创新设计 数学一轮文科 人教A 课时作业 第6章 第1讲 含答案

第1讲数列的概念及简单表示法

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是a n等于()

A．(－1)n＋1

2B．cos

nπ

2

C．cos n＋1

2πD．cos

n＋2

2π

解析令n＝1,2,3，…，逐一验证四个选项，易得D正确．

答案 D

2．(2014·开封摸底考试)数列{a n}满足a n＋1＋a n＝2n－3，若a1＝2，则a8－a4＝

() A．7B．6

C．5D．4

解析依题意得(a n＋2＋a n＋1)－(a n＋1＋a n)＝[2(n＋1)－3]－(2n－3)，即a n＋2－

a n＝2，所以a8－a4＝(a8－a6)＋(a6－a4)＝2＋2＝4.

答案 D

3．数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，a n＋1＝3S n(n≥1)，则a6等于() A．3×44B．3×44＋1

C．45D．45＋1

解析当n≥1时，a n＋1＝3S n，则a n＋2＝3S n＋1，

∴a n＋2－a n＋1＝3S n＋1－3S n＝3a n＋1，即a n＋2＝4a n＋1，

∴该数列从第二项开始是以4为公比的等比数列． 又a 2＝3S 1＝3a 1＝3，∴a n ＝?????

1，n ＝1，

3×4n －2，n ≥2.

∴当n ＝6时，a 6＝3×46－2＝3×44. 答案 A

4．设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是 ( )

A ．16

3 B ．133 C ．4

D ．0

解析 ∵a n ＝－3? ?

???n －522＋34，由二次函数性质，得当n ＝2或3时，a n 最大，

最大为0. 答案 D

5．(2014·东北三校联考)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2λn (n ∈N *)，则“λ＜1”是“数列{a n }为递增数列”的

( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析 若数列{a n }为递增数列，则有a n ＋1－a n ＞0，即2n ＋1＞2λ对任意的n ∈N *都成立，于是有3＞2λ，λ＜32.由λ＜1可推得λ＜32，但反过来，由λ＜3

2不能得到λ＜1，因此“λ＜1”是“数列{a n }为递增数列”的充分不必要条件，故选A ． 答案 A 二、填空题

6．(2015·大连双基测试)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n

＝________.

解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1，

因此a n ＝?????

4，n ＝1，

2n ＋1，n ≥2.

答案 ???

4，n ＝1

2n ＋1，n ≥2

7．数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝________.

解析 由题意知：a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2， ∴a n ＝?

????n n －12(n ≥2)，∴a 3＋a 5＝? ????322＋? ????542＝61

16. 答案 61

16

8．数列{a n }中，已知a 1＝1，a 2＝2，a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，则a 7＝________. 解析 由已知a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，a 1＝1，a 2＝2， 能够计算出a 3＝1，a 4＝－1，a 5＝－2，a 6＝－1，a 7＝1. 答案 1 三、解答题

9．数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6. (1)这个数列的第4项是多少？

(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？ 解 (1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6.

(2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150，解得n ＝16或n ＝－9(舍去)，即150是这个数列的第16项．

(3)令a n ＝n 2－7n ＋6＞0，解得n ＞6或n ＜1(舍)． ∴从第7项起各项都是正数．

10．(2014·湖南卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n

2，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和．

解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－(n －1)2＋(n －1)

2＝n .

又a 1＝1满足上式，故数列{a n }的通项公式为a n ＝n .

(2)由(1)知，b n ＝2n ＋(－1)n n ，记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )．

记A ＝21

＋22

＋ (22)

，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝2(1－22n )1－2

＝2

2n ＋1

－2，

B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n . 故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2.

能力提升题组

(建议用时：25分钟)

11．数列{a n }的通项a n ＝n

n 2＋90

，则数列{a n }中的最大项是 ( )

A ．310

B ．19

C ．119

D ．1060

解析 因为a n ＝

1

n ＋90n ，运用基本不等式得，

1n ＋90n

≤

1

290

，由于n ∈N *，不难发现当n ＝9或10时，a n ＝1

19最大． 答案 C

12．(2015·大庆质量检测)已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，a 1＝1，a 2＝3，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则下列结论正确的是 ( )

A ．a 2 014＝－1，S 2 014＝2

B ．a 2 014＝－3，S 2 014＝5

C ．a 2 014＝－3，S 2 014＝2

D ．a 2 014＝－1，S 2 014＝5

解析 由a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，知a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a n ＋2＝－a n －1(n ≥2)，a n ＋3＝－a n ，…，a n ＋6＝a n ，又a 1＝1，a 2＝3，a 3＝2，a 4＝－1，a 5＝－3，a 6

＝－2，所以当k ∈N 时，a k ＋1＋a k ＋2＋a k ＋3＋a k ＋4＋a k ＋5＋a k ＋6＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝0，所以a 2 014＝a 4＝－1，S 2 014＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋3＋2＋(－1)＝5. 答案 D

13．(2014·山西四校联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －n ，则a n ＝________.

解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －n －2a n －1＋(n －1)， 即a n ＝2a n －1＋1， ∴a n ＋1＝2(a n －1＋1)，

∴数列{a n ＋1}是首项为a 1＋1＝2，公比为2的等比数列，∴a n ＋1＝2·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n －1. 答案 2n －1

14．(2015·陕西五校模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －p ，其中p 是不为零的常数．

(1)证明：数列{a n }是等比数列；

(2)当p ＝3时，数列{b n }满足b n ＋1＝b n ＋a n (n ∈N *)，b 1＝2，求数列{b n }的通项公式．

(1)证明 因为S n ＝4a n －p ，所以S n －1＝4a n －1－p (n ≥2)，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1，整理得a n a n －1＝43

.

由S n ＝4a n －p ，令n ＝1，得a 1＝4a 1－p ，解得a 1＝p

3.

所以{a n }是首项为p 3，公比为4

3的等比数列． (2)解 当p ＝3时，由(1)知，a n ＝? ????

43n －1，

由b n ＋1＝b n ＋a n ，得b n ＋1－b n ＝? ??

??

43n －1，

当n ≥2时，可得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝2＋

1－? ??

??43n －11－43＝3? ??

??43n －1

－1， 当n ＝1时，上式也成立．

∴数列{b n }的通项公式为b n ＝3? ??

??

43n －1－1.