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函数性质总结

北京四中

函数的基本性质

一、基础知识梳理

1、函数的单调性：

一般地，设函数f（x）的定义域为I：

如果对于定义域I内某个给定区间D上的任意两个自变量的值x1, x2，当x1

如果对于定义域I内某个给定区间D上的任意两个自变量的值x1, x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上的减函数。

认知：

①函数的单调性是对区间而言的，它是函数的“局部”性质，不同于函数的奇偶性，函数的奇偶性是对整个定义域而言的，是函数“整体”性质；

②对某一函数y=f（x），它在某区间上可能有单调性，也可能没有单调性；即使是同一个函数它在某区间上可能单调增，而在另外一区间上可能单调减；

③对某一函数y=f（x），它在区间（a，b）与（c，d）上都是单调增（减）函数，不能说y=f（x）在（a，b）∪（c，d）上一定是单调增（减）函数；

④定义均为充要性命题,因此,在函数的单调性之下,自变量的不等关系与相应函数值间的不等关系相互贯通:

f(x)在D上为增函数且f()

f(x)在D上为减函数且f(),, D.

⑤单调性的定义,是判断、证明函数的单调性以及寻求函数单调区间的基本依据.

应用函数的单调性定义的解题三部曲为

(Ⅰ)设值定大小:设,为给定区间上任意两个自变量值,且<;

(Ⅱ)作差并变形:作差f()-f(),并将差式向着有利于判断差式符号的方向变形;

(Ⅲ)定号作结论:确定差值的符号,当符号不确定时考虑分类讨论,而后根据定义作出结论.

在这里,差式的变形到位与否是解题成功的关键环节,差式变形的主要手段有通分,分解因式,配方以及有理化分母(或分子)等,其中,应用最为广泛的是分解因式.

⑥复合函数y=f[g（x）]的单调性规律是“同则增，异则减”，即外层函数f（u）与内层函数g（x）若具有相同的单调性，则y=f[g（x）]必定是增函数；若具有不同的单调性，则y=f[g（x）]必定是减函数.

讨论复合函数单调性的步骤是：

第一步，求出复合函数的定义域；

第二步，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，并判断其单调性；

第三步，把中间变量的变化范围转化成自变量的变化范围；

第四步，根据复合函数的单调性规律判断其单调性.

2、函数的奇偶性：

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)为偶函数；如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)则奇函数。

对函数奇偶性定义的理解与运用应注意以下方面：

①函数的定义域在数轴上所示的区间关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件，所以判断函数为奇函数或偶函数，首先看定义域是否关于原点对称，如f(x)=x2，x∈(-1,1]，则f(x)既不是奇函数，也不是偶函数；

②函数f(x)为奇函数，且在x=0处有意义，则f(0)=0；

③奇偶性的定义是判断函数奇偶性的依据，对于不易找到函数f(-x)和±f(x)关系时，常用以下等价形式：

当f(x)≠0时，也可用来判断。

例如：判断函数的奇偶性，可由x∈R，得f(x)为奇函数。

④f(x)既是奇函数又是偶函数，则f(x)=0.

⑤可利用定义说明以下常见结论：

奇±奇=偶，偶±偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇

奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性。

⑥定义在R上的任一函数f(x)，可以表示为一个奇函数与一个偶函数之和。

其中为奇函数，为偶函数。

⑦奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。

[典型例题]

例1、研究二次函数的单调性，并加以证明.

分析：研究函数的单调性，首先得确定函数的单调区间，然后讨论函数在这个区间上是递增还是递减.

从二次函数的图象可知，是开口向上的抛物线，且对称轴方程为x=1，因此这个函数的定义域R分为（－∞，1]和[1，+∞）两个单调区间，在（－∞，1）上递减，在[1，+∞）上递增.

证明：设x1、x2是[1，+∞）内的任意两个实数，且x1＜x2，

则有f（x1）=2x12－4x1－1，f（x2）=2x22－4x2－1，

f（x2）－f（x1）=2（x22－x12）－4（x2－x1）

=2（x2+x1）（x2－x1）－4（x2－x1）

=2（x2－x1）（x1+x2－2）

由于x1＜x2时，有x2－x1＞0，

又由于x1≥1，x2＞1，有x1+x2＞2，即x1+x2－2＞0，

所以f（x2）－f（x1）=2（x2－x1）（x1+x2－2）＞0，

即f（x2）＞f（x1）.

所以f（x）在[1，+∞）上递增.

用同样的方法可证明f（x）在（－∞，1]上递减.

点评：本题的研究方法是先观察，其次对观察结果进行证明.这是数学研究的基本方法.从观察到证明的过程，也是从直观的粗略性向精确性过渡的过程.

对于二次函数f（x）=ax2+bx+c的单调性，有如下四种情况：

（1）当a＞0时，x∈（－∞，－]，f（x）为减函数；

（2）当a＞0时，x∈[－，+∞），f（x）为增函数；

（3）当a＜0时，x∈（－∞，－），f（x）为增函数；

（4）当a＜0时，x∈[－，+∞），f（x）为减函数.

例2、证明函数在（1，＋∞）上为增函数.

分析：证明函数的增减性，先在定义域上取x1＜x2，然后作差f

（x1）－f（x2），判断这个差的符号即可.

证明：设x1、x2是（1，＋∞）上的任意两个实数，且x1＜x2，

则f（x1）－f（x2）=x1+－（x2+）

=x1－x2+（－）

=x1－x2－

=（x1－x2）（）

∵x1－x2＜0，x1x2－1＞0，x1x2＞0，

∴f（x1）-f（x2）＜0，

即f（x1）＜f（x2）.

∴函数y=x＋在（1，＋∞）上为增函数.

点评：俗话说“他山之石，可以攻玉”，可以应用计算机技术，绘出这个函数的图象（如图所示），这样会有个直观的认识，从而加深对这个函数的理解.

例3、作出函数y=－x2＋2|x|＋3的图象并指出它的单调区间.

解：作函数图象如下图，由图象可知，

函数的单增区间为（－∞，－1）、（0，1）；

函数的单调减区间为（－1，0）、（1，＋∞）.

例4、判定下列函数的奇偶性

(1)

(2) f(x)=ln(1+e2x)-x

分析与解答：

(1)函数定义域为[-1，0)∪（0，1]

在定义域内，原函数f(x)可化简为，

∴f(x)为奇函数。

(2) 定义域为(-∞,+∞)，

=，

∴f(x)为偶函数。

点评：

(1)先求函数定义域，并利用定义域化简函数，便于判断，否则，按以下判断：

。

就会得出f(x)是非奇非偶函数的错误结论。

(2)在对具体函数进行奇偶性判断时，常可通过“试数”方法猜测其奇偶性，再予以证明，证明过程中，应先对函数进行化简，以便于判断。

例5、已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，，求f(x)在R上的完整表达式。

分析与解答：

首先f(0)=0

当x<0时，-x>0,

∴

点评：已知函数在某一范围的解析式，利用函数性质，求其在其它区间上的解析式；或已知函数在某一区间上的单调性，研究它在其它区间上的单调性等问题，都要做到“求谁设谁”，即将所求范围内的变量设为x，或(x, y)，再利用对称性等其它性质，利用对称区间的条件，来获得x, y的函数关系。

练：的图象上任一点为(x,y)，则点在y=g(x)图象上，求y=g(x)的解析式。

解：设y=g(x)图象上任一点为

则点P＇(2x, 3y)在y=f(x)图象上，

∴，

∴为所求。

例6、求函数的单调区间。

(1)

(2) y=|x|(1-x)

(3)

分析与解答：

可以通过引入中间变量u，将复合函数y=f[g(x)]拆分为u=g(x)和y=f(u)，复合函数的单调性可以通过u=g(x)和y=f(u)的单调性获得，结果如下表，但实施时要首先考虑函数定义域。

(1) x2-8x+7>0, ∴x>7或x<-1

当x∈(-∞,-1)时，x↗，u=x2-8x+7↙, ↗

∴(-∞,-1)为单增区间；

当x∈(7,+∞)时，x↗, u=x2-8x+7↗, ↙,

∴(7, +∞)为单减区间。

(2)含绝对值的函数，可分情况讨论，去掉绝对值符号

因函数图象易于画出，所以画图（见左），直接读出单调区间

∴单增区间为，单减区间为（-∞，0]和。

(3)可先化简函数为

当，k ∈Z 时，

即时，x ↗ ， ↗ ， ↙

当，k ∈Z 时，

即时，x ↗， ↗， ↗

∴单增区间为，k ∈Z ，

单减区间为，k ∈Z 。

评注：

①数形结合利用图象判断函数单调区间；

②关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关。

③复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决，内外层函数同向变化T复合函数为增函数；内外层函数反向变化T复合函数为减函数。

例7、设函数f （x ）在定义域R ＋

上是单调递减函数，且满足f （xy ）=f （x ）+f （y ），

），求：f

（1）及f （）.

分析：这里的函数f （x ）没有给出具体的解析式，要求f （1）的值，就需要对已知条件f （xy ）=f （x ）+f （y ）

中的x 、y 进行恰当的赋值，于是令x= ，y=1，得f （1）=0.

解：令x=，y=1，得f（1）=0.

∵f（）=1，∴f（）=2.

例8、定义在（-2，2）上的偶函数f(x)，当x≥0时为减函数，若f(1-a)

分析与解答：

∵f(x)为偶函数，

∴f(x)=f(|x|)

由f(1-a)

∴，

解得：。

点评：利用函数的单调性，设法将条件转化为关于a的不等式组，处理时，应关注定义域条件，特别是利用奇偶性，将f(1-a),f(a)均化为f(|1-a|)、f(|a|)，从而利用x≥0的减函数性质，获得关于a的条件，巧妙地避开了对a的分类讨论。

例9、x∈[0,1]，不等式恒成立，求a的取值范围。

分析与解答：

将不等式的左端整理为关于x的函数，

即对x∈[0,1]恒成立，

∴只需f min(x)>0

∵f(x)可视为关于x的一次型函数，

∴只需，即有

∴,

∴.

说明：

（1）若函数f(x)=kx+b在[a,b]恒成立，限定方法有两种：

方法一：只需

方法二：只需。

利用f(x)为一次函数，故其最值存在，只能在区间端点处取得，即若其两端点值均大于零。（2）恒成立问题：常常可将函数整理为已给范围的变量为自变量的函数的最值问题去处理。

例10、设a>0，是奇函数。

（1）试确定a的值；

（2）试判断f(x)的反函数f-1(x)的单调性，并证明；

（3）设（n∈N*）试比较f-1(n)与g(n)的大小。

解析：

（1）∵f(x)为奇函数，∴f(x)+f(-x)=0

即对定义域内x均成立，

解得a=1，

即；

（2）由得，

∴，

∴f-1(x)在定义域内为增函数，

当任取定义域内x1,x2且x1

因得，

则，

∴f-1(x1)

（3），

则：f-1(1)g(3),

假设f-1(k)>g(k)(k≥3)成立，即：即2k>2k+1,

则

。

∴f-1(k+1)>g(k+1)，

综上知，n≥3时，恒有f-1(n)>g(n).

评注：本题综合考查了指数函数，对数函数的性质，部分分式法的变形技巧及数学归纳法、逻辑推理能力等。

例11、设函数定义在R上对任意实数m,n恒有f(m+n)=f(m)·f(n)，且当x>0时，0

(1)求证：f(0)=1且当x<0时f(x)>1；

(2)求证：f(x)在R上单调递减；

(3)设集合A={(x,y)|f(x2)f(y2)>f(1)}, B={(x,y)|f(ax-y+2)=1, a∈R}，若A∩B＝?，求a的取值范围。

解：

(1)取m>0,n=0，得f(m)=f(m)·f(0)，且f(m)∈(0,1),

∴f(0)=1,

又对于x<0, f(x-x)=f(x)·f(-x),

∴f(0)= f(x)·f(-x)，而-x>0,

∴

即f(x)>1.

(2) 任取x1,x2∈R, 且x1

∴f(x1)=f[(x1-x2)+x2]=f(x1-x2)f(x2)，

而f(x2)>0(由题设及(1))，

∴，

故f(x1)>f(x2),

则f(x)在(-∞,+∞)单调递减。

(3)由A得f(x2+y2)>f(1)及(2)知x2+y2<1,

又由B得f(ax-y+2)=f(0)及(2)知ax-y+2=0.

若A∩B＝??直线ax-y+2=0与圆x2+y2=1无公共点，

则，

∴。

例12、若f(x)=2x+1, , h(x)=-3x-1，设F(x)为f(x), g(x), h(x)中的较大者，求F(x)的解析式。解：在同一坐标系中做出三个函数f(x), g(x), h(x)的图象。

由图可知，F(x)的图象就是图中用标注的折线，

令g(x)=h(x)，解出，即A点横坐标为，

令f(x)=g(x)，解出, 即B点横坐标为

∴

本周练习：

1.函数f（x）=－x2＋2（a－1）x＋2在（－∞，4）上是增函数，则a的范围是

A.a≥5

B.a≥3

C.a≤3

D.a≤－5

2.y=f（x）（x∈R）是奇函数，则它的图象必经过点

A.（－a，－f（－a））

B.（a，－f（a））

C.（a，f（））

D.（－a，－f（a））

3.设f（x）是R上的偶函数，且在（0，＋∞）上是减函数，若x1＜0且x1＋x2＞0，则

A.f（－x1）＞f（－x2）

B.f（－x1）=f（－x2）

C.f（－x1）＜f（－x2）

D.f（－x1）与f（－x2）大小不确定

4.设定义在R上的函数f（x）=x|x|，则f（x）

A.既是奇函数，又是增函数

B.既是偶函数，又是增函数

C.既是奇函数，又是减函数

D.既是偶函数，又是减函数

5.函数（1）y=|x|，（2）y=－，（3）y=，（4）y=－，（5）y=x+中，在（－∞，0）上为增函数的有

A.（1）（2）（4）

B.（2）（4）（5）

C.（2）（3）（4）

D.（3）（4）（5）

6.已知函数f（x）=log2（x2－ax+3a）在区间[2，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是

A.（－∞，4）

B.（－4，4）

C.（－∞，－4）∪[2，+∞）

D.[－4，2）

7．设实数a∈[-1,3], 函数f(x)=x2-(a+3)x+2a，当f(x)>1时，实数x的取值范围是（）

A、[-1,3]

B、(-5,+∞)

C、(-∞,-1)∪(5,+∞)

D、(-∞,1)∪(5,+∞)

8．已知函数，若函数g(x)的图象与函数f-1(x+1)的图象关于y=x对称，那么的值等于（）。

A、-1

B、-2

C、

D、

9．已知函数f(x)定义域为R，则下列命题：

①y=f(x)为偶函数，则y=f(x+2)的图象关于y轴对称.

②y=f(x+2)为偶函数，则y=f(x)关于直线x=2对称.

③若函数f(2x+1)是偶函数，则f(2x)的图象关于直线对称.

④若f(x-2)=f(2-x)，则y=f(x)关于直线x=2对称.

⑤y=f(x-2)和y=f(2-x)的图象关于x=2对称.

其中正确的命题序号是（）.

A、①②④

B、②③⑤

C、①③④

D、②③④

10.函数y=在区间（－∞，a）上是减函数，则a的取值范围是

A.（－∞，0）

B.（－∞，－1）

C.[0，＋∞）

D.[－1，＋∞）

11.函数f（x）=2x2－3|x|的单调减区间是_________________。

12.已知f（x）=x5＋ax3＋bx－8，f（－2）=10，则f（2）=_________________。

13.若f（x）是偶函数，其定义域为R且在[0，＋∞）上是减函数，则f（－）与f（a2－a＋1）的大小关系是_________________。

14.函数y=x2－2ax+1，

（1）若它的增区间是[2，+∞），则a=_________________。

（2）若它在区间[2，+∞）上递增，则a_________________。

15．如果函数在(-2,+∞)是增函数，那么实数a的取值范围是_______。

16．已知22-a-2

17．已知奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=a x-a-x+2且g(b)=a ，则f(a)=______。

18. 已知f（x）是奇函数，在（0，＋∞）上是增函数，证明f（x）在（－∞，0）上是增函数.

19.判断下列函数的单调性，并说明理由.

（1）y=；

（2）y=x2－2|x|－1.

20.已知f（x）是奇函数，在（－1，1）上是减函数，且满足f（1－a）＋f（1－a2）＜0，求实数a的范围.

21．设f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数，且对任意a,b∈[-1,1]，当a+b0时，都有。

(1)若a>b,试比较f(a),f(b)的大小。

(2)解不等式

(3)设P={x|y=f(x-c)},Q={x|y=f(x-c2) }且P∩Q=?，求C的取值范围。

参考答案：

1.A

2.D

3.A

4.A

5.B

6.B

7、C

解析：反客为主，视a为变量，函数表达式为y=(2-x)a+x2-3x, 由一次函数（或常数函数）的图象知，只需端点a=-1 及a=3时y>1即可。

由,

∴x>5或x<-1.

8.A

解析：由y=f-1(x+1）得f(y)=x+1, ∴x=f(y)-1,

∴f-1(x+1)的反函数为y=f(x)-1，即g(x)=f(x)-1,

9.B

①y=f(x)是偶函数，而f(x+2)是将f(x)的图象向左平移2个单位得到的，则f(x+2)的图象关于x=-2对称。

②y=f(x+2)为偶函数，则f(x+2)=f(-x+2)，所以f(x)的图象关于直线x=2对称。

③∵f(2x+1)是偶函数，∴f(-2x+1)=f(2x+1), 则f(x)的对称轴是x=1,∴f(2x)对称轴是。

④令x-2=t,则2-x=-t，得f(t)=f(-t),则f(x)图象关于y轴对称。

⑤f(x)与f(-x)的图象关于y轴对称，将f(x)与f(-x)的图象分别向右平移2个单位得f(x-2)与f(2-x)的图象，则对称轴为x=2。

10.B

11.[0,]（－∞，－）

12.-26

13.f（a2－a+1）≤f（－）

14.（1）2（2）≤2

15..

16.a =2

17.解析：由f(x)+g(x)=a x-a-x+2，

由奇偶性以-x代替x得：

f(-x)+g(-x)=a-x-a x+2 即-f(x)+g(x)=a-x-a x+2

与原式联立得，

所以g(b)=a=2, .

18.解：设x1＜x2＜0，则－x1＞－x2＞0.

∵f（x）在（0，＋∞）上是增函数，

∴f（－x1）＞f（－x2）.

又∵f（x）是奇函数，

∴－f（x1）＞－f（x2）.

从而有f（x1）＜f（x2），

∴f（x）在（－∞，0）上是增函数.

19.解：

（1）由题意3－2x－x2≥0，解得－3≤x≤1，

故函数y=的定义域是[－3，1].

∵3－2x－x2=－（x+1）2+4，

∴由二次函数的性质可知，此函数在[－3，－1]上是增函数，在[－1，1]上是减函数.

（2）由题意，y=x2－2|x|－1=

它的图象如图所示，可知此函数

在区间（－∞，－1]和[0，1]上是减函数，

在区间[－1，0]和[1，+∞）上是增函数.

20.解：

由f（1－a）＋f（1－a2）＜0，

得f（1－a）＜－f（1－a2）.

∵f（x）是奇函数，

∴－f（1－a2）=f（a2－1）

于是f（1－a）＜f（a2－1）

又由于f（x）在（－1，1）上是减函数，

因此，

解得0＜a＜1.

21．解：

(1)由a>b, ……(*)

题设知：，而a-b>0,得(*)＞0。

即f(a)>f(b)，

故f(x)在[-1,1]单调递增。

(2)由定义域及单调性知，可化为

，解得。

(3)由P知－1≤x-c≤1得c-1≤x≤c+1,

由Q知：-1≤x-c2≤1得c2-1≤x≤c2+1.

则P∩Q＝??c2-1>c+1或c-1>c2+1.

解得：c<-1或c>2.

指数函数相关知识

指数函数与对数函数互为反函数.

(1)

①y=a x ②y=b x③y=c x④y=d x则：0＜b＜a＜1＜d＜c

又即：x∈(0，+∞)时，b x＜a x＜d x＜c x(底大幂大)

x∈(-∞，0)时，b x＞a x＞d x＞c x

(2)

①y=log a x ②y=log b x ③y=log c x ④y=log d x

则有：0＜b＜a＜1＜d＜c

又即：x∈(1，+∞)时，log a x＜log b x＜0＜log c x＜log d x(底大对数小) x∈(0，1)时，log a x＞log b x＞0＞log c x＞log d x

函数的性质知识点总结

1.函数的奇偶性 (1)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x) ; (2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)=0(可用于求参数); (3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0); (4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性; (5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性; 2.复合函数的有关问题 (1)复合函数定义域求法：若已知的定义域为[a，b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域(即f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。 (2)复合函数的单调性由“同增异减”判定; 3.函数图像(或方程曲线的对称性) (1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上; (2)证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上，反之亦然; (3)曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0); (4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为：f(2a-x,2b-y)=0;

(5)若函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a-x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称; (6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x= 对称; 4.函数的周期性 (1)y=f(x)对x∈R时，f(x +a)=f(x-a) 或f(x-2a )=f(x) (a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数; (2)若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数; (3)若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数; (4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2 的周期函数; (5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2 的周期函数; (6)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)= ，则y=f(x)是周期为2 的周期函数; 5.方程 (1)方程k=f(x)有解k∈D(D为f(x)的值域); (2)a≥f(x) 恒成立a≥[f(x)]max,; a≤f(x) 恒成立a≤[f(x)]min; (3)(a>0,a≠1,b>0,n∈R+); log a N= ( a>0,a≠1,b>0,b≠1); (4)log a b的符号由口诀“同正异负”记忆;

高考复习函数知识点总结

高考复习函数知识点总结一．函数概念的理解以及函数的三要素（1）函数的概念 ①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →． ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则． ③只有定义域相同，且对应法则（函数关系式）也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法 ①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做 [,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做 [,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b < ．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ① 分式的分母不为0； ② 偶次根式下被开方数大于0； ③ 0y x = ，则有0x ≠ ； ④ 对数函数的真数大于0，底数大于0切不等于1 注意：①解析式为整式的函数定义域为R ； ②若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则

其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集； ③对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知() f x的定义域为[,] a g x b ≤≤解出． f g x的定义域应由不等式() a b，其复合函数[()] （4）求函数的值域或最值常用方法： ①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值． ②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值． ③判别式法：若函数() =可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程 y f x 2 ++=，则在()0 a y x b y x c y ()()()0 a y≠时，由于,x y为实数，故必须有 2()4()()0 ?=-?≥，从而确定函数的值域或最值． b y a y c y ④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值． ⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题． ⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．（5）函数解析式 ①换元法；（用于求复合函数的解析式） ②配凑法；（用于求复合函数的解析式）

高一数学《函数的性质》知识点总结

高一数学《函数的性质》知识点总结二．函数的性质函数的单调性增函数设函数y=f的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x12时，都有f2)，那么就说f在区间D上是增函数.区间D称为y=f的单调增区间. 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x12时，都有f＞f，那么就说f在这个区间上是减函数.区间D称为y=f的单调减区间. 注意：函数的单调性是函数的局部性质；图象的特点如果函数y=f在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f在这一区间上具有单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. 函数单调区间与单调性的判定方法定义法：任取x1，x2∈D，且x12；作差f－f；变形；

定号；下结论．图象法复合函数的单调性复合函数f[g]的单调性与构成它的函数u=g，y=f的单调性密切相关，其规律：“同增异减” 注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. ．函数的奇偶性偶函数一般地，对于函数f的定义域内的任意一个x，都有f=f，那么f就叫做偶函数．．奇函数一般地，对于函数f的定义域内的任意一个x，都有f=—f，那么f就叫做奇函数．具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．利用定义判断函数奇偶性的步骤：首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；确定f与f的关系；作出相应结论：若f=f或f－f=0，则f是偶函数；若

f=－f或f＋f=0，则f是奇函数．注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，再根据定义判定;由f±f=0或f／f=±1来判定;利用定理，或借助函数的图象判定. 函数的解析表达式函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. 求函数的解析式的主要方法有： )凑配法 )待定系数法 )换元法 )消参法 0．函数最大值利用二次函数的性质求函数的最大值利用图象求函数的最大值利用函数单调性的判断函数的最大值：如果函数y=f在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f在x=b处有最大值f；如果函数y=f在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f在x=b处有最小值f；

人教版高一数学必修一第一章集合与函数概念知识点

高一数学必修1各章知识点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 ◆注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是注意：B 同一集合。 ?/B 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A ?/A 或B 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 ◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集

高考函数知识点总结

高中函数大全一元二次函数定义域区间定义对应法则一元二次不等式值域指根式分数指数映射数函数指数函数的图像和性质指数方程对数方程函数性质奇偶性单调性对数的性质积、商、幂与周期性根的对数对数反函数互为反函数的函数图像关系对数对数恒等式和不等式函数常用对数自然对数对数函数的图像和性质函数概念（一）知识梳理 1．映射的概念设 A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任意元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A到B的映射，通常记为f:A B，f表示对应法则注意：⑴A中元素必须都有象且唯一；⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。 2．函数的概念 (1)函数的定义：设 A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为y f(x),x A (2)函数的定义域、值域在函数y f(x),x A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做y f(x)的定义域；与x的值相对应的y值

叫做函数值，函数值的集合 f(x)x A称为函数y f(x)的值域。 (3)函数的三要素：定义域、值域和对应法则 3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；（2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； (3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。 4．分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。（二）考点分析考点1：映射的概念例1．（1）A R，B{y|y0}，f:x y|x|；（2）* A{x|x2,x N}，B y|y0,y N， 2 f:x y x2x2；（3）A{x|x0}，B{y|y R}，f:x y x．上述三个对应是A到B的映射．例2．若A{1,2,3,4}，B{a,b,c}，a,b,c R，则A到B的映射有个，B到A的映射有个，A到B 的函数有个例3．设集合M{1,0,1}，N{2,1,0,1,2}，如果从M到N的映射f满足条件：对M中的每个元素x与它在 N中的象f(x)的和都为奇数，则映射f的个数是（） (A)8个(B)12个(C)16个(D)18个考点2：判断两函数是否为同一个函数例1．试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1） 2 f(x)x， 3 3 g(x)x；（2） x f(x)， x g(x) 1 1 x x 0, 0; （3）212 1 n x n f(x)， 2n x) 12n1 *）；g(x)(（n∈N 2 （4）f(x)x x1，g(x)x x； 2x2t （5）()2 1 f x x，g(t)t2 1 考点3：求函数解析式

高中数学函数知识点总结

高中数学函数知识点总结（1）高中函数公式的变量：因变量，自变量。在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。（2）一次函数：①若两个变量 ,间的关系式可以表示成（为常数，不等于0）的形式，则称是的一次函数。②当 =0时，称是的正比例函数。（3）高中函数的一次函数的图象及性质 ①把一个函数的自变量与对应的因变量的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。 ②正比例函数 =的图象是经过原点的一条直线。 ③在一次函数中，当 0， O，则经2、3、4象限；当 0， 0时，则经1、 2、4象限；当 0， 0时，则经1、 3、4象限；当 0， 0时，则经1、2、3象限。 ④当 0时，的值随值的增大而增大，当 0时，的值随值的增大而减少。（4）高中函数的二次函数： ①一般式： ( )，对称轴是顶点是； ②顶点式： ( )，对称轴是顶点是； ③交点式： ( )，其中（），（）是抛物线与x轴的交点（5）高中函数的二次函数的性质 ①函数的图象关于直线对称。 ②时，在对称轴（）左侧，值随值的增大而减少；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而增大。当时，取得最小值

③时，在对称轴（）左侧，值随值的增大而增大；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而减少。当时，取得最大值 9 高中函数的图形的对称（1）轴对称图形：①如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。②轴对称图形上关于对称轴对称的两点确定的线段被对称轴垂直平分。（2）中心对称图形：①在平面内，一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做他的对称中心。②中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。

函数的基本性质知识点归纳与题型总结

函数的基本性质知识点归纳与题型总结一、知识归纳 1．函数的奇偶性 2．函数的周期性 (1)周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．解题提醒： ①判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件． ②判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)

＝－f (x )或f (－x )＝f (x )，而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)或f (－x 0)＝f (x 0)． ③分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．题型一函数奇偶性的判断典型例题：判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝(x ＋1) 1－x 1＋x ； (2)f (x )＝? ???? －x 2＋2x ＋1，x ＞0， x 2＋2x －1，x ＜0； (3)f (x )＝4－x 2 x 2； (4)f (x )＝log a (x ＋x 2＋1)(a ＞0且a ≠1)．解：(1)因为f (x )有意义，则满足1－x 1＋x ≥0，所以－1＜x ≤1，所以f (x )的定义域不关于原点对称，所以f (x )为非奇非偶函数． (2)法一：(定义法) 当x ＞0时，f (x )＝－x 2＋2x ＋1，－x ＜0，f (－x )＝(－x )2＋2(－x )－1＝x 2－2x －1＝－f (x )；当x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x －1，－x ＞0，f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＋1＝－x 2－2x ＋1＝－f (x )．

集合与函数知识点归纳

集合与函数板块公式 1.集合的运算: (1)交集:A x x B A ∈=|{ 且}B x ∈,即集合B A ,的所有公共元素构成的集合. (2)并集:A x x B A ∈=|{ 或}B x ∈,即集合B A ,的所有元素构成的集合. (3)补集:?U ∈=x x A |{U 且}A x ?,即除A 中元素需补充的所有元素的集合. 2.集合中的关系: (1)元素与集合的关系:属于或不属于关系.(∈或?) (2)集合与集合关系:A 是B 的子集记为B A ?.(开口朝范围大的集合) (3)含有n 个元素的子集有n 2个,真子集有12-n 个,非空真子集有22-n 个. 3.集合表示法:列举法、描述法、区间法、特殊字母(Venn 图象法、数轴表示) 4.常用函数定义域的求法(结果用集合的表示方法表示) (1))(x f y =,0)(≥x f (2))(log x f y a =,0)(>x f (3))()(x g x f y = ,0)(≠x g (4))(tan x f y =,∈+≠k k x f (,2 )(π π)Z 5.函数的单调性 (1)定义法: ①增函数:任意D x x ∈21,且21x x <,都有)()(21x f x f < ②减函数:任意D x x ∈21,且21x x <,都有)()(21x f x f > (2)定义法变形: ①)(x f 增函数? 0)]()()[(0) ()(2121212 1>--?>--x f x f x x x f x f x x ②)(x f 减函数? 0)]()()[(0) ()(2121212 1<--?<--x f x f x x x f x f x x (3)图象法: ①增函数图象上升; ②减函数图象下降 (4)导数法: ①增函数(增区间):令0)('>x f 解得x 的范围为增区间 ②减函数(减区间):令0)('a 为增函数; ②0