根式、指数式、对数式)

综合练习 根式、指数式、对数式

一．基础知识自测题：

1．指数式4

532

-b

a 化为根式是

4

5

3

2

b

a .

2．根式

b

b a

3

4

化为指数式是2

343

-

b

a .

3．log 3 333＝

8

7.

4．已知log m 0.3m >1 . 5．已知2x ＋2－x ＝3，则8x ＋8－x ＝ 18 .

二．基本要求：

1．熟练掌握指数式和根式的互化，对含有指数式(或根式)的乘除运算，要善于利用幂的运算法则；

2．熟练掌握指数式和对数式的互化；

3．熟练掌握和运用对数运算法则和换底公式； 4．注意表达式中各数字和字母之间的关系。 例一．若12.2a ＝0.0122b ＝1000，求a

1－b

1的值。

解：a ＝log 12,2 1000, ∴a

1＝log 1000 12.2, 同理b

1＝ log 1000 0.0122.,

∴

a

1－

b

1＝ log 1000 12.2－ log 1000 0.0122＝1.

例二．若lg(a －b )＋lg(a ＋b )＝lg2＋lg a ＋lg b ，求b

a 的值。

解：由已知得lg(a ＋b )(a －b )＝lg2ab , 且a －b >0,a ＋b >0, a >0, b >0. ∴ a 2－ab －b 2＝0, 解得

b

a ＝2, 或

b

a ＝－1(舍)。

例三．已知log a x , log b x , log c x 成等差数列，求证：c 2

＝(ac )b a log .

证明：∵log a x , log b x , log c x 成等差数列，∴2 log b x ＝ log a x ＋log c x , 换成以a 为底的对数， 得

c

x x b

x a

a a

a a

log

log log

log

log 2+

=, log a x ≠0,

∴ 2log a c ＝ log a b ·log a c ＋ log a b ＝ log a b ·log a ac ＝b

a a

ac log )(log

∴c 2

＝(ac )b a log .

例四．设a >0, 且a ≠1, f (x )＝a x ＋a －x , g (x )＝ a x －a －x , 对于正数m , n 有f (m )f (n )＝8, g (m )g (n )＝4, 求m , n 的值。

解：(a m ＋a －m )( a n ＋a －n )＝8, (a m －a －m )( a n －a －n

)＝4, 即 (a

m ＋n

＋a

－m －n

)＋( a

m －n

＋a

n －m

)＝8, (a

m ＋n

＋a

－m －n

)－( a

m －n

＋a

n －m

)＝4,

∴a m ＋n ＋a －m －n ＝6, a m －n ＋a n －m ＝2, ∴a m ＋n ＝3±22, a m －n ＝1, ∴ m ＋n ＝log a (3±22), m ＝n , ∴ m ＝n ＝ log a (2±1). 三．基本技能训练题：

1．设x ＝log 5 6·log 6 7·log 7 8·log 8 9·log 9 10, 则x 属于区间（ B ）。 （A ）(0,1) （B ）(1, 2) （C ）(2, 3) （D ）(3, 4) 2．已知x , y , z 都是正数，且2x

＝3y

＝6z

, 则一定有（ B ）。 （A ）2x <3y <6z （B ）3y <2x <6z （C ）6z <2x <3y （D ）6z <3y <2x 3．已知log 67＝a , log 6 2＝b , 则log 18 28＝

b

b a -+22.

4．已知a >b >1, log a b ＋log b a ＝

3

10, 则log a b －log b a ＝38-

.

5．设a , b , c 均是不等于1的正数，且x x ＝b y ＝c z ,

z

y

x

111+

+

＝0, 求abc 的值。

解：设x x ＝b y ＝c z ＝t , 则

x

1＝log t a ,

y

1＝log t b ,

z

1＝ log t c , ∴

z

y

x

111+

+

＝ log t a

＋ log t b ＋ log t c ＝0, ∴ abc ＝1. 6．

3

log

9log 2

8的值是（A ）。

（A ）

3

2 （B ）1 （C ）

23 （D ）2

7．已知a >0, b >0且a b

＝b a

, b ＝9a ，则a ＝（A ）。 （A ）43 （B ）9 （C ）9

1 （D ）39

8．已知0

log

（B ）p p

（C ）p <3p （D ）p (1－p )<

4

1

9．如果0y >1,则下列各不等式中正确的是（B ）。

（A ）x a a y （C ）a x a －y

10．若log a 2

（A ）0b >1 （D ）b >a >1 11．若log a

3

2<1，则a 的取值范围是（D ）。

（A ）(0,

3

2) （B ）(

3

2,＋∞) （C ）(

3

2, 1) （D ）(0,

3

2)∪(1, ＋∞)

12．如果x >1, a ＝x 2

1log , 则（C ）

。 （A ）a 2>2a >a （B ）2a >a >a 2 （C ）a 2>a >2a （D ）a >2a >a 2 13．若log 6 sin 2x ＝－0.3269, log 6 3＝0.6731, 则x ＝12

512

π+

ππ+

πk k 或.

14．若n 是正数，且n 100

是一个120位的数，则n

1

在小数点后第 2 位开始出现非零数

字。 15．已知a

a 212log

3

-=

，则log 12 3＝ a .

16．若log 2 [log 3 (log 4 x )]＝ log 3 [log 4 (log 2 y )]＝ log 4 [log 2 (log 3 z )]＝0, 则x

＋y ＋z ＝ 89 .

17．若a >1, b >1, c >1, 则log a b ＋2log b c ＋4log c a 的最小值是 6 . 四．试题精选： (一) 选择题： 1．把式子a

a 1-

经过计算可得（D ）。

（A ）a - （B ）a （C ）－a （D ）－a -

2．5

log

2

1

3

9

-的值为（C ）。

（A ）

5

3 （B ）

5

1 （C ）

25

3 （D ）

125

9

3．2＋10

log 1a 比lg 100

a 大（B ）。

（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 4．已知3a ＝5b ＝A ，且

b

a 11+＝2，那么A 的值是（B ）。

（A ）15 （B ）15 （C ）5 （D ）225

5．如果log 8 a ＋log 4 b 2＝5, log 8 b ＋log 4 a 2＝7，那么log 2 ab 的值是（D ）。

（A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）9

6．设log 2[log 3(log 4a )]＝log 3[log 4(log 2b )]，则b

a 的值等于（A ）。

（A ）4 （B ）2 （C ）－

2

1 （D ）

4

1

7．已知m >0，且10x

＝lg(10m )＋lg m

1, 则x 的值是（B ）。

（A ）－1 （B ）0 （C ）1 （D ）2

8．已知x 1, x 2是方程lg 2x ＋(lg3＋lg2)lg x ＋lg3·lg2＝0的两根，则x 1x 2的值是（D ）。

（A ）lg2·lg3 （B ）lg6 （C ）6 （D ）6

1

9．已知11.2m ＝1000, 0.0112n ＝1000，则m

1－n

1的值为（D ）。

（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1

10．设x , y , z ∈R ＋，且3x ＝4y ＝6z

，则（B ）。 （A ）

y

x z 111+= （B ）

y

x

z

122+

=

（C ）

y

x

z

221+

=

（D ）

y

x

z

212+

=

(二) 填空题： 11．

16

log 8

log

4log

3

13

9

+＝ 1 .

12．4

1

3.0log

2

-＝

9

25.

13．若x >0, y >0, 化简()

2

14

3

3

122

1391---

??

? ???

?

?

?

??y

x

y x 得21

23

39y x .

14．若lg2≈0.3, ln 10≈2.3, 则ln 5≈ 1.61 . 15．设a >0, a ≠1, 又b ＝2

11

n

n a

a --, n ∈N , 则n

a

b b )1(log

22

++

的值为

2

1.

(三) 解答题：

16．计算：1363

242.0lg 9.0lg 23lg 22lg -?-?

??

? ??+++. 解：原式＝1

322.09.0100lg(18lg --???

? ????＝1－21＝21. 17．已知log 23＝a , 3b ＝7, 用a , b 表示log 1256. 解：∵3b ＝7, ∴b ＝log 3 7, log 1256＝

2

log 217

log

2log

312

log 56log 3

3

3

33++=

＝

2

3213++=

+

+a ab a

b a

.

18．已知x ≠1, ac ≠1, 且2log b x ＝log a x ＋log c x , 求证：c 2

＝(ac )b a log . 证明：∵2log b x ＝log a x ＋log c x , ∴

c

x x b

x a

a a

a a

log

log log

log

log 2+

=,

∵x ≠1, ∴ log a x ≠0,

∴2 log a c ＝ log a b ·log a c ＋ log a b ＝ log a b (1＋ log a c )＝ log a b ·log a ac ＝b

a

ac log )log(,

∴ c 2＝(ac )b a log .

19．已知8a

＝10b

＝25c

, 求证：b

c

a

632=

+

.

证明：设8a

＝10b

＝25c

＝t , 则a

1＝log t 8, b

1＝log t 10,

c

1＝log t 25,

∴

b

c

a t t t

t t 610log 6)5log 2(log

625log 38log 232=

=+=+=+.

20． 设x , y , z 为非零实数，且满足02562

684495495=+?-++++z

y x z

y x ,求x ＋y ＋z 的

最大值和最小值。 解：设z

y x 4952

++＝t , 则原方程为t 2－68t ＋256＝0, 解得t 1＝64, t 2＝4,

∴ 5x ＋9y ＋4z ＝36或5x ＋9y ＋4z ＝4. ∵ x , y , z 为非零实数，

∴ 4(x ＋y ＋z )＝(5x ＋9y ＋4z )－(x ＋5y )≤36－(x ＋5y )≤36, 当x ＝0, y ＝0且5x ＋9y ＋4z ＝36时, x ＋y ＋z ＝9为最大值； 又9(x ＋y ＋z )＝(5x ＋9y ＋4z )＋(4x ＋5z )≥4＋4x ＋5z ≥4, 当x ＝0, z ＝0且5x ＋9y ＋4z ＝4时, x ＋y ＋z ＝

9

4为最小值。

21．若x ＝z lg 11

10-, y ＝x lg 11

10-，求证：z ＝y lg 11

10-. 证明：由已知得lg x ＝

z

lg 11-, lg y ＝

x

lg 11-,

∵ lg x (1－lg z )＝1, lg x －lg x ·lg z ＝1, lg z ＝

x

x lg 1lg -, 同理lg x ＝

y

y lg 1lg -,

∴ lg z ＝

y

y y y lg 1

lg 1

lg 1

lg ---＝

y

lg 11-, ∴ z ＝y lg 11

10-.

高中数学,指数式与对数式的运算考点题型总结

第八节指数式、对数式的运算 ?基础知识 1.指数与指数运算 (1)根式的性质 ①(n a)n＝a(a使 n a有意义)． ②当n是奇数时，n a n＝a； 当n是偶数时，n a n＝|a|＝ ?? ? ??a，a≥0， －a，a<0. (2)分数指数幂的意义 分数指数幂的意义是解决根式与分数指数幂互化问题的关键． ①a m n＝ n a m(a>0，m，n∈N*，且n>1)． ②a - m n＝ 1 a m n ＝ 1 n a m (a>0，m，n∈N*，且n>1)． ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (3)有理数指数幂的运算性质 ①a r·a s＝a r＋s(a>0，r，s∈Q)； ②a r a s＝a r－s(a>0，r，s∈Q)； ③(a r)s＝a rs(a>0，r，s∈Q)； ④(ab)r＝a r b r(a>0，b>0，r∈Q)． (1)有理数指数幂的运算性质中，要求指数的底数都大于0，否则不能用性质来运算． (2)有理数指数幂的运算性质也适用于无理数指数幂． 2．对数的概念及运算性质 一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，就是a b＝N，那么，数b就叫做以a 为底N的对数，记作：log a N＝b. 指数、对数之间的关系

(1)对数的性质 ①负数和零没有对数； ②1的对数是零； ③底数的对数等于1. (2)对数的运算性质 如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N ＝log a M －log a N ； ③log a (N n )＝n log a N (n ∈R)． ? 常用结论 1．换底公式的变形 (1)log a b ·log b a ＝1，即log a b ＝ 1 log b a (a ，b 均大于0且不等于1)； (2)log am b n ＝n m log a b (a ，b 均大于0且不等于1，m ≠0，n ∈R)； (3)log N M ＝log a M log a N ＝log b M log b N (a ，b ，N 均大于0且不等于1，M >0)． 2．换底公式的推广 log a b ·log b c ·log c d ＝log a d (a ，b ，c 均大于0且不等于1，d >0)． 3．对数恒等式 a log a N ＝N (a >0且a ≠1，N >0)． 考点一 指数幂的化简与求值 [典例] 化简下列各式：

指数式和对数式比较大小

指数式和对数式比较大 小 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-

指数式和对数式比较大小五法 方法一：利用函数单调性 同底的指数式和对数式以及同指数的指数式的大小,可以利用函数的单调性来比较. 核心解读： 1.比较形如m a 与n a 的大小,利用指数函数x y a =的单调性. 2.比较形如log a m 与log a n 的大小,利用对数函数log a y x =的单调性. 3.比较形如m a 与m b 的大小,利用幂函数m y x =的单调性. 例1：比较下列各组数的大小 （1）0.30.3,30.3 （2）2log 0.8,2log 8.8 （3）0.30.3,0.33 [解]（1）利用函数0.3x y =的单调性. 因为函数0.3x y =在R 上单调递减,<3,所以0.30.3>30.3. （2）利用函数2log y x =的单调性. 因为函数2log y x =在(0,)+∞单调递增,<,所以2log 0.8<2log 8.8. （3）利用函数0.3y x =的单调性. 因为函数0.3y x =在(0,)+∞单调递增,<3,所以0.30.3<0.33. 方法二：中间桥梁法 既不同底又不同指的指数式、对数式比较大小,不能直接利用函数的单调性来比较,可利用特殊数值作为中间桥梁,进而可比较大小. （1）比较形如m a 与n b 的大小,一般找一个“中间值c ”,若m a c <且m c b <,则m n a b <；若m a c >且n c b >,则m n a b >.常用到的特殊值有0和1.(0log 1a =，1log a a =，01a =) （2）比较形如m a 与n b 的大小,一般可以取一个介于两值中间且与题目中两数都能比较大小的一个中间值,即n a 或者m b ,进而利用中间值解决问题. 例2：比较下列各组数的大小 （1）0.41.9, 2.40.9 （2）124()5,139()10 [解]（1）取中间值1. 因为0.4 01.9 1.91>=, 2.400.90.91<=,所以0.4 2.41.90.9>. （2）取中间值1 29()10 . 利用函数910 x y =（）的单调性比较139()10和129()10的大小,易知139()10>129()10.利用函数12y x =单调性比较124()5和129()10的大小,易知124()5<129()10.所以139()10>1 24()5. （补充:对于指数相同底数不同的两指数式比较大小,也可以通过做比与1比较大小的方法比较两数的大小.）

指数对数概念及运算公式

指数函数及对数函数重难点 根式的概念： ①定义：若一个数的n 次方等于),1(* ∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根.即，若 a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且， 1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ； 2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作 )0(>±a a n . ②性质：1）a a n n =)(； 2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，???<-≥==) 0() 0(||a a a a a a n 幂的有关概念： ①规定：1）∈???=n a a a a n ( N * ， 2）)0(10 ≠=a a ， n 个 3）∈=-p a a p p (1 Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）， 2）r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）， 3）∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ） （注）上述性质对r 、∈s R 均适用. 例 求值 （1） 3 28 （2）2 125 - （3）()5 21- （4）() 43 8116- 例.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数) (1)43a a ? （２）a a a （３）32 )(b a - （４）43 )(b a + （５）32 2b a ab + （6）42 33 )(b a + 例.化简求值

（1）0 121 32322510002.08 27）（）（）（）（-+--+---- （2）2 11 5 3125.05 25 .231 1.0)32(256) 027.0(?? ????+-+-????? ?-- （3）=?÷ ?--3133 73 32 9a a a a （4）21 1511336622263a b a b a b ??????-÷- ??? ??????? = （5）6323 1.512??= 指数函数的定义： ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数， 1）函数的定义域为R ， 2）函数的值域为),0(+∞， 3）当10<a 时函数为增函数. 提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？ （1）2 2 x y += （2）(2)x y =- （3）2x y =- （4）x y π= （5）2y x = （6）2 4y x = （7）x y x = （8）(1)x y a =- （a ＞1，且2a ≠） 例：比较下列各题中的个值的大小 （1）1.72.5 与 1.7 3 ( 2 )0.1 0.8 -与0.2 0.8 - ( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1 例：已知指数函数()x f x a =（a ＞0且a ≠1）的图象过点（3，π），求 (0),(1),(3)f f f -的值. 思考：已知0.7 0.9 0.8 0.8,0.8, 1.2,a b c ===按大小顺序排列,,a b c . 例 如图为指数函数x x x x d y c y b y a y ====)4(,)3(,)2(,)1(，则 d c b a ,,,与1的大小关系为 O x y a d c b

指数式、对数式的运算

预习 1.化简下列各式： (1)0.027－13－????17－2＋????27912－(2－1)0； (2)????56a 13b －2·(－3a －12b －1)÷(4a 23b －3)1 2·ab . (3)g 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2； (4)(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)． (5)a ·1a ＋(5a )5－6a 6 (6) 4a 23·b －13÷? ????－23a －1 3b 23 2．计算：－????32－2＋????－278－23＋(0.002) －1 2＝____________． 课堂讲解 1．计算2log 63＋log 64的结果是_____________. 2．若x log 23＝1，则3x ＋3－ x ＝_____________. 3．计算log 5????412log 2 10－（33）23－7log 72＝____________． 4．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝________． 5.a 3 a ·5a 4(a >0)的值是____________． 6．已知2x ＝3，log 483 ＝y ，则x ＋2y 的值为____________． 7.（1－log 63）2＋log 62·log 618log 64 ＝____________．

2 / 2 课后练习1． ()2a 23b 12()－6a 12b 13÷()－3a 16b 56 =_________________. 2．如果2log a (P －2Q )＝log a P ＋log a Q ，那么P Q 的值为_________________. 3．若lg 2，lg(2x ＋1)，lg(2x ＋5)成等差数列，则x 的值等于_________________. 4．已知函数f (x )＝? ????log 2x ，x >0，3－x ＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ????log 312的值是_________________. 5．定义a ·b ＝? ????a ·b ，a ·b ≥0，a b ，a ·b <0，设函数f (x )＝ln x ·x ，则f (2)＋f ????12＝_________________. 6．化简：（a 23·b －1）－12·a －12·b 136a ·b 5 ＝____________． 7．若函数f (x )＝ln(e x ＋1)＋ax 为偶函数，则实数a ＝____________． 8．若67x ＝27，603y ＝81，则3x －4y ＝____________． 9．化简下列各式： (1)????2790.5＋0.1－2＋????21027－23－3π0＋3748 ； (2) 3 a 72·a －3÷ 3a －3·a － 1； (3)lg 3＋25lg 9＋35lg 27－lg 3lg 81－lg 27 .

指数式与对数式的运算

指数式与对数式的运算 指数与指数幂的运算 教学目标：理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂的互化，掌握有理数指数幂的运算. 知识点回顾： 1. 若n x a =，则x 叫做a 的n 次方根，记为n a ，其中n >1，且n N *∈.（n 叫做根指数，a 叫做被开方数）n 次方根具有如下性质： （1）在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数；正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，负数的偶次方根没有意义；零的任何次方根都是零. （2）n 次方根（*1,n n N >∈且）有如下恒等式： ()n n a a =；,||,n n a n a a n ?=?? 为奇数为偶数；np n mp m a a =，（a ≥0）. 2.规定正数的分数指数幂：m n m n a a = （0,,,1a m n N n *>∈>且）； 注意口诀：（根指 数化为分母，幂指数化为分子）， 11 ()()(0,,,m m m n n n a a m n N a a -+==>∈且1)n >. 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．0的负分数指数幂没有意义。 3.指数幂的运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 范例解析 例1求下列各式的值： （1）3n n π-（）（*1,n n N >∈且）； （2）2()x y -. 解：（1）当n 为奇数时，33n n ππ-=-（）； 当n 为偶数时，3|3|3n n πππ-=-=-（）. （2）2()||x y x y -=-. 当x y ≥时，2()x y x y -=-；当x y <时，2()x y y x -=-. 例2已知221n a =+，求33n n n n a a a a --++的值. 解：332222()(1)1121122121 n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ------++-+==-+=+-+=-+++. 例3化简：（1）2 115113366 22(2)(6)(3)a b a b a b -÷-； （2）3322 114 4 23 ()a b ab b a b a ?（a ＞0，b ＞0）； （3）24 3 819?.

2019-2020学年高三数学第一轮复习 23 指数式与对数式(1)教案(学生版).doc

2019-2020学年高三数学第一轮复习 23 指数式与对数式（1）教案（学 生版） 一、课前检测 1. （2010辽宁文）（10）设25a b m ==，且112a b +=，则m =（ ） A ．10 C ．20 D ．100 2. 方程lg()lg lg 4223x x +=+的解是___________________ 3. =++-31021)64 27()5(lg )972(___________ 二、知识梳理 （一）指数与指数幂的运算 1．一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根。其中+∈>N n n ,1. 解读： 2．当n 为奇数时，a a n n =；当n 为偶数时，a a n n =. 解读： 3．我们规定： ⑴m n m n a a =()1,,,0*>∈>m N n m a ； ⑵()01>=-n a a n n ； 解读： 4．运算性质： ⑴()Q s r a a a a s r s r ∈>=+,,0；⑵()()Q s r a a a rs s r ∈>=,,0； ⑶()()Q r b a b a ab r r r ∈>>=,0,0 解读： （2）对数与对数运算 1．x N N a a x =?=log ； 2.a a N a =log . 3.01log =a ，1log =a a .

4.当0,0,1,0>>≠>N M a a 时： ⑴()N M MN a a a log log log +=⑵N M N M a a a log log log -=??? ??； ⑶M n M a n a log log =. 5.换底公式：a b b c c a log log log = ()0,1,0,1,0>≠>≠>b c c a a . 6.a b b a log 1log = ()1,0,1,0≠>≠>b b a a . 解读： 三、典型例题分析 例1 求值或化简 （1()0,0a b >>； （2）)20.510 3170.0272179--????-+- ? ????? （3）2lg 225lg 5.02161.1230++-+-；（4）2log 43774lg 25lg 3 27log +++。 变式训练：化简下列各式（其中各字母均为正数）: 1．2132(2)a b 1132(6)a b -÷1566(3)a b -= ； 2．4603 (2010)+--= ； 3．=-2lg 9lg 21100 _________；

高三数学指数式与对数式2

教案12：指数式与对数式（2） 一、课前检测 1.已知log 2,log 3a a m n ==，则2m n a += 答案：12 2. 已知532log [log (log )]0x =，那么12 x -等于（ ） A. 13 B. C. 4 D. 答案：C 3. 式子 82log 9log 3的值为 ( ) A.2 3 B.32 C.2 D.3 答案：A 二、知识梳理 灵活运用指数式和对数式解决问题 1．重视指数式与对数式的互化； 2．不同底的对数运算问题，应化为同底对数式进行运算； 3．运用指数、对数的运算公式解题时，要注意公式成立的前提． 三、典型例题分析 例1．计算：（1 ）1 2 0.50.75163(12427162(8)--+-+-； （2）2(lg 2)lg 2lg 50lg 25+?+； （3）3948(log 2log 2)(log 3log 3)+?+． 解：（1 ）原式121 33(1)246324(113 228?-?-??=+-+-? 2 1 3332113222118811?=++-?=+-=． （2）原式22(lg 2)(1lg5)lg 2lg5(lg 2lg51)lg 22lg5=+++=+++ (11)lg 22lg52(lg 2lg5)2=++=+=．

（3）原式lg 2lg 2lg3lg3lg 2lg 2lg3lg3( )()()()lg3lg9lg 4lg8lg32lg32lg 23lg 2=+?+=+?+ 3lg 25lg 352lg 36lg 24 =?=． 小结与拓展： 例2．已知35a b c ==，且112a b +=，求c 的值． 解：由3a c =得：log 31a c =，即log 31c a =，∴1log 3c a =； 同理可得1log 5c b =，∴由112a b += 得 log 3log 52c c +=， ∴log 152c =，∴215c =，∵0c >，∴c =． 例3 设1x >，1y >，且2log 2log 30x y y x -+=，求224T x y =-的最小值． 解：令 log x t y =，∵1x >，1y >，∴0t >． 由2log 2log 30x y y x -+=得2230t t -+=，∴22320t t +-=， ∴(21)(2)0t t -+=，∵0t >，∴12t =，即1log 2 x y =，∴12y x =， ∴222244(2)4T x y x x x =-=-=--， ∵1x >，∴当2x =时，min 4T =-． 例4．设a 、b 、c 为正数，且满足222a b c +=． （1）求证：22log (1)log (1)1b c a c a b +-+ ++= （2）若4log (1)1b c a ++=，82log ()3 a b c +-=，求a 、b 、c 的值． 证明：（1）左边222log log log ()a b c a b c a b c a b c a b a b +++-+++-=+=? 22222222222()22log log log log 21a b c a ab b c ab c c ab ab ab +-++-+-=====； 解：（2）由4log (1)1b c a ++=得14b c a ++=，∴30a b c -++=……………① 由82log ()3 a b c +-=得2384a b c +-==………… ……………②

【免费下载】指数式与对数式的互化 练习题难题

指数式与对数式的互化（三） 　 1．若log x=z，则（ ） A．y7=x z B．y=x7z C．y=7?x z D．x=z7y 【考点】指数式与对数式的互化． 【专题】计算题；函数的性质及应用． 【分析】先把对数化为指数，再两边乘方，即可得出结论． 【解答】解：∵log x=z， ∴x z =， 两边7次方，得x7z=y， 即y=x7z． 故选：B． 【点评】本题考查了把对数化为指数的运算问题，是基础题目． 　 2．（2014?渝中区校级三模）已知实数a、b满足等式2a=3b，下列五个关系式： ①0＜b＜a ②a＜b＜0 ③0＜a＜b ④b＜a＜0 ⑤a=b=0， 其中有可能成立的关系式有（ ） A．1个B．2个C．3个D．4个 【考点】指数式与对数式的互化． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】画出指数函数y=2x，y=3x，的图象，利用单调性即可得出． 【解答】解：如图所示：画出函数y=2x，y=3x，的图象． 由图象可知： （1）当x＞0时，若2a=3b，则a＞b； （2）当x=0时，若2a=3b，则a=b=0； （3）当x＜0时，若2a=3b，则a＜b． 综上可知：有可能成立的关系式是①②⑤． 故选C．

【点评】熟练画出指数函数的图象并掌握其单调性是解题的关键． 　 3．（2013春?浦东新区期中）将a2b=N（a＞0，a≠1）转化为对数形式，其中错误的是（ ） A ．B ．C ．D ． 【考点】指数式与对数式的互化． 【专题】规律型． 【分析】根据指数式和对数式之间的关系，以及对数的运算法则分别进行判断． 【解答】解：根据指数式和对数式之间的关系可得，若a2b=N，则2b=log a N ，即，∴A正确． 若a2b=N，则（a2）b=N ，则，∴B正确． 若a2b=N，则（a b）2=N ，则，∴C正确． ∴D错误． 故选D． 【点评】本题主要考查指数式和对数式之间互化，要牢记转化公式：a b=N?b=log?a N．　 4．（2013秋?金台区期中）一种放射性元素，每年的衰减率是8%，那么a千克的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）t等于（ ） A． lg B． lg C ．D ． 【考点】指数式与对数式的互化；指数函数的实际应用． 【专题】计算题． 【分析】设这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）t，可以得出一个方程，得两边取对数，再用换底公式变形，求出t； 【解答】解：a千克的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）为t， a（1﹣8%）t =，两边取对数， lg0.92t=lg0.5，即tlg0.92=lg0.5，

指数式与对数式的互化式

指数式与对数式的互化式: log b a N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠>. 指数性质： (1)1、1p p a a -= ； （2）、01a =（0a ≠） ； (3)、()m n m n a a = (4)、(0,,)r s r s a a a a r s Q +?=>∈ ； (5) 、m n a = ； 指数函数： (1)、 (1)x y a a =>在定义域内是单调递增函数； （2）、 (01)x y a a =<<在定义域内是单调递减函数。注： 指数函数图象都恒过点（0，1） 对数性质： (1)、 log log log ()a a a M N M N += ；（2）、 log log log a a a M M N N -= ； (3)、 log log m a a b m b =? ；(4)、 log log m n a a n b b m = ? ； (5)、 log 10a = (6)、 log 1a a = ； (7)、 l o g a b a b = 对数函数： (1)、 log (1)a y x a => 在定义域内是单调递增函数； （2）、log (01)a y x a =<<在定义域内是单调递减函数；注： 对数函数图象都恒过点（1，0） (3)、 l o g 0,(0,1), (1, a x a x a x >?∈ ∈+∞或 (4)、log 0(0,1)(1,)a x a x ,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >). 对数恒等式：log a N a N =(0a >,且1a ≠, 0N >). 推论 log log m n a a n b b m = (0a >,且1a ≠, 0N >). 对数的四则运算法则:若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a M N M N =+; (2) log log log a a a M M N N =-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈; (4) log log (,)m n a a n N N n m R m =∈。 和角与差角公式 sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ; tan tan tan()1tan tan αβαβαβ ±±= . sin cos a b αα+ )α?+ (辅助角?所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan b a ?= ). 二倍角公式及降幂公式

第15课时___指数式与对数式

113 课题：指数式与对数式 教学目标：1.理解分数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质； 2.理解对数的概念，掌握对数的运算性质． 教学重点：运用指数、对数的运算性质进行求值、化简、证明，指数及对数方程的解法 （一） 主要知识： 1.n 次方根的定义及性质：n 为奇数时，a a n n =，n 为偶数时，a a n n =. 2.分数指数幂与根式的互化： n m n m a a = m n a -=(0a >,,*m n N ∈，且1n >) 零的正分数指数幂为0，0. 3.指数的运算性质：r s r s a a a += ，()r r r ab a b = （其中,0a b >，,r s R ∈） 4.指数式与对数式的互化：log b a a N N b =?=．N a N a =log ，log N a a N =. 5.对数的运算法则：如果0,1,0,0a a N M >≠>>有 log ()log log a a a M N M N =+； log log log a a a M M N N =-； log log n a a M n M =； 1log log a a M n = 6.换底公式及换底性质： ()1 log log log m a m N N a = (0a >,1a ≠，0m > , 1m ≠,0N >) () 2a b b a log 1log = ，()3c c b a b a log log log =?， ()4b n m b a m a n log log = 7.指数方程和对数方程主要有以下几种类型： () 1() ()log f x a a b f x b =?=；log ()()b a f x b f x a =?=（定义法） ()2()()()()f x g x a a f x g x =?=；log ()log ()a a f x g x =? ()()0f x g x =>（同底法） ()3()()f x g x a b =?()log ()log m m f x a g x b = (两边取对数法) ()4log ()log ()a b f x g x =?1log ()log ()log a a a f x g x b = (换底法) () 52log log 0a a A x B x C ++=（() 2 0x x A a Ba C ++=）（设log a t x =或x t a =）（换元法） （二）主要方法： 1.重视指数式与对数式的互化； 2.根式运算时，常转化为分数指数幂，再按幂的运算法则运算； 3.不同底的对数运算问题，应化为同底对数式进行运算； 4.运用指数、对数的运算公式解题时，要注意公式成立的前提． 5.指数方程和对数方程按照不同类型的对应方法解决.

指数式与对数式

1．指数、对数的运算法则； 2．指数式与对数式的互化：log b a a N N b =?=． 指数式与对数式的底a 取值范围为(0,1)∪(1，+∞). 在底确定的前提下，指数运算与对数运算互为逆运算. 1．重视指数式与对数式的互化； 2．不同底的对数运算问题，应化为同底对数式进行运算； 3．运用指数、对数的运算公式解题时，要注意公式成立的前提． （三）例题分析： 例1．计算：（1）12131 6 32 4 (1243)27162(8)--+-+-； （2）2(lg 2)lg 2lg 50lg 25+?+； （3）3948(log 2log 2)(log 3log 3)+?+． 解：（1）原式12 1 33(1)246 3 2 4 (113 2 28 ? -?-?? =+-+-? 2133 3 2 113222 118811? =++-?=+-=．

（2）原式22(lg 2)(1lg5)lg 2lg5(lg 2lg51)lg 22lg5=+++=+++ (11)lg 22lg52(lg 2lg5)2=++=+=． （3）原式lg 2lg 2lg3lg3lg 2lg 2lg3lg3 ( )()()()lg3lg9lg 4lg8lg32lg32lg 23lg 2 =+?+=+?+ 3lg 25lg 35 2lg 36lg 24 =?=． 例2．已知112 2 3x x - +=，求 22332 2 23 x x x x --+-+-的值． 解：∵112 2 3x x -+=，∴112 2 2()9x x - +=，∴129x x -++=，∴17x x -+=， ∴12()49x x -+=，∴2247x x -+=， 又∵331112 2 2 2 ()(1)3(71)18x x x x x x -- -+=+?-+=?-=， ∴22332 22472 3183 3 x x x x -- +--= =-+-． 例3．已知35a b c ==，且11 2a b +=，求c 的值． 解：由3a c =得：log 31a c =，即log 31c a =，∴1log 3c a =； 同理可得 1log 5c b =，∴由11 2a b += 得 log 3log 52c c +=， ∴log 152c =，∴215c =，∵0c > ，∴c =． 例4．设1x >，1y >，且2log 2log 30x y y x -+=，求224T x y =-的最小值． 解：令 log x t y =，∵1x >，1y >，∴0t >． 由2log 2log 30x y y x -+=得2 230t t -+=，∴22320t t +-=， ∴(21)(2)0t t -+=，∵0t >，∴12t =，即1 log 2 x y =，∴1 2y x =， ∴222244(2)4T x y x x x =-=-=--， ∵1x >，∴当2x =时，min 4T =-．

高中数学指数对数的运算

高中数学指数、对数的运算一．选择题（共28小题） 1．（2014?济南二模）log2+log2cos的值为（） A．﹣2B．﹣1C．2D．1 2．（2014?成都一模）计算log5+所得的结果为（） A．1B．C．D．4 3．若a＞2，b＞2，且log2（a+b）+log2=log2+log2，则log2（a﹣2）+log2（b﹣2）=（）A．0B．C．1D．2 4．（2014?泸州二模）式子log2（log216）+8×（）﹣5=（） A．4B．6C．8D．10 5．（2014?泸州一模）的值为（） A．1B．2C．3D．4 6．（2015?成都模拟）计算21og63+log64的结果是（） A．l og 2B．2C．l og63D．3 6 7．（2014?浙江模拟）log212﹣log23=（） A．2B．0C．D．﹣2 8．（2014?浙江模拟）下列算式正确的是（） A．l g8+lg2=lg10B．l g8+lg2=lg6C．l g8+lg2=lg16D．l g8+lg2=lg4 9．（2014?和平区二模）已知3x=5y=a，且+=2，则a的值为（） A．B．15C．±D．225 10．（2013?枣庄二模）已知函数，则的值是（）A．9B．﹣9C．D．

11．（2013?婺城区模拟）已知函数f（x）=log2，若f（a）=，则f（﹣a）=（） A．2B．﹣2C．D． ﹣ 12．（2013?泸州一模）log2100+的值是（） A．0B．1C．2D．3 13．（2013?东莞一模）已知函数f（x）=，则f（2+log32）的值为（）A． B．C．D．﹣54 ﹣ 14．（2013?东城区二模）f（x）=，则f（f（﹣1））等于（）A．﹣2B．2C．﹣4D．4 15．（2012?安徽）（log29）?（log34）=（） A．B．C．2D．4 16．（2012?北京模拟）函数y=是（） B．区间（﹣∞，0）上的减函数 A．区间（﹣∞，0） 上的增函数 D．区间（0，+∞）上的减函数 C．区间（0，+∞） 上的增函数 17．（2012?杭州一模）已知函数则=（）A．B．e C．D．﹣e 18．（2012?北京模拟）log225?log34?log59的值为（） A．6B．8C．15D．30 19．（2012?北京模拟）实数﹣?+lg4+2lg5的值为（）A．2B．5C．10D．20

北京第十八中学高三数学第一轮复习 24 指数式与对数式(2)教学案(教师版)

北京第十八中学高三数学第一轮复习 24 指数式与对数式（2） 教学案（教师版） 一、课前检测 1.已知log 2,log 3a a m n ==，则2m n a += 答案：12 2. 已知532log [log (log )]0x =，那么1 2x -等于（ C ） A. 1 3 3. 式子82log 9 log 3 的值为 ( A ) A.2 3 B.3 2 C.2 D.3 二、知识梳理 灵活运用指数式和对数式解决问题 1．重视指数式与对数式的互化； 解读： 2．不同底的对数运算问题，应化为同底对数式进行运算； 解读： 3．运用指数、对数的运算公式解题时，要注意公式成立的前提． 解读： 三、典型例题分析 例1 计算：（1 ）1 2 0.50.75163(12427162(8)--+-+-； （2）2(lg 2)lg 2lg 50lg 25+?+； （3）3948(log 2log 2)(log 3log 3)+?+． 解：（1 ）原式1 2 1 3 3(1)246324(113228?-?-??=+-+-? 2 13332113222118811?=++-?=-=． （2）原式22(lg 2)(1lg 5)lg 2lg 5(lg 2lg 51)lg 22lg 5=+++=+++

(11)lg 22lg52(lg 2lg5)2=++=+=． （3）原式lg 2lg 2lg3lg3lg 2lg 2 lg3 lg3 ()()()()lg3lg9lg 4lg8lg32lg32lg 23lg 2=+?+=+?+ 3lg 2 5lg 3 5 2lg 36lg 24=?=． 小结与拓展： 例2 已知35a b c ==，且1 1 2a b +=，求c 的值． 解：由3a c =得：log 31a c =，即log 31c a =，∴1 log 3c a =； 同理可得1 log 5c b =，∴由1 1 2a b += 得 log 3log 52c c +=， ∴log 152c =，∴2 15c =，∵0c >，∴c =． 例3 设1x >，1y >，且2log 2log 30x y y x -+=，求22 4T x y =-的最小值． 解：令 log x t y =，∵1x >，1y >，∴0t >． 由2log 2log 30x y y x -+=得2 230t t -+=，∴22320t t +-=， ∴(21)(2)0t t -+=，∵0t >，∴1 2t =，即1log 2x y =，∴1 2y x =， ∴222244(2)4T x y x x x =-=-=--， ∵1x >，∴当2x =时，min 4T =-． 例4 设a 、b 、c 为正数，且满足222a b c +=． （1）求证：22log (1)log (1)1b c a c a b +-+++= （2）若4log (1)1b c a ++=，82 log ()3a b c +-=，求a 、b 、c 的值． 证明：（1）左边222log log log ()a b c a b c a b c a b c a b a b +++-+++-=+=? 2222222 2222()22log log log log 21a b c a ab b c ab c c ab ab ab +-++-+-=====；

指数式与对数式的互化同步练习

指数式与对数式的互化同步练习 一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ， ） 1. 溶液酸碱度是通过pH 值刻画的，pH 的计算公式是pH =?lg [H +]，其中[H +]表示该溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔／升．若某种纯净水中氢离子的浓度为[H +]=10?6摩尔／升，则该纯净水的pH 为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 2. 下列计算正确的是( ) A.√2×√23×2 ?56=32 B.2log 23=8 C.log 64+log 69=2 D.2x =10时x =lg 2 3. 若2x =3y =12z >1，则z + 4x+8y xy 的取值范围是( ) A.[1,4] B.[1,+∞) C.(2√2,+∞) D.[4,+∞) 4. 已知2x =3y =k ，且1x +1y =1，则k 的值为( ) A.6 B.√6 C.2 D.3 5. 设(19 )a =16，则a =( ) A.144 B.log 916 C.log 1619 D.?log 34 6. 已知2a =32，3b =32，4c =23，则( ) A.a >b >c B.b >a >c C.a >c >b D.c >a >b 7. 设2a =5b =m ，1a +1b =2，则m =( ) A.√10 B.?√10 C.√10或?√10 D.10 8. 已知2a =5b =10，则下列选项中不正确的是( ) A.a +b >4 B.a +b =ab C.(a ?1)2+(b ?1)2<2 D.a 2+b 2>8 9. 设(12)a =5b =m ，且1a ?1b =2，则m =( ) A.110 B.10 C.√10 D.√1010 10. 若2a =5b =M ，且1a +2b =2，则M =( ) A.50 B.10 C.5√2 D.±5√2 二、 填空题 （本题共计 5 小题 ，每题 3 分 ，共计15分 ， ） 11. 设2x =3y =72，则3x +2y =________.

指数式、对数式的运算

指数式、对数式的运算 一、基础知识 1.指数与指数运算 (1)根式的性质 ①(n a)n＝a(a使 n a有意义)． ②当n是奇数时，n a n＝a； 当n是偶数时，n a n＝|a|＝ ?? ? ??a，a≥0， －a，a<0. (2)分数指数幂的意义 分数指数幂的意义是解决根式与分数指数幂互化问题的关键． ①a m n＝ n a m(a>0，m，n∈N*，且n>1)． ②a - m n＝ 1 a m n ＝ 1 n a m (a>0，m，n∈N*，且n>1)． ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (3)有理数指数幂的运算性质 ①a r·a s＝a r＋s(a>0，r，s∈Q)； ②a r a s＝a r－s(a>0，r，s∈Q)； ③(a r)s＝a rs(a>0，r，s∈Q)； ④(ab)r＝a r b r(a>0，b>0，r∈Q)． (1)有理数指数幂的运算性质中，要求指数的底数都大于0，否则不能用性质来运算． (2)有理数指数幂的运算性质也适用于无理数指数幂． 2．对数的概念及运算性质 一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，就是a b＝N，那么，数b就叫做以a 为底N的对数，记作：log a N＝b. 指数、对数之间的关系

(1)对数的性质 ①负数和零没有对数； ②1的对数是零； ③底数的对数等于1. (2)对数的运算性质 如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N ＝log a M －log a N ； ③log a (N n )＝n log a N (n ∈R)． 二、常用结论 1．换底公式的变形 (1)log a b ·log b a ＝1，即log a b ＝ 1 log b a (a ，b 均大于0且不等于1)； (2)log am b n ＝n m log a b (a ，b 均大于0且不等于1，m ≠0，n ∈R)； (3)log N M ＝log a M log a N ＝log b M log b N (a ，b ，N 均大于0且不等于1，M >0)． 2．换底公式的推广 log a b ·log b c ·log c d ＝log a d (a ，b ，c 均大于0且不等于1，d >0)． 3．对数恒等式 a log a N ＝N (a >0且a ≠1，N >0)． 考点一 指数幂的化简与求值 [典例] 化简下列各式： (1)????2 350＋2－2·??? ?2 14-1 2－(0.01)0.5； (2)56 a 1 3·b －2·????－3a -12b －1÷(4a 2 3·b －3)1 2. [解] (1)原式＝1＋14×????4912－????11001 2＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615 .

指数式与对数式

指数式与对数式 【复习目标】 1．理解分数指数、负指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质． 2．理解对数的概念，熟练进行指数式、对数式的互化，掌握对数的性质和对数的运算法则，并能运用它们进行化简求值． 【教学重点】 理解理解指数、对数的概念，熟练运用对数的性质和对数的运算法则进行化简求值． 【教学难点】 熟练运用对数的性质和对数的运算法则进行化简求值． 【考试要点】 1．指数幂的运算法则： () _____n m a =； ______m n a a =；()______n ab =；()R n m b a ∈>>,,0,0 2．分数指数幂与根式的相互关系： _________=n m a ； _______ m n a - =；()1,>∈*n N n m 且 3．根式的性质 () ________=n n a ； _______ =； 4．深化对概念的理解与应用．对于分数指数幂中幂指数为负数的情形，要注意底数a 的取值限制，一个可行的方法是：化负分数指数幂为根式及分式的形式． 5．对数的运算法则： 如果0a >且1,0,0a M N ≠>>，则有log ()_________________a M N ?=； log _________________a M N =； l o g ____________ n a M = 6．对数的几个重要公式：（*0,0,1,1,0,,a c a c b m n N >>≠≠>∈） 对数恒等式 log ________a N a =；化 log ___________n m a b =； 对数的换底公式 log _____________a b =； 7．在进行对数运算时，要注意对数的底数与真数的取值范围，特别是真数 大于零的条件不能遗漏．研究对数函数有关问题时，要注意对数函数的定义域． 8．要准确记忆对数的三条运算性质，对数运算是将高一级的运算转化为低一级的运算，要防止产生以下错误．． ： log a (M ±N )=log a M ±log a N ； log a (MN ) =log a M log a N ；N M N M a a a log log log = ； n a n a M M ) (log log =， 【课前预习】 1．在下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是 （ ） A ．(－x )0.5 = －x (x ≠0) B ．)0(31 62 <=y y y C ．)0()() (4 3 4 3≠= -xy x y y x D ．33 1x x -=-