f x y 就是一元函数()0,f x y 在0x 处的导数值，即00(,)x f x y ＝0

0d (,)d x x f x y x =??

?

???，故只须弄清楚一元函数()0,f x y 的几何意义，再根据一元函数的导数的几何意义，就可以得到00(,)x f x y 的几何意义．(),z f x y =在几何上表示一曲面，过点()00,x y 作平行于xz 面的平面0y y =，该平面与曲面(),z f x y =相截得到截线

1Γ：0(,),

.

z f x y y y =??

=? 若将0y y =代入第一个方程，得()0,z f x y =．可见截线Γ１是平面0y y =上一条平面曲线，1Γ在0y y =上的方程就是()0,z f x y =．

从而00(,)x f x y ＝0

0d (,)d x x f x y x =??

????表示1

Γ在点()()

000001,,,M x y f x y Γ=∈处的切线对x 轴的斜率(图9-5)．

同理，00(,)y f x y ＝0

0d (,)d y y f x y y =??

?

???表示平面0x x =与(),z f x y =的截线 2Γ：0(,),

.

z f x y x x =??

=?

在()()

000002,,,M x y f x y Γ=∈处的切线对y 轴的斜率(图9—5)．

图9—5

例5 讨论函数

2222

22,0,(,)0,0,xy

x y x y

f x y x y ?+≠?+=??+=?

在点(0,0)处的两个偏导数是否存在．

解 0(0,0)(0,0)(0,0)l i m x x f x f f x

?→+?-=

?22

0(0)0

(0)0lim 0x x x x ?→+?-+?+==? ． 同样有(0,0)0=y f ．这表明(),f x y 在(0,0)处对x 和对y 的偏导数存在，即在(0,0)处两个偏导数都存在．

由上节例3知：该函数在(0,0)处不连续．本例指出，对于二元函数而言，函数在某点的偏导数存在，不能保证函数在该点连续．但在一元函数中，我们有结论：可导必连续．这并不奇怪，因为偏导数只刻画函数沿x 轴与y 轴方向的变化率，00(,)x f x y 存在，只能保证一元函数()0,f x y 在x 0处连续，即0y y =与(),z f x y =的截线1Γ在()0000,,M x y z 处连续．同时00(,)y f x y 只能保证

2Γ在()0000,,M x y z 处连续，但两曲线1Γ,2Γ在

()0000,,M x y z 处连续并不能保证曲面(),z f x y =在()0000,,M x y z 处连续．

2.2 高阶偏导数

设函数(),z f x y =在区域D 内具有偏导数

z x ??=(,)x f x y ,

(,)?=?y z

f x y y

,那么在D 内(,)x f x y 及(,)y f x y 都是x , y 的二元函数．如果这两个函数的偏导数还存在，则称它们是函

数(),z f x y =的二阶偏导数．按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数：

22()(,)???==???xx z z f x y x x x ，2()(,)???==????xy z z f x y y x x y

， 2()(,)???==????yx z z f x y x y y x ，22()(,)???==???yy z z f x y y y y

，

其中xy f (或12

f '')与yx f (或21f '')称为(),f x y 的二阶混合偏导数．同样可定义三阶，四阶，…，n 阶偏导数．二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数．

例6 求函数2

sin =+z xy x y 的所有二阶偏导数和32

z

y x

???． 解 因为

z x ??=y +2x sin y , z y

??=x +x 2cos y , 所以 22

z x ??=2sin y , 2z

x y

???＝1＋2x cos y , 2z y x

???=1+2x cos y , 22z y ??=x 2sin y ， 322c o s z

y y x ?=??．

从本例我们看到22z z

x y y x

??=

????,即两个二阶混合偏导数相等，这并非偶然． 事实上，有如下定理．

定理1 如果函数(),z f x y =的两个二阶混合偏导数2z x y ???和2z

y x

???在区域D 内连续，

则在该区域内有

22z z x y y x

??=

????． 定理1表明：二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关.对于二元以上的函数，也可以类似的定义高阶偏导数，而且高阶混合偏导数在偏导数连续的条件下也与求导的次序无关．

例7 验证函数ln z =22220z z

x y

??+=??．

解 ()22

1l l n 2

z x y ==+ 所以

2222,,z x z y

x x y y x y

??==?+?+

()()()22

22222222222x y x x z y x x x y x y +-??-==

?++， ()()()

22

22222222222x y y y z x y y x y x y +-??-==?++， 故 ()()

222222

222222220z z y x x y x y x y x y ??--+=+=??++．

2.3 全微分

2.3.1 全微分的概念

我们知道，一元函数()y f x =如果可微，则函数的增量Δ y 可用自变量的增量Δx 的线性函数近似求得．在实际问题中，我们会遇到求二元函数(),z f x y =的全增量的问题，一般说来，计算二元函数的全增量Δ z 更为复杂，为了能像一元函数一样，用自变量的增量Δx 与Δ y 的线性函数近似代替全增量，我们引入二元函数的全微分的概念．

定义2 设函数(),z f x y =在()000,P x y 的某邻域内有定义，如果函数z 在0P 处的全增量()()0000,,z f x x y y f x y ?=+?+?-可表示成

()+ρ?=?+?z A x B y o ，

其中A ，B 是与Δx ，Δy 无关，仅与00,x y 有关的常数，ρ

o （ρ）表示当

Δx →0，Δy →0时关于ρ的高阶无穷小量，则称函数(),z f x y =在()000,P x y 处可微，而称

?+?A x B y 为(),f x y 在点()000,P x y 处的全微分，记作

00

d x x y y z ==或00

d x x y y f

==，即

d ===?+?x x y y z

A x

B y ．

若(),z f x y =在区域D 内处处可微，则称(),f x y 在D 内可微，也称(),f x y 是D 内的可微函数．(),z f x y =在(),x y 处的全微分记作d z ，即

d =?+?z A x B y ．

二元函数(),z f x y =在点P (x ,y )的全微分具有以下两个性质： (1) d z 是,??x y 的线性函数，即d =?+?z A x B y ；

(2) z d ?≈z ,()()z d 0ρρ?-=→z o ，因此，当,??x y 都很小时，可将dz 作为计算

Δ z 的近似公式．

多元函数在某点的偏导数即使都存在，也不能保证函数在该点连续．但是对于可微函数却有如下结论：

定理2 如果函数(),z f x y =在点(),x y 处可微，则函数在该点必连续． 这是因为由可微的定义，得

()()(),,+ρ?=+?+?-=?+?z f x x y y f x y A x B y o

()()

,0,0lim 0x y z ??→?=，

即

()()

,0,0lim (,)(,)x y f x x y y f x y ??→+?+?=．

即函数(),z f x y =在点(),x y 处连续．

一元函数可微与可导是等价的，那么二元函数可微与可偏导之间有何关系呢? 定理3 如果函数(),z f x y =在点(),x y 处可微，则(),z f x y =在该点的两个偏导数

,z z

x y

????都存在，且有 z z

dz x y x y

??=

?+???． 证 因为函数(),z f x y =在点(),x y 处可微，故

()+ρ?=?+?z A x B y o ， ρ

令0y ?=，于是()()

,,x z f x x y f x y A x o ?=+?-=?+．

由此得 ()()000(),,lim

lim lim x x x x x x f x x y f x y z

x x x x

οA A ?→?→?→??+?-?==+=???? ，

即

z

A x

?=?． 同理可证得

z

B y

?=?． 定理3的逆命题是否成立呢? 即二元函数在某点的两个偏导数存在能否保证函数在该点可微分呢? 一般情况下答案是否定的．如函数

2222

22,0,(,)0,0xy

x y x y

f x y x y ?+≠?+=??+=?

在()0,0处两个偏导数都存在，但(),f x y 在()0,0处不连续，由定理2知，该函数在()

0,0

处不可微．但两个偏导数既存在且连续时，函数就是可微的．我们不加证明地给出如下定理．

定理 4 如果函数(),z f x y =在(),x y 处的偏导数

,z z

x y

????存在且连续，则函数(),z f x y =在该点可微．

类似于一元函数微分的情形，规定自变量的微分等于自变量的改变量．即

d ,d =?=?x x y y ，于是由定理3有

d d d z z

z x y x y

??=

+??． 以上关于二元函数的全微分的概念及结论，可以类推到三元以上的函数中去．比如若三元函数(),,=u f x y z 在点(),,P x y z 处可微，则它的全微分为

d d d d u u u

u x y z x y z

???=

++???． 例8 求下列函数的全微分：

(1) 2sin 2=z x y ； (2) =yz

u x ．

解 (1) 因为

2sin 2?=?z x y x ,22cos 2?=?z

x y y ，所以22sin 22cos2=+dz x ydx x ydy ． (2) 因为

1-?=?yz u yzx x ，ln ?=?yz u zx x y

ln ?=?yz u yx x z ， 所以 1

ln ln -=++yz yz yz du yzx dx zx xdy yx xdz ．

例9 求xy z xy e =+在点()1,2处的全微分． 解 因

xy z y ye x ?=+?, xy z

x xe y

?=+?得

112

2

2222e ,

1e x x y y z

z x

y

====??=+=+??，

于是 ()()12

22d 22e d 1e d x y z

x y ===+++ ．

3.1.2全微分的运算法则

类似于一元函数微分的运算法则，有

定理5 (全微分四则运算法则) 设(),f x y ，(),g x y 在(),P x y 处可微，则 1) ()()+±+f x y g x y 在(),x y 处可微，且

[][][]()()()()+±+=+±+d f x y g x y d f x y d g x y ;

2) 若k 为常数，()+kf x y 在点(),x y 处可微，且

[][]()()+=+d kf x y kd f x y ；

3) ()()+?+f x y g x y 在点(),x y 处可微，且

[][][]()()()()()()+?+=+++++d f x y g x y g x y d f x y f x y d g x y ;

4) 当g (x ,y )≠0时，

()

()

f x y

g x y ++在点(),x y 处可微，

且 2

()()d ()()d ()

d ()()f x y g x y f x y f x y g x y g x y g x y ??++++++=?

?++??

． 例10 求()

22

sin z x x y =+的全微分．

解

()()22222sin 2cos z x y x x y x ?=+++?，()222cos z

xy x y y

?=+?， ()()()22

2222sin sin sin dz d x x y xd x y x y dx ????=+=+++???? ()()()22222

22sin 2cos 2cos x y x x y dx xy x y dy ??=+++++??

习题9—2

1．求下列各函数的偏导数：

(1) 22

365z x xy y =++; (2) ln y z x

=； (3) xy

z xye =； (4) y

z u x =．

2．已知()(),2x

f x y x y e =+，求()0,1x f ，()0,1y f ．

3．设z x y =+，求

()()3,40,5,

z z x

y

????．

4．设11+=e x y z ??- ???

，求证：2

22z z x

y z x y

??+=??．

5．求下列函数的所有二阶偏导数．

(1) 44224z x y x y =+-; (2) ()cos sin x z e y x y =+； (3) ()ln z x xy =； (4) arctan

x u y

=． 6．设()222,,f x y z xy yz zx =++，求()()()0,0,1,1,0,2,0,1,0

x x x z y z

f f f -及()2,0,1zzx f ．

7．验证r =2222222r r r x y z r

???++=???．

8．求下列函数的全微分.

(1) 32645z xy x y =+； (2) x

y

z e =； (3 ) x

z xy

y

=+

； (4) z =

9．设()1

,,z

y f x y z x ??

=

???

，求()1,1,1|dz ． 10．设,1,1,0.15,0.1,xy z e x y x y ===?=?=求dz ．

第3节 多元复合函数和隐函数的求导法则

3.1复合函数的求导法则 3.1.1 复合函数的求导法则

现在要将一元函数微分学中复合函数的求导法则推广到多元复合函数的情形，多元复合函数的求导法则在多元函数微分学中也起着重要作用．

定理1 设函数(),z f u v =), 其中()u x ?=,()v x ψ=．如果函数()u x ?=,()v x ψ=都在x 点可导，函数(),z f u v =在对应的点(),u v 处可微，则复合函数()()()

,z f x x ?ψ=在x 处可导，且

d d d d d d z z u z v

x u x v x

??=+??． (9-3-1) 证 设自变量x 的改变量为Δx ，中间变量()u x ?=和()v x ψ=的相应的改变量分别为Δu 和Δv ，函数z 的改变量为Δz ．因(),z f u v =在(),u v 处可微，由可微的定义有

()()+z z

z dz o u v o u v

ρρ???=+=

?+???，

其中ρ=

()()00o ρρ→→，且0()

lim

0ρορρ

→=，故有

()z z u z v x u x v x x

ορρρ?????=++??????． 因为()u x ?=和()v x ψ=在点x 可导，故当0x ?→时，Δu →0，Δv →0，ρ→0，

u x ??→d d u x ，v x ??→d d v

x

． 在上式中令Δx →0，两边取极限，得

d d z z du z dv x u dx v dx

??=+??． 注意，当Δx →0时，

()x

ορρ

ρ?→0．

这是由于

lim

lim x x x

ρ

?→?→==? 这说明Δx →0时，

x ρ?是有界量，()ορρ为无穷小量．从而()ορρx

ρ

?→0（Δx →0）． 用同样的方法，可以得到中间变量多于两个的复合函数的求导法则．比如

同济高数上册公式大全

第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次

) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!211 2125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! )) 1()...(1(...! 2) 1(1)1(2n n x o x n n x x x +---+ +-+ +=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则 定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件： （1）0)(lim 0 =→x f x x ，0)(lim 0 =→x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ； （3）) ()(lim x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当) ()(lim x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)() (lim 0x F x f x x ''→；当 ) ()(lim x F x f x x ''→为无穷大时，)() (lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则. ∞ ∞ 型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件： （1）∞=→)(lim 0 x f x x ，∞=→)(lim 0 x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ； )() (lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→) ()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→

高等数学同济大学第六版 总复习六答案

总 习 题 六 1. 一金属棒长3m , 离棒左端xm 处的线密度为11)(+=x x ρ (kg/m ). 问x 为何值时, [0, x ]一段的质量为全棒质量的一半? 解 x 应满足?? +=+30011211 1dt t dt t x . 因为212]12[1 100-+=+=+?x t dt t x x , 1]12[2111213030=+=+?t dt t , 所以 1212=-+x , 4 5=x (m). 2. 求由曲线ρ=a sin θ, ρ=a (cos θ+sin θ)(a >0)所围图形公共部分的面积. 解 ?++?=432 222)sin (cos 21)2(21ππθθθπd a a S 2432224 1)2sin 1(28a d a a -=++=?πθθπππ. 3. 设抛物线c bx ax y ++=2通过点(0, 0), 且当x ∈[0, 1]时, y ≥0. 试确定a 、b 、c 的值, 使得抛物线c bx ax y ++=2与直线x =1, y =0所围图形的面积为9 4, 且使该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积最小. 解 因为抛物线c bx ax y ++=2通过点(0, 0), 所以c =0, 从而 bx ax y +=2.

抛物线bx ax y +=2与直线x =1, y =0所围图形的面积为 23)(1 02b a dx bx ax S +=+=?. 令9423=+b a , 得9 68a b -=. 该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为 )235()(22102 2ab b a dx bx ax V ++=+=?ππ )]9 68(2)968(315[22a a a a -+-+=π. 令0)]128(181********[=-+-?+2=a a a d dV π, 得3 5-=a , 于是b =2. 4. 求由曲线2 3x y =与直线x =4, x 轴所围图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积. 解 所求旋转体的体积为 πππ7512722240274023=?=?=?x dx x x V . 5. 求圆盘1)2(22≤+-y x 绕y 轴旋转而成的旋转体的体积. 解 )2(1223 12?--??=dx x x V π 22 224cos )sin 2(4 sin 2ππππ=+=-?-tdt t t x 令. 6. 抛物线22 1x y =被圆322=+y x 所需截

同济第六版《高等数学》教案WORD版-第01章 函数与极限

第一章函数与极限 教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限 之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限 的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有 界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。 教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a?M. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A?{a, b, c, d, e, f, g}. 描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! ))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 121 2153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则

同济大学___高数上册知识点

高等数学上册复习要点 一、 函数与极限 （一） 函数 1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、 反函数、复合函数、函数的运算； 3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数； 4、 函数的连续性与间断点； 函数)(x f 在0x 连续)()(lim 00 x f x f x x =→ 第一类：左右极限均存在. 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定 理及其推论. （二） 极限 1、 定义 1） 数列极限 εε<->?N ∈?>??=∞ →a x N n N a x n n n , , ,0lim 2） 函数极限 εδδε<-<-?>??=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00 时，当 左极限：)(lim )(0 0x f x f x x -→-= 右极限：)(lim )(0 0x f x f x x + →+=

)()( )(lim 000 + -→=?=x f x f A x f x x 存在 2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2） a z y n n n n ==→∞ →∞lim lim a x n n =∞→lim 2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、 无穷小（大）量 1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量. 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=?; Th2 αβαβαβββαα' ' =''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则； 3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限： a) 1sin lim 0=→x x x b) e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 1 0 5） 无穷小代换：（0→x ） a) x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~ b) 2 2 1~cos 1x x -

高等数学(同济第六版)上册期末复习重点

高等数学(同济第六版)上册期末复习重点 第一章：1、极限（夹逼准则） 2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型） 第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续 2、求导法则（背） 3、求导公式也可以是微分公式 第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节） 2、洛必达法则 3、泰勒公式拉格朗日中值定理 4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习） 5、曲率公式曲率半径 第四章、第五章：积分 不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ） 定积分： 1、定义 2、反常积分 第六章：定积分的应用 主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长 第七章：向量问题不会有很难 1、方向余弦 2、向量积 3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 4、空间平面 5、空间旋转面（柱面）

第一章函数与极限 1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1 为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。 2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。 定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。 如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。 定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。 3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。 定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。 函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。 一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。 4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b. 5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1；lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。 单调有界数列必有极限。 6、函数的连续性设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当x→x0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就称函数f(x)在点x0处连续。 不连续情形：1、在点x=x0没有定义；2、虽在x=x0有定义但lim(x→x0)f(x)不存在；3、虽在x=x0有定义且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)时则称函数在x0处不连续或间断。 如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称x0为函数f(x)的第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点)。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点和震荡间断点)。 定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点连续的函数。 定理如果函数f(x)在区间Ix上单调增加或减少且连续，那么它的反函数x=f(y)在对应的区间

同济大学第六版高等数学综合测试题

第一章综合测试题 一、填空题 1 、函数1()arccos(1) f x x =-的定义域为 . 2、设()2ln f x x =,[()]ln(1ln )f g x x =-, 则()g x = . 3、已知1tan ,0,()ln(1) , 0ax x e e x f x x a x +?+-≠?=+??=? 在0x =连续，则a = . 4、若lim 25n n n c n c →∞+??= ?-?? ，则c = . 5 、函数y =的连续区间为 . 二、选择题 1、 设()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， 则（ ）为奇函数. （A ）[()]g g x （B ）[()]g f x （C ）[()]f f x （D ）[()]f g x 2、 设)(x f 在(,)-∞+∞内单调有界， {}n x 为数列，则下列命题正确的是（ ）. （A ）若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛 （B ）若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛 （C ）若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛 （D ）若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛 3、 设21(2)cos ,2,()4 0, 2, x x f x x x ?+≠±?=-??=±? 则()f x （ ）. （A ）在点2x =，2x =-都连续 （B ）在点2x =，2x =-都间断 （C ）在点2x =连续，在点2x =-间断 （D ）在点2x =间断，在点2x =-连续 4、 设lim 0n n n x y →∞ =，则下列断言正确的是（ ）. （A ）若{}n x 发散，则{}n y 必发散 （B ）若{}n x 无界，则{}n y 必有界 （C ）若{}n x 有界，则{}n y 必为无穷小 （D ）若1n x ?????? 收敛 ，则{}n y 必为无穷小 5、当0x x →时，()x α与()x β都是关于0x x -的m 阶无穷小，()()x x αβ+是关于0x x -的n 阶无

大一同济上册高数(一些重要公式及知识点)

同济上册高数总结 微分公式与积分公式 三角函数的有理式积分： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

高等数学同济第六版上册课后答案

2018年湖南省怀化市中考物理试卷 一、选择区 1. 下图中符合安全用电原则的是（） A. 雷雨时在大树下躲雨 B. 在高压线下钓鱼 C. 在同一插座上同时使用多个大功率用电器 D. 发现有人触电时立即切断电源 【答案】D 【解析】A、雷雨时，不可以在大树下避雨，要注意防雷电，故A错误； B、高压线下钓鱼，鱼线很容易接触到高压线，容易发生触电事故，故B错误； C、在同一个插座上同时使用了多个大功率的用电器，由可得，会使干路中的电流过大，容易发生电路火灾，故C错误； D、当发现有人触电时，应该立即采取的措施是：迅速切断电源或用绝缘体挑开电线，因为人体是导体，不能用手拉开电线和触电的人，故D正确。 故选：D。 点睛：本题考查日常安全用电常识，关键是了解安全用电的基本原则“不接触低压带电体，不靠近高压带电体。” 2. 在北京8分钟的节目中，憨态可掬的大熊猫令人忍俊不禁。这只大熊猫是用一种特制的铝合金材料制成的，它的高度为2.35m，质量却只有10kg，它利用了铝合金的哪一种性质（） A. 质量小 B. 密度小 C. 比热容小 D. 导热性能好 【答案】B 【解析】解：由题知，大熊猫是用一种特殊的铝合金材料制成的，它的高为2.35m，质量却只有10kg，也就是说它的体积很大，质量很小，根据ρ=可知，材料的体积相同时，质量越小，密度越小。所以它利用

了铝合金密度小的性质。故ACD错误，B正确。 故选：B。 点睛：密度是物质的一种特性，不同物质密度一般不同，常用密度来鉴别物质。解答本题时，要紧扣大熊猫高度大，质量小的特点进行分析。 3. 下列事例中不是利用大气压工作的是（） A. 用塑料吸管吸饮料 B. 用抽水机抽水 C. 用注射器将药液注入病人体内 D. 钢笔吸墨水 【答案】C 【解析】解：A、用吸管吸饮料时，吸管内的气压小于外界大气压，饮料在外界大气压的作用下，被压入口腔内。利用了大气压。故A不合题意； B、抽水机抽水，通过活塞上移或叶轮转动使抽水机内水面上方的气压减小，水在外界大气压的作用下，被压上来，利用了大气压，故B不合题意。 C、用注射器将药液注入病人体内是利用人的压力将药液注入人体肌肉的，不是利用大气压来工作的，故C 符合题意。 D、用力一按橡皮囊，排出了里面的空气，当其恢复原状时，橡皮囊内部气压小于外界大气压，在外界大气压的作用下，墨水被压入钢笔内，利用了大气压。故D不合题意。 故选：C。 点睛：本题考查了大气压的应用，此类问题有一个共性：通过某种方法，使设备内部的气压小于外界大气压，在外界大气压的作用下出现了这种现象。 4. 自然界中有些能源一旦消耗就很难再生，因此我们要节约能源。在下列能源中，属于不可再生的能源的是 A. 水能 B. 风能 C. 太阳能 D. 煤炭 【答案】D D、煤炭属于化石燃料，不能短时期内从自然界得到补充，属于不可再生能源，故D符合题意。

高等数学(同济第六版)上册期末复习重点

第一章：1、极限（夹逼准则） 2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型） 第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续 2、求导法则（背） 3、求导公式也可以是微分公式 第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节） 2、洛必达法则 3、泰勒公式拉格朗日中值定理 4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习） 5、曲率公式曲率半径 第四章、第五章：积分 不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ） 定积分： 1、定义 2、反常积分 第六章：定积分的应用 主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长

第七章：向量问题不会有很难 1、方向余弦 2、向量积 3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 3、空间平面 4、空间旋转面（柱面） 第一章函数与极限 1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1 为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。 2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。 定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。 如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。 定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。 3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。 定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。 函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。 一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。 4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b. 5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1；lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。 单调有界数列必有极限。 6、函数的连续性设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当x→x0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就称函数f(x)在点x0处连续。 不连续情形：1、在点x=x0没有定义；2、虽在x=x0有定义但lim(x→x0)f(x)不存在；3、虽在x=x0有定义且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)时则称函数在x0处不连续或间断。 如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称x0为函数f(x)的第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点)。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点和震荡间断点)。 定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点连续的函数。

同济高等数学公式大全

高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππa x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '

2-5高等数学同济大学第六版本

2-5高等数学同济大学第六版本

2-7 1. 已知y =x 3 -x , 计算在x =2处当?x 分别等于1, 0.1, 0.01时的?y 及dy . 解 ?y |x =2, ?x =1=[(2+1)3-(2+1)]-(23-2)=18, dy |x =2, ?x =1=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =1=11; ?y |x =2, ?x =0.1=[(2+0.1)3-(2+0.1)]-(23-2)=1.161, dy |x =2, ?x =0.1=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =0.1=1.1; ?y |x =2, ?x =0.01=[(2+0.01)3-(2+0.01)]-(23-2)=0.110601, dy |x =2, ?x =0.01=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =0.01=0.11. 2. 设函数y =f (x )的图形如图所示, 试在图(a )、(b )、(c )、(d )中分别标出在点x 0的dy 、?y 及?y -d y 并说明其正负. 解 (a )?y >0, dy >0, ?y -dy >0. (b )?y >0, dy >0, ?y -dy <0. (c )?y <0, dy <0, ?y -dy <0. (d )?y <0, dy <0, ?y -dy >0. 3. 求下列函数的微分: (1)x x y 21+=; (2) y =x sin 2x ; (3)12+=x x y ; (4) y =ln 2(1-x ); (5) y =x 2e 2x ;

(6) y=e-x cos(3-x); (6) dy=y'dx=[e-x cos(3-x)]dx=[-e-x cos(3-x)+e-x sin(3-x)]dx =e-x[sin(3-x)-cos(3-x)]dx . (8) dy=d tan2(1+2x2)=2tan(1+2x2)d tan(1+2x2) =2tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)d(1+2x2) =2tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)?4xdx =8x?tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)dx. 4.将适当的函数填入下列括号内,使等式成立:

高数上册公式大全(同济六版)

高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　 a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

最新同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案9-1

同济大学第六版高等数学上下册课后习题 答案9-1

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5 习题9-1 1. 设有一平面薄板(不计其厚度), 占有xOy 面上的闭区域D , 薄板上分布有密度为μ =μ(x , y )的电荷, 且μ(x , y )在D 上连续, 试用二重积分表达该板上全部电荷Q . 解 板上的全部电荷应等于电荷的面密度μ(x , y )在该板所占闭区域D 上的二重积分 ??=D d y x Q σμ),(. 2. 设??+=1 3221)(D d y x I σ, 其中D 1={(x , y )|-1≤x ≤1, -2≤y ≤2}; 又??+=2 3222)(D d y x I σ, 其中D 2={(x , y )|0≤x ≤1, 0≤y ≤2}. 试利用二重积分的几何意义说明I 1与I 2的关系. 解 I 1表示由曲面z =(x 2+y 2)3与平面x =±1, y =±2以及z =0围成的立体V 的体积. I 2表示由曲面z =(x 2+y 2)3与平面x =0, x =1, y =0, y =2以及z =0围成的立体V 1的体积. 显然立体V 关于yOz 面、xOz 面对称, 因此V 1是V 位于第一卦限中的部分, 故 V =4V 1, 即I 1=4I 2. 3. 利用二重积分的定义证明: (1)??=D d σσ (其中σ为D 的面积);

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5 证明 由二重积分的定义可知, ??∑=→?=D n i i i i f d y x f 10),(lim ),(σηξσλ 其中?σi 表示第i 个小闭区域的面积. 此处f (x , y )=1, 因而f (ξ, η)=1, 所以, σσσσλλ==?=→=→??∑0 10lim lim D n i i d . (2)????=D D d y x f k d y x kf σσ),(),( (其中k 为常数); 证明 ∑??∑=→=→?=?=n i i i i D n i i i i f k kf d y x kf 1010),(lim ),(lim ),(σηξσηξσλλ ??∑=?==→D n i i i i d y x f k f k σσηξλ),(),(lim 10. (3)??????+=2 1),(),(),(D D D d y x f d y x f d y x f σσσ, 其中D =D 1?D 2, D 1、D 2为两个无公共内点的闭区域. 证明 将D 1和D 2分别任意分为n 1和n 2个小闭区域1i σ?和2i σ?, n 1+n 2=n , 作和 ∑∑∑===?+?=?2 222211111111),(),(),(n i i i i n i i i i n i i i i f f f σηξσηξσηξ. 令各1i σ?和2i σ?的直径中最大值分别为λ1和λ2, 又λ=ma x (λ1λ2), 则有 ∑=→?n i i i i f 10),(lim σηξλ∑∑=→=→?+?=2222221111111 010),(lim ),(lim n i i i i n i i i i f f σηξσηξλλ,

高等数学同济大学第六版本

习题9-2 1. 计算下列二重积分: (1)??+D d y x σ)(22, 其中D ={(x , y )| |x |≤1, |y |≤1}; 解 积分区域可表示为D : -1≤x ≤1, -1≤y ≤1. 于是 ??+D d y x σ)23(y d y x dx x ?? -+=20 20 )23(dx y xy x ?-+=2 22]3[ ??+D d y x x σ)cos(??+=x dy y x xdx 00)cos(π?+=π )][sin(dx y x x x

(2)??D d xy σ2, 其中D 是由圆周x 2+y 2=4及y 轴所围成的右半闭区域; ? ?? ???+--+---++=1 1 1 1 1 1 x x y x x x y x D y x dy e dx e dy e dx e d e σ ??+---+--+=1 1101 11][][dy e e dx e e x x y x x x y x ??---+-+-=1 120 1 11 2)()(dx e e dx e e x x

3. 如果二重积分??D dxdy y x f ),(的被积函数f (x , y )是两个函数f 1(x )及f 2(y )的乘积, 即f (x , y )= f 1(x )?f 2(y ), 积分区域D ={(x , y )| a ≤x ≤b , c ≤ y ≤d }, 证明这个二重积分等于两个单积分的乘积, 即 ])([])([)()(2121dy y f dx x f dxdy y f x f d c b a D ?????=? 证明 dx dy y f x f dy y f x f dx dxdy y f x f d c b a d c b a D ???????=?=?])()([)()()()(212121, 而 ??=?d c d c dy y f x f dy y f x f )()()()(2121, 故 dx dy y f x f dxdy y f x f b a d c D ????=?])()([)()(2121. 由于?d c dy y f )(2的值是一常数, 因而可提到积分号的外面, 于是得 ])([])([)()(2121dy y f dx x f dxdy y f x f d c b a D ?????=? 4. 化二重积分??=D d y x f I σ),(为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同 的两个二次积分), 其中积分区域D 是: (1)由直线y =x 及抛物线y 2=4x 所围成的闭区域; 解积分区域如图所示, 并且 D ={(x , y )|x y x x 2 ,40≤≤≤≤}, 或D ={(x , y )| y x y y ≤≤≤≤24 1 ,40}, 所以 ? ?=x x dy y x f dx I 24 0),(或??=y y dx y x f dy I 4 40 2),(. (2)由x 轴及半圆周x 2+y 2=r 2(y ≥0)所围成的闭区域; 解积分区域如图所示, 并且

同济高数上册公式大全

第一章函数与极限 一. 函数的概念 1. 两个无穷小的比较 设 lim f(x) 0, limg(x) 0 且血丄凶 l g(x) (1) l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[ g(x)]，称g(x) 是比f(x)低阶的无穷小。 (2) l 工0,称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 (3) l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2. 常见的等价无穷小 当x - 0时 a 1 - cos.L X — sin x ~ x ，tan x ~ x ， arcsinx ~ x ， arccosx ~ x ， x 1- cos x ~ x A 2/2 ， e -1 ~ x ， ln(1 x) ~ x ， (1 x) 1~ x 求极限的方法 1 ?两个准则 准则1.单调有界数列极限一定存在 准则2.(夹逼定理)设g(x) < f (x) < h(x) 若 lim g(x) A,lim h(x) A ，则 lim f(x) A 2 ?两个重要公式 sin x 彳 公式1 lim 1 x 0 x 公式 2lim (1 x)1/x e x 0 3 ?用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4?用泰勒公式 当x 0时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 sin x cosx 2 x 3 x 2! 3! 3 5 x x 3! 5! 2 4 x x 2! 4! n! OX 〉 2n 1 1)n A / 2n 1 、 o(x ) 2n n x 2n x x

同样适用. 使用洛必达法则时必须注意以下几点： (1) 洛必达法则只能适用于“ 0 ”和“一”型的未定式，其它的未定式须 先化简变形成“ ”或“一”型才能运用该法则； (2) 只要条件具备，可以连续应用洛必达法则； (3) 洛必达法则的条件是充分的，但不必要.因此，在该法则失效时并不 能断 In(1 x) 3 f... ( 1) n n 1 x / n o(x ) n (1 x) (1) 2! x 2 (1)-( (n 1))x n n! o(x n ) arcta n x 2n 1 n 1 X 2n 1 1) o(x ) 2n 1 5 ?洛必达法 则 定理1 (1) f(x)、F(x)满足下列条件: lim F(x) 0 ; x x o (2) (3) 设函数 lim f (x) 0 , x x f(x)与F(x)在X 。的某一去心邻域内可导，且 上存在(或为无穷大)，则im 丄? -■ ■ x x 0 F(x) 3存在时，佃出 x x 0 F(x) lim x x o F (x) F (x) 0 ; ..f (x) lim x x 0 F (x) 这个定理说明：当 匕为无穷大时, lim x 冷 F (x) lim 卫勺也是无穷大. x X o F(x) 也存在且等于lim x x 0 F (x) f (x).当 lim x x o F (x) 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值 的方法称为洛必达(L H ospital )法则. 一型未定式 X o 定理2设函数f(x)、 lim f(x) x X 0 f(x)与F(x)在X 。的某一去心邻域内可导，且 F(x) 0 ; ..f (x) lim x x F (x) (1) (2) F(x)满足下列条件: ,lim F(x) ; x x o 存在(或为无穷大)，则叫鵲 注：上述关于x x 0时未定式一型的洛必达法则，对于x (3) ..f (x) lim x x o F (x) 时未定式一型