随机信号习题答案
随机信号分析习题参考答案
北京工业大学电控学院
2008.12.9
第一章 随机信号基础
1.2 设连续随机变量X 的概率分布函数为：
求：
（1） 系数A （2）X 取值在（0.5 ，1）内的概率)15.0(< （3） 求X 的概率密度函数 解： （1） 因为X 为连续随机变量，所以其分布函数处处连续。 即 )0()(0 F x F im l x =→ 有：0)]}1(2 sin[ 5.0lim{0 =-+→x A x π 解得：2 1= A （2） 根据分布函数的性质：)()()(1221x F x F x x x P -=<< 4 2 ]22*5.05.0[5.0)5.0()1()15.0(= --=-=< （3） 因为dx x dF x f X X )()(= 当20<≤x 时， )1(2 cos 42*)1(2cos 21)()(-=-== x x dx x dF x f X X π πππ 其他 0) ()(== dx x dF x f X X else x f x x X 0 )(2 0)1(2 cos 4= <≤-π π 1.3 试确定下列各式是否为连续随机变量的概率分布函数，如果是概率分布函数，求其概率密度 。 2120)]1(2sin[5.0)(00≥<≤-+= 解： 如果一个函数它是概率分布函数则比须满足三个条件： （I ）)(x F 是x 的单调非减函数 （II ）)(x F 是非负函数，且满足：1)(0<≤x F （III ）)(x F 处处连续 （1）0 0)(0 2 <= ≥--x x F x e x 可证明)(x F 满足以上三个条件，可知)(x F 是一个概率分布函数。 )()(0 2 1'2<= =≥-x x F x f x e X x （2）0 1 10)(00 2≥<≤= 则此时 0 1 10)(00 2≥<≤= 02)()(0 '<≤= =x x x F x f else （3） 0)]()([)(>--= a a x u x u a x x F 上式等价于： else x F a x a x 0)(0= ≤≤ 因为在a x =点，1)(=a F 0)(lim 0 =+ →x F x 此函数在此点不连续。 所以该函数不是分布函数。 1.5 设随机变量X 的概率密度为：else x f x X 0 )(1 01 = ≤≤ 求：15+=X Y 的概率密度。 解： 因为 15+=X Y 所以 )(5 1 Y h Y X =-= 则：else y h f y f y y X Y 0 ))(((5 1 )(6115 1 05 1 == ≤≤?≤-≤ 1.7 设随机变量X 的数学期望和方差分别为m 和σ，求随机变量23--=X Y 的数学期望和方差及X 和 Y 的相关矩。 解： 232][3]23[][--=--=--=m X E X E Y E σ9][9]23[][==--=X D X D Y D m m X E X E X D X E X E X X E X X E XY E R XY 233][2])[][(3][2][3] 23[)]23([][2222---=-+-=--=--=--==σ 1.11 随机变量X 、Y 的联合概率密度为： 2 ,0)sin(),(π ≤ ≤+=y x y x A y x f XY 求：（1）系数A （2）数学期望Y X m m , （3）方差2 X σ和2 Y σ （4）相关矩XY R 及相关系数XY r 解：（1） A dxdy y x A dxdy y x A 2)sin()sin(20 2 =+= +?? ?? ∞∞-∞ ∞ -ππ 有二位概率密度性质可知： 1)(=+?? ∞∞-∞ ∞ -dxdy y x f XY 所以可得2 1= A （2）)cos (sin 2 1 )sin(),()(20 x x dy y x dy y x f x f XY X += +== ?? ∞ ∞ -π 4 )cos (sin 21)cos (sin 21*)(2020 ππ π ?? ? =-=+= = ∞ ∞ -x x xd dx x x x dx x xf m X X 同理：)cos (sin 21),()(y y dx y x f y f XY Y += = ? ∞ ∞ - 有 4 π =Y m （3）因为][][222 X E X E X -=σ 可求 2 2 8 )sin (cos 2 1 )(][2 2 22-+ = +==?? ∞ ∞ -∞ ∞ -π π dx x x x dx x f x X E X 22 16 ][][2 2 22-+ = -=π πσX E X E X 同理可得：22 16 ][][2 2 2 2-+ = -=π πσ Y E Y E Y （4） 1 2 )sin(21*),(][20 20 -=+= = =?? ?? ∞∞-∞ ∞ -ππ π dxdy y x xy dxdy y x xyf XY E R XY XY 2)4 (12π π --= -=Y X XY XY m m R C 245.032816822 16)4(122222 -=-+-+-=-+--== πππππππ πσσY X XY XY C r 第二章 随机过程 2.1随机过程 )sin()cos( )(t B t A t X ωω+=，其中其中ω为常数，A 、B 为互相独立的高斯变量，0][][==B E A E ，222][][σ==B E A E 。求)(t X 的数学期望和自相关函数。 解： 0][)sin(][)cos()]sin()cos([)]([=+=+=B E t A E t t B t A E t X E ωωωω ] [sin sin ][sin cos cos sin ][cos sin ][cos cos ]sin sin sin cos cos sin cos cos [)] sin cos )(sin cos [()]()([),(221212 1212 21212212121222112121B E t t AB E t t t t AB E t t A E t t t t B t t AB t t AB t t A E t B t A t B t A E t X t X E t t R X ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω+++=+++=++== 因为 A 、B 为互相独立的高斯变量 所以0][][][==B E A E AB E 代入上式 )] 21([cos 22 )2 sin 1sin 2cos 1(cos 2 2 sin 1sin 22cos 1cos )2,1(t t t t t t t t t t t t X R -=+=+=ωσσωωωωσωωσωω 2.4 判断随机过程)cos( )(Φ+=t A t X ω是否平稳？其中ω为常数，Φ、A 分别是均匀分布和瑞利分布的随机变量，且互相独立 π?π ?2021 )(<<= Φf 0)(2 2 2/2 >= -a e a a f a A σσ 解： （1） )cos(*)][cos(][)]cos([)]([20 2/20 22=+=Φ+=Φ+=??-∞+πσ??ωσ ωωd t da e a a t E A E t A E t X E a 所以，均值为常数。 （2） σ π σ σ2 da e a a ]A [E 2 2 2/a -02 = ? =?∞ 2 2/a -0 2 222da e a a ]A [E 2 2 σσ σ=? =?∞ 2222221 22211 222211 222X X R (t ,t )E [(Acos(t ))(Acos(t ))]E [A cos(t )A cos ]E [A ]E [cos(t )]E [A ]cos E [A ]cos cos *R ()τωΦωωτΦωωτΦωτωωτΦωτωτωτστ+=+++= +++=+++=== （3） ∞<==++=++=+=22222 222][21 )](2[cos ][21][21] 2) (2cos 1[)](cos [)]([σ?ω?ω?ωA E t E A E A E t A E t A E t X E 或 ∞<==22)()]([σ0R t X E X 所以)cos( )(Φ+=t A t X ω是平稳随机过程。 2.5 证明不相关的两个任意分布的随机变量A 、B 构成的随机过程 )sin()cos()(00t B t A t X ωω+= 是宽平稳的而不一定是严平稳的。其中0ω为常数，A 、B 的数学期望为0，方差2 σ相同。 证明：首先证明)(t X 是宽平稳的。 （1）0)][sin(][)][cos(][)]sin()cos([)]([0000=+=+=t E B E t E A E t B t A E t X E ωωωω 均值为常数。 （2） ) cos(])(cos[))](sin()sin())(cos()[cos())(sin()sin())(cos()cos(][))(sin()sin(][))(cos()cos(][))(sin()sin(][))(sin()cos(][))(cos()sin(][))(cos()cos())](sin()sin())(sin()cos())(cos()sin())(cos()cos([))}](sin())(cos()}{sin()cos([{),(0200200002200200200200200000020000200000020000τωσωτωστωωτωωσστωωστωωτωωτωωτωωτωωτωωτωωτωωτωωτωωτωωτωτωωωτ=-+=+++=+++=+++=+++++++=+++++++=++++=+t t t t t t t t t t B E t t A E t t B E t t AB E t t AB E t t A E t t t t B t t AB t t AB t t A E t B t A t B t A E t t R X 自相关函数只与时间间隔有关，而与起点无关。 （3） ∞<==2X 0R t X E σ)()]([2 均方值有界。 所以)(t X 是宽平稳的。 可以证明)t cos t sin (2)]t (X [E 33+=3与时间有关。（证明省略） 所以得出结论：)(t X 是宽平稳的，而不是严平稳的。 2.7 已知随机过程)cos( )(Φ+=t A t X ω，Φ为在]2,0[π内均匀分布的随机变量，A 可能是常数、时间函数或随机变量。A 满足什么条件时，)(t X 是各态历经的？ 解：（参照2.4题） （1）当A 是常数时： 0)][cos()]cos([)]([=+=+=ΦΦt AE t A E t X E ωω 所以，均值为常数。 )(cos 2 cos 2)]22[cos(2]cos )22[cos(2)]cos()cos([))]cos())(cos([(),(22222τωτωτωτωωτωτωωτωωωτωωτX X R A A t E A t E A t t A E t A t A E t t R ==+++=+++=+++=+++=+ΦΦΦΦΦΦ ∞<==++=++=+=2 2222 222][21)](2[cos ][21][21] 2) (2cos 1[)](cos [)]([σ?ω?ω?ωA E t E A E A E t A E t A E t X E 所以)cos( )(Φ+=t A t X ω是平稳随机过程。 又 )]([0cos )sin(lim |)sin(21lim )cos(21lim )(t X E t T A t A T dt t A T t X T T T T T T T ===+=+=∞→-∞→-∞→?ΦΦΦωωωω ω )(cos 2 cos 2)]22[cos(2)]cos )22[cos(4lim ))cos()cos(21lim )()(22222τωτωτωτωωτωτωωτωωτX T T T T T T R A A t E A dt t T A dt t t A T t X t X ==+++=+++=+++=+?? -∞→-∞→ΦΦΦΦ 所以，此时)(t X 是各态历经的。 （2）当A 为时间函数时：设)(t a A =则此时)cos( )()(Φ+=t t a t X ω 0)][cos()()]cos()([)]([=+=+=ΦΦt E t a t t a E t X E ωω 所以，均值为常数。 ωτ τωτ τωτωτωτωτωτωτωωτωτωτωτcos 2)()(cos )()(21)]22[cos(2)()(]cos )22[cos(2 ) ()()] cos()cos()()([))]cos()())(cos()([(),(+=+++++=++++= ++++=++++=+t a t a t a t a t E t a t a t E t a t a t A t t a t a E t t a t t a E t t R X ΦΦΦΦΦΦ 所以，自相关函数不仅依赖时间间隔τ，还是t 的函数。 此时所以)cos( )(Φ+=t A t X ω不是平稳随机过程，也就不是各态历经的。 （3）A 为随机变量： 证明)cos( )(Φ+=t A t X ω是平稳随机过程可参照前面2.4题的证明，此处略。 只求随机过程的自相关函数 ) (cos 2][)]cos()[cos(][2 1 ))]cos())(cos([(),(22τωτωτωωωτωωτX X R A E t t E A E t A t A E t t R ==+++= +++=+ΦΦΦΦ 又因为： )]([0cos )sin(lim |)sin(21lim )cos(21lim )(t X E t T A t A T dt t A T t X T T T T T T T ===+=+=∞→-∞→-∞→?ΦΦΦωωωω ω )(cos 2 cos 2)]22[cos(2)]cos )22[cos(4lim ))cos()cos(21lim )()(22222τωτωτωτωωτωτωωτωωτX T T T T T T R A A t E A dt t T A dt t A t A T t X t X ≠=+++=+++=+++=+?? -∞→-∞→ΦΦΦΦ 所以)cos( )(Φ+=t A t X ω不是各态历经的。 2.8 设)(),(t Y t X 是互相独立的平稳随机过程，它们的乘积是否平稳？ 解： 因为X(t)、Y(t)是平稳随机过程，故此他们的数学期望为常数，自相关函数仅与时间间隔有关，故此Z(t)的数学期望是常数，自相关函数仅与时间间隔有关，是平稳随机过程。 2.9 求用)(t X 自相关函数及功率普密度表示的)t (cos )t (X )(,0Φ+=ωt Y 的自相关函数及功率谱密度。 Φ为在]2,0[π内均匀分布的随机变量，)(t X 是与Φ互相独立的随机过程。 解： )t (Y )t (X Z(t)=Y X m m )]t (Y [E ]X(t)[E )]t (Y )t (X [E E[Z(t)]===) (R )(R )] t (Y )t (Y [E )]t (X )t (X [E )]t (Y )t (X )t (Y )t (X [E )t ,t (R Y X Z τττττττ=+?+=++=+0|)t (sin 21d 21)t cos(])t cos([E 20020 00 =Φ+=Φ? Φ+= Φ+? ππ ωπ πωω 方法一： 方法二： )]()([)()())((()()()(0X 0X i i -X i i X i i i X i 0X i Y Y S S 4 1 d e e R 41d e e R 41d e e e R 41d )e cos R 2 1 d e R S 0000ωωωωττττττττωτττωωττωωττωωτ τ ωτωωτωτ++-=+=+===???? ?∞+∞-∞+∞ ---∞ +∞---+∞ ∞--+∞ ∞ -- 2.11对于两个零均值联合平稳的随机过程)(),(t Y t X ，已知10,52 2 ==Y X σσ，说明下列函数是否可能 为他们的相关函数，并说明原因。 （1）τ ττ--=e R X )6cos()( （2）2]3)3sin([ 5)(τ ττ=X R （3）2 346)(ττ-+=e R X （4）)5sin( 5)(ττ=Y R （5）τ ττ3)(5)(-=e u R Y （6）τ τ-=e R Y 5)( 解： 第一个判断条件：实平稳过程X(t)的自相关函数是偶函数。即)()(ττ-=X X R R 其中（1）、（2）、（3）、（6）是偶函数 （4）、（5）不是偶函数，所以不是自相关函数。 )]t (cos [E ]X(t)[E )]t (X(t)cos [E )]t (Y [E 00=Φ+=Φ+=ωω)()cos (R 2 1])(cos )t 2()E[cos (R 21 )]t (cos )t (cos [E ])X(t)X(t [E )]t ()cos X(t )t (X(t)cos [E )t ,t (R 0X 000X 000000Y τωττωτωωττωωωττωωτωτ=+Φ++= Φ++Φ++=Φ+++Φ+=+)](S )(S [4 1 )]()([)(2121)(S 0X 0X 00Y ωωωωωωδωωδπωπω-++=-++*??= X S 第二个判断条件：0)(2 ==∞X X m R 其中（1）、（2）、（6）满足条件；而（3）不满足条件，所以不是自相关函数。 第三个判断条件：|)(|)0(τX X R R ≥ 其中（2）、（6）满足条件；而（1）中01)0(<-=X R 不满足条件，所以不是自相关函数。 第四个判断条件：)()0(2∞-=X X X R R σ 其中（2）不满足条件10505)()0(2≠=-=∞-=Y Y Y R R σ所以不是自相关函数。 其中（6）满足条件505)()0(2=-=∞-=X X X R R σ所以可能是自相关函数。 2.12 求随机相位正弦信号)cos()(0Φ+=t t X ω的功率谱密度，式中0ω为常数，Φ为在]2,0[π内均匀分布的随机变量。 解： 自相关函数：τωτωωωτ0000cos 2 1 )]cos()[cos( )(=+++=ΦΦt t E R X 功率谱密度：)}()({2 cos 21)()(000ωωδωωδπττωττωωτ-++== =?? ∞ ∞--∞ ∞ -d e d R S j X X 2.14 由联合平稳过程)(),(t Y t X 定义了一个随机过程)(in )(Y )cos()()(V 00t s t t t X t ωω+= （1）)(),(t Y t X 的数学期望和自相关函数满足那些条件可使)t (V 是平稳过程 解： ①：使数学期望是常数，须满足： ) t (sin )]t (Y [E )t (cos )]t (X [E )] t (sin )t (Y )t (t)cos (X [E )]t (V [E 0000ωωωω+=+=))] t ((sin )t (sin )t (Y )t (Y ) (R ))t ((cos )t ()sin X(t )t (Y )(R ))t ((sin )t ()cos Y(t )t (X ))t ((cos )t (cos )t (X )t (X [E )]))(t sin()t (Y ))(t cos()t (X ())t (sin )t (Y )t (cos )t (X [(E )] t (V )t (V [E 00YX 00XY 00000000τωωτττωωτττωωττωωττωττωτωωτ+++++++++++=+++++? +=+ 0 )]t (Y [E )]t (X [E == ②：使自相关函数与时间t 无关，须满足： （2）将（1）的结果用到)(V t ，求以)(),(t Y t X 的功率谱密度和互谱密度表示的)(V t 的功率谱密度 解： （3）如果)(),(t Y t X 不相关，那么)(V t 的功率谱密度是什么？ 解： 2.15 设两个随机过程)(),(t Y t X 各是平稳的，且联合平稳 )cos()(0Φ+=t t X ω )(s i n )(0Φ+=t t Y ω 式中，0ω为常数，Φ为在]2,0[π内均匀分布的随机变量。它们是否不相关、正交、统计独立？ 解： 时，X (t )、Y (t )不相关、正交 )(R )(R Y X ττ=) (R )(R XY YX ττ-=)(sin )(R )cos()(R )(R 0XY 0X V τωττωττ+?=)](S )(S [2j 1 )](S )(S [21d e )](sin )(R )(cos )([R d e )(R )(S 0XY 0XY 0X 0X j 0XY 0X j V V ωωωωωωωωτ τωττωττ τωωτωτ+--+-++=?+?=?=-∞ +∞ --+∞ ∞ -??) (R m m )(R 0)(C XY Y X XY XY τττ=-==) cos()(R )(R 0X V τωττ?=)](S )(S [2 1 )]()([)(21 )(S 0X 0X 00V ωωωωωωδωωδπωπω-++=-++*= X S 0|)t (sin 21 d 21)t cos()]t (X [E 20020 0=+=? +=?ππ ΦωπΦπΦω0|)t (cos 21d 21)t sin()]t (Y [E 20020 0=+-=? +=? ππ Φωπ ΦπΦω)(sin 2 1 ))] (sin )2t 2((sin 21 [E ]))(t sin()t (cos [E )(R m m )(R )(C 000000XY Y X XY XY τωτωτωωτωωτττ=+Φ++=Φ++Φ+==-=0 )(0)(0===ττπτωXY XY R C k ，0 ωπτk =∴ 时，X (t )、Y (t )相关、非正交 ∵ 1)()(22=+t Y t X ∴ X (t )、Y (t )不是相互独立。 2.17 在一般情况下，随机过程)sin()cos()(00t B t A t X ωω+=是否是（1）宽平稳（2）严平稳 其中，0ω为常数，A,B 为不同分布的随机变量，但方差相同。 解： 只有当随机变量A 和B 的数学期望为0时，X(t)的数学期望才是常数。 只有当随机变量A 和B 不相关时，X(t)的自相关函数才与时间t 无关。 此时： 0ωπ τk ≠ ) t (sin ]B [E )t (cos ]A [E )] t (Bsin )t (Acos [E )]t (X [E 0000ωωωω+=+=))] t ((sin )t (sin B ))t ((cos )t (ABsin )) t ((sin )t (ABcos ))t ((cos )t (cos A [E )]))(t Bsin())(t Acos())(t (Bsin )t (Acos [(E )] t (X )t (X [E 00200000020000τωωτωωτωωτωωτωτωωωτ+++++++=++++=+0 )t (sin ]B [E )t (cos ]A [E )]t (Bsin )t (Acos [E )]t (X [E 0000=+=+=ωωωω) t (cos ))] t ((sin )t (sin B ))t ((cos )t (ABsin )) t ((sin )t (ABcos ))t ((cos )t (cos A [E )]))(t Bsin())(t Acos())(t (Bsin )t (Acos [(E )] t (X )t (X [E 02A 00200000020000ωστωωτωωτωωτωωτωτωωωτ?=+++++++=++++=+ Y(t) 第三章 系统对随机信号的响应 3.1 RC 积分电路的输入电压为：)cos()(00Φ++=t X t X ω 其中式中0ω为常数，0X 、Φ为在]1,0[和]2,0[π内均匀分布的随机变量，且互相独立。求输出电压)(t Y 的自相关函数。 解： 2 1 |221)cos()] [cos(][)]cos([)]([10 2 020 0010 00000==++=++=++=? ?x d t x d x t E X E t A X E t X E π ?π?ωωωΦΦ 所以，均值为常数。 )(cos 2 131cos 21|3cos 2 1][]cos )22[cos(2 1 ][)] cos()[cos()]cos([)]cos([][)] cos()cos()cos()cos([))] cos())(cos([(),(00 10300 102 0020000200000000020000000002 000000ττωτωτωτωτωωτωωωωτωωτωωωωτωωτωωωτX X R X X d X X E t E X E t t E t X E t X E X E t t t X t X X E t X t X E t t R =+=+==+=++++ =+++++++++=+++++++++=+++++=+?ΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦ∞<=+= 6 5 2131)0(X R 所以)(t X 为平稳随机过程。 2 22 2 |)(|ω ααω+=H )}()({2 )(32)cos 2131()()(000ωωδωωδπ ωδπττωττωωτωτ-+++=+==??∞∞---∞∞-d e d e R S j j X X )]()([2)(32)]}()([2)(3 2{)()()(002 22002 222 ωωδωωδωααπωδπωωδωωδπ ωδπωααωωω-+++?-++++==＋＝H S S X Y )cos() (231)(02 22 τωωαατ++=∴Y R 3.2若系统得输入)(t X 为平稳随机过程，求输出)(t Y 的功率谱密度。 解： 系统输出为)()()(T t X t X t Y -+= 第一种解法： T j e H ωω-+=1)( T H ωωcos 22|)(|2+= ) cos 22)((|)(|)()(2T S H S S X X Y ωωωωω+=?= 第二种解法： 2Y Y X X X R ()R (t ,t )E [Y (t )Y (t )] E [(X (t )X (t T ))(X (t )X (t T ))] E [X (t )X (t )X (t T )X (t )X (t )X (t T )X (t T )X (t T )] E [X (t )X (t )]E [X (t T )X (t )]E [X (t )X (t T )]E [X (t T )X (t T )]R ()R (T )R τττττττττττττττ=+=+=+-+++-=++-+++-+-+-=++-+++-+-+-=+++(T ) τ- ) c o s 22)(()()()(2)]()()(2[)]([)(T S e S e S S d e T R T R R R F S X T j X T j X X jw X X X Y Y ωωωωωτ ττττωωωτ+=++=++-+==--∞ ∞--? 由傅氏变换表中第一个变换，得： T j X j X e S d e T R ωωτ ωττ-∞ ∞ --=-? )()( 且 T j X j X e S d e T R ωωτωττ)()(=+? ∞ ∞ -- 3.3冲激响应为)(1t h 和)(2t h 的并联系统。求用)(1t h 、)(2t h 和)(t X 的自相关函数表示的)(1t Y 、)(2t Y 的互相关函数。 解：根据图示系统得： ? ∞ ∞--=λλλd t x h t Y )()()(11 ? ∞ ∞ --=du u t x u h t Y )()()(22 因此， ) ()()()()]()([)()] ()()([)] ()([),(111111ττλ λτλλτλλτλλλττX X X Y R h d R h d t X t X E h t X d t x h E t X t Y E t t R *-=+=+-= +?-=+=+? ??∞ ∞ -∞ ∞-∞ ∞- ) ()()()()]()([)(] )()()([)] ()([),(112122122121ττλ λτλλλτλλλτλττX Y X Y Y Y R h d R h d t X t Y E h d t x h t Y E t Y t Y E t t R *=-=-+=-+?=+=+???∞ ∞ -∞ ∞-∞ ∞- 所以 )()()()(2121ττττh h R R X Y Y *-*= )()()()()()()(212121ωωωωωωωH H S H H S S X X Y Y * =-= 3.4平稳随机过程)(t X 作用到脉冲响应为)(1t h 和)(2t h 的串联系统。求用)(1t h 、)(2t h 和)(t X 的自相关函数表示的)(1t Y 、)(2t Y 的互相关函数。 解： )(t X 为平稳随机过程，所以有： 2121Y Y Y R ()R ()*h ()τττ= 111Y X R ()R ()*h ()*h ()ττττ=- 12 112YY X R ()R ()*h ()*h ()*h ()τττττ=- 3.5 功率谱密度为2/0N 的白噪声作用到2)0(=H 的低通网络，它的等效噪声带宽为2MHz 。若在一欧姆电阻上噪声输出平均功率是0.1W ，0N 是多少？ 解：61022??=?πωe 因为：2 02e Y N R (0)H (0)?ωπ = 所以： 802 26 20121251022210Y e R (0)*.W *N .*W /Hz ***Hz H(0)ππ π?ω-= = = 3.6 当传输函数为1H()[1(j L /R )]ωω-=+的两个相同网络串联时，求输入白噪声的功率谱为0N 时的输出平均功率。 解：两个网络串联时的C H ()ω为： R L j R L j H H H C /11 /11 )()()(ωωωωω+? += ?= 2 C 22 1 H ()L [1()] R ωω= + 2 Y X C 22 N S ()S ()H ()= L [1()] R ωωωω=+ 又输出的功率谱为：j Y Y 1R ()S ()e d 2ωττωωπ +∞ -∞ = ? 则输出的平均功率为：00Y 22N N R 1 R (0)d L 24L [1()]R ωωπ +∞ -∞ = =+? 随机过程考试试题及答案详解 1、（15分）设随机过程C t R t X +?=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均 匀分布。 （1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 【理论基础】 （1）? ∞ -= x dt t f x F )()(，则)(t f 为密度函数； （2）)(t X 为),(b a 上的均匀分布，概率密度函数?? ???<<-=其他,0,1 )(b x a a b x f ，分布函数 ?? ??? >≤≤--<=b x b x a a b a x a x x F ,1,,0)(，2)(b a x E += ，12)()(2a b x D -=； （3）参数为λ的指数分布，概率密度函数???<≥=-0,00 ,)(x x e x f x λλ，分布函数 ?? ?<≥-=-0 ,00,1)(x x e x F x λ，λ1)(=x E ，21 )(λ=x D ； （4）2 )(,)(σμ==x D x E 的正态分布，概率密度函数∞<<-∞= -- x e x f x ,21 )(2 22)(σμπ σ， 分布函数∞<<-∞= ? ∞ --- x dt e x F x t ,21)(2 22)(σμπ σ，若1,0==σμ时，其为标准正态分布。 【解答】本题可参加课本习题2.1及2.2题。 （1）因R 为]1,0[上的均匀分布，C 为常数，故)(t X 亦为均匀分布。由R 的取值范围可知， )(t X 为],[t C C +上的均匀分布，因此其一维概率密度?? ???+≤≤=其他,0,1 )(t C x C t x f ，一维分布 函数?? ??? +>+≤≤-<=t C x t C X C t C x C x x F ,1,,0)(； 电子科技大学2014-2015学年第 2 学期期 末 考试 A 卷 一、设有正弦随机信号()cos X t V t ω=， 其中0t ≤<∞，ω为常数，V 是[0,1)均匀 分布的随机变量。（ 共10分） 1．画出该过程两条样本函数。(2分) 2．确定02t πω=，134t πω=时随机信号()X t 的 一维概率密度函数，并画出其图形。(5 分) 3．随机信号()X t 是否广义平稳和严格平 稳？(3分) 解：1.随机信号()X t 的任意两条样本函 数如题解图(a)所示： 2.当02t πω=时，()02X πω=，()012P X πω??==????， 此时概率密度函数为：(;)()2X f x x πδω = 当34t πω=时， 3()42X πω=-，随机过程的一维 概率密度函数为： 3. ()[]1cos cos 2E X t E V t t ωω==???? 均值不平稳， 所以()X t 非广义平稳，非严格平稳。 二、设随机信号()()sin 2X n n πφ=+与 ()()cos 2Y n n πφ=+，其中φ为0~π上均 匀分布随机变量。（ 共10分） 1．求两个随机信号的互相关函数 12(,)XY R n n 。(2分) 2．讨论两个随机信号的正交性、互不 相关性与统计独立性。(4分) 3．两个随机信号联合平稳吗？(4分) 解：1.两个随机信号的互相关函数 其中()12sin 2220E n n ππφ++=???? 2. 对任意的n 1、n 2 ,都有12(,)0XY R n n =， 故两个随机信号正交。 又 故两个随机信号互不相关， 又因为 故两个随机信号不独立。 3. 两个随机信号的均值都平稳、相关函数都与时刻组的起点无关，故两个信号分别平稳，又其互相关函数也与时刻组的起点无关，因而二者联合平稳。 三、()W t 为独立二进制传输信号，时隙长度T 。在时隙内的任一点 ()30.3P W t =+=????和 ()30.7P W t =-=????，试求（ 共10分） 1．()W t 的一维概率密度函数。(3分) 2．()W t 的二维概率密度函数。(4分) 3．()W t 是否严格平稳？(3分) 绪论单元测试 1 【单选题】(2分) 确定性信号和随机信号的区别是什么？ A. 能否用计算机处理 B. 能否用有限个参量进行唯一描述 2 【单选题】(3分) 如何由连续时间信号获得离散时间信号？ A. 在信号幅度上进行量化 B. 在时域上对连续时间信号进行采样 第一章测试 1 【单选题】(2分) 以下那个说法是正确的？ A. 在对连续时间信号进行采样得到离散时间信号的过程中，只要实现了等间隔采样，采样间隔T怎样选择都不会影响采样后离散时间信号的频谱特征。 B. 在对连续时间信号进行采样得到离散时间信号的过程中，采样间隔T的选择非常关键，如果选择不当，采样后的离散时间信号将存在频域混叠失真现象。 2 【单选题】(2分) A. B. C. D. 3 【判断题】(2分) A. 错 B. 对 4 【单选题】(2分) 下面哪段语句不会报错？ A. x=ones(1,5); n h=0:2; h=(nh+1).*ones(1,3); n=0:6; y=conv(x,h); stem(n,y); B. x=[123]; h=ones(1,5); n=0:7; y=conv(x,h); stem(n,y); C. x=ones(1,4); n h=0:2; h=(nh+1)*ones(1,3); n=0:5; y=conv(x,h); stem(n,y); 5 【单选题】(2分) A. B. C. D. 6 【单选题】(2分) 请问以下哪个说法是正确的？ A. 连续时间正弦信号采样后不一定为周期序列。 B. 连续时间正弦信号采样后一定为周期序列。 7 【单选题】(2分) A. B. C. 由于百度文库格式转换的原因，不能整理在一个word 文档里面，下面是三四章的答案。给大家造成的不便，敬请谅解 随机信号分析 第三章习题答案 、随机过程 X(t)=A+cos(t+B)，其中A 是均值为2，方差为1的高斯变量，B 是（0，2π）上均匀分布的随机变量，且A 和B 独立。求 （1）证明X(t)是平稳过程。 （2）X(t)是各态历经过程吗？给出理由。 （3）画出该随机过程的一个样本函数。 （1） （2） 3-1 已知平稳过程()X t 的功率谱密度为232 ()(16) X G ωω=+，求：①该过程的平均功率？ ②ω取值在(4,4)-范围内的平均功率？ 解 [][]()[]2 ()cos 2 11 ,cos 5cos 22 X E X t E A E t B A B R t t EA τττ =++=????+=+=+与相互独立 ()()()2 1521()lim 2T T T E X t X t X t X t dt A T -→∞??=<∞ ???==?是平稳过程 ()()[]() ()41122 11222222 2 4 2' 4(1)24()()444(0)4 1132 (1 )2244144 14(2)121tan 132 24X X X E X t G d R F G F e R G d d d arc x x τ τωωωωω ππωωπωωπω π ωω∞ ----∞∞ -∞-∞∞--∞∞ ?????==?=???+?? ====+==??+ ?== ??= ++?? =? ????P P P P 方法一() 方：时域法取值范围为法二-4,4内(频域的平均率法功) 2 d ω = （1） 设}0),({≥t t X 是一个实的零均值二阶矩过程，其相关函数为 t s s t B t X s X E ≤-=),()}()({，且是一个周期为T 的函数，即0),()(≥=+τττB T B ，求方差函数)]()([T t X t X D +-。 解：由定义，有： )(2)0()0()}()({2)0()0()]} ()()][()({[2)] ([)]([)]()([=-+=+-+=+-+--++=+-T B B B T t X t X E B B T t EX T t X t EX t X E T t X D t X D T t X t X D （2） 试证明：如果}0),({≥t t X 是一独立增量过程，且0)0(=X ，那么它必是一个马 尔可夫过程。 证明：我们要证明： n t t t <<<≤? 210，有 } )()({})(,,)(,)()({11112211----=≤=====≤n n n n n n n x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 形式上我们有： } )()(,,)(,)({} )()(,,)(,)(,)({} )(,,)(,)({} )(,,)(,)(,)({})(,,)(,)()({1122221111222211112211112211112211--------------========≤= ======≤=====≤n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 因此，我们只要能证明在已知11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与2 ,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立即可。 由独立增量过程的定义可知，当2,,2,1,1-=<<<-n j t t t a n n j 时，增量 )0()(X t X j -与)()(1--n n t X t X 相互独立，由于在条件11)(--=n n x t X 和0)0(=X 下，即 有)(j t X 与1)(--n n x t X 相互独立。由此可知，在11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与 2,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立，结果成立。 （3） 设随机过程}0,{≥t W t 为零初值（00=W ）的、有平稳增量和独立增量的过程， 且对每个0>t ，),(~2t N W t σμ，问过程}0,{≥t W t 是否为正态过程，为什么？ 解：任取n t t t <<<≤? 210，则有： n k W W W k i t t t i i k ,,2,1][1 1 =-=∑=- 北京理工大学2011级随机信号分析期末试题B卷 1（15分）、考虑随机过程X t=2Nt2，其中N为标准正态随机变量。计算X(t)在t为0秒，1秒，2秒时的一维概率密度函数fx x;0，fx x;1，fx x;2 2（15分）、考虑随机过程X t=a2cos2(ω0t+?)，其中a，ω0为常数，?为在[0,2π) 上均匀分布的随机变量。 （1）、X(t)是否为宽平稳随机过程？为什么？ （2）、X(t)是否为宽遍历随机过程？为什么？ （3）、求X(t)的功率谱密度及平均功率。 3（15分）、考虑下述随机过程 Y(t)=X k dk t t?2T 式中，X(t)为宽平稳随机过程。 （1）、试找出一线性时不变系统，使得系统输入为X(t)时其输出为Y(t)，写出该系统的单位冲激响应； （2）、假定X(t)的自相关函数为R XX(τ)，计算Y(t)的自相关函数； （3）、假定X(t)的功率谱密度为S XX(ω)，计算Y(t)的功率谱密度。 4（15分）、已知某宽平稳高斯随机过程的功率谱密度如下 S XXω=10 22 将其通过一微分网络，输出为Y(t)。 （1）、求Y(t)的功率谱密度S Yω； （2）、求Y(t)的平均功率； （2）、求Y2(t)的平均功率。 5（40分）、已知X t=A t cos(ω t?θ)?A t sin?(ω0t?θ) 其中A(t)为宽平稳实随机过程，功率谱密度如图1所示，且ω0?W，θ服从(0,2π)上均匀分布的随机变量。 分别定义X(t) 和同相分量和正交分量为： X I t=X t cosω0t+X t sinω0t X Q t=X t cosω0t?X t sinω0t 式中，X t表示X(t)的希尔伯特变换。 （1）、计算X(t)及X t的平均功率，分别画出X(t)，X(t)的复解析过程，X(t)的复包络，以及X(t)的正交分量和同相分量的功率谱密度； （2）、若A(t)为零均值的随机过程，X(t)通过如图2的系统，求Y(t)的均值和方 随机信号分析习题一 1. 设函数???≤>-=-0 , 0 ,1)(x x e x F x ，试证明)(x F 是某个随机变量ξ的分布函数。并求下列 概率：)1(<ξP ，)21(≤≤ξP 。 2. 设),(Y X 的联合密度函数为 (), 0, 0 (,)0 , other x y XY e x y f x y -+?≥≥=? ?， 求{}10,10<<< 8. 两个随机变量1X ，2X ，已知其联合概率密度为12(,)f x x ,求12X X +的概率密度？ 9. 设X 是零均值，单位方差的高斯随机变量，()y g x =如图，求()y g x =的概率密度 ()Y f y \ 10. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数 22 2 W X Y Z X ?=+?=? 设X ，Y 是相互独立的高斯变量。求随机变量W 和Z 的联合概率密度函数。 11. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数 2() W X Y Z X Y =+?? =+? 已知(,)XY f x y ，求联合概率密度函数(,)WZ f z ω。 12. 设随机变量X 为均匀分布，其概率密度1 ,()0X a x b f x b a ?≤≤? =-???， 其它 （1）求X 的特征函数,()X ?ω。 （2）由()X ?ω，求[]E X 。 13. 用特征函数方法求两个数学期望为0，方差为1，互相独立的高斯随机变量1X 和2X 之和的概率密度。 14. 证明若n X 依均方收敛，即 l.i.m n n X X →∞ =，则n X 必依概率收敛于X 。 15. 设{}n X 和{}n Y (1,2,)n = 为两个二阶矩实随机变量序列，X 和Y 为两个二阶矩实随机变量。若l.i.m n n X X →∞ =，l.i.m n n Y Y →∞ =，求证lim {}{}m n m n E X X E XY →∞→∞ =。 《随机过程期末考试卷》 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 第 一 章 1.1不考 条件部分不考 △雅柯比变换 （随机变量函数的变换 P34） △随机变量之间的“不相关、正交、独立” P51 （各自定义、相关系数定义 相互关系：两个随机变量相互独立必定互不相关，反之不一定成立 正交与不相关、独立没有明显关系 结合高斯情况） △随机变量的特征函数及基本性质 （一维的 P53 n 维的 P58） △ 多维高斯随机变量的概率密度和特征函数的矩阵形式、三点性质 P61 ( )()() () ( ) ()()2 2 1 () 2112 2 22 11 ,,exp 2 2exp ,,exp 22T T x m X X X X X n n X T T jU X X X X X n X M X M f x f x x U U u Q u j m Q u u E e jM U σπσμ---?? --??= = -????? ? ?? ?? ?? ??=-==- ?? ??? ????? ?? C C C u u r u u r u u r u u r u u r u u r L u r u r u u r u r L 另外一些性质： []()20XY XY X Y X C R m m D X E X m ??=-=-≥?? 第二章 随机过程的时域分析 1、随机过程的定义 从三个方面来理解①随机过程(),X t ζ是,t ζ两个变量的函数②(),X t ζ是随时间t 变化的随机变量③(),X t ζ可看成无穷多维随机矢量在0,t n ?→→∞的推广 2、什么是随机过程的样本函数？什么是过程的状态？随机过程与随机变量、样本函数之间的关系？ 3、随机过程的概率密度P7 4、特征函数P81。（连续、离散） 一维概率密度、一维特征函数 二元函数 4、随机过程的期望、方差、自相关函数。（连续、离散） 5、严平稳、宽平稳的定义 P83 6、平稳随机过程自相关函数的性质： 0点值，偶函数，周期函数（周期分量），均值 7、自相关系数、相关时间的定义 P88 2 2 2() ()()()()(0)()X X X X X X X X X X C R m R R R R τττρτσ σ--∞= = -∞= 非周期 相关时间用此定义（00()d τρττ∞ =?） 8、两个随机过程之间的“正交”、“不相关”、“独立”。 （P92 同一时刻、不同时刻） 9、两个随机过程联合平稳的要求、性质。P92 一．填空题（每空2分，共20分） 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为it (e -1) e λ。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 填空： 1.假设连续随机变量的概率分布函数为F（ x）则 F（ -∞） =0, F（ +∞） =1 2.随机过程可以看成是样本函数的集合，也可以看成是随机变量的集合 3.如果随机过程 X(t)满足任意维概率密度不随时间起点的变化而变化,则称 X(t)为严平稳随机过程，如果随机过程 X(t)满足均值为常数，自相关函数只与时间差相关则称 X(t)为广义平稳随机过程 4.如果一零均值随机过程的功率谱，在整个频率轴上为一常数，则称该随机过程为白噪声 ,该过程的任意两个不同时刻的状态是不相关 5. 宽带随机过程通过窄带线性系统，其输出近似服从正态分布 ,窄带正态噪声的包络服从瑞利分布 ,而相位服从均匀分布 6.分析平稳随机信号通过线性系统的两种常用的方法是冲激响应法，频谱法 7.若实平稳随机过程相关函数为Rx（τ） =25+4/ （1+6τ），则其均值为 5 或 -5,方差为 4 7.匹配滤波器是输出信噪比最大作为准则的最佳线性滤波器。 1.广义各态历经过称的信号一定是广义平稳随机信号，反之，广义平稳的随机信号不一定是广义各态历经的随机信号 2.具有高斯分布的噪声称为高斯噪声 ,具有均匀分布的噪声叫均匀噪声 ,而如果一个随机过程的概率谱密度是常数，则称它为白噪声 3.白噪声通过都是带宽的线性系统，输出过程为高斯过程 4.平稳高斯过程与确定的信号之和是高斯过程，确定的信号可以认为是该过程的数学期望 5.平稳正态随机过程的任意概率密度只由均值和协方差阵确定 1.白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。 3.对于严格平稳的随机过程，它的均值与方差是与时间无关的函数，即自相关函数与时间间隔有关，与时间起点无关。 4.冲激响应满足分析线性输出，其均值为_____________________ 。 5.偶函数的希尔伯特变换是奇函数。 6.窄带随机过程的互相关函数公式为P138。 1.按照时间和状态是连续还是离散的，随机过程可分为四类，这四类是连续时间随机过程， 离散型随机过程、随机序列、离散随机序列。 2.如果平稳随机过程均值和相关函数具有遍历性 ,则称该随机过程为各态历经过称。 3.如果均匀分布白的噪声通过线性系统，输出服从正态分布分布。 4.正态随机过程的任意 n 维分布，只有由一、二阶矩确定。 5.窄带正态随机过程的相位服从均匀分布，幅度服从瑞利分布。 6.随机过程相关时间反应了随机过程变化的快慢程度，相关时间越长，过程的取值变化越 慢 ,随机过程相关时间反应了随机过程变化的快慢程度，相关时间越短，过程的取值变化越快 , 7.平稳随机过程信号通过线性系统分析，输入，输出过程的自相关函数可表示为 ，输出与输入过程中功率谱之间的关系可表示为。 8.平稳随机过程信号通过非线性系统分析常用的方法是直接法和变换法与级数展开法。 9.典型的独立增量过程有泊松过程与维纳过程。 10.对于无偏估计而言均方误差总是大于等于某个量，这个量称为克拉美-罗(Cramer-Rao)下 1 第一次作业：练习一之1、2、3题 1.1 离散随机变量X 由0，1，2，3四个样本组成，相当于四元通信中的四个电平，四个样本的取值概率顺序为1/2，1/4，1/8，和1/8。求随机变量的数学期望和方差。 解：875.087 813812411210)(][4 1 ==?+?+?+?===∑=i i i x X P x X E 81 )873(81)872(41)871(21)870(])[(][2224 1 22?-+?-+?-+?-=-=∑=i i i P X E x X D 109.164 71 == 1.2 设连续随机变量X 的概率分布函数为 ? ????≥<≤-+<=21 201)](2π Αsin[0.500 )(x x x x x F 求（1）系数A ；（2）X 取值在（0.5，1）内的概率)15.0(< 北京工业大学2009-20010学年第一学期期末 数理统计与随机过程(研) 课程试卷 学号 姓名 成绩 注意：试卷共七道大题，请写明详细解题过程。 考试方式：半开卷，考试时只允许看教材《概率论与数理统计》 浙江大学 盛 骤等编第三版（或第二版）高等教育出版社。可以看笔记、作业，但不允许看其它任何打印或复印的资料。考试时允许使用计算器。考试时间120分钟。考试日期：2009年12月31日 一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩，算得平均分数为80=x 分，样本标准差8=s 分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为85分，问：能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异（取显著性水平050.=α）？ 解：这是单个正态总体 ),(~2σμN X ，方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题，用T 检验法. 解 85:0=μH ，85:1≠μH 选统计量 n s x T /0 μ-= 已知80=x ，8=s ，n ＝28，850=μ， 计算得n s x T /0μ-= 31 .328/885 80=-= 查t 分布表，05.0=α，自由度27，临界值052.2)27(025.0=t . 由于052.2>T 2622.2>，故拒绝 0H ，即在显著水平05.0=α下不能认为 该班的英语成绩为85分. 050.= 解：由极大似然估计得.2?==x λ 在X 服从泊松分布的假设下，X 的所有可能的取值对应分成两两不相交的子集A 0, A 1,…, A 8。 则}{k X P =有估计 =i p ?ΛΛ,7,0, !2}{?2 ===-k k e k X P k =0?p 电子科技大学2014- 2015学年第2学期期末考试 A 卷 一、设有正弦随机信号X t Vcos t , 其中0 t，为常数，V是［0,1）均匀分布的随机变 量。（共10分） 1.画出该过程两条样本函数。（2分） 3 2.确定t。— , t1—时随机信号x（t）的一维概率密度函数，并画出其图形。（5 分） 3.随机信号x（t）是否广义平稳和严格平 稳？（3分） 解: 1.随机信号x t的任意两条样本函数如题解图（a）所示： 2.当t0 厂时，x（—）0, P x（—）0 1, 此时概率密 度函数为：f x（X；厂）（X） 当t时，X（右）乎V,随机过程的一维概率密度函数为： 1 3. E X t EV cos t 2cos t 均值不平稳，所以X（t）非广义平稳，非严格平稳。 二、设随机信号X n sin 2 n 与 Y n cos 2 n ，其中为0~上均 匀分布随机变量。（共10分） 1.求两个随机信号的互相关函数 （n!, n2）o （2 分） R KY 2.讨论两个随机信号的正交性、互不 相关性与统计独立性。（4分） 3 .两个随机信号联合平稳吗？（4分）解: 1.两个随机信号的互相关函数 其中E sin 2 口2迈2 0 2.对任意的厲、n2,都有R XY^M） 0, 故两个 随机信号正交。 又 故两个随机信号互不相关， 又因为 故两个随机信号不独立。 3. 两个随机信号的均值都平稳、相关函数都与时刻组的起点无关，故两个信号分别平稳，又其互相关函数也与时刻组的起点无关，因而二者联合平稳。 三、W t为独立二进制传输信号，时隙长度T。在时隙内的任一点 P W t 3 0.3和P W t 3 0.7 ，试求 （共10 分） 1．W t的一维概率密度函数。（3 分） ………密………封………线………以………内………答………题………无………效…… 电子科技大学20 -20 学年第 学期期 考试 卷 课程名称：_________ 考试形式： 考试日期： 20 年 月 日 考试时长：____分钟 课程成绩构成：平时 10 %， 期中 10 %， 实验 %， 期末 80 % 本试卷试题由___2__部分构成，共_____页。 一、填空题（共20分，共 10题，每题2 分） 1. 设随机过程0()cos(),X t A t t ω=+Φ-∞<<∞，其中0ω为常数，A Φ和是相互独立的随机变量， []01A ∈，且均匀分布，Φ在[]02π，上均匀分布，则()X t 的数学期望为： 0 2. 已知平稳随机信号()X t 的自相关函数为2()2X R e ττ-=，请写出()X t 和(2)X t +的协方差12-e 3. 若随机过程()X t 的相关时间为1τ，()Y t 的相关时间为2τ，12ττ>，则()X t 比()Y t 的相关性要__大___,()X t 的起伏特性比()Y t 的要__小___。 4. 高斯随机过程的严平稳与___宽平稳_____等价。 5. 窄带高斯过程的包络服从___瑞利___分布，相位服从___均匀___分布，且在同一时刻其包络和相位是___互相独立___的随机变量。 6. 实平稳随机过程的自相关函数是___偶____（奇、偶、非奇非偶）函数。 7. 设)(t Y 是一均值为零的窄带平稳随机过程，其单边功率谱密度为)(ωY F ，且0()Y F ωω-为一偶函数，则低频过程)()(t A t A s c 和是___正交___。 4-4设有限时间积分器的单位冲激响应 h(t)=U(t)－U(t －0.5) 它的输入是功率谱密度为 210V Hz 的白噪声，试求系统输出的总平均功率、交流平均功率和输入输出互相关函数 ()() ()()() 2 222 1:()2[()][()]0Y Y Y Y XY X P E Y t G d D Y t E Y t m E Y R R R h ωω πτττ∞ -∞??==????=-==??=*?思路 ()()()10()() 10()10[()(0.5)] ()()10[()(0.5)] XY X YX XY R R h h h U U R R U U τττδτττττττττ=*=*==--=-=----解：输入输出互相关函数 000 2 0.0 25 ()0()10()10()0()()()()10(()00[()(0.)() 10()()()10()()10101100.55 [()5)]](0)X X X Y X Y X Y Y X t m G R m m h d R U R h h h h h h d R h h d d d E Y t R U ωτττττττττλτλδτλλλ λλλλ μ∞ ∞ ∞∞ ==?====**-=*-=+=+=-=-=?=?==????? 时域法 平均功是白噪声，，， 率面积法 ： 22 5 [()][()]5 Y Y D Y t E Y t m ==-=P 交流：平均功率 ()h t 白噪声 () Y R τ ()()()2 14 12 24 2 22Y 2 (P1313711()2415()()()102 42411 5112522242j j j Y X Y U t U t Sa e H e Sa G G H e Sa Sa G d Sa S d a d ωτωωωτ ττωωωωωωωωωωωπ π ωωπ - --∞ ∞ ∞ -∞ ∞--∞??--?? ??? ?? -???= ? ?? ???? === ? ? ???? ?? = = =??= ? ? ?? ??? ??P 矩形脉冲A 的频谱等于A 信号与线性系统书式域法 ） 频()()22 20000 [()][()][()]5 Y X Y Y m m H H D Y t E Y t m E Y t =?=??=-===P 交直流分量为平均功率：流 2.1 由下式定义的两电平二进制过程X(t)=A or – A,(n-1)T 2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。 证明：当12n 0t t t t <<< <<时， 1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t )=x )≤= n n 1122n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=x , X(t )-X(0)=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，又因为n n P(X(t)x X(t )=x )=≤n n n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，故1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x , X(t )=x )≤=n n P(X(t)x X(t )=x )≤ 3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1 电子科技大学20 -20 学年第 学期期 考试 卷 课程名称：_________ 考试形式： 考试日期： 20 年 月 日 考试时长：____ 分钟 课程成绩构成：平时 %， 期中 %， 实验 %， 期末 % 本试卷试题由_____部分构成，共_____页。 计算、简答、论述、证明、写作等试题模板如下 一、若信号00()cos()X t X t ω=++Θ输入到如下图所示的RC 电路网络上， 其中0X 为[0,1]上均匀分布的随机变量，Θ为[0,2]π上均匀分布的随机变量，并且0X 与 Θ彼此独立，Y (t )为网络的输出。（ 共10分） （1）求Y (t )的均值函数。(3分) （2）求Y (t )的功率谱密度和自相关函数。(4分) （3）求Y (t )的平均功率。(3分) 图 RC 电路网路 （1）RC 电路的传输函数为()1(1)H j j RC ωω=+ ()X t 的均值函数为 ∴ Y (t )的均值函数为 （2） ∴()X t 是广义平稳的。 ∴()X t 的功率谱为： 功率谱传递函数：22 1 |()|H j RC ωω= 1+（） 根据系统输入与输出信号功率谱的关系可得： 求()Y S ω的傅立叶反变换，可得： （3）2222 011 (0)328Y Y P R f R C ==++π 二、若自相关函数为()5()X R τδτ=的平稳白噪声X (t )作用于冲激响应为 ()e ()bt h t u t -=的系统，得到输出信号Y (t )。（ 共10分） （1）求X (t )和Y (t )的互功率谱()YX S ω和()XY S ω。(5分) （2）求Y (t )的矩形等效带宽。(5分) （1）1 ()() ()bt h t e u t H j b j ωω -=?= + （2） 2 2222 552() ()()2Y X b S S H j b b b ωωωωω=?= =?++，25(0)Y S b = 求()Y S ω的傅里叶反变换，得到()Y t 的自相关函数为： 5()2b Y R e b τ τ-= ，5(0)2Y R b = ∴ ()()()()20015/2202025/4 Y eq Y Y Y R b b B S d S S b ωωπ∞= ===?? 三、设有正弦随机信号()cos X t V t ω=，其中0t ≤<∞，ω为常数，V 是[0,1)均匀分布 的随机变量。（共10分） （1）确定4t π ω= 时随机变量()X t 的概率密度函数，并画出其图形；（4分） （2）当2t π ω =时，求()X t 的概率密度函数。（3分） （3）该信号是否严格平稳？（3分） 解：（1）随机信号()X t 的任意两条样本函数如题解图(a)所示： 随机过程在不同时刻是不同的随机变量，一般具有不同的概率密度函数： 当4t πω= 时，()4X πω= ，0(;)240,X x f x others πω<< =?? （2分） 在,4i t ππωω =各时刻，随机变量()i X t 的概率密度函数图形如题解图(b) 所示： 1 10 3π π0 - 1 （2分）最新随机过程考试试题及答案详解1
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