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二次函数专题练习(word版

二次函数专题练习（word 版

一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）

1．如图1，抛物线2

:C y x =经过变换可得到抛物线()1111:C y a x x b =-，1C 与x 轴的正

半轴交于点1A ，且其对称轴分别交抛物线C 、1C 于点1B 、1D ，此时四边形111D OB A 恰为正方形；按上述类似方法，如图2，抛物线()1111:C y a x x b =-经过变换可得到抛物线

()2222:C y a x x b =-，2C 与x 轴的正半轴交于点2A ，且对称轴分别交抛物线1C 、2C 于

点2B 、2D ，此时四边形222OB A D 也恰为正方形；按上述类似方法，如图3，可得到抛物线()3333:C y a x x b =-与正方形333OB A D ，请探究以下问题：（1）填空：1a = ，1b = ；（2）求出2C 与3C 的解析式；

（3）按上述类似方法，可得到抛物线():n n n n C y a x x b =-与正方形n n n OB A D （1n ≥）. ①请用含n 的代数式直接表示出n C 的解析式；

②当x 取任意不为0的实数时，试比较2018y 与2019y 的函数值的大小关系，并说明理由.

【答案】（1）11a =，12b =；（2）22132y x x =-，231

y x x =-；（3）①()22

2123

n n y x x n -=

-≥?，②20182019y y ＞. 【解析】【分析】

（1）求与x 轴交点A 1坐标，根据正方形对角线性质表示出B 1的坐标，代入对应的解析式即可求出对应的b 1的值，写出D 1的坐标，代入y 1的解析式中可求得a 1的值；（2）求与x 轴交点A 2坐标，根据正方形对角线性质表示出B 2的坐标，代入对应的解析式即可求出对应的b 2的值，写出D 2的坐标，代入y 2的解析式中可求得a 2的值，写出抛物线C 2的解析式；再利用相同的方法求抛物线C 3的解析式；

（3）①根据图形变换后二次项系数不变得出a n =a 1=1，由B 1坐标（1，1）、B 2坐标（3，3）、B 3坐标（7，7）得B n 坐标（2n -1，2n -1），则b n =2（2n -1）=2n +1-2（n ≥1），写出抛物线C n 解析式．

②根据规律得到抛物线C 2015和抛物线C 2016的解析式，用求差法比较出y 2015与y 2016的函数值的大小．【详解】

解：（1）y 1=0时，a 1x （x -b 1）=0， x 1=0，x 2=b 1， ∴A 1（b 1，0），

由正方形OB 1A 1D 1得：OA 1=B 1D 1=b 1， ∴B 1（

12b ，12b ），D 1（12b ，12

-）， ∵B 1在抛物线c 上，则

12b =(12

b )2

，解得：b 1=0（不符合题意），b 1=2， ∴D 1（1，-1），

把D 1（1，-1）代入y 1=a 1x （x -b 1）中得：-1=-a 1， ∴a 1=1，故答案为1，2；

（2）当20y =时，有()220a x x b -=，解得2x b =或0x =，()22,0A b ∴. 由正方形222OB A D ，得2222B D OA b ==，

222,22b b B ??∴ ???，22

2,22b

b D ??- ???

. 2B 在抛物线1C 上，2222222b b b ??∴

=- ???

. 解得24b =或20b =（不合舍去），

()22,2D ∴-

2D 在抛物线2C 上，

()22224a ∴-=-.

解得21

a =

. 2C ∴的解析式是()2142y x x =

-，即221

y x x =-. 同理，当30y =时，有()330a x x b -=，解得3x b =，或0x =.

()33,0A b ∴.

由正方形333OB A D ，得3333B D OA b ==，

333,22b b B ??∴ ???，333,2

b D ??- ???.

3B 在抛物线2C 上，

333122222

b b b

??∴=-? ???. 解得312b =或30b =（不合舍去），

()36,6D ∴-

3D 在抛物线3C 上，

()366612a ∴-=-.解得31

a =

. 3C ∴的解析式是()31126y x x =

-，即231

y x x =-. （3）解：①n C 的解析式是()22

2123

n n y x x n -=-≥?. ②由①可得2

201820161223y x x =

-?，220192017

1223

y x x =-?. 当0x ≠时，2

2018201920162017

111

0233y y x ＞??-=

???

， 20182019y y ∴＞.

【点睛】

本题是二次函数与方程、正方形的综合应用，将函数知识与方程、正方形有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用正方形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．就此题而言：①求出抛物线与x 轴交点坐标?把y =0代入计算，把函数问题转化为方程问题；②利用正方形对角线相等且垂直平分表示出对应B 1、B 2、B 3、B n 的坐标；③根据规律之间得到解析式是关键．

2．如图，抛物线2y ax 2x c =++经过,,A B C 三点，已知()()1,0,0,3.A C -

()1求此抛物线的关系式；

()2设点P 是线段BC 上方的抛物线上一动点，过点P 作y 轴的平行线，交线段BC 于点

,D 当BCP 的面积最大时，求点D 的坐标；

()3点M 是抛物线上的一动点，当()2中

BCP 的面积最大时，请直接写出使45PDM ∠=?的点M 的坐标

【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）点33,22D ?? ???

；（3）点M 的坐标为()0,3或

【解析】【分析】

（1）由2y ax 2x c =++经过点()(),1,00,3A C -，利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式.

（2）首先设点()

,23,P t t t -++令2230x x -++=，求得()3,0B ，然后设直线BC 的

关系式为y kx b =+，由待定系数法求得BC 的解析式为3y x =-+，可得

()()22,3,2333D t t PD t t t t t -+=-++--+=-+，BCP 的面积为

()213

33,22

S PD t t =

?=-+利用二次函数的性质即可求解；（3）根据PD y 轴，45PDM ∠=?，分别设DM y x b =+，DM y x b =-+，根据点

33D(22，）坐标即可求出b ，再与抛物线联系即可得出点M 的坐标．【详解】

()1将()(),1,00,3A C -分别代入22,y ax x c =++

可解得1,3,a c =-=

即抛物线的关系式为2y x 2x 3=-++．

()2设点()2,23,P t t t -++令2230,x x -++=

解得121,3,x x =-= 则点()3,0B ．

设直线BC 的关系式为(y kx b k =+为常数且0k ≠)，将点,B C 的坐标代入，

可求得直线BC 的关系式为3y x =-+．

∴点()()22,3,2333D t t PD t t t t t -+=-++--+=-+

设BCP 的面积为,S

则()213

33,22

S PD t t =

?=-+ ∴当3

2t =时，S 有最大值，此时点33,22D ?? ???

．

()3∵

PD y 轴，45PDM ∠=?

第一种情况：令DM y x b =+,33

D(22

，）解得：b=0

∴2

23y x y x x =??=-++?

解得：113

x 2

∴11M 22

+（

，第二种情况：令DM y x b =-+,33

D(22

，）解得：b=3

∴2

323y x y x x =-+??=-++?

解得：x=0或x=3（舍去） ∴M 03（，）

满足条件的点M 的坐标为()0,3或1122??+ ? ???

【点睛】

此题主要考查待定系数法求函数解析式和二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键.

3．已知抛物线2

(0)y ax bx c a =++≠过点(0,2)A -．（1）若点(2,0)-也在该抛物线上，请用含a 的关系式表示b ；

（2）若该抛物线上任意不同两点()11,M x y 、()22,N x y 都满足：当120x x <<时，

()()12120x x y y --<；当120x x <<时，()()12120x x y y -->；若以原点O 为圆心，

OA 为半径的圆与抛物线的另两个交点为B 、C （点B 在点C 左侧），且ABC ?有一个内

角为60，求抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，若点P 与点O 关于点A 对称，且O 、M 、N 三点共线，求证：

PA 平分MPN ∠．

【答案】（1）21b a =-；（2）2

2y x =-；（3）见解析.

【解析】【分析】

（1）把点()0,2-、()2,0-代入抛物线解析式，然后整理函数式即可得到答案．（2）根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为y 轴、开口向上，进而可得出0b =，由抛物线的对称性可得出ABC ?为等腰三角形，结合其有一个60?的内角可得出ABC ?为等边三角形，设线段BC 与y 轴交于点D ，根据等边三角形的性质可得出点C 的坐标，再利用待定系数法可求出a 值，此题得解；

（3）由（1）的结论可得出点M 的坐标为1(x ，2

12)x -+、点N 的坐标为2(x ，222)x -+，由O 、M 、N 三点共线可得出21

x x =-

，进而可得出点N 及点'N 的坐标，由点A 、M 的坐标利用待定系数法可求出直线AM 的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点'N 在直线PM 上，进而即可证出PA 平分MPN ∠．【详解】

解：（1）把点()0,2-、()2,0-分别代入，得

2420c a b c =-?

-+=?．所以21b a =-．

（2），如图1，

当120x x <<时，()()12120x x y y --<，

120x x ∴-<，120y y ->， ∴当0x <时，y 随x 的增大而减小；

同理：当0x >时，y 随x 的增大而增大，

∴抛物线的对称轴为y 轴，开口向上，

0b ∴=．

OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B、C，

ABC

∴?为等腰三角形，

又ABC

?有一个内角为60?，

ABC

∴?为等边三角形．

设线段BC与y轴交于点D，则BD CD

=，且30

OCD

∠=?，

又2

OB OC OA

===，

·303

CD OC cos

∴=?=，·301

OD OC sin

=?=．

不妨设点C在y轴右侧，则点C的坐标为(3，1)．

点C在抛物线上，且2

c=-，0

b=，

321

∴-=，

∴=，

∴抛物线的解析式为22

y x

=-．

（3）证明：由（1）可知，点M的坐标为1(x，212)

x-，点N的坐标为

(x，2

x-．

如图2，直线OM的解析式为()

y k x k

=≠．

O、M、N三点共线，

∴≠，

x≠，且

x x

=，

x x

∴-=-，

()

2x x

x x

∴-=-，

x x

∴=-，即2

=-，

∴点N的坐标为

(

-，

-．

设点N 关于y 轴的对称点为点'N ，则点'N 的坐标为12(x ，21

2)x -．点P 是点O 关于点A 的对称点，

24OP OA ∴==，

∴点P 的坐标为()0,4-．

设直线PM 的解析式为24y k x =-，

点M 的坐标为1(x ，2

12)x -，

212124x k x ∴-=-，

2121

2x k x +∴=，

∴直线PM 的解析式为211

4x y x x +=-．

()

222111221111224224

·42x x x x x x x +-+-==-， ∴点'N 在直线PM 上，

PA ∴平分MPN ∠．【点睛】

本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、二次函数的性质、等边三角形的性质以及一次（二次）函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征求出a 、b 满足的关系式；（2）①利用等边三角形的性质找出点C 的坐标；②利用一次函数图象上点的坐标特征找出点'N 在直线PM 上．

4．如图，顶点为M 的抛物线y =ax 2+bx +3与x 轴交于A (﹣1，0)，B 两点，与y 轴交于点C ，过点C 作CD ⊥y 轴交抛物线于另一点D ，作DE ⊥x 轴，垂足为点E ，双曲线y =6

(x ＞0)经过点D ，连接MD ，BD ．（1）求抛物线的表达式；

（2）点N ，F 分别是x 轴，y 轴上的两点，当以M ，D ，N ，F 为顶点的四边形周长最小时，求出点N ，F 的坐标；

（3）动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC 方向运动，运动时间为t 秒，当t 为何值时，∠BPD 的度数最大？

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）N(5

，0)，F(0，

)；（3）t=9﹣15

【解析】

【分析】

（1）由已知求出D点坐标，将点A（-1，0）和D（2，3）代入y=ax2+bx+3即可；

（2）作M关于y轴的对称点M'，作D关于x轴的对称点D'，连接M'D'与x轴、y轴分别交于点N、F，则以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小即为M'D'+MD的长；

（3）设P（0，t），作△PBD的外接圆N，当⊙N与y轴相切时，∠BPD的度数最大；【详解】

解；（1）C(0，3)

∵CD⊥y，

∴D点纵坐标是3．

∵D在y=6

上，

∴D(2，3)，

将点A(﹣1，0)和D(2，3)代入y=ax2+bx+3，

∴a=﹣1，b=2，

∴y=﹣x2+2x+3；

（2）M(1，4)，B(3，0)，

作M关于y轴的对称点M'，作D关于x轴的对称点D'，连接M'D'与x轴、y轴分别交于点N、F，

则以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小即为M'D'+MD的长；∴M'(﹣1，4)，D'(2，﹣3)，

∴M'D'直线的解析式为y=﹣

，

∴N(

，0)，F(0，

)；

（3）设P(0，t)．

∵△PBO和△CDP都是直角三角形，

tan∠CDP=

，tan∠PBO=

，

令y=tan∠BPD=

t t

，

∴yt2+t﹣3yt+6y﹣9=0，

△=﹣15y2+30y+1=0时，

1515

舍)或y=

1515

，

∴t=

﹣

，

∴t =9﹣

∴P (0，9﹣．【点睛】

本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．

5．定义：对于已知的两个函数，任取自变量x 的一个值，当0x ≥时，它们对应的函数值相等；当0x <时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数.

例如：正比例函数y x =，它的相关函数为(0)

(0)x x y x x ≥?=?

. （1）已知点()5,10A -在一次函数5y ax =-的相关函数的图像上，求a 的值；（2）已知二次函数2

y x x =-+-

. ①当点3,2B m ?? ???

在这个函数的相关函数的图像上时，求m 的值； ②当33x -≤≤时，求函数2

y x x =-+-

的相关函数的最大值和最小值. （3）在平面直角坐标系中，点M 、N 的坐标分别为1,12??-

???、9,12??

???

，连结MN .直接写出线段MN 与二次函数2

4y x x n =-++的相关函数的图像有两个公共点时n 的取值范围.

【答案】（1）1；（2）①22- ；②max 432y =

，min 1

y =-；（3）31n -<≤-，5

n <≤

【解析】【分析】

（1）先求出5y ax =-的相关函数，然后代入求解，即可得到答案；

（2）先求出二次函数的相关函数，①分为m ＜0和m ≥0两种情况将点B 的坐标代入对应的关系式求解即可； ②当-3≤x ＜0时，y=x 2-4x+

，然后可此时的最大值和最小值，当0≤x≤3时，函数y=-x 2+4x-1

，求得此时的最大值和最小值，从而可得到当-3≤x≤3时的最大值和最小值；（3）首先确定出二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n 的值，然后结合函数图象可确定出n 的取值范围．【详解】

解：（1）根据题意，

一次函数5y ax =-的相关函数为5,(0)

5,(0)ax x y ax x -≥?=?

， ∴把点()5,10A -代入5y ax =-+，则

(5)510a -?-+=，

∴1a =；

（2）根据题意，二次函数2

142y x x =-+-的相关函数为2

214,(0)214,(0)

2x x x y x x x ?-+-≥??=??-+

，

①当m ＜0时，将B （m ，

32）代入y=x 2-4x+1

2得m 2-4m+1322

=，

解得：

m=2 当m≥0时，将B （m ，

）代入y=-x 2+4x-12得：-m 2+4m-12=3

2，

解得：

或

m=2．

综上所述：

m=2-或

m=2+或

m=2- ②当-3≤x ＜0时，y=x 2-4x+

，抛物线的对称轴为x=2，此时y 随x 的增大而减小， ∴当3x =-时，有最大值，即2

143(3)4(3)22

y =--?-+=， ∴此时y 的最大值为

432

．当0≤x≤3时，函数y=-x 2+4x 1

，抛物线的对称轴为x=2，当x=0有最小值，最小值为12-

，当x=2时，有最大值，最大值y=

．综上所述，当-3≤x≤3时，函数y=-x 2+4x 12-

的相关函数的最大值为43

2，最小值为12

-；

（3）如图1所示：线段MN 与二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数的图象恰有1个公共点．

∴当x=2时，y=1，即-4+8+n=1，解得n=-3．

如图2所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．

∵抛物线y=x2-4x-n与y轴交点纵坐标为1，

∴-n=1，解得：n=-1．

∴当-3＜n≤-1时，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．如图3所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．

∵抛物线y=-x2+4x+n经过点（0，1），

∴n=1．

如图4所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．

∵抛物线y=x 2-4x-n 经过点M （1

-，1）， ∴

14+2-n=1，解得：n=54

． ∴1＜n≤

时，线段MN 与二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数的图象恰有2个公共点．综上所述，n 的取值范围是-3＜n≤-1或1＜n≤54

．【点睛】

本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n 的值是解题的关键．

6．如图，抛物线2

y x bx c =-++的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点．点A 坐标的为

3,0，点C 的坐标为()0,3．

（Ⅰ）求抛物线的解析式；

（Ⅱ）点M 为线段AB 上一点（点M 不与点A 、B 重合），过点M 作i 轴的垂线，与直线

AC 交于点E ，与抛物线交于点P ，过点P 作//PQ AB 交抛物线于点Q ，过点Q 作

QN x ⊥轴于点N ．若点P 在点Q 左边，当矩形PMNQ 的周长最大时，求AEM △的面

积；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当矩形PMNQ 的周长最大时，连接DQ ，过抛物线上一点F 作y 轴的平行线，与直线AC 交于点G （点G 在点F 的上方）．若=22FG DQ ，求点F 的坐标．

【答案】（Ⅰ）223y x x =--+；（Ⅱ）1

；（Ⅲ）()4,5F --或()1,0 【解析】【分析】

（Ⅰ）将点A ，点C 坐标代入解析式可求解；

（Ⅱ）设M （x ，0），P （x ，-x 2-2x+3），利用对称性可求点Q （-2-x ，-x 2-2x+3），可求MP=-x 2-2x+3，PQ=-2-x-x=-2-2x ，则可用x 表示矩形PMNQ 的周长，由二次函数的性质可求当矩形PMNQ 的周长最大时，点P 的坐标，即可求点E ，点M 的坐标，由三角形面积公式可求解；

（Ⅲ）先求出点D 坐标，即可求DQ=2，可得FG=4，设F （m ，-m 2-2m+3），则G （m ，m+3），用含有m 的式子表示FG 的长度即可求解．【详解】

解:（Ⅰ）依题意()()2

330

b c c --+?-+==

解得2{3

b c =-=

所以2

23y x x =--+

（Ⅱ）2223(1)4y

x x x

抛物线的对称轴是直线1x =-

(,0)M x ，()

2,23P x x x --+，其中31x -<<-

∵P 、Q 关于直线1x =-对称设Q 的横坐标为a 则()11a x --=-- ∴2a x =--

∴(

)

2,23Q x x x ----+

∴223MP x x =--+，222PQ x x x =---=--

∴周长(

)

222232822(2)10d x x x x x x =----+=--+=-++ 当2x =-时，d 取最大值，此时，(2,0)M -

∴2(3)1AM =---= 设直线AC 的解析式为y kx b =+ 则303k b b -+=??

=?，解得1

k b =??=?

∴设直线AC 的解析式为3y x

将2x =-代入3y x

，得1y =

∴(2,1)E -， ∴1EM

∴111

11222

AEM S AM ME ?=?=??=

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当矩形PMNQ 的周长最大时，2x =-此时点()0,3Q ，与点C 重合， ∴3OQ = ∵2223(1)4y

x x x

∴()1,4D -

过D 作DK y ⊥轴于K ，则1DK =，4OK = ∴431OK OK OQ =-=-= ∴DKQ 是等腰直角三角形，2DQ =

∴224FG DQ ==

设(

)

,23F m m m --+，则(,3)G m m +

()223233FG m m m m m =+---+=+

∴234m m +=，解得14m =-，21m = 当4m =-时，2235m m --+=- 当1m =时，2230m m --+=． ∴()4,5F --或()1,0

【点睛】

本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质等，利用参数表示线段的长度是本题的关键．

7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+6x﹣5的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其顶点为P，连接PA、AC、CP，过点C作y轴的垂线l．

（1）P的坐标，C的坐标；

（2）直线1上是否存在点Q，使△PBQ的面积等于△PAC面积的2倍？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）（3，4），（0，﹣5）；（2）存在，点Q的坐标为：（9

，﹣5）或

（21

，﹣5）

【解析】

【分析】

（1）利用配方法求出顶点坐标，令x=0，可得y=-5，推出C（0，-5）；

（2）直线PC的解析式为y=3x-5，设直线交x轴于D，则D（5

，0），设直线PQ交x轴

于E，当BE=2AD时，△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍，分两种情形分别求解即可解决问题．

【详解】

解：（1）∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，

∴顶点P（3，4），

令x＝0得到y＝﹣5，

∴C（0，﹣5）．

故答案为：（3，4），（0，﹣5）；

（2）令y＝0，x2﹣6x+5＝0，

解得：x＝1或x＝5，

∴A（1，0），B（5，0），

设直线PC 的解析式为y ＝kx +b ，则有5

34b k b =-??+=?，

解得：3

5k b =??=-?

，

∴直线PC 的解析式为：y ＝3x ﹣5，设直线交x 轴于D ，则D （

，0），

设直线PQ 交x 轴于E ，当BE ＝2AD 时，△PBQ 的面积等于△PAC 的面积的2倍， ∵AD ＝23， ∴BE ＝43

， ∴E （

113，0）或E ′（193

，0），则直线PE 的解析式为：y ＝﹣6x +22， ∴Q （

，﹣5），直线PE ′的解析式为y ＝﹣65x +385

， ∴Q ′（

，﹣5），综上所述，满足条件的点Q 的坐标为：（92

，﹣5）或（212，﹣5）；

【点睛】

本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．

8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2

(0)y ax bx c a =++≠交x 轴于点

(2,0),(3,0)A B -，交y 轴于点C ，且经过点(6,6)D --，连接,AD BD ．

（1）求该抛物线的函数关系式；

（2）△ANM 与ABD ?是否相似?若相似，请求出此时点M 、点N 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点P 是直线AD 上方的抛物线上一动点(不与点,A D 重合)，过P 作//PQ y 轴交直线AD 于点Q ，以PQ 为直径作⊙E ，则⊙E 在直线AD 上所截得的线段长度的最大值等于．（直接写出答案）

【答案】（1）2113442y x x =-

-+；（2）点M （0，3

2）、点N （34

，0）或点M （0，32），N （-3，0）或点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，3

）；（3）QH 有最大值，当x=2-时，其最大值为12

．【解析】【分析】

（1）用交点式函数表达式得：y=a （x-2）（x+3），将点D 坐标代入上式即可求解；（2）分∠MAB=∠BAD 、∠MAB=∠BDA ，两种大情况、四种小情况，分别求解即可；（3）根据题意，利用二次函数的性质和三角函数，QH=PQcos ∠PQH=35PQ=352113(442x x --+33)42x -+=2339

2055

x x -

-+，即可求解．【详解】

解：（1）用交点式函数表达式得：y=a （x-2）（x+3），将点D 坐标代入上式并解得：1

a =-，故函数的表达式为：2113

442

y x x =--+…①，则点C （0，

）；（2）由题意得：AB=5，AD=10，BD=35， ①∠MAN=∠ABD 时，（Ⅰ）当△ANM ∽△ABD 时，

直线AD 所在直线的k 值为

，则直线AM 表达式中的k 值为34-，

则直线AM 的表达式为：3(2)4

y x =--，故点M （0，3

2），

AD AB AM AN =，则AN=5

4，则点N （34，0）；（Ⅱ）当△AMN ∽△ABD 时，

同理可得：点N （-3，0），点M （0，3

），

故点M （0，32）、点N （34

，0）或点M （0，3

2），N （-3，0）；

②∠MAN=∠BDA 时，

（Ⅰ）△ABD ∽△NMA 时，

∵AD ∥MN ，则tan ∠MAN=tan ∠BDA=12

， AM ：y=12-

（x-2），则点M （-1，3

）、点N （-3，0）；（Ⅱ）当△ABD ∽△MNA 时，

AD BD

AM AN

，解得：AN=9

，

故点N （14-

，0）、M （-1，3

）；故：点M （-1，

32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，3

）；综上，点M （0，

32）、点N （34

，0）或点M （0，3

2），N （-3，0）或点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，3

2）；（3）如图所示，连接PH ，