高等数学测试及答案第一章
高等数学测试（第一章）
一 .选择题（每题2分，共20分） 1.（2分）7
1
2arcsin
16)(2
-+-=x x x f 的定义域为 （ ） A ．[]3,2 B ．[]4,3- C ．[)4,3- D ．()4,3-
2.（2分） 已知函数)12(-x f 的定义域为[]1,0，则函数)(x f 的定义域为 （ ） A ．??
????1,2
1 B ．[]1,1- C ．[]1,0 D ．[]2,1-
3.（2分）已知1)1(2
++=+x x x f ， 则)(x f = （ ） A ．22
+-x x B ．12
--x x C ．12
++x x D ．12
+-x x
4.（2分）下列函数对为相同函数的是 （ ）
A ．1)(,1
1
)(2-=+-=
x x g x x x f B ． 3ln )(,ln 3)(x x g x x f == C ．2
ln )(,ln 2)(x x g x x f == D ． 2)(,)(x x g x x f =
=
5.（2分）若()f x ()x R ∈为奇函数，则下列函数一定为偶函数的是 （ ） A ．(2)f x B ．(2)f x -+ C ．(||)f x D ．2()f x
6.（2分）函数1
22+=x x
y 的反函数为 （ ）
A ．x x y -=1log 2
B ．x x y +=1log 2
C ．x x y +=1log 2
D ．x
x y -=1log 2 7.（2分）已知极限22
lim(
)0x x ax x
→∞++=，则常数a 等于 （ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2
8.（2分）当0x +
→ （ ）
A
．1-B
．ln(1+ C
1 D
．1-
9.（2分）点1x =是函数31
1()1131x x f x x x x -
==??->?
的 （ ）
A ．连续点
B ．可去间断点
C ．跳跃间断点
D ．第二类间断点
10.（2分）下列命题正确的是 （ ） A ． 两无穷大之和为无穷大； B ． 两无穷小之商为无穷小；
C ． )(lim 0
x f x x →存在当且仅当)(lim 0
x f x x -→与)(lim 0
x f x x +
→均存在；
D ． )(x f 在点0x 连续当且仅当它在点0x 既左连续又右连续． 二．填空题（每题3分，共15分）
11.（3分）函数()f x 在点0x 处有定义是()f x 在0x 处极限存在的. 12.（3分）当0x →+时，无穷小ln(1)Ax α=+与无穷小sin 3x β=等价，则常数. 13.（3分）已知函数()f x 在点0x =处连续，且当0x ≠时，函数2
1()2x f x -=，则函数值(0)f .
14.（3分）若lim ()x f x π
→存在，且sin ()2lim ()x x
f x f x x ππ
→=
+-，则lim ()x f x π→.
15.（3分）设函数()()[]x x x f g x x f -=-=1,21，则??
? ??21g . 三． 计算题(共55分)
16.（5分）???? ??++++++∞→n n n n n 2221 (211)
1lim . 17.（5分）)1(lim 2x x x x -++∞→.
18.（5分）x
x e x x x 2sin 1lim 3202
-→--. 19.（5分）x
x x x cot 20)32sin 1(lim +-→.
20.（5分）()???
??
?+-→x x x 1ln 11lim 0. 21.（5分）30tan sin lim x x x x →-.
22.（5
分）2
1lim
1
x x e →-. 23.（5分） x
x x +→0
lim .
24.（7分）设3214
lim 1
x x ax x x →---++ 具有极限l ，求,a l 的值.
25.（8分）若)(lim 1
x f x →存在，且23)(2++=x x x f )(lim 1x f x →，求)(x f 和)(lim 1
x f x →.
四.证明题（共10分）
26.（10分）设函数()f x ，()g x 均在闭区间[],a b 上连续，且有()()f a g a a >+，()()f b g b b <+，证明：存在,a b ξ∈（），使()()f g ξξξ=+成立.
答案：
一. 选择题1—5 ；6—10 ．
二．填空题11、无关条件； 12、3； 13、 0； 14、 1；15、3． 三．计算题
16. ???? ??++++++∞→n n n n n 2221 (211)
1lim . 【解析】因为
),...,2,1(11112
2
2
n i n i n n
n =+≤
+≤
+， 所以
1
1 (21)
112
2
2
2
2
+≤
++
++++≤
+n n n
n n n n n n ，
而11
lim
lim
2
2=+=+∞
→∞
→n n
n
n n
n n .
由两边夹逼准则可知，11
(211)
1lim 222=???? ??++++++∞
→n n n n n . 17.)1(lim 2
x x x x -++∞
→.
【解析】原式2
111
11lim
1lim
2
2=
++
=++=+∞
→+∞
→x x
x x x x . 18. x
x e
x x x 2sin 1lim
32
02
-→--. 【解析】原式161
16lim 161lim 3222lim 81lim 22020303202
2
2
-=-=+-=+-=--=→-→-→-→x
x x e x xe x x x e x x x x x x x x . 19. x
x x x cot 20
)
32sin 1(lim +-→.
【解析】原式x x x x
x x x x
x x x
x x x e
e
x x tan 32sin lim
tan 32sin 0
tan 32sin 32sin 1
2
202
2
2
lim )32sin 1(lim +-+-→+-?+-→→==+-=
23lim
2sin lim
32sin lim
2
0020-+-+-===→→→e e
e
x x x x x x x x x x .
20. ()???
?
?
?+-→x x x 1ln 11lim 0. 【解析】原式()()()2121
11
lim 1ln lim 1ln 1ln lim 0200-=-+=-+=+-+=→→→x x x
x x x x x x x x x . 21. 30tan sin lim x x x x
→-. 【解析】原式=2
322000sin 1sin 1cos 1cos 2lim lim lim cos cos 2
x x x x x x
x x x x x x x →→→--===
. 22
.0
1
x e →-
【解析】原式=21
21lim sin 21lim 22
020==→→x x
x
x x x x .
23.（5分） x
x x +→0
lim .
【解析】原式1lim 011lim
1ln lim
ln lim ln 0
2
000======-
→+
→+
→+
→+e e
e e e
x x x
x
x
x x
x x x x x .
24.设3214
lim 1
x x ax x x →---++ 具有极限l ，求,a l 的值.
【解析】因为1
lim(1)0x x →-+=，所以 3
2
1
lim(4)0x x ax x →---+=，
因此 4a = 并将其代入原式
321144(1)(1)(4)lim lim 1011
x x x x x x x x l x x →-→---++--===++
25.若)(lim 1
x f x →存在，且23)(2
++=x x x f )(lim 1
x f x →，求)(x f 和)(lim 1
x f x →.
【解析】设A x f x =→)(lim 1
，对等式23)(2
++=x x x f )(lim 1
x f x →两边同时取极限()
1→x 可得，
(
)
)(lim 23lim )(lim 1
211
x f x x x f x x x →→→++=，即()
A x x A x 23lim 21
++=→，故4)(lim 1
-==→A x f x .
所以83)(2
-+=x x x f . 四．证明题
26.设函数()f x ，()g x 均在闭区间[],a b 上连续，且有()()f a g a a >+，()()f b g b b <+，证明：存在,a b ξ∈（）
，使()()f g ξξξ=+成立.
【证明】 构造函数()()()F x f x g x x =--，则函数()F x 在闭区间[],a b 上连续， 而()()()0F a f a g a a =-->，()()()0F b f b g b b =--<， 显然()()0F a F b ?<
于是由连续函数的零点定理知，(,),a b ξ∈使得()0F ξ=， 即 存在,a b ξ∈（），使()()f g ξξξ=+.