线性代数全套习题集(带答案)
第一部分 专项同步练习
第一章行列式
、单项选择题
1 .下列排列是5阶偶排列的是（
).
(C) 41523
(D)24351
(A) 24315 (B) 14325 2.如果n 阶排列
j 1j 2…j n 的逆序数是 k,则排列j n … j 2j 1的逆序数是（
)
n! n(n-1),
(A)k (B) n _ k (C) — - k 2 (D) k
2
3. n 阶行列式的展开式中含ana i2的项共有（ ）项.
2x
(A) 0
(B) n -2 (C) (n-2)!
(D) 5-1)!
4. 0 0 0 1
0 1 0 0
=( ).
5. 0 0 0 1 (A) 0
0 1 0 0
(A) 0
=( (B) -1
(C) 1 (D) 2
).
(B) -1
(C) 1 (D) 2
6.在函数 f(x)
-1
(A) 0
-x 0
3
项的系数是
（ ).
(B) -1 (C) 1
(D) 2
-1
a 11 a
12
a 13
1
，则 2
7.若 D = a 21 a 22 a 23
a 31 a
32
a
33
(A) 4 (B) -4
8.若 an ai 2 =a , 则 a 12 ka 22
a 21 a 22
an ka 21 (
(A) ka (B) -ka
D i
2a
11 a
13 2a 21 a 23 2a
31
a
33
(C) 2 ). (C) k 2a
a ii
a 21 a
31
- 2a 12 _ 2a 22 _ 2a 32
).
(D) - 2
(D) - k 2a
9 .已知4阶行列式中第1行元依次是- 4, 0,1, 3, 第3行元的余子式依次为 -2, 5,1, X , 则x =( ).
(A) 0 (A) -1 (A) -1
-8 6
1 3 1 0 5 7 -
2 1
3 (B)
4 3 1 -3 3 -1 1 -7 (C) 3 (D) 2 ,则D 中第一行元的代数余子式的和为（
). 0 1 -1 3 4 1 0 -2 (B) -2
0 1 0
2 (C)-3
(D)0
,则D 中第四行元的余子式的和为（
(B) -2 (C)-3
).
12. k 等于下列选项中哪个值时, 齐次线性方程组
(D)0
X 1 X 2 x-i kX 2
kX 1 X 2 kx 3 X 3
X 3
( ) (A) -1 (B) -2 (C)-3
(D)0
、填空题
1. 2n 阶排列24 (2n) 13 (2n -1)的逆序数是
.
2. 在六阶行列式中项a 32a 54a 4i a 65a i3a 26所带的符- 号是
3. ________________________________________ 四阶行列式中包含a 22a 43且带正号的项是 ___________________________________ .
4. 若一个n 阶行列式中至少有n 2 - n 1个元素等于0,则这个行列式的值等于
1 0 1 1 1 0 0 1 5.行列式
0 1 1 1
0 0 1 0
a
11
a
1 (nV)
a
1 n
9.已知某5阶行列式的值为5,将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所 有元素，则所得的新行列式的值为 _______
a
11 a
12 a 13
a
11 a
13
— 3a 12
3a 〔2
8.如果D =
a 21 a 22 a 23 =M ，贝U D 1 =
a 21 a 23 — 3a 22
3a ?2
a
31
a
32
a
33
a 31
a
33
— 3a 32
3a
32
a
n1
0 0 1 0 0
2
6.行列式
■?- … 0 0 0 n 0 0
n -1 0
a
2(n J)
7.行列式
1-11X —1
10.行列式1-1X +1-1
1X—11-1
X +1-11-1
1 +丸
一1
11. n阶行列式
1
12. 已知三阶行列式中第二列元素依次为
1,2,3,其对应的余子式依次为3,2,1, 则该行列式的值为
1 2 3
一 5 6 7
13. 设行列式D =
4 3 2
A4j(j =1, 2,3,4)为D中第四行元的代数余子式,
a c b
b
c
a
a
b
14.已知D =
b a
c c
a c
b d
D中第四列元的代数余子式的和为
1 32
3
3
4
15.设行列式D =
156
112A4j为a4j(j =1,2,3, 4)的代数余子式，则
则4阳3A42 2A43 A44 二
4
4
八6
7
2
A41 A42A43 A44
kx 1 2x 2 x 3 仃.齐次线性方程组2x , kx 2
X 1 - X 2
x 1
2X 2
x 3 = 0
2X 2 +5X 3=0有非零解，则
-3为 一 2x 2 kx 3 = 0
a b c
d
2 .2 2
.2
X y x + y
a b c d
3
.3
3
.3
2
? y
x + y X
a b c
d
x + y
X
y b +c +d
a +c +d a +
b +d a + b +
c
、计算题
1.
7
X a 1
a2…
a n_42
1
0 1 X 1
a 1 X a 2… a
n~2 1 1 0 1 X =0 ； 4. a 1
a 2 x … a
n_42 1
X 1 1 0
1 X 1 0
a 1 a 2 a 3… X
1
a 1 a 2
a 3…
a n J
1
3.解方程
7
2n -1
16.已知行列式D 二
,D 中第一行元的代数余子式的和为
=0
工0仅有零解的充要条件是
18.若齐次线性方程组
1 -a -1
a 1 -a
11. D =0-1
00
00
000 a00 1-a a0 -11-a a 0-1 1 —a
a o 1 1
1 ai 1
5. 1 1 a2
1 1 1
1 1 1 (1)
3 1-b 1 (1)
6. 1 1 2—b (1)
1 1 1 …（n— 1） -b
111…1X a1a2…a n bi a1a…a a1X a2…a n
7.bi b2a2…a28.a1a2x …a n J
bi b2b3…a n a1a2a3…X
210 …
00
1 +
2
X1%x2---xx12 1 ?
?！■
00
9.x2% 1 +x；???X2X n
; 10.
01^2 ?00…---…… …■??
1
1
1 佝知，j =0,1,…,n）；
a n
X n X X n X2■-?1+￡000 (21)
000 (12)
最新清华版线性代数课件线性代数§电子教案
例2计算 n 阶行列式副对角线以上的元素全为0 其中表示元素为任意数解由定义有递推关系递推公式由以上结论容易得到四n 阶行列式的性质行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式记性质1 行列式的行与列互换其值不变即 DT D 性质1说明行列式对行成立的性质都适用于列下面仅对行讨论由性质 1 和前面关于下三角行列式的结果马 上可以得到上三角行列式主对角线以下的元素全为0 的值等于主对角元的积即性质2 行列式按任一行展开其值相等即其中是 D 中去掉第 i 行第 j 列的全部元素后剩下的元素按原来的顺序排成的 n－1 阶行列式称为的余子式称为的代数余子式即性质3 线性性质 1行列式的某一行列中所有的元素都乘以同一数k 等于用数 k 乘此行列式 2 若行列式的某一行 列的元素都是两数之和那么该行列式可以写成两个行列式的和例如 1 若行列式的某一行列的元素都是 n 个数之和那么该行列式可以写成 n 个行列式的和例如说明 2 若行列式的某 m 行列的元素都是两例如说明个数之和那么该行列式可以写成个行列式的和由性质3马上得到推论1 某行元素全为零的行列式其值为零性质4 行列式中两行对应元素全相等其值为 零对行列式的阶数用数学归纳法证明证明当D为二阶行列式时结论显然成立假设当 D 为 n－1 阶行列式时结论成立设行列式 D 的第 i 行和第 j 行元素对应相等则当D为 n 阶行列式时将 D 按第k 行展开得其中为 k－1 阶行列式且有两行元素对应相等故由归纳假设知推论2 行列式中两行对应元素成比例其值为零由性质 3 和性质 4 马上得到性质5 在行列式中把某行各元素分别乘以数 k再加